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Integrazione su varietà :
sia f una funzione (°
a supporto compatto a R"
.
E'
ben definito l' integraledi Riemann :
{ tdx? . -dxnSia ci = fdxsenndx" una
n - forma su IR" a supporto
compatto .
Definiamo
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"!" !ֈ-
integrale di Riemann
Nota se prendiamo
[email protected]: IR" → IR
"un
diffeanorfisrno :
tiff . . , xY-fyi.tt/xt..,xY
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• sia co .- fdysen adynallora
T'*ci (fot) dtn ndtn =
(fot) dit (Tac dxaa adxn
{TÈ : %fattdetfacfhdxi.ded'altra parte la formula delcambiamento di variabili per
l'integrale di Riemann è :
µ!! dyt.dyn-ff.tt/detftfDfdx?..dxnIN
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dunque
Èra .joIR"
dove il segno dipende da segnodel detltftt) .
Se det (Jet) >O è positivo
ovunque allora T si dice
che preserva l'orientazione .
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Una varietà M si dice
orientabile se ammette un
atlante {(va , tale che
le funzioni di transizione
(cambiamenti di carte)
preservano l'orientazione .
Pre M è orientabile se e
solo se ammette una n - formache non si annulla mai .
Nota una n - forma che
non si annulla mai fornisceun modo di orientare tutte
le carte coerentemente.
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Siano Ws e wz in STM)
tali che cisip # 0
eti pem
cozipo
allora esiste fectocm) te.
cosa fcoz
si ha fcp)#O A PEM
se M è connessa,allora
f)O ovunque
o
fra ovunque
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se f)O si dice che
cos e Wz sono equivalenti .
Quindi se M è connessa
e orientabile le n - forme
si suddividono li due
classi di equivalenza .
Ciascuna classe è chiamata
una orientazione di M.
Indichiamo la scelta di
una orientavano con [M).
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Date [M] di dimensione no,
connessa,e data ber" (M)
,ce
p
definiamo il suo integrale a supportocompatto
• ! -÷!!.mn.
Compatto, pochi e'
chiuso ù snpp(2)dove i 1 (Ua , fa)} è un atlante
orientale di M
• { 9, } una partizione dell'unità
subordinata
%:-. ! ha supportocompatto
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Prep l' integrale così definite
non dipende né dall' atlante
nè dalla partizione dell' unità .
Teorema di Stokesevitata
se coesi (M) dimmene
JM con orientazione indotta :
cosa significa M con bordo ?
M con bordo significa che
M è dotata di un alterante
{ ( va , Aa) } tale che
↳ =P"
oppure
va - IX. EIR" I ⇒03=1-17
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JM-afpc.tt/xnCrd=o#•Il bordo di M è una
varietà di dimensione N -1.
Lemma : sia T:X"
→ KM
un diffcom orfismo con
det (JCTDSO . Allora
• T induce una mappa
F : ahi"
- SIMM
•F è un diffeo di R
"-1
con det (JCFD > O
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Il lemma implica che
un atlante orientale di
M induce un atlante
orientato di DM.
Orientazione indotta su bordo :
su Hh"
si consideri
l' orientazione standard.
dira adx"
Per definizione l' orientazione
indotta sul bordo dltllnetxno)è [ 15 dira ndxn- se ne
-1 N-1
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Se M è orientata,
l' orientazione indotta su
JM è quella tale che
#* [ sthtitlsrdbu
con ¢ : U → IHM
che preserva l'orientazione
e sua Mino.
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Teorema di Stokes
Sia w una f- 1) - forma
a supporto compatto su
una varietà orientata M
di dimensione n e sia
JM dota dell' orientazione
indotta . Allora
µ