UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIacuteRITO SANTO CENTRO DE CIEcircNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMAacuteTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT
TEORIA DOS JOGOS UMA ESTRATEacuteGIA PARA O ENSINO E
APRENDIZADO DE MATEMAacuteTICA
BRENO PORTUGAL FALQUETO
ORIENTADORA PROFA DRA ROSA ELVIRA QUISPE CCOYLLO
Vitoacuteria - ES 2020
Breno Portugal Falqueto
JOGOS UMA ESTRATEacuteGIA DE ENSINO ALIADA Agrave TEORIA
DOS JOGOS
Dissertaccedilatildeo apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo PROFMAT ndash Mestrado Profissional em Matemaacutetica em Rede Nacional do Departamento de Matemaacutetica do Centro de Ciecircncias Exatas da Universidade Federal do Espiacuterito Santo como requisito para obtenccedilatildeo de tiacutetulo de Mestre em Matemaacutetica
Orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo
Vitoacuteria - ES 2020
Breno Portugal Falqueto
JOGOS UMA ESTRATEacuteGIA DE ENSINO ALIADA Agrave TEORIA
DOS JOGOS
Dissertaccedilatildeo apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo PROFMAT ndash Mestrado Profissional em Matemaacutetica em Rede Nacional do Departamento de Matemaacutetica do Centro de Ciecircncias Exatas da Universidade Federal do Espiacuterito Santo como requisito para obtenccedilatildeo de tiacutetulo de Mestre em Matemaacutetica
Orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo
Membros da Banca
Profordf Drordf Rosa Elvira Quispe Ccoyllo
(Orientadora- Universidade Federal do Espiacuterito Santo - UFES)
Profordf Drordf Julia Schaetzle Wrobel
(Examinadora- Universidade Federal do Espiacuterito Santo-UFES)
Prof Dr Valmecir Antocircnio dos Santos Bayer
(Examinador- Universidade Federal do Espiacuterito Santo-UFES)
Prof Dr Juan Elmer Villanueva Zevallos
(Examinador- Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT)
Vitoacuteria - ES 2020
AGRADECIMENTOS
A Deus por fortalecer minha feacute a cada dia e sempre me renovar
Agrave minha famiacutelia que sempre se mostrou presente com palavras de carinho e
apoio
Agrave minha matildee Liacutevia Maria Teixeira Portugal Faustino por ser minha base
Ao meu irmatildeo Zelier Portugal Falqueto pelos incentivos
Ao meu namorado Leomar Cardoso Tiroli por ser meu refuacutegio nos momentos
difiacuteceis
Agrave minha orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo que
mesmo sabendo das minhas dificuldades sempre me prestou auxiacutelio quando
solicitada
A todos os meus professores do PROFMAT da UFES
Aos meus colegas de mestrado que tornaram todo esse tempo mais leve e
certamente uacutenico
Ao meu amigo Maxwel Soares de Oliveira por todos os conselhos
Agrave minha amiga Juacutelia Alcacircntara Roldi de Azeredo que mesmo distante sempre
esteve presente
Agrave minha amiga Rita de Caacutessia Fundatildeo Reis Campos que nunca mediu
esforccedilos para me ajudar no que fosse preciso
RESUMO
Aumentar o interesse na disciplina ao otimizar o tempo em sala de aula
com contribuiccedilatildeo positiva torna-se uma tarefa essencial pois o
desinteresse atrelado agrave evasatildeo satildeo realidades presenciadas em todo
acircmbito escolar Este trabalho foca em um tema muito apreciado
principalmente no que tange o ambiente educacional jogos que tem como
principal finalidade o ensino e aprendizado de forma luacutedica da matemaacutetica
Por esta razatildeo jogos como o Jogo de Nim e o Pocircquer foram escolhidos
que aliados agrave Teoria dos Jogos possibilitaraacute estrateacutegias vencedoras para
cada um entre as situaccedilotildees possiacuteveis
Palavras-chave ambiente educacional jogos Jogo de Nim Pocircquer Teoria dos
Jogos sequecircncia didaacutetica
ABSTRACT
Increasing interest in the discipline by optimizing time in the classroom with
a positive contribution becomes an essential task because the disinterest
linked to dropout are realities witnessed throughout the school This work
focuses on a highly appreciated theme mainly regarding the educational
environment games whose main purpose is the playful teaching and
learning of the mathematics For this reason games like Game of Nim and
Poker were chosen allied to Game Theory which allows determining a
winning strategy for each game among the possible situations
Keywords scholar scope games Nim Game Poker Game Theory teaching
sequence
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees 16
Figura 2 - Tangram 16
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) 25
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) 26
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) 26
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) 27
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) 27
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) 28
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) 28
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) 28
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) 29
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) 29
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) 29
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) 30
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal 35
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C 36
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 43
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo 46
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush 52
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush 52
Figura 21 - Exemplo de Quadra 52
Figura 22 - Exemplo de Full House 53
Figura 23 - Exemplo de Flush 53
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia 53
Figura 25 - Exemplo de Trinca 53
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares 54
Figura 27 - Exemplo de Par 54
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta 54
Figura 29 - Partida entre dois jogadores 59
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) 66
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) 74
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) 75
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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Breno Portugal Falqueto
JOGOS UMA ESTRATEacuteGIA DE ENSINO ALIADA Agrave TEORIA
DOS JOGOS
Dissertaccedilatildeo apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo PROFMAT ndash Mestrado Profissional em Matemaacutetica em Rede Nacional do Departamento de Matemaacutetica do Centro de Ciecircncias Exatas da Universidade Federal do Espiacuterito Santo como requisito para obtenccedilatildeo de tiacutetulo de Mestre em Matemaacutetica
Orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo
Vitoacuteria - ES 2020
Breno Portugal Falqueto
JOGOS UMA ESTRATEacuteGIA DE ENSINO ALIADA Agrave TEORIA
DOS JOGOS
Dissertaccedilatildeo apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo PROFMAT ndash Mestrado Profissional em Matemaacutetica em Rede Nacional do Departamento de Matemaacutetica do Centro de Ciecircncias Exatas da Universidade Federal do Espiacuterito Santo como requisito para obtenccedilatildeo de tiacutetulo de Mestre em Matemaacutetica
Orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo
Membros da Banca
Profordf Drordf Rosa Elvira Quispe Ccoyllo
(Orientadora- Universidade Federal do Espiacuterito Santo - UFES)
Profordf Drordf Julia Schaetzle Wrobel
(Examinadora- Universidade Federal do Espiacuterito Santo-UFES)
Prof Dr Valmecir Antocircnio dos Santos Bayer
(Examinador- Universidade Federal do Espiacuterito Santo-UFES)
Prof Dr Juan Elmer Villanueva Zevallos
(Examinador- Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT)
Vitoacuteria - ES 2020
AGRADECIMENTOS
A Deus por fortalecer minha feacute a cada dia e sempre me renovar
Agrave minha famiacutelia que sempre se mostrou presente com palavras de carinho e
apoio
Agrave minha matildee Liacutevia Maria Teixeira Portugal Faustino por ser minha base
Ao meu irmatildeo Zelier Portugal Falqueto pelos incentivos
Ao meu namorado Leomar Cardoso Tiroli por ser meu refuacutegio nos momentos
difiacuteceis
Agrave minha orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo que
mesmo sabendo das minhas dificuldades sempre me prestou auxiacutelio quando
solicitada
A todos os meus professores do PROFMAT da UFES
Aos meus colegas de mestrado que tornaram todo esse tempo mais leve e
certamente uacutenico
Ao meu amigo Maxwel Soares de Oliveira por todos os conselhos
Agrave minha amiga Juacutelia Alcacircntara Roldi de Azeredo que mesmo distante sempre
esteve presente
Agrave minha amiga Rita de Caacutessia Fundatildeo Reis Campos que nunca mediu
esforccedilos para me ajudar no que fosse preciso
RESUMO
Aumentar o interesse na disciplina ao otimizar o tempo em sala de aula
com contribuiccedilatildeo positiva torna-se uma tarefa essencial pois o
desinteresse atrelado agrave evasatildeo satildeo realidades presenciadas em todo
acircmbito escolar Este trabalho foca em um tema muito apreciado
principalmente no que tange o ambiente educacional jogos que tem como
principal finalidade o ensino e aprendizado de forma luacutedica da matemaacutetica
Por esta razatildeo jogos como o Jogo de Nim e o Pocircquer foram escolhidos
que aliados agrave Teoria dos Jogos possibilitaraacute estrateacutegias vencedoras para
cada um entre as situaccedilotildees possiacuteveis
Palavras-chave ambiente educacional jogos Jogo de Nim Pocircquer Teoria dos
Jogos sequecircncia didaacutetica
ABSTRACT
Increasing interest in the discipline by optimizing time in the classroom with
a positive contribution becomes an essential task because the disinterest
linked to dropout are realities witnessed throughout the school This work
focuses on a highly appreciated theme mainly regarding the educational
environment games whose main purpose is the playful teaching and
learning of the mathematics For this reason games like Game of Nim and
Poker were chosen allied to Game Theory which allows determining a
winning strategy for each game among the possible situations
Keywords scholar scope games Nim Game Poker Game Theory teaching
sequence
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees 16
Figura 2 - Tangram 16
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) 25
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) 26
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) 26
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) 27
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) 27
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) 28
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) 28
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) 28
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) 29
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) 29
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) 29
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) 30
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal 35
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C 36
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 43
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo 46
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush 52
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush 52
Figura 21 - Exemplo de Quadra 52
Figura 22 - Exemplo de Full House 53
Figura 23 - Exemplo de Flush 53
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia 53
Figura 25 - Exemplo de Trinca 53
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares 54
Figura 27 - Exemplo de Par 54
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta 54
Figura 29 - Partida entre dois jogadores 59
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) 66
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) 74
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) 75
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
REFEREcircNCIAS
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Breno Portugal Falqueto
JOGOS UMA ESTRATEacuteGIA DE ENSINO ALIADA Agrave TEORIA
DOS JOGOS
Dissertaccedilatildeo apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo PROFMAT ndash Mestrado Profissional em Matemaacutetica em Rede Nacional do Departamento de Matemaacutetica do Centro de Ciecircncias Exatas da Universidade Federal do Espiacuterito Santo como requisito para obtenccedilatildeo de tiacutetulo de Mestre em Matemaacutetica
Orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo
Membros da Banca
Profordf Drordf Rosa Elvira Quispe Ccoyllo
(Orientadora- Universidade Federal do Espiacuterito Santo - UFES)
Profordf Drordf Julia Schaetzle Wrobel
(Examinadora- Universidade Federal do Espiacuterito Santo-UFES)
Prof Dr Valmecir Antocircnio dos Santos Bayer
(Examinador- Universidade Federal do Espiacuterito Santo-UFES)
Prof Dr Juan Elmer Villanueva Zevallos
(Examinador- Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT)
Vitoacuteria - ES 2020
AGRADECIMENTOS
A Deus por fortalecer minha feacute a cada dia e sempre me renovar
Agrave minha famiacutelia que sempre se mostrou presente com palavras de carinho e
apoio
Agrave minha matildee Liacutevia Maria Teixeira Portugal Faustino por ser minha base
Ao meu irmatildeo Zelier Portugal Falqueto pelos incentivos
Ao meu namorado Leomar Cardoso Tiroli por ser meu refuacutegio nos momentos
difiacuteceis
Agrave minha orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo que
mesmo sabendo das minhas dificuldades sempre me prestou auxiacutelio quando
solicitada
A todos os meus professores do PROFMAT da UFES
Aos meus colegas de mestrado que tornaram todo esse tempo mais leve e
certamente uacutenico
Ao meu amigo Maxwel Soares de Oliveira por todos os conselhos
Agrave minha amiga Juacutelia Alcacircntara Roldi de Azeredo que mesmo distante sempre
esteve presente
Agrave minha amiga Rita de Caacutessia Fundatildeo Reis Campos que nunca mediu
esforccedilos para me ajudar no que fosse preciso
RESUMO
Aumentar o interesse na disciplina ao otimizar o tempo em sala de aula
com contribuiccedilatildeo positiva torna-se uma tarefa essencial pois o
desinteresse atrelado agrave evasatildeo satildeo realidades presenciadas em todo
acircmbito escolar Este trabalho foca em um tema muito apreciado
principalmente no que tange o ambiente educacional jogos que tem como
principal finalidade o ensino e aprendizado de forma luacutedica da matemaacutetica
Por esta razatildeo jogos como o Jogo de Nim e o Pocircquer foram escolhidos
que aliados agrave Teoria dos Jogos possibilitaraacute estrateacutegias vencedoras para
cada um entre as situaccedilotildees possiacuteveis
Palavras-chave ambiente educacional jogos Jogo de Nim Pocircquer Teoria dos
Jogos sequecircncia didaacutetica
ABSTRACT
Increasing interest in the discipline by optimizing time in the classroom with
a positive contribution becomes an essential task because the disinterest
linked to dropout are realities witnessed throughout the school This work
focuses on a highly appreciated theme mainly regarding the educational
environment games whose main purpose is the playful teaching and
learning of the mathematics For this reason games like Game of Nim and
Poker were chosen allied to Game Theory which allows determining a
winning strategy for each game among the possible situations
Keywords scholar scope games Nim Game Poker Game Theory teaching
sequence
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees 16
Figura 2 - Tangram 16
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) 25
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) 26
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) 26
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) 27
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) 27
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) 28
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) 28
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) 28
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) 29
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) 29
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) 29
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) 30
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal 35
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C 36
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 43
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo 46
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush 52
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush 52
Figura 21 - Exemplo de Quadra 52
Figura 22 - Exemplo de Full House 53
Figura 23 - Exemplo de Flush 53
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia 53
Figura 25 - Exemplo de Trinca 53
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares 54
Figura 27 - Exemplo de Par 54
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta 54
Figura 29 - Partida entre dois jogadores 59
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) 66
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) 74
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) 75
