Download - Metodos y Tecnicas de Integracion
1,0,1
1
nxn
XdxX
nn
0,||ln xCxx
dx
1,0,ln
aaCa
adxa
xx
Cedxe xx
Cxdxsenx cos.
Csenxdxx .cos
Cxdxx )sec(ln)tan(
Cxxdxx )tan()sec(ln)sec(
Cxxecdxxec )cot()(cosln)(cos
Cxsendxx )(ln)cot(
Cxx
dx)tan(
)(cos2
Cxxsen
dx )cot(
)(2
Cxdxx tan.sec2
Cxdxx cot.csc2
Cxdxxx )sec()tan(*)sec(
Cxecdxxanxec )(cos)(cot*)(cos
Cxdxxsenh cosh..
Cxsenhdxx ...cosh
Cxdxxh tanh.sec 2
Cxdxxh coth.csc 2
Cxarcsenx
dx)(
1 2
Ca
xarcsen
xa
dx22
, |x|<|a|
Cxx
dx)arccos(
1 2
Cxx
dx)arctan(
12
Ca
x
aax
dxarctan
122
, a=0
Cxarcxx
dx)sec(
)1( 22
Cax
ax
aax
dx
ln2
122
, a=0
Cxa
xa
axa
dx
ln2
122
, a=0
Caxxax
dx
22
22ln ,a=0
Caxxax
dx 22
22ln ,|x|>|a|
Ca
xarcsenaxaxdxxa )(*
2
1**
2
1 22222
Caxxaaxxdxax 2222222 ln**
2
1**
2
1
Caxxaaxxdxax 2222222 ln**
2
1**
2
1
Identidades trigonometricas e hiperbólicas mas usadas
Sen2 (x) + cos2(x) =1
1 + tan2(x) = sec2(x) csc2(x) + 1 = cot2(x)
sen2(x) = 2
1 ( 1 - cos (2x) )
cos2(x) = 2
1 ( 1 + cos (2x) )
sen(x)*cos(x) = 2
1 sen(2x)
1- cos(x) = 2*sen2 (1/2 x)
1+cos(x) = 2*cos2 (1/2 x)
sen(a + b) = sen(a)*cos(b) + cos(a)*sen(b) sen(a - b) = sen(a)*cos(b) – cos(a)*sen(b) cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sen(a)*sen(b)
cos(a - b) = cos(a)*cos(b) + sen(a)*sen(b) para ángulo doble
sen(2a) = 2*sen(a)cos(a) cos(2a) = cos2(a) - sen2(a)
tan(2a) = )(tan1
)tan(*22 a
a
identidades hiperbolicas
cosh²x - senh²x = 1
sech²x + tgh²x = 1
cotgh²x - cosch²x = 1
senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y
cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y
tgh (x ± y) =
senh (2x) = 2 senh x cosh x
cosh (2x) = cosh²h + senh²x
senh a + senh b = 2 senh
cosh a + cosh b = 2 cosh
2senh² = cosh x - 1
2cosh² = cosh x + 1
(senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) , (Fórmula de Moivre
para medio ángulo
2
)cos(1
2
aasen
2
)cos(1
2cos
aa
)cos(1
)cos(1
2tan
a
aa
productos de senos y cósenos
sen(a)*cos(b) = )()(2
1basenbasen
cos(a)*sen(b) = )()(2
1basenbasen
cos(a)*cos(b) = )cos()cos(2
1baba
sen(a)*sen(b) = )cos()cos(2
1baba
Sustitución Trigonometrica
Para integrandos de la forma 222222 ,, axxaxa mas general como aparece en la siguiente tabla.
