Download - Ayrık Matematik - Önermeler
![Page 1: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/1.jpg)
Ayrık MatematikOnermeler
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2013
![Page 2: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/2.jpg)
Lisans
c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
![Page 3: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/3.jpg)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
![Page 4: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/4.jpg)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
![Page 5: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/5.jpg)
Onerme
Tanım
onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi
ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz
celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz
![Page 6: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/6.jpg)
Onerme
Tanım
onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi
ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz
celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz
![Page 7: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/7.jpg)
Onerme
Tanım
onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi
ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz
celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz
![Page 8: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/8.jpg)
Onerme Ornekleri
Ornek (onerme)
Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner.
Filler ucabilir.
3 + 8 = 11
Ornek (onerme degil)
Saat kac?
Ali topu at!
x < 43
![Page 9: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/9.jpg)
Onerme Ornekleri
Ornek (onerme)
Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner.
Filler ucabilir.
3 + 8 = 11
Ornek (onerme degil)
Saat kac?
Ali topu at!
x < 43
![Page 10: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/10.jpg)
Onerme Degiskeni
Tanım
onerme degiskeni:onermeyi simgeleyen isim
Dogru (D) ya da Yanlıs (Y ) degerlerini alabilir
Ornek
p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde doner. (D)
p2: Filler ucabilir. (Y )
p3: 3 + 8 = 11 (D)
![Page 11: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/11.jpg)
Onerme Degiskeni
Tanım
onerme degiskeni:onermeyi simgeleyen isim
Dogru (D) ya da Yanlıs (Y ) degerlerini alabilir
Ornek
p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde doner. (D)
p2: Filler ucabilir. (Y )
p3: 3 + 8 = 11 (D)
![Page 12: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/12.jpg)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
![Page 13: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/13.jpg)
Birlesik Onermeler
birlesik onermeler
bir onermenin degillenmesiyle, ya dabirden fazla onermenin mantıksal baglaclar ile birlestirilmesiyle
elde edilir
yalın onermeler daha kucuk birimlere bolunemez
dogruluk tablosu:onerme degiskenlerinin olası butun degerleri icinbirlesik onermenin sonuclarını listeleyen tablo
![Page 14: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/14.jpg)
Birlesik Onermeler
birlesik onermeler
bir onermenin degillenmesiyle, ya dabirden fazla onermenin mantıksal baglaclar ile birlestirilmesiyle
elde edilir
yalın onermeler daha kucuk birimlere bolunemez
dogruluk tablosu:onerme degiskenlerinin olası butun degerleri icinbirlesik onermenin sonuclarını listeleyen tablo
![Page 15: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/15.jpg)
Degilleme (NOT)
Tablo: ¬p
p ¬p
D Y
Y D
Ornek
¬p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde donmez.¬D: Yanlıs
¬p2: Filler ucamaz.¬Y : Dogru
![Page 16: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/16.jpg)
Degilleme (NOT)
Tablo: ¬p
p ¬p
D Y
Y D
Ornek
¬p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde donmez.¬D: Yanlıs
¬p2: Filler ucamaz.¬Y : Dogru
![Page 17: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/17.jpg)
VE Baglacı (AND)
Tablo: p ∧ q
p q p ∧ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y Y
Ornek
p1 ∧ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner ve filler ucabilir.D ∧ Y : Yanlıs
![Page 18: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/18.jpg)
VE Baglacı (AND)
Tablo: p ∧ q
p q p ∧ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y Y
Ornek
p1 ∧ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner ve filler ucabilir.D ∧ Y : Yanlıs
![Page 19: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/19.jpg)
VEYA Baglacı (OR)
Tablo: p ∨ q
p q p ∨ q
D D D
D Y D
Y D D
Y Y Y
Ornek
p1 ∨ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner veya filler ucabilir.D ∨ Y : Dogru
![Page 20: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/20.jpg)
VEYA Baglacı (OR)
Tablo: p ∨ q
p q p ∨ q
D D D
D Y D
Y D D
Y Y Y
Ornek
p1 ∨ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner veya filler ucabilir.D ∨ Y : Dogru
