Download - PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA
![Page 1: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/1.jpg)
PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SYIAH KUALA Banda Aceh, 28 Agustus 2012
PENGANTAR ANALISIS REALDR. MARWAN RAMLI
![Page 2: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/2.jpg)
BILANGAN REALSifat aljabar dan urutan dalam bilangan realNilai mutlak dan garis realSifat kelengkapan bilangan realInterval dalam bilangan real
BARISAN DAN DERETBarisan dan limit barisanBeberapa teorema limit barisanDeret tak hingga
outline
![Page 3: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/3.jpg)
OPERASI BINERMisalkan A adalah himpunan tak kosong. Operasi biner * atas A adalah pemetaan setiap pasangan berurutan x,y A ke tepat satu anggota x*y A
* : A x A A (x,y) x*y
Contoh : Operasi + pada himpunan bilangan bulat Z + : (3,5) 3+5 =8
Himpunan A dikatakan tertutup terhadap biner * apabila setiap x,y A memberikan x*y A
Contoh : Operasi - pada himpunan bilangan asli N - : (3,5) 3-5 =-2 N
![Page 4: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/4.jpg)
INDUKSI MATEMATIKAPRINSIP PERTAMA INDUKSI BERHINGGAMisalkan S(n) merupakan suatu pernyataan matematika yang menyatakan ekspresi matematika tentang bilangan bulat positif. Langkah pembuktian :1. Tunjukkan berlaku untuk n0
2. Asumsikan berlaku untuk n=k3. Tunjukkan berlaku untuk n=k+n0
PRINSIP KEDUA INDUKSI BERHINGGAMisalkan S(n) merupakan suatu pernyataan matematika yang menyatakan ekspresi matematika tentang bilangan bulat positif. Langkah pembuktian :1. Tunjukkan berlaku untuk n0
2. Asumsikan berlaku untuk n=k, n0≤ k < m3. Tunjukkan berlaku untuk n=m
![Page 5: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/5.jpg)
GRUPSuatu grup {G,*} terdiri dari anggota himpunan G bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi :1. Tertutup : a*b G a,bG2. Hukum asosiatif : (a*b)*c=a*(b*c), a,b,cG3. Unsur identitas : !eG a*e= e*a=a, aG
4. Unsur invers : !a-1G a* a-1 = a-1 *a=e, aG
Grup {G,*} dikatakan grup abel apabila a*b= b*a, a,bGGrup {G,*} dikatakan grup siklik asalkan G=<a> (baca : G dibangun
oleh a) untuk suatu aGG={an| nZ}
Z himpunan anggota bilangan bulat. Contoh {Z4,+}.
{Z4,+} = <1> atau <3>
![Page 6: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/6.jpg)
GRUP BAGIANSuatu grup bagian S dari grup G adalah himpunan bagian dari G yang merupakan grup di bawah operasi yang sama dengan G yang dibatasi pada S.
Contoh :1. {Z,+} adalah grup bagian dari {R,+}2. {S,+} dengan S={0,2,4} adalah grup bagian dari {Z6,+}3. {Z6,+} bukan grup bagian dari {Z12,+}
Teorema : Diketahui S himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. Himpunan S merupakan grup bagian G jika dan hanya jika memenuhi :1. eS2. S tertutup di bawah operasi G3. Untuk sebarang sS, invres s ditulis s-1S
![Page 7: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/7.jpg)
GELANGGANGSuatu Ring {R,+,*} terdiri dari anggota himpunan G bersama dengan operasi biner “+”, “*” yang didefinisikan pada R dan memenuhi :1. {R,+} grup komutatif2. {R,*} bersifat asosiatif3. R distributif : a,b,cR, a*(b+c)=a*b+a*c dan (a+b)*c=a*c+b*c
Contoh :{Z,+,.}, {R,+,.}, {Q,+,.} {C,+,.}, {M2,+,.}
Suatu Gelanggang Komutatif {R,+,*} dikatakan integral domain apabila tidak memuat pembagi nol.
Contoh : {Z,+,.}, {Zp,+,.} integral domain
{Zn,+,.} bukan integral domain
![Page 8: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/8.jpg)
BILANGAN REALSIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL
Terdapat dua operasi biner, “+” dan “.”, yang disebut sebagai penjumlahan dan perkalian
![Page 9: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/9.jpg)
BILANGAN REALSIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REAL
Terdapat dua operasi biner, “+” dan “.”, yang disebut sebagai penjumlahan dan perkalian
Dapat ditunjukkan bahwa1. Himpunan bilangan real adalah grup atas operasi penjumlahan 2. Himpunan bilangan real tanpa nol adalah grup atas operasi
perkalian
![Page 10: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/10.jpg)
BILANGAN REALSIFAT ALJABAR HIMPUNAN BILANGAN REALAlgoritma PembagianMisalkan a,b Z dengan a>0, ! q,r Z b = qa + r, 0 ≤ r < a
Contoh :
1. 38 dibagi 7 ; 38 = (5) 7 + (3), jadi q=5 dan r=32. -38 dibagi 7 ; -38 = (-6) 7 + 4, jadi q=-6 dan r = 4
![Page 11: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/11.jpg)
BILANGAN REALBilangan Rasional dan IrrasionalHimpunan bilangan rasional yang dinotasikan dengan Q adalah suatu himpunan yang setiap anggotanya dapat dituliskan dalam bentuk :
a/b, a,bZ, b≠0
Himpunan bilangan irrasional yang dinotasikan dengan R-Q adalah suatu himpunan yang setiap anggotanya tidak dapat dituliskan dalam bentuk :
a/b, a,bZ, b≠0
Contoh (Buktikan !)
