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Matematica Aplicada
S. Andy1 B. Jhimmy2
1Universidad Nacional de IngenierıaPregrado Ingenierıa de Telecomunicaciones
2Centro de Tecnologıas de Informacion y ComunicacionesProfesor CTIC UNI
Diciembre 20, 2017
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Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
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“Dedicado a la mala escritura”Al Dr. John Smith, quien compartiosus conocimientos.
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Resumen
El siguiente trabajo consta de 4 capitulos del curso de Matematica V, dic-tado por la Facultad de Ingenierıa Electrica y Electronica de la UniversidadNacional de Ingenierıa. El primer capıtulo es un repaso de los conocimientosprevios que necesita el estudiante para llevar el curso. El segundo capıtuloconsta del concepto sobre que es una Funcion Compleja. El tercer capıtulotrata del desarrollo de una Integracion Compleja. Finalmente el ultimocapıtulo nos muestra una tablas de Transformadas de Laplace, ya sean di-rectas e inversas. Todos los capıtulos contiene graficos y ejemplos para sermas didactico la ensenanza.
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Introduccion
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
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Introduccion
IntroduccionRepaso
Figura: Plano complejo
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Introduccion Complejos
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
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Introduccion Complejos
ComplejosRepaso
Forma Polar.
Z = r cosθ + i · r sinθ
Forma Rectangular.
Z = x+ i · y
(x: Parte real) + (y: Parte imaginaria)
Z = r (cosθ + isinθ)︸ ︷︷ ︸Z = r · eiθ – Forma exponencial
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Introduccion Complejos
ComplejosArgumento de “Z”
Argumento de “Z”
Arg(Z) = θ
Donde por convencion: −π 6 θ 6 π
tanθ =yx⇒ −π 0 π
Funcion Armonica
θ(x;y) = arctan(yx)
∗ ∇2φ = 0 (Ecuacion de Lapace) → φ : Funcion Armonica
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Introduccion Complejos
ComplejosPartes Real – Imaginaria
Partes Real – Imaginaria
Re(Z) = x Im(Z) = y
Nota
x = Re(Z)≤ |Z| y = Im(Z)≤ |Z|
∗ x≤√
x2 + y2
∗ y≤√
x2 + y2
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Introduccion Complejos
ComplejosConjugado del numero complejo “Z”
Conjugado del numero complejo “Z”
Z = x+ i · y → Z = x+ i · y = x− i · y
|Z|= |Z|
• Z1±Z2 = Z1± Z2
• Z1 ·Z2 = Z1 · Z2
•(
Z1
Z2
)=
Z1
Z2; Z2 6= 0
• Z · Z = (x+ iy) · (x− iy) = x2 + y2 = |Z|2
⇒ Z.Z = |Z|2
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Introduccion Complejos
ComplejosConjugado del numero complejo “Z”
Nota
Z + Z = 2xZ− Z = 2iy
x =
Z + Z2
y =Z− Z
2i
∗ Re(Z) = Z+Z2
∗ Im(Z) = Z−Z2i
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Introduccion Complejos
ComplejosConjugado del numero complejo “Z”
Ejemplo
Demuestre que: |Z1 +Z2| ≤ |Z1|+ |Z2|
Solucion
|Z1 +Z2|2 = (Z1 +Z2) · (Z1 +Z2)
= (Z1 +Z2) · (Z1 + Z2)
= Z1 · Z1 +Z2 · Z1 +Z1 · Z2 +Z2 · Z2
= Z1 · Z1 +2Re(Z1 · Z2)+Z2 · Z2
|Z1 +Z2|2 = |Z1|2 +2Re(Z1 · Z2)+ |Z2|2
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Introduccion Complejos
ComplejosConjugado del numero complejo “Z”
Solucion
|Z1 +Z2|2 = |Z1|2 +2Re(Z1 · Z2)+ |Z2|2+
2Re(Z1 · Z2) ≤ 2|Z1 · Z2|
�����2Re(Z1 · Z2)+ |Z1 +Z2|2 ≤ |Z1|2 +�����2Re(Z1 · Z2)+ |Z2|2 +2|Z1 · Z2|
|Z1 +Z2|2 ≤ |Z1|2 +2|Z1 · Z2|+ |Z2|2
≤ |Z1|2 +2|Z1| · |Z2|+ |Z2|2
≤ (|Z1|+ |Z2|)2
⇒ |Z1 +Z2| ≤ |Z1|+ |Z2|
Rpta.
