unesp unesp J F Galera Monico
Modelos matemático das observáveis GNSS/GPS
• Equação para a pseudo-distância
• Equação para a fase da portadora
2
1
][
][
2
1
PD
s
r
s
r
s
r
s
r
s
r
PD
s
r
s
r
s
r
s
r
s
r
vTIdtdtcPD
vTIdtdtcPD
220202
222
10101
111
)]()([
][*)(
)]()([
][*)(
1
vNtt
dtdtfc
TIf
vNtt
dtdtfc
TIf
s
tr
r
ss
r
s
r
s
rs
r
s
tr
r
ss
r
s
r
s
rs
r
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Combinações lineares das observáveis GPS
C L m mi
1 1 2 2 C L m m
i
1 1 2 2 C L m m
i
1 1 2 2
m m L
m m1 2 1
2
2
2
1
Observável m1 m2 m m1 2
(cm) m m1 2
(mm)
L0 f f f1
2
1
2
2
2/ ( ) f f f f1 2 1
2
2
2/ ( )19,0 9,0
L1 1 0 19,0 3,0
L2 0 1 24,0 3,9
L 1 -1 86,2 19,4
L 1 1 10,7 2,4
L43 4 -3 11,4 9,1
L54 5 -4 10,1 10,3
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Combinações de Medidas de Pseudodistâncias e de
Fase da Onda Portadora
• Uma combinação de muita utilidade prática é a que envolve
medidas de pseudodistâncias e de fase. Trata-se de um
procedimento que envolve a filtragem da pseudodistância pela
fase. Esse procedimento é comumente denominado na literatura de
suavização da pseudodistância (pseudorange smoothing) pela
portadora. (não totalmente correto)
• Assumindo que se tenha medidas disponíveis nas duas portadoras
para uma
• e que as pseudodistâncias foram transformadas em ciclos, pode-se
então escrever:
• Equação similar para a fase da onda portadora é a wide lane, isto é
Ambas tem mesmo
)( e )(),(),( 2121 iLiLiLiL tttPDtPD
21
2211 )()()(
ff
tPDftPDftPD i
c
Li
c
Li
c
)()()( 21 iLiLi ttt
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• Pode-se então calcular valores extrapolados para PD (PDext)
• Para tanto, deve-se estabelecer a seguinte condição inicial:
para todo i > 1.
• O leitor pode observar também que a medida que o número de
épocas i aumenta, a precisão da observável resultante melhora.
Analisando a expressão
• a qual representa a precisão da combinação resultante, observa-se
que a pseudodistância filtrada pela fase da onda portadora torna-se
muito mais precisa. No entanto, o algoritmo é sensível à perdas de
ciclos da portadora. Quando isso ocorrer, o algoritmo deve ser
reinicializado. Uma expressão alternativa visando reduzir o
problema é apresentada em Hofmann-Wellenhof et al. (1997).
• Com L1 apenas:
))()(()()( 11 iii
c
filti
c
ext tttPDtPD )]()([2
1)( i
c
exti
c
i
c
fil tPDtPDtPD
)()()( 111 tPDtPDtPD c
fil
c
ext
c
i
i c
cfil
PD
PD
22)1(
))]()(()([1
)(1
)( 11111
iLiLi
c
fili
c
Li
c
fil tttPDi
itPD
itPD
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Combinações Lineares das Observáveis GPS Entre
Diferentes Estações
• As combinações lineares apresentadas referem-se a
observáveis coletadas numa mesma estação. Elas podem
agora ser combinadas entre diferentes estações, satélites e
época, bem como entre diferentes observáveis
• Quando combinamos observáveis entre estações, trata-se de
posicionamento relativo.
– Assume-se portanto, numa linha base, que uma das estações dispõe de
coordenadas conhecidas, a partir da qual se determina as coordenadas
da nova estação.
– erros presentes nas observações originais são eliminados ou reduzidos
quando se forma as diferenças entre as observáveis das estações.
– As observáveis secundárias, derivadas das originais são denominadas
simples, dupla e tripla diferenças.
– Pode-se por exemplo ter uma simples, dupla ou tripla diferença da
observável L0, L1, L2 e etc.
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Simples diferença
• Simples diferenças podem ser
formadas entre dois receptores, dois
satélites ou duas épocas.
• Combinações usuais envolvem
diferenças entre satélites e duas
estações.
• Suposição fundamental é que dois
receptores (r1 e r2) rastreiam
simultaneamente o mesmo satélite (s1). r
S 1
2 1
r
PR c dt dt vPRSD1,2
1
1,2
1
1 2 ( )
1,2
1
1
1
2
1
SIMPLES DIFERENÇA DA FASE
DA ONDA PORTADORA
1,2
1
1,2
1
1 2 1,2 0 1,2
1 f
cf dt dt t N v
SD[ ] ( ) +
12 0 1 0 2 0
1,2
1
1
1
2
1
( ) ( ) ( )t t t
N N N
SIMPLES DIFERENÇA DA
PSEUDO-DISTÂNCIA
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Dupla diferenças
• A dupla diferença é a diferença
entre duas simples diferenças.
