Download - Determinan presentasi
-
Aljabar Linear:Chapter 2 : Determinant
Dipo Aldilaemail : ([email protected])
Department of Mathematics,Universitas Indonesia, Indonesia
Linear Algebra, 2014-2015
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 1 / 17
-
Determinan Pendahuluan
IntroductionDeterminan / fungsi determinan:
1 Memetakan suatu matriks persegi ke suatu bilangan .
2 Sangat berguna dalam menganalisa / menyelesaikan SPL.
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 2 / 17
-
Determinan Pendahuluan
Diberikan matriks
A =[a bc d
].
Determinan matriks A adalah
det(A) = |A| = a bc d
= ad bc.
A1 =1
det(A)
[d bc a
].
Catatan: bedakan notasi antara matriks ([]) dan determinan matriks (| |).
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 3 / 17
-
Determinan Minor dan kofaktor
Definisi
Misalkan A adalah matriks persegi (n n).Minor dari entri aij , dinotasikan sebagai Mij adalah determinan darisubmatriks hasil penghapusan baris ke i dan kolom ke j .
Kofaktor dari entri aij adalah Cij = (1)i+j Mij .
Catatan: minor dan kofaktor dari suatu entri merupakan bilangan , bukanmatriks.
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 4 / 17
-
Determinan Determinan matriks n n
Cara mencari determinan matriks A ukuran n n:1 Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j .
det(A) = a1j C1j + a2j C2j + + anj Cnj .2 Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i .
det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + + ain Cin.
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 5 / 17
-
Determinan Determinan matriks n n
Misalkan
A =
a b cd e fg h i
.
det(A) =
a b cd e fg h i
= a e fh i
b d fg i+ c d eg h
= a e i + b f g + c d h c e g b d i a f h.
Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861, matematikawan Perancis) : caramengingat (mnemonic) perhitungan determinan matriks 3 3.
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 6 / 17
-
Determinan Determinan matriks n n
TheoremJika A adalah matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah atau matriksdiagonal (n n), maka det(A) didapat dari hasil kali entri-entri di diagonalutamanya.
det(A) = a11 a22 . . . ann
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 7 / 17
-
Menghitung determinan dengan reduksi baris
TheoremMisalkan A adalah matriks persegi. Jika A punya baris nol atau kolom nol,maka det(A) = 0.
Theorem
Jika A adalah matriks persegi, maka det(AT ) = det(A).
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 8 / 17
-
Menghitung determinan dengan reduksi baris
Misalkan A adalah matriks persegi (n n).1 Jika B adalah matriks yang didapat dari perkalian 1 baris (atau 1
kolom) dari A dengan bilangan k , maka det(B) = k det(A).
2 Jika B adalah matriks yang didapat dari pertukaran 2 baris (atau 2kolom) dari A, maka det(B) = det(A).
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 9 / 17
-
Menghitung determinan dengan reduksi baris
3 Jika B adalah matriks yang didapat dari penjumlahan suatu baris dari Adengan hasil kali baris lain dari A (atau suatu kolom dari A dengan hasilkali kolom lain dari A), maka det(B) = det(A).
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 10 / 17
-
Menghitung determinan dengan reduksi baris
TheoremMisalkan E adalah matriks elementer berukuran n n, maka
1 Jika matriks E dihasilkan dari mengalikan suatu matriks identitas Indengan konstanta tak nol k, maka |E | = k.
2 Jika matriks E dihasilkan dari menukar posisi baris di matriks identitas In,maka |E | = 1.
3 Jika matriks E dihasilkan dari menjumlahkan suatu baris dengan hasilkali baris lainnya, maka |E | = 1.
TheoremJika A adalah matriks persegi dengan 2 baris atau 2 kolom yang proporsional,maka det(A) = 0.
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 11 / 17
-
Sifat determinan
Misalkan A dan B adalah matriks persegi (n n).1 det(kA) = kn det(A).
2 det(AB) = det(A)det(B).3 det(A+ B) 6= det(A) + det(B)
TheoremMisalkan matriks A,B dan C adalah matriks berukuran n n yang hanyaberbeda pada satu baris saja, sebut saja baris ke r , dan misalkan baris ke rdari matriks C didapatkan dari menjumlahkan baris ke r dari matriks A dan B.Maka berlaku :
|C| = |A|+ |B|. (1)Hal yang sama berlaku untuk "kolom".
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 12 / 17
-
Sifat determinan
Theorem
Matriks A dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) 6= 0.
TheoremJika matriks A dapat dibalik, maka
det(A1) =1
det(A).
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 13 / 17
-
Sifat determinan Matriks kofaktor
Matriks Kofaktor
Misalkan A adalah matriks persegi (n n) dan Cij adalah kofaktor dari aij .Matriks
C11 C12 . . . C1nC21 C22 . . . C2n
......
......
Cn1 Cn2 . . . Cnn
disebut matriks kofaktor dari A.
Transpose dari matriks kofaktor tersebut disebut adjoint dari A, dinotasikansebagai adj(A).Jika A matriks yang dapat dibalik, maka
A1 =1
det(A)adj(A).
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 14 / 17
-
Aturan Cramer
Aturan Cramer
SPL
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2...an1 x1 + am2 x2 + + ann xn = bn
dapat ditulis sebagaia11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
...am1 am2 . . . ann
x1x2...xn
=
b1b2...bm
atau Ax = b.
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 15 / 17
-
Aturan Cramer
Aturan Cramer
Jika Ax = b dan det(A) 6= 0, maka
x1 =det(A1)det(A)
, x2 =det(A2)det(A)
, . . . , xn =det(An)det(A)
.
adalah solusi dari SPL tersebut.
Catatan:Aj adalah matriks yang didapat dengan mengganti kolom ke j dari matriks Adengan vektor b.
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 16 / 17
-
Aturan Cramer
TheoremJika A adalah matriks persegi, maka pernyataan berikut ekivalen.
1 A dapat dibalik.2 Ax = 0 hanya punya solusi trivial.3 Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In.4 Ax = b konsisten untuk setiap matriks b yang berukuran n 1.5 Ax = b punya hanya 1 solusi setiap matriks b yang berukuran n 1.6 det(A) 6= 0.
Dipo Aldila (Universitas Indonesia, Indonesia) Universitas Indonesia, 2015 February 2015 17 / 17
DeterminanPendahuluanMinor dan kofaktorDeterminan matriks n n
Menghitung determinan dengan reduksi barisSifat determinanMatriks kofaktor
Aturan Cramer