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DECivilDepartamento deEngenharia Civil eArquitectura
DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METLICAS
Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao.
Resistncia de seces
Francisco Virtuoso
2011/12
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Estruturas Metlicas Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces i
INDCE
1. Introduo ................................................................................................................................................... 12. Critrio de cedncia ................................................................................................................................... 33. Critrio de plasticidade ............................................................................................................................. 9
3.1. Resistncia a esforos isolados .......................................................................................................... 93.2. Combinaes de esforos. Diagramas de interaco ....................................................................... 13
3.2.1Flexo composta ...................................................................................................................... 133.2.2Flexo composta desviada ...................................................................................................... 233.2.3Caso geral da interaco entre momento flector, esforo axial e esforo transverso ............. 283.2.4Caractersticas dos diagramas de interaco .......................................................................... 30
4. Verificao da segurana de seces de acordo com o EC3 .............................................................. 314.1. Introduo ......................................................................................................................................... 314.2. Esforos resistentes em seces das classes 1 e 2. ........................................................................ 35
4.2.1Esforos isolados. .................................................................................................................... 354.2.2Interaco no caso da flexo composta e flexo composta desviada. .................................... 354.2.3Interaco do esforo transverso com o esforo axial e o momento flector. ........................... 36
5. Referncias ............................................................................................................................................... 39
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 1
1. INTRODUO
A verificao da segurana de estruturas actualmente efectuada com base na filosofia
dos estados limites ltimos. No caso de seces a verificao da segurana pode sertraduzida de uma forma geral pela seguinte expresso
Ed Rd (1.1)
em que Ed representa o valor de clculo dos efeitos das aces e Rd o valor de clculo da
resistncia correspondente. Estando a analisar a resistncia de seces as variveis Ed e
Rd podem representar os efeitos e as resistncia associados a esforos isolados, como
por exemplo um esforo axial, um momento flector ou um momento torsor, ou, de uma
forma mais genrica, representar uma combinao de esforos, correspondendo neste
caso aplicao de curvas de interaco.
Os valores de clculo dos esforos actuantes so obtidos para os valores de clculo das
aces, pd, os quais resultam de se majorarem os valores caractersticos das aces, pk,
pelos coeficientes parciais de segurana das aces1, f, ou seja
Ed(pd) = Ed(fpk) (1.2)
No caso de os esforos dependerem linearmente das aces, como acontece quando se
admite que a estrutura tem um comportamento fsica e geometricamente linear, numericamente indiferente majorar as aces ou os seus efeitos, tendo-se
Ed(pd) = fEk(pk) (1.3)
em que Ek representa o valor caracterstico dos efeitos das aces, os quais so
calculados para os valores caractersticos das aces. A utilizao desta equivalncia
numrica, frequentemente aplicada na prtica, no deve levar a esquecer que
formalmente os coeficientes parciais de segurana f tm de ser aplicados s aces
(equao 1.2) e no aos seus efeitos (equao 1.3).Os valores de clculo das resistncias, Rd, so calculados com base nos respectivos
valores caractersticos, Rk, minorados pelo coeficiente parcial de segurana das
propriedades dos materiais, M, tendo-se
Rd =RkM
(1.4)
1A apresentao mais detalhada da filosofia dos estados limites ltimos assim como a sua aplicao atravs
da utilizao de coeficientes parciais de segurana faz parte do programa da disciplina de Dimensionamentode Estruturas.
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Os valores dos coeficientes parciais de segurana, f para as aces e M para as
propriedades dos materiais, so em geral fixados nos regulamentos ou cdigos de
verificao da segurana de estruturas e dependem de diversos factores como por
exemplo do tipo de aces, do tipo de verificao ou do modo de rotura associado. Poruma questo de simplicidade, e a menos de indicao explcita diferente, considera-se
neste texto f=1,5 e M=1,0. Refira-se que o valorf=1,5 um valor considerado em geral
para as aces gravticas nas verificaes dos estados limites ltimos de resistncia e
que o valorM=1,0 o valor frequentemente utilizado para as tenses de cedncia dos
aos de estruturas metlicas, aplicvel nas verificaes dos estados limites ltimos de
resistncia de seces.
Para a verificao da segurana das seces admite-se, de um forma geral, como vlida
a hiptese da conservao da seces planas, hiptese de Bernoulli, ou seja, que as
seces planas se mantm planas aps a deformao, ou, no contexto da verificao da
segurana, at que se atinja a rotura.
A capacidade resistente de uma seco depende da relao - do material que a
constitui. No caso de seces de ao admite-se uma relao elasto-plstica perfeita,
representada na figura 1.1, caracterizada por um mdulo de elasticidade E=210 GPa e
por um valor caracterstico da tenso de cedncia, fy, que depende da classe de
resistncia do ao.
Figura 1.1 Relao tenses deformaes elasto-plstica perfeita
Refira-se finalmente que se apresentam neste texto os mtodos de verificao da
segurana de seces adoptando critrios de cedncia ou de plasticidade. Nos critrios
de cedncia admite-se que a capacidade resistente das seces atingida quando se
inicia a cedncia, ou seja, quando a tenso mxima igual tenso de cedncia. No
caso corrente a verificao do incio da cedncia obriga utilizao de um critrio de
cedncia, como por exemplo o critrio de Mises-Henky, em que se utiliza uma tenso de
comparao representativa do estado de tenso em cada ponto. Nos critrios de
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plasticidade admite-se que a rotura ocorre apenas quando a seco est totalmente
plastificada.
2. CRITRIO DE CEDNCIA
Quando se admite um critrio de cedncia considera-se que a capacidade resistente da
seco se atinge quando o valor mximo da tenso na seco igual tenso de
cedncia.
Considere-se uma seco solicitada apenas por um esforo axial e por momentos
flectores aplicados segundo os eixos principais de inrcia. A tenso normal numa fibra
genrica de coordenadas (y; z) , conforme se representa na figura 2.1, dada por
=NA +
Myzy
-Mzyz
(2.1)
Figura 2.1 Tenses normais numa seco
A cedncia ocorre quando a tenso mxima for igual tenso de cedncia, ou seja,
admitindo os esforos com sinais positivos, a seco verifica a segurana desde que
max =NA +
Myzmaxy
+Mzymaxz
fy (2.2)
A equao 2.2 pode ser escrita em funo dos valores dos esforos de cedncia, o
esforo axial e os momentos flectores que actuando isoladamente provocam a cedncia
da seco, tendo-se
N
Npl +
My
My.c +
Mz
Mz.c 1 (2.3)
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em que Npl representa o esforo axial plstico e My.c e Mz.c os momentos de cedncia em
torno dos eixos y e z, respectivamente, os quais so dados por
Npl = A fy (2.4)
My.c =y
zmaxfy =Wy.el fy (2.5)
Mz.c =z
ymaxfy =Wz.el fy (2.6)
representando A a rea da seco transversal da seco e Wy.el e Wz.el os mdulos
elsticos de flexo em torno dos eixos y e z, respectivamente.