• Envolve dois receptores e dois
satélites
1 r 2
r
1 S
2 S
DUPLA DIFERENÇA DA
PSEUDO DISTÂNCIA
PR vPRDD1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1
1,2
2
DUPLA DIFERENÇA DA
FASE DA ONDA PORTADORA
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2 f
cN v
DD( )
N N N N N1 , 2
1 , 2
1
1
2
1
1
2
2
2
é chamado ambigüidade da DD,
a qual para algumas combinações
lineares é suposta ser um número
inteiro
N1,2
1,2
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Tripla diferença
• Tripla diferença é dada pela diferença entre duas dupla diferenças, envolvendo
mesmo receptores e satélites, mas em épocas distintas (util da deteccao perda ciclos)
s2(t2)
1 r
2 r
s1(t1) s1(t2) s2(t1)
1,2
1,2
1 1,2
1,2
2 1,2
1,2
1 1,2
1,2
2( ) ( ) [ ( ) ( )]t t
f
ct t v
TD
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MVC das observáveis diferenciadas
• A MVC de um vetor i contendo as observações coletadas em
duas estações numa época ti e arranjada da seguinte forma:
• é dada por
• As simples diferenças podem ser escritas como:
• e a MVC por:
i
T n n [ , , .. . , , , , . . . , ]1
1
1
2
1 2
1
2
2
2
i
In
2
2
S D n n ii
I I [ , ]
SDi
In
2 2
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MVC das observáveis diferenciadas
• As ((n-1)x1)observáveis de dupla diferenças contidas no
vetor são obtidas a partir das simples diferenças, e
podem ser escritas como:
DDi
DD SDi i
C
C
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1
...
...
...
...
C
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 0 0 1
...
...
...ou
diferença seqüencial satélite base
DDi
2
2 1 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0
0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 1 2
2
...
...
...
...
...
DDi
2
2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 1 2
2
...
...
...
...
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MVC das observáveis diferenciadas MVC das observáveis diferenciadas
• As DD não são correlacionadas entre épocas (discutir). Portanto,
a MVC de, por exemplo, k épocas, é composta por k blocos
diagonais, similares aos do slide anterior. O desenvolvimento da
MVC para o caso de redes pode ser encontrado em Monico (1995)
e Monico et al. (1995). Uma expressão genérica para as duplas
diferenças de uma época i qualquer é dada por:
• A matriz C é do tipo já apresentado e representa o produto de
Kronecker. Na matriz leva em consideração a correlação entre
as linhas base. Cada linha é formada por elementos nulos e não-
nulos, compostos por +1 e –1, os quais identificam os vértices da
rede formando cada linha base.
• As DD não são correlacionadas entre épocas (discutir). Portanto,
a MVC de, por exemplo, k épocas, é composta por k blocos
diagonais, similares aos do slide anterior. O desenvolvimento da
MVC para o caso de redes pode ser encontrado em Monico (1995)
e Monico et al. (1995). Uma expressão genérica para as duplas
diferenças de uma época i qualquer é dada por:
• A matriz C é do tipo já apresentado e representa o produto de
Kronecker. Na matriz leva em consideração a correlação entre
as linhas base. Cada linha é formada por elementos nulos e não-
nulos, compostos por +1 e –1, os quais identificam os vértices da
rede formando cada linha base.
][][2 TT
DD CCi
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MVC das observáveis diferenciadas MVC das observáveis diferenciadas
• Para uma rede definida pelas linhas base 1-2; 2-3, 3-4;...;(m-1)-m,
a matriz será dada por:
• Observe também que, apenas linhas de base independentes devem
fazer parte do processamento final.
• No caso de m estações, tem-se (m-1) linhas de bases
independentes, de um total de m(m-1)/2 possíveis.
• Portanto, para uma rede com 10 estações, rastreando
simultaneamente 7 satélites, tem-se 54 duplas diferenças
independentes por época, de um total de 945 possíveis.
• Fica a cargo do leitor o desenvolvimento da MVC da tripla
diferença para o caso de uma linha base.
• Para uma rede definida pelas linhas base 1-2; 2-3, 3-4;...;(m-1)-m,
a matriz será dada por:
• Observe também que, apenas linhas de base independentes devem
fazer parte do processamento final.
• No caso de m estações, tem-se (m-1) linhas de bases
independentes, de um total de m(m-1)/2 possíveis.
• Portanto, para uma rede com 10 estações, rastreando
simultaneamente 7 satélites, tem-se 54 duplas diferenças
independentes por época, de um total de 945 possíveis.
• Fica a cargo do leitor o desenvolvimento da MVC da tripla
diferença para o caso de uma linha base.
110...00
...
0...0110
0...0011
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Linearização das observáveis GPS
• As observáveis GPS são não lineares com respeito as
coordenadas das estações e satélites, as quais compõem a
distância geométrica .
• Assumindo os valores aproximados Xio,Yio, e Zio para as
coordenadas do receptor i (estação), uma distância
aproximada pode ser calculada
• e as coordenadas da estação pode ser representada por:
i
j j
i
j
i
j
iT X T X Y T Y Z T Z( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 2 2
i
j j
i
j
i
j
iT X T X Y T Y Z T Z
0 0
2
0
2
0
2( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )
X X X
Y Y Y
Z Z Z
i i i
i i i
i i i
0
0
0
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Linearização das observáveis GPS
• Expandindo a expressão resultante numa série de Taylor de
primeira ordem obtém-se
• com as seguintes derivadas parciais:
• Agora, a equação é linear com respeito as incógnitas Xi, Yi e
Zi, podendo finalmente ser escrita como:
i
j
i
j i
j
i
i
i
j
i
i
i
j
i
iT T
T
XX
T
YY
T
ZZ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
0
0
i
j
i
j
i
i
j i
j
i
j
i
j
i
i
j i
j
i
j
i
j
i
i
j i
j
T
X
X T X
Ta T
T
Y
Y T Y
Tb T
T
Z
Z T Z
Tc T
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
i
j
i
j
i
j
i i
j
i i
j
iT T a T X b T Y c T Z( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0