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onde Vo o volume molecular (9,2x10" m ) , Su a compliance no relaxada (1,43x10"" N
m^) e T a temperatura do pico (~950K). Como uma primeira aproximao, possvel se
estimar AA, a partir dos tamanhos atmicos dos tomos de Al e Ni (AA, = 0,072) e assim
obter-se:
A|-iioi ~ 'IS/S 1-1101 = 5,7x10"^ C .(V.3)
Como j mencionado, a relaxao mxima quando no plano (111) h u m tomo de Al
extra para cada quatro tomos. Como conseqncia, para u m desvio de 1% atm. da
estequiometna, a intensidade da relaxao para uma tenso de cisalhamento no plano (111)
ser:
A(,u)= dS /S OH) = 2,3x10 \-3 (V.4)
enquanto as intensidades de relaxao para outras tenses de cisalhamento, em outras
dkees , so menores:
A(ioi)= dS/S (101) = 1,25x10"
A(o,o)= I dS/S 1,0,0) = 0,4x10"'
.(V.5)
.(V.6)
[100]
foioi
(a)
(llDplantf
O O O O
O O ^ O ^ O p o [ H O ]
O - o - p ' o ma
o o 3 b 0 1 o o " * " ^ \ _ F e x t r a A l
O O O O o o o o o o \ _
[loT]
Figura V.4.- A estrutura cristana com a substituio de um tomo de Ni por um tomo de Al
extra; (a) num plano (010), a distoro elstica isotrpica e uma tenso de
cisalhamento aplicada nesse plano no resulta em relaxao anelstica; (b) num
plano (111), o tomo extra de Al cria um dipolo elstico que alinhado, no
desenho, segundo a direo[10-1].
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Os valores experimentalmente encontrados para as intensidades dos picos foram de
aproximadamente 6,5; 2 e 0,7x10'^, para cristais orientados segundo os eixos , e
, respectivamente.
Efetivamente, a amplitude de relaxao, mesmo sendo menor do que as obtidas
experimentalmente, em valores absolutos, mostra uma dependncia similar da orientao
cristalogrfica como nas experimentais. Isto mostra que os defeitos estruturais que esto
relaxando, esto nos planos tipo (111). Tais defeitos no podem ser discordncias, porque no
caso de relaxao de discordncias, o pico deveria ser semelhante a um pico de Debye e a
intensidade desse pico deveria depender fortemente da deformao plstica e da amphtude de
deformao. Alem do que, sabido que a elevadas temperaturas, ou seja, nas faixas de
temperaturas do pico-AI detectado, o sistema de escorregamento ativo o cbico primrio
{a [1-10] (001)} [(Pope, 1984) e (Baluc, 1990)]. Consequentemente, se fosse relaxao de
discordncias, resukaria em u m pico com mxima intensidade segundo a direo de
amostras e no em como aqui detectado.
O modelo aqui proposto baseia-se na idia de uma distoro elstica, devido a tomos
extras de Al, o que est de acordo, uma vez que a hga aqui utilizada apresenta composio
N74,3Al24,7Tai. N o entanto, ela no exphcaria o pico que aparece nas hgas binrias de
composio N76,6Al23,4. Toma-se ento, hnportante, assumir-se que os tomos de Ni podem
estar em excesso e substituir stios de tomos de Al. fcil ver que, neste caso, as distores
elsticas, devido a tomos extra de Ni so isotrpicas nos planos (111) e consequentemente, o
defeito criado no pode dar origem a relaxaes anelasticas. Dessa forma, o conceito de um
dipolo elstico, baseado em tomos extra de Al ou Ta, que substituem posies de Ni, parece
o mais razovel para se interpretar o pico-AI apresentado neste trabalho. Resultados obtidos
por outros pesquisadores (Chakib, 1993) no estudo de ligas N3AI, pelo mtodo de atrito
intemo, mostraram que, para hgas de composies prximas da estequiometria, ocorreu um
aumento da intensidade do pico de atrito interno (pico similar ao aqui apresentado) medida
que o teor de Al aumentava naquelas hgas. No presente caso, considerando-se a liga binria
somente, pode-se assumir que a concentrao atmica no deve ser uniforme ao longo de cada
espcime. Algumas partes dos espcimes podem estar enriquecidas por tomos de Al,
enquanto outras partes podem estar enriquecidas de tomos de Ni, e, assim, as partes
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enriquecidas por Al seriam responsveis pelo pico-Al.
Observa-se (Figuras IV.2.2 e IV.3.1) que a intensidade de relaxao aumenta com o
aumento de temperatura. Tal comportamento no obedece a relao clssica de Curie-Weiss,
que , gerabnente, satisfeita no caso de tenso induzindo relaxao. O aumento da amplitude
de relaxao observado pode ser interpretado de outra forma, como sendo devido a um
aumento da densidade dos defeitos que relaxam. Dessa forma, um aumento de temperatura
poderia levar a um aumento da desordem e, consequentemente, probabilidade de se ter
tomos de Al em sitios de tomos de Ni. De acordo com o modelo aqui proposto, a
intensidade do pico aumentaria dessa forma.
Observando-se os tempos de relaxao, pode-se observar que a temperatura do pico-
Al ligeiramente mais b a k a aps a amostra sofrer deformao plstica. Isso pode ser devido a
lacunas que foram criadas por deformao plstica e que podem ababcar o coeficiente de
difiiso. O fato da entalpia de ativao do pico ser prxima do coeficiente de difiiso do Ni em
N3AI no contraditria com o modelo aqui proposto , pois a reorientao de dipolos elsticos
Al-Al requer difiiso dos tomos de Ni adjacentes. Por exemplo, na Figura V.4.b, a
movimentao de tomos extra de Al da posio 1 para a posio 2 envolve difuso de tomos
de Ni que estavam inicialmente na posio 2.
