Download - Curs I Vectori Liberi
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Lectia I Spatiul liniar al vectorilor liberi
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu
Lectia I
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Table of Contents
1 2 3 4 5
Denitia vectorilor liberi
Adunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalari
Aplicatii
Bibliograe
Oana Constantinescu
Lectia I
Segmente orientate
Notam cu Denition Un
S
multimea punctelor spatiului.
(A, B ) S S.Il notam prin Dreapta
segment orientat AB .
este o pereche ordonata de puncte
A se numeste originea iar B extremitatea.
AB
(daca
segmentului orientat
A = B) AB .
se numeste
dreapta suport
a
AA
este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Segmente orientate
Notam cu Denition Un
S
multimea punctelor spatiului.
(A, B ) S S.Il notam prin Dreapta
segment orientat AB .
este o pereche ordonata de puncte
A se numeste originea iar B extremitatea.
AB
(daca
segmentului orientat
A = B) AB .
se numeste
dreapta suport
a
AA
este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Segmente orientate
Notam cu Denition Un
S
multimea punctelor spatiului.
(A, B ) S S.Il notam prin Dreapta
segment orientat AB .
este o pereche ordonata de puncte
A se numeste originea iar B extremitatea.
AB
(daca
segmentului orientat
A = B) AB .
se numeste
dreapta suport
a
AA
este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Segmente orientate
Notam cu Denition Un
S
multimea punctelor spatiului.
(A, B ) S S.Il notam prin Dreapta
segment orientat AB .
este o pereche ordonata de puncte
A se numeste originea iar B extremitatea.
AB
(daca
segmentului orientat
A = B) AB .
se numeste
dreapta suport
a
AA
este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Relatia aceeasi directie
Denition Doua segmente orientate dintre urmatoarele situatii:
au aceeasi directie
daca se aa intr-una
unul dintre ele este segmentul nul; segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.Relatia au aceeasi directie este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate, deoarece relatia de paralelism este o relatie de echivalenta pe multimea dreptelor spatiului.
Relatia aceeasi directie
Denition Doua segmente orientate dintre urmatoarele situatii:
au aceeasi directie
daca se aa intr-una
unul dintre ele este segmentul nul; segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.Relatia au aceeasi directie este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate, deoarece relatia de paralelism este o relatie de echivalenta pe multimea dreptelor spatiului.
Relatia aceeasi directie
Denition Doua segmente orientate dintre urmatoarele situatii:
au aceeasi directie
daca se aa intr-una
unul dintre ele este segmentul nul; segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.Relatia au aceeasi directie este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate, deoarece relatia de paralelism este o relatie de echivalenta pe multimea dreptelor spatiului.
Relatia aceeasi directie
Denition Doua segmente orientate dintre urmatoarele situatii:
au aceeasi directie
daca se aa intr-una
unul dintre ele este segmentul nul; segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.Relatia au aceeasi directie este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate, deoarece relatia de paralelism este o relatie de echivalenta pe multimea dreptelor spatiului.
Relatia aceeasi directie
Denition Doua segmente orientate dintre urmatoarele situatii:
au aceeasi directie
daca se aa intr-una
unul dintre ele este segmentul nul; segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.Relatia au aceeasi directie este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate, deoarece relatia de paralelism este o relatie de echivalenta pe multimea dreptelor spatiului.
Relatia acelasi sens
Denition Doua segmente orientate cu aceeasi directie au se aa intr-una din situatiile:
acelasi sens
daca
sunt amandoua nule; dreptele suport sunt distincte si extremitatile lor sunt situate in
acelasi semiplan determinat de dreapta ce uneste originile lor;
Denition
dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia au acelasi sens este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Observatie:
in gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea segmentului orientat.
Denition
dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia au acelasi sens este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Observatie:
in gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea segmentului orientat.
Denition
dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia au acelasi sens este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Observatie:
in gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea segmentului orientat.