No caso particular da seco ser solicitada em flexo composta com Mz=0 a equao 2.3
simplifica-se, podendo ser escrita da seguinte forma
NNpl
+MyMy.c
1 (2.7)
A equao 2.7 corresponde ao diagrama de interaco representado na figura 2.2a.
Figura 2.2 Diagrama de interaco em flexo composta e em flexo desviada de acordo com o critrio de
cedncia
No caso em que a seco solicitada em flexo desviada com um esforo axial nulo aequao 2.3 reduz-se a
MyMy.c
+MzMz.c
1 (2.8)
a que corresponde o diagrama de interaco representado na figura 2.2b.
No caso geral da seco solicitada em flexo composta desviada o diagrama de
interaco correspondente cedncia plstica da seco definido pela equao 2.3,
estando representado na figura 2.3.
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Saliente-se que os diagramas representados nas figuras 2.2a e b, correspondentes s
equaes 2.7 e 2.8, representam as interseces do diagrama da figura 2.3 com os
planos definidos pelos eixos (My/My.c;N/Npl) e (My/My.c; Mz/Mz.c), respectivamente.
Figura 2.3 Diagrama de interaco em flexo composta desviada de acordo com o critrio de cedncia
Exemplo 2.1: Adoptando um critrio de cedncia pretende verificar-se a segurana de um perfil
HEA200 S355 submetido a N = 800 kN e My = 70 kNm.
HEA200 S355 - A=5380 mm2; Wy.el=389x103 mm3; Wz.el=134x10
3 mm3; fy=355 N/mm2
Tendo em considerao a equao 2.2 tem-se que
max =800x103
5380 +70x106
389x103 = 148,7 + 179,9 = 328,6 355 N/mm2
Ou, de forma equivalente, usando a equao 2.7
Npl = 5380 x 355 x 10-3 = 1909,9 kN; My.c = 389x10
3 x 355 x 10-6 = 138,1 kNm
8001909,9 +
70138,1 = 0,419 + 0,507 = 0,926 1
Sugesto: verifique que adoptando o critrio de cedncia, e para um esforo axial N=800 kN, o momento
mximo que se pode aplicar de 80,2 kNm.
Exemplo 2.2: Adoptando um critrio de cedncia pretende verificar-se a segurana de um perfil
HEA200 S355 submetido a N = 500 kN; My = 40 kNm e Mz = 15 kNm.
Tendo em considerao a equao 2.2 tem-se que
max =500x103
5380 +40x106
389x103 +15x106
134x103 = 92,9 + 102,8 + 111,9 = 307,6 355 N/mm2
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Ou, de forma equivalente, usando a equao 2.3 e os valores calculados no exemplo 2.1
Mz.c = 134x103 x 355 x 10-6 = 47,6 kNm
5001909,9 +
40138,1 +
1547,6 = 0,261 + 0,290 + 0,315 = 0,866 1
Sugesto: verifique que adoptando o critrio de cedncia, e para um esforo axial N = 500 kN e My = 40 kNm,
o momento mximo Mz que se pode aplicar de 21,4 kNm.
Nos casos correntes a seco solicitada simultaneamente por esforos que do origem
a tenses normais, o esforo axial e os momentos flectores, e esforos que do origem a
tenses tangenciais, o momento torsor e os esforos transversos. Nestes casos a
determinao do incio da cedncia efectua-se atravs da aplicao de critrios de
cedncia baseados no clculo de uma tenso equivalente, funo do estado de tenso,
que se designa por tenso de comparao, comp. De entre os critrios de cedncia o
mais utilizado o critrio de Mises-Hencky de acordo com o qual a tenso de
comparao dada por
comp = 21 +
22 +
23 - 12 - 23 - 31 (2.9a)
em 1, 2 e 3 representam as tenses normais num ponto referidas aos eixos principais
de tenso.
De acordo com o critrio de Mises-Hencky para um estado triaxial de tenso o incio da
cedncia ocorre quando a tenso de comparao igual tenso de cedncia, ou seja,
quando
comp = = 21 +
22 +
23 - 12 - 23 - 31 = fy (2.9b)
No caso particular de uma pea linear em que o estado de tenso possa ser reduzido a
um estado plano de tenso e em que tenso normal segundo o eixo perpendicular aoeixo da pea nula, a equao 2.9b pode ser reescrita na forma
comp = 2x + 3
2= fy (2.10)
em que x e representam a tenso normal e tangencial numa faceta perpendicular ao
eixo da pea, respectivamente.
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Exemplo 2.3: Adoptando um critrio de cedncia pretende verificar-se a segurana de um perfil
HEA200 S355 submetido a N = 600 kN, My = 45 kNm e Vz = 180 kN.
A rea e os mdulos elsticos de flexo de um perfil HEA200 foram j indicados nos exemplos 2.1 e 2.2. Na
figura 2.4 indicam-se as dimenses da seco transversal de um HEA200 representando-se os diagramas de
tenses normais e tangenciais devidos aos esforos aplicados, sendo os valores necessrios definio dos
diagramas de tenses os seguintes:
Figura 2.4 Perfil HEA200. Diagramas de tenses normais e tangenciais
Tenso mxima devida ao esforo axial - N = NA =600x103
5380 = 111,5 N/mm2
Tenses mxima devida ao momento flector - M =My
Wy.el=
45x106
389 x103 = 115,7 N/mm2
Tenses devidas ao esforo transverso - =Vz Syytl
Ponto 1 no banzo junto ligao alma - 1 =180x103 x( )100x10x90
36,9 x106 x10 = 43,9 N/mm2
Ponto 2 na alma a meia altura da seco - 2 =
180x103 x( )200x10x90+902x6,5/236,9 x106 x6,5 = 154,8 N/mm
2
Ponto 3 na alma junto ligao ao banzo - 3 =2x43,9x10
6,5 = 135,1 N/mm2
A verificao da segurana efectua-se determinando o valor da tenso de comparao e comparando-a com
a tenso de cedncia, tendo-se no ponto 3, que o ponto mais desfavorvel,
comp = ( )111,5 + 115,7 2+ 3x135,12= 326,2 < 355 N/mm2
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A equao 2.10 pode ser reescrita em funo de termos adimensionais, sendo a
condio para que a tenso de comparao no ultrapasse o limite de cedncia dada por
x
fy
2
+ 3
fy
2
1 (2.11)
A equao 2.11 permite resolver o problema genrico da verificao da segurana de
uma seco. Note-se no entanto que, devido relao no linear entre x e , no fcil
a partir da equao 2.11 obter diagramas de interaco entre esforos. Os diagramas de
interaco entre o esforo axial N e os momentos flectores My e Mz apresentados nas
figuras 2.2 e 2.3 podem ser utilizados no caso geral, embora de forma aproximada, mas
conservativa, se for adoptada a seguinte metodologia:
1 - Determina-se o valor mximo da tenso tangencial na seco max.