Finalizando o presente item, pode-se dizer que o pico-Al est localizado numa faka de
temperatura ligeiramente acima do pico de anomalia de limite elstico. Assumindo-se que o
pico-Al esteja associado reordenao de dipolos elsticos, o mesmo deveria aparecer em
fakas de temperatura onde mecanismos de controle por difuso so importantes. Isto significa
que o fundo exponencial HTIFB est certamente ligado movimentao de discordncias,
controladas por difiiso, uma vez que processos de escalagem (climb) assistidos por difuso
foram detectados por outro pesquisador (Baluc, 1990). Se o pico se deve a reorientao de
dipolos em planos do tipo (111), toma-se lgico imaginar que esses dipolos possam interagir
com discordncias influenciando sua mobilidade. Por outro lado, as distores elsticas
induzidas por tomos de Al, em planos tipo (001) , so isotrpicas. Naqueles planos, a
interao de tais tomos de Al com discordncias deveria ser muito menor que nos planos tipo
(111). Este fato pode explicar porque a movimentao de discordncias por escorregamento
seria mais fcil em planos tipo (001) a altas temperaturas.
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V .4.- E s t u d o do M d u l o de C i s a l h a m e n t o
Os compostos intermethcos ordenados N3(A1,X) so materiais altamente
anisotrpicos (Pope, 1984). De acordo com a teoria geral de elasticidade, o mdulo de
cisalhamento ( G ) para cristais cbicos definido como sendo o coeficiente elstico C44
(G=C44) e pelos clculos da teoria de shdos isotrpicos o fator de anisotropia A, para cristais
cbicos, definido como A=2C^J(C^^-C^2)^ ^ ig"^^ ^ unidade ( A = l ) para materiais
completamente isotrpicos.
Os valores resultantes de G para amostras paralelepipedais, tendo eixo longitudinal
ao longo da direo so apresentados na Figura IV.4 .1 . Aceita-se que nos materiais
isotrpicos o mdulo de cisalhamento seja o mesmo para todas as direes cristalogrficas,
mas tal afirmativa vUda apenas para materiais policristalinos, com gros pequenos, uma vez
que os metais monocristaUnos, em geral, so materiais anisotrpicos. Pode-se observar na
Figura IV.4 .1 , que as amostras apresentam diferentes mdulos de cisalhamento de acordo com
as diferentes orientaes das amostras e que apresentam crescentes valores partido-se do ebco
de amostra ao ebco . Uma gama de valores de G, variando conforme a orientao
cristalogrfica seria intuhivamente esperado, devido alta anisotropia que os compostos
intermethcos ordenados, do tipo N3AI, apresentam.
O menor mdulo de cisalhamento foi medido nas amostras tendo ebco segundo a
direo cristalogrfica . Isto pode ser exphcado pelo fato de que os testes de toro
aphcam urna tenso de cisalhamento mxima, para estas amostras, nos planos tipo (111) que
so os planos do sistema de escorregamento ativo para temperaturas ababco do pico de
anomaha de Hmite elstico. Por outro lado, o maior mdulo de cisalhamento foi medido para
amostras tendo orientao cristalogrfica ao longo da dh-eo e tambm uma tenso de
cisalhamento mxhna aphcada em um plano do tipo (001). Esta afirmativa decorrncia da
observao direta dos fatores de Schmid, mostrados no captulo III para cada tipo de
orientao das amostras aqui usadas. Desta forma, o menor e o maior valor de mdulo de
cisalhamento, medidos para os planos (111) e (001), respectivamente, esto de acordo com as
observaes da hteratura sobre os dois sistemas de escorregamento e podem explicar porque
as superdiscordncias se movem mais facihnente nos planos tipo (111). Quando o movimento
destas superdiscordncias se t o m a mais difcil nos planos tipo (111), a tenso necessria para o
movimento destas discordncias, aumenta o suficiente para ativar um segundo sistema de
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escorregamento num plano tipo (001). Observa-se aqui que a direo de escorregamento
[110], pertence a ambos os planos citados. Pode-se ainda observar que o mdulo de
cisalhamento para amostras com orientao de eixo segundo dmiinui mais rapidamente
que para amostras tendo eixo com orientao . Este fato contribui para uma mudana do
sistema de escorregamento ativo quando uma amostra plasticamente deformada.
De acordo com as chamadas ''regras de seleo" (Nowick e Berry, 1972:194), os
cristais cbicos apresentam duas compliances que sofrem relaxao que so S44 e (S11-S12).
Usando-se os valores de mdulo de cisalhamento mostrados na Figura IV.4 .1 , pode-se
observar trs diferentes, mas inconsistentes relaes a partir da equao II.8, j apresentada no
captulo 11. Atravs das trs expresses dos cossenos diretores (yi, y2, ya) entre o ebco das
amostras e os trs ebcos cristahnos padres (equao 11.7) em conjunto com a equao 11.8
para uma barra sujeita a vibraes sob toro, e considerando-se somente as direes de maior
simetria, ou seja e , pode-se determinar os valores de S44 e ( S n - S n ) . A equao
acima mencionada resuha nas expresses numricas V.3(a, b, c), onde as expresses (b) e (c)
podem ser pioladas em lino da temperatura como mostrado na Figura V.5.
G-' = S44 + 4 ( S -S,2 -I/2.S44) r (11.7) r = (Y.Y2)' + (Y2Y3)' + (Y3Y.)' (II.8)
r = 0 r , , > = l / 3 (V.7a)
g'' = S44 = (C44)"' (V.7b)
g"' = 1/3 [S44 + 4 (S - S n ) ] (V.7c)
O coeciente elstico C44 foi interpretado por Zener (Zener, 1955:35) como sendo a
medida da resistncia deformao quando uma tenso de cisalhamento apcada a uma
direo [010] de um plano (100). Os coeficientes Cu e C12 no tm a mesma mterpretao
fsica simples, como C44, requerendo assim algumas combinaes lineares. Uma destas
combmaes lineares a expresso (Cii-2Ci2)/3 que tem como interpretao fsica o mdulo
de compressibidade que mede a resistncia deformao hidrosttica. Outra combinao
near a expresso (Cii-Ci2)/2, que significa a resistncia deformao por cisalhamento na
direo [110], no plano (110).
