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前 言

我觉得在哪里见过你

原来你是童话里的阿拉丁

我是陪伴你的神灯

于是我默默关注你的成长

你喜欢上了祖冲之

你爱上了圆周率

于是你从小便喜爱数学

你喜欢上了牛顿

你爱上了微积分

于是你长大后离不开数学

你喜欢上了华罗庚

你爱上了挑战难题

于是你始终对数学不断追求

现在

我知道

你想让更多的人了解数学

所以教师梦是你的愿望

别忘了你是阿拉丁

我是你的神灯

我愿为你实现梦想

就从现在开始

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2019 下教师资格笔试科目二之中学 (数学学科)

目 录

第一章 题型考点分值占比 ............................................................ 1

第二章 必备考点知识分析 ........................................................... 4

第三章 主观题答题技巧 .............................................................. 13

第四章 易错题巩固练习 .............................................................. 16

第五章 高效备考学习计划 .......................................................... 29

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第一章 考情分析 按照教育部的统一部署,2019 年下半年全国中小学教师资格考试预计 11 月 3 日进行笔试,

中公教育教师考试研究院预计数学学科知识与教学能力《初级中学》以及《高级中学》考题将延

续以往的命题思路,作答时间依旧为 120 分钟,试卷满分 150 分;考题题型为单项选择题、简答

题、解答题、论述题、案例分析题、教学设计题六个题型;考试内容包含数学分析、线性代数、

空间解析几何、统计与概率、课标及教学论、高中知识、初中知识,共七个模块. 现就近 4 次全国教师资格考试基本考情进行总结如下:

《数学学科知识与教学能力》(初级中学) 1.试卷结构分析: 笔试时间 总分值 考试题型 题量和分值 试卷分值占比

120 分钟 150 分

单项选择题 共 8 题,每题 5 分,共 40 分 26.7% 简答题 共 5 题,每题 7 分,共 35 分 23.3% 解答题 共 1 题,每题 10 分,共 10 分 6.7% 论述题 共 1 题,每题 15 分,共 15 分 10%

案例分析题 共 1 题,每题 20 分,共 20 分 13.3% 教学设计题 共 1 题,每题 30 分,共 30 分 20%

小结: 笔试时间、总分值、题型、题量和分值以及分值占比一直稳定不变. 2.各知识模块题型题量分值占比

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小结: 1.数学分析该知识模块分值占比有所下降,常考查的知识点为两个重要极限、级数的敛散

性、变限积分、连续、中值定理.考查方式多以单项选择题、简答题为主.其中单项选择题难度

不高,简答题难度较高. 2.线性代数该知识模块分值占比从 4 次的考题中可以发现,上半年所占分值比例比下半年

相对低一些.常考查的知识点为矩阵的特征值与特征向量、线性空间,考查方式多以单项选择题、

简答题、解答题为主.其中单项选择题难度不高,简答题、解答题难度较高. 3.空间解析几何该知识模块分值占比从 4 次的考题中可以发现,上半年所占分值比例比下

半年相对高一些.常考查的知识点为空间的平面与直线的位置关系、平面方程、曲面切平面方程、

曲线的参数方程、曲面的参数方程,考查方式多以单项选择题、简答题为主.整体难度逐年增高. 4.统计概率该知识模块分值占比相对较低,其中 18 年上半年分值占比为 0%.常考查的知

识点为条件概率、正态分布,考查方式多以单项选择题、简答题、解答题为主.整体难度不高. 5.课标及教学论该知识模块分值占比较高,多年来占比均超过 50%.该知识模块主要考查

考生的基本素养,如何将数学知识在课堂中展现,考查方式多以单项选择题、简答题、论述题、

案例分析题以及教学设计题为主.整体难度很高,尤其是案例分析和教学设计需各位考生高度注

意. 6.高中知识该知识模块是从 17 年开始新增加数学知识考点,往年该模块考查知识内容更多

为在课标及教学论中涉及,现逐步扩展到独立考查,19 年上半年未涉及,在往年考题中涉及知

识点每年各有不同,目前涉及到的知识点主要有集合、简易逻辑、导数、概率等.考查方式多以

单项选择题为主,整体难度较低. 7.初中知识该知识模块是从 19 年上半年开始新增加数学知识考点,往年该模块考查知识内

容更多为在课标及教学论中涉及,现逐步扩展到独立考查,目前涉及到的知识点主要有理数与无

理数、方程的实数解等.考查方式多以单项选择题为主,整体难度较低. 《数学学科知识与教学能力》(高级中学)

1.试卷结构分析: 笔试时间 总分值 考试题型 题量和分值 试卷分值占比

120 分钟 150 分

单项选择题 共 8 题,每题 5 分,共 40 分 26.7% 简答题 共 5 题,每题 7 分,共 35 分 23.3% 解答题 共 1 题,每题 10 分,共 10 分 6.7% 论述题 共 1 题,每题 15 分,共 15 分 10%

案例分析题 共 1 题,每题 20 分,共 20 分 13.3% 教学设计题 共 1 题,每题 30 分,共 30 分 20%

小结: 笔试时间、总分值、题型、题量和分值以及分值占比一直稳定不变. 2.各知识模块题型题量分值占比

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小结: 1.数学分析该知识模块分值占比有所下降,常考查的知识点为两个重要极限、级数的敛散

性、变限积分、连续、中值定理.考查方式多以单项选择题、简答题为主.其中单项选择题难度

不高,简答题难度较高. 2.线性代数该知识模块分值占比相对稳定.常考查的知识点为矩阵的特征值与特征向量、

线性空间,考查方式多以单项选择题、简答题、解答题为主.其中单项选择题难度不高,简答题、

解答题难度较高. 3.空间解析几何该知识模块分值占比从 4 次的考题中可以发现,上半年所占分值比例比下

半年相对高一些.常考查的知识点为空间的平面与直线的位置关系、平面方程、曲面切平面方程、

曲线的参数方程、曲面的参数方程,考查方式多以单项选择题、简答题为主.整体难度逐年增高. 4.统计概率该知识模块分值占比相对较低,其中 18 年上半年分值占比为 0%.常考查的知

识点为条件概率、正态分布、数据的特征值,考查方式多以单项选择题、简答题、解答题为主.整

体难度不高. 5.课标及教学论该知识模块分值占比较高,多年来占比均超过 50%.该知识模块主要考查

考生的基本素养,如何将数学知识在课堂中展现,考查方式多以单项选择题、简答题、论述题、

案例分析题以及教学设计题为主.整体难度很高,尤其案例分析和教学设计需各位考生高度注意. 6.高中知识该知识模块是从 17 年开始新增加数学知识考点,往年该模块考查知识内容更多

为在课标及教学论中涉及,现逐步扩展到独立考查,19 年上半年未涉及,在往年考题中涉及知

识点每年各有不同,目前涉及到的知识点主要有集合、简易逻辑、导数、概率等.考查方式多以

单项选择题为主,整体难度较低. 7.初中知识该知识模块是从 19 年上半年开始新增加数学知识考点,目前涉及到的知识点主

要有理数与无理数.考查方式多以单项选择题为主,整体难度较低.

