� ��������� �� ��� � � ��� �� ������
����������� �� ����� � ��� ����
�� ������∗ �� ���� ���†
�������� �� ����
������ �����
�������� ������ ����� ����
������� �� ��� ������
����� ������� ���� ���������� �� �����
Abstract
��� ������ �� � ����� �� ���� ��� ��� ������ ����� �� �� ���
��� � ������ ����� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��� ������� ���
����� ������ ���� �� ������� ���� ����� �� �� �� �� ������
��� � ������ �� �� �� ���� ��� ��� ���� � ����� ���� �� �����
������ ��� �� �� � ��� �� ���� �� ������ ����� ��� �� ��
���� �� ���� � ��� ���� � � ���� �� ����������� ��� ����
������ ��� � � �������� �� � �� �� �� �� ��� ���� �� �� ��� �
���� � �� ���� ��� ��������
∗������ ������� � � ���� �������� � ������ ���������†��� ���� ������ �� �� ��� � ������� ����� � !��� ������ "#$%&%' �������
()��* ������ ������ ���� ��+� ����� � ,���
�
1 Introduction
� �������� �� ���!� �� ������� � ���� ����� �� ����"� �����������
����� � � ��� ���!!��!��� �����# ����$�! � �� �� ������� �����!��%
��� � � � ��������� ���� ������& ' � ����� �����(� �!���# ���%
������ � ��������"�� )� ����%������� � ����������� �� � �����# �!�#
�� !����# �� )� � � � ���� ����*�# ��(�� ��� �*����� )� � � ���� ������&
��� �!��� ��� )� ������ � ����� �� � � � ����� ����� �� ����
�� ������� ����������� �!�(��� �����& +�$� ��# � � ����� ��������!
��� �)�� �)�� � �����������# � ��� � � � ���� ��� �� �����!����� ����&
' � ������! �����!����� �� )� �������� ��� $�� ����� ���������
�*���� ��� ��� ����(� ����� ,�� � ���)�� ����� $�� �������
�����)���� �������-# � � ����� �������� �� � � ������! ����� )�����
��� �����������# �� ���� )� ��������� )� � ����� ���� ���)�)�����
�����& .� �)��� ��*���� �� �����# $ ��� � � �������! � ���� �����#
��������� � � � ���� �� � � ��������� β � $����� �
Pn(i|Cn, β) ,�-
$ ��� Cn � � � � ���� �� �� ������%��/�� n# i ∈ Cn � � � �������� �
���� ���������� �� β ∈ RK � � ����� �� ���������& ����! � ��
β � ������� �����)���� $�� �0� f(x)# � � ��*���� �� ����� � ��(��
)�
Pn(i|Cn) =
∫β
Pn(i|Cn, β)f(β)dβ. ,1-
� ��������# � � /���� � ���� ����� ,�- � ���� � ���������� ��!��
,�2�- �����# )�� �� ����� ���� ���)�)����� ����� ,�� � �������"��
�*����� 3���� �����- � ��������& ��� ��! ������� �)��� 45 ����
�!� ,�� ��� ����� �������� ��$�� ������ �������# �677-# � � �� ��
��*���� �� �2� ����� ,��2�- � ��� )����� ������� ���� �������
� �/ �� � � ������! ��$�� �� �������� ����$�! ��� � � �������� ��
�� ����%8���� �������� �� �����*����� � � ������* ����� ��������
�� � �� ����� ,��# ���! ��� �� ��# ������ )� ������� ��
'���# 1555# 9�%�/� � �� ��&# 155�# +� �� �� �����# 1554# '���# 1554#
3���# 155:-&
�
' � ������! ������� � )�� ���� �� )� ��� ����� �� �������
��� ������* ����������� � �����# �� � � � ����� �� � � ����
�� ��� �� ���� ,�&!& ��!�� �� ��&# �66;# +�# 9�������� �� ����/# 155<#
����� �� ��&# 155=- �� �����)����� ,�&!& 9��$��� �� �����# 155<#
����� �� ��&# 155<-# ����� � ���� ,�� +� �� ��&# 155�# 9�/ �� �� ��&# 1551#
9�������� �� ���>�!��# 155<-# ������� � ���� ,+� �� ����/# 155<-# ������
� ���� ,8������# 1554-# � ���� � ���� ,9��$��� �� ��&# 1555# +�# '���
�� ����/# 155<-# �� ��!���� �����! ,9 �� �� 8������# 1551-&
� �������� ��� � � � � ���� �� � ����(� �����)���� ��� � � ��%
��� ���������& ��������# ����� ����� �� ������ � � ����������
� �� � ������������ � ���� �� � � �����)���� ��� ���� �� ����� )���
� ����� ������� �� � � � �������� ��� �� ����� ���������& �
������)�� �*����� � � � 2����� �����)����# ��� � � ������� ��� ���
����������& +�# 9�������� �� ����/ ,155<- ���� $��! ������������
�� $����!�%��%��� �������� $ � ����� �����)���� ��� ��������&
��!���� ,�� ������- ���/ �� ����� �����)���� �� ������� � �� �
)�� � ���� ��� ���� �� �*����� )���& +� �� �* ��� ,155<- � �
�*����� �$ $��� � $��� ��!� �� ���������� �����)���� �� �����%
