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PROBLEM
1
(2 5
puntus
Una empresa de
electrodom~sticos
ocaliza Ia venta de sus productos en 2 ciudades: Valencia
y
Madrid.
La
rnitad
de
1 s productos
que vende
por a 5
en Madrid
son
frigorificos,
a1
igual
gue tambikn
lo son la
mit d de
10s que
vende
por afio
en Valencia. AdemBs, se
sabe que
tambikn vende lavadoras
y
lavavajillas, a raz n de 2 lavadoras por cada Iavavajillas en
Madrid;
siendo en Vdencia
de
2
lavavajillas por
cada
lavadora.
La empresa no vende nin h
otro products De
1 s
productos
que vende en Madrid, se
sabe que
en
un
80
de
10s
frigohificos,
u
90
de las lavadoras
y u
75 de
10s
Iavavajillas
son
de
color
blanco.
Respecto a Valencia, el 30
de
1 s frigorificos, el
25
de las lavadoras y el 40 de 10s
lavavajillas
no son
de color blanco.
Sepa
que
el
70
de
sus
ventas
tienen
lugar
en Madrid.
a Calcule la probabilidad de-queun product0 elegido a1 azar
veidido
por
esf empresa sea de
color blanco.
b) Suponga
que
se
selecciona
un producto de esta
empresa
a1
mar, de 10s vendidos
en
Madrid.
Si
resulta que es de color
blanco,
jcud
es
la
probabilidad
de
que
sea
una Iavadora? Indique
si
el
hecho
de saber que fuera blanco, ha influido
en
la probabilidad
de
que fuese m
lavadora, la
vista del rcsuItado
obtenido,
justificando
la respuesta.
c Si nos centramos
en
10s productos
de esta
empresa que tienen destino Madrid
ese
aiio, y
seleccionarnos
un product0
a1 mar,
jcu6
es la
probabilidad de que sea u
frigorifico
si
se
sabe
que
no
es
blanco?
d) Calcule a1
probabilidad
de que u producto vendido por esta
empresa,
elegido a1 azar,
sea
blanco
o
su
venta haya sido en
Valencia.
B= tener color blanco al=ffigorifico-Madrid a =frigorifico-Valencia
A =destine Madrid
a =lavadora-Madrid a -1avadora-Vdencia
Az =destine
Valencia
a =lavavajiIlas-Madrid a =IavavajiIlas-Valencia
a)
Aplicamos
el
teoxema
de
Probabilidad Total:
P B ) =
P A , ) P
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nbre
l
PROBLEMA
:
Continuaci6n
b
Aplicamos
el teorema
de
Bayes:
Existe dependencia ya que
la
probabilidad condicionada
es
distinta
a
la probabiIidad
sin
condicionx,
Ademis
la
dependencia
es favorable,
pa
que el hecho de saber qu
sale blmco
en Madrid
incrernenta
la probabilidad
de que se
h te
de
una lavadora.
donde se
necesita
calcular que:
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PROBLEMA 2 (2 5
pu tos
Un
fabricante
de disquetes est6 interesado
en
analizar
en sus
discos la cantidad
de bytes
que
quedan en sectores
daiiados tras darles
formato.
Ha
tornado
mas mediciones que
indican
que
el
85% d e
10s
disquetes tienen menos de 10.000 bytes en sectores'da5ados.
Tarnbikn se
ha
observado que el 90 de 1 s disquetes
tienen
mas de 4.000 bytes en sectores d&ados.
Suponga
que la distribuci6n
del
nxirnero
de
bytes existentes en
sectores
daiiados
puede
aproximarse a una normal.
a) Calcule
el
nlimero medio
de
bytes en sectoresdafiados,
y
su desviac i6a tipica.
Para
el
resto
de
apartndos olvide
1 s
nrimeros
anteriores
y
suponga
que
el
n h e r o
medio
de
bytes daiiados es 7500 y
la desviaci6n tipic
es
2500.
b)
Calcule
la
probabilidad de
que la
cantidad de
bytes
situados
en sectores
dafiados se
encuentre
entre 5000
y 7000.
c
Calcule
la probabilidad e que la diferencia entre e1 nrimero
de
bytes que tenga en
sectores
dafiados
un
disquete tornado a
azar y el nrimero
medio
de
bytes
en sectores
daEiados
en
1 s
disquetes
de este fabricante, sea superior a 3000
(por exceso
o por defecto).
d)
Calcule cud es
el
n b e s o
de bytes
que
debe
habes en sectores dafiados de
u
disquete, para
el que el 60
de 10s disquetes tenga mayor n b e r o
de
bytes
en sectores da ad os
que
61.
e) Se
le
ha indicado que
considere
normal la
distribucibn
de
la variable n h e r o
de
bytes
existentes en
sectores dailados . Sin embargo esta
variable
s6lo
puede
tom=
valores
naturales. Explique esta
situation
aparentemente
contradictoria.
Se
define
la variableX niunero dc bytes
situados
en sectores dafiados
a
Resolvernos el
sistema que se
plantea:
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NCA
Resalvienda las dos ecuaciones obtenidaspara las dos inc6gnitas y
1
e)
La variable aleatoria
s
trabaja
mediante m a normal,
porque nos 1 indica el
enunciado,
pero
realrnente es m a
v a.
discreta 10s
valores
son
naturales,
no
reales ,
que
por trabajar
con
g m e s nrimeros
s t i
siendo utilizada corno m a
continua.
En este
tipo de aproximaciones se
comete
poco error a1
calcular probabilidades de
intervdos
de
valores. S i n embargo a intentar calcular la probabilidad
de
u
valor concreta
de la variable apareceria la
incanmencia de
Ia
correspondencia
de
valores. Seria
falso
decir que la
probabilidad
de
u
valor
concreto
6500,
por ejemplo
fiera nula
La
probabilidad
de
un valor
de
la variable discreta
se debera
corresponder
con la de u
cierto
interval0
de la
continua,
no siendo nula, sina muy
baja.
En
el
curso se ha visto
la
aproximacion de la v.a. binomial y de
la
v.a. Pojsson
mediante
normales utilizando
aproximaciones por continuidad
En
este
caso
ha de
exiqtir
una
aproximacion por
continuidad
igual o similar
a
las vistas.
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TIFICIIA DE
SALAMANCA
-ENMADRID
D O S
Y
>
5XPEDE
*
PROBLEM 2 5 ~untos .
Una
variable aleatoriaX iene
por
funci6n de
distribution:
I
6 < x
a) ~ E s discreta?,
jcontinua?,
ipuede
ser
discreta o continua?.
R a o n e
suficientemente las
9
respuestas
b) Si fuese continua
calcule:
bl) a , b , c y d
b2 La funci6n
de densidad,
cornprobando despuCs
de calculada s i realmente es
funci6n
de densidad o no.
b3
Media
y
vafianza deX
b4)
p ~ 3 ) ;[ X 3.5)v 1.55 x 55 y P [ @ s s ) ~ x1 . 5 ) ]
Nata:
Haga
todos 1 s cdlcuIos enfimcidn de
a b
c d y slrstitya f ia lments sus
valares
m m b i c o s
a Se sabe
que
F x)
es
h c i 6 n
de
distribuci6n de una v.a.X.
Si
1 s valores de a, b, c y d heran tales que F x) fuese m a
funcibn continua,
entonces
X
seria
ma v.a. continua. Esto
es posible,
como verernos despuis
en el apartado
b.1.