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第二章 高频考点 考点·古典概型与几何概型

1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 (1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果. ②每一个试验结果出现的可能性相等. (2)如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每

一个基本事件的概率都是1n ;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 ( ) mP A

n= .

3.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概

率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (1)要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 ①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个. ②等可能性:每个结果的发生具有等可能性. (2)几何概型中,事件 A 的概率计算公式

( ) AP A =构成事件 的区域测度(长度、面积、体积等)

试验全部结果构成的区域测度(长度、面积、体积等).

考点·导数

1.导数的几何意义

函数 ( )f x 在点 0x 处的导数 ( )'0f x 的几何意义是在曲线 ( )y f x= 上点 ( )( )0 0,x f x 处的切线的斜

率.相应地,切线方程为 ( ) ( )( )'0 0 0y f x f x x x− = − .

2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数

f(x)=c(c 为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α为实数) f′(x)=αxα-1

f(x)=sinx f′(x)=cosx f(x)=cosx f′(x)=-sinx

f(x)=ax(a>0,a≠1) f′(x)=axlna f(x)=ex f′(x)=ex

f(x)=logax(a>0,a≠1) f′(x)=1lnx a

f(x)=lnx f′(x)=1x

f(x)=tanx f′(x)= 2

1cos x

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f(x)=cotx f′(x)=- 2

1sin x

3.导数的运算法则

(1) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x g x f x g x ± = ± .

(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x g x f x g x f x g x ⋅ = + .

(3) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

' ' '

2 0f x f x g x f x g x

g xg x g x

−= ≠

4.复合函数的导数

复合函数 ( )( )y f g x= 的导数和函数 ( ) ( ),y f u u g x= = 的导数间的关系为' ' '

x u xy y u= ⋅ ,即 y 对 x

的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 5.导数与函数的单调性

在某个区间 ( ),a b 内,如果 ( )' 0f x > ,那么函数 ( )y f x= 在这个区间内是增加的;如果 ( )' 0f x < ,

那么函数 ( )y f x= 在这个区间内是减少的.

考点·极限

1.洛必达法则 (1)概念:在分子与分母导数都存在的情况下,分别对分子分母进行求导运算,直到该极

限的类型为可以直接代入求解即可.

(2)适用类型:通常情况下适用于00 型或者是

∞∞ 型极限.

2.求00 或

∞∞ 型极限的方法

(1)通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或无穷的因子,然后利用四则运算法则. (2)利用洛必达法则. (3)变量替换与重要极限. (4)等价无穷小因子替换. 3.求 0 ∞ 型极限的方法 求 0 ∞ 型的方法和上述方法基本相同,必须注意的是:为使用洛必达法则需根据函数的特

点先将 0 ∞ 型化为00 或

∞∞ 型.注意,一般将较复杂的因子取作分子,特别地含有对数因子时,

将该因子取作分子. 4.求∞ −∞型极限的方法

求∞ −∞型,一般通过适当的方法将其化为00 或

∞∞ 型.若是两个分式函数之差,则通分转化,

若是与根式函数之和、差有关的,则需用分子有理化方法转化. 5.利用两个重要极限

0

sinlim 1x

xx→

= ,1lim 1 e

x

x x→∞

+ =

(或 ( )1

0lim 1 exx

x→

+ = ).

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考点·函数展开成幂级数

1. ( )f x 的泰勒级数

如果函数 ( )f x 在 0x x= 处存在任意阶导数,则称

( )20 0

0 0 0 0 0''( ) ( )( ) '( )( ) ( ) ( )2! !

nnf x f xf x f x x x x x x x

n+ − + − + + − + 为函数 ( )f x

在 0x x= 处的泰勒级数.记作

( )0

00

( )( ) ( )!

nn

n

f xf x x xn

−∑ ,其中“ ”叫做可展开为.

特别的当 0 0x = ,则称( )

2'(0) ''(0) (0)(0)1! 2! !

nnf f ff x x x

n+ + + + + 为函数 ( )f x 的

麦克劳林级数,记作

( )

0

(0)( )!

nn

n

ff x xn

→∑ .

2. ( )f x 的泰勒级数收敛于函数 ( )f x 本身的充要条件

对于一切满足不等式 0x x R− < 的 x ,有

( 1)1

0( )lim ( ) lim ( ) 0

( 1)!

nn

nn n

fR x x xn

ξ++

→∞ →∞= − =

+,其

中ξ 介于 x 与 0x 之间, ( )nR x 是 ( )f x 在 0x 处的泰勒公式余项.

3.幂级数展开成麦克劳林级数方法 解法一:直接法

验证 lim ( ) 0nnR x

→∞= ,逐个计算

( ) (0)!

nn

nfa x

n= 并代入

( )2'(0) ''(0) (0)(0)

1! 2! !

nnf f ff x x x

n+ + + + +

解法二:间接法 常用代换展开公式有

2

0e 1 ,

1! 2! ! !

n nx

n

x x x x xn n

=

= + + + + + = −∞ < < +∞∑

3 5 2 1 2 1

0

( 1)sin ( 1) ,3! 5! (2 1)! (2 1)!

n n nn

n

x x x xx x xn n

+ +∞

=

−= − + + + − + = −∞ < < +∞

+ +∑

2 4 2 2

0

( 1)cos 1 ( 1) ,2! 4! (2 )! (2 )!

n n nn

n

x x x xx xn n

=

−= − + − + − + = −∞ < < +∞∑

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2 3 11

1

( 1)ln(1 ) ( 1) , 1 12 3

n n nn

n

x x x xx x xn n

−∞−

=

−+ = − + − + − + = − < ≤∑

2( 1) ( 1) ( 1)(1 ) 1 , 1 11! 2! !

nnx x x x xn

α α α α α α α− − − ++ = + + + + + − < <

2

0

1 1 ( 1) ( 1) , 1 11

n n n n

nx x x x x

x

=

= − + − + − + = − − < <+ ∑

考点·级数的敛散性 1.定义

若数项级数 的部分和数列 的极限存在,即 ,则称级数 收敛,否

则就称级数 发散.当级数 收敛时,称极限值 为此级数和,称

为级数的余项或余和.

2.几个重要级数 (1)几何级数(等比级数)

1

n

nq

=∑ 当 时收敛,当 时发散.

(2) 级数

1

1p

n n

=∑ 当 时收敛,当 时发散.

考点·定积分的性质

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7.在区间 恒有 ,则 .

8.如果在区间[ , ]a b 上 ( ) ( )f x g x≤ ,则 ( ) ( )b b

a af x g x≤∫ ∫ .

