-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
1/36
MATEMATICA BASICA
I
. Semana 3
2016 - 0
LA COORDINACION
CLASE 1: INECUACIONESPOLINOMICAS_RACIONALES
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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Inecuación Polinomial.- Es toda desigualdad donde el primer
miembro es un polinomio y el segundo miembro es el número
real cero.
Coeficientes:
Es decir; toda expresión algebraica de la forma
Conjunto Solucion: Son todos los números reales que
verifican la desigualdad. (
MB
La CoordinacionMATEMATICA BASICA
INECUACIONES
Definicion.- Es una desigualdad que contiene una o varias
variables. En nuestro caso solamente consideraremosinecuaciones con una sola variable.
!
" # !
n
n p( x ) a a x a x ... a x= + + + +
# ! na ,a ,...,a "n ; , a ≠
p(x "$> p(x "$≥ p(x "$< p(x "≤
sC
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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Observación 1: La expe!"#n $%a&'("$a &e )a*+ma:
e! "e&%$",)e !" n+ !e p%e&e expe!a en *a$(+e!
)"nea)e! en IR .
Si el grado de es igual a ! ó %$ las desigualdades
$ $ $
se llaman desigualdades de segundo ó tercer grado
MB
La CoordinacionMATEMATICA BASICA
INECUACION DE SEGUNDO Y E!CE! G!ADO
O"#e$%ación &: &lamaremos 'unto# c$(tico# de un polinomio
a las ra'ces de la ecuación
p( x ) p(x "> p(x "≥ p(x "< p(x "≤
! "ax bx c, a+ + ≠
" p( x ) =
p( x )
!
p( x ) ax bx c= + +% !
p( x ) ax bx cx d = + + + "a ≠
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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ara resolver las inecuaciones polinomiales por )ste m)todo se
procede en la forma siguiente:
&)* Cada factor lineal se iguala a cero para *allar los puntos cr'ticos
MB
La CoordinacionMATEMATICA BASICA
M+to,o a"$e%ia,o 'a$a $e#ol%e$ inecuacione#
)* +actori,ar el polinomio como producto de factores lineales y-o
cuadrticos. &os factores cuadrticos irreducibles se eliminan.
)* Se ubican los puntos cr'ticos sobre la recta real de menor a
mayor.
/)* Se determinan tantos intervalos como puntos cr'ticos se
obtengan y se etiquetan los intervalos de derec*a *aciai,quierda con signos en forma alternada *asta
terminar.
ó+ −
-
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(unión de intervalos abiertos con signos positivos
0)* Se escribe el con/unto solución de la inecuación según la regla
siguiente :
MB
La CoordinacionMATEMATICA BASICA
a*
(unión de intervalos cerrados con signos positivos
"*
(unión de intervalos abiertos con signos negativo
c*
(unión de intervalos cerrados con signos negativo
,*
s p(x " C> ⇒ = ∪ +
[ ]s p(x " C≥ ⇒ = ∪ +
s p(x " C< ⇒ = ∪ −
[ ]s p(x " C≤ ⇒ = ∪ −
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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La Coordinacion
Eje$cicio .0 1esolver la inecuación$
Solución.-
2
2
+
! &os puntos cr / ticos (p.c son ! y % .
% 3bicamos los p.c. en la recta real y se tiene
3
+
4 Elegimos el intervalo que tiene el signo5 6 7
# +actori,ando:
MB
MATEMATICA BASICA
! 4 8 " x x− + <
( %( ! " x x− − <
!$% x ∈
!$%CS ∴ =
-
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-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
8/36
La Coordinacion
e$c c o#:
4. Expe!e en *+ma &e "n(ea)+! )+!$+n%n(+!:
MB
7. Resuelva las siguientes inecuaciones en
:
MATEMATICA BASICA
2 6 Adicional. Resolver 2
x 1 2x 1− <
− +
3 2
3 2 2
3 2 3 2
3 2
a) x 2x x 2
!) 2x 3x 11x 6 e) x "x 1) 6x
c) x 5x 13x 7 # ) 12x $x 3x 1
d) x 3x 13x 15
+ − − ≤
+ − − ≤ + <
− − − ≤ + − − >
− − + >
{ }a) A x % 3x 1 11x 17= ∈ − ≥ −R x
!) C x % 5"x 1) 11
7
= ∈ + −
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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V APLICACIONES
na *tica roduce deter,inado n,ero de lentes /i
dulica su roducci*n 0 vende 6 le uedan ,s de 26 ero
si !aara su roducci*n a la tercera arte 0 vendiera 54entonces tendra ,enos de 1 ares de lentes. Cuntos
ares de lentes se #a!ricaron
Solución
8,ero de lentes #a!ricados: xLa co,a9a dulica su roducci*n 0 vende 6: 2x-6
ero le uedan ,s de 26: 2x-6 ; 26
/i !aa su roducci*n a la tercera arte 0 vende 5: x%3 < 5
=endra ,enos de 1:'s decir4 el n,ero de lentes #a!ricados de!e ser >,a0or
ue $3? ero >,enor ue $5?4 x@$$.
