Download - Revista de Matematica MxM Nr 1 2010
Editura Cuart I.S.S.N.1222-5592
Revista de
matematic�
M X M
Nr.1/2010
Slatina Olt
����
� ����� ����� ����� ����������������������������� ��� ��� ��� �����Redactor �ef: Marinela Preoteasa Secretar de redac�ie: Ion Nea�� Membri: Aurelia Stanciu; �tefania Marineanu Lumini�a - Camelia Bu�an Daniel Cojocaru Ion Burc� Iuliana Tra�c� Membru corespondent: prof. Univ. Dr. Florentin Smarandache, Universitatea Gallup N.M; U.S.A.
Tehnoredactare computerizat�: Marinela Preoteasa Editor: Marinela Preoteasa
Cuprins
Pag. Despre acest numar al revistei de matematic� MxM, editor Marinela Preoteasa .......................................... 2 Florentin Smarandache la 55 de ani………………… 3 Teorema lui Smarandache, de Ion P�tra�cu ……….. 9 Probleme propuse, cu rezolv�ri, de Iuliana Tra�c� , Scornice�ti-M�rgineni, Olt………………………..... 11 Matematica în geografie, de �tefania Marineanu ….. 17 Probleme propuse pentru clasele I – IV �i clasele de gimnaziu .................................................................... 19 Matematica în chimie, gimnaziu, de Lumini�a Bu�an 19 Probleme pentru clasele I – IV, de Nicoleta Veronica �erban, institutor I, .................................................... 20 Probleme propuse pentru clasele V – VIII ................ 21 Probleme distractive, din cadrul proiectului interjude- �ean « Magia numerelor », selec�ie de M.P................ 29 Premiile ob�inute în cadrul proiectului interjude�ean « Magia numerelor », pe sec�iuni ………………….. 51 Concursul interdisciplinar „± POEZIE” Faza jude�ean� - 27 martie 2010, rezultate ……………. 57
1
Despre acest numar al revistei de matematic� MxM
Revista n-a mai ap�rut o perioad�, din motie obiective �i subiective care nu sunt deloc interesante pentru cititorii no�tri, prezent�m scuze pentru acest lucru. Important este c� nu v-am uitat �i încerc�m s� r�spundem dorin�elor dumneavoastr� matematice �i nu numai. Începând cu acest num�r al revistei, introducem probleme care se rezolv� cu ajutorul matematicii �i de la alte discipline din �coal� (geografia �i chimia). Mul�i elevi au fost antrena�i de c�tre profesorii lor s� participe la diverse concursuri de matematica �i proiecte care necesit� un efort matematic sus�inut, pe tot parcursul anului �colar, din partea participan�ilor la proiecte: elevi �i profesori deopotriv�, activit��i noi, mai pu�in cunoscute în �coli. Ne propunem s� populariz�m aceste activit��i, care nu au o desf��urare într-un cerc închis, ci din contr�, sunt deschise tuturor elevilor �i cadrelor didactice doritoare, de aceea v� facem cunoscute numele c��tig�torilor �i chiar din materialele cu care ace�tia s-au prezentat, în etapele prev�zute de regulamentele în cauz�. Men�ion�m c� admitem orice observa�ii �i propuneri, care s� fac� mai util� �i mai atr�g�toare revista pentru educarea matematic� a elevilor, conform cerin�elor sociale �i programelor �colare. V� respect�m opiniile �i propunerile dumneavoastr� vor fi analizate cu interes de colectivul redac�ional �i chiar popularizate, atunci cînd este cazul, în rubrica: În dialog cu cititorii. Pe coperta a patra a revistei ve�i primi toate datele de contact �i toate tipurile de colaborare.
Editor, prof. Marinela Preoteasa
2
Florentin Smarandache la 55 de ani Prof. univ. dr. Florentin Smarandache este un polivalent – el este autorul, co-autorul, editorul �i co-editorul a 139 de c�r�i �i a peste 175 lucr�ri �tiin�ifice. Pe 10 decembrie 2009 el a împlinit 55 de ani. De fapt dumnealui este un om al rena�terii pentru c� a publicat în foarte multe domenii: matematic� (teoria numerelor, statistic�, geometrie non-Euclidian�), computere (inteligen�� artificial�, fuziunea informa�iei), fizic� (fizica cuantic�, fizica particulelor), economie (economie cultural�, teoria poly-emporium), filosofie (neutrosofie – o generalizare a dialecticii, logica neutrosofic� – o generalizare a logicii fuzzy intui�ioniste), literatur� (poezie, proz�, roman, eseuri, nuvele, drame, teatru pentru copii, traduceri), art� (desene experimentale, colaje, pictur� de avangard�). C�r�ile sale pot fi g�site în: Amazon.com, Amazon Kindle, Google Book Search, Library of Congress (Washington D. C.), �i în multe biblioteci din lume. În baza interna�ional� de date �tiintifice men�inut� de Universitatea Cornell,� �������� domnia sa are circa 140 de lucr�ri �tiin�ifice. Dr. Smarandache este creatorul teoriei Dezert-Smarandache în Fuziunea Informa�iei (matematic� aplicat�) împreun� cu Dr. J. Dezert din Fran�a. Aceast� teorie este cunoscut� pe plan interna�ional �i este folosit� în robotic�, medicin�, armat�, cibernetic�. În fiecare an, începand din 2003, el a fost invitat ca s� prezinte conferin�e �i lucr�ri �tiin�ifice despre acest subiect la
3
Conferin�e Interna�ionale de Fuziune a Informatiei {Australia – 2003; Suedia – 2004; SUA – 2005, 2009; Italia – 2006; Canada -2007; Germania – 2008; sau la Seminarele de Ap�rare Militar� “Marcus Evans” (Spania – 2006; Belgia – 2007), sau la alte Universit��i (Indonezia – 2006)}. Dr. Smarandache a fost invitat ca lector, fiind sponsorizat de NASA în 2004 �i de NATO în 2005. Multe teze de doctorat au fost sus�inute la universit��i din Fran�a, Canada, Italia, �i o tez� de Masterat la Universitatea din Teheran, Iran. Vezi situl DSmT conceput �i men�inut de dumnealui la http://fs.gallup.unm.edu//DSmT.htm. În Structurile Algebrice Smarandache, precum monoid, semigrup, spatiu vectorial, algebr� linear�, etc., studen�i de la IIT (Institutul Indian de Tehnologie) din Chennai, Tamil Nadu, India, au sus�inut �i continu� s� sus�in� teze de doctorat sub conducerea Dr. W. B. Vasantha Kandasamy, care este una dintre colaboratorii s�i în acest domeniu (vezi http://fs.gallup.unm.edu//algebra.htm). No�iunile Smarandache în Teoria Numerelor sunt cunoscute pe plan interna�ional: �irurile Smarandache, func�iile Smarandache, constantele Smarandache (care sunt incluse în prestigioasa “CRC Encyclopedia of Mathematics” de E. Weinstein, publicat� de CRC Press în Florida, SUA, 1998; vezi http://mathworld.wolfram.com/). No�iunile de func�ii Smarandache sunt incluse si în “Handbook of Number Theory” de Jozsef Sandor,
4
Springer-Verlag, 2006. Iar numere Smarandache-Wellin �i numere prime Smarandache-Wellin sunt de asemenea tratate în cartea lui R. Crandall �i C. Pomerance (foarte cunoscu�i în teoria numerelor) intitulat� “Prime Numbers. A Computational Perspective”, edi�ia a doua, New York: Springer-Verlag, 2005. În Teoria Numerelor a avut loc în 1997 o Conferin�� Interna�ional� despre No�iunile Smarandache în Teoria Numerelor, �inut� de Universitatea din Craiova, România (unde dumnealui a absolvit ca sef de promotie în 1979), �i organizat� de Dr. C. Dumitrescu �i Dr. V. Seleacu (vezi: http://fs.gallup.unm.edu/ProgramConf1SmNot.pdf ). Aceast� conferin�� este men�ionat� în prestigiosul jurnal “Notices of the American Mathematical Society”, Providence, NJ, USA, Vol. 48, No. 8, p. 903, 2001. In China au fost organizate patru “International Conferences on Number Theory and Smarandache Problems” în 2005, 2006, 2007, �i în 2008. Dr. Zhang Wenpeng �i studen�ii s�i de la Universitatea de Nordvest din Xi’an, China, au editat un jurnal interna�ional numit “Scientia Magna” în care au fost publicate mai multe lucr�ri despre no�iunile Smarandache din teoria numerelor. Anunturi despre acestea au fost incluse în jurnalul “Notices of the American Mathematical Society”. Vezi, de exemplu, desf��urarea conferin�ei interna�ionale din 2008 pe situl: http://fs.gallup.unm.edu//ScientiaMagna4no1.pdf. Alte lucr�ri ale Prof. univ. dr. Florentin Smarandache în teoria numerelor �i combinatoric� precum problemele
5
deschise �i conjuncturile sale formeaz� subiectele unor lucr�ri de cercetare publicate de Universitatea Xi’an din China în jurnalul lor interna�ional “Scientia Magna” (vezi num�rul de pe situl��http://fs.gallup.unm.edu//ScientiaMagna4no3.pdf) �i de Academia de Stiin�e Chinez� din Beijing în “International Journal of Mathematical Combinatorics” (vezi num�rul de pe situl: http://fs.gallup.unm.edu//IJMC-3-2008.pdf). Logica/Multimea/Probabilitatea neutrosofic� sunt generaliz�ri ale logicii fuzzy (în special a logicii fuzzy intui�ionistice), multimii fuzzy (în special a multimii fuzzy intui�ionistice), �i respectiv a probabilitatii imprecis�. Cu aceste no�iuni au fost sus�inute dou� teze de doctorat: una la Universitatea de Stat din Georgia, Atlanta, SUA, �i una la Universitatea Queensland din Australia (vezi http://fs.gallup.unm.edu//neutrosophy.htm). Dr. Florentin Smarandache a fost invitat s� vorbeasc� despre logica �i multimea neutrosofica la Universitatea din Berkley în decembrie 2003, in India (2004), Indonezia (2006), Egipt (2007). Dr. Smarandache este editor asociat al jurnalului interna�ional “Progress in Physics”, care este tip�rit �i editat de UNM-Gallup, cu contribu�ii �i sponsoriz�ri interna�ionale de la diferite institute de cercetare nuclear� din toat� lumea. Vezi de pild� edi�ia din situl: http://fs.gallup.unm.edu//PP-03-2008.pdf� În fizic� el a creat no�iunea de “nematerie” (unmatter), a descoperit câteva paradoxuri cuantice
6
Sorites, a folosit logica neutrosofic� (care este o logica multivalent�) ca s� extind� spa�iile fizice. Împreun� cu V. Christianto a extins ecua�iile lor differen�iale de la forma de cuaternion la forma de bicuaternion, vezi “Smarandache-Christianto potential” (http://fs.gallup.unm.edu//physics.htm). În economie a scris împreun� cu V. Christianto despre economia cultural� ca o alternativ� pentru ��rile subdezvoltate, �i a propus o teorie poly-emporium (http://fs.gallup.unm.edu//economics.htm). În filosofie a f�cut o sintez� a multiplelor idei �i �coli de gândiri filosofice contradictorii, extinzând dialectica lui Hegel la neutrosofie, care înseamn� analiza nu numai a opozitelor, ci �i a neutralit��ilor care interac�ioneaz� cu ele (http://fs.gallup.unm.edu//neutrosophy.htm). În domeniul umanistic, Dr. Smarandache, este considerat p�rintele “paradoxismului” în literatur�, care este o mi�care de avangarda bazat� pe utilizarea extensiv� în crea�ii a antitezelor, oximoronilor, contradic�iilor, paradoxurilor. El a publicat cinci Antologii Paradoxiste Interna�ionale la care au contribuit sute de autori din intreaga lumea (http://fs.gallup.unm.edu//a/Paradoxism.htm). El a scris drama anti dictatorial� “Patria de Animale” – o dram� f�r� cuvinte! Ea a fost jucat� la Festivalul Interna�ional al Studen�ilor de Teatru, la Casablanca (Maroc), 1-21 septembrie, 1995. A fost pus� în scen� de teatrul Thespis (regizor fiind Diogene V. Bihoi), �i jucat� de trei ori, primit premiul special al juriului. A fost pus� în scen� de asemenea în Karlsruhe (Germania) la 29 Septembrie 1995.