Denition
dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia au acelasi sens este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Observatie:
in gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea segmentului orientat.
Denition
dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia au acelasi sens este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Observatie:
in gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea segmentului orientat.
Relatia aceeasi marime
Denition Doua segmete orientate
AB si CD au aceeasi marime d (A, B ) = d (C , D ), unde d este distanta euclidiana d : S S [0, ).
daca
Evident relatia aceeasi marime este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Relatia aceeasi marime
Denition Doua segmete orientate
AB si CD au aceeasi marime d (A, B ) = d (C , D ), unde d este distanta euclidiana d : S S [0, ).
daca
Evident relatia aceeasi marime este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Relatia aceeasi marime
Denition Doua segmete orientate
AB si CD au aceeasi marime d (A, B ) = d (C , D ), unde d este distanta euclidiana d : S S [0, ).
daca
Evident relatia aceeasi marime este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Relatia de echipolenta
Denition Doua segmente orientate sunt au aceeasi marime. Notam
echipolente
daca au acelasi sens si
AB CD .
Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Relatia de echipolenta
Denition Doua segmente orientate sunt au aceeasi marime. Notam
echipolente
daca au acelasi sens si
AB CD .
Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Relatia de echipolenta
Denition Doua segmente orientate sunt au aceeasi marime. Notam
echipolente
daca au acelasi sens si
AB CD .
Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.
Vector liber
Denition Se numeste
vector liber
o clasa de echivalenta in raport cu relatia
de echipolenta pe multimea segmentelor orientate. Notam
AB .
AB = {CD | AB CD } egalidaca reprezentantii lor au
Deci doi vectori liberi sunt
acelasi sens si aceeasi marime. Notam cu
u , w , MN . Marimea vectorului u u = PQ . Ea se noteaza cu |u |.
V
multimea vectorilor liberi si elementele ei cu este
d (P , Q ), P , Q S
cu
Vector liber
Denition Se numeste
vector liber
o clasa de echivalenta in raport cu relatia
de echipolenta pe multimea segmentelor orientate. Notam
AB .
AB = {CD | AB CD } egalidaca reprezentantii lor au
Deci doi vectori liberi sunt
acelasi sens si aceeasi marime. Notam cu
u , w , MN . Marimea vectorului u u = PQ . Ea se noteaza cu |u |.
V
multimea vectorilor liberi si elementele ei cu este
d (P , Q ), P , Q S
cu
Vector liber
Denition Se numeste
vector liber
o clasa de echivalenta in raport cu relatia
de echipolenta pe multimea segmentelor orientate. Notam
AB .
AB = {CD | AB CD } egalidaca reprezentantii lor au
Deci doi vectori liberi sunt
acelasi sens si aceeasi marime. Notam cu
u , w , MN . Marimea vectorului u u = PQ . Ea se noteaza cu |u |.
V
multimea vectorilor liberi si elementele ei cu este
d (P , Q ), P , Q S
cu
Vector liber
Denition Se numeste
vector liber
o clasa de echivalenta in raport cu relatia
de echipolenta pe multimea segmentelor orientate. Notam
AB .
AB = {CD | AB CD } egalidaca reprezentantii lor au
Deci doi vectori liberi sunt
acelasi sens si aceeasi marime. Notam cu
u , w , MN . Marimea vectorului u u = PQ . Ea se noteaza cu |u |.
V
multimea vectorilor liberi si elementele ei cu este
d (P , Q ), P , Q S
cu
Vectori de pozitie
Theorem
Fie u V si O S. Atunci exista un singur punct P S astfel incat OP = u .
Vectorul
vectorul de pozitie al punctului P. Spunem ca am aplicat vectorul u in punctul P. Notam OP = r P . Fixand punctul O , se obtine astfel o bijectie multimea vectorilor liberi V si multimea punctelor spatiului S .se numeste
OP
intre
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Adunarea vectorilor liberi
Lema a) b)
AB CD AC BD ; AB A B si BC B C AC A C .
