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DefinicionesDefiniciones
SetSet Universal SetUniversal Set ElementElement Complete Set Complete Set
CAMPO?CAMPO?
EventEvent Sample Sample
Space, TrialSpace, Trial OutcomeOutcome Event Space o Event Space o
campo de campo de BorelBorel
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contínuo
discreto
Dicótomade clasificación
No Dicótoma
bueno
de orden o rango malo
regular....
Promedios
media mediana y la moda
22
Variación
Varianza
x ( ) elementos del arreglo s
n n
x xx
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Desviación EstándarDesviación EstándarPoblaciónPoblación MuestraMuestra
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Dos Clases de ProblemasDos Clases de Problemas
ModeloKnown
( , )F x
predicción
E x Observaciones
P xxx
Observacionesunknown
( , )F x
estimación
ModelModel Prueba de Hipótesis( )f x
x
( )H i oi
o
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III. Presentación de Gráficas de Datos
• Representaciones Gráficas de Tablas de Frecuencia.
Tabla 10. Distribución frecuencial de diez clases.
Figura 4. Polígono frecuencial basado en el histograma de la figura 3..
Figura 3. Histograma basado en la distribución frecuencia de la tabla 10.
Figura 5. Curva de frecuencia acumulativa basada en la columna de frecuencia acumulativa de la tabla 10.
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II. Estadística Descriptiva
• Existen tres clases de promedios.
Media. Promedio que se obtiene al dividir al dividir la suma de n número entre n:
Mediana. Es el número que se encuentra a la mitad de n números que son ordenados en un arreglo del más grande al más pequeño o del más pequeño al más grande.
Moda. Número que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
Media, mediana y moda también son conocidas como mediciones de tendencia central.
n
x
n
xx
(Media Poblacional)
(Media Muestral)
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II. Estadística Descriptiva
• Intervalo. Distancia del número más pequeño al más grande. El conjunto de números debe está organizado en un arreglo.
• La varianza de un conjunto de números es una medida de la dispersión de los números alrededor de la media. Por lo tanto, es una medida de la variación en un conjunto de números.
n
x
2
2
2
2
1
n
xxs
(Varianza Poblacional)
(Varianza Muestral)
nn
xx
2
2
2
1
2
2
2
n
n
xx
s
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II. Estadística Descriptiva
• Desviación estándar. Se obtiene al tomar la raíz cuadrada de la varianza.
• Las tablas de frecuencia ayudan a visualizar la distribución de una gran cantidad de números. Desafortunadamente no existe una fórmula para construir una tabla de frecuencia.
2
2ss
(Desviación Estándar Poblacional)
(Desviación Estándar Muestral)
nn
xx
2
2
1
2
2
n
n
xx
s
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i
i
Discreto P x P
P 1
x
Recuerde
1
U(x)( )
( )dU x
xdx
1
x x
i
0 0
f ( ) P (x-x )
(x) (x) (0)
(x) (x-x ) ( )
(x) 1
x i
dx x
dx
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2
2
2-
- x
- x
2 22
( )2
2
x
-
Ejemplos en el continuo
I) Normal f(x)=Ae 0
Ae A=
Obviamente
=
1 1 Si A=
2 2Si está corrida
1f(x)= e
2
1F(x)= f(y) exp
2
II)Uniforme
x n
dx
x ndy
1 22 1
1 f(x)= para x x x
x -x
0 en otro lado
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6
2 b2 b+1
0 0
b+1
V) ama
(b+1)m= f( )=A ( )
c
( 1) A A y
c
( 1)
c A=
( 1)
VI) beta
b cx y
x x e cxU x
bx e dx e dy
c
b
b
b
1b
0
A x (1 ) 0 x 1 f(x)=
0
(b+1) (c+1) x (1 ) dx= = ( 1, 1)
(b+c+2)
(b+c+2)A=
(b+1) (c+1)
c
c
x
x b c
? (b,c)
22
22
-a|x|
2 2
x 2
2
x 2 223
VII) Laplace
f(x) = e2
aVIII) Cauchy f(x)=
IX) Rayleigh f(x)= e u(x) = 2
2X) Maxwell f(x)= e u(x) (2 )
2
x
x
x
2 2 2 2
2 =2
2 8 3 4 (3 )
Condicionales Bayes's
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0
Ejemplos discretos
I) Bernoulli
1- , 0
( ) , 1
0,
II) Binomial P
p+q=1
f(x)= (
X
k n k
nk n k
k
p x
P x P X x p x
otro caso
p
nx = k p q
k
np
np q x
k
-a
!
