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직교성 Orthogonality
Keon M. Lee
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벡터의 내적 (inner product)
벡터의 크기 (norm)
벡터 간의 거리
직교 벡터
피타고라스 정리와 직교
직교 여공간
직교 기저 (orthogonal basis)
직교 정사영
직교 행렬
직교 변환
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벡터의 내적(inner/dot product)
내적(inner product)
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벡터 내적의 성질
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벡터의 크기(norm)
벡터 u의 크기(norm)
u의 크기 = 원점에서 u까지의 거리
벡터 크기(norm)의 정의 만족해야 할 성질
L1 norm
L2 norm (Euclid norm)
p-norm
infinity norm
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행렬의 크기 (norm)
행렬의 크기 (norm)
벡터 norm 정의 확장
Induced norm
Frobenius norm
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벡터의 크기(norm)
단위 벡터
크기가 1인 벡터
벡터 v의 정규화(normalization)
v로 부터 단위벡터 u를 구하는 것
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벡터간 거리(distance)
벡터 u와 v간의 거리
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직교 벡터 (orthogonal vectors)
원점과 다른 두 점을 지나는 두 직선이 수직일 조건
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직교 벡터
만약 이면, Rn 공간에서 벡터 u와 v는 서로 직교(orthogonal)한다고 한다.
이기 때문에, Rn 공간에서 영벡터는 모든 벡터와 직교한다.
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피타고라스 정리(Theorem of Pythagoras)
두 벡터 u와 v가 직교하는 필요충분조건은 이다.
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직교 여공간(Orthogonal Complement)
W의 직교 여공간 ( : W perpendicular, W perp)
부분공간 W에 직교하는 모든 벡터의 집합
부분공간 W에 직교하는 벡터
• W에 있는 모든 벡터들과 직교하는 벡터
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직교하는 부공간(Orthogonal Subspaces)
mxn 행렬 A의 부공간(subspace)
x가 Nul A의 원소이면, x는 A의 각 행벡터와 직교
Ax = 0
A의 행벡터는 행공간을 생성하므로, x는 A의 각 행(row)과 직교
A를 AT로 변환하고, Col A = Row AT 성질 이용
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벡터 내적과 각도
벡터간의 각도
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직교 집합
직교집합(orthogonal set)
직교 기저(orthogonal basis)
직교집합이면서 기저(basis)인 벡터의 집합
직교 기저를 사용한 벡터 y의 선형결합 표현은 유일
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직교기저를 이용한 좌표 변환
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직교정사영 (orthogonal projection)
직교 정사영
L 위로 x의 직교 정사영(Orthogonal projection of x onto L)
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직교정사영 (orthogonal projection)
u위로의 y의 직교 정사영
y에서 L까지의 거리 :
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정규 직교 기저(orthonormal basis)
정규 직교 기저
단위 벡터인 직교집합(orthonormal set)으로 구성된 기저(basis)
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정규직교 열벡터(orthonormal column vectors)
정규직교 열(column) 벡터로 구성된 행렬
U UTU = I
그러므로, UTU= I이면 열벡터 는 정규직교이다.
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정규직교 변환
정규직교(orthonormal) 열벡터로 구성된 행렬 U Rmxn 에 의한 벡터 x, y Rn 의 변환
Norm preserving property (크기 유지 성질)
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직교변환과 직교행렬
직교변환(orthogonal transformation)
선형변환(linear transformation} T: Rn Rn으로 ||T(x)|| = ||x|| (norm preserving)인 성질을 만족하는 것
직교행렬(orthogonal matrix) A Rnxn
모든 x Rn에 대해서, ||Ax|| = ||x||을 만족하는 정방(square) 행렬 (n개의 정규직교 열벡터로 구성된 행렬)
정규 직교행렬 (orthonormal matrix)라고 하지 않음
회전변환
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부분공간 위의 직교정사영
Rn 공간에 있는 벡터 y의 부분공간 W로의 직교 정사영 𝒚 =
(orthogonal projection y onto W)
𝒚 는 𝒚 − 𝒚 가 W에 직교하는 유일한 벡터
𝒚 는 W에 속하는 벡터들 중에서 𝒚 에 가장 가까운 유일한 벡터
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직교분해(orthogonal decomposition)
직교분해 정리 (Orthogonal decomposition theorem)
W가 Rn의 부분공간일 때, Rn의 벡터 y의 표현
• 𝒚 는 W에 속하고, z는 W에 직교
{u1, u2, …, up}가 W의 직교기저(orthogonal basis)인 경우
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직교분해(orthogonal decomposition)
직교분해 정리 (증명)
{u1, u2, …, up}가 W의 직교기저(orthogonal basis)라고 가정
z의 직교 증명
u1는 u2, …, up에 직교하므로
• 따라서 z는 u1과 직교
• 마찬가지로 u2, …, up와도 직교
• z는 W에 속하는 모든 벡터들에 직교
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직교분해(orthogonal decomposition)
직교분해 정리 (증명)
{u1, u2, …, up}가 W의 직교기저(orthogonal basis)
직교분해의 유일성(uniqueness) 증명
인 또 다른 𝒚 1, z1의 존재 가정
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직교분해(orthogonal decomposition)
y의 직교정사영
서로 직교하는 일차원 부분공간들 위로의 y의 정사영의 합으로 표현가능
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직교분해
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최적근사 정리
W의 원소들에 의한 y의 최적근사 𝒚 (the best approximation to y by the elements of W)
W : Rn의 부분공간
y : Rn에 속하는 임의의 벡터
𝒚 : W 위로의 y의 직교정사영
y에 가장 가까운 W의 점
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최적근사 정리
W의 원소들에 의한 y의 최적근사
직교정사영이 최적근사에 해당
• W에서 과 다른 v를 선택
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최적근사 정리
W의 가장 가까운 점과 y의 거리
거리:
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Summary
벡터의 크기(norm)은 벡터의 내적으로 정의한다.
벡터의 거리는 벡터의 차의 norm으로 정의한다.
벡터의 내적이 0일 때, 두 벡터가 직교한다고 한다.
피타고라스 정리는 두 벡터가 직교할 때, 각 벡터의 norm의 제곱의 합과 두 벡터의 합에 대한 norm의 제곱과 같다고 한다.
부분공간 W의 직교 여공간은 W에 직교하는 모든 벡터의 집합이다.
직교 기저(orthogonal basis)는 직교이면서 기저인 벡터의 집합이다.
벡터는 직교기저의 벡터를 사용하여 유일하게 선형결합으로 표현될 수 있다.
직교정사영(orthogonal projection)은 기준이 되는 벡터 방향의 성분이다.
정규 직교기저는 단위벡터인 정규직교 집합으로 구성된 기저이다.
직교행렬은 정규직교 열벡터로 구성된 행렬이다.
벡터의 부분공간에 대한 직교정사영은 부분공간에 가장 가까운 위치에 해당한다.