para Usar Para obtener
222 xba
)(zsenb
aX
)cos(*)(1 2 zazsena
222 xba
)tan(zb
aX
)sec(*)(tan1 2 zaza
222 axb
)sec(zb
aX
)tan(*1)(sec2 zaza
Ejemplo integrando de la forma 222 xba
1.- Hallar 22 4 xx
dx usando la tabla anterior sea x = 2 tang(z) fig .1 entonces dx = 2*sec2(z) dz
además sabemos que tan2(z)+1=sec2(z)
entonces
)(*4
1)cos(*)(
4
1
)(tan
)sec(
4
1
)sec(2(*))(tan*4(
)(sec*2
4
2
22
2
22 zsendzzzsendz
z
z
zz
dzz
xx
dx
pero de la figura 33.1 vemos que sen(z)=24 x
x
por lo tanto C
x
x
xx
dx
4
4
4
2
22
formulas de reducción para funciones trigonometricas
integrales de la forma
senm(x) , cosn(x) con m,n N
Estas integrales se deducen utilizando el método de integración por partes
dxxsenxsendxxsen mm )(*)()( 1
Haciendo u=senm-1(x) du=(m-1)*(senm-2(x))*(cos(x)) dx dv=sen(x) dx v= - cos(x)
dxxxsenmxxsen mm )(cos*)()1()cos(*)( 221 utilizando la identidad cos2(x)=1-sen2(x)
dxsenmdxxsenmxxsen mmm )1()()1()cos(*)( 22 pasando este ultimo miembro del
otro lado y sumando y despejando m se llega al siguiente resultado:
dxxsenm
mxxsen
mdxxsen mmm )(
)1()cos(*)(
1)( 21 .
Haciendo un procedimiento análogo para el coseno se llega a
dxxn
nxsenx
ndxx nnn )(cos
)1()(*)(cos
1)(cos 21
12122 )1(*
)1(2
11
)1)(1(2)1( nnn x
dx
nxn
x
x
dx n N
dxx
x
nxn
xsendx
x
xsennnn
11
)cos(
1
1
)1(
)()( n N
integrando por partes se tiene que
Haciendo un proceso similar para el coseno se tiene que
dxx
xsen
nxn
xdx
x
xnnn
11
)(
1
1
)1(
)cos()cos( n N
1.-
dxxsenx
nm
m
nm
xsenxdxxsenx nm
nmnm )(*)(cos
1)(*)(cos)(*)(cos 2
11
con m,n N
Dos reglas de sustitución útiles en ciertos casos simples. con m,n N
dxxxsenpara nm )(cos*)(.1 . Si m es impar, sustituir u = cos(x).Si n es impar u = sen(x).
dxxxpara nm )(sec*)(tan.2 . Si n es par sustituir u = tan(x).Si m es impar sustituir u = sec(x).
Integrales del tipo
1.- dx ]ß)x - (sen +ß)x +(sen [ 2
1 )cos(*)( dxxxsen
2.- dxxxdxxsenxsen cos( cos [2
1)(*)(
3.- dxdxxx ]ß)x - cos( +ß)x +cos( [ 2
1)cos(*)cos(
con α , β ε R
la reducción anterior se hace tomando en cuenta las identidades cos(a+b) y sen(a+b) desarrollándolas.
Integrales del tipo (25.6) dxdcx
bax
dcx
baxxF
srr
)..,,.........,(1
Con r1,........,rs Q además a,b,c,d R. y 0dc
ba, se reduce a integrales de funciones racionales
Sea m Z no negativo tal que existen p1,p2.........,ps Z. Tal que m
pr
m
pr s
s .,,.........11 haciendo el
cambio de variable dcx
baxt m
entonces mmm dtbaxxctbaxtdcx ;)( despejando “x”
)(tFact
dtbx
m
m
, F(t) es una función racional de “t” y f(t) también es una función racional de “t” (f(x) es la
derivada de F(x)) y dx =f(t) dt como dcx
baxt m
entonces Si
dcx
baxt
i
i
p
mr....2,1
luego
dttftt
ct
dtbFdx
dcx
bax
dcx
baxxF pspi
m
mrsr
)(,.....,,..........,
1
que es una función racional
ejemplos 1
calcular 4 1212 xx
dx donde a=2, b=1, c=0, d=1 y r1=1/2 r2=1/4 ahora verificamos que el
determinante de la matriz formada por a,b,c,d sea distinto de cero ya que sino, no se puede aplicar este método
210
12 continuando vemos que las “r” deben de ser de la forma r1=p1/m , r2=p2/m...........rs=pi/m ahora
para que esto suceda con r1 , r2 multiplicamos a r1 por 1 o sea por 2/2 entonces r1=2/4, r2=1/4 y claramente se observa que m= 4 por lo tanto hacemos la siguiente sustitución t4=2x-1 2x =1 + t4 x = (1+ t4)/2 y dx = 2t3 dt sustituyendo;
ctttt
dtdtt
tt
dtt
tt
dtt
xx
dx1ln22
12)1(22
)()(
2
1212
2
2
3
)4/1(4)2/1(4
3
4
como t4 = 2x+1 42 1212 xtxt entonces el resultado buscado es
cxxxxx
dx
112ln212*212
1212
44
4
ejemplo 2
calcular
dxx
x 4 donde a=1,b=4, c=0, d=1 y r1=1/2 además 1
dc
ba entonces si se puede aplicar
este método. Vemos que m=2 entonces t2 = x+4 x =t2 – 4, dx =2t dt sustituyendo tenemos que
dt
t
ttdt
t
tdx
x
x
422
4
42
2
2
2
que ya se puede resolver como las integrales de funciones
racionales.
