J. Mauricio López R.
CENAM Time and Frequency Division
Statistical Analysis of Measurements
(time domain)
OUTLINE
1. Introduction
3. Allan Variance (AVAR)
4. AVAR uncertainty
5. Trazability
2. Time and Frequency Measurements
5. Time Deviation
Introduction
Real Clocks
There not exist the perfect clock, all the real clocks are unestable. The output frequency of a clock changes with time. A correct mathematical tool is needed to characterise the frequency instability of oscillators.
33
.0 c
m
22
.0 c
m
35
.0
cm
)2sin()( tAtV
A: amplitude: frequencyt: time
+A
-A
Mathematical model for ideal frequency signal
V(t) = V0 sen(20t)
V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]
Time
Time
Mathematical model for a real frequency signal
4 - 1 6
F r e c u e n c i a e s t a b l e ( o s c i l a d o r i d e a l )
U n s t a b l e F r e q u e n c y ( R e a l O s c i l l a t o r )
T i m e
( t )
T i m e
( t )
V1
- 1T 1 T 2 T 3
1- 1
T 1 T 2 T 3
V ( t ) = V 0 s i n ( 2 0 t )
V ( t ) = [ V 0 + ( t ) ] s i n [ 2 0 t + ( t ) ]
( t ) = 2 0 t
( t ) = 2 0 t + ( t )
V ( t ) = s a l i d a d e l o s c i l a d o r , V 0 = A m p l i t u d n o m i n a l p i c o - a - p i c o ( t ) = a m p l i t u d d e r u i d o , 0 = f r e c u e n c i a n o m i n a l ( t ) = f a s e , a n d ( t ) = r u i d o d e f a s e
t d)t(d
21=
t d)t(d
21 = )t( 0
π
Φπ
frequency, ousInstantane
V
I n e s t a b i l i d a d e n f r e c u e n c i a ( r u i d o )
The Allan Variance
La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis en el dominio del tiempo de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.
The Allan Variance is a statistical tool used for the time domain analysis of time and frequency measurements to estimate the noise behind measurements and to determine the stability of an oscillator under calibration.
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
x
t
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
y1 y2
y3
y4y5
y6
y7
y8
x
tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
y1 y2
y3
y4y5
y6
y7
y8
x
tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
ii
i
xxy
1
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
y1 y2
y3
y4y5
y6
y7
y8
x
tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
ii
i
xxy
1iii yyy 1
22y 2
1σ iy
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
y1 y2
y3
y4y5
y6
y7
y8
x
tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
ii
i
xxy
1iii yyy 1
Allan Variance
222
2y 2
1σ ix
iii yyy 1 iiii xxxx 122 2
ii
i
xxy
1
Time
Ph
ase
dif
fere
nce
y1 y2
y3
y4y5
y6
y7
y8
x
tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
Varianza de Allan para Mediciones de Frecuencia
1N
1i
2i1i
0
2y yy
1N21
σ
donde:
Varianza de Allan
Número de datos espaciados 0
i-ésima medición de fase
2y
N
iy
Tiempo de observación = m0
m =2n cálculos posibles
mN
iimimiy xxx
mN
2
1
222
2 222
1
donde:
Varianza de Allan
Número de datos espaciados 0
Tiempo de observación = m0
i-ésima medición de fase
2y
Nix
m =2n cálculos posibles
Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase
4-25
Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.
y()-1
-1
0
Tipo de ruido:
Whitephase
Flickerphase
Whitefreq.
Flickerfreq.
Randomwalk freq.
-12 12
Dependencia temporal de Dependencia temporal de yy(())
Ejemplos de cálculo de varianza de Allan
NIST Special Publication 1065
NIST Special Publication 1065
Incertidumbre de medición
La pendiente del gráfico ofrece información sobre la diferencia fraccional de frecuencia “promedio” entre los
osciladores
mff
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
0
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
1
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
3
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
)( y
)(
ymff
0
0
fff
ff
Frecuencia del
oscilador
Frecuencia de
referencia
))(1(0 ymff
))(21(0 ymff
Factor de cobertura k=2
......)( 2210
122
fhfhh
fh
fh
fhfS y
=-2 Random walk frequency=-1 Flicker frequency=0 White frequency=+1 Flicker phase=+2 White phase
y2 ()
= -1 Random walk frequency= -1 Flicker frequency= -1/2 White frequency= 0 Flicker phase = +1/2 White phase
Dominio de la frecuencia
Dominio del tiempo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 -17
-15
-13
-11
-9
log
logy
White PM o flicker PM
White FM
Flicker FM Random walk FM
103
100 101 102 103
10-1
100
101
102
=2 =1
=0
=-1
=-2
N (número de mediciones)
),2(
),(2
2
N
Random walk frequency
Flicker frequency
White frequency
Flicker phase
White phase
Varianza de Allan
Varianza estándar
=--1
Varianza de Allan vs Varianza Estándar
Traceability
NMI 2
Labs. Sec.
Labs. Ind.
NMI 1
Labs. Sec.
Labs. Ind.
BIPM
u1
u2
u´1
u´2
u´0 u0
Concepto de Trazabilidad
NMI 2
Labs. Sec.
Labs. Ind.
NMI 1
Labs. Sec.
Labs. Ind.
BIPM
u1
u2
u´1
u´2
u´0 u0
Concepto de Trazabilidad
NMI 2
Labs. Sec.
Labs. Ind.
NMI 1
Labs. Sec.
Labs. Ind.
BIPM
u1
u2
u´1
u´2
u´0 u0
CMC´sCMC´s
Concepto de Trazabilidad
NMI 2
Labs. Sec.
Labs. Ind.
NMI 1
Labs. Sec.
Labs. Ind.
BIPM
u1
u2
u´1
u´2
u´0 u0
CMC´sCMC´s
CMC´s CMC´s
Concepto de Trazabilidad
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
u1
u2
u0
Concepto de Trazabilidad
210 uuu
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
,ff y()
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
,ff y()
n
i iff
1
n
ii
y1
2 )(
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
n
i iff
ff
1
n
ii
yy1
2 )()(
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, f
BIPM
Frecuencia, ff0
BIPM
NMI
Concepto de Trazabilidad
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0
BIPM
NMI
f0
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1
NMILab Acred.
BIPM
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1
BIPM
NMI
f1
Lab Acred.
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1 f2
BIPM
NMI DUTLab Acred.
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1 f2
BIPM
NMI DUT
f2
Lab Acred.
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1 f2
BIPM
NMI DUT
f
Lab Acred.
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1 f2
BIPM
NMI DUT
n
ii
ff1
Lab Acred.
Concepto de Trazabilidad
y()0
y()1
y()2
n
ii
yy1
2 )()(
J. Mauricio López R.
CENAM Time and Frequency Division
Statistical Analysis of Measurements
(time domain)
THANK YOU!!