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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TODHUNTER I A History of The Mathematical Theory of Probability from the time of Pascal to that of Laplace Cambridge and London Macmillan and Co 1865
AGRADECIMENTOS
A Deus por fortalecer minha feacute a cada dia e sempre me renovar
Agrave minha famiacutelia que sempre se mostrou presente com palavras de carinho e
apoio
Agrave minha matildee Liacutevia Maria Teixeira Portugal Faustino por ser minha base
Ao meu irmatildeo Zelier Portugal Falqueto pelos incentivos
Ao meu namorado Leomar Cardoso Tiroli por ser meu refuacutegio nos momentos
difiacuteceis
Agrave minha orientadora Professora Doutora Rosa Elvira Quispe Ccoyllo que
mesmo sabendo das minhas dificuldades sempre me prestou auxiacutelio quando
solicitada
A todos os meus professores do PROFMAT da UFES
Aos meus colegas de mestrado que tornaram todo esse tempo mais leve e
certamente uacutenico
Ao meu amigo Maxwel Soares de Oliveira por todos os conselhos
Agrave minha amiga Juacutelia Alcacircntara Roldi de Azeredo que mesmo distante sempre
esteve presente
Agrave minha amiga Rita de Caacutessia Fundatildeo Reis Campos que nunca mediu
esforccedilos para me ajudar no que fosse preciso
RESUMO
Aumentar o interesse na disciplina ao otimizar o tempo em sala de aula
com contribuiccedilatildeo positiva torna-se uma tarefa essencial pois o
desinteresse atrelado agrave evasatildeo satildeo realidades presenciadas em todo
acircmbito escolar Este trabalho foca em um tema muito apreciado
principalmente no que tange o ambiente educacional jogos que tem como
principal finalidade o ensino e aprendizado de forma luacutedica da matemaacutetica
Por esta razatildeo jogos como o Jogo de Nim e o Pocircquer foram escolhidos
que aliados agrave Teoria dos Jogos possibilitaraacute estrateacutegias vencedoras para
cada um entre as situaccedilotildees possiacuteveis
Palavras-chave ambiente educacional jogos Jogo de Nim Pocircquer Teoria dos
Jogos sequecircncia didaacutetica
ABSTRACT
Increasing interest in the discipline by optimizing time in the classroom with
a positive contribution becomes an essential task because the disinterest
linked to dropout are realities witnessed throughout the school This work
focuses on a highly appreciated theme mainly regarding the educational
environment games whose main purpose is the playful teaching and
learning of the mathematics For this reason games like Game of Nim and
Poker were chosen allied to Game Theory which allows determining a
winning strategy for each game among the possible situations
Keywords scholar scope games Nim Game Poker Game Theory teaching
sequence
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees 16
Figura 2 - Tangram 16
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) 25
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) 26
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) 26
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) 27
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) 27
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) 28
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) 28
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) 28
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) 29
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) 29
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) 29
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) 30
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal 35
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C 36
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 43
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo 46
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush 52
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush 52
Figura 21 - Exemplo de Quadra 52
Figura 22 - Exemplo de Full House 53
Figura 23 - Exemplo de Flush 53
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia 53
Figura 25 - Exemplo de Trinca 53
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares 54
Figura 27 - Exemplo de Par 54
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta 54
Figura 29 - Partida entre dois jogadores 59
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) 66
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) 74
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) 75
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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RESUMO
Aumentar o interesse na disciplina ao otimizar o tempo em sala de aula
com contribuiccedilatildeo positiva torna-se uma tarefa essencial pois o
desinteresse atrelado agrave evasatildeo satildeo realidades presenciadas em todo
acircmbito escolar Este trabalho foca em um tema muito apreciado
principalmente no que tange o ambiente educacional jogos que tem como
principal finalidade o ensino e aprendizado de forma luacutedica da matemaacutetica
Por esta razatildeo jogos como o Jogo de Nim e o Pocircquer foram escolhidos
que aliados agrave Teoria dos Jogos possibilitaraacute estrateacutegias vencedoras para
cada um entre as situaccedilotildees possiacuteveis
Palavras-chave ambiente educacional jogos Jogo de Nim Pocircquer Teoria dos
Jogos sequecircncia didaacutetica
ABSTRACT
Increasing interest in the discipline by optimizing time in the classroom with
a positive contribution becomes an essential task because the disinterest
linked to dropout are realities witnessed throughout the school This work
focuses on a highly appreciated theme mainly regarding the educational
environment games whose main purpose is the playful teaching and
learning of the mathematics For this reason games like Game of Nim and
Poker were chosen allied to Game Theory which allows determining a
winning strategy for each game among the possible situations
Keywords scholar scope games Nim Game Poker Game Theory teaching
sequence
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees 16
Figura 2 - Tangram 16
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) 25
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) 26
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) 26
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) 27
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) 27
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) 28
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) 28
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) 28
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) 29
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) 29
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) 29
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) 30
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal 35
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C 36
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 43
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo 46
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush 52
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush 52
Figura 21 - Exemplo de Quadra 52
Figura 22 - Exemplo de Full House 53
Figura 23 - Exemplo de Flush 53
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia 53
Figura 25 - Exemplo de Trinca 53
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares 54
Figura 27 - Exemplo de Par 54
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta 54
Figura 29 - Partida entre dois jogadores 59
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) 66
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) 74
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) 75
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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ABSTRACT
Increasing interest in the discipline by optimizing time in the classroom with
a positive contribution becomes an essential task because the disinterest
linked to dropout are realities witnessed throughout the school This work
focuses on a highly appreciated theme mainly regarding the educational
environment games whose main purpose is the playful teaching and
learning of the mathematics For this reason games like Game of Nim and
Poker were chosen allied to Game Theory which allows determining a
winning strategy for each game among the possible situations
Keywords scholar scope games Nim Game Poker Game Theory teaching
sequence
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees 16
Figura 2 - Tangram 16
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) 25
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) 26
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) 26
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) 27
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) 27
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) 28
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) 28
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) 28
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) 29
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) 29
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) 29
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) 30
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal 35
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C 36
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 43
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo 46
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush 52
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush 52
Figura 21 - Exemplo de Quadra 52
Figura 22 - Exemplo de Full House 53
Figura 23 - Exemplo de Flush 53
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia 53
Figura 25 - Exemplo de Trinca 53
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares 54
Figura 27 - Exemplo de Par 54
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta 54
Figura 29 - Partida entre dois jogadores 59
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) 66
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) 74
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) 75
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees 16
Figura 2 - Tangram 16
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) 25
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) 26
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) 26
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) 27
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) 27
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) 28
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) 28
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) 28
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) 29
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) 29
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) 29
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) 30
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal 35
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C 36
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 43
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo 46
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush 52
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush 52
Figura 21 - Exemplo de Quadra 52
Figura 22 - Exemplo de Full House 53
Figura 23 - Exemplo de Flush 53
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia 53
Figura 25 - Exemplo de Trinca 53
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares 54
Figura 27 - Exemplo de Par 54
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta 54
Figura 29 - Partida entre dois jogadores 59
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) 66
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) 74
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) 75
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
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Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
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quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
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CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
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A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
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Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
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Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) 67
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) 73
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) 74
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) 74
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) 75
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) 75
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) 22
Tabela 2 Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros 48
Tabela 3 Matriz dos play-offs do Chicken Game 49
SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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SUMAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO 12
Justificativa 12
Motivaccedilatildeo e Objetivos 15
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho 17
Organizaccedilatildeo do Trabalho 18
CAPIacuteTULO 1 19
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS 19
11 Fatos Histoacutericos 19
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio 19
13 Proposiccedilatildeo 21
14 Jogo de Nim 24
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim 25
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim 30
17 Conclusatildeo 34
CAPIacuteTULO 2 35
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA 35
21 Fatos Histoacutericos 35
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem 36
23 Conclusatildeo 38
CAPIacuteTULO 3 39
PROBABILIDADE 39
31 Fatos Histoacutericos 39
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade 40
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo 41
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo 42
34 Probabilidade Condicional 43
CAPIacuteTULO 4 45
TEORIA DOS JOGOS 45
41 Consideraccedilotildees Iniciais 45
42 Fatos histoacutericos 45
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos 46
44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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44 Dilema dos Prisioneiros 47
45 Equiliacutebrio de Nash 48
46 Chicken Game 48
47 Le Her - Introduccedilatildeo 49
48 Pocircquer 50
481 Texas Holdrsquoem 51
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 55
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem 57
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem 58
CAPIacuteTULO 5 60
METODOLOGIAPROPOSTA DE ENSINO 60
51 Consideraccedilotildees Iniciais 60
52 Sequecircncia Didaacutetica 61
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica 64
54 Resultado e Anaacutelise de Dados 65
55 Consideraccedilotildees Finais 76
REFEREcircNCIAS 78
12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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12
INTRODUCcedilAtildeO
Justificativa
A Greacutecia Antiga apontada como berccedilo da civilizaccedilatildeo ocidental tinha a
Educaccedilatildeo voltada para uma formaccedilatildeo elevada do homem de futuros mestres
e formadores de ideais para uma individualidade perfeita e independente No
diaacutelogo ldquoProtaacutegorasrdquo (seacuteculo IV aC) de Platatildeo se concebe agrave educaccedilatildeo como
uma espeacutecie de modeladora do corpo e da alma onde a Educaccedilatildeo Fiacutesica a
Muacutesica e a Literatura eram as trecircs bases que sustentavam a formaccedilatildeo do
homem grego
A educaccedilatildeo elementar das crianccedilas se iniciava aos sete e terminava aos
treze anos logo soacute aqueles com mais recursos poderiam continuar sua
educaccedilatildeo
Desde o momento em que a Matemaacutetica comeccedilou a tomar forma como
uma aacuterea de conhecimento ainda na era platocircnica e pitagoacuterica jaacute
estava associada a uma classe privilegiada sendo considerada uma
ciecircncia nobre desligada dos ofiacutecios e das atividades manuais
Recebeu status de nobreza e ainda hoje ela eacute tratada como tal Mas
por outro lado o ensino dessa disciplina sempre foi rodeado por muitas
dificuldades e obstaacuteculos quase intransponiacuteveis BERTI (2005 p98)
A partir dos dezesseis anos comeccedilava a educaccedilatildeo superior que era
dada pelos sofistas que ensinavam aos jovens a arte da oratoacuteria Com a
chegada do periacuteodo heleniacutestico (336-146 aC) comeccedilou a ser exigido dos
alunos um conhecimento enciclopeacutedico em detrimento dos aspectos fiacutesicos e
esteacuteticos que perderam sua forccedila Iniciou-se a separaccedilatildeo entre as disciplinas
humanistas (Gramaacutetica Retoacuterica e Dialeacutetica) e as cientiacuteficas (Aritmeacutetica
