Inegalitati (VIII)
Marius MaineaC.N. ,,Vladimir Streinu’’ Gaesti
I Definitii, Notatii, Proprietati.
Notam , (media armonica), , (media geometrica)
, (media aritmetica), ,(media patratica).
Se cunosc inegalitatile mediilor:
pentru orice numere pozitive x si y.
, , , a,b,c, reale.
oricare ar fi a,b,c reale.
,
Inegalitatea Cauchy-Buniaovswski-Schwartz (C-B-S)
pentru a,b,c,x,y,z reale.
Pentru orice numere reale, folosind relatiile de mai sus, se deduc urmatoarele inegalitati
a) b) . c) .
d) pentru a,b,c reale si x,y,z pozitive.
Pentru orice exista si este unic astfel incat .
II Probleme rezovate
R1) Daca a,b,c sunt nenegative atunci :a)
b)
c) Daca in plus , atunci .***
Solutie:
a) conform ,d,b)
b) Conform ultimei proprietati exista x,y,z reale astfel incat , , , si
inegalitatea devine sau , care este adevarata
conform punctului anterior.
c) Rezulta din punctul b).
R2) Daca a,b,c >0 atunci
Mircea Lascu SHL, ONM-2006
Solutie: Folosind inegalitatea mediilor avem , deci
.
Analog si de unde
prin adunare se obtine concluzia.
R3) Daca a,b,c sunt numere positive atunci
(Inegalitatea lui Nesbitt)
Solutie: Aplicind -d,b)
R4) Daca a,b,c,x,y,z >0 asttfel incat , atunci
(Liviu Oprisescu,C.R. Arhimede)
Solutie: Presupunem prin absurd ca . Adunand aceasta inegalitate cu cea
din ipoteza obtinem conform
inegalitatii mediilor si analoagele.
Asadar obtinem contradictia , ceea ce ne arata ca presupunerea
facuta e falsa.
R5) Fie a,b,c>0 . demonstrati ca
(SHL-.JBMO/2002)
Solutie : Aplicam problema anterioara pentru :
, , si , , . Intr-adevar
, deoarece folosind -d)
In concluzie
q.e.d.
R6) Fie a,b,c>0 astfel incat . Demonstrati ca :
(Marius Mainea)Solutie : Aplicam tot probema R4) pentru :
, , si , , . Atunci
conform R3)
si deci q.e.d.
R7) Daca a,b,c [ ,1] , atunci
(Mircea Lascu ONM,-2006)
Solutie: Pentru prima inegalitate:
Cum , rezulta deci si analog
si de unde prin sumare
q.e.d.
Pentru a doua folosim ca si atunci
q.e.d.
R8) Daca astfel incat atunci
( Marius Mainea , RMT ,1-2008)
Solutie : Conform ipotezei , avem
conform
inegalitatii mediilor . Analog pentru celealte fractii.
si .
Prin sumare , deoarece conform R1-c)
R9) Aratati ca pentru orice numere reale positive a,b,c avem
(*** SHL/2007)
Solutie: Din inegalitatea mediilor si analoagele , de unde prin adunare
) conform R3)
R10) Fie a,b,c>0 numere reale cu a+b+c=1. Demonstrati ca
(Laura & Gheorghe Molea, SHL-ONM/2007)
Solutie:Din inegalitatea mediilor avem si analoagele , de unde
(*)
Pe de alta parte folosind -d)
conform ipotezei si atunci
(**) si din (*) si (**) rezulta concluzia.
R11) Fie a,b,c reale , , si
S= . Demonstrati ca
(elev Gheorghe Pupazan C.N. Paun/2007)
Solutie: Aplicand inegalitatea mediilor avem
si de unde prin adunare
deci q.e.d.
R12) Fie a,b,c pozitive cu a+b+c=1 . Demonstrati ca
(Marcel Teleuca, C.N.Paun/2006)
Solutie : conform inegalitatii mediilor.
Scriind inegalitatile analoage si adunandu-le obtinem concluzia
.
III Probleme propuse
P1) Daca a,b,c sunt reale pozitive cu atunci
(JBTST III-2008)Solutie: Aratam pentru inceput ca
Intr-adevar aplicand -b) de doua ori avem
de unde .
Folosind acest lucru
q.e.d.
P2) Demonstrati ca daca x,y,z>0 si , atunci
(Claudiu Mandrila,elev,Targoviste)
Solutie : Folosind -d) rezulta
si e suficient sa aratam ca ceea ce este evident din -a)
P3) Daca a,b,c>0, atunci
(MS/2006)
Solutie: Prelucram putin primul termen:
unde am folosit
inegalitatea mediilor si proprietatea ,a cincea, pentru .
Asadar si analog ,
si apoi prin adunare rezulta concluzia.
P4) Fie OABC un triedru tridreptunghic cu varful in O. Demonstrati ca :
(Marius Mainea,RMT 3/2004)Solutie : Notam OA=a , OB=b , OC=c. Folosind , sau inegalitatea CBS, avem si analoagele. Avem
Insumind cu
inegalitatile analoage obtinem inegalitatea din stanga. Pentru cea din dreapta
, deoarece ( )
De aici q.e.d.
P5) a) Demonstrati inegalitatea :
b) Fie a,b,c,d>0. Demonstrati inegalitatea
(Traian Tamaian ONM/2005)Solutie : a) Din inegalitatea mediilor ,
obtinem si atunci
b) Aplicand a) obtinem
si
. Rezulta ca
=
=
P6) Fie a,b,c si asttfel incat
a) Demostrati ca b) n ce caz avem egalitatela (a) ?
(Cecilia Deaconescu, SHL,ONM/2005)
Solutie :a) Din inegalitatea mediilor , , de unde
si analog , de unde prin adunare
Asadar trebuie sa avem egalitate in
toate inegalitatile de mai sus de unde , , , sau
b) Egalitatea are loc pentru x=y=z=1 si a=b=c=
P7) Fie a,b,c >0 astfel incat a+b+c=1. Demonstrati ca
(Mircea Lascu)
Solutie :
Notând , avem şi inegalitatea din enunţ devine:
. (1)
Dar folosind inegalitatea rezulta , ,
si insumind obtinem inegalitatea (1).
P8) Fie a,b,c astfel incat . Sa se arate ca
(Marcel Chirita,SHL-ONM/2002)
Solutie: Este cunoscuta identitatea:
.
Notand y=ab+bc+ca , observam ca si avem
, unde am folosit R1-b) si inegalitatea CBS.
P9) Demonstrati inegalitatea
(Nicolae Papacu, SHL, ONM/2003)
Solutie: Aplicand -d) obtinem
Asadar e suficient sa aratam ca , echivalent cu
, care rezulta din inegalitatea mediilor
P10) Daca a,b,c>0 cu abc=1, atunci
(Marius Mainea)
Solutie: Folosind inegalitatea mediilor
si analog
, si prin sumare
, folosind -a) si R1-b)
Bibliografie :
1) Titu Andreescu et co ,,Old and new inequalities’’ Ed gil 20042) Mircea Becheanu& Bogdan Enescu ,,Inegalitati Elementare…” Ed Gil 2002 3) Colectia GM , RMT,Arhimede4) www.mateforum.ro 5) www.artofproblemsolving.com