���� !� � ���!�� �����)����# $ �� ��� ��������� �� ��?��� �����
������� �)��� ���� ������� � ������� ����� �����&
.� ��� ����������� � �� ��! ��� � � !����%��%(� �� �������
����� ��� �� ����$ �� �� ���� ���� ������� �)��� � � ������� ��
� � ����� ��������� �����)����& ' �������# $� ������ � ��� )���
� �������������� ,�2�- ��� ���� �� ������ �� � !� � �����)���� �
����������� �� ��&
' � ���� �������������� ����!�� � � ������ ��� �� �����
���� ����������# ����������� �� ������������� �����& ����������
����� ��� � � ������ ������� ����� �� ������# �&!&# � � �2� �� � �
��2� �����& �� ����(� � ����� �������� �� ������� � ��)�� ��
��������� �� ���� ��������� �� � � � ��� �� ������ �� ����� ��
� ����� ���������& � ����������� ����� � ��� ������ �������� ��
� )��� � ����� �����*������ �� ��� /�� �� � � ������� �� �� ����%
�� ��� �� � � � � �������� �� ���������& � ����� !����� ��������
�� ����������� ��� �� � ��!� �� @��� ,�666-& �*����� �� �%
1
���������� ��� ���� � � ������� ����*� ��� ����������� ��!����
,��!����# �� ������- �� ����� ��!�� ,��!����# 155<�-& ��������������
����� ��� � �)��� )��$�� ���������� �� ����������� �����& ' ��
�������� ���������� ������� ��/� � � ����(����� �� ��� ������� ��
�� )� � ����� ���)����� �� �������� ����)�� $ ��� ��� �� � � �����
����� �����������& � ���)�� ������������� ����� ��� ������� � ����
���� � � � A��� �� ����� ,�664- ��������# $ �� � )�� ������� �
� � ������� ����*� )� +���$��" ,�664-# ��!���� ,155<)- �� ��!����
,�� ������-& ��������������� ����� ��� �� )��� � ����� �����*�%
����� )�� �� ����� ���� �����*������ �� �����*����� ������
�� � ������& �2� ��� �� $��� ��������� )� ������ �� 2�� /�
,�6;7-& � � � �����# $� ������ � ���� �����*������ �� �����*����� �
�/�$ ����� �� ��� ��� ������� � �������������� � �����&
� � � �*� �����# $� �����)� � � !����� ��� �����!�& � ������ 4#
$� ��������� � � ��$�� �� � � ��� � �� ���� ����# $ ��� � � B����C
�����)���� � ����(�� �� /�$ � �� ���& .� ��� ����� � � ���
� ���� ���� � ������ :# $ ��� $� ��������� ����� �� � �� � � ���
��>��� � � ����� �����)����# �� ����� $ ��� �� ��� ��& �����
�������! � ������ <# $� ��� ��� ��� ��� ���� ������ ��� �2� ��� ��
)��� � ��!���� ��������� � � � ������*&
2 Methodology
.� $�� �� ��� �� � ����� ��������� ω �� � ������� � ���� ����� �����$
� � ������ ��������� �����)����& .� ��)�� � � ��� )�� �����)���� $��
80� F �� ����� f&
' � ���� �����)���� ��� )� ��D���� ���� F& .� ����� � � ���� 80�
)� G �� �� ����� )� g& .� �� ��$���� � � �����)���� G � ���� ��
F �
G(ω) = Q(F(ω)),
$ ��� Q � � ������ ������ ���� [0, 1] �� [0, 1]& � �� # Q � � 80�
��� � ��� ���� ����)�� � � � ��� ���� ��& .� �� ��D�������� � � ��
4
�*��� � � ����� g �
g(ω) = q(F(ω))f(ω).
' � �*� ��� � �� �����*����� q � � �������������� �� ��&
�����$�! 9���� ,155<-# $� ��� Lk )� ��������� ��!���� ���������
,�� ������*-# $ �� ���� � ��� ������ )�� ��� ������ � � � ���
���� ��& 0�(�!
qN(x) = 1 +
N∑k=1
δkLk(x), ,4-
$� �����*����� q )�
q(x) ≈ 1
Kq2
N(x),
$ ���
K =
∫+∞−∞ q2
N(F(ω))f(ω)dω ,:-
� � ������"�! ����� �� � �� � � ����� g ���!���� �� �& ������!
qN !������� ����� ���# � � �� g � � �����& .� ���� � � δkLk(x) �2�
���� �� N � � � ��)�� �� �� ����&
9���� ,155<- �$ � �� �� ����� � � � ��� ���� �� �� )� ��%
���*������ � � � $��& ' � �����*������ � �� ���� ��� � ���� ���%
�& ��!���� ��������� � � � ������ � ��(���� $ �� � ��� ��
�������� � ���$���& ��� ��������� �� � � ��������� ��������� �
��/��� �� ������ ���)��� $�� ���������� � ��������# �� ��/� �� ���
�� ������� � � ������"�! �����& �����# ��(�! z = F(ω) � � ��
ω = F−1(z) �� dz = f(ω)dω# $� $���� ,:- �
K =
∫1
0
q2N(z)dz =
∫1
0
(1 +
N∑k=1
δkLk(x))2dx = 1 +
N∑k=1
δ2k,
� � ��� �������� )��! �)����� ���� � � ��� ��������� �� � � �������%
��& � !���� ���� �� ?�*�)����� � �)����� �� �����*����� g# ������� $�� �
���� ��)�� �� ����# �� ?�*�)����� �� )� !�������� ������� )� ����!