Rpta. /e #a!ricaron $$ ares de lentes.
MATEMATICA BASICA La C++&"na$"+n
⇒
⇒
⇒
⇒
-
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-
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3. 'l costo de roducir x taretas de video or
da est dado or . /i Dstasse ueden vender a 1$ nuevos soles cada
una4 cuntas taretas de!en roducirse 0
venderse ara o!tener utilidades diarias de al
,enos E nuevos soles
MATEMATICA BASICA La C++&"na$"+n
2C 3 7x x= + +
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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INECUACIONES RACIONALES
Lic. CESAR A. AVILA CELIS 12
MB
Las inecuaciones racionales reducidas a su ,s si,le exresi*n to,an
la #or,a
"x) 0 "x)@: olino,ios de grados , 0 n resectiva,ente ",Fn).
ara resolver este tio de inecuaciones4 es si,ilar a Gnecuaciones
olino,icas en e#ecto4 co,o "x)@ entonces ,ultilicando
a cada una de las inecuaciones anteriores4 tene,os las inecuaciones
euivalente:
MATEMATICA BASICA
< > ≤ ≥:"x) :"x) :"x) :"x)
4 4 4
"x) "x) "x) "x)
!( "Q x >
< ≠ ≤ ≠
> ≠ ≥ ≠
:"x)"x) 4"x) :"x)"x) 4"x)
:"x)"x) 4"x) :"x)"x) 4"x)
-
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L"$. CESAR A. AILA CELIS
/e escri!e el conunto soluci*n de la inecuaci*n de acuerdo a los siguientes casos:
Solución
MATEMATICA BASICA
( )
< ⇔
>
≥ ⇔ ∈
−
∈ +
∈
⇔
U
U
U+"x)
3) 4 x de todos los intervalos de extre,os cerrados"x)
en los +untos cr5ticos de + x 4 0 extre,os a!iertos
+"x)1) 4 x
"x
+"x)
en
2)
lo
)
s
4 x"x)
+unt ( )
( )
≤ ⇔ ∈U+"x)
$) 4 x de todos los intervalos de extre,os cerrados
"x)
os cr5ticos de x 4 todos con
en los +untos cr
signos
5ticos de + x 4 0 extre,os a!
+ositivo
iert
s.
os
( ) en los +untos cr5ticos de x 4 todos con signos
negativos.
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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'e,lo 1.
a) Expe!e en *+ma &e "n(ea)+! e) $+n%n(+ Solución:
L"$. CESAR A. AILA CELIS
0 145
< ++
MATEMATICA BASICA
1
A x % 5x
= ∈ > R
1 1 1 5xx A : 5 5
x x x
5x 1
x
1untos crticos : 4
5x 4 1 % 5
C/ : A 4 1% 5
−∈ > ⇒ − > ⇒ >
−⇒ <
∈
=
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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1. e) 'xrese en #or,a de intervalos el conunto
6. &ado los conuntos
Halle
(. =ene,os los conuntos
&eter,ine
Alicaciones
1. edro tiene cierta cantidad de dinero. /e co,r* una ca,isa de /%.