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(0
UJ
eu
c G
o o
L
o c
200
Figura V.5.- Valores calculados das constantes elsticas C u , C12 e C44, bem como valores
das constantes Ks, e do fator de anisotropia A, todos em funo da
temperatura.
Pode-se ver na Figura V.5 que o coeficiente C44 diminui mais rapidamente do que (Ci 1-
C12) . Como conseqncia, o fator de anisotropia (A) aumenta em lino da temperatura,
sugerindo que a mudana no sistema de escorregamento ativo ocorra devido ao aumento da
diferena de propriedades mecnicas para diferentes orientaes cristalogrficas. Os valores
dos fatores de anisotropia (A) tm sido relatados, temperatura ambiente, entre 3,02 a 3,30.
Mazot (Mazot, 1992) estudou as constantes elsticas em uma liga monocristalina
base de nquel (AMI) , usando diferentes orientaes cristalogrficas. Foram utilizadas
reqncias de vibrao naturais em modo longitudinal e modo de vibrao por flexo, em uma
gama de temperatura variando de (-80C) a (+1100C). Os valores de mdulo de Young (E),
coeficiente de Poisson (v), e, consequentemente, os valores do mdulo de cisalhamento (G) e
compliance (S), para as orientaes , e , confirmaram os elevados valores
de anisotropia do material, como mostrado na Tabela V. 1.
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Tabela V. 1.- Resultados Experimentais de E e V, como tambm valores de G
orientao E (GPa) V G(GPa)
129,50,05 0,408 124,8
318,10,05 0,274 58,2
226,70,5 0,5* 87,4*
*- valor mdio calculado
U m coeficiente de anisotropia (A) foi definido pelos mesmos autores como:
/ l = 2 ( S - S , , ) - S , , ( M P a ' )
Foram tambm observadas pelos mesmos, experimentalmente, leis de variao
parablicas do mdulo de cisalhamento e compHances em fimo da temperatura. Foram
tambm calculados os valores de compUances, temperatura ambiente, como sendo : Sn =
7,72x10"', S ,2 - -3 ,15x l0" \ S44 = 8,01x10"' eA= 13,73x10"', ou sejav4=2,71.
Os valores do fator de anisotropia relatados por aqueles pesquisadores apresentam
comportamento shnilar aos resuhados aqui apresentados, sendo que os valores de A,
determinados neste trabalho, vo de 2,85, temperatura ambiente, a 3,35 a 1250K. A
diferena entre os valores aqui apresentados e aqueles da hteratura pode ser atribuda
diferena de composio qumica das ligas estudadas, bem como diferena entre mtodos de
medida.
Como resuhados secundrios os mesmos autores obtiveram espectros AI para cada
uma destas orientaes. No entanto, os mesmos no comentam qualquer coisa sobre suas
possveis origens. Nenhum pico foi achado para as orientaes e , mas dois picos
foram observados para a orientao : um aproximadamente 200C ( -473K) , e outro a
aproximadamente 680C (~953K) que, por coincidncia, aparece na mesma fabca de
temperatura que o pico de atrito intemo detectado no presente trabalho.
Levando-se em considerao a airmao geral de que o concerto de uma elasticidade
isotrpica de um cristal uma idealizao e que os cristais reais so anisotrpicos. Reuss e
Voigt (Hirth. 1968:417) defmem um fator de anisotropia H. no como uma razo mas como
uma diferena entre a constante elstica para cristais cbicos, que zero para materiais
isotrpicos. Os valores de mdulo de cisalhamento Grv , podem ser considerados como valores
anisotrpicos que foram corrigidos pelo fator de anisotropia H.
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H = 2 C 4 4 + ( C - C , 2 ) Grv=C44-(H/5)
Tem sido considerado [(Shetty, 1981) e (Yoo, 1986)] que o principal efeito de
anisotropia na energia de discordncias dado pelos fatores de energia K , e Ke, mostrados
pelas equaes 11.5 e 11.6, do captulo 11. Observa-se que os fatores K , e Kg, mostrados
ababco, substituem respectivamente o parmetro isotrpico ( G ) para os segmentos de
discordncia em hhce e G / ( l - n ) para as discordncias em cunha. O fator K , substhui o
tradicional mdulo de cisalhamento e assume que a anomalia de hmite elstico um
mecanismo relacionado a discordncias e que o limite de escoamento dos mtermethcos
ordenados controlado por discordncias em hhce. Os valores aqui calculados de Ks
concordam com os valores apresentados na hteratura. Os resuhados apresentados por Yoo
mostram o fator Ks, para compostos N3AI, variando de 70 GPa, temperatura ambiente, a
50GPa a 1150K. Os valores de Ks calculados neste trabalho, so mostrados na Figura V.4 e
estes variam entre de 64GPa temperatura ambiente, a 50GPa a 1200K.
Finazando, a dvida sobre qual dos mtodos de clculo fornece o verdadeiro mdulo
de cisalhamento pode ser encarada de duas maneiras. Enfocando-se a questo do ponto de
vista macroscpico, sem se ter o menor conhecimento da existncia de defehos atmicos de
qualquer forma, pode-se dizer que o mdulo de cisalhamento de materiais anisotrpicos, como
o caso aqui estudado, varia segundo a orientao cristalogrfica, como no caso das medidas
apresentadas na Figura IV.4 .1 . N o entanto, levando-se em considerao a existncia de
defeitos atmicos, como discordncias, e partindo-se da premissa de que o mdulo de
cisalhamento de um dado material a tenso necessria para se movhnentar discordncias
nesse material, o mdulo de cisalhamento pode ser considerado como sendo um dos ou uma
combinao dos fatores de energia K , ou Ke.