Para
que
X fuese discreta, F x)
deberia ser
ma funcihn
en escalera,
pero entonces, por
la
forma en
que esta
definida,
vemos
que, en
todos
1 s
puntos
de salto,
F x)
no
es
continua
por la derecha, con 1n qve no
seria
h c . i h n de distribucihn,
Cabe
obsesvar
que
si
se
puede conseguir que F x) sea ma funci6n escalonada:
en
el
intervalo
l JcG
debexl a ser
O y
b un
valor
cualquiera del intervalo 05b5315;
y,
andogamente,
en
el
intervalo 4Cx16 bastaria tomar
c=O y 3/51d5l. Sin embargo,
en
ninguno de estos casos la
funci6n
seria continua por la derecha en 1 s puntos de salto,
por
lo que
nuncn serja
una v.a. discreta.
Por tanto, Xtiene que ser
continua.
-
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n nto
PROBLEM : Continuacidn
b.1) A ser Xcontinua, F x) es una funci6n continua, luego
En
la grhfica que represenla esta
h c i o n
se
ve
que
el irea
que encierra
con el
eje es:
3 1
rea
= 1 2.
=
I luego si es funci61-1 e
densidad
5
-
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APELLIDOSYNOMBRE
f
..
r
.
No
E
EXPEDIENTJZ
_CURSO
3
GRUPO _
PROBLEMA
:
Continuacibn
B
-
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PROBLEM
2 5~ u n t o s l
Se
ha desarrollado
una nueva
tecnica
de fabricacibn
de un componente
de
una
antena de
radiofrecuencia, mediante la cual se a f i a que se obtienen componentes que en tkrmino
medio
son capaces de soportar fiecuencias mhximas superiores a 7GHz.
Se sabe
que
la distribution de
las
frecuencias
miximas soportadas
por
1 s
componentes asi
fabricados
tienen un
desviacibn
tipica de
400MHz
e
quiere
cornprobar
s
es cierto que
en
media
al
menos
soportan
7GH2,
para
lo
cual
eI
departamento de
control de
calidad ha desarrollado
un contraste
de
hip6tesis para la medida de
100 cornponentes con m a
region
critica de < 6900MHz
Se
pide:
a) Calcule
la
probabilidad
de que
siendo realmente cierta la
afim aci6n de
que la fiecuencia
m h a e
kabajo
es superior 7GHz
sin
embargo
se concluyaque
esto no se cumple.
b)
Calcule la probabilidad de aceptar como cierto que se superan dichos
7GHz
en media, si
realmente
s6Eo
se superan
10s
6'94 GHz.
c) i C d
es el
valor de Ia
fiecuencia r n k im a que en media deberia
tener
la poblacibn de
componentes para que la potencia
del
contraste con dicha poblaci6n
de
componentes hera
de 89'25 ?.
d
para
quC
valores
la
potencia
awnentar
para 10s
superiores
a1
pedido
en
el
p d o
c ,
o
para
10s inferiores?
Se ha
realizado un contraste
unilateral (porque se pretende
detectar que se
superen
o
no 1 s
7G&,
y
porque la regibn critica es
2
< v d o r ) para el
valor medio
de
una poblacibn, con
rnuestrn
suficicntcmcnte grande
como para aproximar
medim~te
l Teore~ma
Cenlral del Limite
(n=100) desviacibn
tipica
conocida =
400 MH z
H, :u = 7.000
MHz
Reg.
Aceptacihn :
>6.900M z
HA
LI
<
000MHz Reg.Critica
: x < 6 . 9 0 0 M H z
-
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IJIYWERSIDADPONTIFKIAJ3&SALAMANCA- EN ?&TAbRID-
de
ElgctrdpiCii
y.Comunicaaiopks P Z / ~
...
Brd;e),'
APELLIDOS
Y
NOMBKE:
-
- ,
N DE
EXFEMENT E
L 1
CURSO
- 3"
GRIJPO:
-
ptiemb
b) Se
pide
la probabilidad de
error
tipo TI para
p
= 6940
I
c La potencia es
0 8925, cuando
la probabilidad de error tipo IIes de
0 8925
= 0'1075.
Volviendo
a 1 s cilcdos del apartado anterior:
Buscando este
valor
en las
tablas, vemos
que
P Z
>1 24) 07 075
690
A
= 1 24
4 0 0 1
p = 6900- 24
/
1 50
i
d)
La
potencia
aumenta para valores
del parhebo
mis alejados del de la hipbtesis
n d a , ya
que el
contraste
es c p z de distinguir con
mas
faciIidad la diferencia. En este caso,
por
tanto,
para
valores
inferiores
a1
calculailo:
p 6 -
Esta
argwnentncibn tebrica
se puede conlprobar
~~unGicamcnlc
or comparaci6n
de
10s
valores calcnlados en
10s apartados
b)
y c).
I,
6900-p
De i p a l rnanera, a partir de la
expresion
obtenida cn b) P
= P
Po
observacibn de la
tabla
de valores d e la distribuci6n N O, ), puede observnrse que es
rnenor
cuanto
mayor
sea
el numerador, y
par
tanto,
cuanto
m i s pequeiio sea el
valor
de pa.
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PROBLEMA
I
2
. 5p u n t d
Se tienen
5 fichas, cada m a
rnarcda
on
una
cifia distinta
dei
1 a1
5
Se
realiza
con ellas un
experhen to , consistente
en
elegir al azar tres fichas
y colocarlas n
fila, en e1mismo
orden
de
su eieccibn, de
izquierda
a derecha.
Calcule las probabilidades de 10ssiguientes
sucesos:
a)
Que
aparezca el n b e r o 123"
b) Que aparezca lin
nflmerc,
compuesto par I s i f ias
I, "2", y
3
c) Que
aparezca
un niunero qu no
contenga la cifra 3
d)
Que
aparezca un nhnero
qu contenga
menos
una de las cifras "2" "3"
e) Que
aparezca un
nknero compuesto
por
cifras
sucesivas.
f) Que aparezca LU nhrnero compuesto por c i t k sucesivas, ordenadas ascendentemente
de
49
izquierdaa
derecha.
g) Que aparezca un n h e r o
par
o
lo
que
es lo mismo:
b3
1 3
- . p - -=
o 10 que es 10 mismo:
--
t
-2
3
60 60
c5.3 P i/
5
(11 (21 3) (495)
v v
por hipergeomktxica para varios sucesos:
[ )
.2
t
d)
Que contenga
el
2 y/6 el 3
=
Quy
no contenga el 2
ni
el "3
g) G ue saIga
n h e r o
par
Que
el 6ltimo nhnero sea el "2" 6
el
"4"
4
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PROBLEM
2
2
5 orsrttos~
n a fabricacibn de aleacibn de estafio pJomo para
la
soldadura de componentes
electr6nicos
se quiere estudiar la
reIaci6n
existente entre la proporcion
de
plomo en la
aleacibn
y
la
cantidad
de
aleacibn
producida por a.
Nsmbraremos por
X
la proporci6n de
plomo
en
la
aleacibn,
por
Y a
la
production
diaria
de
aleaci6n en Tm).
e
sabe
que
Ia densidad conjunta de Ias variables aleaforiasX e e s
Se pide
a) Calcule
el
valor
de
b) Obtenga las filnciones
de
demidad marginales
c) ison independientes las variablesX I
d) Calcule la esperanza de
las
variablesX Y de
su
product0
G
X
e) Calcule uX y a
f
Obtenga la recta de regresi6n de Y sobreX
g ~ C u h t o
ale el coeficiente de correlaci6n
Iineal
entrehsvariables Xe
IT
Nota: e
recomienda
que trabaje 10s
apnrtados sin susrituir
el
v lor
de
'%
obtenido en
el
apartado
a ,
realizandn es6a
sus itarcidn
crIfinnl de
c d
apm6adn.
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pti m
PROBLEM
:
Continuacibn
1
Dado que k = =. f x ,y = f x ) .