2 - Com base na equao 2.11 calcula-se um valor fictcio da tenso de
cedncia f'y, dado por
f'y = 1 - 3max
fy
2
fy (2.12)
3 - Adoptam-se os diagramas de interaco apresentados nas figuras 2.2 e 2.3,
mas considerando os valores do esforo axial plstico Npl e dos momentos de
cedncia My.c e Mz.c calculados com base na tenso de cedncia fictcia f 'y.
Realce-se que esta metodologia simples de aplicar e conservativa, uma vez que se
admite que os valores mximos da tenso normal e da tenso tangencial ocorrem no
mesmo ponto, situao que raramente se verifica.
Exemplo 2.4: Apresenta-se neste exemplo a verificao da segurana apresentada no exemplo 2.3, mas
considerando agora a metodologia apresentada recorrendo tenso de cedncia fictcia f'y.
max = 3 = 154,8 N/mm2
f'y = 1 - 3( )154,83552
355 = 232,7 N/mm2
Verificao da segurana - max = 111,5 + 115,7 = 227,2 232,7 N/mm2 = f'y
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3. CRITRIO DE PLASTICIDADE
3.1. Resistncia a esforos isolados
Nos critrios de plasticidade considera-se que a capacidade resistente da seco se
atinge apenas quando toda a seco est plastificada, pelo que os esforos resistentes
so no mnimo iguais ou, no caso mais geral, superiores aos esforos obtidos quando se
adopta um critrio de cedncia.
Como o critrio de plasticidade corresponde a considerar a seco totalmente plastificada
a capacidade resistente das seces para os esforos actuando isoladamente igual ao
valor do respectivo esforo plstico. Tem-se assim para o esforo axial e para os
momentos flectores
Npl = A fy (3.1)
My,pl = Wy,pl fy (3.2)
Mz,pl = Wz,pl fy (3.3)
em que Wy,pl e Wz,pl representam os mdulos de flexo plstica relativamente aos eixos y
e z, respectivamente.
Relativamente ao esforo transverso tambm possvel definir um valor do esforotransverso plstico o qual corresponde a admitir-se uma distribuio de tenses
tangenciais=fy/ 3 uniforme na seco e com o sentido do esforo transverso aplicado.
Na figura 3.1 representam-se os diagramas com as distribuies de tenses tangenciais
elstica e plstica numa seco rectangular sujeita ao esforo transverso plstico na
direco z.
No caso da distribuio elstica a tenso tangencial mxima dada por
max =V
zS
y.maxyb =V
z(bh2/8)
(bh3/12)b =V
z(bh2/8)
(bh3/12)b =1,5Vbh =
1,5VzA (3.4)
Tendo em considerao que na distribuio plstica a tenso tangencial uniforme, e
dada por=fy/ 3 , o esforo transverso plstico dado por Vz,pl = A fy/ 3.
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Figura 3.1 - Distribuio de tenses tangenciais elstica e plstica numa seco rectangular.
Ao considerar-se uma distribuio plstica das tenses tangenciais nem sempre a rea
total da seco contribu para a resistncia ao esforo transverso. Na figura 3.2
representa-se uma seco em indicando-se as distribuies de tenses tangenciais e
elstica e plstica para um esforo transverso segundo o eixo z.
Figura 3.2 - Distribuio de tenses tangenciais elstica e plstica numa seco . Esforo transverso
segundo o eixo z.
Como se ilustra nos diagramas apresentados na figura 3.2, tratando-se de uma seco
de parede fina a direco das tenses tangenciais coincide com a direco da linha
mdia da seco. Note-se que a resultante das tenses na alma tem de ser
estaticamente equivalente ao esforo transverso aplicado. A principal diferena entre os
dois diagramas apresentados que a distribuio elstica depende das caractersticas de
toda a seco, incluindo os banzos, enquanto que o valor do esforo transverso plstico
s depende da rea da alma. Tem-se neste caso
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Vz,pl = Avfy3
com Av = Aw (3.5)
em que Aw representa a rea da alma. A rea Av representa a rea resistente ao corte,
designao que, embora indevidamente, frequentemente abreviada para rea de corte
(shear area na designao inglesa). Saliente-se que a rea resistente ao corte depende
apenas da parte da seco que contribui para a resistncia ao corte, no tendo o mesmo
significado nem o mesmo valor da rea de corte, usualmente representada por A, que se
considera para a determinao da contribuio das deformaes por corte no clculo das
deformaes de peas lineares.
Na figura 3.3 representa-se uma seco solicitada por um esforo transverso na
direco do eixo y, indicando-se as distribuies elstica e plstica de tenses.
Figura 3.3 - Distribuio de tenses tangenciais elstica e plstica numa seco . Esforo transverso
segundo o eixo y.
As distribuies de tenses tangenciais apresentadas na figura 3.3 so idnticas s da
seco rectangular, apresentadas na figura 3.1, sendo apenas necessrio ter em
considerao que a resistncia ao esforo transverso assegurada pelos dois banzos.
Para o esforo transverso plstico tem-se neste caso
Vy,pl = Avfy3
com Av = Abanzos = A Aw (3.6)
em que Abanzos representa a rea dos banzos.