;rc.f
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CONCLUSES Os espectros de atrito intemo obtidos para os dois espcimes, NisAlTa e N3Al-binrio,
so compostos de um pico de relaxao que divide a faixa de temperatura estudada em dois
regimes. N o regime a baixas temperaturas ( T < 8 0 0 K ) o atrito intemo mede a mobilidade de
discordncis, que diminue rapidamente entre 4 5 0 e 6 0 0 K , o que est de acordo com a faixa
onde a anomalia de limite elstico tem sido detectada. N a fabca de temperatura acima do pico
de relaxao ( T > 1 1 0 0 K ) , um aumento exponencial do atrito intemo observado e isso reflete
um aumento na mobilidade de discordancias a altas temperaturas.
O pico de relaxao um pico muito prximo de um pico de Debye e termicamente
ativado. Sua entalpia de ativao muito prxima da energia de migrao do Ni em N3AI. A
interpretao mais razovel para este pico implica em fenmeno de relaxao atmica. Este
pico provavelmente devido reorientao, induzida por tenso aplicada, de dipolos elsticos
nos planos tipo ( 1 1 1 ) . A interao destes dipolos com discordncias pode ter significativa
importncia na diferena de mobilidade que tm as discordncias nos planos octadricos ( 1 1 1 )
quando comparados com os planos primrios ( 0 0 1 ) .
O fator de energia Ks fomece imia aproximao do mdulo de cisalhamento de
intermethcos ordenados N3AI, muito vlida quando se quer tratar de mecanismos de
movimentao de discordncias e outros mecanismos relativos a discordncias, mas valores
distmtos do mdulo de cisalhamento, para diferentes orientaes cristalogrficas, so mais
significativos quando se trata de materiais ahamente anisotrpicos e se tem em vista uma
caracterizao mais mecnica e macroscpica.
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A N E X O - A
Tenso Crtica Resolvida em Toro ^
Em testes de monocristais, a tenso de cisalhamento aphcada deve ser resolvida,
ou seja, apenas a tenso de cisalhamento aplicada no plano de escorregamento e na direo
de escorregamento, produz uma fora de escorregamento em uma discordncia.
Os clculos foram desenvolvidos considerando-se um cilindro sob esforos de
toro pura, como apresentado na Fig. A . I . A escolha dos eixos indicada nesta figura
onde x l , perpendicular ao eixo do espcimen x3 e normal ao plano de escorregamento
x 3 ' . A direo de escorregamento x l 6 o ngulo entre x3 e x 3 ' e k o ngulo entre x l e
x l ' .
Figura A. 1.- Coordenadas para um monocristal cilindrico sob toro.
N o presente clculo a deformao helicoidal foi considerada desprezvel e a tenso
de cisalhamento crtica resolvida para esta situao dada pela projeo das duas tenses
de cisalhamento e 023 no plano de escorregamento e na direo de escorregamento x l '.
CT13' = CJo ( m i senv|/ + aiz cosv|;) = (7 m( f )
onde ao= (2 P r/ p R ' ) = (015 + 02.^"^ a tenso de cisalhamento total aplicada e \|; o
ngulo de toro.
Os fatores mi e m2 podem ser obdos da Fig.A-2 abaixo. Escolhendo-se uma
projeo estereogrfica padro normal ao plano de escorregamento e com a direo de
escorregamento no polo norte, os dois fatores podem ser obtidos da projeo
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estereogrfica, sobre a projeo do eixo do cilindro. Os valores absolutos mximos e
mnimos de m(*F) so 1 quando 9 =0, ou seja, o plano de escorregamento normal ao eixo
da amostra ensaiada.
m 2
Figura A - 2 . - Plotagem estereogrfica dos fatores de tenso de cisalhamento resolvida mi e
m2.
(1) -J.P.Hirth. J.Lothe: "Theory of Dislocations", ed. McGraw-Hill Inc.. USA. p.272-74. (1968).
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APENDICE-B
D E F O R M A O P O R T O R O
Introduo
B. 1.- Barras Circulares em Regimes Elsticos
B. 2. - Mtodo de Saint- Venant
B.3.- Resposta Elstica Linear e Resposta Plstica de Slidos Perfeitamente Elsticos
R4.- Analogia da Membrana Elstica de Prandtl
B. 5. - Barras de Seces No Circulares
B. 5.1.-Barras Finas de Seces No Circulares
B. 6. - Deformaes No Homogneas ao Longo de Barras
Referncias
Introduo
A compreenso da deformao por toro de fundamental importncia para o
presente estudo, mesmo no sendo este o objetivo deste trabalho, uma vez que tanto as pr-
deformaes plsticas quanto nas medidas de atrito intemo em regime elstico, ocorrem sob
toro.
O tpico ''toro de barras" no que tange ao seu tratamento matemtico pode ser
encontrado em vrias publicaes relativas ao tema Resitencia dos Materiais, e tem sido
apresentadas em diferentes niveis de complexidade. Em geral, o problema de toro resolvido
por meio de equaes da teoria elstica de materiais isotrpicos. As barras mais usuais em
estudo sob esforo de toro so aqueles com seco circular homognea.
As barras de seces no-circulares, tais como as de seco retangular usadas no
presente estudo, exibem algumas complicaes adicionais. Dentre os mtodos mais conhecidos
usados pra resolver o problema de toro em seces no circulares esto as solues pelo
mtodo de sries e pelo mtodo semi-inverso de Saint-Venant, apresentado em 1855, em
conjunto com a analogia da membrana elstica de Prandtl (1903).