1i

iu

=∑ { }nS lim nn

S S→∞

=1

ii

u∞

=∑

1i

iu

=∑

1i

iu

=∑ lim nn

S S→∞

=

1 2n n n nr S S u u+ += − = + +

1q < 1q ≥

p

1p > 1p ≤

( ) 0a

af x dx =∫

b

adx b a= −∫

( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫

( ) ( )b b

a akf x dx k f x dx=∫ ∫

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

[ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

[ ],a b ( ) 0f x ≥ ( ) 0b

af x dx ≥∫

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9. ( a b< ).

10.若 ,则 .

11.定积分中值定理:如果函数 在 连续,至少存在一个 ,使

12. 为奇函数,则 ; 为偶函数,则 .

考点·变限积分

, .

考点·行列式的基本性质

1.行列式的值等于其转置行列式的值,即 . 2.行列式中任意两行(列)位置互换,行列式的值反号. 3.若行列式中两行(列)对应元素相同,行列式值为零. 4.若行列式中某一行(列)有公因子 ,则公因子 可提取到行列式符号外,即

5.行列式中若一行(列)均为零元素,则此行列式值为零. 6.行列式中若两行(列)元素对应成比例,则行列式值为零. 考点·矩阵的特征值和特征向量 1.定义

(1)设 为数域 上的 阶方阵,如果存在数域 上的数 和非零向量 ,使得

,则称 为 的一个特征值(特征根),而 称为 的属于特征值 的一个特征向

量.

(2)设 为 阶方阵,则矩阵 称为 的特征矩阵,其行列式称为 的特

征多项式,记为 ,即

( ) ( )b b

a af x dx f x dx≤∫ ∫

( ) , [ , ]m f x M x a b≤ ≤ ∈ ( ) ( ) ( )b

am b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫( )f x [ , ]a b [ , ]a bξ ∈

( )f x ( ) 0a

af x dx

−=∫ ( )f x

0( ) 2 ( )

a a

af x dx f x dx

−=∫ ∫

( )

( )( ) ( )

b x

a xF x f t dt= ∫ ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )F x f b x b x f a x a x′ ′ ′= −

TDD =

k k

nnnn

snss

n

aaa

kakaka

aaa

21

21

11211

nnnn

snss

n

aaa

aaa

aaa

k

21

21

11211

=

A F n F 0λ ξ

0λ=Aξ ξ 0λ A ξ A λ0

( )ij na=A n λE - A A A

( )f λ

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称 为 的特征方程.

2.性质

(1)若 是 的任一特征值,非零向量 为 的属于特征值 的特征向量,即满足

,则必有 一定是 的特征值( 为正整数).

(2)若 是 的任一特征值,非零向量 为 的属于特征值 的特征向量,若

为任一多项式,则有 是 的特征值.

(3)若 是 的任一特征值,非零向量 为 的属于特征值 的特征向量,则

A

(4)如果 是 的属于特征值 的一个特征向量,那么 的任何一个非零倍数 kξ 也是

的属于特征值 的特征向量.即特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反,特征值确实被特

征向量所唯一决定的.一个特征向量只能属于一个特征值. 注:属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 3.矩阵特征值和特征向量的求法

(1)根据定义,构造 ,求得 的特征值 ,及 属于特征值 的一个特征向

量 .

(2)设 为 阶方阵,则由 可以求出矩阵 的全部特征值 ,再根

据齐次线性方程组 求出 属于 的特征向量.其中,基础解系即为 属于 的

线性无关特征向量,通解即为 属于 的全体特征向量(不包含 0 向量).

考点·线面位置关系 1.两个平面间的关系

,则

11 12 1

21 22 2

1 2

( )

n

n

n n nn

- a a aa a a

f

a a a

λλ

λ λ

λ

− −− − −

= − =

− − −

E A

( )f λ = 0λ =E - A A

iλ A ξ A iλ

ξAξ iλ=k

iλ kA k

iλ A ξ A iλ

( ) nnn axaxaxf +++= − 1

10 ( )if λ ( )Af

iλ A ξ A iλ

( )f A TA 1A− *A 1P AP−

λ ( )f λ λ1λ

λ

ξ A λ0 ξ A

λ0

0λ=Aξ ξ A 0λ A λ0

ξ

( )ij na=A n 0λ =E - A A iλ

( ) 0=− XAEiλ A iλ A iλ

A iλ

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2: 0, : 0A x B y C z D A x B y C z DΠ + + + = Π + + + =

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∥ ;

与 的夹角 (法向量间的夹角,不大于90)满足:

2.两条直线间的关系

设 , ,则

∥ ,且 不满足 的方程;

与 的 夹 角 ( 方 向 向 量 间 的 夹 角 , 不 大 于 90 度 ) 满 足

3.直线与平面的位置关系 直线和它在平面投影直线所夹锐角 称为直线与平面的夹角.当直线与平面垂直时,规定夹

角为 .

, , ,则

L∥ ,即 且 ;

L⊥ ∥ ,即 ;

L 与 的夹角 , .

考点·曲面的切平面与法线方程

1.设曲面的方程为 ,在曲面上任取一条通过点 M 的曲线: 曲

线在 M 处的切向量为 .

1Π 2Π 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C DA B C D

⇔ = = ≠

1 2 1 2 1 2 1 2 0A A B B C CΠ ⊥Π ⇔ + + =

1Π 2Π θ

1 21 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

cosn n A A B B C C

n n A B C A B Cθ

⋅ + += =

+ + + +

1 1 11

1 1 1

: x x y y z zLl m n− − −

= = 2 2 22

2 2 2

: x x y y z zLl m n− − −

= =

1L 2L 1 1 1

2 2 2

l m nl m n

⇔ = = 1 1 1( , , )x y z 2L

1 2 1 2 1 2 1 2 0L L l l m m n n⊥ ⇔ + + =

1L 2L θ

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

cosl l m m n n

l m n l m nθ

+ +=

+ + + +

θ

0 0 0: x x y y z zLl m n− − −

= = : 0Ax By Cz DΠ + + + = { , , }, { , , }s l m n n A B C= =

Π s n⇔ ⊥

0Al Bm Cn+ + = 0 0 0 0Ax By Cz D+ + + ≠

Π s⇔

n A B C

l m n= =

Π ,2

s nπθ = − ⟨ ⟩

2 2 2 2 2 2sin

Al Bm Cn

A B C l m nθ

+ +=

+ + + +

( , , ) 0F x y z =

( ): ( ) ,

( )

x x ty y tz z t

=Γ = =

0 0 0( ( ), ( ), ( ))T x t y t z t′ ′ ′=

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切平面方程为 ,

法线方程为 .

2.空间曲面方程形为 ,令 F(x,y,z)=f(x,y)-z,曲面在 M 处的切平面

的法向量为: .

曲线在 M 处的切平面的方程为 .

曲线在 M 处的法线方程为 .

