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Simetria em cristais
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Difração de elétrons (Microscópio Eletrônico de Transmissão)
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imagem
difração
Ti hexagonal
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imagem
difração
Ti cúbico
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Simetria na natureza e na arte
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Maurits Cornelis Escher (1898-1972) artista gráfico holandês
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simetria e música
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simetria e música
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simetria e música
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Simetria na química e física
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Simetria na química
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Simetria em física das partículas
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Simetria em magnetismo
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Distribuição de energia
![Page 21: Simetria em cristais - sistemas.eel.usp.brsistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/1643715/LOM3229/M2_Simetria.pdf · International Table for X-ray crystallography [International Union](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022021714/5bebd17609d3f26e208c1298/html5/thumbnails/21.jpg)
Simetria em cristais
voltando à
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Simulação de difratogramas
Programa PowderCell
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grupo espacial posições atômicas posições Wyckoff
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International Table for X-ray crystallography [International Union of Crystallography (IUCr)]
notação internacional
notação de Schoenflies
posições Wyckoff
número do grupo
posições gerais
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corpo centrado
posições Wyckoff
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Grupos espaciais
Ex: P4mm (#99)
Wyckoff
position8g x, y, z -x, -y, z -x, y, z x, -y, z
y, x, z -y, -x, z -y, x, z y, -x, z
4f x, 1/2, z -x, 1/2, z 1/2, x, z 1/2, -x, z
4e x, 0, z -x, 0, z 0, x, z 0, -x, z
4d x, x, z -x, -x, z -x, x, z x, -x, z
2c 1/2, 0, z 0, 1/2, z
1b 1/2, 1/2, z
1a 0, 0, z
Posições equivalentes
a b
c
PowderCell 2 .0
átomo posição
Wyckoff
x y z
A 1a 0 0 0,15
B 1b 1/2 1/2 0,4
C 2c 1/2 0 0,6
D 4f 0,8 1/2 0,3
ABC2D4
A
B
C
D
Referência:
International Tables for X-ray crystallography
14v
C
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P. Villars, L. D. Calvert. Pearson´s Handbook of Crystallographic Data for Intermetallic Phases. ASM International, v.1 a v.4, 1997.
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Simetria: elementos, operações e grupos
Teoria de grupos
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Elementos de simetria
• Eixos de rotação
• Plano espelho
• Centro de inversão
Operações de simetria
• Rotação
• Reflexão
• Inversão
• Translação
230 Grupos espaciais
grupos pontuais +
redes de Bravais +
operações de translação
32 Grupos pontuais
𝐸 𝑋 = 𝑋′
(conjunto de operações)
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Elementos de simetria /
Operações de simetria
plano espelho centro de inversão
eixo de rotação
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Rotação (N)
1
2
3
4
6
grupo C1
grupo C2
grupo C3
grupo C4
grupo C6
símbolo
𝛼 =360°
𝑁
notação internacional
notação de Schoenflies
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Grupos de simetria
grupo C2 ou 2
(x y z)
(-x -y z)
(x y z)
(x y z)
(-x -y z)
(-x -y z)
(-x -y -z)
(x y -z)
grupo C2v ou mm2
grupo C2h ou 2/m
(x -y z)
(-x y z)
x
y
z
notação internacional
notação de Schoenflies
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Rotação – inversão ou
Rotação - reflexão
grupo S2
grupo S1
grupo S6
grupo S4
grupo S3
(𝑁 )
(𝑁 )
2 = 1
3 = 6
4 = 4
6 = 3
1 = 2
notação internacional
notação de Schoenflies
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Grupos de simetria
(x y z)
(-x -y z)
(-x -y -z) (x y -z)
Exemplo: grupo C2h ou 2/m
a
b
c
PowderCell 2 .0
b
a c
InSe
Nomenclatura Pearson: mP8
Rede: monoclínica
Grupo espacial: P2/m (#10)
Parâmetros de rede: a=11,02 Å, b=4,11 Å, c=4,61 Å
Posições atômicas: In(1): 2m (0,116, 0, 0,879)
Se(1): 2e (0,340, 0, 0,018)
In(2): 4j (0,384, 1/2, 0,621)
Se(2): 4j (0,160, 1/2, 0,482)
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Grupos de simetria
Exemplo: grupo C2v ou mm2
(x y z)
(-x -y z)
(x -y z)
(-x y z)
b a
c
TiSi
a b
c
PowderCell 2 .0
Nomenclatura Pearson: oP8
Rede: ortorrômbica
Grupo espacial: Pmm2 (#25)
Parâmetros de rede: a=3,618 Å, b=6,492 Å, c=4,973 Å
Posições atômicas: Ti(1): 1a (0, 0, 0)
Ti(2): 1b (0, 1/2, 0)
Ti(3): 1c (1/2, 0, 0,50)
Ti(4): 1d (1/2, 1/2, 0,50)
Si(1): 2g (0, 0,234 0,625)
Si(2): 2h (1/2, 0,288, 0,078)
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Notações
Grupos pontuais ou internacional
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32 grupos pontuais
notação de Schoenflies
notação internacional
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grupo Cn
grupo Cnv
grupo Cnh
grupo Sn
grupo Dn
grupo Dnh
grupo Dnd
Grupos pontuais não cúbicos
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Grupos pontuais cúbicos
grupos Oh, O
grupos Th, Td, T
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14 redes de Bravais
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Exemplos:
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Exemplos (cont.):