![Page 21: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/21.jpg)
DAR VEYA Baglacı (XOR)
Tablo: p Y q
p q p Y q
D D Y
D Y D
Y D D
Y Y Y
Ornek
p1 Y p2: Ya Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner ya da filler ucabilir.D Y Y : Dogru
![Page 22: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/22.jpg)
DAR VEYA Baglacı (XOR)
Tablo: p Y q
p q p Y q
D D Y
D Y D
Y D D
Y Y Y
Ornek
p1 Y p2: Ya Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner ya da filler ucabilir.D Y Y : Dogru
![Page 23: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/23.jpg)
Kosullu Baglac (IF)
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
p: oncul
q: sonuc
okunusları:
p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli
¬p ∨ q
![Page 24: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/24.jpg)
Kosullu Baglac (IF)
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
p: oncul
q: sonuc
okunusları:
p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli
¬p ∨ q
![Page 25: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/25.jpg)
Kosullu Baglac (IF)
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
p: oncul
q: sonuc
okunusları:
p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli
¬p ∨ q
![Page 26: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/26.jpg)
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
![Page 27: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/27.jpg)
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
![Page 28: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/28.jpg)
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
![Page 29: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/29.jpg)
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
![Page 30: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/30.jpg)
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
![Page 31: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/31.jpg)
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”
p: 70 kg’den agırım.
q: Spor yapıyorum.
bu onerme ne zaman yanlıs olur?
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
![Page 32: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/32.jpg)
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”
p: 70 kg’den agırım.
q: Spor yapıyorum.
bu onerme ne zaman yanlıs olur?
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
![Page 33: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/33.jpg)
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”
p: 70 kg’den agırım.
q: Spor yapıyorum.
bu onerme ne zaman yanlıs olur?
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
![Page 34: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/34.jpg)
Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)
Tablo: p ↔ q
p q p ↔ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y D
okunusları:
p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli
(p → q) ∧ (q → p)
¬(p Y q)
![Page 35: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/35.jpg)
Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)
Tablo: p ↔ q
p q p ↔ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y D
okunusları:
p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli
(p → q) ∧ (q → p)
¬(p Y q)
![Page 36: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/36.jpg)
Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)
Tablo: p ↔ q
p q p ↔ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y D
okunusları:
p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli
(p → q) ∧ (q → p)
¬(p Y q)
![Page 37: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/37.jpg)
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
![Page 38: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/38.jpg)
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
![Page 39: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/39.jpg)
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
![Page 40: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/40.jpg)
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
![Page 41: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/41.jpg)
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
![Page 42: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/42.jpg)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
![Page 43: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/43.jpg)
Saglıklı Formul
yazım
birlesik onermeler hangi kurallara gore olusturulacak?
kurallara uyan formuller: saglıklı formul (SF)
anlam
yorum: yalın onermelere deger atayarakbirlesik onermenin degerini hesaplama
dogruluk tablosu: onermenin butun yorumları
![Page 44: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/44.jpg)
Saglıklı Formul
yazım
birlesik onermeler hangi kurallara gore olusturulacak?