考点·曲面方程 1.球面方程

2.旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条直线叫做旋

转曲面的轴.

yoz 平面上的曲线 绕 z 轴旋转一周的曲面方程为 ;

yoz 平面上的曲线 绕 y 轴旋转一周的曲面方程为 .

3.柱面 平行于定直线,并沿定曲线C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C 叫做柱

面的准线,动直线 L 叫做柱面的母线. 4.二次曲面 (1)椭球面

方程: .

①椭球面与三个坐标平面的交线: , , .

②椭球面的几种特殊情况

, ,旋转椭球面,由椭圆 绕 z 轴旋转而成.

③ ,为球面.方程可写为 .

0 0 0( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x y zF M x x F M y y F M z z− + − + − =

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )x y z

x x y y z zF x y z F x y z F x y z

− − −= =

( , )z f x y=

0 0 0 0{ ( , ), ( , ), 1}x yn f x y f x y= −

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yf x y x x f x y y y z z− + − = −

0 0 0

0 0 0 0( , ) ( , ) 1x y

x x y y z zf x y f x y

− − −= =

2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R− + − + − =

( , ) 0f y z = 2 2( , ) 0f x y z± + =

( , ) 0f y z = 2 2( , ) 0f y x z± + =

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =

2 2

2 2 1

0

x ya bz

+ =

=

2 2

2 2 1

0

x za cy

+ =

=

2 2

2 2 1

0

y zb cx

+ =

=

a b=2 2 2

1x y za a c+ + =

2 2

1x za c+ =

a b c= = 2 2 2 2x y z a+ + =

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(2)抛物面

① ( , >0)为椭圆抛物面.

② 为旋转抛物面(由 xoz 平面上的抛物线 绕它的轴旋转而成).

③ 为双曲抛物面.

(3)双曲面

①单叶双曲面:

②双叶双曲面:

考点·向量组的极大线性无关组及矩阵的秩

1.基本概念 (1)极大线性无关组 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并且

从这向量组中任意添一个向量(如果还有的话),所得的部分向量组都线性相关. 注:任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. (2)向量组的秩 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 注:考虑到线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组,因此一向量组线性无关的充要

条件是它的秩与它所含向量的个数相同. (3)矩阵的秩 矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等,称为矩阵的秩. 2.基本性质 (1)任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. (2)等价的向量组必有相同的秩.(秩相同的向量组未必等价) (3)矩阵 的秩是 的充分必要条件为 中有一个 阶子式不为零,同时所有 阶子式

全为零.

2 2

2 2x y zp q+ = p q

2 2

2 2x y zp p+ = 2 2x pz=

2 2

2 2x y zp q

− + =

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − =

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = −

A r A r +1r

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第三章 主观题答题技巧 案例分析题在教师资格笔试考试中占分 20 分,是能否通过教师资格笔试考试的关键,在这

里大家总结一些关于案例分析题的答题技巧以及得分策略. (一)案例分析的考查要点 1.数学课程标准 新课程理念是案例分析考查的要点,分析案例时,需要从课程理念出发,评析教学示例的内

容.如案例分析中的典型问题:“上述教学片断体现了哪些数学课程理念?请简要评析.(至少答

出三点/四点)请根据数学课程理念,从师生关系的处理方面/从学生主体地位方面/简要点评上述

案例.” 2.教学设计 教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点,将教学诸要素有序安排,确定合适的教

学方案的设想和计划,对教学设计的评析能考查出教师的综合素养.如问题:“对材料中的教学

过程的设计进行评析,对材料中的导入环节设计进行评析”等. 3.教师行为评价 教学行为是身体力行地验证教学设计对于课堂教学效果的重要作用.在案例分析时需要注意

教师在实施时的行为举动,体现出的思维理念以及对学生的评价用语. (二)案例分析的理论依据 1.数学课程标准要点 (1)课程性质 数学的课程性质决定了数学在教育中的地位.在案例分析中要综合的评析是否体现数学的性

质.课程的目标和内容是不是围绕“必备的基础知识和基本技能”;有没有体现基础性、普及型和

发展性的特点;能不能培养学生的创新意识和实践能力;促进学生在情感、态度与价值观等方

面的发展;能不能很好的做好为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础.基础教育应体现出

特定的方向性和目标性,而高中教育强调的是促进学生认识数学的应用价值,增强应用意识,形

成解决简单实际问题的能力. (2)课程理念 新课程理念对教学具有一定的指导作用,案例分析中需要分析教师是否将新课程的理念落实

到课程教学的行为中,行为中体现的教育思想是否符合数学课程理念. 2.教学过程注意要点 (1)教学目标 评析教学目标与确定教学目标一样,要遵循三条基本原则: ①是否体现数学课程的基本理念的精神; ②是否实现三维目标的整合又有所侧重; ③是否具体明确,可操作,可考核. (2)课堂导入 评析课堂导入可从以下几个方面考虑: ①评析课堂导入的方法.先指明所采用的导入方法,如,情境导入、复习导入、直接导入在

评析所用方法与教学内容是否适切; ②评析课堂导入的效果.评析课堂导入是否起到激发兴趣、引发思考、提示学习要点或集中

学生注意力等效果; ③评析课堂导入的成本.如果低成本高产出,当然最佳;达不到则求其次,成本与产出相当;

坚决摒弃高成本低产出.评析课堂导入的成本,可以从所花的时间和精力以及采用的手段等方面

分析. (3)教学行为(教学片段)

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评析教学行为.评析教学片段要善于抓住主要信息,提炼优缺点,提出改进意见.一般可以

从以下几个方面考虑: ①从宏观方面说,是否以人为本,培养学生自主学习、独立思考、合作探究的精神,促进学

生健康和谐发展; ②从中观方面说,是否反映数学课程性质、课程基本理念,把握数学课程的基本特点,培养

学生分析问题并解决问题的能力,提升数学素养; ③从微观方面说,教学方法是否恰当;教学程序是否循序渐进;练习设计是否有效;教学效

果、教学氛围如何,等等. (4)教学问题 教学问题是课堂组织的重要因素,对于教学问题的评析可以从以下几点进行: ①围绕教学目标,突出重难点 教师要以整体的、联系的、全面的观点作为指导思想,充分把握教材中的知识点、例题、练

习题之间的联系,抓住教材的内在思路,从目标的整体效应出发设计精而少、具有多方面功能的

提问,不可单一浅层、表面孤立地提问.弄清楚每堂课的教学目的,把握住教学重点、难点,抓

住教学重点设计问题,进而组织训练. ②针对实际,难易适度 提问设计要切合学生实际,难易适度,过难过易都不会收到好的效果;但也要注意设计些稍

难及较易的问题,分别让优生和后进生来回答,这种差异性提问,将能更好地调动全体学生的积

极性.通常设问,问题宜大一些,要有一定的内涵;如担心回答有困难,可设计一两个辅助问题,

必要时拿出来作为铺垫式的提问. ③顺序得当,发展思维能力 课堂提问本身就是思维能力训练,但浅表化的“是不是”“好不好”一类的提问是不能达到思维

训练目的的.提问是训练思维的重要教学手段之一.一般说来,提问可归为“是什么”“为什么”“怎么样”几类,这三类都含有思维的因素,但要求和层次不同,效果也就不一样.“是什么”一般是

