The Cross Entropy method for Credit Portfolio Monte Carlo calculations
Floris de Vooys10 December 2011
2
Overzicht
• Introductie en probleemstelling• Kredietrisico op portfolioniveau• De Cross Entropy methode• Resultaten
3
Introductie en probleemstelling
• Kredietrisico’s behoren tot de grootste risico’s van een bank.• Modellen zijn complex en hebben geen analytische oplossing.
Daarom wordt gebruik gemaakt van Monte Carlo.• Monte Carlo-simulaties zijn traag, maar kunnen worden versneld
door o.a. de Cross Entropy methode.• Voordelen van een snellere simulatie:
– Minder hardware nodig;– Mogelijkheid tot vaker uitvoeren van de simulatie;– Mogelijkheid tot verfijning van het model.
• Onderzoeksvraag: in welke mate kan de Cross-Entropy methode helpen Monte Carlo-simulaties voor kredietportfolio’s te versnellen?
4
Kredietrisico
• Kredietrisico = risico dat klanten niet aan hun financiële verplichtingen voldoen (“default”)
• Voor individuele klanten beheerst door:– Acceptatiecriteria– Zekerheden/onderpand– Structuur van het product– “verwachte” verliezen
• Voor portfolio’s beheerst door:– Concentraties– “onverwachte” verliezen
• Vraag voor een kredietinstelling: hoe groot moet de buffer zijn die nodig is om onverwachte verliezen op te vangen?
5
Concentraties/Correlaties
Defaults komen vaak in “golven”:
• Olie-industrie: 22 defaults tussen 1982 en 1986• Spoorconglomeraten: Een default elk jaar tussen 1970 en 1977• Luchtvaartmaatschappijen: 3 defaults in 1970–1971,
5 defaults in 1989–1990
• Kredietverstrekkers: 19 defaults in 1989-1990• Casino’s / Hotelketens: 10 defaults in 1990• Warenhuizen: meer dan 20 defaults tussen 1990 en 1992• Constructie/onroerend goed: 4 defaults in 1992
6
Buffer voor onverwachte verliezen: Economisch Kapitaal
Loss distribution
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
Loss (%)
Pro
bab
ility
den
sity
expected loss 99.9% percentile
7
“Afstand tot default” – het Merton Model
Activa Passiva
Eigen vermogen
Waarde van het bedrijf
default scenario’s
drempel voor default
8
Modellering van correlaties van activa
• Multi-factor model op drie niveaus:– Mondiale factoren (“wereldeconomie”)– Regio- en sectorspecifieke factoren (“locale economie”)– Bedrijfsspecifieke factoren
• Factoren bepaald via Principal Component Analyse / Regressie van bewegingen van aandelenkoersen.
• Verandering van de waarde van activa vooral gedreven door:– Sector/Industrie– Regio/Land– Omvang van het bedrijf (omzet/totale activa)
9
Genereren van toekomstige waarden van de activa
West Europa (goed)
Noord Amerika (gemiddeld)
Luchtvaart (zeer slecht)
Bedrijfsspecifiek(slecht)
...
Generatie van Factoren
Weging/gevoeligheid per factor (per bedrijf)
+1 * 0.05 = 0.05
+0 * -0.07 = 0
-2 * 0.13 = -0.26
-2 * 0.81 = -1.62
Resultaat
...
-1.83
Drempel voor default
Waarde vanhet bedrijf
10
Monte Carlo
• Analytische oplossing is meestal niet beschikbaar• Oplossing: simuleren van de onderliggende factoren
via Monte Carlo:– Genereer factoren volgens onderliggende distributie, bv. een
normaalverdeling. Dit geeft een “toestand van de economie” aan;
– Bepaal de totale verliezen in de portfolio;– Herhaal met voldoende scenario’s totdat de gewenste
foutmarge is bereikt.
• Grootste nadeel: methode is bijzonder traag
11
Importance Sampling
• Concept: gebruik van een andere kansverdeling van de onderliggende factoren en hier later voor compenseren.
