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Nonlinear ProgrammingG. Edgar Mata Ortiz
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Nonlinear Programming• ¿Qué es Programación no Lineal?
• Es un método para obtener el resultado óptimo con base en un modelo matemático en el que NO todas las relaciones entre variables y constantes pueden expresarse linealmente.
Algunas relaciones pueden
ser lineales, pero NO todas.
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Nonlinear Programming•Programación lineal
•Con la finalidad de comparar, vamos a comentar un ejemplo de programación lineal.
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Nonlinear Programming•Programación lineal
• En esta forma de optimización, las relaciones entre variables y constantes son lineales.
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Nonlinear Programming• Ejemplo de programación lineal
•Una planta industrial emplea tres máquinas M1, M2 y M3 para fabricar dos artículos A1 y A2. Para la fabricación de A1 se requieren dos horas en la máquina M1, una hora en la M2 y tres horas en la M3; para el producto A2 hace falta una hora en la máquina M1, una hora en la M2 y 5 horas en la M3.
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Nonlinear Programming• Ejemplo de programación lineal
• Se dispone de 180 horas en la máquina M1, 110 en la M2 y 480 en la M3. La ganancia obtenida por cada pieza del artículo A1 es de $50 y por cada pieza del artículo A2 es de $40.
• ¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?
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Nonlinear Programming• Ejemplo de programación lineal
• El problema es planteado y se obtiene un modelo en el que todas las expresiones algebraicas son lineales.
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Nonlinear Programming• Ejemplo de programación lineal
• Incluso la función objetivo es lineal.
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Nonlinear Programming• La solución se obtiene resolviendo
sistemas de ecuaciones lineales
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Nonlinear Programming•Un caso típico de programación no lineal
se presenta cuando las restricciones son lineales, pero la función objetivo no lo es.
•Por ejemplo:
• ¿Qué sucede si, con los datos del problema anterior, la función objetivo es cuadrática?
• z = 16x+10y – 0.08x2
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Nonlinear Programming• El modelo del problema quedaría:
•Maximizar: z = 16x+10y – 0.08x2
• Sujeto a las restricciones:• 2x + y ≤ 180
• x + y ≤ 110
• 3x + 5y ≤ 480
• x≥0, y ≥ 0
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Nonlinear Programming•Una buena forma de comprender el
problema consiste en trazar la gráfica de la función objetivo sobre el mismo plano en el que se encuentran las restricciones.
• z = 16x+10y – 0.08x2
Para poder trazar la gráfica, asigna un valor de z = 1,300.
Observa el comportamiento de la curva obtenida
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Nonlinear Programming•Graficar la función objetivo:
• z = 16x+10y – 0.08x2
• Es necesario despejar la variable independiente y, (considerando z = 1,300).
16𝑥 + 10𝑦 − 0.08𝑥2 = 130010𝑦 = −16𝑥 + 0.08𝑥2 + 1300
𝑦 =−16𝑥 + 0.08𝑥2 + 1300
10𝑦 = −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130
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Nonlinear Programming• Tabulación para graficar la función objetivo:
𝑦 = −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130
x y0 −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130 = −1.6(0) + 0.008(0)2+130 = 130
20 −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130 = −1.6(20) + 0.008(20)2+130 = 101.2
40 −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130 = −1.6(40) + 0.008(40)2+130 = 78.8
60 −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130 = −1.6(60) + 0.008(60)2+130 =
80 −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130 = −1.6(80) + 0.008(80)2+130 =
100 −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130 = −1.6(100) + 0.008(100)2+130 =
120 −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130 = −1.6(120) + 0.008(120)2+130 =
140 −1.6𝑥 + 0.008𝑥2 + 130 = −1.6(140) + 0.008(140)2+130 =
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Nonlinear Programming• z = 16x+10y – 0.08x2
El área de soluciones factibles no cambia, ya que solamente se
modificó la función objetivo, no las restricciones.
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Nonlinear Programming• z = 16x+10y – 0.08x2
A(0, 96)B(0, 0)C(90, 0)D(70, 40)E(35, 75)
El área de soluciones factibles no cambia, ya que solamente se
modificó la función objetivo pero no las restricciones.
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Nonlinear Programming• z = 16x+10y – 0.08x2
Debido a la curvatura de la
función objetivo, la solución óptima no
necesariamente se encontrará en
un vértice del área de
soluciones factibles.
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Nonlinear Programming• ¿Cómo determinar la solución óptima?
• ¿Cómo sabemos si existe dicha solución óptima?
• En caso de que exista, ¿es única esta solución óptima?
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Nonlinear Programming• Existen muchos tipos de problemas de
programación no lineal, dependiendo de las características de las funciones involucradas; restricciones y función objetivo.
• Existen varios algoritmos para resolver cada uno de los diferentes tipos de problemas.
• El ejemplo planteado recibe el nombre de:
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática
• Se distingue de la programación lineal porque, aunque tiene restricciones lineales, la función objetivo es cuadrática.
• La solución de este tipo de problemas es importante porque numerosas aplicaciones se ajustan al modelo y, muchas otras, se pueden resolver mediante una sucesión de aproximaciones de programación cuadrática.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática
• Si se cumplen las condiciones:
• Karush – Kuhn – Tucker (KKT) es posible resolver estos problemas mediante una versión modificada del algoritmo simplex.
• La modificación al método simplex consiste en agregar una regla de entrada restringida:• Al elegir la variable básica entrante, se excluye cualquier
variable no básica cuya variable complementaria sea básica.
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Nonlinear Programming• Uso de software
• La mayoría de los algoritmos para resolver problemas de programación lineal forman parte de diversos programas de computadora.
• En las siguientes diapositivas se muestra el proceso seguido para determinar la solución óptima empleando la herramienta SOLVER de Excel.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• El primer paso es introducir los datos de las restricciones en forma de tabla.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Agregar los coeficientes de la función objetivo.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Agregar los coeficientes de la función objetivo.
Coeficientes de x, y.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Agregar los coeficientes de la función objetivo.
Coeficientes de x, y.
Coeficientes de x2, y2.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Agregar los coeficientes de la función objetivo.
• El coeficiente de y2 es cero, porque la función objetivo no contiene dicho término.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Agregar los coeficientes de la función objetivo.
• El coeficiente de y2 es cero, porque la función objetivo no contiene dicho término.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Elegir celdas para los valores de x, y.
Coeficientes de x, y.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Elegir celdas para los valores de x, y.
Coeficientes de x, y.
Coeficientes de x2, y2.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Elegir celdas para los valores de x, y.
Los valores de x, y se irán cambiando para maximizar
la función objetivo
Coeficientes de x, y.
Coeficientes de x2, y2.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Agregar una tabla que, mediante fórmulas, calculará la cantidad de recursos empleados con base en los valores de x, y.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Las fórmulas que se emplearán son:
• Las celdas C4, C5, C6, D4, D5, D6 hacen referencia a la tabla de datos de
las restricciones anotadas en la parte superior de la hoja de Excel
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• También hace falta una celda en la que se calcula el valor de la función objetivo.
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
• Fórmula de la celda que se va a maximizar:
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Nonlinear Programming• Programación cuadrática en Solver de Excel.
![Page 37: Nonlinear Programming, Solved Problem](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022013105/55a8d8251a28abb93e8b45cc/html5/thumbnails/37.jpg)
Nonlinear Programming• Una vez que se completa la hoja de Excel con
todas las fórmulas, se emplea SOLVER.
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Nonlinear Programming• Datos necesarios para resolver el problema.
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Nonlinear Programming• Datos necesarios para resolver el problema.
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Nonlinear Programming• Solución generada por SOLVER.
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