以判断的形式作答,是思维的结果;而后两者须把前因后果讲清楚,不但要判断,而且要把思维

的过程说出来,层次高,难度大.因此,要认真设计好后两者的提问. ④结构恰当,层次分明 提问应根据不同的教学要求,不同的教学阶段,按照一定的顺序,提出不同层次水平的问题,

清晰地展开教学过程.一般说来,问题的设计应由浅入深,由表及里,层层深入.这样的提问设

计,从思维角度讲,是从综合——分析——综合的思维过程来设计的;从思维内容、表现形式来

讲,又是从知识点表面到理解内容再到领会深刻含义的顺序来设计的,层次分明,由浅入深,环

环紧扣.不同的教学环节、不同的教学时间,应设计不同类型和不同层次的提问. (5)教学效果 应该说,教学效果是衡量课堂教学最终目标,不管教学目标如何确定、教学过程如何开展,

最终都要看教学效果如何.在评析教学效果时,一定要具体情况具体分析,要具备专业的眼光,

不被表面现象蒙蔽,也不要被看似“有效”冲昏头脑. 如何看待教学效果的问题,比如,教学过程就是教学效果的有机组成部分,既重结果又重过

程;教学效果有长效和短效、高效和低效之别,例如,靠机械训练所得的结果,当时可能很有效,

但是从长远看,未必真有效;学生自动的质疑问难和合作讨论,花了比较多的时间,一时看不出

什么效果,但是对学生的学习品质产生积极而深远的影响.从长远看,真有效,是长效、高效. (6)评析作业 一般而言,评析课后作业,主要考虑量和质两个方面:从量方面看,主要是适量,其标准是

符合国家或地方行政规定,如,一二年级不留书面家庭作业,三四年级不超过半小时,五六年级

不超过一小时;从质方面看,包括课后作业的形式和内容.课后作业的形式要灵活多样,适应课

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后广阔的时间和空间;课后作业的内容要有针对性、选择性.针对性,即针对课内教学内容、针

对学生实际;选择性,即提供多种作业,让学生根据自己的实际需要选择. (三)案例分析的答题思路 1.审题思路 (1)审题干,明考点 审清题干,划出题干中的关键词,如“数学课程理念”“教学目标”“教学过程”“导入设计”“教学

重难点”“某内容的教学”等字样,明确题目的考点. (2)读材料,划句子 根据题干明确的考点,完整的读材料.在读材料的过程中,划出体现数学课程理念的句子、

体现教学方法的句子、教学目标设计合理或不合理的句子、导入方式恰当或不当的句子、能突破

教学重难点的文句、教学某内容时师生关键行为的句子等.材料中的重要语句可以是教师的话语、

行为,也可以是学生反馈或活动.如果是两则材料进行对比分析,则需要划出两则材料的异同点. (3)析句子,找理论 就材料中的重点文句进行分析,概括主要内容,回想与之相关的理论知识,对应到教师行为

和学生行为. 2.答题步骤 (1)破题,就题答题 所谓“就题答题”,是指从正面回答题干问题,题干怎么问,就怎么答,题干问什么,就答什

么. (2)分析,有理有据 “理”指的是理论知识,“据”指的是材料信息.在具体分析环节,一方面要点明材料关键点,

另一方面,要结合相关的理论知识. (3)评价,收束总结 对案例进行综合评价,总结教师行为,阐明是否应该提倡,有何影响,我会怎么做等.

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第四章 巩固练习 一、单项选择题

1.极限54

43

)10131()993(

)221()14(

lim++

++

+∞→xx

xx

x的值为( ).

A. ∞+ B.0 C.23

D.97

2.设函数 ( )f x 在 x=0 处连续,且 ( )2

20lim 1x

f xx®

= ,则( ).

A. ( )0 0f = 且 ( )' 0f- 存在 B. ( )0 1f = 且 ( )' 0f- 存在

C. ( )0 0f = 且 ( )' 0f+ 存在 D. ( )0 1f = 且 ( )' 0f+ 存在

3.设 A为 n 阶矩阵,则行列式为 0A = 的必要条件是( ).

A. A的两行元素对应成正比 B. A中必有一行为其余各行的线性组合 C. A中有一列元素全为 0 C. A中任一列均为其余各列的线性组合

4.设11 12 13

21 22 23

31 32 33

Aa a aa a aa a a

轾犏犏=犏犏臌

11 13 12

21 23 22

31 11 32 13 33 12

B2 2 2

a a aa a a

a a a a a a

轾犏犏=犏犏 + + +臌

, 1

1 0 0P 0 0 1

0 1 0

轾犏犏=犏犏臌

2

1 0 2P 0 1 0

0 0 1

轾犏犏=犏犏臌

, 3

1 0 0P 0 1 0

2 0 1

轾犏犏=犏犏臌

,则 B =( ).

A. 3 2P AP B. 2 3P AP C. 3 1P AP D. 2 1P AP

5.已知向量组 1a , 2a , 3a 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( ).

A. 1 2a a+ , 2 3a a+ , 3 1a a-

B. 1 2a a+ , 2 3a a+ , 1 2 32a a a+ +

C. 1 22a a+ , 2 32 3a a+ , 3 13a a+

D. 1 2 3a a a+ + , 1 2 33 5 5a a a+ - , 1 2 32 3 22a a a- +

6.极限 ( ), 0,0

32 1 1

limx y

xyxy→

=+ −( )

( ).

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A.2

3 B.3 C.0 D.∞

7.若'

0( ) 1f x = ,则 0 0

0

( ) ( )limh

f x h f x hsinh→

+ − −等于( ).

A.1 B.2 C.-1 D.-2

8.设

2 1sin , 0

0, 0

x xf x x

x

≠= =

( ) ,则 f x( )在 0x = 处( ).

A.不连续 B.连续但不可导 C.可导但导函数不连续 D.导函数连续

9.曲线 siny x= 在[ ]π π− , 上与 X 轴所围成的图形的面积是( ).

A.4 B.0 C.2 D.6

10.已知曲线积分 2

( )( )L

x y dx ydyx yα+ +

+∫ 在 0X Y+ > 的平面区 G 内与积分路径无关,则α

=( ). A.2 B.0 C.-1 D.4 11.考查二元函数的下面四条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)连续;②f(x,y)在点(x0,

y0)处的两个偏导数连续;③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)处

两个偏导数存在若用“P⇒Q”表示性质 P 可推出性质 Q 则( ). A.③⇒④⇒① B.③⇒②⇒① C.②⇒③⇒① D.③⇒①⇒④ 12.下列级数中发散的是( ).