B . I - BARRAS DE SECO TRANSVERSAL CIRCULAR [(Dieter, 1988.18) e (Boresi, 1989)]
Quando um cilindro slido com rea de seo transversal circular A e comprimento L
(Figura B I ) est sujeito a um momento torsor, representado por um vetor T, aphcado parte
no engastada da barra, um torque de equilbrio -T age na extremidade engastada, sendo
ambos ao longo do eixo-z central, de modo que uma linha geratriz do cilindro (AB) tende a se
deformar segundo uma curva helicoidal (AB') .
Para pequenos deslocamentos, o torque T causa uma rotao em cada seo transversal
de um corpo rgido em t o m o do eixo-z. Admite-se que uma quantidade de rotao P de uma
determinada seo depende hnearmente (P = 0 z) de sua distncia do plano z =0.
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- T A
Posio indeformada do gerador
T
^ ' 0 -Posio deformada do gerador
B-
i-Tenso Linear Tenses nSo lineares
Deformao Linear
T
125
Regio Elstica
Regio Inelstica
Figura B.I.- Barra com seo transversal circular fixa em uma das extremidades (z =0) e
sujeita a um torque T em sua extremidade livre (z =L); (a) seo longitudinal,
(b) seo transversal, (c) seo transversal quando submetida a deformao
plstica.
Uma vez que as sees transversais permanecem planas, a componente de
deslocamento w (warp), paralela ao z-ebco, zero. As componentes de deslocamento u e v
relacionadas (x,y), assumindo w =0, so dependentes da rotao P de cada seo transversal,
como mostrado nas equaes (B. l . a , b).
u = -yP, v = x p (B . l . a )
u = -yze, v = xze (B. l .b)
Considerando-se a teoria de tenso-deformao da elasticidade linear e as equaes
(B. I . a, b) obtem-se as componentes da tenso e deformao que agem no cilindro, dadas
pelas equaes (B.2.(a), (b) e (c)), onde G o mdulo de cisalhamento isotrpico.
de fo rmao t enso
EXX Eyv = EzZ = EXV = 0 C x x = CTw = Ozz ^ CTXV 0
2 S z x - Y z x = -ey a z x = -eGy 2Szy = Yzv = 0 X azv = 6 G X
(B.2.a)
(B.2.b)
(B.2 .C)
Uma somatria dos momentos em relao ao eixo-z, resultante das tenses em uma de
rea dA do cilindro, resulta na equao B.3 . Esta equao relaciona a toro angular O por
unidade de comprimento da barra sujeita a um torque aplicado T, onde J o momento de
inrcia polar, relativa a seu eixo central z.
e = T / G J , J = (Tb'*) / 2 .(B.3)
As equaes (B.2.(a), (b) e (c)) indicam que CT^ e CT^ independentes de z, ento a
distribuio de tenses a mesma para todas as sees transversais. Assim, o vetor tenso de
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126
B . 2 -MTODO SEMI-INVERSO DE SAINT-VENANT [(Boresi, 1985)e(Kal inszky, 1989)]
De acordo com o principio de St-Venant, a distribuio de tenso em sees
suficientemente distantes de ambas as extremidades, depende principalmente da magnitude de
T e no da distribuio de tenso em ambas extremidades. Assim, para barras suficientemente
longas, sob toro, a distribuio de tenso nas extremidades no afeta a distribuio de tenso
em grande parte da barra. Um barra com uma seo transversal uniforme de forma genrica,
sujeita a toro, mostrado na fig.B.II onde trs eixos ortogonais genricos (x,y,z) so
mostrados. Qualquer tipo de distribuio de tenses nas em suas extremidades pode p roduza
um torque T.
O mtodo semi-inverso de St-Venant comea por uma aproximao dos deslocamentos
(u,v,w) baseado em mudanas geomtricas observadas numa barra deformada sob toro
devido ao torque T. Admite-se que toda barra de toro, com seo transversal constante em
relao ao eixo z, tem um eixo de toro onde cada seo transversal gira aproximadamente
como um corpo rgido. Considerando um ponto P (Fig.B.II), com coordenadas (x,y,z) na barra
no-deformada, e o mesmo ponto P' sob deformao. Os deslocamentos (u,v,w), onde w ^0,
relacionados aos eixos x, y e z respectivamente, e P gira de um ngulo P em relao seo
transversal na origem. Admite-se para pequenos deslocamentos que ( P = 0 z ) , onde 9 ngulo
de toro por unidade de comprimento e as componentes de deslocamento podem ser obtidas
das equaes (B.6), onde V}/(x, y) a fimo de ' V a / p / w ^ ' que pode ser determinada de tal
modo que as equaes de elasticidade e suas condies esto satisfeitas.
u = - y z 9 , v = x z 9 , w = 0V | / ( x , y) (B 6)
Para pequenos deslocamentos as relaes (B.7.a, b e c) do o estado de deformao em
um ponto genrico na barra sob toro.
e x x = eyy = 8zz = Exy = O (B.7.a)
28^x = Yzx = e {{^i> I dx) - y)} (B.7 b)
28zy = Yzy = 9 {(5v|/ / Oy + x)} (B.7.c)
cisalhamento % para qualquer ponto P em uma seo transversal determinado pelas equaes
(B.4.a, b). N a mesma relao pode ser verificado que a mxima tenso de cisalhamento Xm
acontece para r = b ( r e o rio de seo atravessado), de outra forma, a tenso de cisalhamento
mxima acontece nas fibras mais extemas da seo transversal circular. Substituindo (B.3) em
(B.4.b) resulta na equao (B.5) que relaciona as magnitudes de x e T.