Nota: las integrales del tipo dxbaxbaxxF rsr
)......()(, 1 y las del tipo dxxxxF rsr ,.....,, 1 con r Q
se reducen a integrales de funciones racionales mediante una sustitución análoga a la anterior.
Integrales del tipo dxbxax ))((
que ya puede ser calculada por el método de fracciones racionales
integrales del tipo dxcbxaxxR ),( 2, con a 0
se reduce a integrales de funciones raccionales mediante la sustitución de Euler. Casos posibles:
1) a > 0 2) ax2 + bx + c tiene raices reales 3) c > 0
primer caso: a > 0 demostración.
segundo caso: ax 2 + bx + c tiene raíces reales demostración.
R3 puede ser calculada mediante la sustitución )(
)(
1
22
xx
xxat
que en nuestro caso da
(x-x1)t = ))(( 21 xxxxa
o tomando t>0 cuando x x1 y t<0 cuando x x1,(x-x1)t = cbxax 2
te rcer caso: c > 0 demostracion.
ejemplos de los tres casos de la sustitución de Euler.
Ejemplo caso a>0
Calcular cx
dx
2 sol.
Sea cx 2 = -x + t elevando al cuadrado ambos lados x2 + c = x2-2xt + t2 eliminando las “x” cuadras y
despejando la “x “ que sobra se tiene que: t
ctx
2
2 , y dt
t
ctdt
t
ctttdx
2
2
2
2
24
2*)()2*2(
Ahora sustituyendo “x”en parte derecha de cx 2 = -x + t se tiene que cx 2 =t
ctt
t
ct
22
22
Ahora sustituimos en la integral a calcular y (tambien de esta ultima parte se depaja “t” para sustituirlo al final ya que la integral quedara en terminos de “t”)
Se sigue que
CcxxCtt
dtdt
t
ct
t
ct
cx
dx 2
2
2
2
2lnln
2
2
Ejemplo caso 2: ax2 + bx + c tiene raices reales Condición 1 que x1 = x2 (siendo estas raices del polinomio)
Calcular dxxx 242 2 dividiendo entre 2 y factorizando 12)1(2 2 xx luego
dxxdxxdxxx 1212242 2 pero se sabe que x-1= x-1 si x 0 ò x-1= -(x-1) si x0
pero esta ultima nos dice que –(x-1)=x-1 si x 1 ò -(x-1) =1-x si x 1 entonces concluimos que
1,,22
22422
2 xsiCxx
dxxx pero si x<1 entonces el resultado es Cx
x 2
222
condicion 2 x1 x2 ejemplo:
calcular 432 xx
dx sol.
Sus raices son x1= - 4, x2 =1 sea (x+4)t = )1)(4( xx elevando al cuadrado ambos lados
(x+4)2t2 = (x+4)(x-1) (x+4)t2 =(x-1) depejando “x” se tiene que dtt
tdx
t
tx
222
2
)1(
10,
1
41
Regresando un poco sabiamos que (x+4)t = )1)(4( xx sustituyendo el valor anterior de “x” en la parte
izquierda se tiene que )1)(4( xx = tt
t
4
1
412
2
ahora haciendo calculos concluimos que
2
2
1
543
t
txx
tomando este ultimo valor y el de “dx” sustituimos en;
C
t
t
t
dtdt
t
t
t
t
xx
dx
1
1ln
12
1
5
)1(
10
432
2
2
2 ya solo falta despejar “t” de (x+4)t = )1)(4( xx
y sustituirlo en este ultimo resultado para que quede en terminos de “x” y no de “t”.