A. 21

1( 1)n

n n

=

−∑ B.1

1n n n

=∑

C.1

2( )n

n n

=∑ D. 2

1

sin 1( )n

nan n

=

−∑

13.常数α >0,则级数 )()(n

cos-11-n

1n

α∑∞

=

为( ).

A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性与α 的取值有关

14.设 , 则 =( ).

A. B. C. D.

15.已知向量 3 4 , 4 7x xa a i j k b i a j k→ → → → → → → →

= + + = + − 若 a→垂直于 b

→,则 xa 等于( ).

)1ln()( 2xxf += xexg =)( ))]'(([ xgf

xe211+ xe21

2+ x

x

ee

2

2

1+ x

x

ee

2

2

12+

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A.3 B.-4 C.4 D.7

16.方程组

1 2 3

1 2 3

1 2 3

02 0

0

x x xx x xx x xλ

+ + = + + = + + =

有非零解则λ 等于( ).

A.-1 B.± 1 C.0 D.1 17.设 A、B 为 N 阶方阵,则有( ).

A. AB BA= B. BAAB =

C. A B A B+ = + D. 1 1 1(A B) A B− − −+ = +

18.实二次型2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 2 32 3 4 2f x x x x x x x x x x= + − + +( , , ) 是( ).

A.不定二次型 B.半正定二次型 C.半负定二次型 D.正定二次型

19.方程2 2y x= − ,表示空间的曲面为( ).

A.球面 B.旋转双曲面 C.圆锥面 D.抛物柱面

20.函数 在点 沿 的方向导数为( ).

A. B. C. D.

21.已知 , , 则 =( ).

A. B.0.3 C.0.4 D.0.5

22.设 A,B 为独立的事件,且 ( ) 0P A > , ( ) 0P B > ,则下面四个式子中不成立的是( ).

A. ( ) 0P B A > B. ( ) ( )P A B P A=

C. ( ) 0P A B = D. ( ) ( ) ( )P AB P A P B=

23.设随机变量 x 的分布函数为 F(x)则 2 1Y X= + 的分布函数为( ).

A. 2 1G y F y= +( ) ( ) B.1 12

G y F y= +( ) ( )

C. ( ) ( )1 12 2

G y F y= − D. ( ) 1 1( )2 2

G F yy = −

24.幂级数 的收敛域是( ).

A. B. C. D.

25.设有以下命题 ①数列{xn}收敛,则 xn 有界

②数列 lim limn n ln nx a x a+→∞ →∞= ⇔ = ,其中 l 为某个确定的正整数

32 −−= yzxyzu )1,1,1( kjiL ++= 22

51

51

−31

31

5.0)( =AP 9.0)( =BP 6.0)|( =ABP )( BAP ∪

2.0

n 1

3 ( 2)n nnx

n

=

+ −∑1 1-3 3

,1 1-3 3

, [ )-3,3 ( ]-3 3,

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③数列 2 1 2lim lim limn n nn n nx a x x a−→∞ →∞ →∞= ⇔ = =

④数列极限 lim nnx

→∞ 存在1lim 1n

nn

xx+

→∞⇔ = ,以上命题正确的个数( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

26.已知幂级数1

( 1)nn

na x

=

−∑ 在 x=2 处条件收敛,则该幂级数( ).

A.收敛半径为 2 B.收敛区间为(0,2) C.收敛域为(0,2) D.收敛区间为(1,2) 27.下列描述教学图标的行为动词中,属于描述结果目标的动词是( ). A.经历 B.探索 C.体验 D.理解 28.鸡兔同笼,共有 8 个头,22 只眼,问鸡兔各有几只?这个问题解决“鸡兔同笼,共有 8

个头,22 条腿,问鸡兔各有几只?”这个问题,可以这样做:如果 8 只都是兔子,那么一共要有

8×4=32条腿,比已知多了 32-22=10条腿,所以鸡就有 10÷2=5只,这种解决问题的方法是( ). A.枚举法 B.综合法 C.反证法 D.假设法 29.下列描述为演绎推理的是( ). A.从一般到特殊的推理 B.从特殊到一般的推理 C.通过实验验证结论的推理 D.通过观察猜想得到结论的推理 30.《义务教育数学课程标准(2011 年)》从四个方面阐述课程目标,这四个方面是( ). A.知识技能,数学思考,问题解决,情感态度 B.基础知识,基本技能,问题解决,情感态度 C.基础知识,基本技能,数学思考,情感态度 D.知识技能,问题解决,数学创新,情感态度 二、简答题

1.设 11 1: 1

2y zL x

λ− −

− = = , 2 : 1 1L x y z+ = − = .

(1)若 1 2L L⊥ ,求λ;

(2)若 1 2,L L 共面,求λ.

2.已知

0 2 11 1 21 1 1

A−

= − − −

,求1A−.

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20

3.求隐函数 ln sin 0x ye y x− − + = 得一阶导数dydx

4.求极限 .

5.设函数 2

21

xyx

=+

,求函数的单调区间和极值.

6.计算定积分21

0xxcos dx∫ .

7.设函数 y f x= ( )满足条件4 4 0

(0) 2, (0) 4y y yy y′′ ′+ + =

′= = −,求广义积分

0( )y x dx

+∞

∫ .

8.将22 2 2 2

0 0( )

a ax xdx x y dy

−+∫ ∫ 化为极坐标形式,并计算积分值.

40

0

2

sinlim

x

tdtx

x

∫→

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9.设 ( )dx arcsinxf x x c= +∫ ,求不定积分1 dx( )f x∫ .

10.求微分方程 -3'' 2 ' 3 xy y y e+ − = 的通解.

11.求初值问题 的解.

12.计算 级行列式 的值.

13.矩阵

2 2 31 1 01 2 1

A = − −

满足 AX=B,其中

1 10 22 1

B−

= −

,求矩阵 X.

4)0(,)2(22

1 2 =−=−

− yxyxdx

dy

n

xyyx

yxyx

Dn

000000

000000

=

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14.设矩阵 A=1 0 21 1 3

2 1 2

− −

,求其逆矩阵 1-A .

15.设 1 2 3 4, , ,ε ε ε ε 为数域 P 上 4 维线性空间V 的一组基,V 的一个线性变换δ 在这组基

下的矩阵为

1 0 2 11 2 1 3

1 2 5 52 2 1 2

− −

.求δ 的核1(0)δ −

与δ 的秩.

16.曲面2

2

2xz y= + 在哪个点处的切平面平行于平面2 2 0x y z+ − = ,并写出此曲面过该

点的法线方程.

17.求通过直线2 2 1 0

2 2 0x y z

x y z+ − + =+ − − =

且与平面 x+y+z-1=0 垂直的平面方程.