(y)
~ x , =. X Y son
inde~endientes
Dado que
Y
on independientes, tendremos
E X
Y ) E X)
E Y) Asi
Podemos
comprobalo
de manera inmediata, sin
mas
que
plantear:
1
xy~/(~,~) d'=
~ ~ Z h I + 3 ~ ~ ) d x ~
:ZJy2
28k 7
x 2 )
x
x ) 2 x 4 )
2
1
=
=
w
0
Dado
que
X Y on
independientes,
tendremos E X Y
E X) E Y).
si 0
=
I
I
adoqceXei.ionindcpcadicaer,tendrcnior~=E ~)= ?=
g)
Dado
queX
Y
son
independientes, tendremos
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PRBBLEMA
3
2 5
nuletosl
Una
empresavende
repuestos
de maquinaria industrial. El
10% de
las
compras que
se realizan
son de
un gasto inferior a 1.200€
cada
ma.
Por
otro
lado, el
60 de las
cornpras
son
de
un
gasto
superior a
1 800€ cada
una.
Se
sabe que
el
gasto por cornpra sigue
m a
distxibucibn
normal.
a) Calcule
el
gasto medio por cornpra y la desviacion tipica
Para
10s a p d d o s b y
c
suponga
que
el
g sto
medio
por compra
es de
2000€
y la desviacibn
tipica es de 600€.
b)
CalcuIe la
probabilidad
de
que
el
gasto
por
cornpra
difiera
del
g sto
rnedio por
compra
en
@
mis
de 400€.
c) Calcule para quk
gasto
por compra, el 30% d e las compras tienen menor
gasto
que 61.
Se
tiene m a variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribucibn Ji-Dos de
Pearson,
con
61 grados
de
libertad.
d CalcuIe la probabilidad de que la variable
tome
un valor
inferior
a
3
0
Nota: En
a
deberii inferpolrrr mientras qu
en 1 s
demlis se
po h
coger
el
valor rn pr6ximo
S O W C I ~ N :
a)
Se toma coma
variabIe gasto :
v ~ ~ l . s a a = o ~ ~
( z > ~ . ~ - ~ ) = a a
p ( z > p - 1 - 8 0 0
=
0 4
Interpolando:
Resolviendo las
dos
ecuaciones obtenidas
para las dos inc6gnitas p y
p
= 1947 78
=
583 48
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bre de
b La probabilidad
pedida
es:
X
2000 2000
X
=
0 3
a 600
600
d
x x k
omo
61
>
30, se realiza
la
aproximacion de
.Ti-Dos de Pearson
ma
Normal
y
definiendo
una
nueva variable aleatoria:
=
i
X on
distribucibn:
N JK ,I )=N I I ,I )
La probabilidad
que
s
pide
es:
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PROBLEMA
(2 5
untos
En
el
centro
de
llmadas de
una entidad
bancaria se quiere evaluar el n b e r o de llamadas
entrantes en
la
franja horaria de 9h a 1Eh
de
la rnaiima en 10s
dias
laborables. En funci6n de
ello se dirnensiona la plantilla, teniendo
en
cuenta que:
si
se asignara mis personal del
necesario, ese
recurso hmano est ri
siendo desperdiciado;
mientras que si se asignara menos
del liecesasio, se
perderian
llamadas
l no ser
atendidas, lo qu se considera perjudicial
para
10s intereses de la
entidad
bancaria.
La
entidad
bancaria toma
decisiones
sobre
la
dimension
de
la plantilla
asumiendo como
cierta
la premisa de que entre las 9h
y las
1
h
de un
dia
laborable,
entra32
245 llmadas
en
pronedio.
Se contabilizan las llamadas de 9h a lh durante 27 dias Iaborables, obteniendo
en
total 6750
llamadas. En
esta
muestra, la
variable n h e r o
de
llamadas obtenido
en esa franja
horaria,
por
dia
tiene una cuasivarianza de 20.
Suponga que el
n h e r o de llamadas entrmtes
en esa
fianja
horaria en
Ios
as laborables
sigue ma
distribuci6n normal,
y
utilice
un error
tipo I del
5
para
responder
a las siguientes
cuestiones:
a
~ E sorrecta la premisa
asumida?
Justifique
su
respuesta por contraste
de
hipbtesis
b)
Calcule
el tamafio d e Ia muestra que delirnita la aceptacibno el
rechazo
en diche contraste,
sedando si para valores superjores o infaiores
l
obtenido se rechaza o se acepta.
c) Calcule el Error Tipo II supeniendo que las
llamadas que realrnente
entran
un
dia
laborable en promedio entre
las
9 y las 11 es de
248.
d)
Si
desconocemos
el
n h e r o rnedio
de
llamadas
existente entre
Ins
9h
y
las
1
lh
en
un
dia
laborable, pero queremos estimarla, jcon gu probabilidad
podrernos
h a r
que no
cometeremos un error superior a llamadas en
dicha
estimacibn
si
et
n b e r o
de
dias
analizados se aumenta en
1
O?
a) Se
plantea
el contraste bilateral:
JYh
=
20 S
=
4 472
Se utiliza el estaditico de contraste adecuado, teniendo en cuenta que
la varianza
poblacional
es
desconocida
y
el
tamafio de la
muestra s
inferior a 30.
Cae
en
la regibn de rechazo ya que no cumple It
<
t ;+, porque
5 8
9 > 2'056
Por tanto, con un Error Tipo
I del
5 se puede afirnlar que la premisa que esta asumiendo
no es correcta.
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GRUPO:
PROBLEM : Continuacibn
b Teniendo en cuenta que la media muestral es superior a la media poblacional que sea
asume en la hpbtesis nula
la condicibn de
aceptacibn
con
la
que
vamos
a
operar
es:
Luego,
para n
3
se
acepta
la hip6tesis
nula, y para n
> 4
se rechaza.
Aceptar o
P = P Go f i lm)
Para valores
superiores 30
de
tama5 de
muestra, teniendo en cuenta que
estariamos
con
una
2 iempre nos
daria
rechazo,
al
ser
el
valor de
Z mayor
que ZWo2
= 1 96,
por
tanto
operarnos
con la
expresibn
anterior:
P -
5 5443
5 t,,
-1 23 1
8) ~ r , , 2 1 23 18) ~ t , , 5 5443)
0 1
0
d)
El nuevo tamaiio
de
rnuestm es: n 27 10=
37,
es decir, mayor que 30
por
lo que la
expresibn con
la
que
vamos
a operar es:
d
Luego:
0 00326
1
a 0 00652
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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UNIVERSDAD
P-ONTIFICIADE S m C A
~ e ~ a r t a m e n t o
e
Electr6nica
y
Coml
ESTADIST~CA:- -iunio-2002-@arde)
- -
PELLIDOS NOMBRE:
No
E EXPEDIENTE:
CUKSO:
3
-GRUPO:
EN MADRID
iones W ? Z 1 .
PROBLEMA 1
2 5
~zmtos
Las
capacidades de 10s condensadores
de
una
serie
en una cadena de fabricacihn siguen
una
distribucibn
normal,
con una
media
de
1 3 s (nano-Faradios),
y
una desviacibn tipica
de
0 04nF.
1) Escogido un condensador a1 azx, calcule la
probabilidad
de
que
su
capacidad
est6
comprendida
entre:
la) 1 28nF y I130nF Ib)
1'30nFylt32nF
lc 1'31nFy 1 33nF
2
Calcule
entre
qut
dos
valores
(simttricarnente distribuidos en torno
a
la
media) se
encuentran
las
capacidades del 80
de 1 s
condensadores
de
esta serie.
3
Si se seleccionaranmuestm
de
16 condensadores;
3a) ~ C u d
e
esperaria que fueran la media
y
la desviacibn tipica
de
Ias
capacidades
medias de
cada
muestra?
3b
Cud1
seria la
expresi6n de la funci6n densidad
de
probabilidad
de las medias de
est s
muestras.
