71 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN
RESULTAN DUA POLINOMIAL
Oleh:
R. Rosnawati
Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
ABSTRACT
Let F be a field, f and g in F[x], with degre f is n and degre g is m.
Computing resultant two polynomials with Hankel matrics give a size of
matrics less than Sylvester method, that is maximum n or m.
Keyword : resultan, Hankel matrics, Sylvester method
Pendahuluan
Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari seperti kisi kerja dapat disusun
dalam bentuk model matematika yang pada akhirnya akan menghasilkan
persamaan matriks
CXBAX (1)
dengan matriks A berukuran mm dan matriks B berukuran nn atas field F
(Ma, E.C., 1966 : 490). Pentingnya penyelesaiaan persamaan (1) menimbulkan
motivasi bagi para peneliti untuk mencari metode penyelesaiannya.
Apabila kedua ruas pada persamaan (1) dikalikan dengan )( AIadj dan
dengan )( BIadj , akan diperoleh :
1n
0j
j
j
1m
0i
i
i
1m
0j
j
j
in
0i
i
1n
oj
j
j
m
0i
i
i BCAXAbBaX (2)
dengan ia adalah koefisien-koefisien dari polinomial AI , jb adalah
koefisien-koefisien dari polinomial BI , iA adalah koefisien-koefisien dari
matriks polinomial )( AIadj , jB adalah koefisien-koefisien dari matriks
72 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
polinomial )( BIadj . Selanjutnya dengan menyamakan koefisien-koefisien i
ruas kanan dan ruas kiri dari persamaan (2) diperoleh:
r
k
kkirkjr
r
j
j
r
i
iri CBACXAbBaX000
(3)
untuk 1,,1,0 nmr . Persamaan (3) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
partisi sebagai berikut :
0
,
2
1
0
1
0
1
1
0
nm
m
nm
C
C
C
XA
XA
XB
XB
XB
IBIAIM
(4)
dengan M matriks Sylvester (Hartwig, 1972:104-110).
Matriks Sylvester, M, adalah matriks bujursangkar yang mempunyai ordo
jumlah dari derajat polinomial AI dan polinomial BI dengan elemen-
elemennya berasal dari koefisien-koefisien polinomial AI dan polinomial
BI . Agar persamaan (1) dapat diselesaikan dengan bantuan matriks Sylvester,
determinan matriks Sylvester haruslah tidak nol. Determinan dari matriks Sylvester
ini dikenal dengan resultan dari polinomial AI dan polinomial BI .
Berikut ini akan dibahas mengenai pengertian resultan dua polinomial serta ide dasar pengertian resultan dua polinomial. Definisi resultan pertamakali diberikan
oleh Sylvester yang dikenal dengan metode Sylvester sebagai berikut :
Definisi 1 (Van der Waerden, 1953 : 84)
Misalkan F adalah suatu field, f dan g adalah dua polinomial dalam ][xF
yang berturut-turut berderajat n dan m; dengan 1mn .
0b ,bxaxaxb)x(g
0a,axaxaxa)x(f
m0
2m
2m
1m
1m
m
m
n0
2n
2n
1n
1n
n
n
(5)
Resultan f dan g didefinisikan sebagai berikut :
73 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
m1m210
32
m10
m1m210
n210
321
0
nn10
n210
bbbbb000
0bb
bbb0
00bbbbb
aaaa000
aaa
a00
0aaaa0
000aaaa
det)g,f(sRe
matriks yang berukuran (n+m) x (n+m) di atas disebut dengan matriks Sylvester.
Ide dasar pengertian resultan dua polinomial adalah sebagai berikut :
Misalkan F adalah field, f dan g seperti dalam (5), akan diselidiki syarat
perlu dan cukup agar dua polinomial tersebut mempunyai pembagi yang tidak konstan.
Misalkan f dan g seperti dalam (5), terdapat pembagi dari f dan g jika dan
hanya jika terdapat )(xh dan )(xk di dalam ][xF sehingga :
)()()()( xgxkxfxh (6)
dengan derajat 1)( nxk ; derajat 1)( mxh
Misalkan:
01
2m
2m
1m
1m ccxcxc)x(h
01
2n
2n
1n
1n ddxdxd)x(k
Persamaan (6) dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan linear berikut :
0000
3122131221
211211
11
dbac
bdbdbdacacac
bdbdacac
bdac
mnmnmnnmnmnm
mnmnnmnm
mnnm
(7)
74 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
yang terdiri atas n+m persamaan linear dengan variabel-variabel ci dan dj,
1,,2,1,0 mi , 1,,2,1,0 nj . Polinomial f dan g memiliki pembagi jika
dan hanya jika sistem (7) memiliki penyelesaian yang tidak nol.