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Introduccion Complejos
ComplejosDesigualdad triangular
Definicion
|Z1 +Z2 + · · ·+Zn| ≤ |Z1|+ |Z2|+ · · ·+ |Zn|
Ejemplo
Halle√
i
Solucion
a = b ⇒ 2a2 = 1⇒ a =± 1√2
a =−b ⇒ /0{ √i = a+bi ;a,b ∈ R
0+ i = a2−b2 +2abi
a2−b2 = 02ab = 1
{a2 = b2
a = ±b
⇒√
i =1√2+ i
1√2
⇒√
i =− 1√2− i
1√2
Rpta.
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Introduccion Complejos
ComplejosDesigualdad triangular
Ejemplo
Ecuacion de la recta: y = mx+b; y = Z−Z2i ; x = Z+Z
2
Solucion
(Z− Z
2i) = m(
Z + Z2
)+b
⇒ Z− iZ = m(Z− Z)+ζ
Rpta.
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Funcion Compleja
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
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Funcion Compleja
Funcion ComplejaCapıtulo II
Definicion
Ejemplo
Sea: f : C→ C/ W︸︷︷︸u+i·v=(x+y·i)2
= f (Z) = Z2
Solucion
u+ i · v = (x+ i · y)2
= x2 +2xy · i+ i2 · y2
= (x2− y2)+(2xy) · i⇒ u+ i · v = (x2− y2)+(2xy) · i
Rpta.
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Funcion Compleja
Funcion ComplejaCapıtulo II
Transformacion
T =
{u(x,y) = x2− y2
v(x,y) = 2xy
Figura: Transformacion
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Funcion Compleja
Funcion ComplejaCapıtulo II
Ejemplo
Sea: f : C→ C/W = f (Z) = 1Z ;Z 6= 0
Solucion
W = f (Z) =Z
Z · Z
=x− i · yx2 + y2
=x
x2 + y2 − i · yx2 + y2
Transformacion⇒ T =
{u = x
x2+y2
v = −yx2+y2
Rpta.
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 20 / 65
Funcion Compleja Lımite de una Funcion Compleja
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 21 / 65
Funcion Compleja Lımite de una Funcion Compleja
Funcion ComplejaLımite de una Funcion Compleja
Sea: f : C→ C/W = f (Z)
Figura: Planos Z y WS. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 22 / 65
Funcion Compleja Lımite de una Funcion Compleja
Funcion ComplejaLımite de una Funcion Compleja
Entonces el lımite de f cuando Z se aproxima a Z0, se denota por:
Definicion
limZ→Z0
⇔∀ε > 0,∃δ > 0/|f (Z)−L|< ε;0 < |Z−Z0|< δ ;ε = f (δ )
Z0: Punto de acumulacion del dominio de fL: Numero complejo.
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Funcion Compleja Continuidad de una Funcion Compleja
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 24 / 65
Funcion Compleja Continuidad de una Funcion Compleja
Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion Compleja
Sea f : C→ C/W = f (Z), f es contınua en Z = Z0 (Z0 ∈ Domf ). Si:
A) f (Z0) existe o esta definida.
B) limZ→Z0 f (Z) existe.
C) limZ→Z0 f (Z0).