kurallara uyan formuller: saglıklı formul (SF)
anlam
yorum: yalın onermelere deger atayarakbirlesik onermenin degerini hesaplama
dogruluk tablosu: onermenin butun yorumları
![Page 45: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/45.jpg)
Formul Ornekleri
Ornek (saglıklı degil)
∨p
p ∧ ¬p¬ ∧ q
![Page 46: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/46.jpg)
Islem Onceligi
1 ¬2 ∧3 ∨4 →5 ↔
hesap sırasını degistirmek icin parantez kullanılır
![Page 47: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/47.jpg)
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
![Page 48: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/48.jpg)
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
![Page 49: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/49.jpg)
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
![Page 50: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/50.jpg)
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
![Page 51: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/51.jpg)
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
![Page 52: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/52.jpg)
Formul Nitelikleri
1 gecerli: butun yorumlar icin dogru (totoloji)
2 celiskili: butun yorumlar icin yanlıs (celiski)
3 tutarlı: bazı yorumlar icin dogru
![Page 53: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/53.jpg)
Totoloji Ornegi
Ornek
Tablo: p ∧ (p → q)→ q
p q p → q p ∧ A B → q(A) (B)
D D D D D
D Y Y Y D
Y D D Y D
Y Y D Y D
![Page 54: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/54.jpg)
Celiski Ornegi
Ornek
Tablo: p ∧ (¬p ∧ q)
p q ¬p ¬p ∧ q p ∧ A(A)
D D Y Y Y
D Y Y Y Y
Y D D D Y
Y Y D Y Y
![Page 55: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/55.jpg)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
![Page 56: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/56.jpg)
Ustdil
Tanım
hedef dil:uzerinde calısılan dil
Tanım
ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil
gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar
![Page 57: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/57.jpg)
Ustdil
Tanım
hedef dil:uzerinde calısılan dil
Tanım
ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil
gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar
![Page 58: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/58.jpg)
Ustdil
Tanım
hedef dil:uzerinde calısılan dil
Tanım
ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil
gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar
![Page 59: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/59.jpg)
Ustdil Ornekleri
Ornek
anadili Turkce olan biri Ingilizce ogrenirken
hedef dil: Ingilizceustdil: Turkce
Ornek
bir ogrenci programlama ogrenirken
hedef dil: C, Python, Java, . . .ustdil: Ingilizce, Turkce, . . .
![Page 60: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/60.jpg)
Ustdil Ornekleri
Ornek
anadili Turkce olan biri Ingilizce ogrenirken
hedef dil: Ingilizceustdil: Turkce
Ornek
bir ogrenci programlama ogrenirken
hedef dil: C, Python, Java, . . .ustdil: Ingilizce, Turkce, . . .
![Page 61: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/61.jpg)
Ustmantık
P1,P2, . . . ,Pn ` QP1,P2, . . . ,Pn varsayıldıgında Q’nun dogrulugu tanıtlanabilir.
P1,P2, . . . ,Pn � QP1,P2, . . . ,Pn dogruysa Q dogrudur.
![Page 62: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/62.jpg)
Ustmantık
P1,P2, . . . ,Pn ` QP1,P2, . . . ,Pn varsayıldıgında Q’nun dogrulugu tanıtlanabilir.
P1,P2, . . . ,Pn � QP1,P2, . . . ,Pn dogruysa Q dogrudur.
![Page 63: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/63.jpg)
Bicimsel Sistemler
Tanım
tutarlı: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP ` Q ise P � Q
tanıtlanabilen butun onermeler dogrudur
Tanım
eksiksiz: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP � Q ise P ` Q
dogru olan butun onermeler tanıtlanabilir
![Page 64: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/64.jpg)
Bicimsel Sistemler
Tanım
tutarlı: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP ` Q ise P � Q
tanıtlanabilen butun onermeler dogrudur
Tanım
eksiksiz: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP � Q ise P ` Q
dogru olan butun onermeler tanıtlanabilir
![Page 65: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/65.jpg)
Godel Kuramı
Onermeler mantıgı tutarlı ve eksiksizdir.
Godel Kuramı
Sıradan aritmetigi ifade edecek kadar gucluhicbir mantıksal sistem hem tutarlı hem eksiksiz olamaz.
![Page 66: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/66.jpg)
Godel Kuramı
Onermeler mantıgı tutarlı ve eksiksizdir.
Godel Kuramı
Sıradan aritmetigi ifade edecek kadar gucluhicbir mantıksal sistem hem tutarlı hem eksiksiz olamaz.