4 Escogida una muestra
de 16
condensadores a1 azar, calcule la probabilidad de que su
capacidad media este comprendida
entre:
4a)
lf28nFy
1 3 0 s
4b) 1'30nFylt32nF
4c) 1131nFy 1 33nF
5 ) Calcule entre qud dos vdores (sim6tricamente distribuidos en torno a
la
media) se
encuentran
Ias capacidades medias
del 80
de
las
muestras de
16
condensadores que
pudieramos
tomar
sobre
esta serie.
6)
Compare y analice cada
resuItado de
4) frente a
1 s
de
1);
y el resultado de
5 ) frente a1
de 2
7)
L Q U ~ s
m8s probable que
ocurra:
a
un condensador
de
capacidad superior
a
1 34nF;
h)
lrna
capacidad media superior 1 32nF en
una muestra
de 4 condensadores;
c) o m a capacidad media que supere
1 s
1 3InF en ma muestra de
tamaiio 16?.
ExpliqueIo.
SOLUCION:
La variable involucrada es
22 Capacidad de
un
condensadorde la
serie
(nF)
-
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UNIVERSIDAD PONTIFICIA
DE~SACAEGC NCA
EN MADWD. L
.
.
.
Denai-tamento
de Electrbnica y
C~munica~iones*
Pbz 30
.
- . 2 .(Tart
-
lAPELElDOS NUMB :
<
No
DE
EXPEDRNTE CmSO
3 GRUPO
PROBLEMA
1:Continuacibn
A
-
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PRORLEMA
:
Continuacibn
B
5)
De la misma
form que
en 2), pem ahora con
Asi
:
4,
= 0 1915;
P
= 0 4772
4,
=
0 1
15;
P
=
0 4772
La
distribucibn de
XI es mhs concentrada en torno = I 30, luego u nterval0 que
cornience en este valor recage
mhs
probabilidad en la
distribucibn
de X16 ue en la de
X
4 =O I747 P = 0 15735
Por el misrno
rnotivo,
si eI interval0 se aleja de la media recoge menos probabilidad el de
distribuci6n
mas
concentrada.
m ~ t [ 1 ~ 3 f o ~ 0 5 1 2 6 ]
;,a~[1 3*0 012816]
De
nuevo
por
el mismo motivo, para acumular
la
rnisma
probabilidad
en
un
jntervalo
centrado en
la media,
este intewalo resulta menor en la distribucibn m6s
concentrada
Son equiprobables. Cada una es miis concentrada que la anterior,
y
en todas
se calcula
la
probabilidad
de
superar
Ia media mhs una
desviaci6n tipica
(z
>I).
-
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UNIVERSID D ONTIFICIA
DE
SALAMmCA EN
M-AD~~ID
.
De
artamento
de ElectFodica f
Comunicaciones w 3 k z 8
.
io-2002. Tarde)
. .
. -
APELLIDOS
Y N O M B k :
-
O
E EXPEDIENTE:
CURSO 30 GRUPO:
PROBLEM
2 (2 5
puntos
Se
tiene la funci6n de
densidadde probabilidad
conjunta:
X
donde
R
es la regi6n
delimitada
por: y 2 y
x 2 0 y
D x + y
a)
Cdcule
el valor de
k.
b)
Obtenga
las
funciones
de
densidad
marginales.
c
~ S o n
ndependientes
Ias
variables x e
y?
partir del
resultado de independencia
o
no
que
haya obtenido, ipuede deducis
alguna
conclusi n .respecto a1
vdor
del coeficiente
de
correlation?
d CalcuIe
P X
2 1 .
e Calcule el valor
de
la funci6n de distribucibn en el punto I , ]) .
f) Calcule P X
;
2
0 5).
Noia
No s
necesario sustituir el
valor de en
el
upartado
b .
a)
Calculamos
10s dos
puntos de code:
-
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UNIVERSIDAD PONTIPICIA DE.SALAMARCA
EN M A D ~
.
- Departamento de Electrbnica Comunicaci nei f m 2 /
-
-2002 Tardej
APELJ
No
FE
EXPEUIENTE: C w o 3 GRUPO:
- >
PROBLEMA 2: Continuaci6n
Asimismo:
c Probando con un
punto,
como por ejemplo
el I,
1 :
f C v = < -
-
Por
tanto,
no son
independientes.
Esto implica que hay alglin tipo de
dependencia
Iuego
existe
la
posibilidad de que
pudiera ser
lineal
por
lo
que no
podemos
concluir un valor de antemano;
habria
que
calcuIarla con su correspondiente expresi6n.
k y @ - y ) - k y 3
- < y C l
0 resto
-
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PROBLEMA
3
(2 5
uuntos)
a Se sabe que
una
determinada caracteristica de
una
pobIaci6n
tiene distribuci6n IV@,3 . I
realizar
un muestreo aieatorio
simple
de
tamafio
n, se
obtiene,
para la
media,
e
dicha
caracteristica, un intervalo de confianza cuya semilongitud
vale
a, con un nivel de
significacibn de l5 :
al) i d
deberfa
ser
el tamafio
muestrat para obtener una estimacibn el doble
de precisa,
mmteniendo la misma confianza?
62
icon
qui confianza
podemos
conseguir un ntervalo de la
mitad de longitud
que el
in icid , con el mismo tamaiio
muestral
,
PI
b)
El
nurnero
de
clientes
que
acude
pox hora a
una
oficina
bancaria
sigue
un
proceso
de
Poisson. Contados 1 s
clientes
que
acuden
en
I50
horas
elegidas
a
azar>
se obtiene que han
sido 1350
bl ) Obtenga
un
intexvdo
de
confianza
para
el
verdadero valor
medio
de
clientes
por
hara, con un
nivel
de significaci6n del90
bl') Obtenga
u
intervdo de
confianza
para eI verdadero valor medio
de
clientes por
hora con un nivel de
confianza
deI 90
N P
b2 ~Cuftl
eria
el
nivel
deI confianza de un intervalo
cuyo
extremo inferior fuera 9, si la
muestra hubiera sido de l mitad de tamaflo que la anterior
y
la
media muestrd
hubiera
sido
un 10
mayor que
la anterior?
SOLUCION
al)
Estimamos la media de
una
poblacibn
normal
de
varianza conocida. El
intervalo de
confianza simttrico
en
este
caso es = x z,g x
1 I
,
de
semilongitud z
*
s
Manteniendo
la misma
confi nz (y mismo nivel de significacibn), una estimaci6n
dobie de precis
ser i la
que obtenga un intervalo de
confianza
de longitud
mitad
que
el
a
anterior, y, por tanto,
de
semiIongitud mitad que la anterior. Luego
za
/: a - 2 '
u n*
Dividiendo
ambas
expresiones resulta
es
decir,
el
tarnaiio
muestral
debe ser 4 veces mayor, y
esto
independientemente de cuid
sea
eI nivel de significacibn, siempre
que
sea el
mismo
en 10sdas
casos.
a2)
Ahora rnantenemos el tamaiio muestral y
qrxeremos
conseguir tambi tn
el doble de
precisibn,
es
decir, un
intervalo de confianza de
la mitad ds Iongitud.
Esto lo
conseguiremos con
un nivel de
confianza
inferior.
-
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ICA
.
UNIVERSIDA?
PONTIFICIA DE-SALAMA NFA EN M DRID
,Departamento
de EIectrhicay Comunicacion-es.Z Q ~
z r
-[ESTAD~ST
002
(Tarde)
APELLIDOS
Y
N
No E
E X P E D E h
.