Apabila sistem (7) disusun dalam bentuk matriks maka diperoleh :
0
0
0
0
0
0
0000
00
00
00
0000
0
2
1
0
2
1
00
2020
110110
1212
11
d
d
d
c
c
c
ba
bbaa
bbbaaa
bbaa
bbaa
ba
n
n
m
m
mn
mn
mmnn
mmnn
mn
(8)
Menunjukkan bahwa sistem persamaan (8) mempunyai penyelesaian non-trivial
ekuivalen dengan menyatakan determinan matriks bujur sangkar dalam persamaan
(8) adalah nol.
Selanjutnya determinan dari matriks bujursangkar pada persamaan (8) disebut
dengan Resultan dari f dan g, ditulis dengan ),(Re gfs . Menurut Van der
Waerden (1953:83-85), Sylvester mendefinisikan ),(Re gfs dengan mengubah
matriks bujursangkar pada persamaan (8) melalui operasi baris elementer dan
operasi transpose. Dari definisi ),(Re gfs , yang diberikan Sylvester, ukuran
matriks yang berkaitan dengan ),(Re gfs adalah mnmn , sehingga
dalam perhitungan ),(Re gfs sangatlah tidak menyenangkan. Begitu pula apabila
dihitung dengan bantuan komputer, tidak efisien.
Dengan bantuan matriks Hankel ukuran matriks yang digunakan untuk
menghitung resultan dua polinomial menjadi lebih kecil, yaitu mak(n,m) x
mak(n,m).
Dari Definisi 1 dan mengingat koefisien dari polinomial dapat dihubungkan
dengan elemen-elemen dari matriks )(FM nxn , dapat ditunjukkan adanya relasi
)()( FMFP nxnn . Beberapa metode untuk menghitung resultan tersebut
menimbulkan relasi yang memenuhi definisi f-map (Orzech, 1983), yang akan
dijelaskan berikut ini.
75 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
f-MAP
Misalkan F adalah suatu field, Pn himpunan polinomial di dalam ][xF dengan
derajat kurang atau sama dengan n-1 dan Mn(F) adalah himpunan matriks berukuran nxn atas F.
Definisi 2 (Griffiths,1981)
Diberikan polinomial f berderajat n di dalam F[x]. Fungsi nn MP : disebut
f-map apabila memenuhi :
1. )1( matriks invertible
2. )1()()( cgcg FcPg n ,,
3. jika f dan g memiliki faktor non-trivial, maka )(g matriks tidak invertible
Berikut ini adalah beberapa sifat dari f-map yang akan digunakan pada
pembuktian selanjutnya.
Misalkan f(x) dan g(x) seperti dalam (5) dengan 1 nm dan f(x) memiliki
akar-akar yang berbeda 1, 2, …, n, serta g(x) memiliki akar-akar yang
berbeda 1, 2 , …,m, yakni :
)x()x)(x(b)x(g
)x()x)(x(a)x(f
m21m
n21n
(9)
Didefinisikan : )()()( 21 mfffF , )()()( 21 ngggG
Hubungan antara F dan G tertuang dalam lemma berikut:
Lemma 3
)( ji
n
m
ij
bG
GaFb m
n
n
m
nm )1(
Bukti :
Dari persamaan (9) diperoleh :
)())(()( 121111 mmbg
)())(()( 222122 mmbg
76 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
)())(()( 21 mnnnmn bg , sehingga diperoleh
)( ji
n
m
ij
bG
Secara analog untuk F, diperoleh :
GaFb m
n
n
m
nm )1(
Proposisi 4
Jika f memiliki n akar yang berbeda, maka untuk setiap f-map nn MP : ,
berlaku: Gg 1det)(det = Fa
bm
n
n
mmn11det
Bukti:
Karena merupakan f-map, berarti 1)1( ada. Jika
1 akar f, maka sebarang
polinomial g(x) – g( i) memiliki akar i. Apabila f(x) dan g(x) seperti dalam (5),
maka diperoleh :
i
m
im
m
im
m
m
m
mi bbbxbxbxbgxg 1
1
11
1
1)()(
.
Karena f(x) dan g(x) – g( i) memiliki akar non-trivial maka :
0)()(det igxg ,
0)1()())((det igxg ,
0)1()())(()1()1(det 1 igxg ,
0)())(()1()1(det 1
ni Igxg ,
0)())(()1(det)1(det 1
ni Igxg ,
Karena ,0)1(det diperoleh :
0)())(()1(det 1
ni Igxg , dan
0)(det ni IgW , dengan ))(()1( 1 xgW .
Dari persamaan di atas g( i) merupakan nilai eigen W.
77 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
Karena diasumsikan terdapat n akar f yang berbeda berarti terdapat g(
i), i= 1, 2, …, n, yang merupakan nilai eigen W, sehingga nilai determinan W adalah :
)()()()det( 21 ngggW .