)
II) Poisson
P a>0!
= y k 0
f(x)=e ( )!
xka
U
k
k
k
ax k e
xa
a
ax k
k
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1
0
Ejemplos discretos
I) Geometrica
(1- ) , 1, 2...( )
0,
1/
II) Pascal
1 P
1
p+q=1
/
f(x)=
x
X
k n k
nk
k
p p xP x P X x
otro caso
p
nx = k p q
k
k p
np q
k
( )
III) Uniforme discreta
1/ ( 1), , 1,.....,( )
0, en otro caso
( ) / 2
{
n k
X
x k
l k x k k lp x
k l
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x
k
valor esperado; dispersión; momentos
( )
x
z=x+jy E z =E x +jE z
Integral de Lebesgue
Si y=g(x) E (x) ( ) ¿Porqué?
( )P x=
Superposición
ejemplo
E ax+b E x
Varianza
n n n nn
kk
E x xf x dx
x P x x p
y g f x dx
g x x
a b
2 2 2
2n
2 2 2 2 2
2 2
2 2
E (x ) ( ) f ( )
(x ) P =x
E x 2x E x 2 E x
E x
E x E x
nn
x x dx
x
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x
x
0
1x
22
E ( ) x
Si y=g(x) E ( ) ( ) ( )P x ( )
E ???
E ( ) E
E
E ? significado?
C
n n n nn
k k k kk k
n nn
n
n
n
x xf x dx x P x x p
y g x f x dx g x x g x P
Momentos
x
m x x f x dx x media
x m
M x
Momentos entrales
m
0
?
x 1
22
22 22 1 2
2 22
1
E ( ) ( ) ( )
varianza
n n
a n
a n
m
x x f x dx m
m
asi
m m m
m
momentos generalizados
m
M
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iz i i i
El momento angular de un cuerpo rigido es:
concepto equivalente a el del momento lineal mv
y que lleva al concepto equivalente de fuerza llamado torca
=
L =m r v cos( / 2
i i i im
d dI dI I
dt dt dt
L r × v
ω ω Lτ α
2i i i
2z i
2i
2
2 2
) m (r )( ) m
de donde
L m
por lo que
m
en el continuo
y en el eje Z
( )
i i i i
iz ii i
ii
Z
sen R R
L R
I R
I R dV
I x y dV
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k
a k
| | | |
y los generalizados
( ) en particular
M | |
k kk x
ka
k k
kk
M E x x f
m E x a
m
E x a am
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Funciones de variables aleatorias
2
2
1 2
y
yy
E x E x
x :S
:
( )
y (x)
y :
z (x) (x)
( ) y (x)
( )( )
x
g
g x x
g
g jg
F y P y P g y
dF yf y
dy
h(e(x)) s(y)e(x)
Fe(x)
fe(x)
La media, la varianza
Fs(y)
?
fs(xy
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-11 2
xx 1y
1
1
y x
pdf?
( ) , ,...,
( )( )f ( ) ....
| '( ) | | '( ) |
pero ( ) !!
y-by=ax+b x= '( ) a
a1 -
( )| |
y asen(x ) a>0
n
n
n
n
n
x g y con raíces x x x
f xf xy
g x g x
x g y función de y
g x
y bf y f
a a
yx arcsen
a
2 2
y x2 2
| | - ,....,
'( ) cos( )
1( ) ( )
n n
nn
y a n
g x a x a y
f y f xa y
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y
x
x
y
#
:S
:
( ( ))
( ) al final es
:
( ) y ( )
( ) y=
( )
como se conoce
( )?
x
g
g x
si y g x
y
F y P y P g x y
f x P y P y
conociendo
f x
f y
y x
y x
( ) '( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
f y g y f g y
o
dxf y f g y
dy
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x y
xy
Función de distribución conjunta y Función de densidad conjunta
Sean x & y dos r.v.
x y
x ( ) y ( )
y
x y x , y
La función de distribución acumulativa
( , ) x
x y
P x F x P y F y
x y x y
F x y P
x y
xy
2
, y
( ) ( ) son las marginales
En general F está relacionado a las marginales pero no hay una manera clara de calcularlo.