���� ����# �� ������&
:
���� �$ � �� β � � ��������� �� � ������� � ���� �����& ' �
���)�)����� ��� �������� � i �� )� � �� � � ���� �� C � !� � )�
Pn(i|Cn) =
∫+∞−∞ Pn(i|β, Cn)g(β)dβ,
$ ��� Pn(i|β, Cn) � � ����� ���� �����# �� � � � �������"�� �*�����
3���� ����� ,�������# �67;-& ' �#
Pn(i|Cn) ≈ 1
K
∫+∞−∞ Pn(i|β, Cn)q2
N(F(β))f(β)dβ
=1
K
∫1
0
Pn(i|F−1(z), Cn)q2N(z)dz,
$ ���# �!��# z = F(β)& ' � ���!��� � �����*������ )� ����%8����
��������# �� � � ���� F−1(z) �������� �� � � ���$ �� � � )�� ��%
���)����&
2�$# ���� � � ��� ���� �� � �� � � )�� �����)���� � � � ����
�����)����# $� � � f = g# $ �� ������ � �� q � ���������� � �� � �
� �� δk = 0# ��� ��� k � ,4-& ' � � � �����
Pn(i|Cn) =
∫+∞−∞ Pn(i|β, Cn)g(β)dβ, ,<-
� ���� ���� �� � � �����
Pn(i|Cn) =
∫+∞−∞ Pn(i|β, Cn)f(β)dβ. ,=-
9� ���������# ����� ,=- � � ������ ��� �� ����� ,<- $ ��� ���
������� ,�*���� � � �����- �� � � ��������� �����*������ �� q
��� �� �� 5& 8��������# � ��/��� ��� ����� ��� ��� ���� ���� ��
� ����������� �� ��� � � ��� ���� ��& �� LU � � � ��!��/��� ��� ��
� � ����� $�� ����� ,<-# �� LR � � � ��!��/��� ��� �� � � ����� $��
����� ,=-# � �# ���� H0 : f = g# � � ��/��� ��� ����� �������
−2(LR − LU)
<
� χ2 �����)���� $�� N ��!��� �� �������# $ ��� N � � � ��)�� ��
���� �������� � � � ��������� �����*������&
2��� � �� � � ��)�� �� �2� ���� ��� )� � �� � �� ���& �%
�����! � � ��)�� �� �2� ���� ��/� � � �������� � ���� �� ����
!����� )�� ��� ������ � � ����� � � � ����& ��� �*������� ��������
����� � � � ����� �!!�� � �� 1 �� 4 �2� ���� !� � � ���!� ��!��� ��
?�*�)�����# $ �� ��� )� ����� ��� ��� ������# $ ��� � �2� ���� �
�� ��$�� ����� �� ��>��� � ���� ��� ���� ��&
3 Simulation study
.� (�� ��������� � � ������ � ���%�������� ����# � ����� �� ������
� � ��$�� ,� �� �# � � �)����� �� ��>��� ���� ���� ��- �� � � �"� ,� ��
�# � � ���� �� $ �� ���� ���� �� ��� ��>�����- �� � � ���& 9� ���%
�������� ����# $� ��� � �� $� � � ��� � �*���! ����)��# ��
��������� ����� ��������� $�� � �������(�� B����C ����� �� !������
�������� � ����&
' � ���� ���� � ���� � ����� � ���� �*�������# $ �� � ���� �� � �
0�� ���� �� ���� ����& ���� ���! ���������� ��� � � ���� ���
�������� � 9��!� �� ��& ,155:-& .� � � ������� � ����� � ���� �*�������
������! � ����� ���� )� )�& ' � �*��������� ���! � ������������
����� � �� �! ��� �% � ���� ��� �� ���� �� ���& 9� ���!# � � �����
�� ��� �� ���� ��D����� ��!� )��$�� � �� 155 0AA ��� ��� ,� �@�
≈ 7&< 0AA-&
��� ������� ���� 6 � ����# �� �� $ �� $� ��$�� � ��������
� ���� ������� � � � ��/ � �������& ������� $ � ������ ��
� ��� � � ������ �������� � $��� �*������ ���� � � �����& �� $���
��� ������ � �����& ' � ��� � �575 ������� $ � ������� ��� �
� ���!� �� 7&7 �%�������� � ���� ��� &
' � ���� ����� � ����(�� � � )���� ����� )��� � � � �����$�!
��� � ������- �� � ���� + �� � ���� � ���� ��� �� ��.�. � ����. ��� �
��� � �� � �� ��������� �� �� � �� ������� ��� � �. � ��� �� ���� �
=
������� ������E
Ujnt = βTn''jnt + βC'8jnt + εjnt ,7-
$ ��� Ujnt � � � ������� �������� $�� �������� � j )� ��� ����� n ���
������ ��)�� t# βTn � � ����� ���Æ���� �����)���� ���� ��� ��%
���# βC � (*�� �� εjnt ��� �&�&�& �*����� ���� �����)����# � � ��
Pn(i|Cn = {i, j}, βTn) =∏
t
Pnt(i|Cn, βTn)
��
Pnt(i|Cn, βTn) = ��(Uint ≥ Ujnt) =eβTn��int+βC��int∑
k=i,j eβTn��knt+βC��knt
.
' � �������� � ���� $��� !������� ��! � ��� ������� �� %5&4
�� ���� ������� �����$�! ��� �� � ����� �� � ��!����� �����)����&
' �� �$� �����)���� $��� � �� �� � � � � ��� ��� �� ������
�� ��� �� � ��� �� $�� � � � ��!� �� ����%��� �����%�D � � � ����&
���� ����(�����# $�� ��� � 0AA �� ���� � �����# � � ����� ��%
���)���� �� ��� 5&< �� ������ �� ����� 5&1# $ ��� � � ��!�����
�����)���� �� ��� %� �� ������ �� ����� 5&= � � � �������!