Geometria Muacutesica Astronomia) e o estudo da Filosofia se intensificou Com
o tempo a educaccedilatildeo grega foi se modificando e deixou para traacutes a sua
essecircncia inicial A busca pela virtude decorrente de uma formaccedilatildeo mais eacutetica
acabou dando lugar a um tipo de educaccedilatildeo mais utilitarista que preparasse o
13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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13
aluno para a vida privada e puacuteblica Uma espeacutecie de adestramento infantil
(JAEGER 2001)
Os fatos supracitados formam parte da histoacuteria da educaccedilatildeo que
propiciou a popularizaccedilatildeo da Matemaacutetica como disciplina oferecida nas
escolas onde antigamente soacute aqueles com mais recursos podiam ascender a
uma educaccedilatildeo elevada e que agora eacute universal Talvez este seja o ponto de
partida para que essa disciplina comece a ser estigmatizada pelos alunos ao
longo dos tempos Estudos apontam que no Brasil esse sentimento se repete
em praticamente todos os segmentos da educaccedilatildeo
Para os professores da disciplina matemaacutetica precisa tornar-se faacutecil
o que pressupotildee que ela seja difiacutecil Estes identificam na voz do aluno
que ela eacute considerada chata e misteriosa que assusta e causa pavor
e por consequecircncia o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha
por natildeo a aprender Como resultado de tantos sentimentos ruins que
esta disciplina proporciona ao aluno somado ao bloqueio em natildeo
dominar sua linguagem e natildeo ter acesso ao seu conhecimento vem o
sentimento de oacutedio pela matemaacutetica Oacutedio porque ela eacute difiacutecil
SILVEIRA (2002 p 8)
Dantas Filho (2017 p 100) diz que conforme a avaliaccedilatildeo do Foacuterum
Econocircmico Mundial a educaccedilatildeo em Matemaacutetica no Brasil eacute considerada uma
das piores do Mundo Entre 139 paiacuteses avaliados o Brasil ocupou a 133ordf
colocaccedilatildeo Previamente em 2014 menos de 6 dos alunos brasileiros se
encontravam em niacutevel adequado de aprendizado isto eacute grande parte dos
alunos eram analfabetos funcionais e natildeo conseguiam racionar nem interpretar
dados simples (SAEB1) Em 2016 o Brasil era um dos dez paiacuteses com maior
nuacutemero de estudantes com baixo rendimento escolar em Matemaacutetica segundo
a OCDE2 E o (PISA-20163) classificou o Brasil na 58ordf posiccedilatildeo entre 65 paiacuteses
participantes Nessa pesquisa dos alunos avaliados 75 natildeo souberam fazer
meacutedia simples e 63 natildeo foram capazes de responder perguntas sobre
porcentuais
1 Sistema de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (DANTAS FILHO 2017) 2 Organizaccedilatildeo para a Cooperaccedilatildeo e Desenvolvimento Econocircmico (DANTAS FILHO 2017) 3 Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo do Aluno (DANTAS FILHO 2017)
14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
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Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
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quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
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CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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14
Os alunos fracassados no ensino fundamental provavelmente faratildeo
peacutessimo ensino meacutedio consequentemente evadiratildeo da escola ou natildeo
teratildeo desejos e ou condiccedilotildees de entrar na faculdade Por natildeo
possuiacuterem leitura criacutetica nem reflexiva natildeo teratildeo clara visatildeo de mundo
e nem esquadrinharatildeo o que ele deteacutem SILVA (2004) OLIVEIRA
(2005)
Em vista disso visando reduzir parte desse problema o presente
trabalho foi desenvolvido com o intuito de motivar e revelar ao aluno que a
Matemaacutetica estaacute presente em tudo o que o cerca na forma geomeacutetrica
hexagonal de um favo de mel nas oacuterbitas dos planetas na forma microscoacutepica
da dupla heacutelice do DNA na forma fractal de um floco de neve na simetria das
asas de uma borboleta e ateacute mesmo em jogos que eacute especificamente o tema
envolvido neste estudo
A motivaccedilatildeo no contexto escolar tem sido avaliada como um
determinante criacutetico do niacutevel e da qualidade da aprendizagem e do
desempenho Um estudante motivado mostra-se ativamente envolvido
no processo de aprendizagem engajando-se e persistindo em tarefas
desafiadoras despendendo esforccedilos usando estrateacutegias adequadas
buscando desenvolver novas habilidades de compreensatildeo e de
domiacutenio Apresenta entusiasmo na execuccedilatildeo das tarefas e orgulho
acerca dos resultados de seus desempenhos podendo superar
previsotildees baseadas em suas habilidades ou conhecimentos preacutevios
GUIMARAtildeES BORUCHOVITCH (2004 p 143)
Para abordar o tema dos jogos seraacute apresentado uma introduccedilatildeo agrave
Teoria dos Jogos Esta pesquisa pretende fazer ligaccedilotildees interessantes entre a
Matemaacutetica e alguns jogos tendo como foco o estudo de decisotildees estrateacutegicas
que podem ser tomadas a fim de favorecer algum jogador
Juntamente com a relaccedilatildeo Teoria dos Jogos - Matemaacutetica (Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades) - Jogos seratildeo
abordados aspectos histoacutericos a respeito da Teoria dos Jogos assim
propiciando mecanismos para uma futura compreensatildeo desta Tambeacutem seratildeo
abordados aspectos histoacutericos dos jogos em geral para depois exemplificar
alguns Por fim seratildeo ressaltadas algumas relaccedilotildees desses jogos com a Teoria
dos Jogos fornecendo uma visatildeo macro de toda a pesquisa
15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
REFEREcircNCIAS
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15
Motivaccedilatildeo e Objetivos
Eacute o jogo e pelo jogo que a civilizaccedilatildeo surge e se desenvolve Tudo isso
se daacute devido ao fasciacutenio e atraccedilatildeo provocada pelo jogo no homem O
jogo eacute um recorte do tempo onde a pessoa assume uma vida paralela
agrave real e como eacute sabido que a cultura humana soacute se daacute com a existecircncia
da segunda realidade eacute natural uma certa tendecircncia do homem ao jogo
por este ser um grande agente responsaacutevel por essa manifestaccedilatildeo
HUIZINGA (2000)
Jogos de um modo geral chamam a atenccedilatildeo de crianccedilas adolescentes
e adultos Baseado nisso eacute que foi idealizado este trabalho ao relacionar algo
prazeroso para a maioria dos estudantes com outro nem tanto a Matemaacutetica
Assim pode ser que o aluno transfira parte desse prazer para esta disciplina tatildeo
estigmatizada Esta associaccedilatildeo poderaacute propiciar maior dedicaccedilatildeo e interesse
por parte do aluno ajudando-o a superar possiacuteveis obstaacuteculos e dificuldades
que se apresentem no estudo dessa ciecircncia
() autores como Grando e Kishimoto defendem que o uso de jogos
eacute uma alternativa de resgatar tais vontades sempre tendo em vista os
valores pedagoacutegicos ou seja o desencadeamento de exploraccedilotildees e
aplicaccedilotildees de conceitos matemaacuteticos a partir do jogo ALVES
OLIVEIRA (2016 p 2)
Diversos jogos podem ser utilizados como recurso didaacutetico para o
ensino-aprendizagem da Matemaacutetica como exemplos podem ser citados o
ldquoBingo de Fraccedilotildeesrdquo (figura I) que pode ser aplicado para os alunos do sexto
ano do Ensino Fundamental ou quinta etapa da EJA4 eacute um jogo que permite
aos participantes relacionar cada fraccedilatildeo com a imagem correspondente na
cartela o ldquoTangramrdquo (figura II) que eacute um outro jogo que pode ser utilizado como
recurso visando reforccedilar alguns conceitos da Geometria Plana o jogo de
ldquoPerguntas e Respostasrdquo onde perguntas satildeo elaboradas sobre o conteuacutedo
que eacute objeto de estudo e os alunos divididos em grupos respondem e marcam
pontos
4 Educaccedilatildeo de Jovens e Adultos
16
Figura 1 - Bingo de Fraccedilotildees Fonte Paacutegina Atividades PIBID5
Figura 2 - Tangram Fonte Paacutegina DHgate6
5 Disponiacutevel em httpspibidifsparqblogspotcom201906bingo-de-fracoeshtml Acesso em 05 outubro 2020 6 Disponiacutevel em httpsptdhgatecomproductcolorful-wooden-tangram-7-pcs-set-jigsaw48 75524 39html Acesso em 05 outubro 2020
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
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16
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17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
18
quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
19
CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
20
Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
21
A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
24
negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
25
Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
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SOBRINHO C A S Estrateacutegias Discretas em Teoria dos Jogos Goiacircnia UFG 2013
TAVARES CS BRITO FRM Contando a Histoacuteria da Contagem Revista do professor de Matemaacutetica SBM V-57 junho 2005
TODHUNTER I A History of The Mathematical Theory of Probability from the time of Pascal to that of Laplace Cambridge and London Macmillan and Co 1865
17
Jogos podem ser escolhidos para introduzir aprimorar ou tornar mais
claro a compreensatildeo do conteuacutedo
Outro motivo para a introduccedilatildeo de jogos nas aulas de matemaacutetica eacute a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de
nossos estudantes que temem a Matemaacutetica e sentem-se
incapacitados para aprendecirc-la Dentro da situaccedilatildeo de jogo onde eacute
impossiacutevel uma atitude passiva e a motivaccedilatildeo eacute grande notamos que
ao mesmo tempo em que estes alunos falam de Matemaacutetica
apresentam tambeacutem um melhor desempenho e atitudes mais positivas
frente a seus processos de aprendizagem TIMM GROENWALD
(2008 p 1)
Objetivo geral
Essa pesquisa tem por objetivo utilizar temas do Ensino Meacutedio e Teoria
dos Jogos para analisar estrateacutegias vencedoras em alguns jogos Aleacutem disso
objetiva-se tambeacutem estimular a criatividade do aluno e o seu raciociacutenio loacutegico
Objetivo especiacutefico
Contextualizar por meio de jogos conteuacutedos jaacute estudados por exemplo
divisatildeo euclidiana anaacutelise combinatoacuteria probabilidade etc utilizar o sistema
de numeraccedilatildeo binaacuterio para analisar estrateacutegias para o Jogo de Nim apresentar
a Teoria dos Jogos aos alunos e utilizaacute-la para apresentar aos alunos o Pocircquer
Metodologia de Desenvolvimento do Trabalho
A priori seratildeo feitas recapitulaccedilotildeesabordagens sobre Nuacutemeros
Binaacuterios Anaacutelise Combinatoacuteria e Teoria das Probabilidades assim o aluno
conseguiraacute ter um conhecimento preacutevio para compreender a Teoria dos Jogos
Em seguida seraacute fornecida uma explanaccedilatildeo sobre esta Teoria com a parte
histoacuterica propulsores e conceitos necessaacuterios para a compreensatildeo dos jogos
abordados Apoacutes os alunos poderatildeo perceber a relaccedilatildeo existente entre agrave
Matemaacutetica e a Teoria estudada anteriormente Havendo esse
amadurecimento seratildeo abordados alguns jogos (Jogo de Nim Pocircquer) nos
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quais os alunos conseguiratildeo compreender mais concretamente os conceitos
abordados pela Teoria Os alunos perceberatildeo por fim a importacircncia da Teoria
e como ela pode ajudar nas possiacuteveis tomadas de decisotildees nos jogos
Organizaccedilatildeo do Trabalho
Eacute feita uma introduccedilatildeo a respeito do desenvolvimento da Matemaacutetica e
uma pequena amostra do que seraacute abordado nos outros capiacutetulos No Capiacutetulo
1 apresentamos um breve apanhado sobre Nuacutemeros Binaacuterios a fim de que o
leitor tenha o conhecimento necessaacuterio para que em seguida possa
compreender o Jogo de Nim No Capiacutetulo 2 uma abordagem geral sobre
Anaacutelise Combinatoacuteria eacute colocada tambeacutem com o intuito de situar o leitor em
capiacutetulos que seguiratildeo Assim como foi salientado pelos Capiacutetulos 3 e 4 o
Capiacutetulo 3 que diz respeito agrave Probabilidade segue a mesma ideia Jaacute no
Capiacutetulo 4 abordamos o tema central deste trabalho Teoria dos Jogos com
seus aspectos histoacutericos definiccedilotildees e exemplos No Capiacutetulo 5 a teoria
englobada ateacute entatildeo eacute posta na praacutetica por meio de uma sequecircncia didaacutetica
analisada por dados estatiacutesticos
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CAPIacuteTULO 1
NUacuteMEROS BINAacuteRIOS
11 Fatos Histoacutericos
O matemaacutetico George Boole em 1854 publicou um artigo fundamental
conhecido como Aacutelgebra Booleana que foi importante na aplicaccedilatildeo a circuitos
eletrocircnicos por meio do Sistema Binaacuterio A tese de Claude Shanon ldquoA Symbolic
Analysis of Relay and Switching Circuitsrdquo implementou a Aacutelgebra Booleana e
aritmeacutetica binaacuteria em 1937
Na linguagem de computador temos a simplificaccedilatildeo do caacutelculo binaacuterio
para a loacutegica booleana Nesse caso cada diacutegito binaacuterio dentro de um
computador que eacute constituiacutedo pelos nuacutemeros 0 e 1 recebe o nome de bit que
vem do termo em inglecircs Binary Term (PRONATEC 2019)
O sistema binaacuterio eacute base para a Aacutelgebra booleana que permite fazer
operaccedilotildees loacutegicas e aritmeacuteticas usando-se apenas dois diacutegitos ou dois estados
(sim e natildeo falso e verdadeiro tudo ou nada 1 ou 0 ligado e desligado) Toda
a eletrocircnica digital e computaccedilatildeo estaacute baseada nesse sistema binaacuterio e na
loacutegica de Boole que permite representar por circuitos eletrocircnicos digitais
(portas loacutegicas) os nuacutemeros caracteres realizar operaccedilotildees loacutegicas e
aritmeacuteticas Os programas de computadores satildeo codificados sob forma binaacuteria
e armazenados nas miacutedias (memoacuterias discos) sob esse formato (SCOTTI
et al 2018)
12 Definiccedilatildeo de Nuacutemero Binaacuterio
De acordo com SCOTTI et al (2018 p 2)
O sistema binaacuterio ou base 2 eacute um sistema de numeraccedilatildeo posicional em
que todas as quantidades se representam com base em dois nuacutemeros
Siacutembolos da base Binaacuteria 0 e 1
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Com o intuito de concretizar a definiccedilatildeo acima temos que compreender
como converter um nuacutemero escrito no sistema posicional de base 10 para a
base 2 Para isso eacute necessaacuterio dividir sucessivamente o nuacutemero que se quer
converter por 2 e os quocientes consecutivos Assim o nuacutemero binaacuterio seraacute
formado pelo quociente da uacuteltima divisatildeo cujo valor eacute um seguido dos restos
de todas as divisotildees na sequecircncia em que foram realizadas
Por exemplo para transformar o nuacutemero 11 (na base 10) em um nuacutemero
binaacuterio (na base 2) seratildeo feitos os seguintes caacutelculos
11 2 = 5 resto 1
5 2 = 2 resto 1
2 2 = 1 resto 0
Assim 11 (na base 10) eacute igual a 1011 (na base 2) ou tambeacutem
11 = 1times23 + 0times22 + 1times21 + 1times20 = 10112
A seguir seratildeo definidos a adiccedilatildeo algumas propriedades e lemas a
respeito de nuacutemeros binaacuterios com base no artigo Jogos Cecirc Manja ou Nim de
Davi Lopes (2017)
Definiccedilatildeo Dados dois nuacutemeros inteiros 119886 e 119887 natildeo negativos eles
seratildeo representados na base 2 na forma
119886 = (1198860 1198861 1198862 hellip 119886119896)
119887 = (1198870 1198871 1198872 hellip 119887119904)
Compostos dos algarismos 0 ou 1 ( valores atribuiacutedos a 119886119894 e 119887119894 para
119894 = 012 max k s ) e correspondendo a escrita de cada nuacutemero agrave forma
1198860 + 1198861 2 + 1198862 2sup2 + ⋯ +119886119896 2119896 e 1198870 + 1198871 2 + 1198872 22 + ⋯ + 119887119904 2119904
respectivamente
A efeito de comparaccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios seraacute considerado o
seguinte se dois nuacutemeros na base 2 natildeo tem o mesmo nuacutemero de algarismos
entatildeo ao menor deles seraacute acrescentado zeros agrave esquerda sem alterar o seu
valor de forma que os nuacutemeros tenham a mesma quantidade de algarismos
Por exemplo 11 e 111 seratildeo vistos como 011 e 111
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A soma7 de dois nuacutemeros representados na base 2 seraacute definido na
forma
119886 oplus 119887 = 119888 = (1198880 1198881 hellip 119888119896) onde 119888119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894 119894 = 1 2 hellip 119896
