Spring School onCold Atoms and Molecules and Applications in Metrology
CAMAM 2015
1 / 45CAMAM 2015
N
Interaction rayonnement-atomeAtom-light interaction
Habib Bouchriha
Mars 16, 2015Laboratoire: Matériaux Avancés et Phénomènes Quantiques
Université Tunis El-Manar
2 / 45CAMAM 2015
N
Overview1 Introduction2 Electrodynamique classique
Equations de MaxwellChamps longitudinaux et transversesInvariance de JaugeVariables normales du rayonnementImpulsion et énergie
3 Electrodynamique quantiqueQuantification du champs électromagnétique-photonsHamiltonien HI d’interaction rayonnement-atomeExpression de HI dans l’approximation des grandes longueurs d’onde
4 Processus d’interactionTransitions à un photonProcessus d’absorptionProcessus d’émissionProcessus de diffusion
5 Conclusion
3 / 45CAMAM 2015
N
Introduction
Introduction
L’action d’un rayonnement électromagnétique sur un milieu matériel est un outil puis-sant pour obtenir des informations sur les propriétés optiques et électroniques de cemilieu. De plus le développement de nouvelles sources de rayonnement couvrant undomaine de fréquence large allant des ondes radio à l’ultraviolet lointain (laser, maser...)a renouvelé l’intérêt porté aux processus d’interaction entre matière et rayonnement.Le cadre théorique de l’étude de ces processus est l’électrodynamique qui décrit lemouvement des particules chargées et du champs électromagnétique.
l’électrodynamique classique (champs classique) permet de rendre compte de la presquetotalité de l’optique traditionnelle, mais de nombreux phénomènes ne peuvent s’interpréterqu’en quantifiant le rayonnement (électrodynamique quantique).
4 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Electrodynamique classiqueVariables dynamiques du champ:
~E(~r, t), ~B(~r, t) =⇒ Equations de Maxwell dans l’espace réel
~O.~E(~r, t) =1ε0ρ(~r, t)
~O.~B(~r, t) = 0
~O ∧ ~E(~r, t) = −∂~B∂t
~O ∧ ~B(~r, t) =1c2
∂~E∂t
+1ε0c2
~J(~r, t)
ρ(~r, t) =∑
iqiδ(~r −~ri(t))
~J(~r, t) =∑
iqi~Viδ(~r −~ri(t))
Q =∫
d3~rρ(~r, t)∂ρ(~r, t)∂t
+ ~O~J(~r, t) = 0
Variables dynamiques des particules:~r(t), ~V(t) =⇒ Equations de Newton-Lorentz
mid~Vi
dt= qi[~E(~ri, t) + ~Vi ∧ ~B(~ri, t)] avec ~Vi =
d~ri
dt
Evolution dans le temps:~E(~r, t0), ~B(~r, t0), ~ri(t0), ~Vi(t0)
E.M.N.L=⇒ ~E(~r, t), ~B(~r, t), ~ri(t), ~Vi(t)
Electrodynamique classique
Equations de Maxwell dans l’espace ré-ciproque
~O.~E(~r, t) =1ε0ρ(~r, t)
~O.~B(~r, t) = 0
~O ∧ ~E(~r, t) = −∂~B∂t
~O ∧ ~B(~r, t) =1c2
∂~E∂t
+1ε0c2
~J(~r, t)
⇐⇒~O −→ i~k
i~k.~E(t) =ρ
ε0
i~k. ~B(t) = 0
i~k ∧ ~E(t) = −ddt~B
i~K ∧ ~B(t) =1c2
ddt~E(t) +
1ε0c2
~J (t)