7
Piesa lui de teatru pentru copii “P�cal�, Ursul �i Balaurul” a fost pus� în scen� la Teatrul Na�ional Dramatic “I. D. Sârbu” din Petro�ani, România, în septembrie 1997 de regizorul Dumitru Velea; (http://fs.gallup.unm.edu//a/theatre.htm).
Dr. Smarandache a f�cut �i art� electronic� (folosind programe pe calculatoare), art� experimental� [aut-art� (outer-art)] �i a pledat pentru unificarea teoriilor în art� (http://fs.gallup.unm.edu//a/oUTER-aRT.htm).
Universitatea de Stat din Arizona, Libr�ria Hayden, în Tempe, Arizona, SUA, g�zduie�te o colec�ie special� numit� “The Florentin Smarandache Papers” care se întinde pe o lungime de peste 30 m.l., cu c�r�i, jurnale, manuscrise, documente, CD-uri, DVD-uri ale sale, sau despre lucr�rile sale.O alt� collec�ie special� “The Florentin Smarandache Papers” se afl� la Universitatea Texas din Austin la Arhivele Matematicii Americane (în cadrul Centrului de Istorie American�).
Popularitatea D-lui Smarandache în jurul lumii a crescut foarte mult �i datorit� faptului c� situl s�u profesional http://fs.gallup.unm.edu// are aproximativ un sfert de million de vizitatori pe lun� din peste 110 ��ri, conform statisticilor oficiale ale universit��ii. Acesta este cel mai mare �i cel mai vizitat site la UNM-Gallup.
În acest site se afl� Biblioteca sa Digital� de Art� �i Literatur� (“Digital Library of Arts & Letters”, http://fs.gallup.unm.edu//eBooksLiterature.htm), care con�ine multe c�r�i de literatur�, c�r�i de art� �i albume,
sau carti despre crea�iile sale literare �i artistice, este vizitat� de peste 100 de vizitatori pe zi.
Iar Biblioteca sa Digital� de �tiin�e (“Digital Library 8
of Science”, http://fs.gallup.unm.edu//eBooks-otherformats.htm), unde se gasesc publicate c�r�ile sale �tiin�ifice �i de asemenea c�r�i �i jurnale ale altor autori despre crea�ia sa �tiin�ific�, înregistreaz� peste 1.000 de vizitatori pe zi. Selectat de prof. Marinela Preoteasa, CNV « N.T » , Slatina, Jude�ul Olt
Teorema lui Smarandache Fie a’, b’, c’ lungimile laturilor triunghiului ortic al triunghiului ascu�itunghic ABC. Atunci 4( a’b’+ b’c’+c’a’) ≤ a 2 + b 2 + c 2
Demonstra�ie: de Ion P�tra�cu, Liceul Fra�ii Buze�ti, Craiova, Dolj
În �ABC, teorema sinusurilor implic� 9
B’C’ = AH sinA (Patrulaterul AC’HB’ este inscriptibil) Dar: AH = 2RcosA, rezult B’C’=2R cosA sinA =a cosA Deci, a’=a cosA, b’=b cosB, c’=c cosC Din teorema cosinusului în triunghiul ABC g�sim
cosA =bc
acb2
222 −+ �i analoagele, astfel:
4 ( a’b’+ b’c’+c’a’) = 4 [ab( )( )
2
222222
4abcbacacb −+−+
+
bc( )( )
bcacabbca
2
222222
4−+−+
+ac( )( )
cabcbaacb
2
222222
4−+−+
] =
( )( )2
222222 )()(c
abcabc −−−++
( )( )2
222222 )()(a
bcabca −−−++
( )( )2
222222 ()(b
acbacb −−−+ = 2
2224 )(c
abc −− +
2
2224 )(a
bca −− + 2
2224 )(b
acb −− = a 2 + b 2 + c 2 -
[222
���
����
� −c
ab+
222
���
����
� −a
bc+
222
���
����
� −b
ac ]
a 2 + b 2 + c 2 ; egalitatea are loc dac� a = b = c , deci, în cazul triunghiului echilateral.
10
Probleme propuse, cu rezolv�ri
������������� ������������������������������
��������������������������������������������
�
1.) Rezolvând câte 20 de probleme pe zi în loc de 15, Liviu a terminat problemele cu 6 zile mai devreme decât �i-a programat. Câte probleme a avut de rezolvat �i în câte zile î�i programase s� le rezolve ?
2.) Dac� n N ∗∈ , care dintre frac�iile 2
2
21
nn +
�i 2
2
12
nn+
este mai mare ? 3.) Afla�i num�rul natural xy , astfel încât
2
. 1452xy yx
xyx y
� �+ =� �+� �.
4. )Stabili�i dac� frac�ia : 1 2 3 2 2 1
1 2 2 2 2 1 1
3 2 7 3 2 5 2 35 3 2 49 3 2 5 2 3
n n n n n n
n n n n n n
+ + +
+ + + +
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
este subunitar�,
supraunitar� sau echiunitar�. ������������������������
Metoda I:
1.) În cele 6 zile Liviu ar fi rezolvat conform programului 90 de probleme. Aceste probleme au fost rezolvate mai înainte deoarece �i-a dep��it norma zilnic� cu 5 probleme. Cele 90 de probleme
11
2. ) au fost rezolvate în 90:5=18 zile. Liviu a avut de rezolvat 3601820 =⋅ în 24 de zile. Metoda II:
1.) Fie x num�rul de zile în care Liviu trebuia s� rezolve toate problemele. Rezolvând câte 20 de probleme pe zi, el le-a terminat cu 6 zile mai devreme. Num�rul de zile se ob�ine rezolvând ecua�ia 15x=20(x-6).
2. )2
2
21
nn +
�2
2
12
nn+
pentru c� 2
2
21
nn +
=2 2
)2 1(
1n n
n Nn
∗+ ≥ ∈+
,
iar 2
2
12
nn+
=2
2 2
11
nn n
+ ≤+ ( )n N ∗∈ .
3.) ( ) 2
111452;121 1452 12.
x yxy xy xy
x y
+� �⋅ = = = �+�
4.) Frac�ia devine: ( )
( )2 2 2
2 2 2
12 24 7 1024 3 2 7 3 2 10 3 21
60 3 2 49 3 2 30 3 2 12 60 49 30
nn n n n n n
n n n n n n n
+ +⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − +
, deci frac�ia este echiunitar�
������������������������������������������������
1.) .S� se afle x din propor�ia: ( )6 1, 6
0.00162
x aba b
⋅=+ ,unde
a= ( ) ( ) ( )2 2 2 2 131 1 1
2n n n+ +− + − + ⋅ − �i b=
501
2.) Fie x=23
n
n
aa
++
�i y=2000
1000
725
bb
++
,a , b, n∈N.
12
Între x �i y exist� rela�ia:a) x=y; b) x<y; c)x>y; d)x-y+1.
������������������������ 1.) 2n+2 �i 2n sunt numere pare , deci ( ) ( ) 111 222 =−=− + nn ;2n+1 este impar, deci ( ) 11 12 −=− +n ;
a=23
11 −+ ; a=21
; ( )251
0016.0;35
6,1 == , x=650.
2.) nn 32 < ; .25497 100010002000 >= Deci, 1≤x ; y>1x<y.
���������������������������������������������������� 1.) Stabili�i dac� num�rul
a= 2007100420071004 −−+ este ra�ional sau ira�ional. 2.) a) Demonstra�i egalitatea:
( )11222
121 ++=+++ nnn .0≥n
b)Dac� A(n)= −+++ 121 nn 121 +−+ nn , calcula�i A(2007). 3.) Determina�i ∈x N pentru care
.160272 Nxx ∈++ 4.) Demonstra�i c� oricare ar fi x num�r real are loc inegalitatea:
.23106126301056884 222 ≥++++++++ xxxxxx5.) Ar�ta�i c� pentru orice Na ∈ , num�rul :
( ) ( ) ( ) ( ) 18765 ++⋅+⋅+⋅+ aaaa este natural. 13
������������������������
�
1.) a>0
11004210042
10042200710042100422
222
+⋅−−
⋅=⇔−−⋅=⇔ aa
( ) QRaaa \2211004210042 22 ∈=⇔=⇔−−⋅= . 2.)a)
( ) ( )2112
21
11221221
121 ++=++++=+++ nnnnn
, deci: ( )11222
121 ++=+++ nnn .
b)
( ) ( ) 2)(11222
11222
)( =−+−++= nAnnnA ,
deci 2)2007( =A .
3.) Observ�m c� : 144242 ++ xx
< 1962816027 22 ++<++ xxxx sau
,141602712 2 +<++<+ xxxx x fiind natural
13160272 +=++ xxx ,adic�.91692616027 22 =⇔++=++ xxxxx
4.)Avem
( ) ( ) ( )231002564
1001625156414 222
=++
≥++++++++ xxx ,din
( ) 01 2 ≥+x , avem egalitate pentru x=-1. 14
5.) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )22
22222
22
4113
140131401324013
1240134013
1868518765
++=
+++=++++++=
=++++++=
+++++=+++++
aa
aaaaaa
aaaa
aaaaaaaa
Deci ( ) ( ) ( ) ( ) 18765 ++⋅+⋅+⋅+ aaaa = 41132 ++ aaN∈ .
�������������������������������������������������������� 1.) a) Determina�i func�ia liniar� f(x+1)=2x+3,
oricare ar fi Rx ∈ . b)Calcula�i suma S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2007) �i ar�ta�i
c� S este un p�trat perfect. 2.) Determina�i ∗∈ Nx pentru care este adev�rat�
( ) ( ) ( ) ( ) ( )232323...2323 22222222 2211
+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+−− nnnn
= 256256 2566561 − . 3.)Afla�i func�ia f:R →R, �tiind c� : f(x+3) ≤−≤ 5x f(x)+3, oricare ar fi x∈N. 4.) Gasi�i func�ia f:N →Q care îndepline�te simultan urm�toarele condi�ii:
a) f(2006)=2007. b) f(x+1)=f(x)+1003
x, pentru x∈N.
5.) Fie f :R →R ,
f(x)= ( ) .2964 22 xxxx +++−++− S� se g�seasc� coordonatele punctelor de intersec�ie dintre graficele func�iilor f �i g, unde g(x)=x+1.
15
������������������������ 1.) a) Nota�ia x+1=y implic� f(y)=2(y-1)+3 sau f(y)=2y+1 adic� f(x)=2x+1. b) S=2(1+2+3+…+2007)+2008;
( )2008
2120072007
2 ++⋅⋅=S ,
22008200820072008 =⇔+⋅= SS . 2.) Amplificând membrul din stânga al egalit��ii cu 1=3-2 �i cu produsul sumei cu diferen�a
11 22 23
++
−nn
Astfel ( ) 88242 2256;33816561 ==== ;
( ) 1183882222828256 2222256 ==== ⋅⋅ .
