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Introduccion a la Matematica Discreta: Teorıade Conjuntos
Erik Papa [email protected]
Universidad Tecnol ogica del Peru (UTP)Facultad de Ingenierıa Industrial y de Sistemas
Abril del 2012
Erik Papa Quiroz [email protected] Introducci on a la Matem atica Discreta: Teorıa de Conjuntos
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Contenido
1 Introduccion
2 Objetivo General
3 Motivacion
4 Teorıa de Conjuntos
5 Operaciones con Conjuntos
6 Aplicaciones
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Introducci onObjetivo General
Motivaci onTeorıa de Conjuntos
Operaciones con ConjuntosAplicaciones
Introduccion
La teorıa de conjuntos es la base de toda estructuramatematica.
Es importante en computacion para poder implementaralgoritmos y operaciones con algoritmos: union dealgoritmos, exclusion, etc.
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Introducci onObjetivo General
Motivaci onTeorıa de Conjuntos
Operaciones con ConjuntosAplicaciones
Objetivo General
Al final de esta unidad el alumno sera capaz de resolverproblemas de sondeos, muestras en hospitales, audiencia,estadısticas, etc usando la teorıa de conjuntos.
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Introducci onObjetivo General
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Operaciones con ConjuntosAplicaciones
Problema 1
Se ha realizado una encuesta entre 1200 estudiantes de laUTP que beben gaseosas de las marcas P y Q, obteniendocomo resultados lo siguiente: 300 estudiantes tomanexlusivamente la gaseosa P y 50 toman solo la gaseosa Q.¿Cuantos estudiantes beben de ambas marcas?
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Introducci onObjetivo General
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Operaciones con ConjuntosAplicaciones
Problema 2
Se han obtenido los siguientes resultados en una muestra de100 estudiantes de la UTP:
a) 12 estudiantes cursan Analisis Matematico II, Fısica II ySistemas Operativos
b) 22 cursan solo Analisis Matematico II y Fısica II
c) 3 cursan unicamente Analisis Matematico II y SistemasOperativos
d) 7 solo Fısica II y Sistemas Operativos
e) Todos ellos cursan, al menos, una de las tres disciplinas.
Encontrar el total de estudiantes que cursan una sola materia.
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Problema 3
En una muestra de 100 pacientes se ha encontrado que 74 deellos presentan sıntomas de artritis, 17 de fibromialgia y 25 deosteoporosis. De los 100, 4 en concreto presentan los tressıntomas. Por otra parte, cada paciente presenta, al menos,una de las tres enfermedades. Se trata de conocer el numerode pacientes que presentan sıntomas de solo dos de lasenfermedades.
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Introducci onObjetivo General
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Definiciones y Notaciones
Un conjunto es una coleccion de objetos con agunapropiedad en comun. Usualmente lo denotaremos conletras mayusculas. Por ejemplo A, B, etc
Dado un conjunto A, escribimos x ∈ A si x es un elementode A. Caso contrario escribimos x /∈ A.Por ejemplo, sea
A = {1, 3, 5, 8}
entonces 3 ∈ A pero 9 /∈ A.
∀ significa para todo
∃ significa existe
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Operaciones con ConjuntosAplicaciones
Definiciones y Notaciones
Dados dos conjuntos A y B se dice que A esta incluido enB o que A es una parte de B o que B contiene a A,denotado por A ⊂ B, si todo elemento de A esta en B.Por ejemplo, sean
A = {1, 3, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
entonces podemos afrimar que A ⊂ B.
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Definiciones y Notaciones
Dados los conjuntos A y B, escribimos A 6⊂ B si existe porlo menos un elemento de A que no esta en B.Por ejemplo, sea
A = {1, 3, 5, 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
entonces afirmamos que A 6⊂ B.
Dado el conjunto A, denotamos por |A| al numero deelementos distintos del conjunto A.Por ejemplo, sean
A = {1, 3, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1},
entonces |A| = ... y |B| = ...
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Definiciones y Notaciones
Dado un conjunto A, denotamos por P(A) el conjunto departes de A, esto es, el conjunto formado por todos sussubconjuntos.Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} entonces
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
y |P(A)| = 8
Teorema: Si A 6= ∅ entonces |P(A)| = 2|A|.