����� �����)����&
� ����� �� �55 ���� �� � � )�� !������� ��� ��� B����C �����& .�
� � ������� � � ��� ��! �� �2� ����& .� � � ����� �$� ��� �%
��� ��E ,�- � � ���� �����)���� � ����� �� ,��- � � ���� �����)����
� ��!�����& ' � �������� � � )�� ���������� $�� �������� ��*�%
��� ��/��� ���# ��! � ����� �� <55 +���� ���$& ' � ��)�� �� ��>�����
����� � �������� � '�)�� �& �� � � 6<F �� �� �� ��(����# � � ���
���� �� � �� � � ���� �����)���� �� βT � ����� � ,������- ��>�����
6F �� � � ���� $�� � � (�� �����# �� ,���������- ��>����� �55F �� � �
���� $�� � � ���� �����& ' � ��� ���� �� � �� � � ���� �����)�%
��� �� βT � ��!����� � ,���������- ��>����� 66F �� � � ���� $�� � �
(�� �����# �� ,������- ��>����� <F �� � � ���� $�� � � ���� �����&
�/�� ��������� �� ����� � �� �� 01 2����� 3&&%4� �� �� �� �.����+� ��� ��
������ �� � �� ���
7
H0
2����� ��!�����
6<F '��� ���E 2����� 6 66
'��� ���E ��!����� �55 <
66F '��� ���E 2����� � 7;
'��� ���E ��!����� ;; 5
'�)�� �E ��������� ����E ��)�� �� ��>����� $�� � �2� ����
.� ����"� � �� ����� � ���� ������ � ��!��� � �� 1# $ ���
� � �������� � �����)���� �� � � ��/��� ��� ����� ������� � �������� ���
� � 4 × 100 �*�������& ��!��� � ������ � � ����� ��� ����! � � ���
���� �� � �� � � ���� �����)���� � � ����� ,���������! �� � � (��
����� � '�)�� �-# �� ��!��� 1 ������ � � ����� ��� ����! � � ���
���� �� � �� � � ���� �����)���� � � ��!�����& ' � � �� ��� ���
� � 6<F ��� � �$ ,4&;:# ���� � � χ2 �����)���� $�� �� ��!��� ��
�������-# � $��� � � � 66F ,=&=4-& �� � � 66F �� �� �� ��(����# � �
��)�� �� ���� ��>����� ����# � $��� � � � ��)�� �� ������� ��>�����#
� �������� � '�)�� �&
��� ��! )�� � � ��$�� �� � � �"� �� � � ��� ��� ��� !��� $ �
>�� �� �2� ���� � ���# $� � � ��� ������� � � ��� $�� �$� �2�
����& ' � ����� ��� �������� � '�)�� 1&
H0
2����� ��!�����
6<F '��� ���E 2����� 6 �55
'��� ���E ��!����� �55 4
66F '��� ���E 2����� : 66
'��� ���E ��!����� �55 5
'�)�� 1E ��������� ����E ��)�� �� ��>����� $�� 1 �2� ����
' � ��� ��� �� ������� ��� $��� � � �� ����������& ' � ��$��
�� � � ��� � ��� �! # ����$�! � �� ��>��� � ��� ���!� ��������� ��
���� ���# � � �� � � 66F �� �� �� ��(����& ' � ������ �"� ��� ��
;
�
���
���
���
���
���
���
��
��
���
�
� � �� �� ��
��� ���
��� ������ ��� ���������
��!��� �E 0����)���� �� � � ��/��� ��� ����� ��� �55 �*������� ����
H0GB���� �����C
��D�� ���� � � ����� �"� � )�� ��������& 8��������# �� ��� )�
����������� �� ������ � � �������� ���� � ��������&
4 Case study
.� �$ ����� � � ��� �� � � ���� ���� ��# ��! �!�� � � ����� ����(��%
��� ,7-& .� ��� � � ����� $�� �� �2� ����# $ ��� � � )�� �����)����
�� βT � � �����& ' � ����� �� � � �$� �������� ��� �������� � '�)�� 4&
' � ��/��� ��� ����� ,��- ��� �
−2(−4153.57 + 4150.14) = 6.86
�� � � H0 ���� �� � �� βT �����$ � ����� �����)���� �� )� ��>�����
�� � � 66F �� �� �� ��(����& 2��� � �� � � ���Æ���� δ1 �� � � �2� ����
� �!�(����� ��D���� ���� 5& � ���� �������� �� � � �������� ��%
���� �� � � ����� � � � (�� ����� �� �� g � � � ���� �$ �$� ��
� �� � �� ���/ ����� ������ ,�� ��!��� 4-& ����� ��# � � �������� 3''�
6
�
���
���
���
���
���
���
��
��
���
�
� � �� �� ��
��� ���
��� ������ ��� ���������
��!��� 1E 0����)���� �� � � ��/��� ��� ����� ��� �55 �*������� ����
H0GB���� ��!�����C
��� ����� ������& ' � �$ � �� ������� ��� ��� )� �������! � � �
����*�# �� � �� � ������ ��/��� ��� ����� ��� � ������&
βT ∼ f(x) = N(μ, σ2) βT ∼ g(x)
L = %:�<4&<7 %:�<5&�:
����& ���&���& t%��� ����& ���&���& t% ����
βC %5&4= 5&5� %1<&� %5&4< 5&5� %1<&4
μ(βT) 5&54 5&5� �&6 %5&�< 5&5= %1&7