Oana Constantinescu
Lectia I
Adunarea vectorilor
Denition Fie vectorii liberi punctele Denim
A S . Fie B , unice cu proprietatea u = AB , v = BC . suma vectorilor u + v = AC .si punctul
u, v V
respectiv
C,
Observatie Denitia nu depinde de alegerea punctului A datorita lemei anterioare.
Adunarea vectorilor
Denition Fie vectorii liberi punctele Denim
A S . Fie B , unice cu proprietatea u = AB , v = BC . suma vectorilor u + v = AC .si punctul
u, v V
respectiv
C,
Observatie Denitia nu depinde de alegerea punctului A datorita lemei anterioare.
Adunarea vectorilor
Denition Fie vectorii liberi punctele Denim
A S . Fie B , unice cu proprietatea u = AB , v = BC . suma vectorilor u + v = AC .si punctul
u, v V
respectiv
C,
Observatie Denitia nu depinde de alegerea punctului A datorita lemei anterioare.
Adunarea vectorilorRelatia lui Chasles
AB + BC = ACObservatie
Regasim denitia cunoscuta din liceu data de regula paralelogramului.
Adunarea vectorilorRelatia lui Chasles
AB + BC = ACObservatie
Regasim denitia cunoscuta din liceu data de regula paralelogramului.
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Inmultirea vectorilor cu scalariDenition
R si vectorul u V. Produsul dintre si u este u , denit de urmatoarele proprietati: daca = 0 sau u = 0 atunci u = 0; daca = 0 si u = 0 atunci u are aceeasi directie cu u , acelasi sens cu u daca > 0 si sens contrar lui u daca < 0, iar marimea lui u este |u | = |||u |.Fie scalarul vectorul notat Denitia anterioara nu depinde de reprezentantii alesi ai vectorilor liberi.
Oana Constantinescu
Lectia I
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Inmultirea vectorilor cu scalariDenition
R si vectorul u V. Produsul dintre si u este u , denit de urmatoarele proprietati: daca = 0 sau u = 0 atunci u = 0; daca = 0 si u = 0 atunci u are aceeasi directie cu u , acelasi sens cu u daca > 0 si sens contrar lui u daca < 0, iar marimea lui u este |u | = |||u |.Fie scalarul vectorul notat Denitia anterioara nu depinde de reprezentantii alesi ai vectorilor liberi.
Oana Constantinescu
Lectia I
Structura algebrica a multimii vectorilor liberi
Theorem
Multimea vectorilor liberi, impreuna cu adunarea vectorilor si inmultirea vectorilor cu scalari reali este un spatiu liniar real, adica (V, +, ) verica urmatoarele proprietati: 1) (V, +) este grup abelian: i) (u + v ) + w = u + (v + w ), u , v , w V; (asociativitatea) ii) 0 V a.i. u V, u + 0 = 0 + u = u ; (existenta elementul neutru 0 = AA, A arbitrar ) iii) u V, u a.i. u + (u ) = (u ) + u = 0; (ecare vector admite un opus u = AB , u = BA) iv) u + v = v + u , u , v V, (comutativitatea); 2) i) (u + v ) = u + v ; ii) ( + )u = u + u; iii) ()u = ( u ); iv) 1u = u , , R, u , v V.
Diferenta vectorilor
u v = u + (v ), u , v V,
AB = OB OA, O , A, B S,
AB = r B r A , A, B S.
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Aplicatii
Example Asociativitatea adunarii vectorilor liberi ne permite denirea sumelor nite de vectori. Vericati ca, pentru linia poligonala relatiille urmatoare: 1)
A1 A2 An1 An ,
au loc
A1 A2 + A2 A3 + + An1 An = A1 An ;
2) in cazul unei linii poligonale inchise
A1 A2 + A2 A3 + + An1 A1 = 0.Indicatie: se aplica succesiv regula lui Chasles.
