XI Esc. Prob. & Estad. CIMAT 2012Clase 3
Ted Hill
Internet base de datos
http://www.benfordonline.net/
Internet libro de la teoría de Benford
http://www.i-journals.org/ps/viewissue.php?id=11/ Vol 8, pp 1-126
La Ley de Benford para Secuencias Deterministas
Esquema de Clase 3
1. Secuencias clásicas (Fibonacci, n!, etc)
2. Evidencia empírica (calculadora simbólica inversa)
3. Procesos exponenciales
4. Procesos super-exponenciales
5. El Método de Newton obedece a la LB
6. Aplic. a las pruebas de diagnóstico, errores de redondeo
7. Problemas Abiertos
Ejemplo 2 Otra Vez
Comience con cualquier número positivo, y en
repetidas ocasiones se multiplican por 2.
Entonces, se empieza con 5,
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, …
¿Qué proporción de la secuencia comienza con un 1?
R. Exactamente
La misma respuesta si se comienza con 7, o con 3 y se
multiplica repetidamente, etc por 5, pero no por 10
10log 2 30.1%
Ejemplos de Datos Deterministas
1 0
Ej. 1 1,1,2,3,5,8,
las tres son sec
Los números
uencias de B
Ej. 2
enfor
de Fibon
acci!
2
(1 )
dn
n
n n
n
x r x
0 11 2
2
Ej. 3
Ej. 4 La solución de la ecuación diferencial
, , , ... es una secuencia de Benford
cada componente es una secuen
1
0 1 1
1
cia de Benford
1 1
n n
n
x x xx x
0sin , (0) es una fun c i ón de Benf ord
xx e x x x
Algunas Secuencias Clásicas
D1 (n!) (2n) (Fn) Benford
1 0.293 0.292 0.301 0.30103
2 0.176 0.180 0.176 0.17609
3 0.124 0.126 0.126 0.12493
4 0.102 0.098 0.096 0.09691
5 0.087 0.081 0.079 0.07918
6 0.069 0.068 0.067 0.06694
7 0.051 0.057 0.057 0.05799
8 0.051 0.053 0.053 0.05115
9 0.047 0.045 0.045 0.04575
Los primeros 1000 números enteros positivos
Calculadora Simbólica Inversa .865255979… = ?
Math World – “En la base de datos de Plouffe [actualmente más de
3,7 mil millones de entradas], el 30% comienzan con el dígito 1. "
LB para Secuencias y Funciones
es la (decimal)
: [1,
Recuerd e.g.
10) función mant (2,013) (0
is.02013) 2.01
a.3
e SS S
1 2 3Una , , , es si
# : lim log 1 10
Una :[0, )
Benford
Benfores si
0 : lim log
d
1 10
i
n
T
secuencia
funci
x x x
i n S x tt t
n
f
x T S f x tt t
T
ón
Secuencias de Crecimiento Exponencial
2
10
, ( ), ( ( )), ... es Ben
Sea ( ) (1 ( )) una de con ( ) 0
y 1. Entonces
(suficientemente grande)
ford p
ara todas
si y sólo si log es
T. 1
irracio
0.
l
na
T x x f
x T x T T x x
x C f
.
2
Iteraciones de ( ) 2 son Benford.
Iteraciones de (
Ej.
Ej.
Ej.
) 2 son Benford.
Iteraciones de ( ) 10 lo soo nn
x
T x x
T x x x e
T x x
Las Iteraciones de T(x)=2x
Iteraciones deIteraciones de
Secuencias Super-Exponencial
, ( ), ( ( )),
Se
...
a un mapa con un punto superatractivo
de orden finito , entonces
para casi todos los suficientemente grandes,
pe
T.11
ro e
es Be
xiste
.
número infi
n
u
ford
n ni
x
C
T
T
x T x
x
T
to de puntos excepcionales
2 2
2
( ) o 10 ( iteraciones son Benford)
( ) 1 (iteraciones son Benford)
polinomios, funciones exponenciales y de potencia...
(iteraciones so
Ej.
Ej.
n Benford)
E (
Ej.
j.
T x x x
T x x
T
) (iteraciones son Benfo do ).n rx x
Las iteraciones de T(x) = x2
LB en Ecuaciones Diferenciales Parciales
2
2
2
2( , ) exp( )
E
Solución 1:
Benford en y
Solución 2
S
( , )
La ecuación
(:
Benford en ni
2 ))
NO ES
del calor
w x t A a t x B
w x t A x at B
w w
t x
x t
x t
Prueba “Dentro-Benford, Fuera-Benford" para Diagnósticar los Modelos
Ecuaciones
diferenciales,
los flujos de la
red, PL, etc.
Entrada Salida
e.g., 2010 Datos del
censo
e.g., 2100
Predicción de censo
Prueba parcial negativa
Modelo Matemático
El Método de Newton Obedece LB'
'
* * *
0 0
*
( ) Sea ( ) si ( ) 0. Entonces
( )
( ) para cerca , donde ( ) 0.
Sea : una función real an
Método de New
alítica ,
no-lineal, y
t
T. 12.
on
(
n
f xT x x f x
f x
T x x x x f x
f I
f x
*
*
0
*
*
1
) 0. Entonces
i) sea una sola raíz de
para casi todos cerca de
ii) sea una raíz
( ) ( ) and ( ) son Benford
2,
(
n n n
x f
x x
x de multiplicid
x x x x
ad
*
0vale para todos .
)
x x
Errores de Redondeo en Algoritmos
1
.1
1
10110 9
Sean el error absoluto
la mantisa en el momento de parar
error relativo
Si , son independientes, ( )
Si es uniforme , 2.558
pero si rea
,1
XY
Y
dtt
X
Y
R
X Y ER EX E
Y U ER EX
Y
2
1
log10
.1
l es Benford, 3.909
y la media de la
subestimación del error es más de un tercio
dtt
ER EX
Estimación Aproximada
Knuth (1997) "Si los dígitos iniciales tienden a ser pequeñas ..., el
error relativo debido al redondeo es por lo general ... más de lo
esperado.“
Aplicaciones en la Informática
Ej. 1 Análisis de los errores de redondeo
(Hamming, Knuth, Berger-H).
Ej. 2 Análisis de errores de overflow / underflow
(Feldstein, Goodman & Turner)
Ej. 3 Diseño de computadoras (Barlow y Bareiss; Schatte)
Ej. 4 Codificación basada en la entropía
(Abdallah, Heileman y Pérez González)
Ej. 5 Idiomas libres de contexto (Ravikumar)
Problemas Abiertos
1. ¿Cuál sería la velocidad de convergencia de Benford?
2. ¿Existe una teoría general para ecuaciones diferenciales parciales?
3. ¿Existe una teoría unificada de Benford (para secuencias,
ec
2
0
uaciones diferenciales, y variables aleatorias)?
4. ¿Son iteraciones de ( ) 1 con 1, Benford?
i.e., ¿es 1,2,5,26, ... una secuencia Benford - si o no?
T x x x
Newcomb 1881