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Figura 3.6 Diagrama de interaco de uma seco rectangular em flexo composta
Na figura 3.6 representa-se tambm o diagrama de interaco elstico, correspondente
ao incio da cedncia, sendo assim possvel a sua comparao com o diagrama de
interaco plstico. Quando o momento flector nulo o esforo axial resistente igual ao
esforo axial plstico, independentemente do critrio de rotura adoptado. Pelo contrrio,
quando o esforo axial nulo o momento resistente igual ao momento de cedncia, se
o critrio for o elstico, ou igual ao momento plstico, se o critrio for o plstico. O
diagrama de interaco elstica linear uma vez que resulta da combinao linear dosefeitos do esforo axial e do momento flector (reveja-se a equao 2.7 e o
correspondente diagrama de interaco). O diagrama de interaco plstica no linear
(equao 3.10) sendo a curva convexa.
Seco tubular circular
Considere-se agora a seco circular tubular representada na figura 3.7 na qual se
representam tambm as distribuies plsticas de tenses normais correspondentes ao
esforo axial Npl (figura 3.7b) e ao momento flector My.pl (figura 3.7c). Note-se que seadmite tratar-se de uma seco de parede fina, em que se pode considerar que as
tenses so uniformes na espessura, sendo a distribuio de tenses na seco definida
apenas pela sua distribuio ao longo da linha mdia da seco.
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Figura 3.7 - Distribuio de tenses normais numa seco tubular circular em flexo composta
semelhana do procedimento adoptado para a seco rectangular representa-se na
figura 3.7d a distribuio plstica de tenses para uma situao genrica da seco
submetida um esforo axial N e a um momento My. Aquela distribuio de tenses
decomposta em duas parcelas, uma simtrica (N0 e M=0), que corresponde ao esforo
axial, e outra anti-simtrica (N=0 e M0), que corresponde ao momento flector. A posio
da linha neutra definida pelo ngulo sendo a parcela estaticamente equivalente ao
esforo axial a corresponde ao comprimento da linha mdia definida pelo ngulo 2.
Com base nos diagramas apresentados na figura 3.7, e tendo em conta a rea e a
posio do centro de gravidade de um arco de circunferncia2, tem-se que
N = 4Rt fy =2
Npl com Npl = 2Rt fy (3.10)
M = (2Rt fy) (2 Rsen
) = 4R2t fy cos = cos Mpl com Mpl = 4R2t fy (3.11)
As equaes 3.10 e 3.11 podem ser reunidas numa nica atravs da eliminao do
parmetro obtendo-se
2
arcsen
M
Mpl +
N
Npl = 1 (3.12)
A equao 3.12 define a curva de interaco plstica numa seco tubular circular em
flexo composta a qual representada na figura 3.8.
2 Para um arco de circunferncia definido pelo ngulo 2 tem-serea A = 2Rt
Momento esttico S = - tR2cos d = 2t R2sen
Centro de gravidade yg = SA = R sen
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Figura 3.8 Diagrama de interaco de uma seco tubular circular em flexo composta
Na figura 3.8 representa-se tambm o diagrama de interaco elstico, correspondente
ao incio da cedncia, sendo assim possvel a sua comparao com o diagrama de
interaco plstico, sendo a anlise desta comparao idntica j apresentada para a
seco rectangular.
Exemplo 3.2: Considere-se um perfil CHS 219.1x10 S355. Adoptando um critrio de plasticidade pretende
determinar-se o valor do mximo momento que o tubo pode resistir quando sujeito a um esforo axial de
1000 kN.
Raio da linha mdia R = 219,1-102 = 104,55 mm
A= 2Rt = 2x104,55x10 = 6569 mm2 Npl = A fy = 6569x355x10
-3 = 2332 kN
Wpl = 4R2t = 4x104,552x10 = 437228 mm3 Mpl = Wpl fy = 437228x355 x10
-6 = 155,2 kNm
Para N = 1000 kN e tendo em considerao a curva de interaco definida pela equao 3.12 obtm-se
M sen
2 -2 x
10002332 x155,2 = 139,2 kNm
Sugesto: represente os diagramas de interaco (M;N), elstico e plstico, de um CHS 219.1x10 S355.
Verifique que usando um critrio elstico para um N = 1000kN o mximo momento que possvel aplicar
de 69,6 kNm.
Seco em ou H
Com excepo de alguns casos particulares, como a seco rectangular e a seco
tubular circular anteriormente apresentadas, no possvel obter uma nica equao
explcita para o diagrama de interaco. No entanto, para as seces mais correntes
possvel obter os diagramas de interaco como um conjunto de equaes cujo domnio
de validade depende das caractersticas geomtricas da seco, como se exemplifica de
seguida para o caso das seces em ou H.
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 18
No caso de uma seco em a determinao da curva de interaco tem de ter em conta
o facto de a seco ser composta por uma alma e dois banzos. Neste caso a curva de
interaco tem de ser determinada de forma diferente consoante a alma seja ou no
suficiente para resistir ao esforo axial.
Considerem-se as situaes limites de a seco estar totalmente plastificada por flexo
em torno do eixo y e por esforo axial. Para cada uma destas situaes, e conforme se
ilustra na figura 3.9, decomponham-se os esforos nas parcelas absorvidas pelos banzo
e pela alma, identificadas pelos ndices f e w, respectivamente.
Figura 3.9 Seco em . Decomposio do Npl e do My.pl nas parcelas absorvidas pelos banzos e pela alma.
No caso do esforo axial tem-se
Nf= 2btf fy (3.13)
Nw = htw fy (3.14)
Npl = Nf+ Nw = (2btf+ htw) fy (3.15)
No caso do momento flector tem-se
Mf= btfh fy (3.16)
Mw =twh
2
4 fy (3.17)
My,pl = Mf+ Mw = (btfh +twh2
4 ) fy (3.18)
Com base nos valores apresentados nas equaes 3.13 a 3.18 possvel definir o
diagrama de interaco (My/My,pl; N/Npl) para uma seco que se representa na figura
3.10.
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 19
Figura 3.10 Seco em . Diagrama de interaco plstica (My/My,pl, N/Npl)
No diagrama de interaco representado na figura 3.10 os pontos A e C correspondem
seco totalmente plastificada por flexo e por esforo axial, respectivamente. O ponto B
corresponde situao em que o esforo axial total igual ao esforo axial plstico da
alma Nw e o momento flector total igual ao momento flector plstico dos banzos Mf.
Entre os pontos B e C o diagrama de interaco linear. Com efeito, quando se aumenta
o esforo axial para valores superiores a Nw os banzos deixam de estar totalmente
disponveis para resistir ao momento flector. Como a reduo da rea dos banzosdisponvel para resistir ao momento flector varia linearmente com o esforo axial o
diagrama de interaco tambm linear entre os pontos B e C.
