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© 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari
Università degli studi di Università degli studi di ParmaParmaDipartimento di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria
dell’Informazionedell’Informazione
PolitecnicoPolitecnicodi Milanodi Milano
Reti Logiche AReti Logiche A
Lezione n.1.2Lezione n.1.2
Ripasso Algebra di CommutazioneRipasso Algebra di Commutazione
Docente:Docente:
prof. William FORNACIARIprof. William FORNACIARI [email protected]@elet.polimi.it
www.elet.polimi.it/people/fornaciawww.elet.polimi.it/people/fornacia
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 22 - -
IntroduzioneIntroduzione
Sistemi digitaliottima immunità ai disturbifacilità realizzativapossibilità di creare metodologie di progetto automatizzabiliprecisione prevedibile a arbitraria
Tipi di sistemicustom(antifurto, accensione auto, …)specializzati ma di uso generale (aritmetici, decoder, MUX) con memoria (macchine a stati finiti, FSM)senza memoria (circuiti combinatori)
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 33 - -
Segnali binariSegnali binari
Rappresentazione fisica (esempi)tensione elettrica V
intensità di corrente I
potenza ottica P
Diagramma temporaletrascureremo (quasi) sempre i transitori
S1
S2
tempo
livello alto
livello basso
fronte di salita
fronte di discesatransizione
impulso
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 44 - -
Algebra di commutazioneAlgebra di commutazione
Algebra Booleinsieme di elementi K esistomo due funzioni {+, } che fanno corrispondere a una qualsiasi coppia di elementi di K un elemento di K Una funzione {¯}
Algebra di commutazioneI valori delle variabili di commutazioni possono assumere solo due valori (0,1), (V,F), (H,L), …la variabile logica non è un numero binario, gode di diverse proprietàsi è trovata una corrispondenza fra gli operatori fondamentali dell’algebra di commutazione e i circuiti digitali
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 55 - -
Assiomi dell’algebra di Boole (1)Assiomi dell’algebra di Boole (1)
K contiene al minimo due elementi a e b tali che a b
Chiusura
per ogni a e b in K: a+b K e a• b K
Proprietà commutativa
a + b= b + a e a • b= b • a
Proprietà associativa
(a + b) + c = a + (b+c) = a + b+ c e a • (b • c) = (a • b) • c = a • b • c
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 66 - -
Assiomi dell’algebra di Boole (2)Assiomi dell’algebra di Boole (2)
Indentità
Esiste un elemento identità rispetto a {+}, tale che a + 0 = a per ogni a K
Esiste un elemento identità rispetto a {• }, tale che a • 1 = a per ogni a K
Proprietà distributiva
a + (b • c) = (a + b) • (a + c)
a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
Complemento
Per ogni a K esiste un elemento a K tale che:
(a + a ) = 1 e ( a • a ) = 0
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 77 - -
Algebra di commutazioneAlgebra di commutazione
l’insieme K è ristretto a solo due elementi K={0, 1}Le operazioni logiche fondamentali OR, AND, NOT soddisfano gli assiomi dell’algebra di BoolePorte logiche: elementi circuitali corrispondenti
A f(A)=A0
1
1
0
f(A,B)=A+B
0011
A B
0101
0111
f(A,B)=A• B
0011
B
0101
0001
A
NOT AND ORnegazione prodotto logico somma logica
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 88 - -
Altri operatori di uso comuneAltri operatori di uso comune
Esistono 16 funzioni di due variabili, corrispondenti alle combinazioni dei vari ingressi
Le più interessanti sono: XOR, NAND, NORf(A,B)=A B
0011
A B
0101
0110
EX-OR
f(A,B)=A• B
0011
B
0101
1110
A
NAND
f(A,B)=A+ B
0011
B
0101
1000
A
NOR
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 99 - -
Algebra di commutazione: proprietàAlgebra di commutazione: proprietà
La dimostrazione può avvenire
mediante analisi esaustiva
usando proprietà già definite
Principio di dualità
se vale un’identità booleana, allora vale anche l’identità duale, ottenuta scambiando con • (somma con prodotto), rendendo naturali le variabili complementate e complementate quelle naturali
0 1 e + •
è conseguenza dell’interscambiabilità degli assiomi dell’algebra di Boole
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1010 - -
Algebra di commutazione:Algebra di commutazione:Riepilogo proprietàRiepilogo proprietà
N. Descrizione Nome
1 Esistono gli elementi 0,1K taliche :A + 0 = AA 1 = A
Esistenzaelementiidentità
2 A + B = B + AA B = B A
Proprietàcommutativa
3 A (B + C) = A B + A CA + (B C) = (A +B) (A + C)
Proprietàdistributiva
4 Per ogni A K, esiste A tale che:A A = 0 e A + A = 1
Esistenzadell’inverso
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1111 - -
Algebra di commutazione:Algebra di commutazione:Riepilogo proprietàRiepilogo proprietà
