Download - Exemple 3 - 2 - Regresie liniara.pdf
-
8/18/2019 Exemple 3 - 2 - Regresie liniara.pdf
1/3
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
11
2. Regresie liniară
Problema
Se cunoaște un set de n perechi de valori ( )ii y x , cu ni L1= . Se caută funcția deregresie de gradul 1 (dreapta de regresie) care aproximează cel mai bine legătura
dintre valorile date.
Dreapta de regresie este de forma
xaa y ⋅+= 10
Principiul metodei
Se determină coeficien\ii dreptei de regresie:
( )2
11
2
1111
−⋅
⋅−⋅⋅
=
∑∑∑∑∑
==
===
n
i
i
n
i
i
n
ii
n
ii
n
iii
x xn
y x y xna
xa ya ⋅−= 10
[n care:
n
x
x
n
i
i∑=
=1
n
y
y
n
i
i∑=
=1
Se calculează coeficientul de corelare liniar`:
S
S S
c
r −=
-
8/18/2019 Exemple 3 - 2 - Regresie liniara.pdf
2/3
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
22
unde:
( )∑=
⋅−−=
n
i
iir xaa yS 1
2
10
( )∑=−=
n
i
i y yS 1
2
Coeficientul de corelare liniar` are valori cuprinse în intervalul [ ]10L și arat` gradulde dependen\` liniar` [ntre variabilele x ]i y . Valorile extreme au următoarele
semnifica\ii: 1=c arată că exist` o corelare perfect` [ntre puncte, iar 0=c arată că
nu exist` nicio corelare [ntre puncte. Coeficientul de corelar e trebuie să aibe o valoare
c@t mai apropiat` de 1.
Exemplu de calcul
Problemă:
Fie următoarea funcție dată sub formă tabelară:
x -1 0 1 2
y 1 0 1 4
Se determină dreapta de regresie liniară și coeficientul de corelare.
Rezolvare:
Numărul perechilor de valori ( )ii y x , :
4=n
Calculul sumelor :
( ) 84211001)1(1
=⋅+⋅+⋅+⋅−=⋅∑=
n
i
ii y x
( ) 221011
=+++−=∑=
n
i
i x
( ) 641011
=+++=∑=
n
i
i y
( ) 6210)1( 22221
2=+++−=∑
=
n
i
i x
-
8/18/2019 Exemple 3 - 2 - Regresie liniara.pdf
3/3
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
33
Calculul valorilor medii:
5,04
21===
∑=
n
x
x
n
i
i
5,14
61===
∑=
n
y
y
n
i
i
Calculul coeficienților dreptei de regresie:
( )
1264
628422
11
2
1111 =
−⋅
⋅−⋅
=
−⋅
⋅−⋅⋅
=
∑∑
∑∑∑
==
===
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
x xn
y x y xn
a
15,015,110 =⋅−=⋅−= xa ya
Dreapta de regresie:
x x xaa y +=⋅+=⋅+= 11110
Calculul coeficientului de corelare liniară:
( ) ( ) ( )∑=
+⋅−−+−⋅−−=⋅−−=
n
i
iir xaa yS 1
222
10 0110)1(111
( ) ( ) 321141111 22 =⋅−−+⋅−−+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 75,25,145,115,105,11 2222
1
2
=−+−+−+−=−=∑=
n
i
i y yS
7475,075,2
375,2=
−=
−=
S
S S c r
Soluția problemei:
Dreapta de regresie este: x y +=1
cu coeficientul de corelare: 7475,0=c