E 0 le ueda ,enos de la tercera arte de lo ue tena. /i la ca,isa leHu!iese costado /%1E ,s4 le uedara ,s de /%2. Cunto dinero
tena si se sa!e ue es divisi!le entre tres
L"$. CESAR A. AILA CELISMATEMATICA BASICA
2
32 x $' x %
x 2 x 2x $
= ∈ ≥ − − +− R
{ }2
2x 1 A x % 0 I x % x 1 x 2
− = ∈ ≤ = ∈ + > + R R
C"A I) .∪
2x x x 1 A x 0 I x % 1 .
x 1 x 1 x 2− = ∈ ≤ = ∈
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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Ee$"$"+!:
1. Expe!e en *+ma &e "n(ea)+! )+! $+n%n(+!:
. S" &e(em"ne )+! a)+e! &e a 7 , (a) 8%e
5. Da&+! )+! $+n%n(+!
9a))e
. Da&+! )+! $+n%n(+!
10.Da&+! )+! $+n%n(+!
9a))e: a; ,;
L"$. CESAR A. AILA CELISMATEMATICA BASICA
x 3 x 1C x x 2 x 2
+ + = ∈ ≤ − + R 4
$
2
x $
J x % 2 5x 2
− = ∈ ≤ ≤ + R
]x 145 4∈ 2x 3 a4!x 1
+∈ +
{ }23
A x % 1 0 I x % x x 6 .
x 1
= ∈ ≥ = ∈ − >
−
R R A I∩
2 2
2
x 5 x x 1 x $ A x % 1 1 0 I x % 4
$ x 1 x 2 x x 2
− + += ∈ − ≤ ≤ = ∈ ≥ −
+ − − − R R
Cdeter,ine "A I)−
1 3x 1 7 1 A x % $ 0 I x % 2 .
x x x $ x 2
+ = ∈ < < = ∈ + < − − +
R R
A I− ( )C
C A I∪
-
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MATEMÁTICA BÁSICA
/e,ana 3 - Clase 2:
PROGRAMA DEESTUDIOS BÁSICOS
20! "0
CESAR A# AVILA CELIS
Ecuacion$% $ In$cuacion$% con Valo& A'%oluto
MB
-
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VALOR ABSOLUTO
&e#inici*n. ( Lla,are,os valor a!soluto del n,ero real a4denotado or 4 al n,ero
Obs.: P+&em+! ape$"a 8%e e) n 7 !% "ne!+a&"("+ =−a> e!('n a "?%a) &"!(an$"a &e) $e+.
'e,lo 1.
'e,lo 2.
L"$. CESAR A. AILA CELISMATEMATICA BASICA
a
≥−
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
19/36
roiedades:
ara resolver ecuaciones e inecuaciones con valor a!soluto se reuiere
conocer las siguientes roiedades
L"$. CESAR A. AILA CELISMATEMATICA BASICA
≥ ∀ ∈
− =
= ⇔ ≥ ∧ = ∨ = −
< ⇔ > ∧ − < <> ⇔ > ∨ < −
> ⇔ >
= =+ ≤ +
− = −
2 2
22 2
a) a 4 a
!) a a
c) a ! ! a ! a !
d) a ! ! ! a !
e) a ! a ! a !
# ) a ! a !
g) a a 4 a a
H) a ! a !
i) a ! ! a
R
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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'e,lo 1.
&e,ostraci*n
L"$. CESAR A. AILA CELISMATEMATICA BASICA
+− < <
−
x 53. /i x 3 14 de,uestre ue 7
x 1
x 5 61
x 1 x 1
+= +
− −1 1
x 3 1 1 x 1 3 13 x 16 6
2 6 3 1 7x 1 x 1
x 5 x 57 3 7 7
x 1 x 1
− < ⇒ < − < ⇒ <
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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5. &ado los conuntos4
Halle la su,a de los ele,entos de A∪I.
)# &ados los conuntos
9a))e: a; ,;
12. Da&+ )+! $+n%n(+! A 7 B @a))e !"en&+
13. Kalle el conunto soluci*n de
L"$. CESAR A. AILA CELISMATEMATICA BASICA
{ } { } A x % 3x 1 2x 5 0 I x % x 2 6 3x= ∈ − = + = ∈ + + =R R
{ } { }2 2 A x % x 2 3 x 2 $ 0 I x % 2 x x= ∈ − − − − < = ∈ ≤ +R R
( )C
A I∪ A I∩
3 2x $x 2 A x % $
x 1
− + = ∈ ≤ + R
{ }2
2x x 2 A x % 1 0 I x % x 2 1x x 2
+ − = ∈ > = ∈ − ≤ − +
R R
A I∩
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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'ercicios.
