Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSEChemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Spektrale Analyse β Fourier Transformation
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE2Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals
βππ =?
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE3Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals
βππ =?
Physik und Sensorik
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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE5Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Fourier-Synthese
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ = οΏ½ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ ππβI 2ππ ππππππDiskrete Fourier-Transformation, DFT:
ZeitabhΓ€ngiges Signal ππ ππ ππππ Frequenzspektrum πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ
ZeitabhΓ€ngiges Signal ππ ππ ππππFrequenzspektrum πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ
ππ ππ ππππ =1πποΏ½
ππ=0
ππβ1
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ ππI 2ππ ππππππInverse Fourier-Transformation, IDFT:
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ = οΏ½ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ ππβI 2ππ ππππππDiskrete Fourier-Transformation, DFT:
ZeitabhΓ€ngiges Signal ππ ππ ππππ Frequenzspektrum πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ
Abtastintervall ππππ Messzeit ππ = ππ ππππ fΓΌr ππ Abtast-Punkte
Abstand zwischen zwei Frequenzen: βππ = 1ππ ππππ
oder βππ = 2 ππππ ππππ
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE7Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ = οΏ½ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ ππβI 2ππ ππππππDiskrete Fourier-Transformation, DFT:
ZeitabhΓ€ngiges Signal ππ ππ ππππ Frequenzspektrum πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ
= οΏ½ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ cos 2ππ ππππππ βπΌπΌ οΏ½
ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ sin 2ππ ππππππ
ππ
πΌπΌπΌπΌ
π π ππ
ππππππππ
πΌπΌ ππ sinππ
ππ cosππ
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE8Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-AnalyseBerechnung der reellen Koeffizienten der Sinus- und Cosinus-FunktionenoderBerechnung der reellen Koeffizienten der Exponential-Funktionen mit imaginΓ€ren Argumenten
1βππ
ππ0 + ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘ + β―
ππππ ππππ = ?
Mit Frequenzen ππππ = 0, Β± 2ππππ
, Β±2 2ππππ
, Β±3 2ππππ
, β¦ und Zeitfenster ππ
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE9Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Signal
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
SignalCosinus ππ1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE11Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalCosinusSignal x Cosinus
ππ1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE12Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalCosinusSignal x Cosinus
Mittelwert = 0.496= Koeffizient fΓΌr Cos
ππ1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE13Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalSinus ππ1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE14Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalSinusSignal x Sinus
ππ1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE15Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalSinusSignal x Sinus
Mittelwert = 0.303= Koeffizient fΓΌr Sin
ππ1 = 1.00 Hz
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Spektrale Komponente der Frequenz ππ1 = 1.00 Hz
ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘
0.496 cosππ1π‘π‘ + 0.303 sinππ1π‘π‘ mit ππ1 = 2ππ ππ1 = 2 ππ Γ 1.00 Hz
Sinus- und Cosinus-Analyse mit reellen Koeffizienten:
Fourier-Analyse mit komplexen Koeffizienten:mit ππ1 = 0.496 + πΌπΌ 0.303und ππ1 = 2ππ ππ1 = 2 ππ Γ 1.00 Hz
ππππ1
πΌπΌπΌπΌ
π π ππ
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE17Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalCosinus ππ1 = 0.23 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE18Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalCosinusSignal x Cosinus
ππ1 = 0.32 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE19Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalCosinusSignal x Cosinus
ππ1 = 0.32 Hz
Mittelwert = 0.023= Koeffizient fΓΌr Cos
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE20Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalCosinusSignal x Cosinus
Mittelwert = -0.042= Koeffizient fΓΌr Cos
ππ1 = 2.50 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE21Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
SignalCosinusSignal x Cosinus
Mittelwert = -0.007= Koeffizient fΓΌr Cos
ππ1 = 7.50 Hz
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Fourier Koeffizienten Animated.nb
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE23Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-SyntheseAddition von Sinus- und Cosinus-FunktionenoderAddition von Exponential-Funktionen mit imaginΓ€ren Argumenten und komplexen Koeffizienten
1βππ
ππ0 + ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘
ππ1 = 1.003 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE24Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1βππ
ππ0 + ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘ + ππ2 eβπΌπΌππ2π‘π‘+ππ2β eπΌπΌππ2π‘π‘
ππ1 = 1.00 Hz
ππ2 = 1.10 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE25Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1βππ
ππ0 + ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘ + ππ2 eβπΌπΌππ2π‘π‘+ππ2β eπΌπΌππ2π‘π‘ + ππ3 eβπΌπΌππ3π‘π‘+ππ3β eπΌπΌππ3π‘π‘
ππ1 = 1.00 Hz
ππ2 = 1.10 Hz
ππ3 = 1.20 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE26Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1βππ
ππ0 + ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘ + β―
ππ1 = 1.00 Hz
ππ2 = 1.10 Hz
ππ3 = 1.20 Hzππ4 = 2.10 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE27Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
ππ1 = 1.00 Hz
ππ2 = 1.10 Hz
ππ3 = 1.20 Hzππ4 = 2.10 Hzππ5 = 3.11 Hz
1βππ
ππ0 + ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘ + β―
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE28Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
ππ1 = 1.00 Hz
ππ2 = 1.10 Hz
ππ3 = 1.20 Hzππ4 = 2.10 Hzππ5 = 3.11 Hz
1βππ
ππ0 + ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘ + β―
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE29Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals
1βππ
ππ0 + ππ1 eβπΌπΌππ1π‘π‘+ππ1β eπΌπΌππ1π‘π‘ + β― 50 Frequenz-Terme bis ππ = 50 Hz
Physik und Sensorik
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Fourier-Synthese
FourierSeriesOfSimpleFunctions.cdf
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE31Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
Fourier-Synthese
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ = οΏ½ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ ππβI 2ππ ππππππDiskrete Fourier-Transformation, DFT:
ZeitabhΓ€ngiges Signal ππ ππ ππππ Frequenzspektrum πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ
ZeitabhΓ€ngiges Signal ππ ππ ππππFrequenzspektrum πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ
ππ ππ ππππ =1πποΏ½
ππ=0
ππβ1
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ ππI 2ππ ππππππInverse Fourier-Transformation, IDFT:
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE32Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ = οΏ½ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ ππβI 2ππ ππππππ
Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Re, Im
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE33Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ = οΏ½ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ ππβI 2ππ ππππππ
Diskrete Fourier-Transformation, DFT:
Re, Im
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Re, Im
Negative FrequenzenPositive Frequenzen
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Re, Im
Wenn die ursprΓΌngliche Funktion reellwertig ist, sind die Fourier-Koeffizienten bei positiven und negativen Frequenzen zueinander komplex konjugiert.
Physik und Sensorik
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Amplituden-Spektrum vs. Leistungs-Spektrum
Leistung eines elektrischen Wechselspannungs- oder Wechselstrom-Signals:
ππ = ππ οΏ½ πΌπΌ = ππ οΏ½πππ π =
ππ2
π π
ππ = ππ οΏ½ πΌπΌ = π π οΏ½ πΌπΌ οΏ½ πΌπΌ = πΌπΌ2 οΏ½ π π
IntensitΓ€t πΌπΌ einer elektromagnetischen Welle mit FeldstΓ€rke πΈπΈ(π‘π‘):
πΌπΌ = ππ0 ππ πΈπΈ2
DielektrizitΓ€tskontante des Vakuums: ππ0Lichtgeschwindigkeit: ππ
Leistung ist proportional zum Absolutquadrat der Amplitude.
Physik und Sensorik
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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und ImaginΓ€rteil der Fourier-Koeffizienten ππ(ππ)
Physik und Sensorik
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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und ImaginΓ€rteil der Fourier-Koeffizienten ππ(ππ)
Physik und Sensorik
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten ππ(ππ) 2 = ππ(ππ) οΏ½ ππ(ππ)β
Physik und Sensorik
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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten ππ(ππ) 2 = ππ(ππ) οΏ½ ππ(ππ)β
ππ =ππ2ππ
β 1 Hz
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE41Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten ππ(ππ) 2 = ππ(ππ) οΏ½ ππ(ππ)β
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE42Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten ππ(ππ) 2 = ππ(ππ) οΏ½ ππ(ππ)β
Physik und Sensorik
www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE43Chemnitz β 8. Oktober 2017 β Prof. Dr. Uli Schwarz
Fourier-Analyse
πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ = οΏ½ππ=0
ππβ1
ππ ππ ππππ ππβI 2ππ ππππππDiskrete Fourier-Transformation, DFT:
ZeitabhΓ€ngiges Signal ππ ππ ππππ Frequenzspektrum πΉπΉππ πΌπΌ ππ βππ
Abtastintervall ππππ Messzeit ππ = ππ ππππ fΓΌr ππ Abtast-Punkte
Abstand zwischen zwei Frequenzen: βππ = 1ππ ππππ
oder βππ = 2 ππππ ππππ
Physik und Sensorik
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Fourier-Analyse
Daten
Zeitfenster
Frequenz
DFTZeit