σ(βT) 5&4: 5&5� 1:&: 5&4; 5&51 �=&1
δ1 5&1< 5&5; 4&4
3''� ,0AAH - 1<&44 1<&:6
'�)�� 4E '���! � ����� �����)����
.� �$ ��� � � ����� $�� �� �2� ����# $ ��� � � )�� �����)����
�� βT � ��!�����& ' � ����� �� � � �$� �������� ��� �������� �
'�)�� :&
�5
�
���
���
���
���
�
���
�� ��� � �� �
g f ∼ N(0.03, 0.342)
��!��� 4E 8������� �� f �� g# f �����
' � �� ��� �
−2(−4304.32 + 4302.94) = 2.76
�� � � H0 ���� �� � �� βT �����$ � ��!����� �����)���� ���� )�
��>����� �� � � 6<F �� �� �� ��(���� �� �� � � �� � � ;<F �� ��& �
���� �������� �� � � ������ �� � � ��!����� � � � (�� ����� ��
�� g � � � ���� �$ � ��)�� ��D����� ,�� ��!��� : �� <-# �� � �
3''� � �)��� � � ��� $�� � � �$� �����& +�$� ��# � � δ1 ���������
�� � � ��!���� ��������� ������ �� )� �!�(����� ��D���� ���� "���#
$ �� ������� � �� � � ��� ����� )� ����"�� � ���� ������&
8��������# $� � � ��������� � � ��� $�� 1 �� 4 �2� ����& ' �
����� ��� ������� � '�)�� <# $ ��� $� ����� )� gN � � �����)���� �)%
����� $�� N �2� ����& .� �)��� � ���!� ����� ���� � � � ��/��� ���
$ � � ���� �2� ���� � �����& ���# � � � ���!� 3''� �!�(�����
� �!� )��$�� � � ����� $�� �� �� � � ����� $�� �$� ����& ' �
��/��� ��� ����� ��� ��� � � ����� $�� �$� ���� � � � ��������� �
−2(−4304.32 + 4263.57) = 81.50
��
�(βT) ∼ f(x) = N(μ, σ2) βT ∼ g(x)
L = %:45:&41 %:451&6:
����& ���&���& t%��� ����& ���&���& t% ����
βC %5&:< 5&5� %4;&4 %5&:< 5&51 %1;&7
μ(βT) %1&<1 5&5< %:=&; %1&61 5&5= %:=&<
σ(βT) �&:4 5&5< 45&= �&<5 5&5: 4=&;
δ1 5&�: 5&5: 4&4
3''� ,0AAH - 45&:; 41&�4
'�)�� :E '���! � ��!����� �����)����
$ �� � ��� )���� � � <&66 � �� ��� �� � � 6<F �� ��# �� � � ��� )�%
��� � � 6&1� � �� ��� �� � � 66F �� ��& ' �������# $� ������� ��>��� � �
��!����� � � � ���& � ���� �������� ,��!��� = �� 7- ���������
$��� � � ���� �� � � ��>�����&
� � (�� ��� � � � �*�����# $� ��� ��"� � � ���� � �� � � ��/��� ���
$�� � � ����� �����)���� � ��� )����� � � $�� � � ��!�����# � �
� ��! � � ����� �����)���� � ��� ��>�����&
' � �!!�� � �� � � ����� ��! � )� ������(��& ' �������# $� �$
������� � ��D���� ����� ����(����� � � � ��� ���� ��& ' � ���� �
�� ������ � ����� � � � 3''� ����# � �!!���� )� '��� �� .��/
,155<-& ' � �����# ������� )� ��!���� ,�� ������-# � ��(�� �
ynt = 1
(βn < �
C2nt − C1nt
T1nt − T2nt
+ ηnt
).
�� �� )� $����� � � ������� )���� ����� ������� �����# $��
U1nt = λ � C2nt−C1nt
T1nt−T2nt+ ε1nt
U2nt = λβn + ε2nt
$ ��� �� � ����� $�� ��� �� �� !�������� � �� � � �������� � ���
��)���� �� � �� T1nt > T2nt ��� ��� �)�� ����& ���# $� ���� � ��
� ��� � � �������� �������� �# � �� � C1nt < C2nt# ��� ��� �)�� ����#
� � �� � � ��!���� �� � � ��!���� � � ��$�� ����� �& ' � �/�$
��������� βn � ���������� � � � ��!���� � �� � � 3���� �� '�� �� '���
�� �! �� ��� ����� n# �� λ � � ���� ���������&
�1
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��
g� (f) ∼ N(−2.92, 1.502)
��!��� :E 8������� �� f �� g# f ��!�����
.� ��� � � ����� $�� ��# �$� �� � ��� �2� ����# $ ��� � � )��
�����)���� ��� βn � �����& ' � ����� ��� �������� � '�)�� =& 2���
� �� � � ���� �� � � ��/��� ��� �)����� $�� � � �$ ����(����� ���
��� )����� � � � �� �)����� ��� �����&
���/�! �� � � ����� $�� �� �2� ����# � � ��/��� ��� ����� �������
�
−2(−3732.04 + 3730.01) = 4.06
$ �� � >�� �)� � � � 4&;: � �� ��� �� � � 6<F# ������! � $��/ ��>��%
���& �?���! ��! ��� � � �� �� �� 6=F !� � � � �� ��� �� :&11 $ �� �
�� ���� ��& ���� � � ������� �� � � �������� ���� � ������ 4#
$� ������ �� �� ��>��� � � ����� )��� � � � ���& .� ���� � � ���
������� $�� � � ����� $�� 1 �2� ����# $ ��� � � ��� ������� �
−2(−3732.04 + 3728.83) = 6.42