En confinant l’espace réciproque dans une boite cubique d’arête L:~En(t) =
∫d3~r ~E(~r, t)e−i~kn~r
~Bn(t) =∫
d3~r~B(~r, t)e−i~kn~r
~E(~r, t) =1L3
∑n
~En(t)ei~kn~r
~B(~r, t) =1L3
∑n
~Bn(t)ei~kn~r
6 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Champs électriques longitudinaux et trans-verses
Dans l’espace réel: ~V = ~V‖ + ~V⊥Dans l’espace réciproque: ~V = ~V‖ + ~V⊥
champ longitudinal champ transverseEspace réel ~O ∧ ~V‖(~r) = 0 ~O.~V⊥(~r) = 0
Rotationnel nul Divergence nulleEspace réciproque i~k ∧ ~V‖(~k) = 0 i~k.~V⊥(~k) = 0
~E(~r, t) = ~E‖(~r, t) + ~E⊥(~r, t)~B(~r, t) = ~B‖(~r, t) + ~B⊥(~r, t)
7 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Champs électriques longitudinaux et trans-verses
Champs longitudinaux:
Les deux première E.M (réciproque) donnent:~E‖(~k, t) = −i~kε0k2 ρ(
~k, t)
~B‖(~k, t) = 0
+ Le champ magnétique est purement transverse
+ Le champ électrique longitudinal coincide avec le champ de Coulombinstantanné~E‖(~r, t) =
14πε0
∫d3~r′ρ(~r′, t)
~r −~r′
|~r −~r′ |3∼ 1
4πε0
∑i
qi~r −~r
′i (t)
|~r −~r′i (t)|3
+ Les champs longitudinaux ne sont pas des variables dynamiques
8 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Champs électriques longitudinaux et trans-verses
Champs transverses:
Les 3me et 4me E.M (réciproques) donnent:
d ~B⊥dt
= −i~k ∧ ~E⊥d~E⊥dt
= i c2~k ∧ ~B⊥ −1ε0
~J
projection dans le plan ⊥ à ~k
=⇒ d2~E⊥dt2 = −c2k2 ~E⊥
+ Les composantes transverses sont des variables dynamiques in-dépendantes et autonomes, elles caractérisent le rayonnement.
9 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Potentiel vecteur ~A et potentiel scalaire U
~A(~r, t) et U(~r, t) sont reliés à ~E(~r, t) et ~B(~r, t) par:~E(~r, t) = −~OU(~r, t)−
∂~A(~r, t)∂t
~B(~r, t) = ~O ∧ ~A(~r, t)
Dans l’espace réciproque elles deviennent:~E(~k, t) = −i~kU(~k, t)−
∂ ~A(~k, t)∂t
~B(~k, t) = i~k ∧ ~A(~k, t)
Le couple ~A , U constitue une jauge.Les champs ~E et ~B sont invariants dans la transformation de jauge associée à une fonction F(~r, t)telle que:~A′ (~r′ , t) = ~A(~r, t) + ~O F(~r, t)
U′(~r′ , t) = U(~r, t)−
∂F(~r, t)∂t
−→
~A′ (~k′ , t) = ~A(~k, t) + i~kF(~k, t)
U′(~k′ , t) = U(~k, t)−
∂F(~k, t)∂t
Jauge de Coulomb: définie par ~O . ~A = 0
10 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Variables normales du rayonnementEn Jauge de Coulomb: ~A transverse. On introduit les variables normales
αl =1
2 E(1)l
(ωlAl − iEl) et βl =1
2 E(1)l
(ωlAl + iEl)
avec
l(~kl,~εl) : composante polarisée transverse
E(1)l =
√~ωl
2ε0L3: Amplitude d’un champ classique ayant une énergie ~ωl dans L3
et ωl = c kl
ky
kx
kz
kl
Elel
Bl
el '
∆~A−1c2
∂2~A(~r, t)∂t2
= 0