Tercer caso c 0
Ejemplo: calcular
dx
xx
xx
2
2
1
11 sol.
Haciendo xtxx 11 2 elevando al cuadrado ambos lados 1+ x + x2 = 1 + 2xt +x2t2
Se sigue que x2 + x = 2xt +x2t2 x + 1 = 2t + xt2 despejando “x” 21
12
t
tx
dt
t
tdx
22 )1(
22
Ahora sustituimos a “x” en la parte derecha de xtxx 11 2 t
t
txx
2
2
1
1211
Se concluye que 2
22
1
131
t
ttxx
ahora regresando tenemos que;
dt
t
t
t
tt
t
tt
dxxx
xx22
2
2
2
2
2
2
)1(
22
1
13
1
131
1
11 que al simplificar se convierte en una funcion racional
que se puede integrar según lo visto de funciones racionales.
Integrales del binomio diferencial del tipo dxbXaX pnm )(
Con a,b R, a0, b0 , p Q y m,n Z con n0 se reducen a integrales de funciones racionales
unicamente cuando
1 ) p Z y 11
n
mq Q
2 ) p Q y q Z
3 ) p+q Z
caso 1 dem.
Como q Q, entonces, haciendo xn = t x = t 1/n
dttn
dx n 1/11
Ahora sustituyendo en:
dttbtan
dttbtan
dttbtatn
dxbXaX qpn
m
pnpn
m
pnm )(1
)(1
)(1
)(1
11
1
Caso 2 Dem.
Sea p = r/s con r,s Z y s0 haciendo (a + bxn) = ts despejando “x” bxn = ts-a
dtstatn
bdxb
atx snsn
ns11)/1()/1(
1
)(1
,
ahora sustituyendo se tiene que
dttatn
bsdttat
n
bs
dtstatn
btatbdxbXaX
srqssspnn
m
s
snsnspmnsnpnm
111
1
11)/1()/1()/1()/1(
)()(
)(1
)()(
la cual es una integral de una función racional
caso 3 Dem. Sea
dxxX
bXadxx
X
bXaXdxbXaX npm
p
n
nnp
p
n
nmpnm
)(
Haciendo )/1(/1
1
)( nsnn
s
nns
n
ns bta
bt
axabxxt
x
bxat
Ademas dtstbtnadx snsn 11)/1(/1 ))(/1(
Haciendo el cambio de variable o sustitución en :
dttbtn
sadttbt
n
sa
dtstbtn
abtat
dxxX
bXadxx
X
bXaXdxbXaX
srqpsqp
srpnn
ms
pnnm
snsnnpmnsnsp
npm
p
n
nnp
p
n
nmpnm
)1()2()1(
111)/1()/(
11)/1(/1)/1(/1 ))(1
()(
)(
que es una integral de una función racional. Chebishev mostro que para los exponentes m,n,p que no satisfacen alguno de los casos anteriores la integral no se expresa atraves de funciones elementales.
Ejemplos:
Caso 1 p Z q Q
Calcular )1( 3 23 2 xx
dx sol.
Tambien se puede espresar como
dxxx
xx
dx 1)3/2()3/2(
3 23 2)1(
)1( donde se observa que m=(-2/3),
n =(2/3), p = -1 y q = (m+1/n)-1 = (-1/2) que es el primer caso. Haciendo x2/3 = t2 x = t3 dx = 3t2 dt entonces haciendo el cambio de variable se tiene que;
CxCtt
dtdttdttttdxxx
xx
dx 3
2
1221221)3/2()3/2(
3 23 2arctan3)arctan(3
13)1(33)1()1(
)1(
caso 2 p Q
calcular
dxx
x
2
3
1 sol. también se puede expresar como
dxxxdxx
x )2/1(23
2
3
)1(1
donde m=3
n=2, p=(-1/2) y q = 1. haciendo 1-x2 = t2 x=(1-t2)(1/2) dtt
tdx
21 sustituyendo;
Ct
tdtdttdttdt
t
ttt
3)1(
1)()1(
322
2
)2/1(2)2/3(2 como t2 = 1-x2 t =21 x
por lo tanto Cxxdxx
x
2)2/3(2
2
3
1)1(3
1
1.