$ �� � >�� �)� � � � <&66 � �� ��� �� � � 6<F �� ��# )�� ��� �� ����
� � =&:: � �� ��� �� � � 6=F �� ��& ������# � � ��� $�� � ��� �2� ����
!� �
−2(−3732.04 + 3727.79) = 8.50
�4
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� ����� ���� ����� ����
g� (f) ∼ N(−2.92, 1.502)
��!��� <E 8������� �� f �� g# f ��!����� ,"���-
$ �� � >�� �)� � � � 7&;� � �� ��� �� � � 6<F �� ��# �� ���� � �
;&6< � �� ��� �� � � 67F �� ��& ' �������# � � $�� ���� ����# � � ���
�!!�� �� �� ��>��� � � ����� �����)���� � � � �����&
5 Conclusion
.� � � ������� � ��� �� )��� � � �������������� ,�2�- ���%
�(����� �� ��� �� � ����� ��������� �� � ������� � ���� ����� �����
�����$ � !� � �����)����&
' � �������� ���� �$ � �� � � ��� � $��� �)�� �� ����������
)��$�� ����� �� ��!����� $�� � �2� ���� ���& �� ��� �!!��
� �� �� � !��� �������� �� ���/ ��� � ��! ��� �! �� ��!��/��� ��� ��D�����
)����� ��>����! � �����)����&
.� � � ���������� � � ���������� �� � � ��� � �$� ��� �����&
� ��������� ����# $� ��>��� � � ����� $�� � �2� ����& ' � ��!�����
� �� ��>����� $�� � ���� )�� �� � ������� ��>����� $�� �$� ����& �� $�
������� � �� �� � !������� �����)�� �� ������ �$� �� � ��� �2� ���� �
����� �� ��� � � )�� �����)���� �!��� � �������� � � �� � � !�����
�:
�
��
��
��
��
��
��
��
� ��� �� ��� ��
�(f) ∼ N(−2.52, 1.432)g1
g2
g3
��!��� =E 8������� �� f# g1# g2 �� g3# f ��!�����
� ���)��& ' ��� ��� ���� �� �������� � $ �� ��� �� �������� $��
>�� � �2� ����& +�$� ��# � ��� ��� �� )� ������ ���� � ��! ����
� � 1 �� 4 �2� ����&
' � (�� ��� ���� �$�� � �� � � �!�(��� ����� ���� � � �
��/��� ��� $�� � � ����� $�� � ����� �����)���� � �� ����� ��
������ � � �����)����# $ �� $� �������� ��>����� )� � � ���& �� $�
��� �� � ����� �� ����� ������(�����# $ �� ���� ��� � � ����� �
3''� ���� ����"�� � � � ���� ��� ����# � �!!���� )� ��!����
,�� ������-&
� � � ���# � � ��/��� ��� � ������������ ����� �� ������ � �� ��� ���%
��� �����& ��� ��� ��� $�� �# 1 �� 4 �2� ����# $� !�� � $��/
��>����� �� � � ����� ��! � � ����� ��� �� �� �� 6<F& �� $� �?���
� � �� �� ��! ��� � �!!���� )� � � �������� ����# $� ������� � �� � �
����� �����)���� ���� )� ��>����� ��� β# � � ��!���� � �� � � 3''�&
� ������# � � ��� $��/ $��� � �������� ����# �� $� � � �$
� ������� ���������� �� � � ��� �� ���� ����& �� �� ��>��� )�� �����
��# )� ������! ���� ���� ��� ?�*�)�����# �$ �$ � ���������� �����%
)���� ��� ����& �� $� )���� � � �� �� � � ��� ��$����� ���� ��� �������
�<
�
��
��
��
��
��
��
��
� ���� ��� ���� ���
�(f) ∼ N(−2.52, 1.432)g1
g2
g3
��!��� 7E 8������� �� f# g1# g2 �� g3# f ��!����� ,"���-
����������&
� � � ������# �� $���� )� �������! �� ����� � � ��� ��� ���� � �
�� ����� ���������& � ����� ������� $���� ���� � ����! ���
��������� ����������& ' � ��)��� �� � � ������� ��� )� ��%
��"�� )�� � � � ��� �� �������� �� ���������� ����� ���������&
���# � � ��������� �� �� ����� ������ ��������� �����*������ ����
)� ����&
2��� � �� �� �� �� �� � � ����� ��� ���)��& 2�����# �� �� �����
� � �2� �*���� �� ��� )�� �����)���� � � $�� �� !������! � ���!��
����� �� ��� $�� !������ ?�*�)����� ����$�� ��� � � ��*�! �����)����&
� � � ����� �"� �� � � ��)�� �� �2� ���� ��� �� �(���# ��
����� ��� � �� � � ����� $���� )� ����)�� �� �����*�����! �� ����
��*�! �����)����& �����(����� �� ������� �� � � ��������� � � �
�)>��� �� �!��! ������ & 2��� �$� �� � �� � � ����� �D )��$�� �����
?�*�)����� �� ���� � ��(���! ��� ��$�� )� �������� )� � � �����&
�=
A Appendix: Legendre polynomials
' � ��!���� ��������� L̂n(x) ��� ��(�� )�
L̂n(x) =
M∑m=0
(−1)m (2n − 2m)!