O diagrama de interaco entre os pontos A e B depende apenas da variao da
contribuio da alma para a resistncia ao momento flector e ao esforo axial. Como a
alma uma seco rectangular, de altura h e espessura tw, a curva de interaco entre
os pontos A e B dada por
MfMy,pl+
M - MfMw +
NNw
2
MwMy,pl 1 para N < Nw (3.19)
Nesta equao Mf/My,pl representa a abcissa do ponto B definindo a parcela do momento
resistido pelos banzos. A segunda parcela do 1 termo da equao 3.19 tem em
considerao o momento flector resistido pela alma, afectado do termo entre parnteses
rectos, que no mais do que a curva de interaco plstica da alma determinada com
base na equao 3.10, definida para seces rectangulares. Assim verifica-se que a
curva de interaco entre os pontos A e B definida pela curva de interaco de uma
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 20
seco rectangular aplicada alma da seco e afectada do efeito de escala para ter em
considerao que a alma apenas uma das componentes da seco transversal.
Considere-se agora a determinao da curva de interaco da flexo composta de uma
seco solicitada por um momento flector segundo o eixo z. Adoptando a mesma
metodologia utilizada anteriormente apresenta-se na figura 3.11 a decomposio do
momento plstico e do esforo axial nas parcelas resistidas pelos banzos e pela alma.
Figura 3.11 - Seco em . Decomposio do Npl e do Mz,pl nas parcelas absorvidas pelos banzos e pela alma.
Tendo em considerao os diagramas apresentados na figura 3.11 verifica-se que os
esforos axiais absorvido pela alma, pelo banzo e pela totalidade da seco so os
definidos pelas equaes 3.13 a 3.15.
Relativamente aos momentos flectores tem-se
Mf= 2tfb
2
4 fy (3.20)
Mw = 0 (3.21)
Mz,pl = Mf+ Mw =tfb
2
2 fy (3.22)
Com base nos valores apresentados nas equaes 3.13 a 3.15 e 3.20 a 3.22 pode
definir-se o diagrama de interaco (Mz/Mz,pl; N/Npl) para uma seco que se representa
na figura 3.12.
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 21
Figura 3.12 Seco em . Diagrama de interaco plstica (Mz/Mz,pl, N/Npl)
Os pontos A e C correspondem seco totalmente plastificada por flexo e por esforo
axial, respectivamente. O ponto B corresponde situao em que o esforo axial total
igual ao esforo axial plstico da alma Nw e o momento flector total igual ao momento
flector plstico dos banzos Mf. Entre o ponto A e o ponto B o diagrama de interaco
definido por uma recta vertical, correspondente a Mz/Mz,pl=1, uma vez que a alma no
contribui para a resistncia ao momento flector. Entre os pontos B e C o diagrama de
interaco depende apenas da variao da contribuio dos banzos para a resistncia ao
momento flector e ao esforo axial. Como os banzos so seces rectangulares, de
altura b e espessura tf, a curva de interaco entre os pontos B e C dada por
MMpz,pl
+N - Nw
Npl - Nw
2
1 (3.23)
Esta equao corresponde curva de interaco plstica dos banzos, determinada com
base na equao 3.10, definida para seces rectangulares, tendo ainda em conta que o
esforo axial total resulta da soma da parcela absorvida pelos banzos com a parcelaabsorvida pela alma.
Exemplo 3.3: Considere-se um perfil HEA200 S355. Adoptando um critrio de plasticidade pretende obter-se
o diagrama de interaco em flexo composta para o momento segundo o eixo y (My/My,pl; N/Npl).
HEA200 S355 A = 5380 mm2; Wy.pl = 430x103 mm3; fy = 355 N/mm
2
O esforo axial e o momento plstico so calculados de acordo com as equaes 3.1 e 3.2, tendo-se
Npl = A fy = 5380x355x10-3 = 1909,9 kN
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 23
NwNpl
= 0,261
Com base nestes valores obtm-se o diagrama de interaco representado na figura 3.14 o qual
numericamente definido por
Se N/Npl > 0,261 Mz
Mpl,z+ ( )N - NwNpl - Nw
2
1 Mz
Mz.pl+ ( )N/Npl,z - 0,2611 - 0,261
2
1
MzMz.pl
+ ( )N/Npl,z - 0,2610,7392
1
Se N/Npl 0,261 Mz
Mz,pl 1
Figura 3.14 - Diagrama de interaco plstica (Mz/Mz,pl, N/Npl) para um HEA 200 S355
Com base nas curvas de interaco definidas tem-se, por exemplo, para esforos axiais de 200 e 1000 kN os
seguintes valores dos momentos flectores Mz
N = 200 kN Mz 72,4 kNm
N = 1000 kN Mz 1,125 - 1,831( )1000
1909,9
2
x 72,4 Mz 45,1 kNm
3.2.2 Flexo composta desviada
No caso da flexo composta desviada, em que a seco solicitada simultaneamente
por um esforo axial e por momentos flectores segundo os dois eixos no plano da seco,
no possvel, de uma forma geral, obter os diagramas de interaco exactos. Recorre-
se neste caso a diagramas de interaco aproximados, os quais so obtidos a partir dos
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 24
diagramas de interaco em flexo composta, considerando a flexo apenas num plano,
que foram apresentados no 3.2.1.
Considere-se o diagrama de interaco (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl) representado na figura
3.15.
Figura 3.15 Diagrama de interaco (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl)
Conforme se pode verificar na figura 3.15 no caso de Mz ser nulo o diagrama de
interaco reduz-se curva de interacoMy
My,pl;
NNpl
, ou seja, uma curva de flexo
composta com flexo apenas segundo o eixo y. Da mesma forma, no caso de My=0 o
diagrama reduz-se curva de interacoMz
Mz,pl;
NNpl
, ou seja, uma curva de interaco em
flexo composta com flexo apenas segundo o eixo z. Estas duas curvas de interaco
podem ser obtidas analisando as distribuies plsticas de tenses como foi apresentado
no 3.2.1.
Conhecidas as duas curvas de interaco, cada uma das quais com momentos apenas
num dos eixos,My
My,pl;
NNpl
eMz
Mz,pl;
NNpl
, o problema resume-se a definir a interaco para
as situaes em que os dois momentos, My e Mz, so simultaneamente no nulos.
Conforme se pode observar na figura 3.15 a superfcie de interaco
My
My,pl;
MzMz,pl
;NNpl
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 25
pode ser definida atravs das curvas de nvel correspondentes a valores deN
Npl
constantes.
