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2
Atividade 1
Classifique as afirmações seguintes em verdadeiras (V) ou falsas(F):
a) Todo número primo é ímpar.
b) Se dois números inteiros têm o mesmo módulo, então elessão iguais.
c) O quadrado de um número natural não nulo é sempre maiordo que o próprio número.
d) O cubo de um número inteiro não nulo é sempre maior que oquadrado desse número.
e) Se a Z e b Z e a > b, então a2 > b2.
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3
Conjuntos numéricos
▪ Conjunto dos Números Racionais
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4
Conjuntos NuméricosConjunto dos Números Racionais
O conjunto Z é fechado em relação às operações de
adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não
acontece em relação à divisão.
Note que, embora (- 12) : (+ 4) = - 3 Z, não existe
número inteiro x para o qual se tenha x = (+ 4) : (- 12).
Por esse motivo, fez-se necessária uma ampliação do
conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números
racionais Q.
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5
Conjuntos NuméricosConjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, identificado por
Q, é inicialmente descrito como o conjunto dos
quocientes entre dois números inteiros, em que o
divisor é diferente de zero.
Por exemplo, são números racionais:
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6
Conjuntos NuméricosConjunto dos Números Racionais
Podemos escrever, de modo mais simplificado:
Dessa forma, podemos definir o conjunto Q como o
conjunto das frações𝒑
𝒒; assim, um número é racional
quando pode ser escrito como uma fração𝑝
𝑞, com p e q
inteiros e q 0.
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7
Conjuntos NuméricosConjunto dos Números Racionais
Se q = 1, temos𝑝
𝑞=
𝑝
1= p Z, o que mostra que Z é
subconjunto de Q. Assim, podemos construir o diagrama:
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8
Conjuntos NuméricosConjunto dos Números Racionais
No conjunto Q destacamos os seguintes
subconjuntos:
▪ Q*: conjunto dos números racionais não nulos;
▪ Q+: conjunto dos números racionais não negativos;
▪ Q*+ : conjunto dos números racionais positivos;
▪ Q–: conjunto dos números racionais não positivos;
▪ Q*– : conjunto dos números racionais negativos.
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9
Conjuntos NuméricosConjunto dos Números Racionais
O conjunto Q é fechado para as operações de
adição, multiplicação e subtração. Como não se define
“divisão por zero”, o conjunto Q não é fechado em
relação à divisão.
No entanto, o conjunto Q* é fechado em relação à
divisão.
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10
Conjuntos NuméricosRepresentação decimal das frações
Tomemos um número racional p/q, tal que p não seja
múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a
divisão do numerador pelo denominador.
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
▪ 1° Caso) O quociente obtido tem, após a vírgula, uma
quantidade finita de algarismos e o resto da divisão é zero.
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11
Conjuntos NuméricosRepresentação decimal das frações
▪ Quando isso ocorrer, os decimais obtidos são chamados
decimais exatos.
▪ Observe que acrescentar uma quantidade finita ou infinita
de algarismos iguais a zero, à direita do último algarismo
diferente de zero, não altera o quociente obtido. Veja, no
exemplo, algumas representações possíveis para o número
racional 2/5:
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12
Conjuntos NuméricosRepresentação decimal das frações
▪ Inversamente, a partir do decimal exato 0,4, podemos
identificá-lo com a fração4
10, que, simplificada, se reduz a
2
5
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13
Conjuntos NuméricosRepresentação decimal das frações
▪ 2° Caso) O quociente obtido tem, após a vírgula, uma
infinidade de algarismos, nem todos iguais a zero, e não é
possível obter resto igual a zero na divisão.
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14
Conjuntos NuméricosRepresentação decimal das frações
▪ Observe que, nesses casos, ocorre uma
repetição de alguns algarismos.
▪ Os números decimais obtidos são chamados
decimais periódicos ou dízimas periódicas; em
cada um deles, os algarismos que se repetem
formam a parte periódica, ou período da
dízima.
▪ Para não escrever repetidamente os algarismos
de uma dízima, colocamos um traço horizontal
sobre seu primeiro período.
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15
Conjuntos NuméricosRepresentação decimal das frações
▪ Se uma fração é equivalente a uma dízima
periódica, ela é chamada geratriz dessa dízima.
Nos exemplos anteriores, 2/3 é a fração
geratriz da dízima 0,66..., assim como 11/9 é a
fração geratriz da dízima 1,222..., etc.
▪ Para uma fração (irredutível) gerar uma dízima,
é necessário que, na decomposição do
denominador em fatores primos, haja algum
fator diferente de 2 e de 5.
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Conjuntos NuméricosRepresentação fracionária das dízimas periódicas
▪ Vamos apresentar alguns exemplos de transformação de dízimas periódicas em
frações.
EXEMPLO 1
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Conjuntos NuméricosRepresentação fracionária das dízimas periódicas
EXEMPLO 2
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Conjuntos NuméricosRepresentação fracionária das dízimas periódicas
EXEMPLO 3
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Conjuntos NuméricosRepresentação geométrica do conjunto dos números racionais
Daremos exemplos de números racionais e os localizaremos
na reta numerada, que já contém alguns números inteiros
assinalados:
Podemos notar que entre dois números inteiros consecutivos
existem infinitos números racionais e, também, que entre dois
números racionais quaisquer há infinitos números racionais.
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20
Conjuntos NuméricosRepresentação geométrica do conjunto dos números racionais
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21
Conjuntos NuméricosOposto, módulo e inverso de um número racional
Os conceitos de oposto e módulo, já estudados para os
números inteiros, também são válidos para um número racional
qualquer.
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Conjuntos NuméricosOposto, módulo e inverso de um número racional
▪ Dois números racionais são ditos inversos um do outro se o
produto deles é igual a 1.
▪ 5/6 e 6/5 são inversos um do outro;
▪ 2 é o inverso de 1/2
▪ 5/3 é o inverso de 3/5.
▪ Observe que dois números inversos entre si têm
necessariamente mesmo sinal.
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Atividade 1
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24
A1
A2
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25
Conjuntos Numéricos
▪ Conjunto dos Números Irracionais
▪ Conjunto dos Números Reais
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Grande abraço Prof. Abraão