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Statique 1-1
STATIQUE DU POINT (1)
Les forces sont des quantits vectorielles; leur somme estdtermine par la rgle du paralllogramme. Le module et le
sens de la rsultante R de deux forces P et Q peuvent tre
dtermins de faon graphique ou par trigonomtrie
P
R
QA
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Statique 1-2
A
Q
P
F
Toute force applique en un point peut tre dcompose
en plusieurs composantes, cest dire, quelle peut tre
remplace par autant de forces qui ont le mme effet au
mme point
Une force F peut tre
dcompose en deuxcomposantes P et Q en
dessinant un
paralllogramme avec
F pour diagonale; lescomposantes P et Q
sont reprsentes par les
deux cots adjacents duparalllogramme et peuvent
tre dtermines
soit graphiquement, soit
trigonomtriquement.
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Statique 1-4
Problme 2.1
Solution trigonomtrique : La rgle du
triangle est encore utilise. Deux cots
et langle inclus B sont connus.
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Statique 1-5
x
y
Fx = Fx i
Fy = Fyj
F
i
j
Une force F peut se dcomposer en deux composantes
cartsiennes si ces composantes sont diriges le long desaxes du repre. On introduit alors la notion de vecteurs
unitaires i etj le long des axesx ety respectivement,
F = Fx
i + Fy
j
Fx = Fcos Fy = Fsin
tan =Fy
Fx
F= Fx + Fy2 2
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Statique 1-6
Quand plus de trois forces dans le mme plan agissent en
un mme point, les composantes principales de leur rsultanteR peuvent tre obtenues en additionnant algbriquement les
composantes respectives de chaque force.
Rx = Rx Ry = Ry
Lintensit (ou le module) et la direction de R peuvent tre
dtermines partir de,
tan
=
Ry
RxR = Rx + Ry2 2
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Statique 1-7
x
y
z
A
B
C
D
E
O
Fx
Fy
Fz
F
x
y
z
A
B
C
D
E
O
Fx
Fy
Fz
F
x
x
y
z
A
B
C
D
E
OFx
Fy
Fz
F
y
z
Une force F dans un espace 3D peut
sexprimer en fonction de ses composantes
Fx = Fcos x Fy = Fcos y
Fz = Fcos z
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Statique 1-8
x
y
z
Fyj
Fx i
Fz k
(Module = 1)
cos x i
cos z k
cos yjF= F
Les anglesx , y , et zsont appels les
angles directeurs de
la force F. En utilisant
les vecteurs unitaires
i ,j, et k, on peut
crire
F = Fx i + Fyj + Fzk
ou
F = F(cosx i + cosyj + coszk )
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Statique 1-9
x
y
z
Fyj
Fx i
Fz k
(Module = 1)
cos x i
cos z k
cos yj
F= F
= cosx i + cosyj+ coszk
Comme le module estunitaire, nous avons
cos2x + cos2y+ cos2z = 1
F= Fx + Fy + Fz2 2 2
cosx =Fx
F cosy =Fy
F cosz =Fz
F
De plus,
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Statique 1-10
x
y
z
M (x1,y1,z1)
N (x2,y2,z2)
dx =x2 -x1
dz =z2 -z1< 0
dy =y2 -y1
Un vecteur force F
en 3D est dfini parson module F et
deux pointsMetN
le long de son
support. Le vecteurMNjoignant
les points etN est
MN = dx i + dyj + dzk
= = (dx i + dyj + dzk )MN
MN
1
d
F
Le vecteur unitaire le long du support de la force est
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Statique 1-11
x
y
z
M (x1,y1,z1)
N (x2,y2,z2)
dx =x2 -x1
dz =z2 -z1< 0
dy =y2 -y1Une force F est
dfinie comme leproduit de F et de
. Ainsi,
F = F = (dx i + dyj + dzk )Fd
d= dx +dy +dz22 2
Ds lors,
Fx =Fdxd
Fy =Fdyd
Fz = Fdzd
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Statique 1-12
Quand au moins deux forces agissent en un point en
trois-dimensions, les composantes cartsiennes de leurrsultante R est obtenue en additionnant algbriquement
les composantes respectives de chaque force.
Lquilibre au point dapplication est obtenu quand la
rsultantede toutes les forces agissantes est gale zro.
Rx = FxRy = Fy
Rz =
Fz
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Statique 1-13
Problme 2.3
Question : les quatre forces agissent
sur un boulon A.
Dterminer leur rsultante.
Rponse :Les composantes x et y de chaque force
sont dtermines trigonomtriquement (cf.
figure).
y, composante, Nx, composante, NIntensit, NForce
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Statique 1-14
Problme 2.3
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Statique 1-15
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0
En deux-dimensions, seulement deux de ces quations
sont ncessaires
Pour rsoudre un problme impliquant un point en
quilibre, on trace le diagramme des corps libres, quimontre toutes les forces qui agissent en ce point. Les
conditions qui doivent tre satisfaites pour lquilibre
sont :
Fx = 0 Fy = 0