101112323111111 2222 =⇔=+⇔−=−
++
nnnn
2.) Rela�ia 5)3( −≤+ xxf este echivalent�, punând x+3=y, cu 8)( −≤ yyf sau
8)( −≤ xxf (1) 53)( −≥+ xxf este echivalent� cu 8)( −≥ xxf (2)Din (1) �i (2) f(x)=x-8.
4.)D�m lui x valorile 1, 2, 3,…,x-1 în rela�ia b) �i adun�m egalit��ile membru cu membru:
( ) ( )
( ) ( )1003
11.
...1003
112
−+−=
+=
xxfxf
ff
------------------------------------------------------ -------------
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10032
11
10031...321
1⋅
−+=⇔++++++= xxfxf
xfxf
16
Pentru x=2006, ob�inem ,folosind a)
( )10032
2005200612007
⋅⋅+= f
( ) ( ) 21200520071 =⇔−=⇔ ff .
Deci ( ) ( )2006
12
−⋅+= xxxf
5.) Se ob�ine : ( ) 432 +−−+= xxxxf
( )( )
[ )[ )
2 7, , 4
1, 4,3
2 7, 3,
x x
f x x
x x
� �+ ∈ −∞ −� �
= − ∈ −� �� �− ∈ ∞� �
Rezolvând ecua�ia f(x)=g(x) pentru fiecare interval de mai sus se ob�ine }6,0,8{−∈x Rezult� ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,6;1,0;9,8, −−−∈yx Not� : A�tept�m �i alte solu�ii. Solu�iile interesante vor fi publicate.
Matematica în geografie
Problem�. 1. S� se afle ce lungime va corespunde pe hart� la 25 km pe teren cunoscând c� scara h�r�ii este 1: 500 000. Rezultat: 5 cm. Problem�. 2. Cât reprezint� în natur� 10 cm m�sura�i pe o hart� la scara de 1:200 000.
Rezultat: 20 km. 17
Problem� 3. S� se afle scara unei h�r�i pe care 5 km din natur� sunt reprezenta�i prin 5 cm. Rezultat: scara este 1:100 000
Rezolvarea problemelor :
Not�: Se aplic� formula N1
= L1
unde:
N1
este scara h�r�ii; l este lungimea de pe hart�;
L este lungimea de pe teren. Problema 1.
l = NL
= 50000025km
= 5000002500000
cm= 5 cm
Problema 2. L = l x N = 10 cm x 200 00 = 2 000 000 cm = 20 000 m = 20 km Problema 3.
N = lL
= cmkm
55
= cm
cm5
500000 = 100 000,
deci N1
= 1 : 100 000
Prof. Dr. �tefania Marineanu, C. N.V.”N. Titulescu”, Slatina
18
Probleme propuse pentru clasele I – IV �i clasele de gimnaziu
Matematica în chimie
1) Reac�ioneaz� a g calcar (CaCO 3 ) de 80%
puritate cu b g solu�ie HCl 5M. Reac�ia este total� �i rezult� 132 g CO 2 . S� se determine a �i b.
2) Se dau 2 kg piatr� de var (CaCO 3 ) cu 25% steril.
CO 2 rezultat la descompunerea termic� se absoarbe complet într-o solu�ie de NaOH cu sensitatea de 1,23 g/ml. Se cere V s �i molaritatea solu�iei de NaOH 2 .
3) Cunoscându-se compozi�ia volumetric� a aerului: aproximativ 21% oxigen �i 78% azot, s� se determine compozi�ia gravimetric� a aerului.
4) Se d� 1 mol de ap� lichid� care se supune evapor�rii. S� se arate de câte ori cre�te volumul apei, la evaporarea în condi�ii normale.
5) Se dau 6kg c�rbune cu 60% steril. O treime din carbonul con�inut arde la CO, iar restul arde la CO 2 . Se cer masele medii �i d aer pentru amestecul de gaze rezultat.
6) Un amestec CH 4 �i SO 2 are d2O = 0,875. Se
cere compozi�ia în procente (de volum) a amestecului.
19
7) S� se calculeze masa a 40 l CO 2 la presiunea de 2 atm �i temperatur� de 15 0 C, densit��ile gazului atât relativ� cât �i absolut� sunt necunoscute. 8) S� se calculeze masa �i volumul de acetilen�, în c.n, care rezult� din 10 kg acetilur� de calciu (carbid) care con�ine 805 g CaC 2 . 9) Ce mas� �i ce volum de clor se ob�in din 200 g clorur� de sodiu, prin tratare cu acid sulfuric �i dioxid de mangan la temperatura de 30 0 C �i presiunea de 850 torri? 10) Un amestec gazos având compozi�ia de 20% O 2 , 79% N 2 , 1% H 2 O vapori, se g�se�te la o presiune de 790 torri. S� se calculeze presiunile par�iale ale gazelor componente din amestec.
Prof. Lumini�a-Camelia Bu�an, Colegiul N.l V”N.T” Slatina, Olt
NOT�: Se a�teapt� rezolv�rile de la elevi, vor fi nominaliza�i elevii care trimit rezolv�ri corecte.
Probleme pentru clasele I - IV 1) Calcula�i produsul a trei numere, �tiind c�
primul este cel mai mic num�r impar, al doilea este de 5 ori mai mare decât primul �i al treilea num�r este de trei ori mai mare decât al doilea. 2) Calcula�i suma a trei numere, �tiind c� produsul dintre primul num�r �i al treilea este egal cu r�sturnatul celui de-al doilea, iar primul num�r este cel mai mic num�r de
20
dou� cifre consecutive, iar al treilea este cel mai mare num�r par format dintr-o singu� cifr�. 3) �tiind c� un num�r este egal cu sfertul celui mai mic num�r de trei cifre, al doilea este jum�tate din cel mai mare num�r par , din dou� cifre distincte, calcula�i al treilea num�r dac� suma numerelor este egal� cu 126. Institutor I: Nicoleta- Veronica �erban, �c. Cu cls. I-VIII „I. Negoescu”, B�l�ne�ti-M�run�ei, Olt Probleme propuse pentru clasele V – VIII
Clasa a V-a 1) �tiind c� 3 2 + 3 3 + 3 4 + ...+3 2010 = a b 2 (1 + 3 7 + 3 14 + ...+3 2002 ), a �i b fiind numere naturale nenule, b ≠ 1, s� se arate c�: a + b 6 + 2 b 4 + b 3 - b 0 = 2010 Prof. ION BURC�, CNV”NT”, Slatina, Olt (Olimpiada de matematic�, faza local�, 13.02.2010, Olt) 2) Afla�i un num�r natural care împ�r�it pe rând la 2, la 17 �i la 59 d� acela�i rest, iar câtul primei împ�r�iri este cu 851 mai mare decât suma câturilor ultimelor dou� împ�r�iri . Câte numere naturale verific� condi�iile cerute? Prof. ION BURC�, CNV”NT”, Slatina, Olt (Concursul rev. Arhimede, ed. a IV- a, etapa finala, 12 mai 2007 )
21
3) S� se determine numerele prime x,y,z,t care verific� rela�ia: x 4 + y 3 z 2 t = 1481 Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Matematica Olt, Ed. a II-a, 28 mai 2005) 4) a) Care numee de forma axbx , scrise în baza 10, verific� rela�ia: axbx = axb x + axb + x ? b) Câte numere dintre cele ob�inute la (a) au cifrele a,b, x distincte? Daniel Cojocaru, �c.gen. nr 5, Slatina, Jude�ul Olt ( GMB, nr 5/1992)
5) Compara�i cu 1 numerele: a)51
48
4851
; b) 42
35
3542
.
Prof. Tra�c� Iuliana, Scornice�ti-M�rgineni, Olt 6) A ( k) = ( 2 12 +k + 3 12 +k + 1 ) (3 12 +k + 5 12 +k + 1) , k natural, A ( k) este divizibil cu 9 ? Prof. Marinela Preoteasa, CNV”N.T”, Slatina, Olt
Clasa a VI - a
7) S� se arate c� exist� o infinitate de numere naturale nenule a �i b care verific� rela�ia 8a – 3b ∈[a.b]
22
Prof. IonNea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Etapa jude�ean� Olt, 13 mai 2006)
8) Fie a, b, c din Z * astfel încât a1
+ b1
+ c1
= 0
Ar�ta�i c� num�rul n = a 2 (b+c) + b 2 (c+a) + c 2 (a + b) este divizibil cu 3. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Matematica Olt, Ed. a III-a, 10 iunie 2007)
9) �tiind c� a, b, c, cbba
++
, accb
++
�i baac
++
sunt numere
naturale, s� se determine x ra�ional, din egalitatea
cabcbcab
2534
++
. 12 +x
x =
157
Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Olimpiada de matematic�, faza local�, 27 ianuarie 2007, Olt) 10) S� se determine valoarea sumei x + y, �tiind c�
frac�ia zx 98.16.142007...3.2.1
este natural �i ia cea mai mic�
valoare posibil�. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Matematica Olt, Ed. a IV-a, 24 martie 2007) 11) Numerele naturale nenule a, b, c, d formeaz� frac�ii
echivalente: cba
abc++
; dcb
bcd++
; adc
cda++
; bad
dab++
S� se arate c� 3a 3 + 7b 3 + 2c 3 + 4d 3 = 9a 2 b+b 2 c+5c 2 d+d 2 a
23
Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Nicolae Coculescu, Ed. a IV – a, 30 noiembrie – 1 decembrie 2007, ziua2) 12) �tiind c� numerele ra�ionale pozitive nenule a, b, c sunt direct propor�ionale cu 3, 5 respectiv 6, s� se arate c� :
bac+
< 22
2
bac+
< 33
3
bac+
Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Etapa local�, Bihor, 2009) 13) S� se arate c� exist� un singur num�r natural n astfel încât num�rul A = 2 4 . 3 16 + 5 2 . 3 14 + 3 n s� fie p�trat perfect. Prof. Ion Burc�, CNV”N.T”, Slatina, Olt (GMB, nr. 4/1992)
14) Demonsta�i c� 6 4 1 , ,0 9.n n N n N n⋅ + ∈ ∈ < ≤ Prof. Tra�c� Iuliana, Scornice�ti-M�rgineni, Olt
15) Ar�ta�i c� num�rul a= ( )1 1 1 12 6 12 1n n
+ + + ⋅⋅⋅ ++
este
subunitar, oricare ar fi n N ∗∈ . Prof. Tra�c� Iuliana, Scornice�ti-M�rgineni, Olt
Clasa a VII - a
16) Rezolva�i în Z x Z, ecua�ia: 3a
+ b3
= 2007
24
Prof. ION BURC�, CNV”NT”, Slatina, Olt (Concursul Arhimede, ed. a V-a, etapa local�, 10 noiembrie 2007) 17) S� se g�seasc� numerele întregi x �i y care satisfac ecia�ia: y 2 = 9x 2 + 15 x + 10 Prof. ION BURC�, CNV”NT”, Slatina, Olt (Concursul revistei Arhimede, ed. a III- a, etapa finala, 3 iunie 2006 ) 18) Ar�ta�i c� nuumerele:
a = 7
12 +n �i b = 14)86)(34(7 22 +++++ nnnn
sunt ira�ionale, oricare ar fi n ∈ N. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Etapa jude�ean� Arge�, 1994) 19) În triunghiul ABC cu m( BAC∠ ) = 120 0 , se consider� punctele D, E, F pe latura [BC] astfel încât m( ∠ BAD) = m ( ∠ DAE) = m( ∠ EAF) = m( ∠ FAC) = 30 0 . S� se arate c�:
EFACCDAE..
+ DEABBFAE
.
. ≥ 4
Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Matematica Olt, Ed. a II-a, 28 mai 2005) 20) S� se arate c� num�rul a = n 5 + 2009 n este divizibil cu 30 pentru orice num�r natural n.