Definam-se como MN,pl,y e MN,pl,z os momentos segundo os eixos y e z, respectivamente,
associados plastificao da seco para um dado valor deN
Nple representados na
figura 3.16.
Figura 3.16 - Definio do diagrama de interaco (My/My,pl; Mz/Mz,pl; N/Npl) atravs de curvas de interaco
para N=cte.
A curva de nvel que define a interaco entre
My
MN,y,pl;
MzMN.z,pl
pode ser genericamente
definida por
My
MN.y.pl
+Mz
MN.z.pl
= 1 (3.24)
A aproximao da curva definida desta forma aos valores reais de um curva de
interaco pode ser efectuada atravs da calibrao dos parmetros e . Com efeito, e
conforme se ilustra na figura 3.17, fazendo variar os parmetros e de forma
independente e para valores entre 1,0 e possvel definir curvas de interaco desde
uma recta ( = = 1,0) at um quadrado ( = = ), assim como qualquer curva de
interaco intermdia entre aquelas duas curvas extremas.
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 26
Figura 3.17 Influncia dos expoentes e na forma das curvas de interaco.
Na figura 3.18 representam-se as projeces no plano
My
MN.y.pl;
MzMN.z.pl
das curvas de
interaco para N/Npl=0 e para um valor genrico de N/Npl diferente de zero. Os valores
de e so determinados numericamente tendo em considerao as caractersticas
geomtricas das seces. No quadro 3.1 indicam-se os valores de e para o caso das
seces mais correntemente utilizadas em flexo composta desviada (EC3 [1]).
Figura 3.18 Projeco no plano ( )MyMN.y.pl; MzMN.z.pl das curvas de interaco para N = cte.
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 27
Seco Observaes
, H 2 5n 1
2 2 -
1,661 - 1,13n2
1,661 - 1,13n2
, 6
Quadro 3.1 Valores dos parmetros e para definir as curvas de interaco entre momentos flectores
em funo do nvel de esforo axial (n= N/Npl) (Adaptado do EC3 [1])
Note-se que no caso em que um dos termos My ou Mz nulo a expresso 3.24 se reduz
s expresses da verificao da resistncia de seces solicitadas em flexo composta
no desviada.
Da anlise dos valores dos parmetros e apresentados no quadro 3.1 salientam-se
os seguintes aspectos:
- o parmetro depende do esforo axial reduzido uma vez que as curvas de
interaco so dependentes do nvel de esforo axial, ou seja, as curvas de
interaco para diferentes valores de n= N/Npl no so em geral homotticas;
- no caso particular de seces com simetria radial, como por exemplo seces
tubulares circulares, os valores de e tomam o valor de 2, ou seja, para um valorde fixo de n = N/Npl as curvas de interaco so circunferncias uma vez que os
momentos flectores resistentes so iguais em todas as direces.
Exemplo 3.5: Para o perfil HEA200 S355 j considerado nos exemplos 3.3 e 3.4 pretende determinar-se a
curva de interaco para N = 400kN e, com base nessa curva de interaco, o valor do momento resistente
My quando Mz = 20kNm:
Npl = A fy = 5380x355x10-3 = 1909,9 kN
My.pl = Wy.pl fy = 430x103x355x10-6 = 152,7 kNm
Mz.pl = Wz.pl fy = 204x103x355x10-6 = 72,4 kNm
n =NNpl
=400,0
1909,9 = 0,209
a =NwNpl
= 0,261 (ver exemplo 3.2)
MN.y.pl = 152,7 ( )1 - 2,246x0,2092 = 137,7 kNm (ver exemplo 3.2)
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MN.z.pl = Mz.pl = 72,4 kNm (note-se que n
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 29
Figura 3.19 Interaco entre o momento flector e o esforo transverso numa seco rectangular.
Adoptando a mesma metodologia usada para a determinao do diagrama de interaco
N-M de uma seco rectangular, apresentada no 3.2.1, obtm-se para este caso
MMpl
+V
Vpl
2
= 1 (3.25)
equao esta que define a curva de interaco representada na figura 3.20.
Figura 3.20 Diagrama de interaco entre o momento flector e o esforo transverso numa seco
rectangular.
No caso de uma seco ou H o diagrama de interaco pode ser definido tendo em
considerao as caractersticas geomtricas das seces, em particular quando a seco
solicitada no plano da alma. Neste caso, e semelhana do considerado na anlise
dos diagramas de interaco esforo axial - momento flector, pode separar-se a
contribuio da alma e dos banzos para a resistncia da seco como se representa na
figura 3.21.
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 30
Figura 3.21 Interaco entre o momento flector My e o esforo transverso Vz numa seco ou H.
Com base na contribuio dos banzos e da alma para a resistncia ao esforo transverso
define-se o diagrama de interaco My-Vz de uma seco ou H representado na figura
3.22, em que o troo no linear corresponde interaco entre o esforo transverso e omomento flector da alma, o qual definido adaptando a equao 3.25 ao rectngulo
definido pela alma do perfil, obtendo-se
M - MfMpl - Mf
+V
Vpl
2
= 1 (3.26)
Figura 3.22 - Diagrama de interaco entre o momento flector My e o esforo transverso Vz numa seco ou H.
3.2.4 Caractersticas dos diagramas de interaco
Pode demonstrar-se que os diagramas de interaco plstica so sempre convexos. Esta
propriedade tem uma importncia fundamental na determinao aproximada de curvas
de interaco e na aplicao prtica dessas mesmas curvas. Com efeito, o facto de as
curvas de interaco serem convexas permite afirmar que uma curva de interaco
obtida atravs duma poligonal definida por pontos sobre a soluo exacta sempre uma
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 32
De acordo com o EC3 [1] as seces so classificadas da classe 1 classe 4 consoante
a forma como atingem a sua resistncia mxima e portanto o seu estado limite ltimo de
resistncia.
Nas seces das classes 1 e 2 o estado limite ltimo de resistncia atingido quando a
seco est totalmente plastificada. No caso das seces das classes 3 e 4 a capacidade
de deformao da seco (a sua extenso axial, no caso de um esforo axial, ou a sua
curvatura, no caso de um momento flector) limitada pela ocorrncia de fenmenos de
encurvadura local.
No caso das seces da classe 3 a ocorrncia da encurvadura local apenas impede o
desenvolvimento de esforos plsticos na seco, sendo a capacidade resistente definida
pelo incio da cedncia, num estado uniaxial ou multiaxial de tenses, em qualquer pontoda seco.
