Download - 6.2 P Dens Stati
Quantum wells, wires and dots
Dimensionalità (a) Quantum well (2d)
(b) Quantum wire (1d)
(c) Quantum dot (0d)
Densità degli stati (DOS) e dimensionalità
La dimensionalità governa l’andamentodella DOS ed influenza pesantemente leproprietà fisiche (es. trasporto, proprietàottiche, etc.)
Quantum well:
In una buca infinita, i.e. ∆Ec = ∞, larga dx :
Funzione d’onda:
ψ(x,y,z) = An sin (nπx/dx) exp [±i(kyy + kzz)] per 0 ≤ x ≤ dx
= 0 fuori la buca
Energia:
E -Ec = En + (ћ2/2m*)(ky2 + kz
2) con En = π2h2n2/2m*dx2
Densità di stati:
ρ(E) = (m*/π2ћ) per E ≥ En per ogni n
Quantum wire:
In un filo infinito, i.e. ∆Ec = ∞, dx per dy:
Funzione d’onda:ψ(x,y,z) = Anm sin (nπx/dx) sin (mπx/dy) exp [±i kzz)] per 0 ≤ x ≤ dx,
0 ≤ y ≤ dy= 0 fuori il filo
Energia:
E -Ec = En,m + (ћ2/2m*) kz2 con En,m = (π2ћ2 /2m*)(n2/dx
2 + m2/dy2)
Densità di stati:
ρ(E) = {m*/[2ћ2π2(E - Ec - En,m)]}1/2 per ogni n,m
N.B.: combinazioni diverse di n e m possono dare la stessa energia
Quantum box:
In una scatola infinita, i.e. ∆Ec = ∞, dx per dy per dz:
Funzione d’onda:ψ(x,y,z) = Anmsin(nπx/dx)sin(mπx/dy)sin(pπx/dz) per 0 ≤ x ≤ dx, 0 ≤ y ≤ dy , 0 ≤ z ≤ dz
= 0 fuori la scatola
Energia:E - Ec = En,m,p con En,m,p = (π2ћ2/2m*)(n2/dx
2 + m2/dy2 + p2/dz
2)
Densità di stati:ρ(E) = uno per scatola per ogni combinazione di n, m, e pN.B.: alcune combinazioni di n e m possono dare le stesse energie
Densità di stati DOS
1. Materiale di bulkVolume nello spazio k per stato: (2π/L)3
Volume nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a E:
Vk = 4πk3/3 con k =c2 EEm2
−h
Numero di stati elettronici in questo volume:
23c
23
22
3
3
3
)EE(m23L
)L/2(3/k42)E(N −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
π=
ππ
=h
Densità di stati con energie fra E e E+dE per unità di volume:
21c
23
22331 )EE(m2
21
dE)E(dN
L1]meV)[E( −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
π==ρ −−
h
2. Quantum wellArea nello spazio k 2-d (i.e., ky,kz) per stato: (2π/L)2
Area nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a En:
Ak = πk2 con k = cn2 EEEm2−−
h
Numero di stati elettronici nella banda n:
)EEE(*mL)L/2(
k2)E(N cn22
2
2
2
n −−π
=ππ
=h
Densità di stati nella buca fra E and E+dE per unità di area:
22n
221
n*m
dE)E(dN
L1]meV)[E(
hπ==ρ −−
e 2x
222
n d*m2nE hπ
=
Larghezza dk
DOS costante
3. Quantum wireDistanza nello spazio k per stato: 2p/L
Distanza nello spazio k occupato da stati con energia inferiore a En,m:
Lk = k con k = cm,n2 EEEm2−−
h
Numero di stati elettronici nella banda n,m:
cn2m,n EEE*m2LL/2
k2)E(N −−π
=π
=h
Densità di stati fra E e E+dE per unità di lunghezza del filo:
m,nc22
m,n11m,n EEE
12
*mdE
)E(dNL1]meV)[E(
−−π==ρ −−
h
e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π= 2
y
2
2x
222
m,n dm
dn
*m2E h
3. Quantum boxLa densità di stati è data dal numero di stati che è pari a 2 per ogni livello energetico discreto possibile, En,m, p, per la degenerazione del livello, (ossia il numero di combinazioni di n, m, e p che danno lo stesso valore di En,m, p).
m,nc22
m,n11m,n EEE
12
*mdE
)E(dNL1]meV)[E(
−−π==ρ −−
h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
π= 2
z
2
2y
2
2x
222
p,m,n dp
dm
dn
*m2E h
Riassunto:
Bulk21
c
23
2331 )EE(m2
21
dE)E(dN
L1]meV)[E( −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
π==ρ −−
h
Well 22n
221
n*m
dE)E(dN
L1]meV)[E(
hπ==ρ −−
Wire
Riassumendo : dipendenza della DOS dall’energia per diverse dimensionalità
d=1 : nanofilo,d=2 : strato sottiled=3 : cristallo di bulk
Per un quantum dot (d=0) la DOS ha un comportamento a delta:
Energie permesse discrete
Profili di densità di stati:
Supponendo dx = dy = dz
Profili di densità di stati:
Supponendo dx = dy = dz
Eterostrutture
Le buche di potenziale confinano i portatori in 1 dimensione. Sono invece liberi nelle altre due. Per essere “quantica” la buca deve essere piuttosto sottile – in genere inferiori a alcune decine di nm, difficilmente più di 100nm
Sistemi confinati: Proprietà Ottiche
Bandgap in un QW:
Eg = Ega + E1(elettrone) + E1(buca)
Il bandgap effettivo è più grande di quello del materiale del QW. Inoltre può essere modificato cambiando la larghezza del pozzo Lz. Il blue shift del bandgap è detto “quantum size effect”.
Proprietà ottiche:
• La diminuzione della dimensione del materiale nanostrutturato aumenta la differenza di energia, ΔE, fra i livelli energetici permessi
• Quando un elettrone transisce da uno stato a energia superiore a uno stato a energia inferiore, viene emesso un fotone di lunghezza d’onda, λ= hc/ΔE
• ΔE maggiori implicano lunghezze d’onda inferiori (“blue shift”)
Assorbimento/emissione in quantum well
Spettro di emissione
Eg = 2.55eV (10K)
Eg = 2.45eV (300K)
• L’energia di emissione cambia da Eg a (Eg + Ee1 + Ehh1)
• λ viene modulata cambiando d
• Più intensa che nel bulk per il miglior overlap elettrone-buca
• Usata nei laser a diodi e per i LED
Assorbimento 2-D
• Assorbimento ∝ densità di stati
• Densità di stati costante in 2-D: g2D(E) = m / πħ2
• Soglia ħω > (Eg + Een+ Ehn)
• Band edge spostato a (Eg + Ee1+ Eh1)
Transizioni tra sottobande
• Energia di transizione ~ 0.1 eV (~ 10 µm, infrarosso)
• Assorbimento usato per detettori nell’infrarosso
• Emissione usata per laser nell’infrarosso (Quantum cascadelasers)