T = - e G y + 0 G x j (B.4.a)
l T l = e G ( y ^ + xY'' =eGr (B.4.b)
I O = T r / J (B.5)
Em resumo, para barras de seo transversal circular, sujehas a toro, cada seo
transversal do barra permanece plana, em outras palavras, apresenta estados planos de
deformao e tenso. Porm, pode-se ver na Figura B.I.c que a forma da curva de tenso-
deformao na regio elstica pode ser admitida como tendo uma relao linear, mas na regio
de plstica a linearidade entre tenso e deformao raramente observada.
-
127
Figura B.II.- (a)- barra sob toro com seo transversal uniforme e forma genrica.
(b)- vista genrica da seo transversal da barra sob toro. (Boresi, 1985)
Diferenciando parcialmente as equaes para e yzy em relao a y e x
respectivamente, e subtraindo as equaes resultantes dessas derivaes, a lino warping
pode ser eliminada, resultando na relao (B.8).
&1zxldy -dy^y/x = -2Q .(B.8)
Desta forma, se o problema de toro formulado em termos de (y^^ , dj^^X a
equao acima uma condio geomtrica a ser satisfeita em problemas de toro.
' y no presente traballio usada como engineering shear strain, a qual o dobro da chamda true shear strain 8
-
128
Para membros de materiais isotrpicos, sob toro, relaes tenso-deformao tanto
para condies elsticas como para no-elsticas podem ser dadas pela equao (B .9).
Levando-se em conta que e DZY no so nulas, e se as foras e aceleraes sobre o corpo
podem ser desprezadas, as equaes de elasticidade e as condies de equilbrio so satisfeitas
para um membro sob toro. Tais condies de equilbrio expressam condies necessrias e
suficientes para a existncia de uma funo de tenso (|>(x,y), tambm chamada de Funo de
Tenso de Prandtl (mais detalties sero apresentados em B.4) dada pela equao (B. lO.a, b).
a = (( l . /y) (B . lO.a)
o^ = -{^ldx) (B . lO.b)
Visando-se a obteno de tal funo de tenso para cada carregamento, pode-se
assumir algumas condie s de contorno para cada membro sob toro, tal como: ter seco
uniforme que no varia ao longo do eixo z; ser feito de material isotrpico e o carregamento
resukar em pequenas deformaes.
Uma vez que a superfcie lateral de um mbreo sob toro est livre de tenses normais
aphcadas, as duas componentes de tenso de cisalhamento ( C T ^ e CTZY) podem ser escritas em
termos de T o qual zero na direo normal em relao ao contorno da sua seco transversal.
Este fato resulta numa fimo tenso (j) constante em tal contorno da seco transversal.
Uma vez que as tenses so dadas pelas derivadas parciais de (|), e assumindo que esta
cosntante zero, pode-se concluir que a tenso de cisalhamento T em qualquer ponto da
seco transversal tangente a curva (j).
Tomando-se as duas componentes da tenso de cisalhamento agindo sobre um
elemento da seco transversal (Figura B.II.b) tendo lados dx, dy e ds (onde ds um elemento
na superfcie) e assumindo esta superficie em contato com o contorno da seco transversal,
resulta em (j)=0 no contorno ds do elemento. Tal argumento pode ser usado para mostrar que
a tenso de cisalhamento T, cuja intensidade pode ser dada por (B. 11) em qualquer ponto da
seco transversal, tangente a curva (j) que por sua vez constante.
X = ({S5j^{C5^fr ( B . l l )
Desta forma, a funo tenso (j) pode ser considerada como representando uma
superficie em t o m o da seco transversal do membro sob toro. Assim, pode-se provar
matematicamente que o torque igual do dobro do volume entre a lino tenso e o plano da
seco transversal, como mostrado pela equao (B .12).
T=2\\(t>dxdy (B .12)
Visando-se melhor entender os comportamentos elsticos e plsticos de eixos, as
respostas dos materiais tem sido classificada em dois tipos principais: resposta elsticamente
linear e resposta plstica de slidos perfeitamente elsticos.
-
129
-Resposta Plstica de Slidos Perfeitamente Elsticos
U m slido perfeitamente elstico apresenta um diagrama tenso versus deformao por
cisalhamento achatado no seu ponto de escoamento por cisalhamento Xy. Considando um
membro sob toro feito de um material perfeitamente elstico. A medida que o torque
gradualmente aumentado, o escoamento comea em um ou mais pontos do contorno da seco
transversal deste membro e aumenta no sentido de se interiorizar a medida que o torque
aumenta. Finalmente, toda a seo transversal se t o m a plstica para um torque limite. Neste
torque limite, a tenso de cisalhamento resultante T =Ty em cada ponto da seco
transversal. Como as equaes B.lO.a e B.lO.b so vlidas tanto para regies plsticas como
elsticas, pode-se obter pela equao B.16, a qual determina a fijno tenso (|)(x, y) para um
dado membro sob toro sob condies totalmente plsticas.
(^zf + i%f = (5 / + ^* / = (-Cv)' (B.16)
Considere o problema de constmir a funo tenso (f) para uma seco transversal
quadrada de lado 2a, como mostrado na Figura B.l l l . Em um dado ponto P, a tenso de
cisalhamento resultante l y e dirigida ao longo de uma curva de contorno de constante (|); o
B . 3 . - RESPOSTA ELSTICA LINEAR E RESPOSTA PLSTICA DE SLIDOS PERFEITAMENTE
ELSTICOS
-Resposta Linear Elstica KBores l 1985) e (Kalinszky, 1989)]
A resposta elstica linear leva a urna soluo elstica linear do problema de toro,
enquanto que uma resposta plstic a de um slido perfeitamente plstico leva a solues
totalmente plsticas de barras sujeitas a toro, para as quais a totalidade da seco transversal
se deforma plsticamente.