Nas seces da classe 4 a ocorrncia de fenmenos de encurvadura local das seco
so de tal forma condicionantes que o estado limite de resistncia da seco ocorre para
esforos inferiores aos esforos de cedncia calculados de acordo com a teoria da
resistncia de materiais. A avaliao da capacidade resistente de seces de classe 4
exige uma anlise aprofundada dos fenmenos de encurvadura local de seces, pelo
que no abordada no presente texto.
Excluindo-se as seces da classe 4 tem-se que o estado limite de resistncia de uma
seco definido pelo incio da cedncia, no caso de uma seco da classe 3, ou pela
sua plastificao total, no caso de seces das classes 1 ou 2. Sendo o critrio de
cedncia mais conservativo do que o critrio de plasticidade a sua aplicao possvel a
qualquer tipo de seco, sendo genericamente definido por
x.Ed
fy/M0
2
+z.Ed
fy/M0
2
-x.Ed
fy/M0z.Ed
fy/M0+ 3Ed
fy/M0
2
1 (EC3.1.1 6.1)3 (4.1)
em que, e sempre referido a um ponto,
x.Ed - representa o valor de clculo da tenso normal segundo x (eixo do elemento);
z.Ed - representa o valor de clculo da tenso normal segundo z (eixo perpendicular
ao eixo do elemento e que, juntamente com este, define o plano de
carregamento);
3 - Por uma questo de referncia aos textos dos Eurocdigos identifica-se, quando apropriado, o
documento e o nmero da equao nesse documento. Por exemplo a equao 4.1 deste texto idntica equao 6.1 do Eurocdigo 3 Parte 1.1 [1].
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 33
Ed - representa o valor de clculo da tenso tangencial.
A equao 4.1 corresponde aplicao a um estado plano de tenso do critrio de
Mises-Hencky, que permite definir o incio da cedncia num estado de tenso genrico,
sendo a tenso de cedncia dividida pelo coeficiente parcial de segurana M0 4.
Nos casos correntes de elementos metlicos a tenso z.Ed nula, ou no sendo nula
suficientemente pequena para poder ser desprezada, caso em que a equao 4.1 se
reduz a
x.Ed
fy/M0
2
+ 3Ed
fy/M0
2
1 (4.2)
Note-se que as equaes 4.1 e 4.2 permitem definir a ocorrncia da cedncia numa
seco de uma pea linear uma vez que as tenses x.Ed, z.Ed e Ed tm de ser
calculadas tendo em considerao os esforos que actuam na seco: esforo normal,
momentos flectores, esforos transversos e momento torsor.
Conforme j foi referido a capacidade resistente das seces das classes 1 e 2 no se
esgota com o incio da cedncia, podendo para as seces destas classes considerar-se
a sua plastificao total. A determinao dos esforos associados plastificao total das
seces, seja no caso dos esforos actuando isoladamente, seja no caso de
combinaes de esforos, foi j apresentada no 3. Para a determinao dos esforoscorrespondentes aos estados limites ltimos de resistncia de acordo com o EC3 [1]
apenas necessrio considerar o coeficiente parcial de segurana das resistncias que, e
uma vez que se trata de situaes em que a resistncia condicionada pela plasticidade,
neste caso M0.
Os elementos das estruturas metlicas tm de ser ligados entre si. Estas ligaes podem
ser efectuadas atravs de soldaduras, de parafusos ou, em alguns casos particulares,
com rebites. Nestes ltimos casos os elementos tm de ser furados de modo a
permitirem a colocao dos elementos ligadores. A existncia dos furos reduz a rea da
seco definindo-se uma seco til, que se designa por Anet, cuja resistncia pode ser
condicionante.
Saliente-se que no caso das seces das classes 1 e 2 a resistncia da seco til
tambm calculada com base numa distribuio plstica de tenses, mas definida pela
4 - Os coeficientes parciais de segurana so definidos nos Anexos Nacionais de cada pas.
Neste texto consideram-se os valores recomendados no Eurocdigo 3 Parte 1.1 [1], ou seja,M0 = M1 = 1,0; M2 = 1,25.
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 34
tenso ltima fu e no pela tenso de cedncia fy. No caso das seces correntes a
resistncia plstica calculada com base na tenso de cedncia, permitindo assim
assegurar que o comprimento do elemento em que as seces esto totalmente
plastificadas infinitesimal, uma vez que nas seces adjacentes os esforos serosempre inferiores aos esforos plsticos. No caso da verificao da resistncia das
seces teis admite-se que a tenso pode atingir o valor da tenso ltima fu, afectada de
um coeficiente de reduo, que de acordo com o EC3 [1] de 0,90, uma vez que seco
til existe apenas num pequeno comprimento ao longo do eixo da pea, pelo que sua
plastificao no est associada nenhuma plastificao nas zonas do elemento fora das
seces reduzidas pela existncia dos furos.
No EC3 [1] a verificao da seco til apresentada apenas para o caso da traco.
Note-se que no caso de esforos de compresso o problema da seco til no se coloca
pois assume-se que o furo est preenchido com o ligador, um parafuso ou um rebite. No
caso de esforos de flexo, ou mais geralmente de flexo composta, a determinao da
capacidade resistente da seco til pode efectuar-se tendo em considerao as regras
de clculo da resistncia da seco aplicadas apenas parte traccionada da seco. Por
exemplo, no caso de uma seco em I ou H em flexo simples a regra da verificao da
resistncia da seco til aplica-se apenas ao banzo traccionado.
Refira-se finalmente que, estando a determinao da capacidade resistente das secesteis associada ao estado limite ltimo de resistncia das ligaes, o coeficiente parcial
de segurana que se considera o M2 ( de acordo com o EC3.1.1 [1] recomenda-se que
se considere M2 = 1,25).
A verificao da segurana das seces teis pode ser condicionante na verificao da
capacidade resistente das seces de um elemento de uma estrutura metlica uma vez
que, por razes relacionadas com a economia e com a montagem das estruturas, as
ligaes entre elementos estruturais se efectuam nas extremidades das barras, ou seja,
nas seces em que, frequentemente, os esforos so mximos.
Apresentam-se em seguida e de uma forma resumida as regras para a determinao de
acordo com o EC3.1.1 [1] da capacidade resistente das seces das classes 1 e 2.
Recorde-se que as seces das classes 1 e 2 so aquelas que em que possvel
determinar os valores de clculo dos esforos resistentes com base em distribuies
plsticas de tenses. As letras maisculas usadas para as variveis permitem identificar
o tipo de esforo.