1. /i 4 de,uestre ue
6. Kalle los ele,entos de:
1. . &ado los conuntos
Halle
12. &ado los conuntos 4
Halle .
15. Se tienen los conjuntos y
. &eter,ine
L"$. CESAR A. AILA CELISMATEMATICA BASICA
a4!4t % a t !∈ < − − + R R
( )c
c M .−
{ }
2
2
x x 2 A x % 1 0 I x % x 2 1
x x 2
+ − = ∈ > = ∈ − ≤ − +
R R
A I∩
{ }2
A x % 1 4 I x % x 3 2x 1
= ∈ < = ∈ + > + R R
2
2x 1 2 x 1C x %
x 2
− + − − = ∈ ≥
+ R C "A I).− ∩
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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MATEMÁTICA BÁSICA
'CACGN8'/ ' G8'CACGN8'/ 'ON8'8CGAL'/
PROGRAMA DEESTUDIOS BÁSICOS
20! " 0
CESAR A# AVILA CELIS
MB
=, , ,a.! a !.
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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E*PONENCIALES D$+inición# /i se lla,a $,pon$ncial
-$ 'a%$ a L$.$% -$ lo% $,pon$nt$%
9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
2
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
xa 4 a 14 x4 0 0 a+
∈ ≠ ∈ ⇒ =R R
+=, n , n1. a a a
=, n ,n2. "a ) a=n n n3. a ! "a!)
−=
= ⇒ =
,, n
n
a$. a
a
P si , n a 1
−= ≠ ⇒ = nn
1P /i , 4 a a
a
− = = ÷ ÷
n nn
n
a a !5.
! a!
=,
n ,n6. a a
= ,n, n7. a a
=, , ,(. a.! a !
=,
,,a aE. ! !
=x 0
n, x 0 , ,n1. a ! a !
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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INECUACIONES E*PONENCIALES LOGARITMICAS
INECUACIONES E*PONENCIALES
Las inecuaciones exonenciales en una varia!le son de la
#or,a:
Paa e!+)e "ne$%a$"+ne! !e $+n!"&ean &+! $a!+!
9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
26
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
< ≤ > ≥> ≠
"x) "x) "x) "x) "x) "x) "x) "x)
: ex+re
a a 4 a a 4
siones+"x)4 "x)
a a 4 a a
an x4 4 ae 1
-
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CA/N 1. /i entonces los exonentes de la de la
inecuaci*n dada son desigualdades en sentido contrario al de la
inecuaci*n4 as:
CA/N 2. S" en(+n$e! )+! exp+nen(e! &e )a &e )a"ne$%a$"#n &a&a !+n &e!"?%a)&a&e! en e) m"!m+ !en("&+ &e)a "ne$%a$"#n a!/:
9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
2
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
< ⇔ a 1
>/i a 1< ⇔ ⇔ >"x) "x)a a "x) "x)
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
28/36
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
29/36
MATEMÁTICA BÁSICA
'CACGN8'/ ' G8'CACGN8'/ LNJARG=GCA/
PROGRAMA DEESTUDIOS BÁSICOS
20! " 0
CESAR A# AVILA CELIS
MB
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
30/36
Lo/a&itoD$+inición# &ados el lo/a&ito de , en!ase a1 se denota or 0 se de#ine co,o
Propiedades
9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
30
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
x 4 a 4 a 14 0+ +∈ ∈ ≠ ∈R R R
a
0log x @ 0 x @ a⇔
=xalog1. a x
= =a a2. log 1 log a 1
= +a a a3. log "x 0) log x log 0
= − ÷
a aa
x$. log log x log 0
0
=n
.a a5. log x n log xR. del so,!rero
=xa6. log a x
alog x4
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
31
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
=na a1
7. log x log xn
= ≠nn
aa(. log x log n4 n
=,n
aa
nE. log x log x
,
=,n
a
n1. log a,
= !a!
"C.de !ase)log x
11. log xlog a
=ax
112. log xlog a
=a x 0 B a
13. log log 0 .log B . log S log S "Regla de la cadena)x .