Solues elsticas lineares de problemas de toro apresentam relaes tenso-
deformao em um material isotrpico, dada pela lei de Hooke , o que resulta nas equaes
(B .13 .a ,b , c).
a = (a(|)/ay) = G y (B. lS .a)
cT^ = - (5 ( |> /5x) = G y 2 y (B. lS .b)
/ ay^ + a (j> / x^ = - 2 G 0 (B .13.c)
Substituindo-se (B.12) em (B.8) resulta em uma relao (B.14), onde se especifica o
ngulo unitrio de toro 0 para um dado membro sob toro, e
-
130
valor da funo tenso (j) em um ponto P igual a Ty multiplicado por sua distncia
perpendicular ao contorno mais prximo. Assim, a funo tenso, para uma seco transversal
quadrada uma pirmide de altura (Ty * a ) .
O torque para total deformao plstica ( T p ) para a seco quadrada pode ser obtido
por meio de B.12, a qual indica que o torque igual ao dobro do volume sob a lino tenso.
Desta forma, para a pirmide exemplificada na Figura B.III, o valor do torque para total
deformao plstica (S/SXya"*).
Contorno (() = o
Curva de contorno
j de constante ^
Figura B.III.- Superfcie de uma fimo de tenso para uma seco transversal deformada
totalmente plasticmanete: (a) vista superior; (b) vista lateral (Boresi, 1985).
B.4- ANALOGIA DA MEMBRANA ELSTICA DE PRANDTL (Boresi, 1987)
A analogia da mebrana elstica baseada na equivalncia de uma equao de toro
tomando-se o deslocamento lateral de uma membrana elstica sujeita a uma presso lateral
devido a uma tenso inicial, em termos de fora por unidade de comprimento.
A equao que define o pequeno deslocamento de uma membrana elstica plana, sujeita
a presso lateral, idntica, em sua forma matemtica, a fimo tenso B.13 .C. A funo
deslocamento de uma membrana matematicamente equivalente a um funo tenso, uma vez
que a forma de contorno da membrana idntica a forma de contorno da seco transversal do
membro sob toro. Tomando-se uma abertura que tem a mesma forma que a seco
transversal do membro sob toro investigado. Cobrindo-se tal abertura com uma membrana
elstica homognea (e.g. filme de sabo) e aplicando-se uma presso a um dos lados da
membrana, faz-se com que a membrana se curve. Se a inclinao da superficie da membrana
suficientemente pequeno, pode-se mostrar que o deslocamento lateral da membrana e a funo
tenso (|)(x, y) satistazem a mesma equao matemtica em (x,y). O deslocamento lateral de
uma membrana elstica (z), sujeita a uma presso lateral p (fora por unidade de rea) e uma
tenso inicial S (fora por unidade de comprimento), mostrada pela equao B.17.
d\ / ay^ + a-z / x- = - p / S .(B.17)
A Figura B.IV exemplifica tal membrana. Para pequenos deslocamentos (sen a * t g a ) .
-
131
ento a soma da fora na direo vertical alcana um equilbrio para o elemento da membrana
(dx dy) , dado pela equao B. 18.
Sa'z / dy^ dx dy + d \ I dx^ dx dy + p dx dy = O ( B I S )
Figura B.IV.- Analogia da Membrana Elstica: (a)- vista plana; (b)- vista de topo.
Urna comparao anloga de (B.13.c) e (B.17) resulta na equao (B.19), onde c
uma constante de proporcionalidade.
z = c
p / S = c 2 G 0
(|) = 2 G e S z / p (B.19)
Da equao acima, o deslocamento da membrana z proporcional a funo tenso de
Prandtl
-
132
- Barras Finas de Seccoes Nao-Circulares [(Boresi, 1985 e 1987) (Kalinszky, 1989)]
Para tais seces retangulares possvel o uso da analogia da membrana elstica para
se obter a soluo para o torque e tenses e deformaes por cisalhamento mximas, quando
esta submetida a carregamento sob toro.
Considere a barra de seco transversal retangular uniforme, como mostrado na Figura
B.V.(a) , onde a largura de 2a e a espessura 2 b , tal que b a.
A membrana associada mostrada na Figura B.V.(b), e exceto para regies prximas a
x= b , a deflexo da membrana aproximadamente independente de x. Desta forma,
assumindo-se que a deflexo da membrana independente de x, e que a deflexo com relao
a y parablica, o deslocamento da membrana dado, aproximadamente, pela equao
(B.20), onde za. mxima deflexo desta membrana.
z = Z o l l - ( y /a )^ ] .(B.20)
A equao acima satisfaz a condio z = O no con tomo y= a. Se (p /S) constante na
equao (B.17), o parmetro Zo pode ser slecionado de tal forma que a equao (B.20)
representa uma soluo da equao (B.17). Derivando (B.20) encontra-se (B.21); por meio
das equaes (B.21) , (B.17) e (B.19), pode-se escrever (B.21) e tambm se rescrever (B.20)
como (B.22.a, b).
5 ' z / a y ' + a ' z / 5 x ' = - 2 z / a ' .(B.21)
-2z/a^ = - 2 c G e
-
133
Por meio da equao (B.IO), a derivada de (B.22) resulta na relao (B.23.a), onde o
mximo valor de tenso de cisalhemento CT dado por (B.23.b), para um dado valor de
torque aphcado por (B.23.c), e a tenso de cisalhamento
-
134
Tabela B I - Os coeficientes ki e para diferentes dimenses de sees retangulares
b / a 1.00 1.50 1.75 2 . 0 0 2 . 5 0 3 . 0 0 4 . 0 0 6 8 1 0 00
k, 0 . 2 0 8 0 . 2 3 1 0 . 2 3 9 0 . 2 4 6 0 . 2 5 8 0 . 2 6 7 0 . 2 8 2 0 . 2 9 9 0 . 3 0 7 0 . 3 1 3 0 . 3 3 3
k2 0 . 1 4 1 0 . 1 9 6 0 . 2 1 4 0 . 2 2 9 0 . 2 4 9 0 . 2 6 3 0 . 2 8 1 0 . 2 9 9 0 . 3 0 7 0 . 3 1 3 0 . 3 3 3
(Timoshenko, 1963)
O torque para total deformao plstica Tp e o mximo torque elstico Ty so
comparados para algumas seces transversais e listados na Tabela (B.2). Pode-se ver que o
torque para deformaes plsticas , como esperado intuitivamente, maior do que o torque
para deformao elstica, quando uma barra de seco fina e uma no-fina so comparadas, e
para barras finas T y e 9y so dependentes de ambas as dimenses aeb.