CURSO:
39:
GRUPO:
PROBLEMA 3:
Continuaci6n
como
a
-1'96 z =
a
a 0'05
-=01025
0 98 -=Ot1635
2 2
b I )
Un
nivel
de
signification
deI
90
significa
que
la
probabilidad
de
que
el
interval0
sea
err6neo
es del
90 . Esto no
tiene n i n g h
sentido
y asi
hay que
indicarlo;
pero
si se
puede
calcular. La
mejor
respuesta seria indicar u
fa alta
de sentido y
calcularlo:
r ~
b13
Queremos
estimar la media de ma distribuci6n de Poisson. Corno el
tarnaiio
muestral
es
grande 1501,
sabemos que
en
este caso
un intervalo
de
confianza de
la media es
150
b2)
El nuevo tamfio
muestral
es n = - = 75
y
la nueva
media
rnuestral
2
x =
X + O ~ X =9+Ot1 .9=9 '9 ,
con lo
que
el nuevo
intervalo de
confianza
serla I n =
y como su extremo
inferiar es
9
:
-
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- L S W R S I D A D >ONT
,
D,epartamenl
?- - --SSTAD~STICA:
+J * APELLIDOS
Y NOMBRE
EIettr6nica- Con
3-juliio-2002
Tardl
PROBLEMA 4 (2 5nrtntosJ
Una
empresa de asesoramiento
infomhtico
quiere estimar
si el
nGmero
medio de
peticiones
de asesoramiento
que
cabe esperar
que
tengan
c d
dia es
5
en
su
defecto
mayor que 5 De
estudios anteriores se considera aceptable que n
varianza
pobInciod
dcl n h e r o
de
peticiones por
dia es 4. El Director TCcnico
de la
empresa que aprobb con buena nota la
Estadistica en
la UPS)
dice que
si
observando 100 dias,
elegidos a1 azar,
el
n h e r o medio
de
peticionespor dia es mayor o
igual
a 5 35 rechazari la hipbtesis de que
el
ncrnero
rnedio es 5 .
a
cud
es la
probabilidad d e que
la
decisi6n
de
rechazar Ia hipbtesis fuese
e r r h a ?
b)
~ C U Aeria
el
criterio
de
decisibn para
a
=
0 0
1
?
c
Si
a =
0 05, jcu I
seria Ia
probabilidad de
aceptar
que el ntimero medio
es
5 , cuando
realmente fuese
S S?
iy
cuando
realrnente fi~ese
?
Se quiere contrastar las hipbtesis:
H , :
p = p , = 5
H , : p > 5
a
La probabilidad de que
la
decisi6n de rechazar
la
hip6tesis planteada
(la
hipbtesis nula)
h e s e
erronea es la probabilidad de rechazar la
hipbtesis
nula cuando es cierta es
decir,
el
error de
tipo I,
a
~ ( r e c h a z a r
, H , cierta)
=
a
Dado que el tamaiio muestral
es grande
y
l
varianza
poblacional conocida,
bajo
la
hip6tesis nula,
el estadistico x tiene distribucihn normal x :N ( , G
y por tanto
el
estadistico de contrnste
X /lo
N O J )
7
T
La
regi6n
critica
de
este contraste es R-C.:
- p O
> z
s x p o
> zap
y,
segun
el enunciado,
se rechazara si 5 35
,
es decir, si
x
po > 0 35 ;
F
-
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UNIVERSIDAD PONTIFICIADE SAL
ENMADRID
J
IDOS NOMBRE:
PROBLEMA
4:
Cont inuacih
X - P O z a
obien
x po > z a p
La regibn critica
es
Y
luega x >
z,
coma
a
= 0 01 2
=
2 32 y el
criterio
de
decisibn
seri:
Rechazamos
Hosi
x
>
5'464
Aceptamos Hosi < 5'464
c)
Nos
e s t h pidiendo fa probabilidad
de error
de
tip0
LI
es decir de aceptar
la
hipbtesis
nula
cuando
es
falsa
emos que la
probabilidad d e cometer
error
de tipo 11,
es
decir de aceptar que el
n ~ m e r o
medio es 5 , cuando realmente
es
5 5 es de casi el 2094 pero cuando realmente es
6 es
de
solo el
0104% .
I
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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Depa
STICP
APELLIDOS
Y NOMBRE:
o
E
EXPEDLENTE: CURSO:- 3
-GRUPO:
PROBLEMA 1 2 auntos)
En
una fhbrica se consulta a
10s
empleados sobre mas nuevas
medidas
de
seguridad
tomar.
Un
65 de 1 s
empleados
def
t w o de
noche
apoyan
estas
medidas;
el 40 de
las mujeres
emple d s las apoym.
AdemBs, sabernos que
el
50 de la plantilla trabnjn
en
turno de dia
y el
otro
50
en h~rno e
noche.
En este
turno
de
noche, el
20
de
1 s
empIeados son
mujeres, corno tambikn son
mujeres
el 30 de
la
plantilla total.
e
pide:
a)
Probabilidad
de
que un
empleado
elegido a1
sea ma mujer
que apoya las rnedidas.
b)
Probabilidad
de
que
un
empleado elegido a1
mar
sea
una
mujex
y/o
un
trabajador
del
turno
de noche.
c)
~ E sndependienteel
sexo de
1 s trabajadores de si
trabajan
no
en
tumo de noche?
d) Si el 50
de 10s empleados varones apoyan el
plan
calcule la probabilidad de que un
ernpleado varbn o mujer) elegido a1
mar
no
trabaje
en el
tumo
de noche, y no apoye las
nuevas rnedidas de seguridad.
SOLUCI~N:
Definimos 1 s sucesos
A
-
Apoyar
las rnedidas
N
Ser
de
turno
de noche
Sermujer
Datos: P ( A I N ) = ~ ~ ~
( A ~ Y ) = O ' ~ P (N )= o ' ~
P ( M I N ) = O ' ~
~ ( ~ ) = 0 ' 3
c)
{ p ; ~ ~ o ~ 2 ]
P ( M N )r P (M ) No
son indcpmdii-nter
Asi
P ( NU
A ) =
P (N )+
P (M) .P (A IM )+
@)-
P ( A I
R -
N)- ( A IN )
~ @ n= P NU
A ) = 1
-P N)-P M).P AIM)-P Q)~P A~)+ ( N ) . P ( A I N ) =
=I-0 '5-0 '3 .0 '4-0 '7 .0 '5- t -0 '5-0 '65 ~ 0 3 5 5
-
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NIVERSIDAD .PONTIFICIA DE SALAMANCA
EN-MA~ND
Depai
nto de
Electrtjnlcay
Cornmi
xi
7 2
3TICA tiq-2002. (Maiiana)
APELLIDOS
Y NUMBRE:
.
o
E
EJPEDENTE:
CURSO:
-3
GRUPO
PROBLEMA
2 (2 5
pun tos~
Dada la
variable
aleatoria bidimensional X,),
on
funci6n densidad
conjunta
\ resto
donde RX
es
el recinto plano comprendido en el interior de la
poligonat
cerrada
formadapor
1 s
puntss
O,O),
1
, I
y 1,4).Se
pide:
a Compruebe
que es
funcibn de densidad conjunta
b
Calcule
la h c i 6 n
densidad
de
probabilidad
de
la
variable aleatoria
unidimensional
X
c Calcde la funcidn
de
distribucibn
de la
variable
deatoria
unidimensional X.
d CalcuIe
la funci6n de
densidad
de la
variable Y condicionada al
valor
de X
e l
Calcule la
esperanza rnatemitica de la variabIe X 2Y
Nola: En c d
funcibn
que
se le
pide
debe expresar tras lox
ccilculos, en
u resumen final
el
v lor
de
la
funcidnparn fo os
Ins
pvnios
dr SYJdominion
luego
es
f d p
resto
-
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XPEDIENTE CURSO -3 GRUPO
PROBLEMA
2:
Continuacibn
efinimos as iferentes zonas
-
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UNIV DAD
P.ONTIFIC~A-B~-S AMANCA
N MADRID
. .
. . ~ e ~ a i t am e n t oe Electr6nica y Ibmunicaci6nes
:??m /y
[ESTAD~STICA: (Mafi:
.. ,..