N. Descrizione Nome
5 A + (B + C) = (A + B) + CA (BC) = (AB) C
Proprietàassociativa
6 A + A = AA A = A
Proprietàdell’idempotenza
7 A + B = A BA B = A + B
Legge diDeMorgan
8 A = A Involuzione
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1212 - -
Funzioni logiche vs porte logicheFunzioni logiche vs porte logiche
Funzione logica a singola uscita
Legge che associa un valore binario a tutte le combinazioni delle variabili indipendenti
Astrazione che non considera la “dinamica” dei segnali
Qualunque funzione logica può realizzarsi usando un insieme completo di operatori elementari
NAND, NOR, (AND,NOT), (OR, NOT), (AND, OR, NOT)
Combinazioni di porte logiche consentono di realizzare le funzioni logiche
Vedremo anche come trattare i casi con ingressi non completamente specificati e uscite multiple
),...,,( 21 nxxxfz
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1313 - -
Esempio: rilevatore di maggioranzaEsempio: rilevatore di maggioranza
Progettare un circuito logico a 3 ingressi (A,B,C) e una uscita U che assuma valore 1 quando, all'ingresso, il numero degli 1 supera il numero degli 0
L’attenzione è sugli 1 della tabella di veritàABCCABCBABCAU C
00001111
B
00110011
01010101
A
U00010111
BCA
CABCBA
ABC
Tabella di verità
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1414 - -
ABCCABCBABCAU
Rilevatore di maggioranza: Rilevatore di maggioranza: Rappresentazione circuitaleRappresentazione circuitale
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1515 - -
)()()()( CBACBACBACBAU
C
00001111
B
00110011
01010101
A
U00010111
CBA
CBA CBA
CBA
Rilevatore di magg.: soluzione duale Rilevatore di magg.: soluzione duale (1)(1)
L’attenzione è sugli 0 della tabella di verità
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1616 - -
)()()()( CBACBACBACBAU
Rilevatore di magg.: soluzione duale Rilevatore di magg.: soluzione duale (2)(2)
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1717 - -
Reti Combinatorie: def. generaleReti Combinatorie: def. generale
Circuito privo di retroazioni, formato collegando porte logiche OR, AND e NOT
Se m 1 la rete combinatoria si dice “a uscita singola”, altrimenti si dice “a uscite multiple”
Ingressi UsciteReteCombinatoria
(circuito di porteOR, AND, NOT)n 1 m 1
Simulazione del funzionamento
si assegnano valori agli ingressi della rete propagandoli in avanti, fino a determinare il valore logico dell’uscita
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1818 - -
Equivalenza fra EB e reti combinatorieEquivalenza fra EB e reti combinatorie
A ogni RC(x1, x2, , xn) a una uscita e a n ingressi x1, x2, , xn, si può sempre assegnare una e una sola espressione booleana EB(x1, x2, , xn) a n variabili x1, x2, , xn, tale che per qualsiasi assegnamento A tra i 2n possibili (e viceversa)
dato un assegnamento A agli ingressi x1, x2, , xn della rete combinatoria RC si haRC(A) EBA
dato un assegnamento A alle variabili x1, x2, , xn dell’espressione booleana EB si haEBA RC(A)
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 1919 - -
Costruzione dell’EB a partire da RCCostruzione dell’EB a partire da RC
x
y
zf
pq
r
zpf
zr
ryq
qxp
zpf
zr
zyq
qxp
zpf
zr
zyq
zyxp
zzyxf
zr
zyq
zyxp
zzyxf )(
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 2020 - -
Livelli di una RCLivelli di una RC
Funzione a due livelli
contiene solo due livelli di operatori annidati (trascurando la negazione)
Funzione a più livelli
contiene più livelli di operatori annidati (trascurando la negazione)
Esempi ( 2 e 3 liv.)Il numero di livelli influenza (si vedrà)
costo realizzativovelocità circuito
zyxf )( uzyxf
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 2121 - -
Equivalenze fra funzioni booleaneEquivalenze fra funzioni booleane
Due funzioni booleane (x1, x2, , xn) e g(x1, x2, , xn), a n 1 variabili, sono equivalenti se e solo se ammettono la stessa tabella delle verità
Esempiox y z f g
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
f(x, y, z) x y z
g(x, y, z) x x y z
Le due RC sono funzionalmente equivalenti ma sono differenti, per es. in termini di costo
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Algebra di CommutazioneAlgebra di Commutazione © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 2222 - -
Esempio di criterio di scelta: #letteraliEsempio di criterio di scelta: #letterali
Criterio di costo (dei letterali) di una rete combinatoria a due livelli
costo = # degli ingressi nel primo livello della rete
vale solo per per funzioni booleane a 2 livelli
Data una funzione booleana, esistono più (infinite) reti combinatorie che la realizzano
Problema
sintetizzare la rete comb. di costo minimo
Esempio
f(x, y, z) x y z costo(f) 1 2 3
g(x, y, z) x x y z costo(g) 1 3 4