Di sisi lain, ))(()1( 1 xgW , sehingga nilai determinan W adalah :
)()1(detdet 1 gW
= )(det)1(det 1 g , sehingga
1)1(det
det)(det
Wg
= )()()()1(detdet)1(det 21 ngggW
= G)1(det .
Dengan Lemma 3 diperoleh :
gdet = Fa
bm
n
n
mmn11det
Kaitan antara akar-akar polinomial dengan resultan tertuang dalam teorema
berikut, dimana pembuktian secara lengkap terdapat dalam Prasolov (1994:188-
189).
Teorema 5
Diberikan polinomial f dan g seperti pada (9), yang memiliki akar-akar
berturut-turut i dan j, maka Res(f,g) = j
n
mi
m
n fbga
Matriks Hankel
Pada bagian ini akan dibahas mengenai pengertian matriks Hankel dan teorema
yang berkenaan dengan matriks Hankel, yang akan digunakan pada pembuktian
selanjutnya, serta kaitan antara matriks Hankel dengan f-map
78 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
Definisi 6
Misalkan ,,,, 3210 ssss , barisan bilangan. Matriks
432
321
210
sss
sss
sss
yang berkoresponden dengan Hankel form disebut matriks Hankel
Teorema 7
Untuk setiap sq, q=r, r+1, r+2, … terdapat 1, 2 , …, r, sehingga
r
g
gqgq ss1
jika dan hanya jika matriks tak berhingga [H] 0kis
memiliki rank berhingga r.
Berikut akan dibahas hubungan antara matriks Hankel dengan fungsi rasional.
Misalkan F adalah suatu field, f dan g adalah dua polinomial dalam ][xF
yang berturut-turut berderajat n dan m; dengan m<n, dan 1mn .
0
2
2
1
1
0
2
2
1
1
)(
0,)(
bxaxaxbxg
aaxaxaxaxfm
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
n
(10)
Diberikan )(
)()(
xf
xgxR . Apabila R(x) dinyatakan sebagai polinomial pangkat
negatif dalam x maka diperoleh :
3
2
2
10)(x
s
x
s
x
sxR .
Dengan mengalikan kedua sisi dengan f(x) diperoleh hubungan sebagai berikut
0
2
2
1
13
2
2
100
1
1 bxbxbx
s
x
s
x
saxaxa n
n
n
n
n
n
n
n
Dalam sistem persamaan dapat dinyatakan sebagai berikut :
79 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
09112211
302112
2011
10
bsasasasa
bsasasa
bsasa
bsa
nnnn
nnnn
nnn
nn
untuk setiap nq
001111 nqnqqnqn sasasasa
Lebih jauh untuk setiap nq
nqnqqq ssss 2211 , dengan n
ii
a
a
atau
r
g
gqgq ss1
Apabila barisan ,,,, 3210 ssss dibentuk matriks Hankel, maka berdasarkan
Teorema 1 matriks Hankel tak berhingga 0kisH memiliki rank berhingga
n yaitu :
[H] =
2211
1432
321
1210
nnnn
n
n
n
ssss
ssss
ssss
ssss
Diketahui f dan g seperti dalam (9)
3
2
2
10
)(
)(
x
s
x
s
x
s
xf
xg
Didefinisikan pemetaan nnf MP :(.) dengan definisi :
80 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
2211
1432
321
1210
)(
nnnn
n
n
n
f
ssss
ssss
ssss
ssss
g
Akan ditunjukkan f memenuhi definisi f-map sebagai berikut
Bukti :
1.
3
2
2
10
01
1
1
1
)(
1
x
r
x
r
x
r
axaxaxaxf n
n
n
n
*
0
0
00
1
2
1
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
f
01
1))1(det( 2
)1(
n
n
fa
nn
2.
)()(
)(
)(
)(
xf
c
xf
xg
xf
cxg
=
)(
1
)(
)(
xfc
xf
xg
=
3
2
2
10
3
2
2
10
x
r
x
r
x
rc
x
s
x
s
x
s
Jadi 1fff cgcg
3. 3
2
2
10
)(
)(
x
s
x
s
x
s
xf
xg
81 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
2211
1432
321
1210
)(
nnnn
n
n
n
f
ssss
ssss
ssss
ssss
g
Berdasarkan Teorema 1 rank gf adalah n
Diketahui f dan g memiliki akar my , akan ditunjukkan rank gf adalah
1 n
))(())(()( 121 mmm yxyxyxyxbxg
))(())(()( 121 mnn yxxxxxxxaxf
))(())((
))(())((
)(
)(
121
121
mnn
mmm
yxxxxxxxa
yxyxyxyxb
xf
xg
diperoleh :
)())((
)())((
)(
)(
121
121
nn
mm
xxxxxxa
yxyxyxb
xf
xg
Berdasar Teorema 1 rank gf adalah 1 n , yang berarti banyaknya baris
(kolom) yang bebas linier tidak lebih dari n-1, sehingga nilai gfdet
adalah 0. Dengan kata lain gf adalah matriks tidak invertible.