11 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Variables normales du rayonnementLes champs transverses s’expriment
~A(~r, t) =∑
l~εlE(1)
l
ωl(αlei~Kl~r + α†l e−i~Kl~r)
~E(~r, t) =∑
l~εl E(1)
l (iαlei~Kl~r − iα†l e−i~Kl~r)
En dérivant αl par rapport à t et ayantdAl
dt= −El et
dEl
dt= −ω2
l Al :
⇓
dαl
dt+ iωl αl = 0
⇓
αl(t) = α0 e−iωl t
Pour chaque mode y Oscillateur harmonique
12 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Impulsion totale~PT =
∑i
mi~Vi + ε0∫L3
d3~r ~E(~r, t) ∧ ~B(~r, t) = ~Pp + ~Pch
~E = ~E‖ + ~E⊥ ⇒ ~Pch = ~Plong + ~Ptrans
~Plong = ε0∫
d3~r ~E‖(~r) ∧ ~B(~r) = ε0∫
d3~k ~E‖(~k) ∧ ~B(~k)
~Ptrans = ε0∫
d3~r ~E⊥(~r) ∧ ~B(~r) = ε0∫
d3~k~E⊥(~k) ∧ ~B(~k)
~E‖(~k) = −iε0ρ(~k)
~kk2
et ~B(~k) = i~k ∧ ~A En utilisant: ~a ∧ (~b ∧~c) = (~a.~c)~b− (~a.~b)~c
~Plong = ε0∫
d3~k ρ[ ~A−~u(~u. ~A)] =∑
iqi~A⊥(ri) (~u =
~kk
)
Soit~P =
∑i
mi~Vi +∑
iqi~A⊥(~ri, t) + ~P⊥
~P =∑
i(mi~Vi + qi~A⊥(~ri, t)) + ~P⊥ =
∑i
~Pi + ~P⊥
~Pi = mi~Vi + qi~A⊥(~ri, t) impulsion généralisée de la particule dans un champs électromagnétique
13 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Energie totale+ HT =
∑i
12 mi~vi
2 + ε02
∫L3
d3~r [~E2(~r, t) + c2~B2(~r, t)] = Hp +Hch
+ Hch = Hlong +Htrans
+ Hlong =ε0
2∫
d3~r ~E2‖(~r) =
18πε0
∫∫d3~r d3~r
′ ρ(~r)ρ( ~r′ )
|~r − ~r′ |
⇓
Hlong =∑i6=j
∑j
qiqj
8πε0|~ri −~rj|
≡
Energie de Coulomb instantanée des charges
14 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
Energie totaleHtrans =
ε0
2∫L3
d3~r[~E2⊥(~r, t) + c2~B2(~r, t)]
~A(~r, t) =∑
lAlei~kl~r et αl =
1
2 E(1)l
(ωlAl − iEl)
El = −dAl
dt, Bl = iklAl , ωl = ckl
Htrans = 2ε0L3 ∑l
(E(1))2l |αl|2 =
∑l
~ωl|αl|2
On introduit les variables canoniques conjugués ql et pl telle que:
ql + ipl =√
2~αl
⇓
Htrans =∑
l
ωl
2(q2
l + p2l )
15 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique classique
RecapitulationImpulsion totale de l’électrodynamique classique:
~PT =∑
i
~Pi avec ~Pi = mi~Vi + qi~A⊥(~ri, t)
Energie totale de l’électrodynamique classique:
+ HT = Hp +Hlong +Htrans
+ Hp =∑
i
12mi
[~Pi − qi~A⊥(~ri, t)]2: Energie cinétique des particules
+ Hlong =∑i 6=j
∑j
qiqj
8πε0|~ri −~rj|: Energie de Coulomb Vcoul
+ Htrans =∑
l
ωl
2(q2
l + p2l ): Energie de Rayonnement HR
Soit:
Htot =∑
i
p2i
2mi+ Vcoul︸ ︷︷ ︸
particules
+ HR︸︷︷︸Rayonnement
−∑
i
qi A⊥(~r, t)~pi
mi+
q2i
2miA2⊥(~r, t)
︸ ︷︷ ︸Interaction rayonnement-particules
16 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Quantification canonique
On associe aux variables canoniques ql et pl les observables canoniques Ql et Pl tel que:
[Ql, Pl′ ] = i~δ
ll′ et [Ql,Ql′ ] = [Pl, P
l′ ] = 0
⇒ HT =∑
lHl =
∑l
ωl
2(Q2
l + P2l )
On introduit les opérateurs al et a†l non hermitiques et conjugués:
al =Ql + iPl√
2~et a†l =
Ql − iPl√2~
[Ql, Pl′ ] = i~δ
ll′=⇒
[al, a†
l′] = δ
ll′
[al, al′ ] = 0
⇓HR =
∑l
~ωl(a†l al + 12 )
17 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Observable de champ
à ~A, ~E et ~B on associe les observables A, E et B
A(~r) =∑
l~εlE(1)
l
ωlalei~Kl~r + a†l e−i~Kl~r
E(~r) = i∑
l~εl E(1)
l alei~Kl~r − a†l e−i~Kl~r
B(~r) = i∑
l
~Kl ∧ ~εl
ωlE(1)
l alei~Kl~r − a†l e−i~Kl~r
Par analogie à la notation complexe on note:
~E(~r) = ~E+(~r) + ~E−(~r)
avec ~E+(~r) = i∑
l~εl E(1)
l alei~Kl~r
18 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Observable impulsion
impulsion classique: ~P = ε0∫L3
d3~r~E(~r, t) ∧ ~B(~r, t)~E =
∑l
i~εl E(1)l (αlei~Kl~r − α†l e−i~Kl~r)
~B =∑
li~Kl ∧ ~εl
E(1)l
ωlαlei~Kl~r − α†l e−i~Kl~r
En utilisant le double produit vectoriel =⇒ ~P = 2ε0L3 ∑l
(E(1)l )2
ωl|αl|2~kl
impulsion quantiqueαl 7−→ al, α†l 7−→ a†l
2ε0L3 (E(1)l )2
ωl= ~ ⇒ P=
∑l
a†l al ~~kl
19 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Etats propres et valeurs propres de HR
HR =∑
l~ωl (a†l al +
12
)
HR |ψ〉 = ER |ψ〉
Oscillateur harmonique à ldimensions
⇓
ER = En1,n2...nl =
∑l
(nl + 12 )~ωl
|ψR〉 = |n1, n2...nl〉 =(a†1 )n1
√n1!
(a†2 )n2
√n2!
...(a†l )nl
√nl!|01, 02...0l〉
|n1, n2...nl〉 sont appelés états nombres et leur ensemble forme une base de l’espace des états appeléespace de "Fock".
|01, 02...0l〉 = |0〉
20 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Photons
HR =∑
l~ωl (a†l al +
12
)
Le champ électromagnétique peut être représenté par un système dénombrable de bosons appelés "pho-tons" qui sont des excitations élémentaires du rayonnement quantifié.Chaque photon a une énergie El = ~ωl et une impulsion ~Pl = ~~kl:
Il y a plusieurs modes de champs+ Dans le mode 1: n1 photons d’énergie ~ω1 et d’impulsion ~~k1
:
+ Dans le mode l: nl photons d’énergie ~ωl et d’impulsion ~~kl
Les opérateurs intervenant sont al,a†l et Nl:
+ a†l : création d’un photon à l’état l (εl,~kl, ωl) :
a†l |n1, n2...nl..〉 =√
nl + 1 |n1, n2...nl+1, ..〉
+ al : annihilation d’un photon à l’état l (εl,~kl, ωl) :al |n1, n2...nl..〉 =
√nl |n1, n2...nl−1, ..〉
+ Nl = a†l al : nombre de photons dans l’état l: 〈n1, n2...nl, ..|Nl |n1, n2...nl, ..〉 = nl
21 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Le videHR =
∑l
~ωl (a†l al + 12 ) =
∑l
~ωl (a†l al) + 12
∑l
~ωl
E0 = 12
∑l
~ωl : Energie du vide de photons
|0〉 = |01, 02...0l..〉 : Etat du vide
L’énergie du vide E0 est à l’origine de nombreux effets physiques observables:
+ Lamb shift: déplacement de Lamb de niveaux atomiques+ Force de Casimir et Polder :
F =~ cπ2
240 a4A ∼ 10−7 N
pour a=1µm et A = 1 cm2
+ Emission spontanée,...