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Funcion Compleja Derivada de una Funcion Compleja
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 26 / 65
Funcion Compleja Derivada de una Funcion Compleja
Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Figura: Derivada de una Funcion ComplejaS. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 27 / 65
Funcion Compleja Derivada de una Funcion Compleja
Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Sea f : C→ C/W = f (Z), f es continua en Z = Z0 (Z0 ∈ Domf ). Si:
Definicion
f ′(Z) = lim∆Z→0
[f (Z +∆Z)− f (Z)
∆Z],si el lımite existe
Ademas: f ′(Z) = f (Z) = df (Z)dZ
# Para un punto Z = Z0
f es derivable o tiene derivada enZ = Z0 ∈ Df .
Si∃ lim∆Z→0
f (Z0 +∆Z)− f (Z0)
∆Z
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Funcion Compleja Derivada de una Funcion Compleja
Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
⇒ f ′(Z0) = f (Z) =f (Z0)
dZ= lim
∆Z→0
f (Z0 +∆Z)− f (Z0)
∆Z
Ejemplo
Sea f : C→ C/W = f (Z) = Z, ¿En que puntos del plano Z es fderivable?
f ′(Z) = lim∆Z→0
f (Z +∆Z)− f (Z)∆Z
= lim∆Z→0
Z +∆Z− Z∆x+ i ·∆y
= lim∆Z→0
Z +∆Z− Z∆x+ i ·∆y
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Funcion Compleja Derivada de una Funcion Compleja
Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
= lim∆Z→0
∆x− i ·∆y∆x+ i ·∆y
Z = x+ i · y→ Z = x− i · y→ ∆Z = ∆x+ i ·∆y
Nota
L1 6= L2
∆x = 0 → lim∆y→0
−i·∆yi·∆y = −1︸︷︷︸
L1
∆y = 0 → lim∆x→0∆x∆x = 1︸︷︷︸
L2
f no es derivable en ningun punto del plano Z.(Condiciones necesarias)
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Funcion Compleja Derivada de una Funcion Compleja
Derivada de una Funcion ComplejaEcuaciones de Cauchy - Riemann
Sea: f : C→ C/ W︸︷︷︸u+i·v=f (Z)
= f (Z)
u(x;y)+ i · v(x;y) = f (Z)
⇒ f ′(Z) = lim∆x→0∆y→0
[u(x0+∆x;y0+∆y)+ i · v(x0+∆x;y0+∆y)−u(x0;y0)
− i · v(x0;y0)
∆x+ i ·∆y]
Reacomodamos parte real y parte imaginaria.
f ′(Z) = lim∆x→0∆y→0
[u(x0+∆x;y0+∆y)−u(x0;y0)
∆x+ i ·∆y]
+ lim∆x→0∆y→0
[v(x0+∆x;y0+∆y)− v(x0;y0)
∆x+ i ·∆y]
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Funcion Compleja Derivada de una Funcion Compleja
Derivada de una Funcion ComplejaEcuaciones de Cauchy - Riemann
→ Luego ∆y = 0
C : z(t) = x(t)+ i.y(t)
# Tarea1Escribir las condiciones de Cauchy-Riemann, en coordenadas polares,si:
x = r cosθ
y = r sinθ
# Tarea2Sea f : C→ C/w = f (z) = z2Z, demuestre que f ′(Z) no existe enningun punto del plano Z.
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Integracion Compleja
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 33 / 65
Integracion Compleja
Integracion ComplejaCapıtulo III
(Integral de lınea)
Figura: Integracion compleja
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Integracion Compleja
Integracion ComplejaCapıtulo III
Z(t) = x(t)+ i · y(t)
‖P‖︸︷︷︸n→∞
zi− zi−1 = ∆zi
Dada una particion se forma la siguiente suma: Sn = f (ε1)(z1− z0)+f (ε2)(z2− z1)+ . . .+ f (εi)(zi− zi−1)+ . . .+ f (εn)(zn− zn−1)
Sn =n
∑i=1
f (εi)∆zi, ∀i = 0,1,2, . . . ,n−→ limn→∞‖P‖→0
Sn
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Integracion Compleja
Integracion ComplejaCapıtulo III
Nota
limn→∞‖P‖→0
n
∑i=1
f (εi)∆zi =∫C
f (z)dz =∫C
(u+ iv)(dx+ idy) =∫C
(udx− vdy)+ i∫C
(vdx+udy)
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Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Simple
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 37 / 65
Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Simple
Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Simple
Dominio Simplemente Conexo.
