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8/18/2019 Clase No 4 Fisica III B INTERFERENCIA
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LOS PATRONES DECOLOR QUE
RESPLANDECENSOBRE LAS POMPAS
DE JABÓN SON UNA
DE LAS
MANIFESTACIONES
DEL FENÓMENO DE
INTERFERENCIA .
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Si E 1( x,t ) y E 2( x,t ) son soluciones ec. ondas,
E 1( x,t ) + E 2( x,t ) también es solución
demostramos que:
2 2 2
1 2 1 22 2 2
( ) E E E E x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ = +
2 2 2
1 2 1 22 2 2( ) E E E E t t t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+= +
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )1 1 10
E E E E E E E E
x c t x c t x c t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ +− = − + − =
La luz es un fenomeno vectorial .Entonces el campo eléctrico resultante en un punto en elespacio donde dos o más ondas luminosas se superponenes igual a la suma vectorial de las perturbacionesconstitutivas individuales.
La interferencia óptica se puede decir que es una interacciónde dos o más ondas de luz que producen una intensidadresultante, la cual se desvía de la simple suma de lasintensidades individuales.
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Suma de ondas
E1 = E01 sen[k(x - vt) ]E2 = E02 sen[k(x - vt) + δ]
En fase En contrafase
Supongamos dos ondas LP, de la
misma frecuencia y que se
propagan en la misma dirección.
Decimos que las ondas están
desfasadas, si parados en un pto.
del espacio podemos observarque estas ondas no alcanzan los
máximos en el mismo instante.
Veremos que la combinación de estas ondas se
denomina interferencia. Resultado está gobernado por la diferencia de fase δ.
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Ondas que se combinan
en fase dan una máximavisibilidad.
Ondas que se combinan 180°fuera de fase (contrafase)se cancelan y dan una
visibilidad nula.
Ondas que se combinan
con diferentes fases en sumayor parte se cancelan y
la resultante presenta una
baja visibilidad.
=
=
=
Interferencia
constructiva
(coherente)
Interferencia
destructiva
(coherente)
Suma
incoherente
Consideramos el efecto que producen la superposición de ondas que se
propagan en el mismo sentido. En general, éstas pueden tener dist intoorigen y dist inta fase inicial.
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Una fuente monocromática es aquella que emiteluz con una única frecuencia ó longitud de onda
Conideraciones generales:
Fuentes monocromáticas
λ π
λ ν 2
)(0
==
−=
k c
iwt kxsen E E
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Dos fuentes monocromáticas se dicen coherentes cuando emiten luz
con la misma frecuencia y tienen una relación de fase definida yconstante (δ= δ2- δ1 =cte).
Luz coherente (laser)
Luz incoherente (lámparas
de filamento, sol)
E1 = E01 sen[k(x - vt) + δ1 ]
E2 = E02 sen[k(x - vt) + δ2]
Ondas que se combinan con
diferentes fases en su mayorparte se cancelan y la resultante
presenta una baja visibilidad.
=
Sumaincoherente
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π δ m2= π δ )12( += m
ONDAS EN FASE ONDAS EN CONTRAFASE
Onda 1
Onda 2
ResultanteEn un caso extremo, dosondas de igual amplitud y
frecuencia se encontrarántotalmente desfasadas, dando
como resultado una
cancelación de ambas.
ResultanteResultante
INTERFERENCIA
CONSTRUCTIVA
INTERFERENCIADESTRUCTIVA
INTERFERENCIADESTRUCTIVA TOTAL
Onda 1
Onda 2Onda 1
Onda 2
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Interferencia - Experimento de Young (1880)
En un punto sobre la pantalla se
produce interferencia constructiva si
las ondas llegan con un desfase de
λ e interferencia destructiva si el
desfase es λ/2
Luz monocromáticaatraviesa dos ranurasseparadas una distancia d
Las interferencias serecogen en una pantallasituada a una dadadistancia de las rendijas.
d
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De acuerdo al principio superposición el
campo eléctrico en un punto P es la suma
vectorial de E1 y E2. El campo eléctrico en
una onda luminosa varia muy rápidamente
con lo cual valores instantáneos sonprácticamente indetectables, se mide la
intensidad.
El vector de Poynting es:
Entonces, la intensidad resultante es:
término de interferencia
Para fuentes incoherentes (ej luz blanca), no existe una relación
de fase definidad entre E1 y E2 y el término cruzado se anula.