Remarque:
ã En général E0 n’intervient pas dans l’interaction rayonnement-matière car on s’intersse souvent auxdifférences d’énergie entre les états:
ã al |0〉 = 0 〈0| a†l′
al |0〉 = δll′
ã 〈0| E |0〉 = 0, 〈0| E2 |0〉 =∑
l(E(1)
l )2 =∑
l
~ωl
2ε0L3
Electrodynamique quantique
Quantification en Jauge de coulomb
~ri ,~pi −→ Ri, Pi : [Ri, Pj] = i~δijql , pl −→ Ql, Pl : [Ql, Pl′ ] = i~δll′
~A(~r, t) −→ A =∑
l~εlE(1)
l
ωlaleikl Rl + a†l e−ikl Rl
~O.A = 0 =⇒ Ai Pi = Pi Ai
HT −→ HT = Hp + HR + HI
Hp =∑
i
P2i
2 mi+ Vcoul : Atome avec des particules en interaction coulombienne
HR =∑
l~ωl (a†l al + 1
2 ) : Rayonnement formé d’une assemblée de photons
HI =∑
i
qi Ai Pi
mi+
∑i
q2i
2 miA2
i : Interaction entre atome et rayonnement:
couplage perturbatif
23 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Espace des étatsHT = Hat + HR + HI
Hamiltonien de l’atome
Noyaux fixes =⇒ Hat =∑
i
P2i
2 mi+ Vcoul(R1, R2..Ri..)
=⇒ mouvement des électrons dans le potentielCoulombien du noyau et des autres électrons
=⇒ agit dans l’espace des états Eat de l’atomeHat |j〉 = Ej |j〉
|j〉 =⇒ base dans Eat
Hamiltonien du rayonnement
Quantification du rayonnement =⇒ HR =∑
l~ωl (a†l al + 1
2 )
=⇒ agit dans l’espace ER des états du rayonnement:HR |n1, n2, ..nl, ..〉 = En1,n2,..nl,.. |n1, n2, ..nl, ..〉|n1, n2, ..nl, ..〉 =⇒ base dans ER
24 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Espace des états
Atome + rayonnement sans interaction: Hat + HR
E = Eat ⊗ ER de base E = |j, n1, n2, ..nl, ..〉
Hamiltonien d’interactionHI =
∑i
qi Ai Pi
mi+
∑i
q2i
2 miA2
i = HI1 + HI2
[HI ,HT ] 6= 0 =⇒ |j, n1, n2, ..nl, ..〉 ne sont pas états propresde HI et HT , mais HI peut être étudié dans E
Effets de HI =⇒ X Changement d’état de l’atomeX Annihilation et création de photons
25 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Expression de HI dans l’approximation desgrandes longueurs d’onde
Lorsque les particules sont localisées autour d’un point~r0 dans un volume de dimensions petites devant
la longueur d’onde λl =2πkl
on peut remplacer~ri par~r0 et Ri par R0
=⇒ atome immobile de centre de masse~r0On a
A(Ri) ∼ A(R0)
et
HI =∑
i
qi A(R0) Pi
mi+
∑i
q2i
2 miA2(R0)
ã A(R0) agit dans Er : cela simplifie considérablement le formalisme.ã Approximation justifiable en optique:
+ taille atomique 0, 2 nm+ longueur d’onde λ ∼ 500nm
26 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Atome en mouvement
ã Mouvement du centre de masse avec~r0(t) = ~V0 t
ã ei~kl~r −→ eiv0
ccos θ0 ωl t
=⇒ Effet Doppler
ã Résolution de l’équation de schrödinger en remplaçant: Hat −→ Hat +P2
0
2 Mat
ã Mouvement atomique controlé: atomes froids, condensation de Bose-Einstein..