Sea f : C→ C/ω = f (z) es Analıtica dentro de una region (Dominiosimplemente conexo) y en la frontera (una curva suave simplecerrada), entonces:
∮C
f (z)dz = 0
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Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Simple
Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Simple
Es decir: ζ debe estar contenida en D (Abierto), siendo el interiorde ζ (R), es un dominio simplemente conexo.
Demostracion
→ Recuerde el T. de Green:
∮C
Pdx+Qdy =∫∫
C
(∂Q∂x− ∂P
∂y
)dA
De:∮C f (z)dz =
∫C (udx+(−vdy))+ i
∫(vdx+udy).
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Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Simple
Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Simple
Demostracion
Por el teorema de Green en el plano (Mate III):∮C
f (z)dz =∫∫
D
(−∂v
∂x− ∂u
∂y
)dA+ i
∫∫D
(∂u∂x− ∂v
∂y
)dA = 0
Por condicion Cauchy-Riemann, debido a que son analıticas:
∂u∂x
=∂v∂y
;∂u∂y
=−∂v∂x
(Ya que son analıticas)
=⇒∮
Cf (z)dz = 0
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Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Simple
Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Simple
⇒ Recuerde: (Nocion para calcular en un dominio multiplementeconexo)
Figura: Dominio Conexo
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Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Simple
Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Simple
Dominio Conexo.
¿Que sucede si el dominio no es conexo?
‖z− z0‖︸ ︷︷ ︸z
= ε
z = ε.eiθ + z0
dz = ε.i.eiθ + z0
∮C
f (z)z− z0
dz =∫ 2π
0
f (ε.eiθ + z0)ε.i.eiθ
ε.eiθ dθ = i∫ 2π
0f (ε.eiθ + z0)dθ
⇒ lim∮C
f (z)z− z0
dz = limε→0
i∫ 2π
0f (ε.eiθ + z0)dθ
∮C
f (z)z− z0
dz = i∫ 2π
0limε→0
f (ε.eiθ + z0)dθ = i∫ 2π
0f (z0)dθ = f (z0).i.
∫ 2π
0dθ
→∮C
f (z)z− z0
dz = (2π.i)f (z0)
Esto solo funciona para este caso, la expresion del primer miembro puedecambiar.
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Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Multiple
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 43 / 65
Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Multiple
Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Multiple
Dominio Multiplemente Conexo.
Sea R un dominio que no es simplemente conexo, lo convertimos enun R* que sea simplemente conexo.
Figura: Dominio no Simplemente Conexo
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 44 / 65
Integracion Compleja Teorema de Cauchy - Multiple
Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - Multiple
Entonces:∫C∪C
f (z)dz =∫
ABf (z)dz+
∫BMNB
f (z)dz+∫
BAf (z)dz+
∫AEFA
f (z)dz = 0
=−∮
Cf (z)dz+
∮C
f (z)dz = 0
Definicion
=⇒∮
Cf (z)dz =
∮C
f (z)dz
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 45 / 65
Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 46 / 65
Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Definicion
Sea f : C→ C/ω = f (z), analıtica dentro de la curva suave (C) y enla curva excepto en algunos puntos como z = z0(Interior a la curva ζ ).