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E1 (r, t) = E 01 sen (k r 1 - w t)
E2 (r, t) = E 02 sen (k r 2 - w t + α)
Utilizando el principio de superposición:
E (r, t) = E 1 (r, t) + E 2 (r, t)
Consideraremos el método algebraico para analizar la superposición de
ondas.
CASO GENERALTenemos dos ondas de amplitudes diferentes, de la misma frecuencia y que
pueden diferir en su fase
E (r, t) = E 1 (r, t) + E 2 (r, t) = E 01 sen (α1- w t)+ E 02 sen (α2 - w t)
k r 1 k r 2 + α
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Consideremos campo eléctr ico esta dado por
E(r,t) = E0 sen (kr-wt+ε)
término de interferencia
Analicemos el termino de interferencia
0
2
12 ~
I c E ε =
E 1 = E 01 sen (α1- w t)
E 2= E 02 sen (α2 - w t)
=1/2
=1/2=0
E2=E.E =(E1+E2)(E1+E2)=++2
E 02 = E 01
2+ E 022 + 2 E 01 E 02 (senα1senα2+cosα1 cosα2)=
= E 012
+ E 022
+ 2 E 01 E 02 cos(α1 -α2)=
amplitud fase fase inicial
sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b
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donde:
E 02 = E 01
2+ E 022 + 2 E 01 E 02 cos δ 1 2
δ 1 2 = α 2 − α 1
α 1 = k r 1 α 2 = k r 2 + α
La expresión para la Intensidad será:
I α E 02 = E 01
2+ E 022 + 2 E 01 E 02 cos δ 1 2 = I 1 + I 2 + 2 ( I 1 I 2)
1/2 cos δ 1 2
I = I 1 + I 2 + 2 ( I 1 I 2)1/2
cos δ 1 2
término de Interferencia.
Si δ 1 2 = 0, ± 2 m π c o s ( ) = 1 Máximo (ondas en fase)
δ 1 2 = π, ± (2 m+1) π c o s ( ) = − 1 Mínimo (ondas en contrafase) Analicemos δ 1 2 = α 2 − α 1 , que puede tener distinto origen:
α2 − α
1 = k r 2 - k r 1 + α = k ∆ r + α = (2 π / λ) ∆ r + α
Dif. fase producida por la dif.camino óptico entre las dos ondas.
Dif. fase producida por dif. faseoriginal, reflexiones, etc.
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δ = α 2 − α 1 = (2 π / λ) ∆ r = ( 2 π / λ) d sen θ.
δ = 0, ± 2 m π Máximo d sen θ = m λ m=0, 1, 2,...
δ = π, ± (2 m+1) π Mínimo d sen θ = (2 m+1) λ /2 m=0, 1, 2,...
En un dado punto P sobre la pantalla se superponen las dos ondas quellegan desde S1 a S2.
Dif. fase δ12 esta
originada en la dif.camino entre la
onda que proviene
de S1 y S2
a
d sen θ
λ
π θ
λ
π δ
2sen
2d r =∆=
La diferencia de caminos ópticos
entre los rayos procedentes de
las dos fuentes causa un
desfase
d
Interferencia constructiva
Interferencia destructiva
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Interferencia constructivaInterferencia destructiva
¿Como se pueden localizar las posiciones de las franjas
sobre una pantalla?
Si L >> d esto significa que θ es
pequeño y es valido aproximar
d sen θ
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ym = m λ (L/d)
posición franja brillante m-esima
Distancia entre máx. sucesivos:
∆ym (máximos) = ym+1 - ym =λ (L/d)
Máx.
0
-1
-2
2
1
Mín.
1/2
3/2
-1/2
-3/2
∆y d L
y
λ
=∆
La distancia entre mínimos sucesivos se puedesemostrar que también resulta:
∆ym (minimos) = λ (L/d)
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Si las dos ranuras son iguales y la intensidad luminosa que pasa por
ambas es la misma, la distribución de intensidad sobre la pantalla es:
I = 4 I 0 cos2 (δ / 2)
= λ π Lyd cos4 20 I I
(centro brillante)
¿COMO ES LA INTENSIDAD OBSERVADA SOBRE LA
PANTALLA?
δ = (2 π / λ) d sen θ= (2 π / λ) d (y/L)
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¿Cambia la distribución sobre una pantalla si
cambia la longitud de onda?
¿Cambia la distribución sobre una pantalla si cuando
cambia la distancia a la pantalla?