27 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Taitement en régime perturbatifHT = Hat + HR + HI
HI = HI1 + HI2 HI1 =∑
i
qi Ai Pi
miHI2 =
∑i
q2i
2 miA2
i
Régime perturbatif: Rayonnement pas très intense: HI Hat
A ∼Eω
HI2
HI1∼
q2 A2/2mq A p/m
∼q A p/m2 p2/m
∼HI1
Hat 1
donc HI2 HI1 Hat
Pour être complet HT doit tenir compte du spin des particules à cause du moment magnétique associé àces spins.
~Msi = gi
qi
2 mi
~Si
L’interaction de ~Msi avec ~B =⇒ Hs
I = −∑
i
~Msi~B(~ri) Comme B ∼ k A :
HsI
HI1∼
q~ B/mq A p/m
∼~ k Ap A
∼~ kp 1 pour photons de faibles énergies
28 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Taitement en régime perturbatif
conclusion:
On peut traiter HI comme une perturbation de Hat + HR
HI1 ∼ ~A~P : pris au 1er ordre il correspond à la création oul’annihilation d’un photon:emission etabsorption.
HI2 ∼ A2 : fait intervenir deux photons et correspond auxprocessus d’émission ou d’absorption à 2 photonsou aux processus de diffusion
29 / 45CAMAM 2015
N
Electrodynamique quantique
Approche dipolaire électrique
On peut remplacer le hamiltonien d’interaction HI par un hamiltonien H′I :
H′I = −D E⊥(R0)
D: operateur dipole électrique de l’atome qui agit dans Eat:
D =∑
iqi Ri
E(R) = i∑
l~εl E(1)
l alei~Kl~r − a†l e−i~Kl~r
Le hamiltonien total est:H′T = Hat + HR + H
′I
On montre que cette nouvelle description quantique utilisant H′I conduit aux mêmes résultats que celle
utilisant HI .Cette description est très utilisée en optique quantique.
30 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Transitions à un photonPour simplifier on considère un atome à un seul électron.comme HI2 HI1 on a HI = HI1 = −
qm~A~P
A(~R0) =∑
l~εlE(1)
l
ωlal ei~Kl~r0 + a†l e−i~Kl~r0
On prend r0 = 0 (particule localisée à l’origine)
A =∑
l~εlE(1)
l
ωlal + a†l
⇓
HI1 = −qm
∑l
E(1)l
ωl
~P~εlal + a†l
Si l’état initial: |ψi〉 = |j, 0, nl, 0〉 : atome dans un état |j〉 avec nl , photons dans le mode l=⇒ Transition possible sous l’effet de la perturbation stationnaire qui amène le système à l’état final:
|ψf 〉 = |j′, 0, n
′l , 0〉: atome dans l’état |j
′〉 avec n
′l photons dans le mode l
31 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Transitions à un photon
Condition pour induire la transition:Hfi
I1 = 〈ψf |HI1|ψi〉 6= 0
un photon apparait (a†) ou disparait (a) et l’atome change d’état (P impair)On a absorption ou émission quasi résonante:
Ef ∼ Ei et Ej′ ∼ Ej ± ~ωl
32 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Processus d’absorption
L’atome absorbe un photon ~ωl et passe de l’état d’énergie Ea à l’état d’énergie supérieure Eb: Eb > Ea
Etat initial: |ψi〉 = |a, 0, nl, 0〉 = |a, 0,~k〉Etat final: |ψf 〉 = |b, 0, nl−1, 0〉 = |b, ~K
′,~k〉
un photon disparait
Au premier ordre de la théorie des perturbations
HfiI1 = 〈ψf |HI1|ψi〉 = 〈b, 0, nl−1, 0| −
qm
∑l
El
ωl
~P~εlal + a†l |a, 0, nl, 0〉
Comme 〈nl−1|al|nl〉 =√
nl et 〈nl−1|a†l |nl〉 = 0On a:
HfiI1 = −
qmEl
ωl
√nl 〈b|~P.~εl|a〉
33 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Processus d’absorption
Probabilité de transition au 1er ordre de perturbation
Pi→f =1~2|∫ t
0 HfiI1(t′) eiωfi t′ dt′|2
ωfi =Ef − Ei
~
Comme la perturbation est sinusoïdale (O.E.M)
Pi→f =|Hfi
I1|2
4~2|sin(ωfi − ω) t/2
(ωfi − ω)/2|2 1
Pi→f = |Ω|2(sin(δ t/2)
δ)2
avec Ω et δ: HfiI1 =
~Ω
2et δ =
Ef − Ei
~=
Eb − Ea
~− ωl
On a des oscillations de Rabi , Ω pulsation de Rabi.