APELLTDOS
~ M B R ~
CURSIS: 3 GRUPO:
o
E
EXPEDENTE:
.
PROBLEMA
2:Continuacihn
R
e Podemos calcular la esperanza desde
la
hnci6n
densidad de
probabilidad
conjunta;
calcdarla como combinacibn lineal de las rnarginales,
que
ademhs podrian
calcularse
cada
una e
forma
bidimensional
(a
travCs de Ia fdp conjunta),
midimensional
a travks de las
densidades marginal
es)
.
= , )
derdclafdpr, bidimensional
Asi,
-
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.
. .
. . - . .Departamentode
Electrbnfca y Com rlnicacionres
. WE
-
ESTAD~STICA:
3-junio-2002 (Mafia
-
-
Se quiere
realizar
un
estudio sobre ciertas costumbres
de 10s
jubilados
en una
gran
ciudad.
Para ello
se
necesitan datos sobre
sus
tiempos
medios de desplazamiento como peat611
por
la
calle
por
semana
(bien sea paseando, de compras, etc.); y sobre la proporci6n de jubilados que
durante
a1 menos
tres
dias
por
semma
se encuentran pie en la caI1e
entre
las
y
5:3 de
la
tarde.
Damos par hecho que la distribucibn de estas variables es
independiente
de la semana
elegida,
por
lo
que se tomara
ma
muestra
sd~ciente, se
estudiarg
a
todos
10s
individuos de
dicha
muestra
a
lo
largo
de una sernana completa.
Se 1e pide inicialm ente, sin tener
ningiin
dato de la poblacibn, que calcule I y 2 :
1) L~uponiendo *)ue la
desviaci6n
tipica de la permanencia
en la
calle
por semana
de 1 s
jubilados
fuese
de 4 horas, qub tamaiio de
muestra se
necesitarfa
para lograr
un nivel
de
confianza del95
de
estar en eI valor
correcto
de
la
permanencia media
a
pie
por
semana,
conu nargen de 1 hora
de error?
{*)
Nota;
la
suposici n indicadase ufilkard exclusivumenfe en
este
apartado
2 ) ~ Q u damaiio
de
muestra se
necesitaria
para obtener
m a
confianza
del95
de estar
dentro
de 015 de
la proporci6n
verdadera (en tanto
por uno) de personas jubiladas
que
se
eneuentran
en la caIle corns
peatones
entre las
5 y
las 5:30
de Ia
tarde,
l
menos
durante
tres dias
por sernana?.
Se
ha
tornado
una muestra de
100
personas jubiladas
en esta ciudad,
tomando un
registro
del
tiempo
e
actividad
como peatbn a lo largo de una sernana completa obteniendo 1 s
siguientes resultados:
tiempo medio
como
peat611 n Ia semana
cornpleta: I5 3h
-
cuasivarianza
del
tiempo
de permanencia como peat6n
en
la semma: 14 44h2.
27 personas, de
las 100 estuvieron en
la
calle
entre
las
5
y 5:3 de la
tarde
durante
a1
menos
tres dias
de la
semana.
3) Obtenga un
intervdo de confianza del
95 para el tiempo
medio
de permanencia como
pealdn de 1 s jubilados por
sernana, en
esta ciudad.
4) Obtenga un
interval0
de confianza de1
95
para la proporcibn de
jubilados
que
aI
nlenss
durante
tres
dias
por semana se
encuentran
en
la
calle
entre
las
5
y
las
5:30
de
la
tarde.
SOLUCION:
Defanimos
las
variables
en
uso:
Tiempo de desplazarniento como peat6n de u ubilado de
esta ciudad.
p Proporcibn
de
jubilados de
esta ciudad
que se encuentran en la
caIIe
entre
las
5 y
5:30pm
durante
a1
menos
tres
dias
de la semana.
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
31/47
PROBLEMA
: Continuaci6n
2 ) E = 0 015
;
1 a 0 95 z = z ~ ~ 1 96;
diseiio en caso peor
(1
= 0 25
Nota: npq
4 69 0 25 1
067 25
>
Cuando
s
tornen rnuestras s comprobari con las proporciones que se midan
27
4) En
l s
expresiones donde
ne esitemosp
tomaremos
=
00
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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UNIVERSIDAJl-qONTIFIC][A. , J T I ~ ~ ~ . N C AN MADRID
iana)
PROBLEMA
4
2 5 u
os
Una
compaiiia
de aviaci6n quiere tener informaci6n sobre el n h e r o
de
pasajeros
medio
que
tendrh en vuelos correspondientes a ciertos
tramos
horarios. En
funcibn
de las
condiciones
de
1 s contratos
de
catering y de adquisicibn
de
combustible, el n he r o inedio de
pasajeros
que
la
compairia
considera adecuado
es
de 136.
Por
ello
se
diseii6
hnce varios meses m a politica
de precios que consigtiera este objetivo. Para evaluar el
exito
o no dc
esta politica
de la
compafiia,
se ha
tornado
nota
del
n h e r o
de pasajeros
de
10s
dtirnos 22 vueIos
correspondientes a dichos tramos horarios,
y
se han
observado
que suman
un
total de 2950
pasajeros. Para
esos vuelos, se obhvo
una
varianza en
eI
nrirnero
de
pasajeros, de 200
a
Para
un Error
Tipo I del
5 , mediante
un contraste
de hip6tesis,
cornpmebe
si la
politica
de precios ha
tenido
6xito.-
b
Suponga
que desconociera cui l es
la
suma total de
pasajeros
de 10s 22 vuelos. Con quC
probabilidad se
podria
mar, mediante un
contraste de hipbtesis, que
la
politica
de
precios
ha
fracasado,
cuando en
realidad no
es asi suponiendo que
en
la regi n de
aceptacibn
la media rnuestral
no se aIeja
en
m8s de 5 pasajeros, respecto al objetivo.
c CalcuIe
la
potencia
del
contraste
para
m lternativa de 140
pasajeros,
per0
suponiendo
que el ntimero
de
vuelos andizados fuera 40, con m a
suma
total d e pasajeros de 2950 y
varima p r esos 4
vuelos
de 200. Suponga
el
Error Tipo I del 5 .
h o n e
sobre el
resuItado.
Se plantea
el contraste biln cral,y
se utiliza el
estaditico
de contraste adecuado, teniendo
en
cuenta que
la
varianza poblacional
es desconocida y
el
tamaiio de la muestra es
inferior a 30.
H o : ic=136
=
lx Pol
- 1134-1361
'648
H , : ~ 1 3 4
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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PRORLEM : Continuacihn
Cae
en
la regi6n
de
aceptacibn ya que
t
s
0 648 08
Por tanto con
un Error
Tipo
I del 5 se puede
afinnar
que la politica de precios ha
tenido
kxito.
b)
Lo
que se
pide e s :
Re chuzar H
cierr
Con el valor
mhs
cercano en
tablas, se
obtiene:
0 05
2
WI
La
potencia del contraste
es baja per0
eso aisladarnente no significa nada.
Es
necesario
saber quk debe hacer el contraste ante una poblacibn cuya media di sk
4
de
la
hipbtesis nula 1
40 1
3
6=4).
Si esa diferencia de
es
poco
relevante
la potencia
obtenida
puede ser suficiente; pero
si esa diferencia debe ser
detectada
y rechazada la
pstenci
abtenida resulta demasiado
baja y
seri
necesario
aumentar el
numero
de
vuelns
anali7ados.