Función de densidad
( , ) ( , )
x y
F x y F y
F x yf x y
x
x , y ( , )
( , )x , y
( , )x , y
y
P x x dx y y dy f x y dxdy
F x yP x x dx y dx
xF x y
P x y y dy dyy
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xy x
Variables Aleatorias independientes
Dos R.V. son estadísticamente independientes si los eventos x & y son independientes
Es decir x , y x y
( , ) (
x y
P x y P x P y
o F x y F x
y
xy x y
y y x x
) ( )
( , ) ( ) ( )
( | ) ( ), ( | ) ( )
Note y=g(x) y&x no son independientes.
F y
f x y f x f y
También f y x f y f x y f x
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xyy
x
xyxy
yx
xy
xy 2 xy 1y 1 2
x 2 x 1
2
xy
1y 1 2
x 2 x 1
y
Funciones Condicionadas
( , )F ( |x )
(x)
( , )( , )
f ( | x )( )
( , )
F ( , ) F ( , )F ( | x )
F ( ) F ( )
f ( , )d
f ( | x )F ( ) F ( )
F ( |
x
x
x
x
F x yy x
F
F x yf q y dq
yy x
F xf q y dqdy
x y x yy x x
x x
x y x
y x xx x
y
xy
yx
xy xyy y
xxy
x yy
x
f ( , )
x ) F ( | )( )
f ( , ) f ( )f ( | x ) f ( | )
( )( , )
Teorema de Bayes
( | y ) ( ) ( | x )
( )
y
x p dp
x y xf x
x y xyy x y x
f xf x y dy
f x y f yf y x
f x
x yy
x
( | ) ( ) ( | )
( )
f x y f yf y x
f x
Todose puedeIntercambiarx con y
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x y x y x y
x xy xy
y xy xy
( , ) ( , ) 2
(x,y) ( , )
D una región de S ,S D= S S , S S
( , )( , )
( , )( , )
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( ,
y x
D
y
y
x
y
F x y f q p dqdp
P D f x y dxdy
F x yF x P dP
x
F x yF q y dq
y
F x F x f q y dqdy
F y F y f x p
x xy
y xy
)
( ) ( , )
( ) ( , )
dxdp
f x f x y dy
f y f x y dx
( , )f x y z
xy 1( , )f x y
x ( )f x
1x
y
Perfil a corte
x
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11
01 10
Momentos
m E x y f( , )dxdy
orden del momento
m E x,y R correlacion?
m , m
E (x- ) (y ) ( - ) (
r r k rkr
xy
x y
k r kkr x y x y
x y x y
k r n
x y
2 220 02
11
x
) (x,y)dxdy
=
Covarianza E (x- ) (y )
Note E (x- ) (y ) E xy E x - E y
E xy E x E y
Coeficiente de corr
r
x y
k rx y
k rx y y x y
f
11
11
2 2x y
2
2 11 1120 02
20 20
elación
(x- ) (y ) r= =
E (x- ) E (y )
m mNote a) m m m y= x porque E x-y 0
m m
b) |r|=1 y=ax+b Rec
k rx y
x y
E
2
uerde
E (x-a) 0 x
con probabilidad 1
i.e s
a
2
2 2
i 0 o
Si E x E x x cte,
x
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21 1 2 2
2 2 21 21 2
( 2 ( )( ) ( )1
2(1 r )
2
1 2
1 2 x 1 y 2
Ej. variables normales conjuntas
1f( , )=
2 1 r
E x E y , = , =
r coeficiente de la
x r x y y
x y e
x y
x y
correlación
i) Tienen probabilidades marginales f y f (y) normales
ii)Si r=0 2 R.V. normales son independientes.
( , ) ( ) ( )
¿Cómo se ve? con curvas de nivel elipses pues la forma cuadrática es p
f x y f x f y
2 2
1 2
1 2 21 2
ositiva-semidifinida
0
Las elipses tienen centro en ( , ) y su máximo es por tanto
1f( , )
2 1 r
Si son independientes las elipses estarán con sus ejes paralelos a los ejes coor
ax bxy cy dx dy
denados
pués no habrá términos cruzados
Note: Pero si son marginales normales No son Conjuntas Normales
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zw xy
xy 1 1 xyzw
1 1
1 1
z=g(x,y) & w=h(x,y)
( , ) ( , )
( , ) ( , )
Sea el Jacobiano ( , )( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ............