![Page 12: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/12.jpg)
BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Sub himpunan P R disebut sebagai himpunan bilangan real positif apabila memenuhi :1. a+b P, a,bP2. a.b P, a,bP3. Untuk suatu aP, maka akan memenuhi salah satu kondisi :
a P, a=0 dan -aP (sifat trikotomi)
Akibat sifat trikotomi a,bR, a<b, a=b, a>b.Apabila a≤b dan b≤a, maka a=ba<b<c artinya a<b dan b<c
![Page 13: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/13.jpg)
BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Teorema : Untuk sebarang a,b,c R.1. Apabila a<b dan b<c, maka a<c2. Apabila a>b, maka a+c > b+c3. Apabila a>b dan c>0, maka ac > bc, apabila a>b dan c<0, maka
ac < bc4. Apabila a>0, maka 1/a > 0, apabila a<0, maka 1/a < 0
Teorema : 1. Apabila aR dan a≠0, maka a2>02. 1 > 03. Apabila n N, maka n>0
Teorema : Apabila a,bR dan a<b, maka a < (a+b)/2 < b
![Page 14: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/14.jpg)
BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Teorema : Misalkan a,b R, apabila ab > 0 maka berlaku1. a>0 dan b>0, 2. a<0 dan b<0
Teorema : Misalkan a,b R, apabila ab < 0 maka berlaku1. a>0 dan b<0, 2. a<0 dan b>0
Nilai Mutlak. Nilai mutlak dari suatu bilangan real a dinotasikan dengan |a|, didefinisikan sebagai
![Page 15: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/15.jpg)
BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REALTeorema : Misalkan a,b,c R1. |ab|=|a||b|2. |a|2=a2
3. Apabila c≥0, maka |a|≤ c jika dan hanya jika -c ≤ a ≤c4. -|a|≤a ≤|a|
Teorema : Untuk a,b R berlaku 1. |a+b|≤|a|+|b|2. ||a|-|b|| ≤ |a-b|3. |a-b| ≤ |a|+|b|
Akibat : Untuk a1,a2,…,an R berlaku
|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|
![Page 16: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/16.jpg)
BILANGAN REALSIFAT URUTAN HIMPUNAN BILANGAN REAL
Contoh : Diberikan suatu fungsi yang didefinisikan oleh
dengan x[2,3]. Tentukan M sedemikian rupa sehingga f(x)≤ M
Solusi :
|2x2-3x+1| ≤ 2x2+3|x|+1=28
sementara itu|2x-1|≥ 2|x|-1=3.
Dengan demikian |f(x)|≤ 28/3. Jadi M = 28/3
![Page 17: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/17.jpg)
BILANGAN REALGARIS BILANGAN REALSalah satu interpretasi geometris yang cukup dikenal adalah garis bilangan real. Pada garis real nilai mutlak |a|, aR, adalah jarak dari titik a ke titik 0. Secara umum jarak dari suatu titik a ke titik b, dengan a,bR, di R adalah |a-b|.
Diberikan aR dan >0. Persekitaran- dari a didefinisikan sebagai himpunan
V(a)={xR:|x-a|<}=(a-,a+)
|2-(-1)|=3
![Page 18: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/18.jpg)
BILANGAN REALSIFAT KELENGKAPAN HIMPUNAN BILANGAN REALSupremum dan Infimum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. 1. Himpunan S dikatakan terbatas ke atas apabila terdapat suatu
bilangan uR, sedemikian sehingga s≤u,sS2. Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah apabila terdapat
suatu bilangan wR, sedemikian sehingga s≥w,sS3. Himpunan S dikatakan terbatas apabila terbatas ke atas dan
terbatas ke bawah
Supremum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. Misalkan S terbatas ke atas, suatu bilangan uR dikatakan supremum dari S apabila u adalah batas atas terkecil untuk SInfimum. Diberikan sub himpunan tak kosong S R. Misalkan S terbatas ke bawah, suatu bilangan wR dikatakan infimum dari S apabila w adalah batas bawah terbesar untuk S
![Page 19: PROGRAM MATRIKULASI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062301/5681609d550346895dcfc692/html5/thumbnails/19.jpg)
Terima Kasihsampai Jumpa
2D Wave Generation Simulations