34 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Processus d’absorptionRemarques:
ã Pi→f −→ 1 pour δ =Eb − Ea
~− ωl = 0 : Résonance
ã Pi→f ∝ nl
ã Il y a conservation de l’énergie et de l’impulsion globale
~ω = ~ω0 + Erecul, Erecul = 12 m v2 ~ω
ã Absorption multiphotonique entre deux états discrets:Lorsque l’atome est soumis à un rayonnement intense il peut absorber plusieurs photons et passerd’un niveau a à un autre niveau b d’énergie plus élevée.Exemple: absorption à deux photons
On peut avoir:ω = ω
′
ω 6= ω′
ã On peut avoir aussi absorption entre un état discret et un état du continuum (~ω > EI) et entredeux états du continuum d’ionisation
35 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Processus d’émissionL’atome émet un photon et passe de l’état d’énergie Eb à l’état d’énergie inférieure Ea: Eb > Ea
Etat initial: |ψi〉 = |b, 0, nl, 0〉 = |b, ~K, 0〉Etat final: |ψf 〉 = |a, 0, nl+1, 0〉 = |a, ~K
′,~k〉
un photon nouveau apparait
Au premier ordre de la théorie des perturbations:
HfiI1 = 〈ψf |HI1|ψi〉 = −
qmEl
ωl
√nl + 1 〈b|~P~εl|a〉 =
~Ω′
2
car 〈nl + 1|a†l |nl〉 =√
nl + 1 et on a Ω′
=
√nl + 1
nlΩ
=⇒ Probabilité de transition:Pi→f = |Ω
′|2(
sin δ t/2δ
)2
avec δ = −Ef − Ei
~=
Eb − Ea
~− ωl
36 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Processus d’émission
Remarques:
ã Pi→f −→ 1 pour δ =Eb − Ea
~− ωl = 0 : Résonance
ã Pi→f ∝ nl + 1, intensité non nulle même si nl = 0
ã Il y a conservation de l’énergie et de l’impulsion globale
Eb +~2 K2
2 M= Ea +
~2K′ 2
2 M+ ~ω
~ ~K = ~ ~K′ + ~~kã Emission et absorption sont deux processus symètriques
37 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Emission Spontanée
Si dans l’état initial tous les modes sontvides (absence de photon), l’émission estappelée spontanée:Etat initial: |ψi〉 = |b, 0〉Etat final: |ψf 〉 = |a, nl = 1〉EI = EbEf = Ea + ~ω
Hfi = 〈ψf |HI1|ψi〉
Probabilité de transition importante si Ef ∼ Ei
Les photons spontanés ont pour fréquence: ωl 'Eb − Ea
~= ωBohr
38 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Emission stimuléeElle présente beaucoup d’analogie avec l’absorption.Elle est provoquée par les photons présents dans l’état initial. L’atome effectue une transition vers un étatinférieur, l’énergie perdue par l’atome est gagné par le champ qui a induit cette transition: Au lieu d’êtreatténué, le rayonnement incident est amplifié.