| ( , ) | | ( , ) |
Donde ( , ),...,
zwD
n n
n n
F z w f x y dxdy
g x y g x y
x yJ x y
h x y h x y
x y
f x y f x yf z w
J x y J x y
x y
( , ) sean las soluciones reales de
g( )= & ( , ) para , en terminos de n nx y
x, y z h x y w x y z,w
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y 1x 1zw
1 1
1 1
Si son independientes & z=g(x) w=h(y)
i) z& w son independientes
( )( )ii) ( , )
| '( ) | '( )
con ( , ) una única solución de g( )= & h( )=
g'( ) 0Porque J( , )= '
0 h'( )
f yf xf z w
g x h y
x y x z y w
xx y g
y
z
1 1 n
2 2 2
( ) '( )
Valor Esperado
z=y(x,y)
E z f ( )d
E (x,y) ( , ) ( , )
E g (x,y) .... (x,y) E g (x,y) .... E g (x,y)
E x+y E x E y
E (x+y) E x E y 2E xy
en general E xy E x E y
n
x h y
z z z
g g x y f x y dxdy
g
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00
10 x 01 y
11 xy
11 xy
Momentos
m ?
m =1
m ,
( , ) Correlación
m E ( , )
k+ r = n orden del momento
m E R correlacion
k nkn
r r k rkr
E x y
m
m xyf x y dxdy
x y x y f x y dxdy
xy
01 10
2 220 02
11
m , m
Momentos Centrales
E ( - ) ( ) ( - ) ( ) ( , )
=
E ( - )( ) Covaria
x y
k r k rkr x y x y
x y
x y
x y x y f x y dxdy
x y
11
2 2x y
nza
Note E ( - )( ) E xy E x E y
Coeficiente de correlación
( - )( ) r= =
E ( - ) E( )
x y
x y
x y
x y
x y
x y
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correlación es el producto punto de funciones.
Definiciones sobre dos r.v. x & y
1. No correlacionadas
como variables
2. Ortogonales
0 como funciones.
Note:
a) Si son no correlacionadas
x E xy
E xy E x E y
E xy
i) Covarianza e índice de correlación son cero
ii) o que y son ortogonales
i.e. 0, r=0
x y
x y
x y
E x y
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2 2 2
y
2 2
b) La varianza de su suma es la suma de varianzas
) si 0 ó 0 son ortogonales también
d)
) independencia
( , ) ( ) ( )
es propiedad punto a punto y más fuerte qu
x y x y
x
2
x y
c
E (x+ y) E x E y
e
f x g f x f y
e la uncorrelated
f) Si son independientes uncorrelated la inversa no es cierto
/ excepto para r.v. normales
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00
10 1
01 2
11
12 21
220
202
??
No están correlacionadas
E xy 0 Ortogonales
( ) ( )
1
Covarianza C=
)( )Coef. de correlación =
n knk x y
x y
x
y
x y
x y x y
E xy E x E y
E x y
c c
E (x - y C
recuerde
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Multivariables (Normales)
1
2
21 1
n
1 2
211
22
2
2
21 12
221 2
23
x
x
. Normal N( , )
.
.
x
note .....
.
. .=
. .
. .
m
n n
X
x x x
c
c
c
1x
2
.
.
n
![Page 34: Definiciones Set Universal Set Element Complete Set CAMPO? Event Sample Space, Trial Outcome Event Space o campo de Borel](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081511/5665b4601a28abb57c910340/html5/thumbnails/34.jpg)
Matriz de transformación
es no singular
Co
= + g( )
=
-1 -1
y x
Ty x
y Ax b x
x A y - A b A
μ = Aμ + b
C = AC A
21
2
?
varianza
Caso Especial
.No correlacionados en normales
= . Diagonal Son independientes
.
n
TxSC S
![Page 35: Definiciones Set Universal Set Element Complete Set CAMPO? Event Sample Space, Trial Outcome Event Space o campo de Borel](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081511/5665b4601a28abb57c910340/html5/thumbnails/35.jpg)
Siempre y cuando sea positiva definida
i.e. 0 positiva distinta
0 positiva semidenifida
o no negativa
x
T
C
xCx
< 0 Negativa Definida
0 o Negativa semidefinida
o No positiva
Ejemplo de normales
-(.......)e