Para exemplificar a definiccedilatildeo acima seraacute calculado 11 oplus 14
11 oplus 14 = (1011)2 + (1110)2
= (0101)2
= 5
13 Proposiccedilatildeo
Sejam 119886 119887 119888 nuacutemeros inteiros natildeo negativos 8 na representaccedilatildeo
binaacuteria Entatildeo para a adiccedilatildeo de nuacutemeros binaacuterios satildeo vaacutelidas as seguintes
propriedades
1ordf ndash Comutativa 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordf ndash Associativa (119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordf ndash Existecircncia do Elemento Neutro 119886 oplus 0 = 119886
4ordf ndash Existecircncia do Inverso Aditivo 119886 oplus 119886 = 0
5ordf ndash Unicidade do Elemento Neutro Se 119886 oplus 119887 = 119886 entatildeo 119887 = 0
6ordf ndash Unicidade do Inverso Aditivo se 119886 oplus 119887 = 0 entatildeo 119887 = 119886
Demonstraccedilatildeo
1ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119886 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = 119886119894
1 119904119890 119887119894 ne 119886119894
Assim pela definiccedilatildeo da adiccedilatildeo percebemos que 119886 oplus 119887 = 119887 oplus 119886
2ordfndash Se 119886 oplus 119887 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119887119894
1 119904119890 119886119894 ne 119887119894
119887 oplus 119888 = (119909prime0 119909prime1 119909prime2 hellip ) onde 119909prime119894 = 0 119904119890 119887119894 = c119894
1 119904119890 119887119894 ne c119894
7 Vale ressaltar que a adiccedilatildeo como estaacute sendo definida natildeo eacute a adiccedilatildeo usual praticada para os nuacutemeros na base 10 sendo esta adiccedilatildeo exclusiva para o Sistema Binaacuterio 8 119886 119887 ou 119888 podem ser iguais a 0 que corresponde ao mesmo 0 na base 10 visto que 0 na base
2 eacute (0)2 = 0 20 = 0
22
Entatildeo (119886 oplus 119887) oplus 119888 = (1199100 1199101 1199102 hellip ) onde 119910119894 = 0 119904119890 119909119894 = 119888119894
1 119904119890 119909119894 ne 119888119894
119886 oplus (119887 oplus 119888) = (119910prime0 119910prime1 119910prime2 hellip ) onde 119910prime119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119909prime119894
1 119904119890 119886119894 ne 119909prime119894
Dessa forma basta mostrar que 119910119894 = 119910prime119894 para todo 119894 = 1 2 3 hellip 119896 Para
isso analisemos todos os possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894)
Tabela 1 - Anaacutelise dos possiacuteveis valores de (119886119894 119887119894 119888119894) Fonte LOPES (2017 p 3)
Assim concluiacutemos que 119910119894 = 119910prime119894 e consequentemente que
(119886 oplus 119887) oplus 119888 = 119886 oplus (119887 oplus 119888)
3ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 0 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 01 119904119890 119886119894 ne 0
Observe que 119886119894 soacute assume valores 0 ou 1 dessa forma se conclui que
para cada valor de 119894 logo 119886 oplus 0 seraacute o proacuteprio 119886
4ordfndash Por definiccedilatildeo 119886 oplus 119886 = (1199090 1199091 1199092 hellip ) onde 119909119894 = 0 119904119890 119886119894 = 119886119894
1 119904119890 119886119894 ne 119886119894
Como 119886 = 119886 logo 119909119894 = 0 para cada 119894 isin 1 2 3 hellip 119896 Assim 119886 oplus 119886 = 0
Logo 119886 eacute um inverso aditivo do proacuteprio 119886
5ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 119886 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda e utilizando as propriedades de adiccedilatildeo jaacute provadas tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 119886 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 0 ⇾ Pela propriedade da Comutatividade
119887 = 0 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
23
6ordfndash Por hipoacutetese temos 119886 oplus 119887 = 0 Somando-se 119886 em ambos os lados agrave
esquerda por meio das propriedades da tem-se
119886 oplus (119886 oplus 119887) = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a boa definiccedilatildeo da adiccedilatildeo
(119886 oplus 119886) oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a associatividade
0 oplus 119887 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade do inverso aditivo
119887 oplus 0 = 119886 oplus 0 ⇾ Aplicando a propriedade da Comutatividade
119887 = 119886 ⇾ Aplicando a propriedade do neutro aditivo
∎
Com base nas propriedades supracitadas seratildeo destacados dois lemas
que fundamentaratildeo o Jogo de Nim e satildeo precisamente esses resultados os
que forneceratildeo uma estrateacutegia vencedora
Lema 1 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 e 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo negativos
tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 isto eacute 119899119895 ne 119899prime119895
Se 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 = 0 entatildeo 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
Demonstraccedilatildeo
Utilizando o meacutetodo de demonstraccedilatildeo denominado de contra positiva
supor que 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0 Dessa forma tem-se a soma
(1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus (119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896) = 0 oplus 0 = 0
Logo utilizando as propriedades de associatividade e comutatividade
(1198991 oplus 119899prime1) oplus (1198992 oplus 119899prime2) oplus oplus (119899119896 oplus 119899prime119896) = 0
Por hipoacutetese 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 entatildeo
119899119894 oplus 119899prime119894 = 0 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 Assim
0 oplus 0 oplus hellip oplus (119899119895 oplus 119899prime119895) oplus oplus (0 oplus 0) = 0
Daiacute tem-se que (119899119895 oplus 119899prime119895) = 0 logo pela unicidade do inverso aditivo 119899119895 = 119899prime119895
absurdo portanto 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 ne 0
∎
Lema 2 Sejam 1198991 1198992 hellip 119899119896 inteiros natildeo negativos satisfazendo a
condiccedilatildeo 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896 ne 0 Entatildeo existem 119899prime1 119899prime2 hellip 119899prime119896 inteiros natildeo
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negativos tais que 119899119894 = 119899prime119894 para todo 119894 = 1 2 hellip 119896 exceto para um 119894 = 119895 onde
119899prime119895 lt 119899119895 e que satisfazem 119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 0
Demonstraccedilatildeo
Seja 119904 = 1198991 oplus 1198992 oplusoplus 119899119896 Por hipoacutetese 119904 ne 0 logo existe pelo menos
um algarismo 1 em 119904 (na representaccedilatildeo em base 2) Considere 119889 a posiccedilatildeo
do algarismo 1 de 119904 mais agrave esquerda Dessa forma deve existir um 119894 = 119895 tal que
119899119895 possui o algarismo 1 na posiccedilatildeo 119889 Caso contraacuterio soacute se teria 0 na posiccedilatildeo
119889 de cada 119899119894 para 119894=12 k e que ao efetuar a soma dos 119899119894 o algarismo da
posiccedilatildeo 119889 tambeacutem seria 0 Absurdo
Em outras palavras podemos expressar
119904 = (00 hellip 01119904119896minus1 hellip 11990421199041)2 e 119899119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+11119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Agora defina 119899prime119895 = 119904 oplus 119899119895 Nota-se que 119899prime119895lt 119899119895 visto que
119899prime 119895 = (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120782119909prime119896minus1 hellip 119909prime2119909prime1)2 lt (119909119905+119896119909119905+119896minus1 hellip 119909119896+1120783119909119896minus1 hellip 11990921199091)2
Ao definir os 119899prime119894 = 119899119894 para 119894 ne j se chegaraacute ao resultado procurado
119899prime1 oplus 119899prime2 oplus oplus 119899prime119896 = 1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899prime119895 oplus oplus 119899119896
= 1198991 oplus 1198992 oplus oplus (119904 oplus 119899119895) oplus oplus 119899119896
= (1198991 oplus 1198992 oplus oplus 119899119896) oplus 119904
= 119904 oplus 119904
= 0
∎
14 Jogo de Nim
O jogo de Nim praticado na Europa desde o seacuteculo XVI teve sua origem
na antiga China e para jogaacute-lo eacute suficiente dispor de palitos pedrinhas favas
moedas ou quaisquer objetos pequenos Em que consiste o jogo Eacute escolhido
um nuacutemero arbitraacuterio de pilhas destes objetos normalmente de trecircs a seis e
em seguida algueacutem (jogador) eacute selecionado para ser o primeiro a jogar Cada
jogador deve remover de uma das pilhas um nuacutemero qualquer de objetos pelo
menos um ganha o Jogo quem retirar o uacuteltimo objeto da mesa
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Dispotildee-se sobre uma mesa um nuacutemero N de palitos separados em
trecircs grupos de n1 n2 e n3 palitos (n1+ n2+ n3 = N) de modo que ni ne
nj se i ne j O jogo eacute realizado por dois jogadores Cada jogador na sua
vez deve retirar um nuacutemero qualquer (ne 0) de palitos de um e de
apenas um dos grupos Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s)
uacuteltimo(s) palito(s) ganha o jogo HEFEZ (2014 p77)
Charles L Bouton que deu o nome ao Jogo publicou um artigo em 1901
que o esclareceu definitivamente Neste artigo ele desenvolveu um meacutetodo que
envolve escrever o nuacutemero de palitos em cada pilha em notaccedilatildeo binaacuteria
Em 1910 o matemaacutetico Moore propocircs um jogo alternativo ao Jogo de
Nim chamado de Nimk publicando um artigo que mostrava as estrateacutegias para
esta nova modalidade do jogo Nimk eacute como o Jogo de Nim mas ao inveacutes de
poder retirar palitos de uma uacutenica pilha pode ser retirado palitos de uma a k
pilhas Por exemplo em Nim2 pode-se retirar qualquer nuacutemero de palitos de
uma ou duas pilhas Em 1961 o Jogo ganhou notoriedade com a apariccedilatildeo no
filme O Ano Passado em Marienbad de Alain Resnais
15 Estrateacutegias para jogar o Jogo de Nim
A seguir seratildeo apresentados exemplos especiacuteficos de estrateacutegias
vencedoras para o Jogo de Nim
a) Configuraccedilatildeo (3 5 2)
Primeiramente vamos entender o significado da configuraccedilatildeo (3 5 2) O
nuacutemero 3 representa a quantidade de palitos no primeiro grupo o 5 no
segundo e 2 no terceiro como na ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 3 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (I) Fonte O autor (2020)
26
A estrateacutegia consistiraacute em dividir cada grupo de palitos utilizando a(s)
maior(es) potecircncia(s) de 2 possiacutevel independentemente da quantidade de
palitos em cada grupo e em seguida ver se a configuraccedilatildeo estaacute equilibrada
ou seja se a quantidade de potecircncias de dois se apresenta em pares ao
considerar os trecircs grupos (Observe a definiccedilatildeo da soma binaacuteria e suas
propriedades) Caso natildeo esteja se retiraraacute o quantitativo de palitos a fim de
deixar o sistema em equiliacutebrio
Por exemplo na configuraccedilatildeo (3 5 2) a divisatildeo de cada grupo em
potecircncias de 2 se apresenta da forma seguinte
Figura 4 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (II) Fonte O autor (2020)
A partir disso percebemos que existem dois grupos com 1 palito cada e
dois grupos com 2 palitos cada tendo apenas um grupo com 4 palitos Logo a
configuraccedilatildeo estaacute em desequiliacutebrio Assim para que o jogador tenha vantagem
em sua jogada ele teraacute que tirar os 4 palitos do segundo grupo procurando
assim deixar o sistema em equiliacutebrio
Figura 5 - Configuraccedilatildeo (3 5 2) (III) Fonte O autor (2020)
E sempre que o jogador receber alguma configuraccedilatildeo em equiliacutebrio
como a de cima este estaraacute em desvantagem pois qualquer jogada que este
faccedila faraacute com que o sistema volte a se desequilibrar
27
Ganharaacute o jogador que conseguir em sua uacuteltima jogada entregar para
o seu adversaacuterio um sistema equilibrado ou melhor receber uma configuraccedilatildeo
desequilibrada (e que ele com conhecimento de causa consiga equilibrar)
b) Configuraccedilatildeo (7 9 4)
Anaacutelogo ao que foi feito com a configuraccedilatildeo (352) acima vamos dividir
cada grupo da configuraccedilatildeo (7 9 4) em potecircncias de 2
Figura 6 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (I) Fonte O autor (2020)
Observe que haacute uma potecircncia 23 = 8 no segundo grupo poreacutem natildeo
encontramos essa mesma potecircncia em algum dos outros dois grupos para
formar uma paridade Logo procuramos paridades de outras potecircncias
menores no primeiro e terceiro grupo como prioridade
Figura 7 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (II) Fonte O autor (2020)
Podemos perceber que existem dois grupos com 1 palito dois grupos
com 2 palitos e dois grupos com 4 palitos tendo um excedente de 6 palitos no
segundo grupo Logo o sistema estaacute em desequiliacutebrio e para equilibraacute-lo eacute
necessaacuterio que sejam tirados os 6 palitos sobrantes Apoacutes efetivar tal jogada
teremos a seguinte configuraccedilatildeo
28
Figura 8 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (III) Fonte O autor (2020)
Ao receber um jogo com a configuraccedilatildeo acima o jogador jaacute estaraacute em
desvantagem pois o sistema estaacute em equiliacutebrio logo qualquer jogada que ele
faccedila o desequilibraraacute novamente Acima foi considerado a proacutexima jogada o
jogador tiraraacute 1 palito (riscado) do primeiro grupo e a configuraccedilatildeo ficaraacute como
a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 9 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IV) Fonte O autor (2020)
Ao retirar 1 palito do primeiro grupo este teraacute uma nova configuraccedilatildeo
logo a partir da divisatildeo em potecircncias de 2 percebemos que existem dois
grupos com 2 palitos no primeiro e segundo grupo e dois grupos com 4 palitos
no primeiro e terceiro grupos tendo 1 palito em excesso no segundo grupo
como mostra a imagem acima Ao retiraacute-lo o jogador faraacute com que o sistema
volte a ficar equilibrado
Figura 10 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (V) Fonte O autor (2020)
29
Com o sistema equilibrado qualquer jogada que o jogador fizer o
desfavoreceraacute Como foi mostrado acima ele retiraraacute 1 palito (riscado) do grupo
um e a configuraccedilatildeo do jogo ficaraacute como a ilustraccedilatildeo abaixo
Figura 11 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VI) Fonte O autor (2020)
Percebemos que para manter o equiliacutebrio o jogador optaraacute por retirar 1
palito (riscado) do segundo grupo dessa forma se teraacute dois grupos com 1 palito
e dois grupos com 4 palitos
Figura 12 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VII) Fonte O autor (2020)
Estando o sistema em equiliacutebrio qualquer jogada feita pelo jogador o
prejudicaraacute Supor que este opte por tirar 2 palitos (riscados) do terceiro grupo
Figura 13 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (VIII) Fonte O autor (2020)
A fim de que o sistema volte a ficar em equiliacutebrio 2 palitos do primeiro
grupo devem ser retirados para que se tenham dois grupos com 1 palito e dois
grupos com 2 palitos
30
Figura 14 - Configuraccedilatildeo (7 9 4) (IX) Fonte O autor (2020)
Por fim o jogador que recebe um sistema equilibrado como a
configuraccedilatildeo acima estaraacute na desvantagem como foi visto (Figura 5) na
configuraccedilatildeo (3 5 2) no exemplo anterior
16 A matemaacutetica (das estrateacutegias) do Jogo de Nim
Antes de compreender a Matemaacutetica por traacutes do jogo vamos chamar a
soma de nuacutemeros binaacuterios antes definida como soma Nim
Vale ressaltar que jogos de soma zero satildeo jogos que o ganho de um
jogador equivale agrave derrota do outro a cada jogada revezadas os jogadores
utilizam de estrateacutegias especiacuteficas para conseguir a vitoacuteria
Com base nos resultados matemaacuteticos apresentados neste capiacutetulo seraacute
feito uma anaacutelise das jogadas e estrateacutegias do Jogo de Nim com destaque aos
dois lemas antes expostos e que seratildeo amplamente utilizados no jogo Temos
que se a soma Nim de determinada situaccedilatildeo eacute zero (0) entatildeo qualquer
alteraccedilatildeo (jogada) a esta situaccedilatildeo faraacute com que a soma resulte diferente de
zero Se uma situaccedilatildeo apresenta soma Nim diferente de zero (0) entatildeo existe
uma jogada que a tornaraacute igual a zero
Dessa forma o jogador que estiver com soma Nim igual a zero (0) em
sua jogada sairaacute desfavorecido pois qualquer jogada feita por ele alteraraacute a
soma Nim fazendo com que o jogador em determinado momento (se continuar
esta situaccedilatildeo no restante do jogo) perca por natildeo conseguir mais jogar Assim
para que um jogador apresente a estrateacutegia vencedora (estrateacutegia para vencer