2nm!(n − m)!(n − 2m)!xn−2m
$ ��� M = n/2 �� M = (n − 1)/2# $ �� � �� � � ���!��& ' �� �� ���
)� ��(�� ������ ���#
L̂n(x) = ((2n − 1)xL̂n−1(x) − (n − 1)L̂n−2(x))/n,
$ ��� L̂0(x) = 1 �� L̂1(x) = x ,�� �)����$��" �� ���!�# �671# � ��&
; �� 11-& ' �� ��� ��� �!��� � [−1, 1] � � � �� � ��∫1
−1
L̂m(x)L̂n(x)dx = 0 �� m �= n.
� ��� ����*�# �� � ���� ����������� ��� � � ��������� �� )� ��� �!���
� [0, 1]# � � � ��!���� ��� ��(�� )� � 80�& ' �������# 9���� ,155<-
������ � � �����$�! �����������E
Ln(x) =√
2n + 1L̂n(2x − 1)
� � �� � �� ��� ��� ������ � [0, 1]# � �� �∫1
0
Lm(x)Ln(x)dx =
{0 �� m �= n
1 �� m = n.
' � ������ � ��(���� �� � �� ��������� ��������� � !� � )�
Ln(x) =
√4n2 − 1
n(2x − 1)Ln−1(x) −
(n − 1)√
2n + 1
n√
2n − 3Ln−2(x).
' � (�� ��������� ���
L0(x) = 1
L1(x) =√
3(2x − 1)
L2(x) =√
5(6x2 − 6x + 1)
L3(x) =√
7(20x3 − 30x2 + 12x − 1).
�7
References
�)����$��"# �& �� ���!�# �& �& ,��- ,�671-& ������� �� ���������
���� ��������� ���� ��������� ������� ��� ������������ �����#
6� ��# 0� ��# 2�$ I��/&
��!��# �&# 9��!����# �&# 0� �)��!# �& �� 0����# J& ,�66;-&
��*�� ��!�� �������� �� � � ���� �� ��� �� ����# ��������
������ �!!"#�# @����� % $��/�! ����� ����& � ����)�� ��
���EHH����&�����&��!H�H�� H������H�66;�<& ���&
9�/ ��# �&# 9�%�/� �# �& �� �����!# �& �& ,1551-& ��������� �� ��!��
/���� �� ����� � ���� �������# ������������� �������� ������
1805E 7;K;<&
9�%�/� �# �&# 9�����# 0& �� .��/��# J& ,155�-& �����(�����# �����(��%
���# �� �������� �� � � ��!�� /���� ,�� ������� ��*�� ��!��-
�����# �������� ������# 0�������� �� 8� �� �!�����!# ��'#
8��)���!�# ��&
9 ��# 8& �& �� 8������# �& ,1551-& � ��(�� ��*�� ��!�� �����$��/
��� ������! �� ����� �� ����� ���������E ���������� �� �����%
����� �� ��!���� �����! ����� � � � �� ������� 9�� ����#
������������� �������� 36BE <64K=�=&
9����# +& J& ,155<-& ����%����������� ������! �� ������ � � �
��� ���� ��# $�� ���������� �� ������ ��*�� ����������� �"���
����� �� ������� ���)�)����� �����E �����(����� �� �������
�����# $���������� %�����& '���� (��)����&
9��������# �& �� ���>�!��# �& ,155<-& ����� � ���� ����� $�� �)���
�������# *��������)� �� ��� �� %���� ������������� ��������
(���������& $$$&���&� &
9��$���# 0&# 9�� # 0& �� '���# A& ,1555-& J��� ��*�� ��!�� �����
�� ����� �� �� ����� ��������� ��� �������� �%���� � ����# �����
��������� �������� *��� + 34E 4�<K44;&
�;
9��$���# 0& �� �����# A& ,155<-& 3����! ���� �� �����)�����E ��%
�! � � � ����� ���� ���� �����! ����������# �������������
�������� *��� , 39,:-E 176K164&
9��!�# �&# �� �# 8&# 3�/# �& �� 9���# J& ,155:-& �� ��$ �� �����%
����� �*������� � 3�' ���� ���!# *��������)� �� ��� $�������
�������� (���������&
8������# �& ,1554-& �������) ,������ *�����)�� (�����# *�����)�� *����
������ ��� %������� �� ��� *�����)�� ���)���-���������� %������
��� .*�-%/# � 0 � ��# ���� ���� ������� �� '�� ���!�&
0����/# J& �& ,155�-& �0# ,� ��1������������ �����0 2��)��)�# '��%
)����/� 8������ ���# ����&
�������� ��$�� ������ ������� ,�677-& ��� �����!� ��� ��������! � �
����� ��� �$ �����������%��! !���# ����� ������3 *��1��� 4""��
$,�!5# �������� ��$�� ������ �������# ���� ����# 8�&
��!����# �& ,155<�-& �����(����� �� � ����� �� ������ � � ���� ��
��� �� ���� � �!# $������� �������� (���������&
��!����# �& ,155<)-& @�� ����� ��������� �� � � ���� �� ��� �� ����
� �!# $������� �������� (���������&
��!����# �& ,�� ������-& � ���!���! � � �����)���� �� � � ���� ��
��� �� ���� � �!# ������������� �������� *��� + &
������# �& �& �� 2�� /�# 0& .& ,�6;7-& ����%����������� ��*����
��/��� ��� ��������# $����������� 55,1-E 4=4K465&