Disminuye λdisminuye ∆y
d
L y λ =∆
Luz blanca
(policromatica)
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RESUMIENDO:
Experiencia de Young
Máximos:
λ
λ θ
π λ
π
θ δ
d
Lmy
sen
=⇒
==⇒
==
L
y
d
msen
md 2
2
λ
λ θ
π λ
π θ δ
d
L
2
1)(2m y
sen
+=⇒
=+=⇒
+==
L
y
d
msen
md
2
)12(
)12(2
Mínimos:
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INTERFERENCIA EN LÁMINASDELGADAS
•Pompas de jabón•Manchas de aceite
¿Dónde tiene origen esta interferencia?
Luz
agua
color
aceite
Transmisión + reflexión: * cambio de fase* diferencia de camino óptico
Reflexión: * cambio de fase
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Recordemos ec. de Fresnel para medios
dieléctricos.
E perpendicular al plano incidencia
Reflexión externa ni < ntr
⊥
= (E 0 r / E 0 i) ⊥ < 0 Para todo ángulo θ iHay una inversión de fase en π para (E 0r )⊥ si n i < n t
Reflexión interna n i > n t
r ⊥ = (E 0 r / E 0 i) ⊥ > 0 Para todo ángulo θ iEn particular para θ i ≥ θ c r ⊥ = 1(E 0r )⊥ está en fase respecto de (E 0i)⊥ si n i > n t
Comp. campo eléctr ico perpendicularal plano de incidencia sufre uncorr imiento de fase de
π
radianes bajoreflexión cuando el medio incidentetiene un índice menor que el mediotransmisor n inc < ntrans
Similar cuerda vibrante
BiEi Er
Br
ni
nt
n< ni t
BiEi
Er Br
ni
nt
n> ni t
Interferencia en películas
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Si n1 < n2 el desfasaje en
π lo produce la reflexión
en la interfase superior
Si n1 > n2 el desfasaje enπ lo produce la reflexión
en interfase inferior lámina
n1
n2
n1
π λ
π δ += d n 2
22 AMBOS CASOS
Interferencia en películas
delgadas por reflexión
n1
n2
n1
n1
n2
n1
Interferencia películas delgadas por reflexión
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d n 22
2λ
π δ =
m2m2 d =⇒= λ π δ
1)(2m41)m2( +=⇒+= d λ π δ
Si n1< n2
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Si n1 < n2 > n3
α 2 = (2 π / λ) 2 npel d (dif. camino óptico)
α 1 = π (reflexión nincidente < ntransmisor )
δ
= (2 π / λ
) 2 npel d + π → δ = 2 m π Máximo→ δ = (2 m+1) π Mínimo
2 npel d = (2 m+1) λ/2 Máx. ( brillante)
2 npel d = (m+1) λ Mínimo ( oscura)
Si la lámina tiene espesor variable y se ilumina con luzblanca, las condiciones valen paracada color (λ). Ej: pompas de
jabón, película aceite sobre asfalto.
aire
π
0
naire=1npelicula=1.7nvidrio=1.5
película n2
n1
n3
Interferencia películas delgadas por reflexión
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aire n=1
aire n=1 jabón n=1.3
L
Rayo reflejado2
Rayo reflejado1
Rayos interfieren
por reflexión
Cambio defase 180
grados
jabón n=1.3
aire n=1
aire n=1
L
Rayos interfieren por
transmisión
No se producecambio de fase
por reflexión
Comp. campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia sufreun corr imiento de fase de π radianes bajo reflexión cuando el medioincidente tiene un índice menor que el medio transmisor n inc < ntrans
INTERFERENCIA EN LÁMINAS DELGADAS
Rayo transmitido 3
Rayo transmitido 4
No se producecambio de fase
por reflexión
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PELICULAS ANTIRREFLECTANTESPelículas que se colocan en la interfase entre dos medios transparentes y
minimizan la reflexión en las superficies
Ejemplo: “coating” (recubrimiento) en cámaras fotográficas, telescopios, etc.
En este caso n 1 < n 2 < n 3
δ = α 2 − α 1
α 2 = (2 π / λ) 2 n2 d + π (dif. Camino óptico + reflexión)
α 1 = π (reflexión medio mas denso)
δ = (2 π / λ) 2 n2 d = (2 m+1) π Mínimo
m=0,1, 2…..
Imponemos la condición de mínimo porque
queremos que se refleje la menor intensidad
luminosa posible.
d = λ / 4 n2
(espesor mínimo)
n2
n1
n3
Interferencia destructiva
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INTERFERENCIA Anillos Newton
Cuando una superficie curva devidrio se coloca en contacto conuna superficie plana de vidrio, se veuna serie de anillos concéntricoscuando se ilumina.