⇒ f (z0) =1
2πi∮
ζ
f (z)z−z0
dz ⇒∮
ζ
f (z)z−z0
dz = 2π.i.f (z0)
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Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Demostracion
‖z− z0‖︸ ︷︷ ︸z
= ε
z = ε.eiθ + z0
dz = ε.i.eiθ + z0
0≤ θ ≤ 2π
⇒∮C
f (z)z− z0
dz =∫ 2π
0
f (ε.eiθ + z0)ε.i.eiθ
ε.eiθ dθ = i∫ 2π
0f (ε.eiθ + z0)dθ
⇒ lim∮C
f (z)z− z0
dz = limε→0
i∫ 2π
0f (ε.eiθ + z0)dθ
∮C
f (z)z− z0
dz = i∫ 2π
0limε→0
f (ε.eiθ + z0)dθ = i∫ 2π
0f (z0)dθ = f (z0).i.
∫ 2π
0dθ
→∮C
f (z)z− z0
dz = (2π.i)f (z0)
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 48 / 65
Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Ejemplo
Halle el valor de la integral de g(z) a lo largo de la circunferencia|z− i|= 2 en sentido positivo.
Si g(z) = 1z2+4
Si g(z) = 1(z2+4)
2
Soluciona)
|z− i|= 2−→ |x+ yi− i|= 2−→ x2 +(y−1)2 = 4
=⇒ a)∮C
dzz2 +4
=∮C
dz(z+2i)(z−2i)
=∮C
1z+2i
z−2idz =
∮C
f (z)z− z0
dz
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Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Solucion
=⇒∮C
1z+2i
z−2idz = 2π.i.
1(2i)+2i
=π
2
Rpta.
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Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Solucionb) ∮
C
f (z)z− z0
dz = 2π.i.f (z0)
Sea:
f (z0) =1
2π.i
∮C
f (z)z− z0
dz; g(z)no es analtica en z0.
Derivando n veces respecto a z0:
f ′(z0) =1
2π.i
∮C
(z− z0)0− f (z)(−1)z− z0
dz
=1
2π.i
∮C
f (z)(z− z0)2 dz
f ′′(z0) =1
2π.i
∮C
(z− z0)20− f (z)2(z− z0)(−1)
(z− z0)4 dz
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Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Solucion
=1.22π.i
∮C
f (z)(z− z0)3 dz
f ′′′(z0) =1.2.32π.i
∮C
f (z)(z− z0)4 dz
... =...
f (n)(z0) =n!
2π.i
∮C
f (z)(z− z0)n+1 dz =⇒
∮C
f (z)(z− z0)n+1 dz =
2π.i.f (n)(z0)
n!
Rpta.
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Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Ejemplo
Sea f : C→ C/ω = f (z) = Re(z2), calcule∫C
f (z)dz, siendo C la curva
mostrada en la figura.
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Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Solucion
ω = f (z) = Re(z2) = x2− y2
∮C
f (z)dz =∮C1
(x2− y2)dz+∫C2
(x2− y2)dz+∫C3
(x2− y2)(dz) dz = dx+ idy
En C1 se da que:
x=x→dx=dxy=0→dy=0
∮C1
(x2− y2)(dx+ idy) =∮C1
x2dx =x3
3
∣∣∣10=
13
En C2 se da que:
x=cosθ→dx=−senθdθy=senθ→dy=cosθdθ
∮C2
(x2− y2)(dx+ idy) =∮C2
(cos2θ − sen2
θ)(−senθdθ + icosθdθ)
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Integracion Compleja Teorema de la Integral de Cauchy
Integracion ComplejaTeorema de la Integral de Cauchy
Solucion
=
π
4∫0
(cos2θ − sen2
θ)(−senθdθ)+ i
π
4∫0
(cos2θ − sen2
θ)(cosθdθ) =13−√
23
+ i
√2
3
En C3 se da que:
x=ydx=dy
∮C3
(x2− y2)(dx+ idy) =∫(0)(dz) = 0
=⇒∮C
f (z)dz =2−√
23
+ i
√2
3
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Transformada de Laplace
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
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Transformada de Laplace
Transformada de LaplaceCapıtulo IV
Tabla: Transformadas elementales
TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALESf (t) F(s)
1 C Cs ,s > 0
2 t 1s2 ,s > 0
3 tn n!sn+1 ,s > 0
4 ea·t 1s−a s > a
5 sin(a · t) as2+a2 ,s > 0
6 cos(a · t) ss2+a2 ,s > 0
7 sinh(a · t) as2−a2 ,s > |a|
8 cosh(a · t) ss2−a2 ,s > |a|
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Transformada de Laplace
Transformada de LaplaceCapıtulo IV
TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALESf (t) F(s)
9 tn · ea·t n!(s−a)n+1
10 eb·t · sin(a · t) a(s−b)2+a2
11 eb·t · cos(a · t) s−b(s−b)2+a2
12 eb·t · sinh(a · t) a(s−b)2−a2
13 eb·t · cosh(a · t) s−b(s−b)2−a2
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Transformada de Laplace
Transformada de LaplaceCapıtulo IV
Tabla: Transformadas inversas elementales
TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS ELEMENTALESF(s) f (t)
1 Cs C
2 1s2 t
3 n!sn+1
tnn!