Original Distribution
Shifted Distribution
12
Likelihood Ratio
• De Likelihood Ratio is de factor waarmee de kans op de gebeurtenis wordt onderschat of overschat. Deze kan direct uit de distributies worden afgeleid:
Sample value = 2.1
Shifted pdf value= 0.397
Original pdf value = 0.044
Likelihood Ratio = 0.044/0.397 = 0.111
13
Degeneratie
• Bij Importance Sampling komen lage waarden voor de Likelihood Ratio vaker voor dan hoge.
• Er komen ook enkele zeer hoge waarden voor met een kleine waarschijnlijkheid.
• De Likelihood Ratio is zelf dus “skewed” (asymmetrisch) verdeeld. Dit probleem wordt groter als:– de Important Sampling distributie verder wordt verschoven, of;– Meer factoren worden verschoven.
14
Degeneratie
15
Degeneratie
16
Degeneratie
17
Degeneratie
• Een hoge “skewness” leidt tot hoge variantie. • De Likelihood Ratio wordt gebruikt als wegingsfactor
voor de schatting van kapitaal, dus deze schatting heeft ook een hoge variantie.
• De literatuur raadt aan om Importance Sampling niet te gebruiken bij meer dan 50 factoren (het gebruikte model heeft er 120)
18
Cross Entropy methode
• Concept: er bestaat een optimale distributie waarmee alle samples precies een verlies geven gelijk aan het gezochte kapitaalniveau met exact de bepaalde kans
• Deze distributie is niet te bepalen, maar wel de “afstand” tussen deze distributie en een andere distributie.
• Bij de Cross Entropy methode wordt de Kullback-Leibler afstand gebruikt.
• Deze afstand kan vaak met een analytische formule worden geminimaliseerd.
dxxhxgdxxgxghgD lnln,
19
Cross Entropy - voorbeeld
0
50
100
150
200
250
300
-6 -4 -2 0 2 4 6
All Samples
Filtered on elites
20
Cross Entropy - voorbeeld
0
50
100
150
200
250
300
-6 -4 -2 0 2 4 6
All Samples
Filtered on elites
normal distribution(all samples)
normal distribution(elites)
21
Samenvatting van de problemen en oplossingen
Hoeveel buffer moet een financiële instelling aanhouden om onverwachte
verliezen op te vangen?
Hoe wordt een verliesdistribute bepaald, rekening houdend met
concentraties?Modelleren van de activa van
bedrijven volgens multi-factor model (Merton model).
Maak een verliesdistributie en neem het gewenste percentile.
Model heeft geen analytische oplossing. Wat nu?
Gebruik stochastische simulatie (Monte Carlo).
Monte Carlo is traag
Gebruik Importance Sampling om het aantal benodigde scenario’s te
verlagen.
Hoe wordt de optimale Importance Sampling distributie bepaald?
Met de Cross-Entropy methode
Probleem Oplossing
22
Aanpak
• Ontwikkeling van generiek software-raamwerk voor de Cross Entropy methode.
• Onderliggende factoren zijn gesimuleerd op basis van een standaard-normaaldistributie.
• Methode is toegepast op de kredietportfolio zakelijke leningen van ING.
23
Resultaten
24
Vorm van de Verliesverdeling – kleine verliezen
25
Vorm van de Verliesverdeling – grote verliezen
26
Conclusie• De Cross Entropy methode werkt goed om Monte Carlo analyse
voor Credit Portfolio’s te versnellen. • De methode is intuïtief en transparant.• Er zijn geen problemen met “degeneratie van de Likelihood Ratio”• Openstaande vragen:
– Wanneer treedt precies wel degeneratie op?– Werkt dit voor alle (bank)portfolio’s?– Hoe verhoudt de gevonden verbetering zich tot andere methodes om
Monte Carlo te versnellen?– Werkt de methode ook voor andere distributies dan de
normaaldistributie?
27
Vragen
?