Resultan Dua Polinomial Dan Matriks Hankel
Matriks Hankel [H] adalah matriks representasi dari pemetaan gf yang
memenuhi definisi f-map. Dengan melihat definisi dan sifat dari f-map kita dapat memanfaatkan matriks Hankel ini untuk menghitung resultan dua polinomial.
Hubungan antara resultan dua polinomial dengan matriks Hankel tertuang dalam
proposisi berikut
Teorema 8 )(det1,Re 2
)1(
gagfs f
mn
n
nn
Bukti :
82 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
Karena gf merupakan f-map, berarti proposisi 4 berlaku, serta dengan
memanfaatkan Teorema 5 maka diperoleh :
Gg ff )1(det)(det
Ga
g
n
n
f
nn
11)(det 2
)1(
= m
n
n
n a
gfs
a
nn ),(Re11 2
)1(
= gfsa
mn
n
nn
,Re1
1 2
)1(
= ),(Re1 )(2
)1(
gfsa mn
n
nn
)(det1,Re 2
)1(
gagfs f
mn
n
nn
Contoh 1 : (Brown, 1996)
Diketahui F=R, 252)( 23 xxxxf dan 23)( 2 xxxg . Akan dicari
resultan polinomial f(x) dan g(x) sebagai berikut.
(a) Dengan menggunakan definisi resultan atau metode Sylvester :
23100
02310
00231
21520
02152
det,Re gfs
0,Re gfs
(b) Dengan menggunakan metode matriks Hankel :
5
4
4
3
3
2
2
10
23
2
252
23
x
s
x
s
x
s
x
s
x
s
xxx
xx
xf
xg
83 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
0252
0252
252
352
12
1234
0123
012
01
0
ssss
ssss
sss
ss
s
Diperoleh :
32
1
16
1
8
1
4
1
2
143210
sssss
321
161
81
161
81
41
81
41
21
Hgf
0det H
HHgfs mnnn
det2det21),(Re 52
)1(
= 0025
Contoh 2 :
Diketahui F=R, 4323)( 234 xxxxxf dan 122)( 23 xxxxg .
Akan dicari resultan polinomial f(x) dan g(x) sebagai berikut :
(a) Dengan menggunakan definisi resultan atau metode Sylvester :
1221000
0122100
0012210
0001221
4323100
0432310
0043231
det,Re gfs = -13
(b) Dengan menggunakan metode matriks Hankel
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
10
234
23
86765
3452
x
s
x
s
x
s
x
s
x
s
x
s
x
s
xxxx
xxx
xf
xg
Diperoleh :
84 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
04323
04323
04323
1323
223
23
1
23456
12345
01234
0123
012
01
0
sssss
sssss
sssss
ssss
sss
ss
s
s0=1 s1=1 s2=3 s3=3 s4=4 s5=1 s6=-2
Diperoleh matriks :
2143
1433
4331
3311
H
13det H
HHgfs mnnn
detdet11),(Re 2
)1(
= -13
Kesimpulan
Ukuran matrik yang digunakan dalam perhitungan resultan dua polinomial dengan menggunakan matriks Hankel lebih kecil dibanding dengan metode
Sylvester yaitu maksimum dari derajat polinomial f dan g, sehingga akan
mempermudah dalam proses perhitungannya. Apabila [H] adalah matriks Hankel
yang berkenaan dengan fungsi rasional f
g maka
Hdeta1)g,f(sRe mn
n2
)1n(n
.
85 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002
Daftar Pustaka
Brown, W.C. (1993) Matrices Over Commutative Rings, Marcel Dekker Inc, New
York
Griffiths, H.B. (1981) Cayley’s Version of Resultan of Two Polynomials, Amer.
Math. Monthy, Vol 88, pp 328-338.
Hartwig, R.E. (1972) The Resultans and The Solutions AX-XB = C, SIAM. J. Appl.
Math, 22:538-544
Ma, E.C. (1966) A finite Series Solutions of Matrix Equation AX_XB = C. SIAM.
J. Appl. Math, 28 : 490-495.
Orzech, G. (1994) Several Version of Resultant of Two Polynomial, Linear and Multilinear Algebra, Vol 16, pp 275-282.
Prasolov, V.V. (1994) Problem and Theorems in Linear Algebra. American
Mathematical Society, Provindence, R.I.
Van der Waerden, B.L. (1953) Modern Algebra, Vol 1, Prederikck Ungar, New York.