o jogo) basta que ele receba a cada jogada uma situaccedilatildeo na qual a soma Nim
seja diferente de 0
31
Para exemplificar considere um jogo com dois participantes jogador A
(jogador experiente) 9 e jogador B (jogador inexperiente 10 ) e a seguinte
configuraccedilatildeo inicial (3 5 2) onde 3 representa a quantidade de palitos no
primeiro grupo 5 no segundo e 2 no terceiro A princiacutepio vamos supor que o
jogador A comece jogando e em seguida o jogador B assim revezando-se um
apoacutes o outro Abaixo segue a forma como o jogo desenrolou-se
(352) rarr (312) rarr (212) rarr (202) rarr (002) rarr (000)
Observando o mesmo jogo a partir da Soma Nim tem-se
3 oplus 5 oplus 2 = 4 rarr Jogo Inicial com soma Nim diferente de zero
3 oplus 1 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
2 oplus 1 oplus 2 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
2 oplus 0 oplus 2 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 2 = 2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo jogador A que ganha
o jogo
Seu equivalente binaacuterio seraacute
(011)2 oplus (101)2 oplus (010)2 = (100)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim natildeo zero
(011)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(010)2 oplus (001)2 oplus (010)2 = (001)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(010)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador A
(000)2 oplus (000)2 oplus (010)2 = (010)2 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador B
(000)2 oplus (000)2 oplus (000)2 = (000)2 rarr Eacute aplicado novamente o Lema 2 pelo
jogador A que ganha o jogo
O jogo como foi descrito acima se desenrola de acordo agraves jogadas do
jogador A que manteve o domiacutenio do jogo ateacute o final Observe que este contou
com dois fatores favoraacuteveis iniciar o jogo com soma Nim diferente de zero e
9 Eacute o jogador que conhece o jogo de Nim e por meio da Teoria dos Jogos sabe utilizar de estrateacutegias para conseguir a melhor configuraccedilatildeo no jogo 10 Eacute o jogador que natildeo conhece ou conhece pouco o jogo de Nim Natildeo possui estrateacutegias bem definidas
32
ser experiente no jogo assim suas estrateacutegias bem definidas e conscientes o
levaram a vencer o jogo independentemente das jogadas do jogador B
Agora vamos supor que o jogador B inicie o jogo seguido pelo jogador
A revezando-se um apoacutes o outro Sendo o jogador B inexperiente e quem inicia
a jogada se procederaacute a uma anaacutelise de jogo diferente da anterior
Pela configuraccedilatildeo que foi dada o jogador B possui 10 possibilidades de
escolhas de como os palitos podem ser tirados nos grupos
(252) (342) (351)
(152) (332) (350)
(052) (322)
(312)
(302)
Dentre essas dez possibilidades somente uma tem soma Nim igual a
zero a possibilidade (312) que faraacute com que o jogador B domine no momento
o jogo
Mesmo sem conhecer estrateacutegias dominantes11 o jogador inexperiente
pode fazer escolhas espertas aumentando assim a probabilidade de vencer o
jogo Essa tomada de decisatildeo de forma consciente visando maximizar o ganho
ou minimizar a perda eacute o que estuda a Teoria dos Jogos que seraacute abordada
de forma mais ampla no capiacutetulo 5 deste trabalho
Uma maneira de o jogador B aumentar as suas chances de vencer eacute
aumentando a probabilidade de suas escolhas ou seja diminuindo o maacuteximo
que pode o nuacutemero de palitos Poreacutem deve ser levado em consideraccedilatildeo que
ao tirar todos os palitos de um grupo em uma uacutenica jogada (que natildeo seja a
uacuteltima) o jogador pode estar favorecendo o oponente jaacute que este teraacute menos
grupos para se preocupar simplificando a configuraccedilatildeo Desta forma o jogador
B pode optar por tirar 4 palitos do segundo grupo tornando a configuraccedilatildeo
inicial em (3 1 2)
O jogador A por ser um jogador experiente observaraacute que a
configuraccedilatildeo recebida por ele eacute desvantajosa assim qualquer jogada que ele
11 Este conceito seraacute abordado no capiacutetulo de Teoria dos Jogos
33
fizer daraacute vantagem ao jogador B que porventura natildeo saberaacute usufruir por natildeo
ter tanto conhecimento do jogo
Pensando de forma anaacuteloga ao jogador B em sua primeira jogada o
jogador A ao receber o jogo com a configuraccedilatildeo (3 1 2) poderaacute optar por tirar
apenas 1 palito do primeiro ou do terceiro grupo pois assim a probabilidade
natildeo aumentaraacute tanto quanto se tirar 2 ou 3 palitos Por conveniecircncia o jogador
A optaraacute por tirar 1 palito do terceiro grupo tornando a configuraccedilatildeo (3 1 1)
O jogador B recebendo a configuraccedilatildeo (3 1 1) pode observar que tem
20 de chance de fazer uma escolha qualquer pois haacute 5 palitos ao todo Mas
ao agir de forma estrateacutegica e lembrando que o jogo eacute sequencial12 este pode
optar por tirar os 3 palitos do primeiro grupo simplesmente (0 1 1)
Ao receber esta configuraccedilatildeo ambos os jogadores sabem que o jogador
B venceu o jogo mesmo sendo inexperiente este utilizou de decisotildees
estrateacutegicas analisando as possibilidades de cada jogada dentro jogo
Agora considere um segundo exemplo com uma configuraccedilatildeo inicial
diferente (9 5 12) Seraacute feita uma anaacutelise semelhante ao exemplo anterior
(9512) rarr (8512) rarr (8412) rarr (2412) rarr (246) rarr (240) rarr
rarr (220) rarr (120) rarr (110) rarr (010) rarr (000)
Na sua representaccedilatildeo em soma de Nim
9 oplus 5 oplus 12 = 0 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
8 oplus 5 oplus 12 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
8 oplus 4 oplus 12 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 12 = 10 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 4 oplus 6 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
2 oplus 4 oplus 0 = 6 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
2 oplus 2 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
1 oplus 2 oplus 0 = 3 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
1 oplus 1 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B
0 oplus 1 oplus 0 = 1 rarr Eacute aplicado o Lema 1 pelo jogador A
0 oplus 0 oplus 0 = 0 rarr Eacute aplicado o Lema 2 pelo jogador B que ganha o jogo
12 Jogo onde um jogador tem conhecimento da jogada do jogador antecessor
34
E seu equivalente binaacuterio seraacute
(1001)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Jogo Inicial com soma Nim zero
(1000)2 oplus (0101)2 oplus (1100)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(1000)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (1100)2 = (1010)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0110)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0010)2 oplus (0100)2 oplus (0000)2 = (0110)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0010)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0001)2 oplus (0010)2 oplus (0000)2 = (0011)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0001)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B
(0000)2 oplus (0001)2 oplus (0000)2 = (0001)2 rarr Foi aplicado o Lema 1 por A
(0000)2 oplus (0000)2 oplus (0000)2 = (0000)2 rarr Foi aplicado o Lema 2 por B que
ganha o jogo
A partir deste exemplo praacutetico eacute possiacutevel visualizar e compreender como
cada jogador reagiu a cada configuraccedilatildeo do jogo e como fez uso de estrateacutegias
algumas vezes baseado nos lemas outras analisando agraves probabilidades
envolvidas em cada jogada para vencer o jogo Dessa forma foi possiacutevel utilizar
a teoria de Nuacutemeros Binaacuterios aliada agrave Teoria dos Jogos a fim de encontrar
uma estrateacutegia vencedora no Jogo de Nim
17 Conclusatildeo
Neste capiacutetulo foi abordado um pouco da teoria de Nuacutemeros Binaacuterios
que inclui definiccedilotildees propriedades e lemas de suma importacircncia que foram
responsaacuteveis por fazer uma ligaccedilatildeo com o Jogo de Nim atrelando a teoria agrave
praacutetica que serviraacute de apoio para o capiacutetulo sobre Teoria dos Jogos
35
CAPIacuteTULO 2
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
21 Fatos Histoacutericos
Como visto a ideia de nuacutemero surgiu a partir da necessidade do homem
contar Com o passar dos anos e com a evoluccedilatildeo da Matemaacutetica meacutetodos
eficazes de contagem surgiram dentre esses a Anaacutelise Combinatoacuteria
Era uma vez um matemaacutetico chamado Pascal que ficou famoso
quando inventou um triacircngulo formado por nuacutemeros o Triacircngulo de
Pascal e deu assim o pontapeacute inicial para a Anaacutelise Combinatoacuteria
TAVARES BRITO (2005 p 1)
Blaise Pascal matemaacutetico francecircs que viveu no seacuteculo XVII escreveu
uma obra intitulada Traiteacute du Triangle Arithmeacutetique e o publicou dois anos mais
tarde Nela eacute possiacutevel encontrar ldquotriacircngulos numeacutericos construiacutedos de uma
forma diferente da que habitualmente usamos hoje a partir da segunda linha
cada elemento eacute obtido como soma dos elementos da linha anterior situados agrave
esquerda ou exatamente acima do elementordquo (TAVARES BRITO 2005)
Figura 15 - Triacircngulo de Pascal Fonte Paacutegina Pinterest13
13 Disponiacutevel em httpsbrpinterestcompin180214422578058836nic_v2=1a5UkI0j8 Acesso em 09 outubro 2020
36
Relatos apontam que desde a antiguidade claacutessica houve estudos sobre
Combinatoacuteria Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) estudou o Stomachion jogo
semelhante ao Tangram 14 constituiacutedo de catorze peccedilas que devem ser
encaixadas para formar um quadrado (EVES 2004)
A partir desse trecho os pesquisadores perceberam que estavam
diante de um problema de combinatoacuteria e mais do que isso poderia
ser o primeiro trabalho registrado na Antiguidade sobre essa aacuterea da
Matemaacutetica SILVA (2017 p 42)
Figura 16 - Stomachion arranjo original encontrado no Coacutedex C Fonte SILVA 2017
Eacute manifestado por Tavares e Brito (2005 p 3) o afirmado em 2003 pelo
historiador de Matemaacutetica da Universidade de Standford (Califoacuternia) Reviel
Netz ldquoo Stomachion natildeo era um mero passatempo mas um objeto executado
por Arquimedes para fins de Anaacutelise Combinatoacuteriardquo
22 Princiacutepio Fundamental da Contagem
MORGADO et al (2006 p 2) afirmam que ldquona Anaacutelise Combinatoacuteria satildeo
estudadas estruturas e relaccedilotildees discretas sendo os problemas mais
frequentes a demonstraccedilatildeo de existecircncia de subconjuntos de elementos de um
14 O Tangram eacute um quebra-cabeccedilas geomeacutetrico chinecircs formado por 7 peccedilas satildeo 2 triacircngulos grandes 2 pequenos 1 meacutedio 1 quadrado e 1 paralelogramo Eacute possiacutevel montar mais de 5000 figuras
37
conjunto finito dado que satisfazem determinadas condiccedilotildees e a contagem ou
classificaccedilatildeo de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas
condiccedilotildees dadasrdquo
Dentro da Anaacutelise Combinatoacuteria destaca-se um dos seus principais
fundamentos O Princiacutepio Fundamental da Contagem
Se uma decisatildeo D1 pode ser tomada de p modos e qualquer que seja
esta escolha a decisatildeo D2 pode ser tomada de q modos entatildeo o
nuacutemero de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisotildees D1
e D2 eacute igual a pq LIMA et al (2006 p 125)
Exemplo Para fazer uma viagem Rio-Satildeo Paulo-Rio posso usar como
transporte o trem o ocircnibus ou o aviatildeo De quantos modos posso escolher os
transportes se natildeo desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na
ida
Resoluccedilatildeo Haacute trecircs modos de escolher o transporte de ida Depois disso
haacute duas alternativas para a volta Dessa forma a resposta eacute 3 2 = 6
Muitas das questotildees envolvendo teoria da Combinatoacuteria podem ser
resolvidas pelo Princiacutepio supracitado (OLIVEIRA 2018) Outro conceito que
vale salientar eacute o de Combinaccedilatildeo Simples
Para que o conceito seja mais bem compreendido observe a seguinte
situaccedilatildeo de quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n
objetos distintos Ou ainda quantos satildeo os subconjuntos com p elementos do
conjunto 1198861 1198862 hellip 119886119899
Cada subconjunto com p elementos eacute chamado de uma combinaccedilatildeo
simples de uma classe p dos n objetos 1198861 1198862 hellip 119886119899 Por exemplo as
combinaccedilotildees simples de classe 3 dos objetos 1198861 1198862 1198863 1198864 1198865 satildeo
1198861 1198862 1198863 1198861 1198862 1198864 1198861 1198862 1198865 1198861 1198863 1198864
1198861 1198863 1198865 1198861 1198864 1198865 1198862 1198863 1198864 1198862 1198863 1198865
1198862 1198864 1198865 1198863 1198864 1198865
Como pocircde ser observado o nuacutemero de combinaccedilotildees simples de classe
3 de 5 objetos eacute 10
38
Segundo MORGADO et al (2006 p 34) O nuacutemero de combinaccedilotildees
simples de classe 119901 de 119899 objetos eacute representado e formulado por
119862119899119901
=119899 (119899 minus 1) hellip (119899 minus 119901 + 1)
119901 0 lt 119901 le 119899
Exemplo Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos
formar se dispomos de 10 frutas diferentes
Resoluccedilatildeo Para formar uma salada basta escolher 4 das 10 frutas o
que pode ser feito de 119862104 =
10987
4= 210 modos
Exemplo De quantos modos podemos escolher 6 pessoas incluindo
pelo menos duas mulheres em um grupo de 7 homens e 4 mulheres
Resoluccedilatildeo As alternativas satildeo
4 homens 2 mulheres
3 homens 3 mulheres
2 homens 4 mulheres
Utilizando a definiccedilatildeo de combinaccedilatildeo simples temos
11986274 1198624
2 + 11986273 1198624
3 + 11986272 1198624
4 = 35 6 + 35 4 + 21 1 = 371 modos
Um outro meacutetodo de resoluccedilatildeo deste exemplo eacute podemos contar todas
as escolhas de 6 pessoas e abater as escolhas sem mulheres (6 homens) e
com apenas uma mulher (e 5 homens) logo
119862116 minus 1198627
6 minus 11986275 1198624
1 = 462 minus 7 minus 84 = 371 modos
23 Conclusatildeo
Este capiacutetulo teve como foco uma sucinta apresentaccedilatildeo da Anaacutelise
Combinatoacuteria com o intuito de situar o leitor para os capiacutetulos subsequentes
No proacuteximo seraacute abordado a Probabilidade para que assim esta teoria junto agrave
Anaacutelise Combinatoacuteria possam ser aplicadas na Teoria dos Jogos
39
CAPIacuteTULO 3
PROBABILIDADE
31 Fatos Histoacutericos
Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal (1623 ndash
1662) e Pierre de Fermat (1601 ndash 1665) devido agrave curiosidade de um
cavalheiro o Chevalier de Meacutereacute jogador apaixonado que em cartas
discutiu com Pascal problemas relativos agrave probabilidade de ganhar em
certos jogos de cartas Despertado seu interesse pelo assunto Pascal
correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamariacuteamos de
probabilidades finitas LIMA et al (2006 p 5)
A teoria elementar das probabilidades jaacute havia sido objeto de atenccedilatildeo
muito antes desse periacuteodo por causa do fasciacutenio das pessoas pelos jogos de
azar Na Divina Comeacutedia de Dante Alighieri (1265 ndash 1321) haacute uma referecircncia
a probabilidades em jogos de dados
O livro De Ludo Aleae15 de Jerocircnimo Cardano (1501 ndash 1576) foi a
primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades A respeito do
livro de Cardano Isaac Todhunter (1820 ndash 1884) matemaacutetico britacircnico em seu
livro Histoacuteria da Teoria Matemaacutetica da Probabilidade ressalta que livro pode
ser bem descrito como um manual para jogadores
Este conteacutem muito sobre jogos com descriccedilatildeo de jogos e com as
precauccedilotildees que se deve ter para se proteger de adversaacuterios dispostos a
trapacear (TODHUNTER 1865)
Satildeo exemplos de jogos exclusivamente dependentes da sorte roleta
e dados pois a vitoacuteria ou a derrota nesses casos natildeo eacute influenciada
por qualquer outro fator (como a habilidade) que natildeo a sorte de uns e
o azar de outros jogadores Jogos que dependam principalmente da
sorte satildeo os jogos de cartas pois embora o fator sorte ou azar seja o
preponderante para se chegar ao resultado alguma habilidade pode
influenciar na vitoacuteria Nos jogos de bingo o resultado depende
15 ldquoLiber de Ludo Aleaerdquo ou Livro sobre os jogos de Azar foi publicado em 1663
40
exclusivamente da sorte ou ao menos esta eacute a principal determinante
do resultado Jaacute os chamados jogos de habilidade natildeo satildeo
considerados jogos de azar mas sim liacutecitos como ocorre com as
competiccedilotildees esportivas bem como os jogos de dama e xadrez que
dependem da inteligecircncia da perspicaacutecia e do raciociacutenio Entretanto a
aposta em si (feita por terceiros) sobre o futuro resultado de em tais
jogos liacutecitos eacute considerada jogo de azar GARCIA (2008 p 562-3)