Oana Constantinescu
Lectia I
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Aplicatii
Example Asociativitatea adunarii vectorilor liberi ne permite denirea sumelor nite de vectori. Vericati ca, pentru linia poligonala relatiille urmatoare: 1)
A1 A2 An1 An ,
au loc
A1 A2 + A2 A3 + + An1 An = A1 An ;
2) in cazul unei linii poligonale inchise
A1 A2 + A2 A3 + + An1 A1 = 0.Indicatie: se aplica succesiv regula lui Chasles.
Oana Constantinescu
Lectia I
Aplicatii
Example Fie triunghiul ABC si M mijlocul laturii BC. Demonstrati ca
AB + AC = 2AM r M = (r B + r C ).2
1
Indicatie:
AM = AB + BM , AM = AC + CM , BM = CM .
Aplicatii
Example Fie triunghiul ABC si M mijlocul laturii BC. Demonstrati ca
AB + AC = 2AM r M = (r B + r C ).2
1
Indicatie:
AM = AB + BM , AM = AC + CM , BM = CM .
Aplicatii
Example Fie triunghiul ABC si M mijlocul laturii BC. Demonstrati ca
AB + AC = 2AM r M = (r B + r C ).2
1
Indicatie:
AM = AB + BM , AM = AC + CM , BM = CM .
Aplicatii
Example Fie patrulaterul convex ABCD si E, N, F, M respectiv mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA. Demonstrati ca
EF = (AD + BC ), AC = MN + EF .2
1
Aplicatii
EF = EA + AD + DF , EF = EB + BC + CF , EA = EB , DF = CF . Se aplica relatia deja demonstrata si pentru MN : 2(MN + EF ) = (DC + AB ) + (AD + BC ) = (AD + DC ) + (AB + BC ) = 2AC .Indicatie:
Aplicatii
EF = EA + AD + DF , EF = EB + BC + CF , EA = EB , DF = CF . Se aplica relatia deja demonstrata si pentru MN : 2(MN + EF ) = (DC + AB ) + (AD + BC ) = (AD + DC ) + (AB + BC ) = 2AC .Indicatie:
Aplicatii
Example Vericati ca au loc urmatoarele relatii:
||u | |v || |u + v | |u | + |v |, u , v V,iar egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de acelasi sens. Indicatie: Fie A, B, C a.i.
u = AB , v = BC .
Se aplica
inegalitatile cunoscute pentru lungimile laturilor triunghiului ABC. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este degenerat.
Aplicatii
Example Vericati ca au loc urmatoarele relatii:
||u | |v || |u + v | |u | + |v |, u , v V,iar egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de acelasi sens. Indicatie: Fie A, B, C a.i.
u = AB , v = BC .
Se aplica
inegalitatile cunoscute pentru lungimile laturilor triunghiului ABC. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este degenerat.
Aplicatii
Example Vericati ca au loc urmatoarele relatii:
||u | |v || |u + v | |u | + |v |, u , v V,iar egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de acelasi sens. Indicatie: Fie A, B, C a.i.
u = AB , v = BC .
Se aplica
inegalitatile cunoscute pentru lungimile laturilor triunghiului ABC. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este degenerat.
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Bibliograe
I. Pop , Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica, Ed. Plumb, Bacau, M. Ganga, Matematica, Geometrie, manual pentru clasa a IX-a, Ed. Mathpress, Ploiesti, 2002. I. Vaisman, Analytical Geometry, World Scientic, 1997. M. Postnikov, Lecons de geometrie, geometrie analytique, Ed. Mir, 1981.
Oana Constantinescu
Lectia I
Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe
Bibliograe
C. Ionescu-Bujor, O. Sacter, Exercitii si probleme de geometrie analitica si diferentiala, vol. 1, E.D.P., Bucuresti, 1963. Gh. D. Simionescu, Notiuni de algebra vectoriala si aplicatii in geometrie, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1982. O.N. Tuberbiller, Probleme si exercitii de geometrie analitica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1952.
Oana Constantinescu
Lectia I