Seco Transversal Torque Elstico Mximo (Tv) e Angulo Unitrio de Toro (Ov)
Torque para Total Deformao Plstica (Tp)
Relao Tp/Ty
Quadrado Lados = 2a
TY = 1.664 Ty a' eY = (1.475 T ^ ^ ) / ( 2 G a )
8/3 Ty a 1.605
Retnsulo (2b > 2a)
b/a = 2
TY = 3 . 9 3 6 T y a '
e Y = 1.074 T v / ( 2 G a )
20/3 Ty a 1.69
b/a = 00 TY = 8 / 3 T y b a ^
eY = T , / ( 2 G a ) 4 Ty b a 1.50
Circular raio = a
TY = 7t/2 Ty
0Y = Tv aV (Ga) 2/3 71 Ty a' 1.33
Ty=> tenso de escoamento por cisalhamento
B . 6 - DEFORMAES HETEROGNEAS AO LONGO DE BARRAS ENGASTADAS
[(Kalinszky, 1989) e (Boresi, 1985)]
Considera-se um membro sob toro tendo seco transversal retangular com as
dimenses mostradas na Figura B.VI.a, a qual corresponde a condio sem carregamento, e
uma membrana estendida sobre esta seco, tendo deflexo nula. Quando um pequeno torque
aplicado barra, os contomsos desta membrana devem ser descritos pela Figura B.VI.b. As
maiores tenses devem ser nos pontos A, mas a tenso de cisalhemento sendo menor do que a
tenso de escoamento.
Aumentado-se a tenso sob a membrana, ter-se- que a bolha sob a membrana ser
inflada, e assim tem-se um efeito semelhante a um toro adicional a barra. A mudana de
volume sob a membrana representa o aumento no torque requerido para dar ao eixo a toro
extra, e a mudana na inclinao da mesma no ponto A (Figura B.VI.c), indica a adio
mxima tenso. Se a tenso emA menor do que a tenso de escoamento, pode-se ter certeza
de que todas as fibras esto em regime elstico (Figura B.VI.c).
Aphcando-se um novo incremento a toro pode-se atingir uma deformao tal que em
reas prximas de A atingem o Ihnite elstico. As regies plsticas, so mostradas pelas reas
sombreadas na Figura B.IV.e, onde a tenso mostrada na Figura B.VI.d. Tal tenso de
cisalhamento constante na regio e paralela aresta. A membrana no mais d uma correta
representao da tenso na regio plstica. Uma vez que a tenso constante, a mxima
-
135
inclinao, que forma um ngulo reto com a tenso, normal aresta. A membrana, para a
regio plstica, portanto um plano com inclinao crescente a partir da aresta. A membrana,
na regio elstica tem ainda um formato curvo de uma bolha. Com um aumento da toro, as
regies em B tambm sofrero deformao plstica e os contornos sero como mostrado na
Figura B.VI.e.
Visando construir tal membrana e determinar os contornos da regio plstica, pode-se
erigir sobre a membrana, um conjunto de superfcies planas que iro conter a membrana. Isto
pode ser feito erigindo-se um teto sobre a membrana (Figura B.VI.e) , onde a incUnao deste
teto (seco B-B e A-A) corresponde tenso de escoamento. Quando as tenses so baixas
as tenses a membrana no toca o teto e assim no participa da distribuio de tenses. N o
entanto, quando a tenso tal que o escoamento plstico ocorre, o te to ir hmitar a membrana
em reas onde a tenso tenha alcanado o hmite de escoamento. Quando o torque resulta em
total deformao plstica, a membrana comprimida contra todos os pontos desse teto.
i (6)
XY em todos os pontos
Corte A-A Corte A-A
Figure B.VI.- Analogia com membrana na regio plstica, (a) seco de uma barra no
carregada, (b) contorno da membrana para tenses elsticas, (c) micio de
regies plsticas em A, (d) tenses em regies plsticas, (e) contornos para regies pacialmente plsticas, (f) te to hmitante. (Kalinszky, 1989)
A deformao por toro de uma barra paralelepipedica engastada no homognea ao
longo de sua direo longitudinal (z) da amostra, e nem ao longo de sua seco transversal.
Como j mencionado em (B. I ) , o ngulo de rotao 9 de uma dada seco depender de sua
distncia a esta extremidade (P= 9 z), onde P o ngulo indicado na Figura B.II. Quando a tenso permanece no domnio elstico, a deformao ao longodo eixo da barra, ou
warp, pode ser desprezado e a toro pode ser considerada como cisalhamento puro com
componentes CT^^ e perpendiculares. Nes te caso, cada seco transversal submetida a um
estado duplo de deformao e a seco transversal permanece plana. A tenso de cisalhamento
mxima pode ser decomposta em duas componentes, chamadas tenses principais e geralmente
definidas na literatura como CTj e a , , uma a 45 no sentido anti-horrio, comprimindo um
elemento mtemo da barra, e a outra a 45, mas no sentido horrio, tensionando o mesmo
elemento.
-
136
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