32 Definiccedilatildeo de Probabilidade
Segundo LIMA et al (2006 p 128) ldquoDiremos que um experimento eacute
determiniacutestico quando repetido em condiccedilotildees semelhantes conduz a
resultados essencialmente idecircnticos Os experimentos que repetidos sob as
mesmas condiccedilotildees produzem resultados geralmente diferentes seratildeo
chamados experimentos aleatoacuterios Fenocircmenos aleatoacuterios acontecem
constantemente em nossa vida diaacuteria Satildeo frequentes perguntas tais como
choveraacute amanhatilde Qual seraacute a temperatura maacutexima no proacuteximo domingo Qual
seraacute o nuacutemero de ganhadores da Loteria Esportiva Quantos habitantes teraacute o
Brasil no ano 2030rdquo
A primeira tarefa consiste em descrever todos os possiacuteveis resultados
do experimento e calcular seu nuacutemero De outra forma explicitar qual
eacute o nuacutemero de possiacuteveis resultados do experimento e calcular o
nuacutemero de elementos contidos nele Este conjunto eacute chamado Espaccedilo
Amostral LIMA et al (2006 p 129)
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do
mesmo gecircnero a um certo nuacutemero de casos igualmente possiacuteveis ou
seja tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existecircncia e
em determinar o nuacutemero de casos favoraacuteveis ao acontecimento cuja
probabilidade eacute buscada A razatildeo deste nuacutemero para o de todos os
casos possiacuteveis eacute a medida dessa probabilidade a qual eacute portanto
uma fraccedilatildeo cujo numerador eacute o nuacutemero de casos favoraacuteveis e cujo
denominador eacute o nuacutemero de casos possiacuteveis MORGADO et al (2006
p 127)
A Probabilidade de um evento A eacute definida por
41
Probabilidade de A = P(A) =119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903aacute119907119890119894119904
119899uacute119898119890119903119900 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119904iacute119907119890119894119904=
(A)
(Ω)=
119898
119899
Exemplo Trecircs moedas satildeo jogadas simultaneamente Qual eacute a
probabilidade de obter 2 caras Qual eacute a probabilidade de obter pelo menos 2
caras
Resoluccedilatildeo Para facilitar vamos indicar com C cara e com K coroa
Dessa forma o espaccedilo amostral eacute o conjunto
Ω = (119862119862119862) (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119870119870) (119870119862119870) (119870119870119862) (119870119870119870)
Donde ( Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 8 Indiquemos A como o
evento ldquoobter 2 carasrdquo assim
A = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862)
Logo (A) = 3 e portanto
P(A) = (A)
(Ω)=
3
8
Agora vamos indicar B como o evento ldquoobter pelo menos duas carasrdquo
B = (119862119862119870) (119862119870119862) (119870119862119862) (119862119862119862)
Nota-se que (B) = 4 e P(B) = (B)
(Ω)=
4
8=
1
2
321 Propriedades imediatas da definiccedilatildeo
Como o proacuteprio tiacutetulo diz as propriedades abaixo satildeo imediatas logo
natildeo seratildeo demonstradas
I Para todo evento A 0 le P(A) le 1
II P(Ω)=1 Ω eacute o conjunto de casos possiacuteveis ou espaccedilo amostral
III P(empty) = 0
IV Se A e B satildeo eventos e A cap B = empty entatildeo P(A cup B) = P(A) + P(B)
Com o intuito de facilitar a compreensatildeo das propriedades alguns
exemplos seratildeo dados a seguir
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter o nuacutemero 3
42
Resoluccedilatildeo Uma vez que um dado eacute numerado de 1 a 6 entatildeo
(Ω) = nuacutemero de casos possiacuteveis = 6
Vamos indicar o evento A como ldquoobter o nuacutemero 3rdquo logo (A) = 1
Assim
P(A) = (119860)
(Ω)=
1
6 0 le
1
6le 1
Exemplo No lanccedilamento de um dado honesto qual eacute a probabilidade
de se obter um nuacutemero par ou o nuacutemero 3
Resoluccedilatildeo Como no exemplo anterior o nuacutemero de casos possiacuteveis eacute
6 isto eacute (Ω) = 6
Considere A como o evento ldquoobter um nuacutemero parrdquo assim (A) = 3
pois haacute 3 nuacutemeros pares num dado numerado de 1 a 6 Logo
P(A) = (A)
(Ω)=
3
6
Agora considere B como o evento ldquoobter o nuacutemero 3rdquo Pelo
exemplo acima
P(B) =(B)
(Ω)=
1
6
E pela propriedade IV dado que A cap B = empty tem-se
P (A cup B) = P (A) + P (B) = 3
6+
1
6=
4
6=
2
3
33 Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo
Segundo LIMA et al (2006 p 61) ldquoO Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo eacute
uma foacutermula para contar o nuacutemero de elementos que pertencem agrave uniatildeo de
vaacuterios conjuntos natildeo necessariamente disjuntosrdquo Na sua versatildeo mais simples
ele afirma que
(A cup B) = (A) + (B) - (A cap B)
O diagrama abaixo representa o Princiacutepio e consecutivamente uma
justificativa para a equaccedilatildeo
43
Figura 17 - Diagrama Representando o Princiacutepio de Inclusatildeo-Exclusatildeo Fonte O autor (2020)
Pelo diagrama (A cup B) = x + y + z
e (A) + (B) - (A cap B) = (x + y) + (y + z) ndash y
= x + y + z
= (A cup B)
∎
34 Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B eacute definido a probabilidade condicional de B
dado A como a razatildeo ou o nuacutemero P(A cap B) P(A) Representaremos este
nuacutemero pelo siacutembolo P(BA) Tem-se entatildeo simbolicamente
P(BA) = P(AcapB)
P(A)
Note-se que este nuacutemero soacute estaacute definido quando P(A) gt 0
A equaccedilatildeo acima tambeacutem pode ser escrita ou eacute equivalente a
P(A cap B) = P(A) P(BA)
Se P(B) gt 0 tem-se tambeacutem
P(A cap B) = P(B) P(AB)
Exemplo Um grupo de 360 pessoas estaacute classificado da seguinte
forma
Fala inglecircs Fala alematildeo Fala francecircs
Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52
44
Escolhe-se uma pessoa ao acaso Sabendo-se que esta pessoa fala
francecircs qual eacute a probabilidade de que seja homem
Resoluccedilatildeo Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francecircs e B se a pessoa escolhida eacute homem Temos
P(A) =47 + 52
360=
99
360
P(A cap B) =47
360
Portanto
P(BA) =P(A cap B)
P(A)=
(A cap B)
(A)=
47
47 + 52=
47
99
Eacute a probabilidade de que essa pessoa que fala francecircs seja homem
45
CAPIacuteTULO 4
TEORIA DOS JOGOS
41 Consideraccedilotildees Iniciais
Neste capiacutetulo seraacute abordado a Teoria dos Jogos que serviraacute de ligaccedilatildeo
entre o conteuacutedo matemaacutetico apresentado nos capiacutetulos anteriores e alguns
jogos significativos agrave experiecircncia de ensino-aprendizagem do proacuteximo capiacutetulo
Em se tratando da teoria dos jogos no capiacutetulo seratildeo apresentados
fatos histoacutericos a respeito da Teoria e algumas definiccedilotildees relevantes que a
constroem e fundamentam Por fim alguns jogos seratildeo incorporados Dilema
dos Prisioneiros Chicken Game e Pocircquer para exemplificar a teoria e dar uma
percepccedilatildeo clara da sua relevacircncia
42 Fatos histoacutericos
No artigo Uma Introduccedilatildeo agrave Teoria dos Jogos relatos apontam que os
primeiros estudos sobre esta Teoria remontam ao seacuteculo XVIII na abordagem
de um jogo de cartas chamado Le Her16 A Uma soluccedilatildeo deste para o jogo foi
proposta por James Waldegrave diplomata britacircnico que serviu como
embaixador na Aacuteustria e na Franccedila mas os estudos que realizou natildeo foram
aprofundados (SARTINI et al 2004)
Sartini et al (2004 p 2 - 3) ressalta que em 1913 Ernst Zermelo publicou
o primeiro teorema matemaacutetico da teoria dos jogos O teorema afirma que o
jogo de xadrez eacute estritamente determinado isto eacute em cada estaacutegio do jogo
pelo menos um dos jogadores tem uma estrateacutegia que lhe daraacute a vitoacuteria ou
conduziraacute o jogo ao empate John von Neumann em 1928 demonstrou que
todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma soluccedilatildeo em
estrateacutegias mistas (estrateacutegias nas quais as probabilidades dos casos
16 Um jogo de cartas francecircs que remonta ao seacuteculo XVI e que desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria da probabilidade
46
possiacuteveis no processo determinam a melhor escolha) que posteriormente seraacute
abordado neste trabalho Em 1944 Oskar Morgenstern junto com John von
Neumann publicou o claacutessico The Theory of Games and Economic
Behaviour sendo este resultado um importante passo para a conexatildeo entre
Economia e Matemaacutetica Aplicada Ainda em 1944 John Forbes Nash Jr e
Reinhard Selten receberam o precircmio Nobel por suas contribuiccedilotildees para a
Teoria dos Jogos
Figura 18 - Livro ldquoTheory of Games and Economic Behaviourrdquo Fonte Paacutegina Whitmore17
43 Definiccedilotildees relevantes ndash jogo jogador e Teoria dos Jogos
O jogo eacute uma situaccedilatildeo em que os jogadores (participantes) tomam
decisotildees estrateacutegicas em busca de determinados benefiacutecios Tais
decisotildees afetam a magnitude dos seus proacuteprios resultados e dos
resultados dos outros em um processo interativo Os resultados dos
jogos satildeo denominados de pay-offs e o conjunto desses benefiacutecios
para as diferentes combinaccedilotildees de estrateacutegias e decisotildees tomadas
pelos jogadores eacute chamada de matriz de pay-off PYNDICK
RUBINFELD (2002 p 483 - 484)
Jogador eacute todo agente que participa e possui objetivos em um jogo
Pode ser um paiacutes um grupo ou uma pessoa o que interessa eacute que
dentro de um jogo ele possua interesses especiacuteficos e se comporte
como um todo CARVALHO (2017 p 12)
17 Disponiacutevel em httpswwwwhitmorerarebookscompagesbooks1892john-von-neumann-oskar-morgensterntheory-of-games-and-economic-behavior Acesso em 19 outubro de 2020
47
Ao se deparar com um jogo o jogador precisa decidir qual eacute a melhor
estrateacutegia a que seraacute utilizada para o melhor resultado possiacutevel com o intuito
de maximizar o ganho eou minimizar as perdas Quando uma estrateacutegia eacute
superior agraves outras independente da jogada feita pelo oponente podemos dizer
que esta estrateacutegia eacute estritamente dominante Jaacute uma estrateacutegia eacute dita
fracamente dominante quando eacute superior somente a algumas delas e seu
ganho eacute equivalente ao ganho das outras estrateacutegias
A Teoria dos Jogos eacute uma teoria criada para se modelar fenocircmenos
que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisatildeo
interagem entre si Ela fornece a linguagem para a descriccedilatildeo de
processos de decisatildeo conscientes e objetivos envolvendo mais do que
um indiviacuteduo SARTINI et al (2004 p 1)
Um exemplo de jogo que aborda bem a teoria acima eacute o jogo de xadrez
pois haacute interaccedilatildeo direta entre os jogadores onde cada jogada depende da
anterior criando processos de decisatildeo conscientes e objetivos como ressalta
a definiccedilatildeo
Percebemos que a Teoria dos Jogos se estende para aleacutem das Ciecircncias
Exatas podendo ser aplicada nas mais diversas situaccedilotildees Um exemplo
claacutessico da aplicaccedilatildeo desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
44 Dilema dos Prisioneiros
Um dos exemplos claacutessicos desta Teoria eacute o Dilema dos Prisioneiros
pois consegue de forma dinacircmica mostrar diferentes campos de atuaccedilatildeo da
mesma
Dois suspeitos de um crime (que realmente cometeram
conjuntamente) satildeo detidos pela poliacutecia e interrogados em celas
separadas Para cada um deles a poliacutecia diz Se vocecircs dois
confessarem cada um ficaraacute seis anos preso Se vocecirc confessar e seu
parceiro natildeo vocecirc ficaraacute preso apenas pela sua colaboraccedilatildeo (por dois
anos) e o outro dez anos pela resistecircncia Se ningueacutem confessar
ambos ficaratildeo presos quatro anos BONTEMPO (1997 p 2)
Com base no Dilema eacute possiacutevel criar uma matriz que ilustra a situaccedilatildeo
tornando mais simples a compreensatildeo
48
Suspeito A
Suspeito B
Confessar Natildeo confessar
Confessar (-6 -6) (-2 -10)
Natildeo confessar (-10 -2) (-4 -4)
Tabela 2 - Matriz dos play-offs do Dilema dos Prisioneiros
Fonte BONTEMPO (1997 p 3)
Supondo que ambos os suspeitos natildeo se comunicaratildeo durante a tomada
de decisatildeo percebemos que a pena eacute menor para cada suspeito se optar por
confessar (dois ou seis anos) variando de acordo com a decisatildeo do outro
Logo a melhor estrateacutegia (estrateacutegia vencedora) eacute confessar pois haacute chances
de um dos prisioneiros ficar preso por menos tempo
45 Equiliacutebrio de Nash
John Nash em 1950 propocircs um princiacutepio fundamental na Teoria dos
Jogos denominado Equiliacutebrio de Nash Este ressalta que um par de estrateacutegias
estaacute em equiliacutebrio de Nash se este eacute a melhor resposta para cada jogador
envolvido no jogo (REIS 2018)
No Dilema dos Prisioneiros percebemos claramente como foi
ressaltado que a estrateacutegia vencedora para cada jogador eacute confessar logo
(confessar confessar) eacute o uacutenico equiliacutebrio de Nash envolvido no Dilema
46 Chicken Game
O Chicken Game ou Jogo do Covarde eacute um outro jogo interessante e
que vale ser englobado pela Teoria dos Jogos
Nesse jogo temos dois adolescentes Joatildeo e Pedro que dirigem seus
carros em alta velocidade um em direccedilatildeo ao outro O objetivo eacute
identificar quem desviaraacute primeiro este seraacute o covarde O que natildeo
desviar seraacute o duratildeo
Se ambos desviarem ao mesmo tempo ningueacutem perde o jogo mas se
ambos forem ldquodurotildeesrdquo e natildeo desviarem sofreratildeo um acidente
graviacutessimo visto a alta velocidade dos carros pondo em risco suas
49
proacuteprias vidas As recompensas podem ser representadas na forma
estrateacutegica ou normal
O jogo do covarde tem sido empregado natildeo apenas para descrever
uma situaccedilatildeo no mundo econocircmico na qual eacute melhor evitar o
enfrentamento como tambeacutem foi muito popular na eacutepoca da Guerra
Fria entre os Estados Unidos e a antiga Uniatildeo Sovieacutetica para
descrever os riscos de um conflito termonuclear e a necessidade de
mecanismos que evitassem o confronto PEREIRA (2014 p 34)
Tabela 3 - Matriz dos play-offs do Chicken Game Fonte PEREIRA (2014 p 34)
Os valores descritos na matriz servem apenas para ordenar as
preferecircncias de cada jogador Sabe-se que pela proacutepria definiccedilatildeo do jogo o
pior cenaacuterio eacute quando ambos natildeo desviam logo foi atribuiacutedo um resultado com
maior perda Outra fonte de anaacutelise pode ser feita quando ambos decidem
desviar Este natildeo eacute um resultado tatildeo ruim quanto ldquonatildeo desviarrdquo para ambos
mas ainda natildeo traria a vitoacuteria para qualquer um dos jogadores
Neste caso podemos perceber claramente que haacute dois equiliacutebrios de
Nash (desvia natildeo desvia) e (natildeo desvia desvia) Ou seja se um dos
jogadores (Joatildeo ou Pedro) opta por natildeo desviar o carro entatildeo o outro tem que
fazecirc-lo para natildeo cair na pior configuraccedilatildeo possiacutevel
47 Le Her - Introduccedilatildeo
Como foi ressaltado Le Her eacute um jogo de cartas francecircs que iniciou o
estudo da Teoria dos Jogos Em suma este consiste
Descriccedilatildeo do jogo 13 cartas de um mesmo naipe satildeo embaralhadas
Satildeo elas com seus respectivos valores Aacutes um dois trecircs quatro
cinco seis sete oito nove dez Valete onze Dama doze Rei treze
50
No iniacutecio do jogo o jogador I recebe uma carta X que apenas ele vecirc
o jogador II recebe uma carta Y que apenas ele vecirc e uma carta Z eacute
colocada sobre a mesa que ningueacutem vecirc O jogador I joga primeiro ele
deve decidir se manteacutem a sua carta X ou se troca com a carta Y no
segundo caso o jogador II natildeo pode se recusar a fazer a troca Depois
eacute a vez do jogador II ele deve decidir se manteacutem a sua carta ou a troca
com a carta Z Ganha quem tiver a carta de maior valor SOBRINHO
(2013 p 22)
A anaacutelise deste jogo natildeo seraacute foco deste trabalho que serviu apenas
como introduccedilatildeo por ter a sua importacircncia na histoacuteria da Teoria dos Jogos
48 Pocircquer
Alguns atribuem a origem do Pocircquer agrave Dinastia Song (China) do seacuteculo
10 enquanto outros apontam seu comeccedilo com o jogo persa ldquoAs Nasrdquo do
seacuteculo 16 que pode ter sido ensinado aos europeus pelos marinheiros persas
Investigando o ldquoAs Nasrdquo houve a percepccedilatildeo de ser um jogo muito
semelhante ao Poker onde haacute uma hierarquia de jogos e matildeos
familiares como pares trincas e full houses CBTH (2020)18
O nome ldquoPocircquerrdquo pode ter advindo de outros jogos ldquoPoquerdquo (em
fracircnces) ou o ldquoPochenrdquo (em alematildeo) que significa ldquobaterrdquo
Em torno de 1830 foram datados os primeiros arquivos que remetem ao
Poker (em inglecircs) em Nova Orleans Tais arquivos relatam que o jogo quase