25
Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Concursul „Gheorghe Mihoc”, Ed. a XV – a, Slobozia, 4.04.2009)
21) Fie x,y numere naturale nenule �i n = 733013
++
xx
-
73167
++
yy
, r = yxyx
521617
+−
. �tiind c� n este natural, s� se
afle a 2007-a zecimal� a num�rului r. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt (Concursul Nicolae Coculescu, Ed. a IV – a, 30 noiembrie – 1 decembrie 2007, ziua 1)
Clasa a VIII – a
22) Cel mai mare divizor comun al numerelor ab5 ,
bc1 , ca2 este 3. S� se arate c� cba ++ 23 nu este num�r ra�ional. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Olimpiada de matematic�, faza local�, 27 ianuarie 2007, Olt) 23) S� se rezolve în N * - { }1 ecua�ia :
3[ nn −2 ] = 2 [ 12 ++ nn ], unde [a] este partea întreag� a num�rului a. Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Olimpiada de matematic�, faza local�, 26 ianuarie 2008, Olt)
26
24) S� se arate c�:
33333 20101
20091
...51
41
31 +++++ ∈ ( 0;
21
)
Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt ( Olimpiada de matematic�, faza local�, 13 februarie 2010, Olt) 25) Fie patrulaterul convex ABCD, AC � BD = { }0 �i SO ⊥ (ABC). S� se demonstreze c� AB� CD dac� �i
numai dac� ][
1SAODV
= ][
1SABDV
+ ][
1SADCV
Prof. Ion Nea��,CNV”N.T”, Slatina, Olt 26) Dac� a.b.c =1, unde a, b, c reale, ab + a + 1 ≠ 0, bc + b + c+ 1 ≠ 0, ca + c + 1 ≠ 0, atunci
1
1++
−aab
a +
11++
−bbc
b +
11++
−cca
c = 0
Prof. Ion Nea��, CNV”N.T”, Slatina, Olt 27) Fie triunghiul ABC, cu BC = 25 cm, AB = 15 cm, AC = 20 cm; [AD bisectoarea unghiului BAC, D∈ (BC), AE perpendicular� pe AD, E (CB; M mijlocul lui [BC]; N mijlocul lui [DE]; SN perpendicular� pe planul (ABC)
�i SN = 7
400 cm.
a) S� se afle distan�a de la punctul S la dreapta AM; b) S� se demonstreze c� triunghiurile ANS �i Bac
sunt asemenea. 27
Prof. Ion Nea��, CNV”N.T”, Slatina, Olt 28) Fie polinomul P(X) = X 22 +k - X k2 + 2X 1+k + 1, k ∈N.
a) S� se descompun� P(X) în factori; b) S� se determine valorile lui n∈N* pentru care
P(n) este num�r prim , oricare ar fi , k ∈N.
Prof. Daniel Cojocaru, �c.gen. nr 5, Slatina, Jude�ul Olt ( GMB, nr 9/1993)
29) Oricare ar fi numerele consecutive x, y, z din N* astfel încât x < y < z , num�rul A = ( x n + 1)(y n - 1)(z n + 1) se divide cu xy (z + 1) pentru orice n natural impar
Prof. Daniel Cojocaru, �c.gen. nr 5, Slatina, Jude�ul Olt ( GMB, nr4/1988) 30) Fie E(X) = X 4 - 10 X 3 + 34 X 2 – 45 X + 18 a ) S� se descompun� E(X) în factori; b) S� se rezolve E(x) = 0, în R. Prof. Marinela Preoteasa, CNV”N.T”, Slatina, Olt
NOT�: Se a�teapt� rezolv�rile de la elevi, vor fi
nominaliza�i, în revist�, elevii care trimit rezolv�ri corecte.
28
Probleme distractive
prezentate în cadrul Proiectului intrejude�ean “Magia numerelor “, în Concursul din 11.12. 2009, desf��urat la Biblioteca Jude�ean� „Ion Minulescu”, Slatina, Jude�ul Olt
1) Aranja�i numerele 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 în p�tratul magic 3X3, astfel încât suma numerelor pe fiecare vertical�, orizontal� �i diagonal� s� fie aceea�i.
Propus� de eleva CÎR�U CLAUDIA,, Cls. a XI-a, C.N.E ”GH.CHI�U”-CRAIOVA, Prof. RADU SIMONA
2) Aranja�i numerele 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 în p�tr��elele figurii al�turate, astfel încât fiecare dintre cele patru sume (în p�tratul exterior, cel interior �i pe diagonale) s� fie egal� cu 20.
Propus de eleva D”ORTENZI ALESSANDRA, cls. a XI –a ; C.N.E.”GH.CHI�U”-CRAIOVA, Prof. RADU SIMONA
3) Scrie�i cu cifre num�rul, compus din unsprezece mii, unsprezece sute �i unsprezece unit��i. Propus de eleva OPREA ELENA , cls a X-a C.N.E. ”GH.CHI�U”-CRAIOVA,Prof. ROCSOREANU CRISTINA
29
Probleme distractive, cu solu�ii 1) Cum este aflat un num�r par gândit? Propune�i cuiva s� se gândeasc� la un num�r par, apoi s� înmul�easc� acest num�r cu 3, rezultatul s� împart� prin
2 �i din nou s� înmul�easc� cu 3. Dup� declararea rezultatului opera�iilor aritmetice dumneavoastr� pute�i indica num�rul gândit. Cum trebuie f�cut acest lucru? Propus de elev :ILESCU ANDREEA,cls. a X-a C.N.E .”GH.CHI�U”-CRAIOVA, Prof. ROCSOREANU CRISTINA Solu�ie Pentru aflarea num�rului gândit trebuie s� împ�r�i�i num�rul declarat prin 9 �i apoi s� înmul�i�i rezultatul cu 2.
Argumentare. Fie c� cineva s-a gândit la un num�r par, pe care îl vom nota 2k. Atunci în rezultatul opera�iilor aritmetice vom primi num�rul (((2k × 3) : 2) × 3) = 9k. Împ�r�ind rezultatul prin 9 �i înmul�ind cel primit cu 2, vom afla num�rul gândit 2k. 2) Cum trebuie aflat num�rul gândit?
Propune�i cuiva s� se gândeasc� la un num�r nu prea mare (pentru simplitatea calculelor) �i s� înmul�easc� acest num�r cu el îns��i. La rezultat cere�i s� adauge num�rul gândit dublat, iar apoi – înc� 1. Dup� rezultatul declarat a opera�iilor aritmetice dumneavoastr� pute�i s� indica�i num�rul gândit. Cum se face aceasta?
30
ELEV: POPESCU MARIA,clasa X
C.N.E.”GH.CHI�U”-CRAIOVA PROF. ROCSOREANU CRISTINA
Solu�ie Pentru a afla num�rul gândit trebuie din cel declarat de extras r�d�cina p�tratic�, �i apoi de sc�zut o unitate.
Argumentare. Fie c� cineva s-a gândit la un num�r k. Dup� opera�iile propuse vom primi: k·k + 2·k + 1 = (k+1)2. Num�rul (k+1)2 �i va fi declarat. 3) Daca il depasesti pe ultimul , in ce pozitie vei ajunge ?
ELEV: SILAGY GEORGE, cls. a X-a C.N.E.”GH.CHI�U”-CRAIOVA,
PROF. ROCSOREANU CRISTINA Solu�ie Daca ai raspuns penultimul, te-ai inselat din nou. Gandeste-te un pic … Cum poti sa-l depasesti pe ultimul ? Daca tu esti in urma lui atunci el nu mai este ultimul. Raspunsul era imposibil ! Se pare ca gandirea nu este punctul tau tare. Ai sanse sa fii cea mai slaba veriga 4) Un mosneag si o baba aveau un cucos pe care s-au hotarat sa-l vanda la piata.Baba i-a spus mosneagului sa-l vanda cu 20 lei .Mosneagul cand a ajuns in piata a gasit 2 baieti de la care a cerut 25 de lei .Se intele ca unul a dat 12.50 si unul 12.50.Mosneagul a bagat 20 lei in buzunar pentru baba(banii pe care i-a cerut baba),iar cu ceilalt 5 lei a intrat la crasma,dar nu a cheltuit decat 3 lei.Iesind de la crasma s-a italnit cu baietii care a aveau cocosul si le-au spus:mai baieti v-am luat prea mult pe cocos ,va dau cate un leu
31
inapoi.Acum baietii nu mai daduse cate 12.50 de fiecare ci cate 11.50 de fiecare.Tinand cont ca 11.50 + 11.50 =23 + 3 lei pe care i-a baut mosneagul in crasma =26 lei.De unde iese 1 leu in plus ? ELEV: SANDU COSMIN ALEXANDRU clasa a XII a
CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA PROF.ION DANIEL
Solu�ie "Tinand cont ca 11.50 + 11.50 =23 + 3 lei pe care i-a baut mosneagul in crasma =26 lei.De unde iese 1 leu in plus ?" asta te induce in eroare.Corect ar fi fost 11.50 + 11.50 = 23 - 3 lei pe care i-a baut mosul = 20 lei pe care ii duce acasa babei.Deci mosul a vandut cocosul nu cu 12.50 + 12.50 = 25 lei ci cu 11.50 + 11.50 = 23 din care i-au ramas 3 lei pe care i-a baut 5) 9 porci si zece gaini consuma 82 kg.9 porci si 5 gaini consuma 77 kg.Aflati cate kg consuma o gaina si cate kg consuma un porc? ELEV: CUREZU IONUT VALERIU clasa a XII a
CNE ,,GH CHITU’’ CRAIOVA PROF.ION DANIEL
Solu�ie: 9 porci......10 gaini....82 kg
9 porci ......5 gaini.....77 kg
0..............5..............5
5:5=1[kg 1 gaina];
32
9 porci.......5x1........77 kg
5x1=5; 77-5=72[9 porci];72:9 = 8[kg porc];
R:o gaina=1 kg; Un porc=8 kg
6) În 18 zile, 64 de vaci au p�scut iarba unei p��uni de 48 ari, iar în 30 de zile 84 de vaci au p�scut iarba unei p��uni de 90 ari. Câte vaci ar putea pa�te iarba unei p��uni de 60 ari în 20 de zile? (Se presupune c� iarba cre�te uniform).
ELEV: CAZACU ANDREEA LAVINIA, clasa a XII a, CNE ,,GH CHITU’’ CRAIOVA
PROF. ION DANIEL Solu�ie :
30zile 84 vaci 90 ari -> 10 zile 84 vaci 30 ari -> ca in 20 de zile 84 de vaci pasc 60 de ari
7) La o scoalã sunt elevi care au telefon mobil. Astfel sunt 200 de telefoane care au camerã incorporatã în slider, 200 de telefoane cu jocuri si 300 de telefoane muzicale culisante. 25 de telefoane sunt muzicale culisante cu jocuri si camerã incorporatã discret în slider. 75 de telefoane sunt muzicale culisante si au camerã incorporatã discret în slider. 50 de telefoane au numai camerã incorporatã discret în slider. 150 de telefoane sunt numai muzicale culisante. Cate telefoane care au numai jocuri sunt?
CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA, PROF.ION DANIEL Solu�ie: Din cele 200 telefoane cu camera 25 au camera muzica si
33
jocuri 75 au camera si muzica si 50 au numai camera. Raman 50 cu camera si jocuri. Din cele 300 telefoane cu muzica 25 au camera muzica si jocuri 75 au camera si muzica si 150 au numai muzica. Raman 50 de telefoane cu muzica si jocuri. Din cele 200 de telefoane cu jocuri 25 au camera muzica si jocuri 50 au muzica si jocuri iar 50 au camera si jocuri . Raman 75 cu jocuri 8) - Cate oi ai bade?