18.10 件产品中有 3 件次品,每次从中取出一件产品,同时放入一件正品,直至取到正品

为止,求抽取次数 X 的数学期望.

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19.二维随机变量 的概率密度 ,求常数 .

20.设 A 是三阶实对称矩阵, | | 12A = − ,A 的三个特征值之和为 1,且 (1 0 2)Tα = −,, 是方

程组 *( 4 ) 0A E x− = 的一个解向量.

(1)求矩阵 A.

(2)求方程组 *( 4 ) 0A E x− = 的通解.

21 . 在 空 间 直 角 坐 标 系 下 , 试 判 断 直 线 l : 与 平 面 π :

3 2 1 0x y z− + + = 的位置关系,并求出直线 l 与平面π的夹角的正弦值.

22.设 ( ) 0.5 ( ) 0.4 ( | ) 0.6P A P B P A B= = =, , ,求 ( )P AB , ( | )P A A B .

23.怎么理解学生主体地位和教师主导作用的关系,如何使学生成为学习的主体?

),( YX <<<<

=其他,0

10,30,),(

yxCyxf C

2 1 0,2 2 0

x y zx y z

+ + − = + − − =

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24.学生在学习数学过程中,会因为各种原因出现错误,教师应如何对待学生的数学错误. 25.数学思想是数学灵魂,自始至终都贯穿于数学教学中,例如数形结合、化归转化、分类

讨论、函数与方程等,学生的数学素养体现在对这些的理解、掌握和运用. (1)结合中学数学教材,围绕某一点,说明数形结合在数学中的具体应用. (2)在今后教学中,如何培养学生数形结合思想. 26.什么是巩固与发展相结合原则,结合实例说明?如何在教学中贯彻这一原则? 27.评价学生的数学学习应用采用多样化的方式,请列举四种不同类型的评价方式. 三、解答题

1.证明当 0 ln(1 ) .1

xx x xx

> < + <+

时,

2.证明幂零矩阵 A 一定有特征值,并且它的特征值一定是 0. 3.设V 是 n 维欧式空间, 0α ≠ 是V 中的一个固定向量,证明:

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(1) { }1 ( , ) 0,V x x a x V= = ∈ 是V 的子空间.

(2) 1V 的维数等于 1n − .

4.叙述并证明拉格朗日中值定理(利用罗尓中值定理证明).

5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式: ,其中 .

四、论述题

1.(初级中学)举例说明在教学中如何处理“预设”与“形成”的关系? 2.(高级中学)《普通高中数学课程标准(实验)》指出“教师教学应该以学生的认知发展水

平和已有的经验为基础,面向全体学生,注重启发式和因材施教.教师要发挥主导作用,处理好

讲授与学生自主学习的关系,引导学生独立思考、主动探索、合作交流,使学生理解和掌握基本

的数学知识与技能、数学思想和方法,获得基本的数学活动经验.”简要说明数学思想方法的含

义,并给出高中数学教学中常用的几种数学思想方法(至少 5 种),且任选一种思想进行举例说

明且如何在教学过程中让学生感悟这种思想? 五、案例分析题

1.(初级中学)某教师关于《变量》的教学过程片段 请同学们看下列问题 问题一;汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为 s 千米,行驶时间为 t 小时.填下

mmn

mn

nmn −

<<− ln nm <<0

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面的表.再试用含 t 的式子表示 s. t(小时) 1 2 3 4 5

s(千米)

师:哪位同学来填表? 生 1:填好表格中的数据. 师:你怎么算出来的? 生 1:路程=速度×时间 师:用含 t 的式子表示 s. 生 1:s=60t. 师:观察谁在变,谁没变? 生 1:路程 s、时间 t 在变,速度没变. 师:路程随时间的变化而变化. 问题二:每张电影票的售价为 10 元,如果早场售出票 150 张,日场售出 205 张,晚场售出

310 张,三场电影票的票房收入各多少元?若设一场电影售出票 x 张,票房收入为 y 元,怎样用

含 x 的式子表示 y? 师:某同学你来解答. 生 2:早场票房收入为 10×150=1500. 日场票房收入为 10×205=2050. 晚场票房收入为 10×310=3100. y=10x. 师:观察谁在变,谁没变? 生 2:x,y 在变,票价为 10 元没变. 师:票房收入随售出票数的变化而变化. 问题三:在一根弹簧的下端挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,

探索它们的变化规律.如果弹簧长原长为 10cm,每 1 千克重物使弹簧伸长 0.5cm,怎样用含重

物质量 x(kg)的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)? 师:某同学你来解答. 生 3:L=10+0.5x. 师:怎么考虑的? 生 3:每 1 千克重物使弹簧伸长 0.5cm,挂重物质量 xkg,受力后的弹簧长度 0.5xcm,弹簧

长原长为 10cm,所以受力后的弹簧长度 L=10+0.5x. 师:非常好,那么谁在变化? 学生齐答:x、L 在变. 问题四:要画一个面积为 10 的圆,圆的半径应取多少?当圆的面积为 20 时呢?怎样用含圆

面积 s 的式子表示圆的半径 r 呢? (过程略) 问题五:用 10m 长的绳子围成长方形,试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化?

记录不同的长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律.设长方形的边

长为 x 米,面积为 S 平方米,怎样用含 x 的式子表示 S? (过程略) 教师根据得出的关系式归纳 变量:在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量. 常量:在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量. ……

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(1)请简要评析该教学过程的特点. (2)如果你是该教师,如何引导学生思考并得出变量的相关概念? (3)通过上述教学过程你得到了哪些启示?在教学过程中问题的提出应注意什么?

2.(高级中学)某教师的例题解题课如下:

环节一:教师给出例题,已知椭圆 C 的左焦点 F(-1,0),且点 P(1,23)在椭圆 C 上,

求椭圆 C 的标准方程,接着老师请学生做大约 30 秒,教师站在讲台上观察.

环节二:教师请学生甲站起来说解题过程,同时板书学生甲的过程,并及时矫正如图一:

环节三:教师请学生乙站起来说解题过程,同时板书学生乙的过程,并及时矫正如图二:

解:设椭圆方程为x2

a2+ y2

b2= 1,则

1a2

+ 94b2

= 1,

又∵ c = 1,a2 − b2 = 1,解得 a=2,b2 = 3

∴椭圆标准方程为x2

4+ y2

3= 1

图一

解:∵ 2a = PF1 + PF2 = �4 + 94

+ �94

= 52

+ 32

= 4

∴a=2∵ c = 1 ∴ b2 = 3

∴椭圆方程为x2

4+y

2

3=1

图二

环节四:教师结合板书总结出关于椭圆方程两种方法:待定系数法、定义法,并板书在黑板

环节五:学生做课堂练习,求与椭圆方程 4x2 + 9y2 = 36有相同焦点,且过(-3,2)的椭

圆标准方程

随堂观察学生的课堂练习情况发现一种现象:学生求解例题用哪种方法,课堂练习依然使用

同种方法,说明案例中教学并没有促进学生对解题方法进行优化.