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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PROBLEMA t ~ juntas
En ua determinado juego, en
eI
que se trata
de conseguir la
m i x h a punlxxibn,
la
probabifidad de supmar
en
una partida
1 s
30
puntos es 0 6,
mientras que la
de
quedarse
por
debajo
de
2
puntos cs 0 2.
e
snbe
que
la
variable
aleatnria puntuacidn obtenida n m a
partida
sigue
ma
distribucibn
normal Ademk sabernos que el
redtado
de cada
partida
es
indepmdiente
del de
las
anteriores.
a)
Obtenga
1 s
valores
de los
parhetros
de
la
distribuci6n
de
probabtbilidad
de
dicha
variable
aleatoria.
b) CaIcule la
probabilidad de
que
la punmci6n obtenida
en una
partida disk
de
la
media
en
mis de putos.
c) Suponga que se realiza urr tomeo en el que
hay
que participar en 4
partidas.
e consigue
premio si
en menos de las partidas
se logra m a puntuacih
de menos
4 puntos.
jcd s la
probabilidad
de conseguir
premio?
d)
i C d
seria
dicha
probabiiidad
si en el
torneo
s
tuviaa
que participar'en 50
partidas, y
se
obtuviera premio
logrando40 puntos
o
mis, en a1menos
3
5 de ellas?
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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C En cada
partida:
En el torneo:
ha= nfmero de veces
que se
consiguen
a
menos 40 puntos, en 4 partidas
Hay
independencia entre cadajuego luego lo
modeIizamos
como
una
binomial:
d) En
cada
partida,
la probabilidad de
Zograr
4 6 mhs
puntos
es la ya
calculada
en c):
4
34 302
=
P Z 0 3
35 =
0 3707
En l torneo:
niunero
de ve es que se consiguen
a
menos 40 puntos,
en 50 partidas
Hay independencia entre cada
uego luego lo
modeI izmos como una binomial:
Pero dado que w q 11 664>
9 y
por
l
teorema
de Moivse-Laplace,
se podrA realizar m
aproximacibn de la
variable
binomial hsoW la normal Y,on distribucibn:
N ~ ~ G~(18 '535 ,3 ' 415) ,
que
por
la
correcci6n
de
continuidad
queda:
-
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'ICA:
Ll Heb 2002
Tarde
Para con-trolar las especificaciones
de
un,
medicamento de
nuevo
disefio,
se ha seleccionado.
una muestra de 20
pildoras
de
dicho
medicamento. Se
esth
analizanda la cantidad
media
de
miligramos
de paracetamol,por pifdora; y
para
ello se observa el peso total de esta sustancia
contenido
en el cn n jm t o de as
20
pildoras de la muestra, resultando s de 9800 mg.
a
ReaIizando u conbaste de hip~tesiscon un Emor Tipo
del
5 , indique a quC
I
conclusiones llega
sobre la
espec5caciirn de
500 rng pox pildora, teniendo en cuenta que
20
de
10s
dabs de la muestra se sabe
que:
2
x,
y
=
10
1=1
b i Q ~ tesponderia a1 apartado anterior si lc infoman que la varianza poblacional es 50?
c Teniendo en cuenta
que
la
varianza
poblacional es la
del
apartado anterior obtenga
la
potencia del contraste
para
ma hipbtesis alternativa de 49 mg. A l a vista del
resultado
obtenido,
L ~ U iria sobre el tamaiio de la
muestra?
El
contraste es
bilateral:
..
Teniendo en cuenta
que
la variafiza poblaciond es desconocida y que el tamaiio
de
la
muestra
es
inferior
a
30
se utiliza
el
estadistico de contraste
es t:
La regi6n de aceptacibn
viene
dada
por:
1 -
P O
tg;-I
3
Y
< t : . I
Lxiego no cumple la
condicibn
de la
re n
de
aceptaci611,
es deck, cae fuera de
dicha
re@: 1 7'91
2 093.
Por tanto
s
rechaza la hipbtesis
nula
con u nivel de significaci6n de 0 '05 .
Con una rnuestra de tamao 20, con
m a
probabilidad de error
no
superior
al
5 ,
se
puede
afimm que
la
cantidad
media
de
miligramos
de paracetamol por pildora
no es
500 mg.
-
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PROBLEMA
2: ontinuacibn
Se realiza
el
anterior contraste pero
dado que ahora se
conace
la
varianza
poblacional el
estadistico
de
contraste
es :
La
reg6 de aceptacibn
viene
dada por:
0 05
0 025
2
Z hD251 96
Teniendo
en cuenta que: 1 6 3251 > 196 se
Ilega
a lamism
conclusibn que
en el apartado
anterior
es
decir de rechazo
de
la hipbtesis nula.
Potencia
del
contraste 1
La
potencia
de
conbaste es uy elevada por
lo
que no seria
necesario
amentar el t m a f l o
de la muestra.
-
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ar
e
PROBLEMA 2 5 u u n f o s ~
Dada la
variable
le tori
bidimensional
X Y , cuya funci6n densidad
conjunta
queda
definidapor
donde m
es el
recinto
plmo comprendido
en el interior de la
poIigonal
formada
por
1 s
pmtos
P O I
191
(1,4)
Se pide:
a) btenga
el valor
de
k
b
a
funcion densidad de probabilidadde la variable
aleatoria midimensional
Y
c La
funci6n de distribuci6n de
la
variable
aleatoria
unidimensionalY.
d)
La funci6n de densidad
de la variable
condicionada
a1valor Y-y.
e) speranzamatedtica de la variable
y de
la variable
x
Il,l
y-r
030)
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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UNWERSIIDAD
P O N T I F I m . D ES-CA
EN MADRID
Ll
De~artamento e
Eledr6nictr y
Co-municaciones.
-
.
Tarde
m
.
APEZJ,Zuuh
r .i.IOMBRE ..
.
----N DEEXPEDENTE:
-CURSO: 3 GRUPO:
.-
PROBLEM
:
Continuacibn A
<
15
l j 3 5 y 5 1
32
h
y 4
0 resto
C
r
J
O C y 5 1
15
60
0 resto
D e h o s
as diferentes zonas
V (X,~)ER~
=
Y y l e n R n =
y l l
v x , ~ ) E R ,=
YyZ l e nR
=
-
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UNTVERSlDAD
~ON TIFICJA -DE ALAMANCA
EN MADRID
-
De
artamento
de
Electr6nicay Comunicaeiones&~'o
s --
APELLDOS
N O m m :
NoDE
EXBEDENTE:
u 3 GRUPO
PROBLEMA 3: Continuaci6nB
e
Podemos
calcular l s
espernnzas
marginales desde la funci6n densidad de probabifidad
conjunta bidimensional), o
a
pa
de
las
densidades
marginale
s
unidimensionales).
Dado
que
tenemos calculada la
f.d.p.
marginal para la Y
apartado
b), pero
no
para la X
podemos,
por ejemplo
calcular:
E X ) =
f x ,
4-
x
v
desde
la fdpq
hidimensiond)
--m
E Y)
=
y .
y) r y
desde
la
fdp,
midimensional
J x
Asi,
-
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JJNTVE RSIDADPONTIFICI DE.SALAMANCA-ENMADRID
. -.
:-
- Departamento
de Electrbnica
y Comn-nicaciones
2ooi o?
IESTAD~STICA:
1
I-Feb-2002 (Tard 1
APELLIDOSY NOMBRl
gJkS : 3*
. - - m o :
-
o
E W E D I E N T E : - -
PROBLEMA
4
(2 5 puntos
De ma
poblacibn fueron
seleccionados deatoriamente 300 individuos,
de
10s que 93 eran
fiunadores.
a Estime la proporcibn de fumadores de la poblacibn, haciado uso del intervalu de
confianza del95 .
b)
~Cubtasersonas
deberiamos
seleccionar en
ma
m u e m para que, con un probabilidad de
0197R7I valor
absoluto
de la diferencia entre las proporciones
(en tanto
por
uno) de
fumadores
existentes
en la
poblacibn
y en
a
muestra fuera inferior a 0 1?.
