RESISTANCE DESMATERIAUX (4)
Référence:Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf
Notes de cours:J. Walt OlerTexas Tech University
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Contraintes principales sous chargementparticulier
8 - 2
Contraintes principales dans une poutre
• Soit une poutre prismatique soumise à un chargement transversal
ItVQ
ItVQ
IMc
IMy
mxy
mx
=−=
=−=
ττ
σσ
• Les contraintes principales sont déterminées les méthodes exposées au chapitre 7
• Est-ce que la contrainte maximum dans la section droite peut être supérieure à :
IMc
m =σ
8 - 3
Contraintes principales• Les équations précédente sont combinées
pour mener aux équations paramétriques d’un cercle,
• Les contraintes principales apparaissent sur les plans principaux de contraintes avec une des contraintes de cisaillement nulles.
( )2 2 2
22
où
2 2
x moy x y
x y x ymoy xy
R
R
σ σ τ
σ σ σ σσ τ
′ ′ ′− + =
+ −⎛ ⎞= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
o
22
minmax,
90by separated angles twodefines :Note
22tan
22
yx
xyp
xyyxyx
σστ
θ
τσσσσ
σ
−=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+=
définit deux angles séparés par 90°
σmoy
8 - 4
Contraintes principales dans une poutre
tension
compression
8 - 5
Contraintes principales dans une poutre
• La forme de la section droite implique des valeurs importantes de τxy près de la surface, où σx est aussi important.
• σmax peut être plus grande que σm
8 - 6
Problème 8.1
Une force de 160-kN est appliquée en bout d’une poutre en acier de type W200x52.
En négligeant les effets d’épaulement et les concentrations de contrainte, déterminer si les contraintes normales satisfont la spécification de conception qui impose leurs valeurs égales ou inférieures à 150 MPa dans la sectionA-A’.
SOLUTION:
• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion dans la section A-A’
• Calculer la contrainte normale à la surface du dessus et à la jonction âme-bride.
• Évaluer la contrainte cisaillante àla jonction âme-bride.
• Calculer la contrainte principale àla jonction âme-bride
8 - 7
Problème 8.1SOLUTION:
• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion dans la section A-A’
( )( )kN160
m-kN60m375.0kN160=
==
A
AVM
• Calculer la contrainte normale à la surface du dessus et à la jonction âme-bride.
( )
MPa9.102mm103mm4.90MPa2.117
MPa2.117m10512
mkN6036
=
==
=×
⋅== −
cyσ
SM
bab
Aa
σ
σ
-(160kN)(0.375m) = - 60 kN.m
8 - 8
Problème 8.1• Évaluer la contrainte cisaillante à la jonction
âme-bride.( )
( )( )( )( )
MPa5.95m0079.0m107.52
m106.248kN160
m106.248
mm106.2487.966.12204
46
36
36
33
=×
×==
×=
×=×=
−
−
−
ItQV
Q
Abτ
• Calculer la contrainte principale àla jonction âme-bride
( )
( )
( )MPa 150MPa9.169
5.952
9.1022
9.102 22
2221
21
max
>=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
++= bbb τσσσ
la spécification de conception n’est pas satisfaite!
8 - 9
Problème 8.2
Une poutre sur appuis est soumise àune charge répartie et une charge concentrée. Sachant que pour le métal, les valeurs limites sont σadm = 165 MPa et τadm = 100 MPa, sélectionner la poutre en I qui devrait être utilisée.
SOLUTION:
• Déterminer les réactions en A et D.
• Trouver la contrainte cisaillante maximum.
• Trouver la contrainte normale maximum.
• Calculer le module de section requis et sélectionner la section de poutre appropriée.
• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion maxi à partir des diagrammes des efforts internes.
2,75 m89 kN
46 kN/m
6 m1,5 m
8 - 10
+
2,75 m
89 kN
46 kN/m
3,25 m1,5 m
177,6 kN 256 kN
-177,6 kN
-51,1 kN
37,9 kN
-69 kN
-187 kN
314,6 kN.m -51.75 kN.m
Problème 8.2
• Calculer le module de section requis et sélectionner la section de poutre appropriée.
SOLUTION:
• Déterminer les réactions en A et D.0 256 kN
0 177,6 kNA D
AD
M R
M R
= ⇒ =
= ⇒ =∑∑
3maxmin
314,6 kN 0,0019165
selectioner la poutre de section W21 62 adm
M mw mMPaσ
⋅= = =
×
• Déterminer le cisaillement et le moment de flexion maxi à partir des diagrammes des efforts internes.
max
max
314,6 51.1 kN
187 kN
M kN m avec V
V
= ⋅ = −
=
Type W (cm3)
252320812392219520152146
8 - 11
Problème 8.2• Trouver la contrainte normale maximum.
La contrainte cisaillante est supposée uniforme dans l’âme,
maxmax 2
187 kN 35 MPa 100 MPa0,00533 mame
VA
τ = = = <
• Trouver la contrainte cisaillante maximum.
( )
max3
b 2
314 kN m 151 MPa2081cm
0,251151 MPa 142 MPa0,267
51,1 kN 9,59 MPa0,00533 m
a
bb a
web
Mwyσc
VA
σ
σ
τ
⋅= − = − = −
= = − = −
−= = = −
( )2
2max
142 MPa 142 9,59 MPa2 2
142,64 MPa 165 MPa
MPaσ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
= <
(Là où le moment est maximum)
9,59 MPa142 MPa
-τb = 9,59 MPa
142 MPa
=142,64 MPa
w = 2081 cm3
Aame = 0,00533 m2d = 0,5334 m
t = 0,01 m
ta = 0,0156 m
0,267 m
0,251 m
151 MPa
142 MPa