- Am avut de 3 ori mai multe oi albe decat negre, dar am vandut 56. Acum am jumatate din cate io negre am avut la inceput. Poti afla singur?
ELEV: OPREA SORINA clasa aXIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA
PROF BADICA MARIANA Solu�ie : ... 64 oi a avut la inceput(16 negre si 48 albe)...a vandut 56 a ramas cu 8 8 ani a = 3n; 3n + n - 56 = n/2 4n - 56 = n/2 ... n = 16; a = 48 Total 64 9) Un grup de copii se joaca . Alin spune : numarulde cod este cel mai mare numar natural de patru cifre distincete. Ce nr decod are Ina ? Dar Lili? Dar Lina?Dar Ani ?
ELEV: VULPE OANA clasa aXIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA
PROF BADICA MARIANA Solu�ie: Alin 9876; Ina 769; Lila 8787; Lina8769 ; Ani 967 10) Daca il depasesti pe ultimul , in ce pozitie vei ajunge ?
ELEV: STANCU FLORIN clasa aVIIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA
PROF STIRCU ADRIAN TEODOR 34
Solu�ie : Daca ai raspuns penultimul, te-ai inselat din nou. Gandeste-te un pic … Cum poti sa-l depasesti pe ultimul ? Daca tu esti in urma lui atunci el nu mai este ultimul. Raspunsul era imposibil ! Se pare ca gandirea nu este punctul tau tare. Ai sanse sa fii cea mai slaba veriga !!!
11) Au fost adunate împreun� 7 capi�e de fân cu înc� 11 capi�e. Cîte capi�e de fîn s-au ob�inut?
ELEV: PANUTI IOANAclasa aVIIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA
PROF. STIRCU ADRIAN TEODOR Solu�ie: S-a ob�inut o c�pi�� mare 12) Vom considera, conven�ional,c� dac� omul nu m�nânc� 7 zile (o zi – 24 de ore) sau nu doarme 7 zile, atunci el va muri. Fie c� un om o s�pt�mân� n-a mâncat �i n-a dormit. Ce el trebuie s� fac� în primul rând c�tre sfâr�itul a 7-ei zile: s� m�nânce sau s� doarme, ca s� r�mân� viu?
ELEV: BENEGUI IONUT clasa aVIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA
PROF STIRCU ADRIAN TEODOR Solu�ie Omul nu poate simultan �i dormi �i mânca. De aceea termen de 7 zile dup� somn �i dup� mâncare vine în timp diferit. Deci, omul trebuie s� fac� fix aceea, ce el f�cea o s�pt�mân� în urm�: a dormit sau a mâncat.
35
Leul in plus
13) Se duc 2 prieteni la un han si camera costa 30 lei. Dau fiecare cate 15 lei si apoi hangiul isi aminteste ca pretul camerei pe care le-a dat-o costa numai 25 lei. I-a dat la un baiat restul sa se duca sa le dea celro 2 prieteni. Baiatul isi pastreaza 3 lei ca zice ca nu o sa poata sa-i imparta si le da la fiecare 1 leu. Deci 28 lei si cu 3 pe care-i ia baiatul rezulta 31 lei. De unde a parut un leu ?
ELEV: UNGUREANU MARIA clasa aVIIa CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA
PROF STIRCU ADRIAN TEODOR Solu�ie: Raspuns cel 3 lei se scad si nu se aduna. 14)
Trebuie completata imaginea alaturata cu cifre de la 1 la 9. (se pot repeta unele cifre, altele poti sa nu le folosesti. Se completeaza astfel incat sa se respecte operatiile.
ELEV: CHIVU DORINA, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA
PROF MIREA MIHAELA MIOARA Solu�ie
36
15)
In imaginea alaturata trebuie completat fiecare spatiu cu cifre de la 1 la 9 (cifrele nu trebuie sase repete) , respectand semnele de ordine: < (mai mic) si > ( mai mare).
ELEV: BARBU ALEXANDRA, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA
PROF MIREA MIHAELA MIOARA Solu�ie:
16) Testul lui Eisntein : sunt 5 case diferite, fiecare pictata in alta culoare. In fiecare casa locuieste o persoana de alta nationalitate care prefera propria sa bautura, diferita de a celorlalti. Fiecare om are pe langa el un animaldistinct si fumeaza o marca distincta de tigari. Prima casa este cea din stanga. Se fac urmatoareloe afirmatii :
I. Englezul locuieste in casa rosie II. Suedezul are caini III. Danezul bea ceai IV. Casa verde este casa din stanga casei
37
pictata cu alb V. Persoana din casa verde bea cafea VI. Persaoan care fumeaza Pall Mall creste pasari VII. Persoana din casa galbena fumaeza Dunhill VIII. Persoana din casa dein mijloc bea lapte IX. Norvegianul locuieste I prima casa X. Persoana care fumeaza Blend sta langa cea care are pisici XI. Persoana care creste cai sta langa cea care fumaeza Dunhill XII. Persoana care fumeaza Blue Master bea bere XIII. Germanul fumeaza Prince XIV. Norvegianul locuieste langa casa albastra XV. Cel acre fumeaza Blend sta langa cel care bea doar apa.
Cine are acvariul cu peste? ELEV: RUICAN MIHAELA, clasa XIIa
GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA PROF MIREA MIHAELA MIOARA
Solu�ie: Configuratia caselor: Casa 1 Casa 2 Casa 3 Casa 4 Casa 5 Nationaliatate norvegian danez englez germ. suedez Culoare galben albastru ro�u verde alb Bautura ap� ceai lapte cafea Bere Animale pisici cai p�s�ri pe�ti Câini �ig�ri Dunhill Blend Pall Mall Prince Blue
Master Germanul are acvariul cu pesti.
38
17) 16 pinguini merg in sir indian de-a lungul tarmului. PIN- PIN are in fata un sfert din numarul pinguinilor din spatele sau. Al catelea pinguin este PIN-PIN?
ELEV: ISCRU ANDREEA, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA
PROF MIREA MIHAELA MIOARA Solu�ie: 3=1/4 din 12 18) Suprafata unui lac se umple de nuferi in 20 de zile.stiind ca acestia isi dubleaza zilnic suprafata….in a cata zi jumatate de lac va fi acoperita cu nuferi?
ELEV: BOARI MARCEL, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA
PROF RISTEA ELENA GEORGIANA Solu�ie: In 20 de zile lacul este plin de nuferi 19) Intr-o casa locuiesc 2 tati si 2 fii. Cate persoane locuiesc in casa?
ELEV: ANGHEL CAMELIA, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA
PROF RISTEA ELENA GEORGIANA Solu�ie: 3 persoane
Drumul p�durarului
20) Unui p�durar i s-a oprit odat� ceasul destept�tor fiindc� uitase s�-l întoarc� la timp. P�durarul l-a potrivit cu aproximatie si l�sându-l acas� a pornit spre un sat apropiat unde avea treab�. A apucat-o pe potec� înspre sat, pe un
39
drum drept, care nu urca si nici nu cobora. P�durarul f�cuse drumul acesta de nenum�rate ori cu pasul lui domol, obisnuit, care-i asigura acelasi timp pentru parcurgerea distantei, atât la ducere cât si la întoarcere. Totusi, p�durarul nu socotise niciodat� de cât timp avea nevoie pentru a parcurge acest drum. In sfârsit, când a ajuns la s�teanul cu care avea treab�, ceasul acestuia ar�ta ora 10. A stat p�durarul aici pân� aproape de ora prânzului, dup� care, aruncând o privire la ceasul gazdei a pornit spre cas� unde ... si-a potrivit cu precizie destept�torul! B�nuiti cum a reusit s� fac� acest lucru, amintindu-v� c� p�durarul nu cunostea durata drumului?
ELEV: SAVA CATALIN, clasa XIIa GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA
PROF RISTEA ELENA GEORGIANA
Solu�ie: La plecare, dup� cum am v�zut, p�durarul a întors ceasul potrivindu-l la o or� oarecare. Ajuns la s�tean a privit ceasul, a aflat cât este ora, lucru pe care l-a f�cut si la plecare. Deci el a stiut cât timp a z�bovit în sat. Sosit acas� s-a uitat la ceasul s�u si a f�cut socoteala cât timp a lipsit de-acas�. Din acest timp l-a sc�zut pe cel cât a z�bovit în sat si a aflat astfel durata drumului. Întrucât distanta dintre sat si casa lui o parcurgea atât la dus cât si la întoarcere în acelasi timp, a împ�rtit durata total� a drumului la 2, aflând astfel durata unui drum. Acum, nu i-a mai r�mas decât s� adauge acest timp la ora ar�tat� de ceas la plecarea sa din sat. Suma aflat� era ora exact�, la care si-a potrivit apoi ceasul.
Etichetele încurcate 40
21) Se spune c�, pe vremuri, un calif, voind s�-si m�rite fiica, a invitat la curtea sa câtiva printi voinici si ageri la minte, pentru ca dintre ei s�-si aleag� drept ginere pe cel mai bun. Dup� ce i-a supus la o seam� de încerc�ri, a adus în fata tinerilor trei cutii si le-a spus c� una contine dou� safire, alta dou� rubine, iar ultima un safir si un rubin. Cutiile aveau etichetele care indicau: prima, dou� safire, a doua un safir si un rubin, iar a treia, dou� rubine. Iar califul, dup� ce i-a avertizat pe tinerii candidati c� etichetele sunt lipite gresit si c� nici una nu corespunde continutului cutiei respective, le-a cerut s� spun� câte pietre pretioase au nevoie s� scoat� pentru a ar�ta cu exactitate ce contine fiecare cutie. Unul dintre printi a r�spuns c� are nevoie s� scoat� doar o singur� nestemat� si poate spune ce contin toate cutiile. Spre marea uimire a celorlalti, el a reusit. Cum a procedat?
ELEV: CHITU MIHAI, clasa XIIa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA
PROF BIRSAN SORIN Solu�ie: Tân�rul a scos o piatr� pretioas� din cutia cu eticheta "safir si rubin". Dac� a scos un safir , atunci cutia continea dou� safire (nu putea contine un safir si un rubin, fiindc� - s-a precizat - eticheta nu indica adev�ratul continut al cutiei). Deci, dac� aceast� cutie continea cele dou� safire, cea cu eticheta "dou� rubine" ar fi continut un safir si un rubin, iar cea cu eticheta "dou� safire" urma s� contin� dou� rubine. Dac� ar fi extras un rubin determinarea continutului cutiilor s-ar fi f�cut potrivit aceluiasi rationament. 22) Eu sunt barbat. Daca fiul lui Larry este tatal fiului meu, ce sunt eu in raport cu Larry?