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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'e,los
1. /i,li#iue:
3. Kalle el valor de x4 si
5. Resuelva la ecuaci*n
7. Resuelva la ecuaci*n
12. Resuelva
9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
32
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
+ − +32 75 5
log log 2log log 12$3 16 E
− − − =3 2"logx) 3"logx) 6logx (
( ) − + =2
logx 5logx 6
+ =x (2log $ 3log x 5
+∈ =
+"
3 xx 3
x3
log log 5x )4
61 log
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
33/36
'ercicios.
2. /i,li#iue
$. 'n la siguiente exresi*n:
&eter,ine: a) La exresi*n exonencial si,li#icada.
!) La exresi*n ue calcula x.
5. /i 4 "x; 1)4 Halle
6. &eter,ine el conunto soluci*n de la ecuaci*n:
$. La ecuaci*n de o#erta de un #a!ricante en ,iles de d*lares es
donde x es el n,ero de unidades o#ertadas con el recio or unidad. A uD
recio el #a!ricante o#recer 1E( unidades
9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
33
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
− −
− +
+, n , n, ,
, n , n
5 E 6 E
3
( ) ( ) ( )− −
− + = − +x 1 2x 2$ 2 2 $
a 2a ! ! a ! a !
+ = ÷
÷ x x x
3 (1
"log 3) log 3 log 3 x
+ − =+ + − +
2log 2 log"x 3) 1
log"7x 1) log"x 6) log 3 2
= + ÷x log 12
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
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INECUACIONES LOGARITMICAS/e tiene ue solo los n,eros reales ositivos tienen
logarit,o.
CA/N 1 /i : Los n,eros ,a0ores ue 1 tienen logarit,o negativo.
Los n,eros entre 0 1 tienen logarit,o ositivo4 entonces:
CA/N 2. /i
Los n,eros ,a0ores ue 1 tienen logarit,o ositivo.
Los n,eros entre 0 1 tienen logarit,o negativo4 entonces:
9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
3
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
= = x!log 8 x s.s.s 8 !
! 1< <
1 2 1 2 ! 1 ! 2
8
!
8
!
x 4 x 4 ! 1 % x x s.s.s log x log x
/i x 4 ! 1 0 8 log x 8 s.s.s x !
x 4 ! 1 0 8 log x 8 s.s.s x !
+∈ < < < < >
> < < ∈ ⇒ > < <
> < < ∈ ⇒ < >
R
R
R
! 1>
1 2 1 2 ! 1 ! 2
8
!
8
!
x 4x 4 ! 1 % x x s.s.s log x log x
/i x 4 ! 1 0 8 log x 8 s.s.s x !
x 4 ! 1 0 8 log x 8 s.s.s x !
+∈ > < < <
> > ∈ ⇒ > >
> > ∈ ⇒ < <
R
R
R
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
35/36
'e,los.
1. Resolver la inecuaci*n:
2. Resolver la inecuaci*n:
3. Resolver la inecuaci*n:
$. Resolver la inecuaci*n:
5. Resolver la inecuaci*n:
9a?a $)"$ a8%/ paam+&"$a.
35
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a.
1
3
log "3x 7) 2+ < −
2
!
!
1 log x14 ! 1
1 log x
+> < <
+
2 2log "3x 2) log "2 3x) 2+ − − >
2
1 1
2 2
x x 1 x 1log logx 2 x 1 x 1+ + < + ÷− + −
x
x 6log 1
x 2
+>
−
-
8/18/2019 Semana 3 Inecuaciones Polinomicas Fraccionarias Valor Absoluto
36/36
Ee$"$"+!.
1. Resolver
2. &eter,ine el conunto soluci*n de la inecuaci*n:
3. Resuelva la inecuaci*n:
$. Resuelva:
5. &eter,ine los valores de x ue veri#ican la inecuaci*n:
9a?a $)"$ a8%/ paa
36
9a?a $)"$ a8%/ paa m+&"$a
2 5x (x (
5x $ 1452
−+
+ ≥ ÷
( )222 $ 2x 12 x x (x 616 2
− + − +− ≤
$ 1 2
3
log log "log x)
≤ ÷
( )2
3x 3
3log log x 1
x
+ > ÷
[ ]2 2 2 12x x "x $) 1log "Ex 1) log 3"x 2) log x 2−− + − + ≤ − +