sempre era realizado com cerca de 20 cartas apenas
A histoacuteria parece provar que a explosatildeo do Pocircquer se deu a partir
deste momento quando passou a figurar em barcos a vapor da regiatildeo
do rio Mississipi migrando com os pioneiros da corrida ao ouro para
Oeste norte-americano Daiacute surge toda aquela mitologia em torno do
Pocircquer e de cauboacuteis que ateacute hoje eacute utilizada em filmes como
ldquoMaverickrdquo e em muacutesicas estilo country CBTH (2020)
18 Confederaccedilatildeo Brasileira de Texas Holdrsquoem Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem Acesso em 19 outubro 2020
51
O Pocircquer moderno nasceu no centro dos Estados Unidos e nessa eacutepoca
foi introduzido o baralho completo e criado o flush19 para depois inventarem o
draw poker20 e o stud de cartas21 Este soacute passou a tomar forma esportiva na
deacutecada de 1970 com a criaccedilatildeo da World Series of Poker (WSOP 2020)
Pocircquer eacute um jogo de cartas disputado com o tradicional baralho de 52
cartas Cada jogador tem por objetivo fazer a melhor combinaccedilatildeo com 5 cartas
sendo geralmente apostado com fichas (pote) O jogador que conseguir a
melhor matildeo ou que faccedila com que todos os jogadores desistam ganha o pote
O pocircquer possui vaacuterias modalidades Atualmente a mais conhecida e
jogada em todo mundo eacute o Pocircquer Texas Holdrsquoem (CBTH 2020)
Complexo a ponto de ser considerado um esporte da mente como
xadrez e bridge ele atrai interessados por probabilidade e estatiacutestica
teoria de jogos e ateacute psicologia LOPES (2013)22
481 Texas Holdrsquoem
O Texas Holdrsquoem eacute um jogo de pocircquer com cartas comunitaacuterias
jogado em mesas com 2 ateacute 10 jogadores Nessa modalidade cada
jogador recebe apenas duas cartas fechadas (carta que somente o
proacuteprio jogador vecirc) e tambeacutem haacute 5 cartas comunitaacuterias que satildeo cartas
abertas na mesa e utilizadas simultaneamente por todos os jogadores
Para ganhar vocecirc precisa fazer a melhor combinaccedilatildeo possiacutevel de 5
cartas dentre as 7 cartas Assim nem sempre as duas cartas da matildeo
do jogador seratildeo utilizadas para formar um jogo EHLERT (2014 p
268)
A seguir seraacute apresentado o ranking das matildeos possiacuteveis no Texas
Holdrsquoem em ordem decrescente de forccedila (POKERSTARS 2018)
19 Uma combinaccedilatildeo de 5 cartas do mesmo naipe 20 Modalidade do pocircquer geralmente jogada por jogadores casuais sendo mais rara agrave niacutevel de competiccedilatildeo 21 Modalidade do pocircquer tambeacutem chamada de pocircquer aberto onde se possui uma certa quantidade de cartas abertas e fechadas 22 Disponiacutevel em httpsistoecombr321828_POQUER+NA+SALA+DE+AULA Acesso em 19 outubro 2020
52
De acordo com a CBTH (2020)23 o ranking das matildeos eacute dado por
1 Royal Straight Flush Sequecircncia de dez (T) ateacute Aacutes (A) sendo
todas as cartas do mesmo naipe Eacute a uacutenica matildeo imbatiacutevel no
pocircquer
Figura 19 - Exemplo de Royal Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
2 Straight Flush Qualquer sequecircncia de cartas iguais ou do
mesmo naipe
Figura 20 - Exemplo de Straight Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
3 Quadra Quatro cartas iguais
Figura 21 - Exemplo de Quadra Fonte Paacutegina CBTH-23
23 Disponiacutevel em httpswwwcbthorgbrtexas-holdem-regras~text=Ranking20de 20mC3A3osamptext=Lembrando20que20a20menor20cartaa20maior20C3A920o20C3A1samptext=SequC3AAncia20de20dez(T)20aC3BAnica20mC3A3o20imbatC3ADvel20no20pokeramptext=Qualquer20sequC3AAncia20de20cartas20iguais Acesso em 19 outubro 2020
53
4 Full House Uma trinca e uma dupla
Figura 22 - Exemplo de Full House Fonte Paacutegina CBTH-23
5 Flush Quaisquer cinco cartas do mesmo naipe
Figura 23 - Exemplo de Flush Fonte Paacutegina CBTH-23
6 Sequecircncia Cinco cartas em sequecircncia natildeo sendo do mesmo
naipe
Figura 24 - Exemplo de Sequecircncia Fonte Paacutegina CBTH-23
7 Trinca Trecircs cartas iguais
Figura 25 - Exemplo de Trinca Fonte Paacutegina CBTH-23
54
8 Dois Pares Duas duplas de cartas iguais
Figura 26 - Exemplo de Dois Pares Fonte Paacutegina CBTH-23
9 Par Duas cartas iguais
Figura 27 - Exemplo de Par Fonte Paacutegina CBTH-23
10 Carta Alta Qualquer matildeo que natildeo esteja nas categorias acima
Figura 28 - Exemplo de Carta Alta Fonte Paacutegina CBTH-23
Com base nisso seratildeo apresentados alguns caacutelculos referentes as
possibilidades e as probabilidades do ranking das matildeos do Texas Holdrsquoem e o
caacutelculo da probabilidade de um jogo com dois jogadores que foi tomada como
referecircncia da dissertaccedilatildeo A Matemaacutetica no Pocircquer Explorando problemas de
probabilidade de Seldomar Jeske Ehlert (2014)
55
4811 Caacutelculo das possibilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
1 Royal Straight Flush Como o baralho tradicional possui 4 naipes
(paus ouros copas e espadas) existem 4 sequecircncias possiacuteveis para o Royal
Straight Flush
2 Straight Flush Para o Straight Flush consideramos as sequecircncias
de cinco cartas do mesmo naipe com exceccedilatildeo do caso acima Dessa forma
para cada naipe teratildeo 9 possibilidades de sequecircncias Logo existem 4 9 = 36
possibilidades para o Straight Flush
3 Quadra Como existem 13 cartas de cada naipe haacute 13 possibilidades
de se ter uma quadra Como o jogo eacute formado com 5 cartas a quinta teraacute 48
possibilidades natildeo podendo ser as 4 cartas da quadra Logo existem 13 48
= 624 possibilidades para a Quadra
4 Full House Para cada trinca tem-se 11986243 = 4 trincas possiacuteveis Como
haacute 13 cartas de um mesmo naipe teremos 13 4 = 52 combinaccedilotildees possiacuteveis
para as trincas
Para cada dupla tem-se 11986242 = 6 duplas possiacuteveis Como haacute 12 cartas
(uma a menos devido agrave trinca formada) entatildeo temos 12 6 = 72 combinaccedilotildees
possiacuteveis para as duplas
O Full House precisa de uma trinca e uma dupla logo pelo Princiacutepio
Fundamental da Contagem haveraacute 52 72 = 3744 possibilidades para o Full
House
5 Flush Para se ter 5 cartas do mesmo naipe temos 119862135 = 1287
possibilidades de Flush para cada naipe Como haacute 4 naipes 4 1287 = 5148
Flushs no baralho mas o Royal Straight Flush e o Straight Flush natildeo fazem
parte do Flush logo 5148 ndash 36 ndash 4 = 5108 possibilidades para o Flush
6 Sequecircncia Haacute 10 sequecircncias possiacuteveis (de A-2-3-4-5 a 10-J-Q-K-A)
em um mesmo naipe Como haacute 4 naipes para cada carta (da sequecircncia) tem
4 possiacuteveis escolhas assim 10 4 4 4 4 4 = 10240 escolhas possiacuteveis de
Sequecircncia Como foi feito no caso anterior o Royal Straight Flush e o Straight
56
Flush natildeo fazem parte da Sequecircncia logo 10240 ndash 36 ndash 4 = 10200
possibilidades para a Sequecircncia
7 Trinca Para a trinca como jaacute foi calculado existem 52 combinaccedilotildees
possiacuteveis Agora devem ser escolhidas as 2 cartas remanescentes dentre as
48 cartas restantes ou seja 119862482 = 1128 possibilidades Logo o total de
combinaccedilotildees seraacute 52 1128 = 58656 possibilidades
Descartando o Full House temos 58656 ndash 3744 = 54912 possibilidades
para a Trinca
8 Dois Pares Em um naipe haacute 119862132 = 78 duplas diferentes para Dois
Pares Para cada dupla haacute 11986242 = 6 possibilidades Como existem duas duplas
tem-se 6 6 = 36 possibilidades de formar duas duplas
Para a uacuteltima carta teremos 44 possibilidades de escolha Assim
teremos 78 36 44 = 123552 possibilidades para Dois Pares
9 Um Par Para cada par tem-se 11986242 = 6 combinaccedilotildees possiacuteveis Como
existem 13 cartas de cada entatildeo teraacute 13 6 = 78 formas distintas de par Para
a terceira carta tem-se 48 possibilidades de cartas para a quarta 44 e para a
quinta 40 Como a ordem das trecircs cartas (terceira quarta e quinta) natildeo
importa entatildeo o produto do resultado encontrado teraacute que ser dividido pela
permutaccedilatildeo de 3 (por serem 3 cartas) Assim 78 (48 44 40) 6 = 1098240
possibilidades para Um Par
10 Carta Alta Para descobrir o nuacutemero de possibilidades de se tirar a
matildeo Carta Alta basta calcular a combinaccedilatildeo de 52 (nuacutemero total de cartas no
baralho) em 5 (nuacutemero de cartas de um jogo no Texas Holdrsquoem) 119862525 =
2598960
Agora basta tirar todas as matildeos citadas anteriormente 2598960 ndash (4 +
36 + 624 + 3744 + 5108 + 10200 + 54912 + 123552 + 1098240) = 1302540
possibilidades para a Carta Alta
57
4812 Caacutelculo das probabilidades do ranking das matildeos do Texas
Holdrsquoem
Como no baralho haacute 52 cartas e partir dessas 5 satildeo selecionadas ao
acaso o espaccedilo amostral em todas as matildeos seraacute C525 = 2598960
1 Royal Straight Flush Dessa forma pelo toacutepico anterior a
probabilidade de se tirar um Royal Straight Flush eacute
119875(119877119900119910119886119897 119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =4
2598960asymp 00001539
2 Straight Flush Tomando o nuacutemero de possibilidades do toacutepico
acima tem-se que a probabilidade do Straight Flush eacute
119875(119878119905119903119886119894119892ℎ119905 119865119897119906119904ℎ) =36
2598960asymp 0001385
3 Quadra De forma anaacuteloga a probabilidade da Quadra eacute
119875(119876119906119886119889119903119886) =624
2598960asymp 0024
4 Full House A probabilidade do Full House eacute
119875(119865119906119897119897 119867119900119906119904119890) =3744
2598960asymp 0144
5 Flush O Flush tem como probabilidade
119875(119865119897119906119904ℎ) =5108
2598960asymp 01965
6 Sequecircncia A probabilidade da Sequecircncia eacute
119875(119878119890119902119906ecirc119899119888119894119886) =10200
2598960asymp 03925
7 Trinca A Trinca tem como probabilidade
119875(119879119903119894119899119888119886) =54912
2598960asymp 21128
58
8 Dois Pares A probabilidade de Dois Pares eacute
119875(119863119900119894119904 119875119886119903119890119904) =123552
2598960asymp 47539
9 Um Par Um Par tem como probabilidade
119875(119880119898 119875119886119903) =1098240
2598960asymp 422569
10 Carta Alta Por fim a probabilidade de sair uma Carta Alta eacute
119875(119862119886119903119905119886 119860119897119905119886) =1302540
2598960asymp 501177
4813 Caacutelculo da probabilidade de uma partida do Texas Holdrsquoem
Neste toacutepico seraacute abordado um caso particular de um jogo de Pocircquer
para que assim seja calculada as probabilidades de vitoacuteria de cada uma das
matildeos e a melhor decisatildeo a ser tomada com base na Teoria dos Jogos Este eacute
um modelo de partida com dois jogadores E ainda estaacute sendo considerado
o caso onde o River (uacuteltima carta a ser revelada) estaacute oculto
Natildeo seratildeo feitas anaacutelises com configuraccedilotildees distintas do jogo pois isto
o tornaraacute relativamente complexo aumentando muito o nuacutemero casos e de
anaacutelises que teratildeo que ser feitas
Exemplo de Partida com dois jogadores
Analisemos o seguinte jogo
59
Figura 29 - Partida entre dois jogadores24 Fonte EHLERT 2014
A partir do momento em que o Turn25 foi revelado ambos os jogadores
(alfa e beta) possuem um par jogador alfa (par de oito) e jogador beta (par de
rei) Para que o jogador alfa ganhe seraacute necessaacuterio que no River tenha um aacutes
sendo possiacutevel formar dois pares ou um oito formando uma trinca ou ainda
uma carta de espada podendo formar um flush Dessa forma a probabilidade
de o jogador alfa vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119886119897119891119886) =14
44asymp 3182
Como o jogo possui apenas dois jogadores entatildeo a probabilidade de o
jogador beta vencer eacute
119875(119895119900119892119886119889119900119903 119887119890119905119886) = 1 minus14
44asymp 6818
Desta forma eacute possiacutevel perceber que a melhor estrateacutegia para o jogador
alfa eacute encerrar a sua jogada pois suas chances de vitoacuteria satildeo
consideravelmente menores do que as do jogador beta minimizando suas
perdas Em contrapartida se o jogador beta continuar no jogo esperando virar
o River ele teraacute grandes chances de vencer a partida
24 Flop eacute o conjunto das trecircs primeiras cartas comunitaacuterias 25 A quarta carta comunitaacuteria
60
CAPIacuteTULO 5
METODOLOGIAPROPOSTA DE
ENSINO
51 Consideraccedilotildees Iniciais
Segundo JESUS (2010 p 3) a palavra jogo foi originada do latim
ldquoincusrdquo que quer dizer diversatildeo brincadeira Nos nossos dicionaacuterios as
definiccedilotildees mais comuns satildeo ldquodistraccedilatildeo passatempo divertimentordquo
Jogos de um modo geral fazem sucesso inclusive com adolescentes
Desde brincadeiras na rua a consoles26 eacute possiacutevel perceber que jogos estatildeo
presentes diretamente na rotina de muitos
No Brasil a difusatildeo dos computadores pessoais deu-se nos anos 90
(Godoy 1996) Ao final de 2000 eram 11 milhotildees os computadores
instalados e 10 milhotildees de usuaacuterios conectados agrave internet dos quais
quase um milhatildeo eram adolescentes (Nogueira Vargas e Nathan
2000) Apesar de parcela pequena da populaccedilatildeo trata-se de grande
nuacutemero de crianccedilas e adolescentes apropriando-se das novas
tecnologias muitos possivelmente tendo os jogos computadorizados
como porta de entrada Greenfield 19841988 Retschitzki amp Gurtner
1995 Sangiorgi1988) WOFF WECHSLER (2002 p 60)
As aulas puramente expositivas bem como meacutetodos tradicionais de
ensino conhecidos como ldquoEducaccedilatildeo Bancaacuteriardquo por Paulo Freire estatildeo cada
vez mais perdendo espaccedilo Assim quando se insiste neste meacutetodo muitos
alunos vatildeo perdendo o interesse pelo conteuacutedo ou ateacute mesmo pela disciplina
prejudicando consideravelmente seu desempenho escolar como defende Lins
Tratar-se-ia de uma atitude autoritaacuteria e opressiva sobre alunos que
se encontrariam passivos e apenas receptivos dos conteuacutedos e
informaccedilotildees que o professor neles depositaria Este modelo tende a
apresentar o professor como algueacutem que exerce um papel arbitraacuterio
sobre o grupo de alunos os quais estatildeo inteiramente inertes Desta
26 Videogames
61
forma a praacutetica de se ensinar conteuacutedos e informar os alunos para
que a aprendizagem seja realizada vem sendo entendida como uma
atitude tiracircnica e opressora que deve ser banida das escolas LINS
(2011 p 2)
Dessa forma o objetivo deste capiacutetulo eacute propor meacutetodos de tornar a
Matemaacutetica mais atrativa podendo estes (meacutetodos) ateacute ser um fator
motivacional para alguns estudantes
Neste seraacute visada uma forma de se abordar alguns conteuacutedos por meio
de jogos matemaacuteticos para os alunos do terceiro ano do Ensino Meacutedio bem
como planos de aulas sequenciais que podem orientar de uma forma mais clara
a praacutetica docente que porventura foram aplicados numa turma que leciono na
escola estadual de ensino fundamental e meacutedio Francisco Nascimento que se
localiza no municiacutepio da Serra Espiacuterito Santo
Vale ressaltar que na sequecircncia didaacutetica cada plano de aula
apresentado a seguir foi pensado para aulas de 55 minutos de duraccedilatildeo jaacute que
eacute uma realidade da escola em que trabalho
52 Sequecircncia Didaacutetica
Aula 1 Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos
A1 Nesta primeira aula fazer um apanhado sobre Teoria dos Jogos
comeccedilando pelo aspecto histoacuterico sendo considerados os fatos mais
relevantes de cada periacuteodo (tempo de aula aproximadamente 25
minutos)
Comentar sobre o Le Her primeiro jogo estudado pela
Teoria dos Jogos juntamente de como quando e quem
forneceu a primeira soluccedilatildeo para o jogo
Comentar o primeiro teorema da Teoria dos Jogos
Salientar a primeira obra publicada sobre o assunto The
Theory of Games and Economic Behaviour
Destacar a importacircncia de John Forbes Nash Jr e Reinhard
Selten que receberam o precircmio Nobel por suas
contribuiccedilotildees para a Teoria dos Jogos
62
B1 Explicar as definiccedilotildees de Jogo e Teoria dos Jogos respectivamente e
em seguida exemplificar com alguns Jogos (Dilema dos Prisioneiros e
Chicken Game) Por fim abordar o Equiliacutebrio de Nash e qual eacute o
equiliacutebrio em cada jogo comentado (tempo de aula aproximadamente
30 minutos)
Aula 2 Jogo de Nim Praacutetica
A2 Explicar as regras e o objetivo do jogo Separar os alunos em duplas e
deixaacute-los jogar A princiacutepio todas as duplas jogaratildeo com as mesmas
configuraccedilotildees 3 pilhas de palitos (a primeira com 4 a segunda com 5
e a terceira com 7) (tempo de aula aproximadamente 20 minutos)
B2 Explanar os Nuacutemeros Binaacuterios definiccedilatildeo e exemplos (utilizados no
desenvolvimento deste trabalho) soma de Nim e propriedades Em
seguida abordar a Divisatildeo Euclidiana na transformaccedilatildeo de um nuacutemero