Caso 3 p+q Z
Calcular 322 )1( xx
dx sol.
dxxxxx
dx )2/3(22
322)1(
)1( donde m= -2, n=2,
p= -3/2 y q = -3/2 p+q = -3.
Haciendo
tdttdxtt
xxxtx
xt 2)1(
2
1,)1(
1
1,1
1 )2/3(22/12
2/1
2
222
2
22
Sabemos que
dxx
x
xdxx
x
xxdxxx
xx
dx 52
3
2
23
2
3
2
22)2/3(22
322
11)1(
)1(
Ahora sustituyendo en esta ultima parte se tiene
dtt
tdttttdtttt
2
222)2/3(2)2/5(23 1
)1(2)1)(2/1()1( esta ultima integral ya es muy sencilla
de calcular por funciones racionales y desoues dejar todo en terminos de “x” y no de “t” y eso es todo.
Integrales del tipo dxxsenxF )cos,(
Se reducen a integrales de funciones racionales con -<x< Dem.
Sen(x) = sen(x/2+x/2) = sen(x/2)*cos(x/2)+cos(x/2)*sen(x/2) = 2sen(x/2)*cos(x/2)
Ahora dividimos entre 1=sen2(x/2)+cos2(x/2) y multiplicamos por 1 =)2/(cos
)2/(cos2
2
x
xluego simplificamos;
1)2/(tan
)2/tan(2
)2/(cos
)2/(cos
)2/(cos
)2/(
)2/cos(
)2/cos(*
)2/cos(
)2/(2
)2/(cos)2/(
)2/cos(*)2/(2*
)2/(cos
)2/(cos
)2/(cos)2/(
)2/cos()2/(2)(
2
2
2
2
2222
2
22
x
x
x
x
x
xsen
x
x
x
xsen
xxsen
xxsen
x
x
xxsen
xxsenxsen
haciendo algo análogo a lo anterior se llega a )2/(tan1
)2/(tan1)cos(
2
2
x
xx
haciendo u = tan(x/2) x = 2arctanu 21
2
u
dudx
entonces
21
2)(
u
uxsen
y 2
2
1
1)cos(
u
ux
de esta forma la integral 22
2
2 1
2
1
1,
1
2)cos,(
u
du
u
u
u
uFdxxsenxF
que es una integral de una
función racional.
Ejemplos:
Solo sustituimos a sen(x),cos(x) y dx por 21
2)(
u
uxsen
,
2
2
1
1)cos(
u
ux
,
21
2
u
dudx
respectivamente.
1.- Calcular )(1 xsen
dx sol.
2
2
2
2
2
2
)1(2
1
)1(
1
1
2
1
21
1
2
)(1 u
dudu
u
u
udu
u
uu
xsen
dx haciendo t = 1+u,,dt = du.
entonces
CtCt
dttt
dt
u
du 11
2
222
1222
)1(2
como t = 1+u y u = tan(x/2) t = 1+ tan(x/2)
por lo tanto Cx
CxCtxsen
dx
)2/tan(1
2))2/tan(1(22
)(1
11
2.- Calcular x
dx4cos
sol
duu
udu
u
u
udu
u
u
u
x
dx42
32
42
42
2
4
2
2
2
4 )1(
)1(2
)1(
)1(
1
1
2
1
1
1
2
cos esta integral se ha convertido en una mas
complicada a veces este metodo complica algunas integrales como la anterior que se puede resolver
utilizando la siguiente transformación,
dxxxxdxxxx
dx
x
dx 2222
224sec*)tan1(sec*sec
cos*coscos
Haciendo t = tanx dt = sec2xdx
Ct
tdttdxx
dx
3)1(sec*)tan1(
cos
3222
4 como t = tanx
Cx
xCt
tx
dx 3
tantan
3cos
33
4 fue mas facil que con el metodo, a veces el metodo anterior no sera
conveniente.
Observación: las siguientes integrales su primitiva no es una función elemental o una combinación de
funciones elementales no se pueden resolver en términos de funciones elementales, es decir no se pueden
resolver por ningun metodo de los anteriores mencionados.
con n ε N
Deducción de las formulas que aparecen en rojo
1.-