~ω = Eb − Ead Na
dt= −
d Nb
dt= A21 ρ(ν) Nb
A21 : coefficient d’Einstein pour l’émission stimulée.ρ(ν) : Densité spectrale d’énergie lumineuse.
Si Nb > Na, l’émission stimulée l’emporte sur l’absorption
39 / 45CAMAM 2015
N
Processus d’interaction
Processus de diffusionC’est un processus où un photon disparait et un nouveau photon apparait.Etat initial: |ψi〉=atome dans un état a en présence d’un photon ω, ~k, ~εEtat final: |ψf 〉=atome dans un état a
′en présence d’un photon ω
′, ~k′, ~ε′
Plusieurs chemins possibles, le plus commun:L’atome dans l’état a, absorbe le photon ω et passe dans un état b, émet un photon ω
′et atteint l’état a
′
L’amplitude de transition associée à ce chemin est:
Hfi =∑
b
〈a′,~k′~e′|HI1|b,0〉〈b,0|HI1|a,~k~e〉
Ea+~ω−Eb
40 / 45CAMAM 2015
N
Les processus de diffusion les plus courants sont:
+ La diffusion RayleighDiffusion élastique à basse énergie: |a′ = a, ~ω′ = ~ω〉
avec ~ω EI |Eb − Ea|EI : énergie d’ionisation
La section éfficace de diffusion est proportionnelle à ω4 (couleur bleu de ciel)
σR =8π3
r20ω4
ω40
ω0: fréquence de Bohrr0: rayon de l’électron ∼ 3 . 10−15 m
41 / 45CAMAM 2015N
Processus d’interaction
Processus de diffusion
+ La diffusion Raman
Diffusion inélastique à basse énergie
ã ~ω EI , Etat final a′
de l’atome 6= a
ã s’accompagne d’un changement de fréquence: ω − ω′
=E
a′ − Ea
~ã suivant que le niveau a est inférieur ou supérieur au niveau a
′on a:
Diffusion Raman Stokes ou Diffusion Raman antistokes
42 / 45CAMAM 2015
N
Conclusion
Conclusion
Le formalisme présenté permet d’interpréter au premier ordre les processus d’absorption, d’émissionet de diffusion pour des systèmes à deux niveaux et pour des effets impliquant les fluctuations du vide etl’optique non linéaire .Pour être complet on doit tenir compte de:
ã La dépendance angulaire et en polarisation pour le calcul des éléments de matrice HfiI1 en utilisant
les théorèmes relatifs aux symètries (Wigner-Eckart,...)ã La densité d’états des modes de rayonnementã Le taux d’émission dans une direction donnée (θ, ϕ)ã Les effets relativistes: termes de structure fine, Darwin,...ã Les durées de vie des processus mis en jeu,...ã La dispersion du champ: bruit quantique standard
Enfin, on appelle souvent ce domaine de la physique OPTIQUE QUANTIQUE car la matière ou la lu-mière ou toutes les deux sont traitées aux niveau microscopique et donc quantique. C’est un domaineséduisant et d’avenir où la domestication, la manipulation, le contrôle des photons bouleverseront la tech-nologie du futur et feront du 21me siècle, le siècle de la lumière et du triomphe de l’optique et de la pho-tonique.
43 / 45CAMAM 2015
N
Conclusion
Bibliographie
Photons et Atomes, Introduction à l’Electrodynamique QuantiqueC.Cohen-Tannoudji, J.Dupont-Roc,G.Grynberg.InterEditions et Editions du C.N.R.S., Paris 1987
Processus d’Interaction entre Photons et AtomesC.Cohen-Tannoudji, J.Dupont-Roc,G.Grynberg.InterEditions et Editions du C.N.R.S., Paris 1988
Introduction to Quantum OpticsG.Grynberg, A.Aspect, C.FabreCambridge university press 2010
44 / 45CAMAM 2015
N
Merci Pour Votre attention45 / 45
CAMAM 2015N