![Page 67: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/67.jpg)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
![Page 68: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/68.jpg)
Onerme Hesabı Yaklasımları
1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları
degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır
2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları
var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme
3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri
esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma
![Page 69: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/69.jpg)
Onerme Hesabı Yaklasımları
1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları
degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır
2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları
var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme
3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri
esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma
![Page 70: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/70.jpg)
Onerme Hesabı Yaklasımları
1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları
degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır
2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları
var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme
3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri
esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma
![Page 71: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/71.jpg)
Dogruluk Tablosu Ornegi
p → q
kontrapozitif: ¬q → ¬pkonvers: q → pinvers: ¬p → ¬q
Ornek
p q p → q ¬q → ¬p q → p ¬p → ¬q
D D D D D D
D Y Y Y D D
Y D D D Y Y
Y Y D D D D
![Page 72: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/72.jpg)
Dogruluk Tablosu Ornegi
p → q
kontrapozitif: ¬q → ¬pkonvers: q → pinvers: ¬p → ¬q
Ornek
p q p → q ¬q → ¬p q → p ¬p → ¬q
D D D D D D
D Y Y Y D D
Y D D D Y Y
Y Y D D D D
![Page 73: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/73.jpg)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
![Page 74: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/74.jpg)
Mantıksal Esdegerlilik
Tanım
P ↔ Q totoloji ise P ve Q mantıksal esdegerli:P ⇔ Q
![Page 75: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/75.jpg)
Mantıksal Esdegerlilik Ornegi
Ornek
¬p ⇔ p → Y
Tablo: ¬p ↔ p → Y
p ¬p p → Y ¬p ↔ A(A)
D Y Y D
Y D D D
![Page 76: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/76.jpg)
Mantıksal Esdegerlilik Ornegi
Ornek
p → q ⇔ ¬p ∨ q
Tablo: (p → q)↔ (¬p ∨ q)
p q p → q ¬p ¬p ∨ q A↔ B(A) (B)
D D D Y D D
D Y Y Y Y D
Y D D D D D
Y Y D D D D
![Page 77: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/77.jpg)
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
![Page 78: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/78.jpg)
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
![Page 79: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/79.jpg)
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
![Page 80: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/80.jpg)
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
![Page 81: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/81.jpg)
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
![Page 82: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/82.jpg)
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
![Page 83: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/83.jpg)
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
![Page 84: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/84.jpg)
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
![Page 85: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/85.jpg)
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
![Page 86: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/86.jpg)
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
![Page 87: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/87.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
![Page 88: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/88.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
![Page 89: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/89.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
![Page 90: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/90.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
![Page 91: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/91.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
![Page 92: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/92.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
![Page 93: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/93.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
![Page 94: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/94.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
![Page 95: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/95.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
![Page 96: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/96.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
![Page 97: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/97.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
![Page 98: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/98.jpg)
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
![Page 99: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/99.jpg)
Dualite
Tanım
∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen bir s onermesinindual onermesi sd ,∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧, D yerine Y , Y yerine Dkonarak elde edilir.
Ornek (dual onerme)
s : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ D)
sd : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ Y )
![Page 100: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/100.jpg)
Dualite
Tanım
∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen bir s onermesinindual onermesi sd ,∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧, D yerine Y , Y yerine Dkonarak elde edilir.
Ornek (dual onerme)
s : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ D)
sd : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ Y )
![Page 101: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/101.jpg)
Dualite Ilkesi
Dualite Ilkesi
s ve t, ∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen onermeler olsun.s ⇔ t ise sd ⇔ td .