(1)说明案例中这位教师在教学过程中哪些做法符合教学规律?

(2)你认为这位老师还可以有哪些改进?

(3)本节内容蕴含了哪些数学思想方法?

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六、教学设计题

1.(初级中学)《新人教版七年级数学上册第三章第 2 节》关于直线、射线、线段的教学要

求是:了解线段、射线和直线的特征及表示方法,归纳线段、射线和直线的区别.请基于该要求.完

成下列教学设计任务:

(1)设计直线、射线、线段的三维教学目标. (2)设计两种让学生发现直线、射线、线段特征的教学流程. (3)设计归纳线段、射线和直线的区别的教学流程,使学生领悟教学过程中的数学思想方

法. 2.(高级中学)关于等比数列前 n 项和的教学要求是:通过学习公式的推导,发现公式的特

点进而掌握公式的运用. 请基于该要求完成下列教学设计任务: (1)设计等比数列前 n 项和的教学目标; (2)设计两种让学生发现等比数列前 n 项和的教学重点以及难点; (3)设计等比数列前 n 项和的教学流程,使学生领悟教学过程中的数学思想方法.

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第五章 备考指导 工欲善其事,必先利其器。教师招聘考试有着难度大、流程复杂、竞争人数多等特点,教招

考试的特点决定其是长期阶段性的考试。为此,我们需要进行详细的规划,分成若千阶段进行精

确、全面的复习,使自己形成一把锋利的“备考利器”。只有这样,我们才能轻松拿下教招考试。 根据近几年的考试时间和发布公告时间分析来看,一般公告出示与考试时间的间隔大约为 2

个月左右,而 2 个月的时间来应对数学教资考试时间是非常紧迫的,所以在公告之前我们就需要

抓紧时间备考,以数学的考试要求来看,备考时间不宜低于 3 个月,对于教师资格考试中数学的

备考一定要有大量的大学数学专业知识的储备,并且对于教材教法内容及考试题型很了解,,才

能轻松在考试中脱颖而出,那么如何在 3 个月中备考呢?下面我们就来看我们的备考建议:

第一阶段:夯实基础 备考时间建议:30 天 以梳理基础考点为主,并构建思维导图,以做练习为辅。 在每天学习新知识之前复习前一天学过的知识,并利用遗忘规律多进行回顾,学完新知识后,

马上构建思维导图,不断进行强化,晚上睡觉前花十来分钟运用思维导图的方式回忆一遍当天所

学知识;每学完一章的内容,就对知识体系进行一次梳理。 比如,复习完统计与概率就可以构建出下面的思维导图:

这是一份可以帮助自己快速掌握知识框架,快速记忆,快速自检的图表。由于版面问题只能

放上一小部分,更多相关内容可以向我们工作人员及老师询问。 在此阶段重在基础,但是切记不要陷入极端,市面上的辅导类书籍很多,但是请大家不要乱

买。很多题目都是偏题,超纲题,甚至有争议的题目。在这个阶段的复习中,我们不建议做过多

难题,碰到有争议的题目请不要过分纠结,真要是有强迫症,请来问老师,保证几分钟解决! 在此阶段专业的基础知识需要强化和夯实,如果大家有充分的时间,可以参考中公上课的模

式。 第二阶段:刷题阶段

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备考时间建议:30 天 以做分题型练题为主,看书为辅。 通过做分模块练题,达到查漏补缺的作用,没有掌握好的,赶紧再看书强化,建立错题本。 这个阶段,一定要注意主观题的训练,一定要按照考试的标准来写主观题(光背不写是没有

用的),并且去摸索试题的解题技巧。 习题强化阶段是整合知识、提高分析能力和问题解决能力的时候,也是巩固知识的最佳阶段。

这个阶段是通过习题来进行知识点的巩固阶段。 这个阶段可以把教材再快速的过一遍。 第三阶段:强化提升 备考时间建议:20 天 以错题总结为主,知识梳理为辅。 通过对错题的分析、对比,找到相应的知识点,进行分析归纳,找到知识短板,并就此知识

点做相应的专项训练。 这个阶段,要注意对错题的分析,对知识的梳理,然后分专项进行训练,对遗忘或不清晰知

识做深刻记忆和掌握,并结合常考考点进行专题复习,逐块攻克,并在思维导图中标出重要考点,

常考知识点,加强练习。 强化提升阶段是查漏补缺的过程,对不理解和理解偏差的知识点进行梳理和强化。这个阶段

是通过错题本来进行知识查漏补缺的提升阶段。 第四阶段:冲刺阶段 备考时间建议:10 天 模拟考试,训练解题速度,检测学习成果。 建议考生在备考的最后阶段对自已进行模拟考试,严格把握考试时间及题型题量,训练解题

速度,检测学习成果。并在考前对知识进行最终梳理,从容应考。 这一阶段,一定是做全真的模拟卷阶段。通过做全真模拟卷,快速提高应试能力,把握应试

技巧。 给前一阶段的习题强化来一个漂亮的收尾。

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【2019 下半年教资笔试备考白皮书资料】

关注中公微信公众号[广西教师(gxjsks)或扫描上方二维码回

复“白皮书”可查看其他科目白皮书;

回复“易错题巩固练习”获取备考练习答案;

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【2019 下半年教资笔试暑假直播课】

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2019 下半年教师资格笔试直播课程 题型 班级名称 上课内容 课程安排 价格

组合班 学霸套餐组合班

综合素质专项梳理+科目二专

项梳理+综合素质刷题提升+

科目二刷题提升

组合 A 6.10-8.31 原价 856元

开班前 596元 组合 B 8.5-10.26

组合 C 9.5-10.26

专项班

综合素质专项班

1课时开学典礼+21课时基础

精讲+3课时历年试题讲解+3

课时主观题梳理+12课时写作

提升+3课时全真模拟

01期 6.10-6.28

原价 229元

开班前 169元 02期 8.5-8.23

03期 9.5-9.21

科目二专项班

1课时开学典礼+21课时基础

精讲+3课时历年试题讲解+3

课时主观题梳理+12课时写作

提升+3课时全真模拟

01期 7.8-7.26

原价 229元

开班前 169元 02期 9.5-9.21

03期 10.9-10.24

学科专项班 45课时 01期 7.29-8.16 原价 239元

开班前 209元 02期 9.19-10.12

刷题班

综合素质刷题班 3套历年真题+9套模拟练习

01期 7.24-8.3

原价 199元

开班前 149元

02期 9.23-10.12

科目二刷题班 01期 8.21-8.31

02期 10.16-10.26

学科刷题班 2套历年真题+7套模拟练习

01期 8.21-8.30 原价 160元

开班前 119元 02期 10.16-10.25

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