4 1s−a ea·t
5 1s2+a2
sin(a·t)a
6 ss2+a2 cos(a · t)
7 1s2−a2
sinh(a·t)a
8 ss2−a2 cosh(a · t)
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Transformada de Laplace
Transformada de LaplaceCapıtulo IV
Tabla: Transformadas inversas elementales
TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS ELEMENTALESF(s) f (t)
9 1(s−a)n+1
tn·ea·t
n!
10 1(s−b
2+a2 eb·t·sin(a·t)
a
11 s−b(s−b)2+a2 eb·t cos(a · t)
12 1(s−b)2−a2
eb·t sinh(a·t)a
13 s−b(s−b)2−a2 eb·t cosh(a · t)
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Conclusion
Indice1 Introduccion
ComplejosArgumento de “Z”Partes Real – ImaginariaConjugado del numero complejo “Z”
2 Funcion ComplejaLımite de una Funcion ComplejaContinuidad de una Funcion ComplejaDerivada de una Funcion Compleja
Ecuaciones de Cauchy - Riemann
3 Integracion ComplejaTeorema de Cauchy - SimpleTeorema de Cauchy - MultipleTeorema de la Integral de Cauchy
4 Transformada de Laplace5 Conclusion
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Conclusion
Conclusion
Las curiosidades matematicas, que se encuenrtran en el desarrollo dela matematica pura, si bien es cierto no se pueden exponer con todoel rigor matematico, pueden ser utilizadas a un nivel intuitivo por eleducador para despertar el interes de los estudiantes por aprendermatematica y mas aun para desarrollar el pensamiento abtracto.
Para estudiar matematicas hay que investigar sobre el tema que noentendemos y ası tratar de resolver ejercicios por nosotros mismoshasta que hayamos comprendido.Una tambien de las maneras para estudiar matematicas es elaborarun esquema o resumen, desarrollando que significa cada letra yexpresion.
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Conclusion
ANEXO
2
1
3
4
Capıtulo I Un repaso breve de conceptosnecesarios para introducirse a lasmatematicas aplicadas.
Capıtulo II Una explicacion clara del desar-rollo de la Funcion Compleja.
Capıtulo III Una explicacion clara del desar-rollo de la Integracion Compleja.
Capıtulo IV Nos muestra una tablas de Trans-formadas de Laplace, ya sean di-rectas e inversas
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Conclusion
ANEXOPlano Cartesiano - Polar
sinα
cosα−1 −12
1
−1
−12
12
1
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Conclusion
Bibliografıa
Kopka, Helmut; Daly, Patrick W.Guide to LATEX. 4th ed.Pearson Education, Inc., 2004.
Cabanes Martinez, Raul.Series de Fourier. 7th ed.Garcia Maroto, Inc., 2008.
Cordero Gracias, Mariola; Cabanes Martinez, Raul.Ampliacion de Matematicas. 6th ed.Garcia Moroto, Inc., 2009.
S. Andy1, B. Jhimmy2 (UNI & CTIC) Matematica V Diciembre 20, 2017 65 / 65