![Page 102: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/102.jpg)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
![Page 103: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/103.jpg)
Mantıksal Gerektirme
Tanım
P → Q bir totoloji ise P formulu Q formulunu mantıksal gerektirir:P ⇒ Q
![Page 104: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/104.jpg)
Mantıksal Gerektirme Ornegi
Ornek
p ∧ (p → q)⇒ q
Tablo: p ∧ (p → q)→ q
p q p → q p ∧ A B → q(A) (B)
D D D D D
D Y Y Y D
Y D D Y D
Y Y D Y D
![Page 105: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/105.jpg)
Akıl Yurutme
dogrulugu varsayılan ya da tanıtlanmısbir onermeler kumesinden yola cıkarakbir onermenin dogruluguna varma
gosterilim
p1
p2
. . .pn
∴ q
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q
![Page 106: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/106.jpg)
Akıl Yurutme
dogrulugu varsayılan ya da tanıtlanmısbir onermeler kumesinden yola cıkarakbir onermenin dogruluguna varma
gosterilim
p1
p2
. . .pn
∴ q
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q
![Page 107: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/107.jpg)
Temel Kurallar
Ozdeslik (Identity - ID)
p
∴ p
Celiski (Contradiction - CTR)
Y
∴ p
![Page 108: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/108.jpg)
Temel Kurallar
Ozdeslik (Identity - ID)
p
∴ p
Celiski (Contradiction - CTR)
Y
∴ p
![Page 109: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/109.jpg)
Temel Kurallar
Kosul Ekleme (Implication Introduction - ImpI)
p ` q
∴ ` p → q
p dogru varsayıldıgında q dogru oldugu gosterilebiliyorsa,p dogru varsayılmadan p → q dogrudur
p bir gecici varsayım (PA - provisional assumption)
gecici varsayımlar sonradan kaldırılabilmeli
![Page 110: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/110.jpg)
Temel Kurallar
Kosul Ekleme (Implication Introduction - ImpI)
p ` q
∴ ` p → q
p dogru varsayıldıgında q dogru oldugu gosterilebiliyorsa,p dogru varsayılmadan p → q dogrudur
p bir gecici varsayım (PA - provisional assumption)
gecici varsayımlar sonradan kaldırılabilmeli
![Page 111: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/111.jpg)
Temel Kurallar
VE Ekleme (AND Introduction - AndI)
pq
∴ p ∧ q
VE Eleme (AND Elimination - AndE)
p ∧ q
∴ p
![Page 112: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/112.jpg)
Temel Kurallar
VE Ekleme (AND Introduction - AndI)
pq
∴ p ∧ q
VE Eleme (AND Elimination - AndE)
p ∧ q
∴ p
![Page 113: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/113.jpg)
Temel Kurallar
VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI)
p
∴ p ∨ q
VEYA Eleme (OR Elimination - OrE)
p ∨ qp ` rq ` r
∴ ` r
![Page 114: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/114.jpg)
Temel Kurallar
VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI)
p
∴ p ∨ q
VEYA Eleme (OR Elimination - OrE)
p ∨ qp ` rq ` r
∴ ` r
![Page 115: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/115.jpg)
Temel Kurallar
Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE)
p → qp
∴ q
Modus Tollens (MT)
p → q¬q
∴ ¬p
![Page 116: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/116.jpg)
Temel Kurallar
Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE)
p → qp
∴ q
Modus Tollens (MT)
p → q¬q
∴ ¬p
![Page 117: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/117.jpg)
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
![Page 118: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/118.jpg)
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
![Page 119: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/119.jpg)
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
![Page 120: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/120.jpg)
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
![Page 121: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/121.jpg)
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
![Page 122: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/122.jpg)
Modus Ponens Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali piyangoyu kazandı.
O halde, Ali araba alacak.
![Page 123: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/123.jpg)
Modus Ponens Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali piyangoyu kazandı.
O halde, Ali araba alacak.
![Page 124: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/124.jpg)
Modus Tollens Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali araba almadı.
O halde, Ali piyangoyu kazanmadı.
![Page 125: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/125.jpg)
Modus Tollens Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali araba almadı.
O halde, Ali piyangoyu kazanmadı.
![Page 126: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/126.jpg)
Yanılgılar
sonucu onaylama yanılgısı
p → qq
∴ p
(p → q) ∧ q → p bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
![Page 127: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/127.jpg)
Yanılgılar
sonucu onaylama yanılgısı
p → qq
∴ p
(p → q) ∧ q → p bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
![Page 128: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/128.jpg)
Sonucu Onaylama Yanılgısı Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali araba aldı.
O halde, Ali piyangoyu kazandı.
![Page 129: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/129.jpg)
Sonucu Onaylama Yanılgısı Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali araba aldı.
O halde, Ali piyangoyu kazandı.
![Page 130: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/130.jpg)
Yanılgılar
onculu yadsıma yanılgısı
p → q¬p
∴ ¬q
(p → q) ∧ ¬p → ¬q bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
![Page 131: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/131.jpg)
Yanılgılar
onculu yadsıma yanılgısı
p → q¬p
∴ ¬q
(p → q) ∧ ¬p → ¬q bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
![Page 132: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/132.jpg)
Onculu Yadsıma Yanılgısı Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali piyangoyu kazanmadı.