41
a) bunicul sau b) tatal sau c) fiul sau d)eu sunt Larry e) neporul sau f)unchiul sau g)cumnatul sau h)socrul sau
ELEV: STAN DANIEL, clasa XIIa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA
PROF BIRSAN SORIN Solu�ie: c 23) Ai doua galeti negradate, stii doar ca una are 9 litri si una 4 litri. Fara sa te ajuti de un alt vas , cum faci sa cantaresti 6 litri de apa? (poti folosi oricata apa doresti, dar numai masurata cu cele doua galeti)
ELEV: CHIULIGA ALEXANDRU, clasa Xa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA
PROF BIRSAN SORIN Solu�ie: Umpli galeata de 9 litri, dar cea de 4 litri este goala. Din galeata de 9 l umpli pe cea de 4 l. Golesti galeata de 4l si o umpli din nou cu apa ramasa din galeata de 9 l . Astfel in galeata de 9 l a ramas 1 l. Golesti din nou apa din galeata de 4 l. Torni 1l in galeata de 4 l si o umplii din nou pe cea de 9 l. Torni apa din galeata de 9 l in cea de 4 l. Astfel in cea de 9 l au rams 6 l. 24) Pe masa sunt imprastiate sase foi de hartie, trei dintre ele(numerotate 1,2,3) sunt albe, celelalte 3(care sunt numerotate 4,5,6) sunt colorate in bleu. Pe fiecare foaie este scris un text si anume:
- pe foile de culoare laba: 1- dupa mine mai este o singura foaiealba 2- urmatoarele doua coli au culori diferite
42
3- eu nu sunt ultima coala - pe foile de culoare bleu 4- urmatoarele doua coli sunt albe 5- prima foaie este de aceeasi culoare cu mien 6- foile anterioare si urmatoarele sunt de culori
identice Se cere sa se identifice aceste foi astfel incat toate propozitiile scrise pe ele sa fie adevarate
ELEV: TUDOSE MONICA, clasa Xa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA
PROF BIRSAN SORIN Solu�ie: B A A B A B 4 2 1 6 3 5 25) Intr-o balta sunt 20 pesti mari si mici Cand vine cocostarcul, dupa fiecare peste mare se ascund 3 pesti mici. Cati pesti sunt de fiecare fel?
ELEV: CALOTA GIGEL, clasa IXa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA
PROF STIRCU DIANA MIHAELA Solu�ie: 20: (3+1)=5 pesti mari ; 20-5=15 pesti mici 26) Ionel are o misiune importanta . Bunnica l-a rugat sa afle numarul orataniilor din curte. Dar nu oricum! Trebuie sa rezolve enigma capetelor si piscioarelor. Din spusele bunicii in curte sunt numia iepuri si gaini, in total 101 capete si 282 picioare. Haideti sa-l ajutam pe ionel si sa calculam cati iepuri si cate gaini sunt in curte.
ELEV: DOGARU MARIUS, clasa IXa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA
PROF STIRCU DIANA MIHAELA
43
Solu�ie: 101*2=202; 282- 202=80; 80+80=160 picioare iepuri; 160: 4=40 iepuri; 101-40=61 gaini 27) Intr-un cos sunt mere, pere si caise, in total de fructe. Grupand numarul merelor, functie de numarul caiselor, se obtin patru grupe. Grupand numarul perelor, functie de numarul caiselor, se obtine o grupa iar de pere raman negrupate. Fiecare fruct este ambalat in cutiute de aceeasi marime, la fel colorate. a) Cate mere, pere, respectiv caise sunt in cos? b) Care este probabilitatea ca luand la intamplare o cutiuta, aceasta sa contina un mar? c) Care este probabilitatea la luand la intamplare doua cutiute, ambele sa contina caise?
ELEV: NUTA DANIEL, clasa IXa GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA
PROF STIRCU DIANA MIHAELA Solu�ie:
Mere-120, pere-50, caise-30. 6.0200120
)( ==marP
021.0)( 2200
230 ==
CC
caiseP
28) In jungla, pe malul unui rau, s-au intalnit trei canibali si trei turisti. Pe malul apei era ancorata o barca in care nu incap decat doi oameni. Un canibal si cei trei turisti stiau sa vasleasca. Cum traverseaza cei sase oameni raul, stiind ca pe acelasi mal nu trebuie sa ramana mai multi
44
canibali decat turisti. ELEV: VANATORU FLORIN, clasa IXa
GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA PROF STIRCU DIANA MIHAELA
Solu�ie: Canibalul care stie sa vasleasca trece peste rau un alt canibal, il lasa pe acel mal si se intoarce. Apoi, mai face o traversare cu celalalt canibal care nu stie sa vasleasca, il lasa pe mal si se intoarce. Pe urma trec raul doi turisti, un turist ramane pe acel mal, celalalt turist ia un canibal, care nu stie vasleasca, si il aduce inapoi. Un turist il ia pe canibalul care stie sa vasleasca si, il aduce inapoi pe canibalul care nu stie sa vasleasca. Apoi trec doi turisti si raman pe acel mal, canibalul care stie sa vasleasca se intoarce si, pe rand, trece pe celalalt mal pe cei doi canibali, care nu stiu sa vasleasca.
29) Trei copii: Marian, Gheorghe �i Andrei au câte un s�cule� de nuci. Marian are în s�cule� 300 de nuci,
Gheorghe are 35de nuci, iar Andrei are 97 de nuci. Fiind fra�i, se hot�r�sc s�-�i împart� nucile, astfel încât, fiecare,
s� aib� acela�i num�r de nuci. Marian, având cele mai multe nuci, îi d� lui Gheorghe o nuc�, iar lui Andrei atâtea nuci încât acum are de patru
ori mai multe nuci decât avea ini�ial. Dup� aceasta manevr�, Andrei are cele mai multe nuci. Andrei îi d� lui Gheorghe nuci, astfel încat acesta î�i dubleaz� num�rul
de nuci, iar lui Marian, care avea cele mai pu�ine nuci, îi d� nuci, încât num�rul nucilor lui Marian devine de 36 de
ori mai mare decît avea în s�cule�. Dup� aceast� manevr�, Marian are cele mai multe nuci.
45
Îi d� lui Gheorghe, cît �i lui Andrei atâtea nuci, încât numarul nucilor lor se dubleaz�. Dup� aceasta manevr�, fiecare copil are acela�i num�r de nuci.
Cîte nuci are fiecare copil, în mod egal?
ELEV: CALARASEANU ALEXANDRU, clasa aVI-a GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA
PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL Solu�ie: La inceput: Marian: 300 nuci; Gheorghe: 35 nuci; Andrei: 97 nuci Dupa prima manevra: Andrei: (nuci) ; Gheorghe : (nuci) Marian: (nuci) Dupa a doua manevra: Maian: (nuci) Gheorghe: (nuci); Andrei: (nuci) Dupa ultima manevra: Gheorghe: (nuci) Andrei: (nuci) Marian: (nuci) Proba:
46
30) Ionel are o cutie cu bomboane. El da jumãtate din numãrul bomboanelor colegilor de joaca, jumatate din numãrul bomboanelor rãmase le dã fratelui lui, ceea ce i-a mai rãmas împarte în mod egal cu bunica. Constatã cã lui i-au mai rãmas 3 bomboane. Câte bomboane au fost în cutie?
ELEV: FIRU IONUT, clasa VIa GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA
PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL Solu�ie: 24 de bomboane 31) Ce numar adunat cu el însusi sau înmutit cu el însusi da acelasi rezultat?
ELEV: GRECU VALENTIN, clasa VIa GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA
PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL Solu�ie: 2 32) Avem doua numere naturale, diferite de zero. Cu ele efectuam cele patru operatii: adunare, scadere, inmultire si impartire. Rezultatele le adunam si obtinem 200. Aflati numerele.
ELEV: MANDA DAMARIS, clasa VIa GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA
PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL Solu�ie: 50+1+50-1+50*1+50/1=200 33)
Broa�tele
Într-o zi, mai pe-nserat,
trei pescari st�teau la sfat:
47
Veni, Vidi �i cu Vici Sub o salcie pletoas�, pe marginea unui lac.
Pe�tii mari când îi v�zur�,
capetele le varâr�, în n�mol,
cât mai ad�nc.
Veni,
suparat, nevoie mare,
a-nceput s� numere, bro�tele din lac.
�apte broa�te el z�ri, fiecare,
oac, oac, oac.
Vici,
z�ri un brotac, de trei ori, oac, oac, oac, oac
apoi, înc� trei de oac.
Vidi,
foarte elegant,
a-nceput s� numere, câte oac, oac, oac
48
au cîntat, toate
broa�tele din lac.
Câte?
ELEV: ISTRATE ANDREEA , clasa aV-a GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA
PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA Solu�ie: Veni:
Vici:
Vidi a numarat de 34)
Balta si broastele Marilu si Mariflu, doua broaste saltarete, impreuna cu de mormoloci, locuiesc intr-o balta la marginea unui oras. Marflu are cu de mormoloci mai mult decat Marilu. Au compartimentat balta, astfel incat: mormoloci ai lui Mariflu sa aiba un compartiment de metri cubi de apa, iar mormoloci ai lui Marilu sa aiba un compartimet de
49
metri cubi de apa. Marilu si Mariflu, fiecare, cate un compartimet de metri cubi de apa. Cati metri cubi de apa are balta?
ELEV: PETRIC MARIA, clasa Va GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA
PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA Solu�ie: Prin metoda figurativa: Marilu: |__________| Mariflu: |__________|___ ___| Marilu + Mariflu: |__________|__________|___ ___|
Marilu: mormoloci Mariflu: mormoloci Pentru mormolocii lui Mariflu:
Pentru mormolocii lui Marilu:
Marilu + Mariflu Balta are: 260m 3 35) Sa se afle cinci numere naturale, diferite de zero, stiind ca: impartind pe primul la al doilea se obtine catul si restul , impartind pe al treilea la al cincilea se obtine catul si restul , iar impartind pe al doilea la al treilea, pe al treilea la al patrulea, pe al patrulea la al
50
cincilea, se obtine, de fiecare data, catul si restul . ELEV: MITROI ANDREEA, clasa Va
GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA
Solu�ie: al 5-lea numar este 17 !! 36) Sa se determine cifrele naturale , stiind ca :
ELEV: VOICU ANDREI, clasa Va
GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA
Solu�ie: al 5-lea numar este 17 !! 37) Sa se determine cifrele naturale , stiind ca :
ELEV: VOICU ANDREI, clasa Va
GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA
Solu�ie: { }8;2;1 ; { }7;3;1 ; { }6;4;1 ; { }6;3;2 ; { }5;4;2 Selec�ie realizat� de prof. Marinela Preoteasa,
C. N. V « N. Titulescu », Slatina, Olt
51
Premiile ob�inute în cadrul proiectului interjude�ean « Magia
numerelor », pe sec�iuni 1. Sec�iunea : “C�l�torie în �ara cifrelor �i rebusuri matematice”-19.10.2008-4.11.2009 2 premii I ob�inute de elevii :
- Tisanu Ana-Maria, �c.Achim Popescu,P�u�e�ti M�gla�i,Vâlcea,
prof. îndrum�tor Borcea Nicoleta, cu lucrarea „C�l�torie în �ara Cifrelor”
- Grupul de elevi:Dorina Chivu, Mihaela Ruican, Alexandra Barbu, cls. a XII-a, Gr. Sc. „Horia Vintil�”, Segarcea –Dolj,
prof. îndrum�tor Mirea Mihaela Mioara, cu lucrarea “ Matematica �i existen�a mea” 2 premii II ob�inute de elevii : - Antonescu Raluca, �coala „Liviu Rebreanu” Mioveni, jude�ul Arge�, cls. a V-a,
prof. îndrum�tor Antonescu Liliana, cu eseul „ Cifre...numere...”
- Andreea Istrate, Sc. „Horia Vintil�”, Segarcea –Dolj, cls. aXII-a,
prof. .îndrum�tor Dr�ghici Ani, cu lucrarea “Despre num�rul de aur (Phi si phi)”
- Ene Denis, Sc. cu cls. I-VIII „Gh. Popescu”M�rgineni-Slobozia, jud. Olt,cls. aV-a
prof. îndrum�tor Tra�c� Iuliana, cu rebusul „Numere naturale”
3 premii III ob�inute de elevii : 52
-Bianca Andreea S�vulescu, �c. Nr.3 „Ion Pillat” Pite�ti, Arge�, cls. aVII-a, prof. îndrum�tor Nicolae Carmen cu lucrarea: “Vraja metaforei �i magia numerelor”
- Sârbu Cristina , Colegiul Na�ional Voca�ional ”N. Titulescu” Slatina-Olt, cls. a X-a F2,
prof. îndrum�tor Preoteasa Marinela, cu poezia „ Crezul elevului ’’.