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Definiciones
Sea U el conjunto universal y A, B ⊂ U, definimos:
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ac = {x ∈ U : x /∈ A}
A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}
A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A)
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Ejemplo
Sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Hallar:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) Ac y Bc
d) A − B
e) A ⊕ B
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Ejemplo
Sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Probar quese cumplen las leyes de Morgan:
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
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Resultado Teorico
Teorema
Sean A1, ..., An conjuntos finitos disjuntos dos a dos, esto es,Ai ∩ Aj = ∅,∀i 6= j , entonces:
|A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An|
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Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5}, C = {9, 11, 13}.
Usando el Teorema, hallar |A ∪ B ∪ C|
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Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}.
Usando el Teorema, hallar |A ∪ B|.
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Corolario
Corolario1 Sean dos conjuntos A y B, entonces
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ C|
2 Sean los conjuntos A, B, C entonces
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|
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Solucion del Problema 1
Problema 1
Se ha realizado una encuesta entre 1200 estudiantes de laUTP que beben gaseosas de las marcas P y Q, obteniendocomo resultados lo siguiente: 300 estudiantes tomanexlusivamente la gaseosa P y 50 toman solo la gaseosa Q.¿Cuantos estudiantes beben de ambas marcas?
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Solucion del Problema 1
Soluci on
Sean los conjuntos:A1 = { estudiantes que beben exclusivamente la marca P}A2 = { estudiantes que beben exclusivamente la marca Q}.A3 = { estudiantes que beben las dos marcas de gaseosa }Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, entonces porTeorema:
|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3|.
Como |A1 ∪ A2 ∪ A3| = 1200, |A1| = 300, |A2| = 50, entonces
|A3| = 1200 − 300 − 50
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Problema 2
Problema 2
Se han obtenido los siguientes resultados en una muestra de100 estudiantes de la UTP:
a) 12 estudiantes cursan Analisis Matematico II, Fısica II ySistemas Operativos
b) 22 cursan solo Analisis Matematico II y Fısica IIc) 3 cursan unicamente Analisis Matematico II y Sistemas
Operativosd) 7 solo Fısica II y Sistemas Operativose) Todos ellos cursan, al menos, una de las tres disciplinas.
Encontrar el total de estudiantes que cursan una sola materia.Erik Papa Quiroz [email protected] Introducci on a la Matem atica Discreta: Teorıa de Conjuntos
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Problema 2
Soluci on del Problema 2
Sean los conjuntos:
A1 = { alumnos que cursan las tres disciplinas } ⇒ |A1| = 12
A2 = { alumnos que cursan solo AM II y Fisica II } ⇒ |A2| = 22
A3 = { alumnos que cursan solo AM II y SO } ⇒ |A3| = 3
A4 = { alumnos que cursan solo Fısica II y SO } ⇒ |A4| = 7
A5 = { alumnos que cursan solo AM II }
A6 = { alumnos que cursan solo Fısica II }
A7 = { alumnos que cursan solo SO }
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Problema 2
Soluci on del Problema 2
Los conjuntos son disjuntos, entonces aplicando el Teorema:
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|+|A6|+|A7|.
Entonces:
|A5| + |A6| + |A7| = 100 − (12 + 22 + 3 + 7) = 56.
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Problema 3
Problema 3
En una muestra de 100 pacientes se ha encontrado que 74 deellos presentan sıntomas de artritis, 17 de asma y 25 deosteoporosis. De los 100, 4 en concreto presentan los tressıntomas. Por otra parte, cada paciente presenta, al menos,una de las tres enfermedades. Se trata de conocer el numerode pacientes que presentan sıntomas de solo dos de lasenfermedades.
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Problema 3
Soluci on del Problema 3
Sean los conjuntos:
A1 = { solo sıntoma de artritis }
A2 = { solo sıntoma de asma }
A3 = { solo sıntoma de osteoporosis }
A4 = { solo sıntoma de artritis y asma }
A5 = { solo sıntoma de artritis y osteoporosis }
A6 = { solo sıntoma de asma y osteoporosis }
A7 = { sıntomas de las tres enfermedades }
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Problema 3
Soluci on del Problema 3
Los conjuntos son disjuntos, entonces aplicando el Teorema:
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|+|A6|+|A7|.
Pero|A1| = 74 − |A4| − |A5| − |A7|
|A2| = 17 − |A4| − |A6| − |A7|
|A3| = 25 − |A5| − |A6| − |A7|
Entonces:
100 = 116 − |A4| − |A5| − |A6| − 2|A7|
⇒ |A4| + |A5| + |A6| = 116 − 100 − 2(4) = 8.
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Referencias
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