�����# .& +&# +� ��# 0& �& �� ���# J& ,155=-& �������! ��� ��%
���!����� � � � ������ �� ��)�� �� �D��� � ��*�� ��!�� �����#
������������� �������� *��� + 40,�-E 7<K61&
+�# 9&# ��!��# �& �� �!���# �& ,155�-& �����������! ��� ��L ����
������� �� �������� � ���� ���������� � ����� � ���� ������! )�
��! � � ��*�� ��!�� �����# "�� ,����� ������) �� ��� �����
��������� �������� +����&
�6
+� ��# 0& �� �����# .& ,1554-& ' � ��*�� ��!�� �����E � � ���� ��
��������# ������������� 30,1-E �44K�7=&
+�# �& �� �* ���# A& .& ,155<-& 0����)������ ������� � � �
����������� �� ����� ���� �����!�����# *��������)� �� ��� ��
%���� ������������� �������� (���������& $$$&���&� &
+�# �&# 9��������# �& �� ����/# J& ,155<-& �������� �� ���� �� ��� ��%
���� � �! ��! ��*�� ��!�� �����# ������������� �������� *���
, 39,4-E 11�K14=&
+�# �& �� ����/# J& ,155<-& ��*�� ��!�� �������! �� ������� � ����
� �����%������� ��!��# 6������ �� ,�� �������� ����)�����
11,1-E <6K=;&
+�# �&# '���# A& �� ����/# J& ,155<-& � � � �� �� ����(�� ���� ����%
��)� �����! ,��+�- ��� �� � � � �������� �� ��*�� ��!�� �����
��� � ���� � ����# ������������� �������� *��� , & ���� ����!#
�������� ��� ��)�������&
+���$��"# J& ,�664-& �������������� �������� �� � $��/ ���� ���� � ����
�����# 6������ �� $����������� 58E :6K75&
A���# �& �� �����# �& ,�664-& � ����� ������������� �������� ���
)���� ����� �����# $����������� 61,1-E 4;7K:11&
�������# 0& ,�67;-& �������! � � � ���� �� ��������� �������# �� �&
A������� �� ��3 ,��&-# %������ ����������� �����& ��� ����������� ���
������# 2��� %+�����# ��������# ��& 7<K6=&
�������# 0& �� '���# A& ,1555-& ��*�� �2� ����� ��� ������� ��%
���# 6������ �� ,������ $����������� 15,<-E ::7K:75&
��!�# �& �� @��� # �& ,�666-& 7������������ $�����������# 8��%
)���!� @� ����� ���&
�����# A& �&# .���# 8& �� I�# J& ,155<-& @�� ���! � � �����)����
�� �������L ��������� ��� ��� �� ���� �� �����)�����# $�����������
73,:-E �4=7K�4;1&
15
'���# A& ,1554-& -������� (����� ������� ���� %���������# 8��)���!�
@� ����� ���& ���EHH����)&)��/����&���H)��/H� ����& ���&
'���# A& �� .��/# �& ,155<-& 0������ � ���� ����� � ���������
���� �� $����!�%��%��� ����# �� �& ������ �� �& ��)����
,��-# ,����������� �� ���������� ������� �� ��8���������� ���
�������� ���������# ' � ������� �� 2�%���/�� ���� �� ��%
�����# ����!��# ��& �K�=&
3���# �& �& ,155:-& .��� ��*�� ��!�� � �!� ��)� ������� �������M#
6������ �� �������� $�������� ��� *����& 38,4-E :54K:14&
1�
��
(βT)
∼f(
x)
=N
(μ,σ
2)
βT
∼g
1(x
)β
T∼
g2(x
)β
T∼
g3(x
)
L�
��� ���!
��� !�"�
��!#��$%
��!#��!"
& ���
' ������
� �
& ���
' ������
� �
& ���
' ������
� �
& ���
' ������
� �
βC
� ��$
� (
��)��
� ��$
� !
�!)�%
� ��$
� (
��)�$
� ��$
� (
����"�
μ(β
T)
�!�$!
� $
��#�)
�!�"!
� #
��#�$
���!$
� �
�)#�"
���(#
� �
�"!�!)
σ(β
T)
(���
� $
� �#
(�$
� �
�#�)
(�!"
� !
$(�%
(�!#
� !
#��)
δ1
�(�
� �
���
� � %
� $
�(�$!
� � !
� )
� �("
δ2
(�!
�!$
��%#
(�!"
��!
�� %
δ3
� �(!
�(�
� �"!
*��'+,--.�/
� ��)
�!�(�
$!�)$
�#�$#
01�2���
!�%#
)(�$
)!� #
01�2��� (
%)�%�
%"��
01�2��� !
�$#
'�)��<E'���!���!����������)����$�� ����� �������
11
β∼
f(x)
=N
(μ,σ
2)
β∼
g1(x
)β
∼g
2(x
)β
∼g
3(x
)
L�
��%�!� �
��%� � (
��%!)�)�
��%!%�%"
& �
' ������
t� �
& �
' ������
t� �
& �
' ������
t� �
& �
' ������
t� �
λ
(�)
�(
���#
(�)
�(
���#
(�)
�(
���$
(�)
�(
���$
μ
�!�$
�(
�!)�$
�(�!
��
�!�"
�!
�%
�!
�(�
�#
�(�)
σ
�!�
�(
�!$�%
�!�!
�!
�((��
�!�#
��
�"��
�!�%
��
�#��
δ1
��
�(
���
�#
�(
$�
��
�(
!�%
δ2
�!
�(
(�)
� �(
�(
� �#
δ3
� �(
�(
�(�%
*��'
!#�$#
!%� )
!%�##
!%�%$
0-1
�� #
#��!
)�$
0-1(
!��#
����
0-1!
!� )
'�)��=E'���!�����������)����$�� ����� �������
14