- Cristina Dr�goianu, Gr. Sc. “Charles Laugier”,cls. a X-a, prof. îndrum�tor Sorin Birsan
3 men�iuni ob�inute de elevii : -Cruceru Cristina, Sc. T�tule�ti-Olt, cls. a VII-a prof. îndrum�tor Diaconescu Diana, cu „ Rebusuri diverse”
- Onete Gabriela, �c.”Achim Popescu”, P�u�e�ti M�gla�i,Vâlcea, prof. îndrum�tor Borcea Nicoleta, cu lucrarea„Lumea numerelor” - Stan Mihai,Colegiul National” Gh. Chitu”Craiova, cls. a XII-a E, prof. îndrum�tor Ion Daniel, cu „Rebus Geometric” Sec�iunea: 2) “Matematic� aplicat�-POLIGONIA �i amuzamente matematice” 5.11-21.11.2009 2 premii I ob�inute de elevii :
-Diaconescu Laura, cls. a VI-a, �c.Achim Popescu, P�u�e�ti M�gla�i,Vâlcea, prof. îndrum�tor Cotoarb� Cristian -Dumitru Alexandru,cls. a VIII-a, Sc. Gen. Nr. 2 Caracal, Olt, prof. îndrum�tor Negril� Victoria
53
2 premii II ob�inute de elevii : -Tudor Alexandru , cls. aVIII-a, �c.Achim Popescu, P�u�e�ti M�gla�i,Vâlcea, prof. îndrum�tor Borcea Nicoleta - Badea Valentin, Sc. cu cls. I-VIII „Gh. Popescu” M�rgineni-Slobozia, jud. Olt,cls. aVI-a prof. îndrum�tor Tra�c� Iuliana
3 premii III ob�inute de elevii : -Dobre Maria Daniela, cls. a VIII-a, Sc. Gen. Nr. 2 Caracal, Olt, prof. îndrum�tor Negril� Victoria -Tomulescu Ionu�, �coala „Liviu Rebreanu” Mioveni, jude�ul Arge�, cls. a V-a, prof. îndrum�tor Antonescu Liliana - Vlad Mariana, cls. A VII-a B , Sc. Colone�ti, jud. Olt, prof. îndrum�tor Celmare Mirela
2 men�iuni ob�inute de elevii : -Du�� Andreea, Sc. T�tule�ti-Olt, cls. a VII-a prof. îndrum�tor Diaconescu Diana.
-Du�� Georgeta, Sc. cu cls. I-VIII „Gh. Popescu” M�rgineni- Slobozia, jud. Olt,cls. aVI-a prof. îndrum�tor Tra�c� Iuliana Sectiunea 3 “Concursul –MAGIA NUMERELOR-Probleme distractive” 23.11-11.12.2009 Rezultatele pe jude�e au fost urm�toarele : Jud. OLT: Premiul I - Radu Patricia Loredana, cls.a XI-a, C.N.V. “N. Titulescu”, Slatina, prof. îndrum�tor Preoteasa Marinela
54
- Vladu Lauren�iu, cls. aVI-a, �c. cu cls. I-VIII “Gh. Popescu” M�rgineni-Slobozia, prof. îndrum. Tra�c� Iuliana, Premiul al II-lea - Grigore Lavinia, cls. aVIII-a, Sc. Gen. nr. 2 Caracal, prof. îndrum. Negril� Victori�a - Cotoi Carmen Adelina, cls.a XI-a, C.N.V. “N. Titulescu”, Slatina , prof. îndrum. Preoteasa Marinela Premiul al III-lea - B�tut-Andrei Nicoleta, cls. a VI-a, �c. cu cls. I-VIII T�tule�ti, prof. îndrum. Diaconescu Diana - Andronescu Oana, cls. aVIII-a, Sc. Gen. nr. 2 Caracal, prof. îndrum. Negril� Victori�a -Giugulea Alina, cls. a VII-a, �c. cu cls. I-VIII “Av. A. �erb�nescu”Colone�ti-Olt, prof. îndrum. Celmare Mirela MEN�IUNE - Bo�neag Alessia, cls. a VII-a, �c. cu cls. I-VIII “Av. A. �erb�nescu”Colone�ti-Olt, prof. îndrum. Celmare Mirela - Troan� Valentina, cls. aVI-a, �c. cu cls. I-VIII “Gh. Popescu” M�rgineni-Slobozia, prof. îndrum. Tra�c� Iuliana - Cruceru Irina,cls. aVII-a, �c. cu cls. I-VIII T�tule�ti, prof. îndrum. Diaconescu Diana Jud. DOLJ MOCANU MIHAI ALEXANDRU,clasa a XI-a , Locul III, C.N.E.”GH.CHI�U”-CRAIOVA PROF. RADU SIMONA
55
SANDU COSMIN ALEXANDRU clasa a XII-a , Locul I , CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA PROF.ION DANIEL CHIVU DORINA, clasaXII-a , Locul II,GRUP SCOLAR “HORIA VINTILA” SEGARCEA PROF MIREA MIHAELA MIOARA VANATORU FLORIN, clasa aIX-a, Locul II GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA PROF STIRCU DIANA MIHAELA CHIULIGA ALEXANDRU, clasa aX-a Locul III GRUP SCOLAR “CHARLES LAUGIER” CRAIOVA PROF BIRSAN SORIN PANUTI IOANAclasa a VIII-a, Men�iune, CNE ,,GH. CHITU’’ CRAIOVA PROF STIRCU ADRIAN TEODOR GRECU VALENTIN, clasa a VI-a, Men�iune GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA PROF SPIRIDIN CATALIN IRINEL ISTRATE ANDREEA , clasa aV-a, Locul I GRUP SCOLAR ELECTROPUTERE CRAIOVA PROF SPIRIDIN CRISTINA ILEANA Jud. VÂLCEA PREMIUL I – B�z�van Monica-cls.a-VIII-a (prof.Borcea Nicoleta,�c.cu cls. I-VIII”Achim Popescu”, P�u�e�ti M�gla�i)
56
PREMIUL II – Catrina Andreea Roxana - cls.a-VIII-a (prof.Smarandache Cristina,Gr.�c. Sanitar”Antim Ivireanul”,Rm.Valcea) PREMIUL III – R�du� Constantin - cls.a-VII-a (prof.Cotoarb� Cristian, �c.cu cls. I-VIII”Achim Popescu”,P�u�e�ti M�gla�i) - Diaconescu Laura - cls.a-VI-a (prof.Cotoarb� Cristian, �c.cu cls.I-VIII”Achim Popescu”,P�u�e�ti M�gla�i) MEN�IUNE - Mireanu Alexandru-cls.a-VII-a (prof.Smarandache Cristina, Gr.�c Sanitar”Antim Ivireanul”,Rm.Valcea) - Br�nescu Lavininia-cls.a-VIII-a (prof.Borcea Nicoleta, �c.cu cls.I-VIII”Achim Popescu”,P�u�e�ti M�gla�i) Jud. ARGE� Premiul I: - Dobra Andrei, clasa a V-a , �c. “Liviu Rebreanu”, Mioveni, prof. Antonescu Liliana - Vlasceanu Carmen, cls. aVI-a, �c. “Liviu Rebreanu”, Mioveni, prof. Radulescu Mariana Premiul al II-lea:
- Matei Dragos, clasa a VI-a, �c. Leice�ti, prof. Antonescu Marius - Oprea Andra, clasa a VII-a, �c. nr. 3 “Ion Pillat” , prof. Nicolae Carmen
57
Premiul al III-lea: - Uta Iulia, clasa a VII-a, �c. “Liviu Rebreanu”, Mioveni, prof. Antonescu Liliana - Nitulescu Sonia, clasa a VII-a, �c. “Liviu Rebreanu”, Mioveni ,prof. Radulescu Mariana MEN�IUNE - Buzea Diana, clasa a VIII-a, �c. nr. 3 “Ion Pillat” , prof. Nicolae Carmen
- Miuta Alexandru, clasa a VIII-a, �c. Leice�ti , prof. Antonescu Marius MINISTERUL EDUCA�IEI, CERCET�RII, TINERETULUI �I SPORTULUI INSPECTORATUL �COLAR AL JUDE�ULUI OLT �COALA CU CLS.I-VIII „STEFAN PROTOPOPESCU” SLATINA CONCURSUL INTERDISCIPLINAR „± POEZIE”
Faza jude�ean� - 27 martie 2010 clasele a V-a
R E Z U L T A T E
Nr. crt.
Numele �i prenumele
Cls.
