![Page 1: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/1.jpg)
Математический анализ
Попова Татьяна Михайловна, ауд 433п
2 часа лекции, 3 часа практических занятий
ЭКЗАМЕН
Содержание 1 семестра:
теория пределов, непрерывность функции,
основные понятия теории дифференциального
функции одной и нескольких действительных
переменных,
![Page 2: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/2.jpg)
Математический анализ
Литература
• Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. [В 3т.] : учеб. для вузов. Т. 1.
• Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. [В 2ч] :
учеб. для вузов. Ч.1.
• Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа. [В
2т.] : учеб. для вузов
• http://e.lanbook.com/
![Page 3: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/3.jpg)
Лекция 1. Функция. Предел функции.
1. Множества вещественных чисел. Числовые
промежутки. Интервал, отрезок, полуинтервал,
окрестность.
2. Супремум, инфимум.
3. Функция: определение, способы задания, область
определения, множество значений, график.
Множество натуральных чисел.
Последовательность.
4. Понятие предела функции в точке. Предел
последовательности.
![Page 4: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/4.jpg)
Основные обозначения
∈ - принадлежит
⊂ ⊆ - подмножество
∀ - квантор всеобщности (любой)
∃ - квантор существования (существует)
¬ - отрицание
⟹ - следует
⟺ - тогда и только тогда (необходимо и
достаточно)
![Page 5: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Множества вещественных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.
𝐑 − множество действительных (вещественных) чисел – объединение рациональных и иррациональных чисел
Свойства
1. Множество действительных упорядоченное: для любых двух различных чисел а и b имеет место одно из двух соотношений а<b либо b<а.
![Page 6: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/6.jpg)
1. Множества вещественных чисел
3. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х<b.
3. Множество R непрерывное.
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой
![Page 7: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/7.jpg)
1. Числовые промежутки
Числовыми промежутками называют подмножества
множества действительных чисел, имеющих
следующий вид:
Интервал: 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Полуинтервал: 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 или
(𝑎, 𝑏] = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
Отрезок: 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Окрестность точки: 𝑈 𝑥0 = 𝑥 ∈ 𝐑: 𝑥 − 𝑥0 < 휀
![Page 8: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/8.jpg)
2. Супремум, инфимум
• Мажоранта или верхняя грань (граница) числового множества A - число 𝑀: ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑀 .
Cупремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается sup𝐴
• Миноранта или нижняя грань (граница) числового множества A - число 𝑚: ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑚 ≤ 𝑥.
инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается inf 𝐴
![Page 9: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/9.jpg)
2. Свойства супремума и инфимума
1. ∀휀 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴: 𝑦 > sup 𝐴 − 휀;
2. ∀휀 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴: 𝑧 < inf 𝐴 + 휀;
3. 𝐴 ⊆ 𝐵, то sup 𝐴 ≤ sup 𝐵, inf 𝐴 ≥ inf 𝐵
Теорема. Всякое непустое множество на
числовой прямой, ограниченное сверху (снизу),
имеет верхнюю (нижнюю) грань.
![Page 10: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/10.jpg)
3. Функция действительной переменной
Пусть 𝐷𝑓, 𝐸𝑓 ⊆ 𝐑
Опр. 𝑓: 𝐷𝑓 → 𝑀: Действительной функцией
действительной переменной называется такое отображение, при котором каждому элементу 𝑥 из множества 𝐷𝑓 ставится единственный элемент 𝑦 из
множества 𝐸𝑓, и обозначается 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥 - независимая переменная, аргумент.
𝑦 - зависимая переменная, функция.
𝐷𝑓 - область определения функции.
𝐸𝑓 - множество значений функции.
Способы задания: аналитический , графический, табличный, алгоритмический, описательный
![Page 11: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/11.jpg)
3. Функция действительной переменной
Графиком функции действительной переменной назовём множество точек 𝑥, 𝑦 таких что
𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑦 = 𝑓 𝑥 :
Γ𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑓 × 𝐸𝑓: 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ⇒ 𝑦 = 𝑓 𝑥
![Page 12: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/12.jpg)
4. Предел функции
Опр. Число 𝐴 называется пределом функции 𝑓 при 𝑥 ⟶ 𝑥0, если для любого сколь угодно малого положительного существует зависящее от , такое что ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓: 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 следует
𝑓 𝑥 − 𝐴 < 휀. lim𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝐴
∀𝑈 𝐴 ∃𝑈𝛿 𝑥0 : ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝑈𝛿 𝑥0 ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑈 𝐴
![Page 13: Математический анализpnu.edu.ru/media/filer_public/88/2c/882cef66-431e...Математический анализ Попова Татьяна Михайловна,](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022051921/600e29ad83759e172c2ec5b7/html5/thumbnails/13.jpg)
4. Предел последовательности
Если область определения функции есть множество натуральных чисел, то задана числовая последовательность: 𝑥𝑛 𝑛∈𝑵
Опр. Число а - предел последовательности при 𝑛 → ∞, если для любого сколь угодно малого положительного существует номер 𝑛, зависящий от : для любых 𝑛 > 𝑛 𝑥𝑛 − 𝑎 < 휀.
lim𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎
∀휀 > 0 ∃𝑛 ∈ 𝑵: ∀𝑛 > 𝑛 𝑥𝑛 − 𝑎 < 휀.