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Estruturas Metlicas - Anlise e verificao da segurana de estruturas de ao. Resistncia de seces 36
No caso mais geral de uma seco solicitada em flexo composta desviada os diagramas
de interaco so definidos atravs da seguinte equao
My,Ed
MN,y,Rd
+ Mz,Ed
MN,z,Rd
1 (EC3.1.1 6.41) (4.3)
em que MN,y,Rd e MN,z,Rd representam os valores de clculo dos momentos flectores
resistentes tendo em considerao os valores do esforo axial, calculados em flexo
composta. Os valores dos parmetros e esto definidos no Quadro 3.1.
4.2.3 Interaco do esforo transverso com o esforo axial e o momento flector.
Conforme se apresentou no 3 nos casos correntes, e devido s caractersticas
geomtricas das seces, o esforo transverso actuante , em geral, suficientemente
pequeno em comparao com o seu valor resistente para que no seja necessrio
considerar a sua interaco com os esforos que produzem tenses normais, o esforo
normal e o momento flector. No entanto, e conforme tambm se apresentou no 3, a
considerao simultnea do esforo transverso e dos momento flectores ou do esforo
axial pode obrigar considerao do efeito esforo transverso na anlise da interaco
de esforos. No EC3 [1] a interaco entre o esforo transverso e o momento flector ou o
esforo axial considerada de forma aproximada. Esta aproximao toma como
referncia o parmetro , definido por
=2VEd
Vpl.Rd- 1
2
se VEd/Vpl.Rd > 0,5 (4.4a)
= 0 se VEd/Vpl.Rd 0,5 (4.4b)
(4.5)
Se =0, o que corresponde a admitir que VEd/Vpl.Rd 0,5, no necessrio considerar a
interaco. Se > 0, o que corresponde a VEd/Vpl.Rd > 0,5, o efeito do esforo transversona determinao do momento flector ou do esforo axial resistente considerado atravs
da reduo do valor da tenso de cedncia atravs da seguinte expresso
fy.red = (1 - ) fy
em que fy.red representa um valor reduzido da tenso de cedncia. Saliente-se que no
EC3 [1] no existe nenhuma referncia a fy.red, sendo sempre indicado de forma explicita
(1-)fy.
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Seces da classe 1 e 2
Esforos isolados
Esforo axial
traco
Nt.Ed/Nt.Rd 1,0N
t.Rd=
Npl.Rd = Afy/M0
Nu.Rd = 0,9Anetfu/M2
Esforo axial
compresso
Nc.Ed/Nc.Rd 1,0 Nc.Rd = Npl.Rd = Afy/M0
Momento
flector
MEd/Mc.Rd 1,0 Mc.Rd = Mpl.Rd = Wplfy/M0
Esforo
transverso
VEd/Vc.Rd 1,0 Vc.Rd = Vpl.Rd = Avfy/ 3/M0 Av hwtw
Flexo Composta
Seces rectangulares
MN.Rd = Mpl.Rd
1-
NEd
Npl.Rd
2
Seces em I ou H
Se n0,25 e
n0,5a
MN.y.Rd = Mpl.y.Rd n =NEd
Npl.Rd
a =A - 2btf
A
hwtw
A
Se n>0,25 ou
n>0,5a MN.y.Rd = Mpl.y.Rd1-n
1-0,5a
Mpl.y.Rd
Se na MN.z.Rd = Mpl.z.Rd
Se n>aMN.z.Rd = Mpl.z.Rd
1-
n-a
1-a
2
Seces tubulares ou em caixo
MN.y.Rd = Mpl.y.Rd1-n
1-0,5aw Mpl.y.Rd n =
NEdNpl.Rd
aw = (A - 2btf)/A0,5
MN.z.Rd = Mpl.z.Rd1-n
1-0,5af Mpl.z.Rd n =
NEdNpl.Rd
af= (A - 2htw)/A0,5
Quadro 4.1 Determinao de esforos axiais, momentos flectores e curvas de interaco definidas no
EC3 [1] para seces das classes 1 e 2.
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As expresses apresentadas no Quadro 4.1 tambm so aplicveis nos casos em que
necessrio ter em considerao o efeito do esforo transverso, sendo nestes casos
suficiente determinar os esforos plsticos da seco com base no valor reduzido da
tenso de cedncia fy.red, definido na equao 4.5.
Se o esforo transverso actuante for inferior a metade do correspondente valor resistente,
o valor reduzido da tenso de cedncia igual prpria tenso de cedncia. No caso de
o esforo transverso actuante ser igual ao esforo transverso resistente o valor reduzido
da tenso de cedncia nulo, ou seja, a seco esgota toda a sua capacidade resistente
no esforo transverso, no tendo nenhuma reserva para a resistncia ao momento flector
ou ao esforo normal.
Com base na aproximao adoptada no EC3 [1] consegue evitar-se a necessidade deconsiderar a interaco do esforo transverso com o momento flector ou com o esforo
axial para esforos transversos pouco significativos, permitindo simultaneamente que,
nos casos em que a interaco no pode deixar de ser desprezada, os momentos
flectores ou os esforos axiais sejam calculados atravs de uma simples correco do
valor da tenso de cedncia para o seu valor reduzido.
No caso particular das seces em I ou H, e tirando partido das caractersticas
geomtricas destas seces, em que no caso de a seco ser solicitada em flexo com
esforo transverso no plano da alma os banzos asseguram a resistncia ao momento
flector e a alma a resistncia ao esforo transverso, a aproximao adoptada no EC3 [1]
pode ser aplicada apenas alma, conduzindo neste caso a
My.V.Rd =Wpl.y -Aw
2
4twM0
fy com Aw = hwtw (EC3.1.1 6.30) (4.6)
Tendo em conta que
Wpl.y = Wpl.f+ Wpl.w com Wpl.w =
Aw2
4tw (4.7)
em que Wpl.f e Wpl.w representam os mdulos plsticos de flexo do banzo e da alma,
respectivamente, a equao 4.6 pode ser reescrita na forma
My.V.Rd =Wpl.f fyM0
+ (1 - )Wpl.w fyM0
(4.8)
ou seja o momento flector resistente total a soma do momento flector plstico do banzo,
o qual nunca afectado pelo efeito do esforo transverso, com o momento flector
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resistente da alma afectado do coeficiente (1 - ), para ter em considerao a interaco
com o esforo transverso.
5. REFERNCIAS
[1] - Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules forbuildings. EN 1993-1-1; May 2005.