�coala de provenien��
Punctaj
1. Alexe Octavian Alexandru
V �coala cu cls.I-VIII „Ion Graure” B�lteni
97
2. ANDRONACHE DANIEL
V �c cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
112
3. BALAN PAUL V L.P.S. Slatina 83 4. Bianica Alexandru V L.P.S. Slatina 100 5. BLA�A OANA V L.P.S. Slatina 95 6. Briceag Loredana V C.N.V.„N.T” Slatina 78
58
7. BRICEAG LOREDANA
V C.N.V.„N.Titulescu” Slatina
78
8. BROJBAN BIANCA
V �coala „V.Vod�” Slatina
100
9. BULIGIOIU MADALINA
V L.P.S. Slatina 74
10. CARCIUMARU VLAD
V �coala N.Titulescu Caracal
60
11. CÂRSTEA SEBASTIAN MARIAN
V �coala cu cls.I-VIII Stoic�ne�ti
82
12. CHIRIAC MARIA
V �coala „E.Ionescu” Slatina
129
13. CIOBANU ANA-MARIA
V C.N.”R.Greceanu” Slatina
57
14. CIOC STEFANIA V �coala „V.Vod�” Slatina
115
15. COSTEA MARIA
V Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
101,5
16. COSTEA DRAGOS
V �c„C.Brancoveanu” Slatina
82
17. CUCU Adelina V L.P.S. Slatina 115 18. DNICA
Lauren�iu Ionu� V C.N.”R.Greceanu”
Slatina 70
19. Diaconu Andreea V �c „G.Poboran „Slatina 76,25 20. DIMITRIU Florin V C.N.V.„N.T” Slatina 85,5 21. DRAGONU
Petru�a Alexandra V C.N.”R.Greceanu”
Slatina 46
22. DUMITRESCU ANDREEA
V �c cu cls.I-VIII Scornice�ti
40,25
23. ENACHE FLORIN
V �c cu cls.I-VIII Nr.3 Caracal
90
24. ENE SIMONA V �c „C.Brancoveanu” Sl 95 25. FINTA OVIDIU V L.P.S. Slatina 112 26. GAVRILA
ANDREI V L.P.S. Slatina 98
59
27. GHILA ALEXANDRU
V L.P.S. Slatina 100
28. GHIRA ANDREAS
V L.P.S. Slatina 110
29. GRIGORAS GABRIEL
V C.N.”R.Greceanu” Slatina
94
30. GUTICA LUCIAN
V �coala „V.Vod�” Slatina
118
31. ION ANA MARIA
V �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Slatina
85
32. IONESCU CONSTANTIN
V �coala „C.Brancoveanu” Slatina
84
33. IVAN MIRUNA V C.N.”R.Greceanu” Slatina
112
34. LUCA MIHAI CATALIN
V �coala „E.Ionescu” Slatina
96
35. MILAREZ RAZVAN
V L.P.S. Slatina 119
36. NINCIU ROBERT
V �coala „V.Vod�” Slatina
95
37. MINZAT ROBERT
V L.P.S. Slatina 102
38. MOCANU ANDREEA
V �coala „E.Ionescu” Slatina
119,5
39. MOISE BIANCA V L.P.S. Slatina 94 40. MONEA
GEORGE V �coala. „V.Vod�”
Slatina 86
41. MOREA Lorena V �c„E.Ionescu” Sl 89 42. NICOLAE
CAMELIA V �coala „E.Ionescu”
Slatina 108
43. NICOLESCU Elena Raluca
V �coala cu cls.I-VIII Stoic�ne�ti
98,5
44. NICU RAZVAN V �coala „G.Poboran „Slatina
123
60
45. PAN ADRIANA
V �coala „E.Ionescu” Slatina
99,5
46. PARASCHIV ALEXANDRA
V �coala „E.Ionescu” Slatina
79
47. PATRASCU ALIN
V �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
106
48. PTRA�CU CRISTIAN
V �coala N.Titulescu Caracal
123,5
49. PEICEA RALUCA
V �coala cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
85,5
50. PETRE GABRIEL
V �coala „G.Poboran „Slatina
82
51. PIROSCA RADU V �coala „E.Ionescu” Slatina
118
52. PIRVU ADRIANA
V �coala „E.Ionescu” Slatina
99
53. POSIRCA ALEXANDRU
V L.P.S. Slatina 101
54. PREDA ALINA V �c cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
111
55. PREDUT VICTOR
V �coala „V.Vod�” Slatina
97
56. RADULESCU EMA
V L.P.S. Slatina 127
57. RUSU DIANA ALEXANDRA
V L.P.S. Slatina 108
58. SAFTA ALINA V �c „E.Ionescu” Slatina
107
59. SANDU Cristina NICOLETA
V �coala cu cls.I-VIII �c .Nr.3 Caracal
81
60. SFTOSU BIANCA
V �c cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
118
61. STAN DIANA V L.P.S. Slatina 83 62. STAN ROXANA V �coala „V.Vod�”
Slatina 67
61
63. STANCU MIHAELA
V L.P.S. Slatina 62
64. STEFANESCU MIHAELA
V �coala „E.Ionescu” Slatina
87
65. STOICA SORINA
V �coala cu cls.I-VIII Scornice�ti
68,5
66. SUSOIU ALEXANDRA
V C.N.V.„N.Titulescu” Slatina
121
67. �ERBNIC Octavian Mihail
V �coala „G.Poboran „Slatina
65
68. TANASESCU Scarlat Chrys
V �c„C.Brancoveanu” Slatina
81
69. TOMESCU DOINA
V Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
93
70. TORCEA DAN V �c N.Titulescu Caracal
65
71. TRSNEA ALEXANDRU
V �coala „V.Vod�” Slatina
83
72. UNGUREANU ANDREEA
V �c cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
72
73. VATRAI IOANA MARIANA
V �coala cu cls.I-VIII „Ion Graure” B�lteni
63
74. Vava Teia Andrada
V L.P.S. Slatina 135
75. VIERU Andrada Natali
V �coala cu cls.I-VIII Stoic�ne�ti
92,5
76. VILCEA DARIUS
V �c„C.Brancoveanu” Slatina
66
77. VODITA �tefan V �coala „E.Ionescu” Sl 121,5
Inspector �colar de lb. �i lit.român� Inspector �colar de matematic� Prof. Victor IACOBESCU Prof. Aurelia STANCIU
D i r e c t o r,
Prof. MIHAELA PIRN�
62
clasele a VI-a,
R E Z U L T A T E Nr.crt. Numele �i
prenumele Cls. �coala de provenien�� Punct
aj. 1 ABAGIU
TEODOR VI C.N.I.Minulescu Slatina 69
2 ALEXANDRU IRINA
VI �coala „V.Vod�” Slatina 96
3 AMZA GEORGIANA
VI C.N.”R.Greceanu” Slatina
71
4 ANDREI IOANA CORINA
VI C.N.A.I.Cuza Corabia 88
5 BABICEANU FLORIN
VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
59
6 BADEA CAMELIA
VI �coala cu cls.I-VIII Scornice�ti
62
7 BADEA DIANA VI C.N.V.„N.Titulescu” Slatina
72
8 BANULESCU ALIN
VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
54
9 BARANCEA GABRIEL
VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
92
10 BCNARU RAMONA
VI C.N.V.„N.Titulescu” Slatina
104
11 Barbuia Raluca VI �c „E.Ionescu” Slatina 76 12 Bezn� Ana Maria VI �c „E.Ionescu” Slatina 68 13 Bistriceanu Isabela VI �coala „G.Poboran” Sl. 95 14 Boroghin� Gabriel VI �c „E.Ionescu” Slatina 89 15 Burcioiu R�ducu VI L.P.S. Slatina 55 16 BURUNTIA
CRISTINA VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil
Mazilescu” Corabia 81
17 CATRINA ANCA MARIA
VI Scoala cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
80
18 CIOCIRLAN Forescu Helen
VI �coala „C.Brancoveanu” Slatina
76
63
19 CIRJAN LARISA VI L.P.S. Slatina 74 20 CIUREZU
MARINA VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil
Mazilescu” Corabia 89
21 CONSTANDA ALEXANDRA
VI �coala „C.Brancoveanu” Slatina
75
22 CO�EREA LARISA
VI C.N.V.„N.Titulescu” Slatina
67
23 CRCIUN MUGUREL
VI �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
78
24 CRUCERU CRISTINA
VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
47
25 DIMA IOANA VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
132
26 DINU Gabriela VI C.N.V.„N.Titulescu” Sl 55 27 DORI� ALINA VI C.N.V.„N.Titulescu” Sl 69 28 DRAGHICI
GEORGIANA VI C.N.I.Minulescu Slatina 58
29 DUMITRESCU CRISTINA
VI �coala „V.Vod�” Slatina 57
30 FIERBÂNTU CRISTINA
VI �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
81
31 FILIP ALEXANDRU
VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
105
32 GEORGESCU MALVINA
VI �coala N.Titulescu Caracal
79
33 GHEORGHE CRISTI
VI �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Slatina
96,5
34 GHEORGHI�OR CLIN
VI �coala „V.Vod�” Slatina 99
35 GUTAN GEORGIANA
VI �coala „C.Brancoveanu” Slatina
77
36 ILIE ANAMARIA VI �coala „G.Poboran „Slatina
92,5
37 ILIESCU IONUT VI �coala „C.Brancoveanu” Slatina
69
64
38 IOAN BOGDAN VI L.P.S. Slatina 116,5 39 JOIA
ALEXANDRA STEFANIA
VI Scoala cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Slatina
110
40 LITA RHEEA VI C.N.I.Minulescu Slatina 91,5 41 LUNGU ELENA
MDLINA VI �coala cu cls.I-VIII
Stoic�ne�ti 93
42 MANEA ANA ELEONORA
VI C.N.A.I.Cuza Corabia 109
43 MARICA ELENA VI �coala „E.Ionescu” Slatina
100
44 MARIN IONUT FAVIUS
VI C.N.I.Minulescu Slatina 55
45 MARINICA MADALINA
VI L.P.S. Slatina 38,52
46 MARTIN DIANA GABRIELA
VI �coala „G.Poboran „Slatina
101
47 MATEESCU LAURA MARIA
VI Sc cu cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
60
48 MILITARU STEFANIA
VI C.N.I.Minulescu Slatina 89,5
49 MITITELU ANDREI
VI �c cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
89
50 MOGOS OANA CRISTINA
VI C.N.A.I.Cuza Corabia 63
51 MOISIU OLIMPIA
VI L.P.S. Slatina 74,5
52 NEDA GEORGIANA
VI �coala „V.Vod�” Slatina 64
53 NICOLAE CRISTINA
VI L.P.S. Slatina 80
54 Nicolae M�dalina VI L.P.S. Slatina 60 55 NITA GABRIEL VI L.P.S. Slatina 97 56 Pantelimon Denisa VI �coala „E.Ionescu” Sl 130 57 PUNA� George
Razvan VI �coala cu cls.I-VIII
Stoic�ne�ti 52
65
58 POPESCU SORIN
VI C.N.”R.Greceanu” Slatina
94
59 PRODAN IOANA MARIA
VI �coala „G.Poboran „Slatina
82
60 PUFULETE CARMEN
VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
101
61 PUIU DNU� IULIAN
VI �coala cu cls.I-VIII Stoic�ne�ti
44
62 RADULESCU DAN
VI C.N.I.Minulescu Slatina 116
63 RISTEA Mihaela VI L.P.S. Slatina 98 64 ROGOJINARU
ANDRADA VI �coala „V.Vod�” Slatina 114
65 ROSCA ALEXANDRA
VI �coala N.Titulescu Caracal
105
66 SANDU ELENA VI C.N.I.Minulescu Slatina 92 67 SERBAN
CAMELIA VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil
Mazilescu” Corabia 112
68 STANILA ANTONIO
VI �coala „V.Vod�” Slatina 89,5
69 STEFAN GEORGE
VI �coala „E.Ionescu” Slatina
58
70 TOANA ADRIAN VI C.N.I.Minulescu Slatina 72 71 TOMA
ANDREEA VI �coala cu cls.I-VIII
Scornice�ti 76
72 TRITESCU IONELA
VI C.N.I.Minulescu Slatina 84,5
73 TRU�C ELENA MONICA
VI �coala „G.Poboran „Slatina
108
74 VTUI ADRIAN VI �coala cu Cls.I-VIII „St.Protopopescu” Sl
89,5
75 ZAMFIR CRISTINA
VI Sc. cu cls.I-VIII „Virgil Mazilescu” Corabia
96
Inspector �colar de lb. �i lit.român� Inspector �colar de matematic� Prof. Victor IACOBESCU Prof. Aurelia STANCIU
D i r e c t o r, Prof. MIHAELA PIRN�
66
Note observative �i propuneri, din partea cititorului :
. . .
67
68
I.S.S.N.1222-5592 *
* Propuneri, sugestii, nemul�umiri, solu�ii, se PRIMESC pe adresa:
*Prof. Preoteasa Marinela, Colegiul Na�ional „ N. Titulescu”, Slatina, str. Aleea Rozelor, nr.5, localitatea Slatina, Judl Olt,
cod p 230041;
Sau: Ed. CuArt, Str. Mân�stirii; nr.7; 1C; ap.13; Slatina; J. Olt;
Cod p 230038; cu specificarea:
Pentru red.�ef MxM, prof. Marinela Preoteasa
email [email protected]
*Profesori, înv���tori, studen�i dac� vor s� fie activi în via�a revistei de matematic� MxM s� ia leg�tura prin telefon sau
coresponden��. *Problemele �i exerci�iile propuse s� fie înso�ite de solu�ii; *rezolvitorii �i propun�torii vor fi nominaliza�i în num�rul urm�tor, cu punctajul ob�inut la materialele valide, astfel: - Fiecare problem� rezolvat� bine este notat� cu 5 puncte;
- Fiecare problem� propus� publicat� este notat� cu 10 puncte; - Fiecare solu�ie deosebit� publicat� este notat� cu 15 puncte;
- Fiecare articol publicat este notat cu 20 puncte; *** Cu men�iunea c� acest punctaj este numai pentru elevi.
***Semestrial se vor acorda diplome �i premii. *Pentru comenzi mai mari decât 100 reviste, acord�m
reducere de 20%; *COMENZI, sugestii �i alte probleme speciale :
tel. 0249-418864; 0721-204698; *** Ne intereseaz� DISTRIBUITORI!***
***EDIT�M, cu ISBN, ÎN TIRAJ de la MIN. 50 exemplare -timp de execu�ie minim 7 zile
Pre�: 5.9 lei
**************************