93
La
estimaci6npuntual
que obtenemos de
la
rnuestra s p = 0 3 1
300
.M ser muestra grande n= 300
>50),
podemos tomar el estadistico
=
-
NN )
p 3
n
Asi, eI interval0
de
confianza
solicitado
es
I = p
?
s:
Dado que
no
conocernosp (es, de hecha, lo que
estamos
estimando),
lo
aproximaremos
por
su estimzjbn pmtud. De
modo
que:
Dado que no conocemosp,
lo aproxharemos por su
estimacibn
puntu,al.De modo
que:
Dado que tenemos
m a
muestra de la poblncibn, no
es necesario
tomar el caso peor: I p s
0 25
, por
tanto. n o
lo hemos
hecho.
La aproximaci6n
realizada: p .
1 -
=
p . 1-P
s mas realista
por
tanta
siempre rn optimists que
el
caso
peor , si bien no diferirb
mucho
ambas soluciones, a1 ser
p 1- = 0;
1 . 0 69
= 0 2139 cercano a 0 2 5 .
En
cualquier caso, con este presupuesto, tendrimnos:
10 25
a) 1
=
0 3 1t
96
1
1
uu
0 25
b,
~ ~ 2 2 ' 2 9 I311025
l Z
-
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Una llamada telefbnic comienza en
u
nstante
aleatorio en el interval0
0,T).
f - 4
Se definela V A X instantede
comienu de
l
llamada ,
dendo: ~ t ,X r,
con r 0,
T Calcde:
a Funci6n
de
distribucibn
de dicha
variable.
b)
Su
b c i b n
densidad
de
probabilidad.
J 4
Dado que
la
V A
esth
defmid
en 0,T
eberemos distinguir tres zonas de
la
variable
X:
Por tanto:
Nota:
Este problema
tambien podria
h berse resuelto si
se hubiera
preci do en
el enunciado
t -t
que F ~ ,
define
m a variable aleatoriaunifome
continua.
T
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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epart:
Clectrbnica
y Corn
[EST.
ICA:
il-Feb-2002
Mafiar
APELLIDOS Y N O ~ R E :
- NoI33
WEDIENIT: LUKSJ6
PRORLEMA 2 (2 5 puntos~
Seh n medido
100
l b inas
de
zero
en
m a plaata de fabrica, obteniendo
de
estas
medidas
un
valor medio de
0 25
6 m ,
un
valor s2=
0 0
1
Se
pide:
a Verifique
el bum funcionamiento de
esta f5brica, con un nivel de significacibn
del 5 ,
cornprobando
la
veracidad
de la
afmaci6n del, director
de la misma,
que
segur
que u
produccibn tiene
un grosor medio
de
0 25 3mm.
b) Calcule cuhl es Ia
potencia
de la prueba que Vd.
h
reaLizndo en a , para m a produccibn
con
grosor
medio
de
0 2lmm.
a
e
hata de
u contraste
biJated
para
la media
poblacional de
rrn
normal de
la que
desconocemos su desviacibn tipica.
El
contraste
seplantea:
A
ser
grande la
muesba n
= 100
>
50), el estadistico de contraste
= erAN 0,l).
s/
=
se acepta la hip6tesis o
La ~ ~ h ~ m i c i 6 nel director
de
la fgbrica s consjderara
ciert~,on significa.cibn
del 5
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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D D PONTIFICIA
BE
SALAMANCA EN MADRID
-
De~artainento
e
ElectrBnica
y
Comunicaciones
~ o b nh
.
I
:
E G i f E
11 Feb 2002
.
PROBLEM
:
ontinuacibn
Recordado del apxtado anterior,
Para nuestro caso particular:
donde 0 0~149 < 0'0' 7
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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- lINlVERSID.AD
PONTIFICM
DESALMANCAEN
MADRID
Dkpartwmcnto
e
Electrdnica y
C~municacianes
200
n3
. -I ESTADIS
11-Feb-2002
Mafia
. APELLZ~OS NWU.
No
DE EXPEDENTE: -CURSO:
3 GRUPO:
-
;
>
ma)
Se
define la V.A.bidkctensional (X Y ,mediante su
f.d.p.c.
que toma valores dist intos de cero
en
el
cuadrado
delimitads
por los
puntos: l ,O) ,
0,1), -1,O) y 0,-1),
de
t l
forma
que en las
zonas
del
cuadrado correspondiezrtes
a1
segundo
y
cuarto cuadrantes, la f.d.p.c. es unifonne de
valor
K;
ientras
que en el primer y
tercer
cuadrantes
la
f.d p.c. toma la expresibn: y
.
a) CdcuIe
el
valor de K.
b) Obtenga las funciones de densidad margindes.
c) Compruebcla independencia o
no
de u
variables.
d)
Calcde
la
covarianza
entre
las
variables.
e Obtenga la recta de regresi6n de la variable Y obre laX
f)
Mediante la recta que minimice el m r
uadrAtico
medio, iquk estimacibn ddaa como
valor de la variable Y ara un valor
de =
0 8
?
Por slmetria
del
recinto
y de
la
fdpc
respecto
de
la recta =
, enemos:
I 1-r O l r
1
a lJoy vd.+J-lloQ d r + r r xydydr r
d y = - + 2 k - k = I
1 -1-1 0 x-l
12
b) Funci6n de densidad marginal de la variable x:
0 resto
-
8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf
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nento
Andogamente para
lavariabley, se obtiene
c ) No son independientes y
que no
se
cumple la igualdad x, Y =
f x ) f b ) V X, y
Utilizando u contraejemplo podemos demostmrlo: evaluando n el
punto
(0 8 ,0'6 :
De igual foma se tiene que a @or s i m e ~ ael recinto y de la fdpc)
Por
tmta la covarianza quedrt:
pl
=
1'2635
ll
e)
Teniendo
en
cucnta
que
la
expresih
de la
recta
de regresibn es
p
Y
=
2 0
x
),
nas
falta la varianza de la variable x. Pero dado que p = a al ,basta con calcular: a
1'2635
Sustituyendo finalmente
en
la recta de
regresibn
Y=0 1693X
f
j
7'463
O X=m
-
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47/47
En una
empresa
que fabrica
neumhticos
para
vehiculos
especiales, se obtiene
una muestra de
unidades y
se
observa que el dihetro
medio es
de
1
metro. La
variable
X qu mide djcho
dibe t ro
sigue una
distribuci6n normal. Sabiendo
que la varianza mueshal es 0' 1 .
a Obtengau
nterval0
de co&anza d e l 9 8 para la
varianza
del diimetro de 1 s
neumaticos
fabricados.
b)
Obteagaun
nterval0
de o ~ ~
el95
para
el
d ihe t ro rnedio de estos
neumaticos.
c
Se
quiere tener una
probabilidad
0 99
de que
el dihetro
medi
o en
la
poblacibn no
se
alej
e
del
dihetro
medio obtenido
en
lamuestra
en
rn
de 1
centimetros.
~ C u h t o s
e d t i c o s
necesitariamos
en
la muestra?
SOLUCION
a
a
a? 1-a=OT98
-=0 '01
;
1 =0199
2
2
22
--0133=
0'136
M= 13 s;=-
n - 1
b
-
21
b
A
ser
la variaoza
de
la
poblacibn
desconocida,
y
la muestra
menor que 30
e obtiene el
intervdo con la t-student:
1-a=O 95
=. =0'025
C
A1
ser
u
nterval0 menor qu n el apartado b con una mayor probabilidad, necesitara
de m a
muestra superior, que muy
posiblemente supere
30.
Por
tanto:
-
0'005- a = O P 9
/:
Aproximandcl sin interpolar:
ZWoo, 2 58
Sustituyendo el valor obtenido en
tablas,
y
despejmdo
n:
=
LxA
(A1
ser
mayor
de
30 ratifica la
apmximacibn
realirdda