Estos anillos son los patrones deinterferencia generados a partir dela delgada capa de un fluido (airepor ejemplo) que queda alojada
entre las dos superficies de distintacurvatura.
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ANILLOS DE NEWTON
Se observa una
franja brillantecuando se produce
una interferencia
constructiva.
emSuperficie superior
Haz
incidente
Haz reflejado
por la superficiesuperior
Haz reflejado
por la
superficie
inferior
Superficie inferior
Se utiliza para testear
elementos ópticos talescomo lentes.
RR (radio de
curvatura
lente)
OS O H
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ANILLOS DE NEWTON
δ = α 2 − α 1α 2 = (2 π / λ) 2 n2 e + π (dif. camino óptico + reflexión)
α1= 0 (reflexión)
Calculamos el espesor película entre placa vidrio-lente
en en función de r m (donde r m :radio anillo m-esimo) yR (radio de curvatura de la lente)
R2 = r m2 + ( R – e )2 = r m
2 + R 2 − 2 R e + e2
Sea R>>e se desprecia el último término y se obtiene:R2
r e
2m=
π π
λ
π π
λ
π δ mnen 22
22
222 =+
=+=
R2
r 2m Interferencia constructivaCondición máximo
( )2
mn
R21mr
λ−= Radio anillos brillantes
n2=naire=1n1=nvidrio=1.5
n3=nvidrio=1.5π
0
mr
Haz
incidente
cuando se observa por reflexión
anil los de Newton il l d N t
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anil los de Newtonpor transmisión
anil los de Newtonpor reflexión
π λ
π π
λ
π δ +
=+=
R2
r 2m22 2
22
2nen
Comp. campoeléctrico sufre uncorrimiento defase de π radianesbajo reflexióncuando n inc < ntrans
==
R2
r 2m22 2
22
2nen
λ
π
λ
π δ
n2=naire=1n1=nvidrio=1.5
n3=nvidrio=1.5
0
Haz
incidente
n2=naire=1n1=nvidrio=1.5
n3=nvidrio=1.5
Haz
incidente
π
π π
n2=naire=1
En el centro de la lente:
r = 0 δ = π
Condición mínimo interf (centro oscuro)
En el centro de la lente:
r = 0 δ = 0
Condición máximo interf (centro brillante)
ANILLOS DE NEWTON
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¿Por qué diferentes colores?
Considerando el caso que se observe por reflexión
π λ
π π
λ
π δ +
=+=
R 2
r 2
22
2 2mt t nen
ANILLOS DE NEWTON
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Anillos de Newton
2 em n2=diferencia de camino óptico
Recordar que λmedio incidente=λvacio/nmedio incidente
π λ
π π
λ
π δ +
=+=
R2
r 2m2212 2
22
2nen
emr m
r m
n1=nvidrio=1.5
n3=nvidrio=1.5
n2=1
INTERFERENCIA - CUÑAS OPTICAS
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INTERFERENCIA - CUÑAS OPTICAS
Consideramos el caso una cuña de aire que forma un ángulo θ entre dos vidrios. (na < nv).
δ = α 2 − α 1 (cuando se observa por reflexión)
α 2 = (2 π / λ) 2 naire d + π (dif . fase x camino óptico + reflexión)α 1 = 0 (dif. fase x reflexión)
δ = (2 π / λ) 2 n aire d + π → 2 m π Máximo→ 2 m+1) π Mínimo
Como d es variable, la cuña produce franjas de interferencia.
Para d = 0 δ1 2
= π Mínimo
El mínimo siguiente δ = 2 π / λ) 2 naire d + π = 3 π → δ = λ d/ 2 naire
Para el orden m δm = m λ d/ 2 naire
n1=nvidrio=1.5n2=naire=1n3=nvidrio=1.5
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Cuñas de Aire
x
doscuras
franjaslasde posición2
mx2m2t
pequeñoesθsi
→=
=⇒=
≈
θ
λ
λ θ λ
θ
m x
ó
x
t
Es posible calcular θ conociendo la separación entre franjas tg θ ≅ θ = d / x
δ = (2 π / λ) 2 naire d + π = (2m+1) π
d
2d
nvidrio=1.5naire=1nvidrio=1.5
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Película de petróleo
sobre agua
Anális is de calidad de componentes ópticos:anillos de Newton (en lentes)