na base 10 para um nuacutemero binaacuterio (tempo de aula aproximadamente
35 minutos)
Aula 3 Anaacutelise do Jogo de Nim
A3 Relacionar o jogo de Nim com os Nuacutemeros Binaacuterios por meio dos
teoremas enunciados no capiacutetulo 2 ndash Nuacutemeros Binaacuterios (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
B3 Com as mesmas configuraccedilotildees da aula passada fazer com que os
alunos joguem novamente o jogo de Nim analisando-o e utilizando a
estrateacutegia vencedora (tempo de aula aproximadamente 25 minutos)
C3 Pedir para que os alunos em dupla respondam a um questionaacuterio sobre
o Jogo de Nim (tempo de aula aproximadamente 15 minutos)
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem
comeccedila ganha
Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre aparecem)
63
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia
vencedora)
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser
observado nesse jogo
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no
processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
Aula 4 Pocircquer Teoria e Praacutetica
A4 Explicar os fatos histoacutericos do Pocircquer destacando as curiosidades e
aspectos mais relevantes (tempo de aula aproximadamente 15
minutos)
Explicar as possiacuteveis origens do Pocircquer juntamente com a
origem do seu nome
Abordar as diferentes modalidades de Pocircquer existentes
ressaltando a mais jogada a niacutevel profissional (Texas
Holdem)
B4 Comentar a variedade de jogos de Pocircquer ressaltando o jogo englobado
neste trabalho Texas Holdrsquoem Aleacutem disso enfatizar o ranking das matildeos
no Texas Holdrsquoem para que os alunos em grupos de 3 possam jogar
enfim Qualquer material pode ser usado para simbolizar as fichas para
as apostas jaacute que o objetivo desta aula satildeo as matildeos encontradas e natildeo
as apostas em si Ainda pedir para que cada aluno anote a sua matildeo ao
final de cada jogo aleacutem do jogador vencedor (tempo de aula
aproximadamente 40 minutos)
Aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de possibilidades das matildeos vencedoras
A5 Revisar o conteuacutedo de Anaacutelise Combinatoacuteria (Princiacutepio Multiplicativo e
Combinaccedilatildeo) com os alunos tomando os exemplos que foram usados
no desenvolvimento deste trabalho (tempo de aula aproximadamente
25 minutos)
64
B5 A partir do que foi relembrado propor que os alunos calculem o nuacutemero
de possibilidades das matildeos vencedoras da aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 30 minutos)
Aula 6 Caacutelculo da probabilidade das matildeos vencedoras e caacutelculo da
probabilidade de outros jogadores vencerem
A6 Revisar o conteuacutedo de Probabilidade (definiccedilatildeo probabilidade da uniatildeo
de dois conjuntos e probabilidade condicional) assim como jaacute foi
explanado (tempo de aula aproximadamente 30 minutos)
B6 Tomando como base o que foi explanado reorganizar os alunos nos
mesmos grupos fazer com que cada grupo calcule a probabilidade das
matildeos vencedoras (tempo de aula aproximadamente 10 minutos)
C6 Explicitar a probabilidade dos outros jogadores (alunos) vencerem
quando estavam jogando na aula anterior (tempo de aula
aproximadamente 15 minutos)
53 Avaliaccedilatildeo da Sequecircncia Didaacutetica
A avaliaccedilatildeo das aulas foi feita de forma processual onde a cada aula os
alunos davam contribuiccedilotildees pontuando o que consideravam relevante
esclarecendo as duacutevidas que surgiam no decorrer do processo Jogos foram
realizados durante as aulas para que os alunos pudessem conciliar teoria agrave
praacutetica fazendo da participaccedilatildeocomprometimento um instrumento avaliativo
Ainda no final de um deles os alunos responderam a uma atividade
para o Jogo de Nim foi elaborado um questionaacuterio a respeito deste e da teoria
abarcada em sala Para o Pocircquer foi feito uma roda de conversa onde os
alunos apontaram suas convicccedilotildees e pensamentos a respeito do Jogo
65
54 Resultado e Anaacutelise de Dados
Todo planejamento foi elaborado com o intuito de englobar toda a turma
de terceiro ano que lecionei e escolhi para aplicar a proposta uma turma com
um total de 22 alunos
Por se tratar de um planejamento diferenciado houve um
comprometimento muito beneacutefico por parte de todos com diversos
questionamentos
Na primeira aula Explicaccedilatildeo sobre Teoria dos Jogos durante cada
exemplo os alunos se envolveram e interagiram com afinco O que mais me
chamou a atenccedilatildeo num dos exemplos abordados nesta aula foi que no Dilema
dos Prisioneiros pelo menos 50 dos alunos acreditaram que ldquonatildeo confessarrdquo
era a melhor opccedilatildeo Estes natildeo conseguiam usar da razatildeo somente e
acabaram utilizando de argumentos com base na emoccedilatildeo por exemplo ldquoMas
se fosse meu amigo eu natildeo iria conseguir confessarrdquo
Ao abordar a segunda aula no primeiro contato com o Jogo de Nim os
alunos a cada nova configuraccedilatildeo observaram e conjecturaram hipoacuteteses a
respeito de como e quando ganhar o jogo
Os alunos comeccedilaram a perceber que suas conjecturas estavam
equivocadas na terceira aula onde houve uma anaacutelise do Jogo de Nim com
uma abordagem da estrateacutegia vencedora
66
Figura 30- Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
67
Figura 31 - Estrateacutegia vencedora - Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Em posse desses conhecimentos todos responderam a um questionaacuterio
a respeito do Jogo e suas experiecircncias
Dos 22 alunos que estudam no 3M3 uma turma do terceiro ano do
Ensino Meacutedio do turno matutino da escola estadual EEEFM ldquoFrancisco
Nascimentordquo apenas 15 responderam ao questionaacuterio pois os demais
ausentaram-se da aula no dia em que foi aplicado
Na primeira questatildeo A ordem de quem joga influencia na
vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha 20 dos alunos responderam Sim
60 Natildeo e 20 Talvez Veja o graacutefico abaixo
68
Fonte O autor (2020)
Mesmo com maior parte dos grupos respondendo Natildeo todos
acreditaram que ganha o Jogo quem tiver a melhor estrateacutegia
A resposta de um grupo (Grupo 1) me chamou a atenccedilatildeo pois os alunos
fizeram uma anaacutelise anterior e posterior agrave explanaccedilatildeo a respeito do Jogo de
Nim
O resultado entre duas pessoas que natildeo sabem a estrateacutegia do jogo
natildeo depende de quem comeccedila caso as duas pessoas saibam da
estrateacutegia a pessoa que comeccedila ganha E por fim caso somente uma
pessoa saiba da estrateacutegia eacute muito provaacutevel que a mesma ganhe
mesmo sem comeccedilar (Grupo 1)
Para a segunda questatildeo Existe algum padratildeo (Jogadas que sempre
aparecem) 100 dos alunos responderam que Sim Como constatado todos
acreditaram que haacute algum padratildeo no Jogo mas estes divergiram ao falar das
jogadas que se repetiam
No fim muitas vezes ocorre de restarem dois palitos em dois montes
ou apenas um palito (Grupo 1)
Sim Uma pilha sempre se encontrava com um nuacutemero par e outra
com um nuacutemero iacutempar de palitos dependendo da ordem de jogada e
o nuacutemero de palitos pegos decide-se quem ganha (Grupo 2)
Na anaacutelise da terceira questatildeo Tem alguma forma de vencer sempre
(Estrateacutegia vencedora) foi observado uma configuraccedilatildeo parecida com a
20
60
20
A ordem de quem joga influencia na vitoacuteriaderrota Quem comeccedila ganha
Sim Natildeo Talvez
69
primeira pergunta 60 respondeu que Sim 20 que Natildeo e 20 Natildeo soube
responder Observe a tabela a seguir
Fonte O autor (2020)
Dos dados tabulados ressalto a resposta de um grupo (grupo 3) que
respondeu Natildeo
Natildeo pois natildeo tem como saber o que o outro jogador estaacute pensando
(Grupo 3)
O restante que acredita existir uma estrateacutegia vencedora compartilham
da ideia de que em determinado momento do Jogo haveraacute somente dois
montes com a mesma quantidade Vale o destaque de um grupo (Grupo 1)
Primeiramente reduzindo a apenas dois montes e depois de acordo
com a jogada do adversaacuterio manter em ambos os montes a mesma
quantidade de palitos ateacute sobrarem um em cada obrigando o
adversaacuterio a retirar apenas um e vocecirc o uacuteltimo (Grupo 1)
A quarta questatildeo O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
tambeacutem foi analisada de forma anaacuteloga como pode ser observado no graacutefico
a seguir
60
20 20
0
10
20
30
40
50
60
70
Tem alguma forma de vencer sempre (Estrateacutegia vencedora)
Sim Natildeo Natildeo soube responder
70
Fonte O autor (2020)
Achei interessante uma resposta pois retrata de certa forma as
estrateacutegias que foram utilizadas pelo grupo
Sim Porque dependendo da quantidade de palitos retirados a pilha
seraacute liquidada com maior rapidez quando uma pilha se daacute por
acabada usa-se de estrateacutegias para ganhar o jogo como deixar uma
pilha com nuacutemero par e outra iacutempar (Grupo 2)
Acredito que a quinta questatildeo Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute
possiacutevel ser observado nesse jogo seja a que tiveram maior dificuldade na
hora de responder Estes natildeo conseguiram tatildeo facilmente relacionar
conteuacutedos que jaacute haviam sido estudados com o Jogo A tabela mostra como foi
feita a identificaccedilatildeo dos conteuacutedos
60
20
20
O nuacutemero de palitos em cada pilha interfere no jogo
Sim Natildeo Talvez
71
Fonte O autor (2020)
Destaco alguns (Grupos 1 2 e 3) que aleacutem de apontarem o(s)
conteuacutedo(s) explicaram onde cada um se encontra
Probabilidade (as diferentes variantes de possibilidades de jogadas)
Combinatoacuteria (o nuacutemero de jogadas possiacuteveis a cada jogada aleacutem das
diferentes disposiccedilotildees de palitos nos montes) (Grupo 1)
No jogo aleacutem do emprego do raciociacutenio loacutegico usa-se do conteuacutedo
referente a Probabilidade apontando de como com o raciociacutenio
utilizado quem da dupla iraacute ganhar o jogo (Grupo 2)
Combinatoacuteria e probabilidade Vemos que a mateacuteria Combinatoacuteria
aparece nas possibilidades de pegar os palitos e em Probabilidade as
chances de ganhar (Grupo 3)
A uacuteltima questatildeo analisada Vocecirc acredita que jogos como esse
motivamestimulam no processo ensino-aprendizagem da Matemaacutetica
considero que seja uma das questotildees mais importantes do questionaacuterio pois
acaba sendo o foco deste trabalho Primeiramente analisemos a tabela
0
10
20
30
40
50
22
45
33
Qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) eacute possiacutevel ser observado nesse jogo
Combinatoacuteria Probabilidade Raciociacutenio Loacutegico
72
Fonte O autor (2020)
Apenas um grupo (Grupo 4) que representa os 20 respondeu Natildeo
Dessa forma destacarei a opiniatildeo deste
Esse jogo estimula ao raciociacutenio loacutegico e a montar estrateacutegias poreacutem
natildeo motiva o aluno de certa forma pois o jogo eacute para pontuar mas por
outro lado a aula diferente faz com que haja um interesse maior do
aluno (Grupo 4)
Em contrapartida outro grupo (Grupo 1) ressaltou que
Sim pois as pessoas natildeo se interessam muito pela matemaacutetica e os
jogos tornam as aulas mais atrativas melhorando o aprendizado
(Grupo 1)
Seguem dos questionaacuterios analisados nesta dissertaccedilatildeo
80
20
0 20 40 60 80 100
Vocecirc acredita que jogos como esse motivamestimulam no processo ensino-
aprendizagem da Matemaacutetica
Natildeo Sim
73
Figura 32 - Questionaacuterio do Grupo 1 (I) Fonte O autor (2020)
74
Figura 33 - Questionaacuterio do Grupo 1 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 34 - Questionaacuterio do Grupo 3 (I) Fonte O autor (2020)
75
Figura 35 - Questionaacuterio do Grupo 3 (II) Fonte O autor (2020)
Figura 36 - Questionaacuterio do Grupo 3 (III) Fonte O autor (2020)
Apoacutes a tabulaccedilatildeo dos resultados do questionaacuterio a atenccedilatildeo ficou voltada
novamente agrave Sequecircncia Didaacutetica mais especificamente na quarta aula Houve
certa dificuldade nesta pois muitos alunos natildeo conheciam o Pocircquer Dessa
forma ao separar os grupos priorizei que os alunos com alguma experiecircncia
no jogo fizessem grupo com quem natildeo tivesse para que todos pudessem
participar da aula
Em se tratando das aulas as que os alunos tiveram maior dificuldade na
hora de realizar as atividades foram as quinta e sexta aulas Mesmo com os
conteuacutedos relembrados (Anaacutelise Combinatoacuteria na quinta aula e Probabilidade
na sexta aula) na hora de aplicar no Pocircquer a teoria estudada muitos grupos
76
precisaram de auxiacutelio Houve mais duacutevida na hora de fazer o caacutelculo tanto do
nuacutemero de possibilidades quanto da probabilidade das matildeos de cada jogador
Ao findar a Sequecircncia Didaacutetica uma anaacutelise de todo o processo foi feita
junto agrave turma Cada etapa foi questionada por mim (em especial as que eles
apresentaram maior dificuldade) e consequentemente avaliada pelos alunos
em uma roda de conversa para que assim eu pudesse ter um feedback mais
efetivo
A turma de um modo geral achou boa a divisatildeo das aulas da Sequecircncia
Didaacutetica poreacutem ressaltaram que deveria haver uma abordagem maior do
Pocircquer natildeo ficando restrito a uma aula Dessa forma eles conseguiriam
compreender melhor o jogo e natildeo teriam tanta dificuldade nas 5ordf e 6ordf etapas
da Sequecircncia Outro ponto que foi levantado foi que atividades deste tipo
ldquochamam a atenccedilatildeo dos alunos para as aulasrdquo despertando maior interesse
pelos conteuacutedos estudados e pela disciplina
55 Consideraccedilotildees Finais
Vale ressaltar alguns pontos a respeito deste capiacutetulo a comeccedilar pela
sequecircncia didaacutetica Acredito que para a aula 5 Caacutelculo do nuacutemero de
possibilidades das matildeos vencedoras e para a aula 6 Caacutelculo da probabilidade
das matildeos vencedoras e caacutelculo da probabilidade de outros jogadores
vencerem seria necessaacuterio um tempo maior na abordagem dos conteuacutedos e
respectivamente do Pocircquer jaacute que houve certa dificuldade na hora de colocar
em praacutetica Aleacutem disso assim como foi feito no Jogo de Nim um questionaacuterio
sobre o pocircquer tambeacutem poderia ter sido aplicado
Outro ponto de anaacutelise eacute a seccedilatildeo 64 Resultado e Anaacutelise de Dados O
questionaacuterio a respeito do Jogo de Nim foi muito proveitoso pois com base nele
foi possiacutevel observar alguns pontos relevantes parte dos alunos mesmo apoacutes
a explicaccedilatildeo do Jogo e da estrateacutegia vencedora ainda tinham dificuldade em
aplicaacute-la e consequentemente encontrar uma relaccedilatildeo entre a Teoria dos
Jogos e o que estava sendo executado com base nisso algumas aulas a mais
poderiam ter sido aproveitadas para uma abordagem maior do Jogo Com base
nas respostas dos questionaacuterios foi possiacutevel observar que alguns pensam que
77
o Jogo natildeo serve como fator motivacional dos alunos mas que aulas
diferenciadas como as que tinham sido realizadas estimulam a participaccedilatildeo
fomentando a que os alunos saiam do papel passivo e passem para o ativo
estimulando a aprendizagem mesmo aos poucos fazendo com que eles se
sintam parte dessa construccedilatildeo teoacuterico-praacutetica De um modo geral os alunos se
envolveram com o Jogo procurando por uma estrateacutegia vencedora mesmo se
tivessem com uma configuraccedilatildeo desfavoraacutevel
Aplicada a sequecircncia didaacutetica penso que a turma em sua maioria
passou a ter maior comprometimento natildeo soacute com as atividades realizadas
durante as aulas relacionadas agrave sequecircncia mas com outras subsequentes Em
sala esses passaram a questionar mais cobrando contextualizaccedilotildees e
interdisciplinarizaccedilatildeo
Esta foi a primeira vez que apliquei esta Sequecircncia pois alguns fatos
contribuem negativamente dificultando que atividades como essa sejam
abordadas na escola em que trabalho EEEFM ldquoFrancisco Nascimentordquo com
exceccedilatildeo da turma em que apliquei a Sequecircncia abordada neste trabalho todas
as outras salas tecircm pelo menos 40 alunos (as vezes ateacute mais) sendo
complicado ao elaborar uma atividade diferenciada fazer com que os alunos
foquem em cada etapa realizar o que for proposto e para o professor dar um
atendimento para cada aluno
Um outro fato que dificulta na aplicaccedilatildeo de propostas como esta eacute o
excesso de conteuacutedos que devem ser abordados no Curriacuteculo Base da Rede
Estadual em cada ano Dessa forma o tempo muitas vezes torna-se curto
para a demanda que eacute exigida pois a todo momento eacute necessaacuterio retomar
conteuacutedos que jaacute foram estudados para que os alunos compreendam o que
deseja ser ensinado
78
REFEREcircNCIAS
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