O halde, Ali araba almayacak.
![Page 133: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/133.jpg)
Onculu Yadsıma Yanılgısı Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali piyangoyu kazanmadı.
O halde, Ali araba almayacak.
![Page 134: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/134.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 135: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/135.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 136: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/136.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 137: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/137.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 138: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/138.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 139: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/139.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 140: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/140.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 141: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/141.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 142: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/142.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 143: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/143.jpg)
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
![Page 144: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/144.jpg)
Ayırıcı Kıyas Ornegi
Ornek
Ali’nin cuzdanı cebinde veya masasında.
Ali’nin cuzdanı cebinde degil.
O halde, Ali’nin cuzdanı masasında.
![Page 145: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/145.jpg)
Ayırıcı Kıyas Ornegi
Ornek
Ali’nin cuzdanı cebinde veya masasında.
Ali’nin cuzdanı cebinde degil.
O halde, Ali’nin cuzdanı masasında.
![Page 146: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/146.jpg)
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
![Page 147: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/147.jpg)
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
![Page 148: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/148.jpg)
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
![Page 149: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/149.jpg)
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
![Page 150: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/150.jpg)
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
![Page 151: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/151.jpg)
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
![Page 152: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/152.jpg)
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
![Page 153: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/153.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek (Uzay Yolu)
Spock - Yarbay Decker:
Su anda dusman gemisine saldırmak intihar olur.Intihara tesebbus eden biri Atılgan’ın komutanlıgınıyapmaya psikolojik olarak yetkin degildir.O halde, sizi gorevden almak zorundayım.
![Page 154: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/154.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek (Uzay Yolu)
p: Decker dusman gemisine saldırır.
q: Decker intihara tesebbus eder.
r : Decker Atılgan’ın komutanlıgını yapmaya psikolojik olarakyetkin degildir.
s: Spock Decker’ı gorevden alır.
![Page 155: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/155.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
![Page 156: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/156.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
![Page 157: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/157.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
![Page 158: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/158.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
![Page 159: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/159.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
![Page 160: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/160.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
![Page 161: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/161.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
![Page 162: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/162.jpg)
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
![Page 163: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/163.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 164: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/164.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 165: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/165.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 166: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/166.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 167: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/167.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 168: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/168.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 169: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/169.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 170: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/170.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 171: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/171.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 172: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/172.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
![Page 173: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/173.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 174: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/174.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 175: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/175.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 176: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/176.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 177: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/177.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 178: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/178.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 179: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/179.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 180: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/180.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 181: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/181.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 182: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/182.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
![Page 183: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/183.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 184: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/184.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 185: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/185.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 186: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/186.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 187: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/187.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 188: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/188.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 189: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/189.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 190: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/190.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 191: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/191.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 192: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/192.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 193: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/193.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
![Page 194: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/194.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
Eger yagmur yagması olasılıgı varsa veya sac bandını bulamazsa,Filiz cimleri bicmez. Hava sıcaklıgı 20 dereceden fazlaysayagmur yagma olasılıgı yoktur. Bugun hava sıcaklıgı 22 dereceve Filiz sac bandını takmıs. O halde, Filiz cimleri bicecek.
![Page 195: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/195.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p: Yagmur yagabilir.
q: Filiz’in sac bandı kayıp.
r : Filiz cimleri bicer.
s: Hava sıcaklıgı 20 dereceden fazla.
![Page 196: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/196.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 197: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/197.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 198: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/198.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 199: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/199.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 200: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/200.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 201: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/201.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 202: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/202.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 203: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/203.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 204: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/204.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 205: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/205.jpg)
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
![Page 206: Ayrık Matematik - Önermeler](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020717/5562ec00d8b42ad26c8b50c5/html5/thumbnails/206.jpg)
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 2: Fundamentals of Logic
2.1. Basic Connectives and Truth Tables2.2. Logical Equivalence: The Laws of Logic2.3. Logical Implication: Rules of Inference
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 6: Propositional Logic