-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
1/36
8 S a m p l i n g P r o c e s s
W e h a v e a l r e a d y t a l k e d a b o u t t h e t r a n s m i s s i o n o f a d i s c r e t e s o u r c e o v e r a d i s c r e t e c h a n -
n e l i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s . H o w e v e r , i f t h e m e s s a g e s i g n a l h a p p e n s t o b e a n a l o g i n
n a t u r e , a s i n s p e e c h s i g n a l o r v i d e o s i g n a l , t h e n i t h a s t o b e c o n v e r t e d i n t o d i g i t a l f o r m
b e f o r e i t c a n b e t r a n s m i t t e d b y d i g i t a l m e a n s . T h e s a m p l i n g p r o c e s s i s t h e r s t s t e p
i n a n a l o g - t o - d i g i t a l c o n v e r s i o n . T w o o t h e r p r o c e s s e s , q u a n t i z i n g a n d e n c o d i n g , a r e a l s o
i n v o l v e d i n t h e c o n v e r s i o n . T h e s e o p e r a t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d i n s u b s e q u e n t s e c t i o n s .
S a m p l i n g a l s o p r o v i d e s t h e b a s i s f o r t h e t i m e d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g o f s i g n a l s w h i c h i s a
m e t h o d f o r s i m u l t a n e o u s t r a n s m i s s i o n o f s e v e r a l s i g n a l s t h r o u g h t h e s a m e c o m m u n i c a t i o n
c h a n n e l w i t h o u t m u t u a l i n t e r f e r e n c e . T h i s i s e x p l a i n e d i n t h e f o l l o w i n g :
8 . 1 T i m e d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g v e r s u s f r e q u e n c y d i v i s i o n m u l t i -
p l e x i n g
A s w e s a w b e f o r e , a m o d u l a t e d s i g n a l u s i n g a s i n u s o i d a l c a r r i e r h a s t h e f o l l o w i n g g e n e r a l
f o r m :
( t ) = a ( t ) c o s ( t ) = a ( t ) c o s !
c
t + ( t ) ] ( 4 6 2 )
w h e r e !
c
i s c a l l e d t h e c a r r i e r f r e q u e n c y .
I n a m p l i t u d e m o d u l a t i o n , t h e p h a s e ( t ) i n ( 4 6 2 ) i s c o n s t a n t a n d t h e a m p l i t u d e a ( t ) i s
c h a n g e d i n p r o p o r t i o n t o t h e i n p u t s i g n a l . I n a n g l e m o d u l a t i o n , t h e a m p l i t u d e a ( t ) i n
( 4 6 2 ) i s c o n s t a n t a n d t h e p h a s e ( t ) i s c h a n g e d i n p r o p o r t i o n t o t h e i n p u t s i g n a l .
M o d u l a t i o n r e s u l t s i n a t r a n s l a t i o n o f t h e f r e q u e n c y c o m p o n e n t s o f t h e i n p u t s i g n a l t o
h i g h e r f r e q u e n c i e s a r o u n d !
c
. T h e f r e q u e n c y t r a n s l a t i n g p r o p e r t y o f m o d u l a t i o n c a n b e
u s e d t o t r a n s m i t a l a r g e n u m b e r o f s i g n a l s a t t h e s a m e t i m e w i t h o u t m u t u a l i n t e r f e r e n c e .
T h i s i s c a l l e d t h e f r e q u e n c y d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g a n d i s b a s e d o n u s i n g d i e r e n t c a r r i e r
f r e q u e n c i e s f o r d i e r e n t s i g n a l s ( r e f e r t o F i g . ( 5 6 ) ) . I f t h e b a n d w i d t h o f t h e s i g n a l s i s !
m
,
t h e n t w o s u b s e q u e n t m o d u l a t i n g f r e q u e n c y s h o u l d b e a t l e a s t 2 !
m
a p a r t . I n t h e r e c e i v e r
s i d e , d e p e n d i n g o f t h e a p p l i c a t i o n , o n e c a n d e m o d u l a t e a l l t h e s i g n a l s s i m u l t a n e o u s l y o r
u s e a t u n a b l e b a n d p a s s l t e r t o s e p a r a t e o n e o f t h e s i g n a l s .
1 1 7
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
2/36
F
1
( ! )
!
0
!
0; !
m
!
0; !
m
+
+
+
T r a n s m i t t e r
A n t e n n a
B P F
@ !
1
B P F
B P F
f
1
( t )
f
2
( t )
B P F
f
3
( t )
T u n n a b l e
F
2
( ! ) F
3
( ! )
; !
m
!
m
!
m
!
m
@ !
2
f
3
( t )
f
1
( t )
o r
f
2
( t )
o r
A n t e n n a
D e m o d u l a t o r
f
2
( t )
f
1
( t )
0
( c )
!
2
f
3
( t )
!
1
!
3
A n t e n n a D e m o d u l a t o r s
2 !
m
2 !
m
2 !
m
c o s ( !
1
t )
c o s ( !
2
t )
c o s ( !
3
t )
@ !
3
F i g u r e 5 6 : F r e q u e n c y d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g ( F D M ) .
1 1 8
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
3/36
T i m e d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g i s a n a l t e r n a t i v e m e t h o d f o r t h e s i m u l t a n e o u s t r a n s m i s s i o n o f
d i e r e n t s i g n a l s . I t i s b a s e d o n d i v i d i n g t h e t i m e a x i s i n t o n o n o v e r l a p p i n g s e g m e n t s a n d
a s s i g n i n g e a c h s e g m e n t t o a d i e r e n t i n p u t s i g n a l . T h i s i s e x p l a i n e d i n F i g . ( 5 7 ) . T h e
r s t s t e p i n T D M p r o c e s s i s s a m p l i n g .
L P F
L P F
L P F
C o m m u t a t o r
1
2
N
1
2
N
M e s s a g e
i n p u t s
m o d u l a t o r
C o m m u n i c a t i o n
P r e - a l i a s
l t e r s
T i m i n g p u l s e s
a m p l i t u d e
P u l s e
d e m o d u l a t o r
a m p l i t u d e
P u l s e
c h a n n e l
M e s s a g e
o u t p u t s
L P F
L P F
L P F
T i m i n g p u l s e s
S y n c h r o n i z a t i o n o f t h e M o d u l a t o r a n d D e m o d u l a t o r
D e m o d u l a t o
F i g u r e 5 7 : T i m e d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g ( T D M )
8 . 2 S a m p l i n g t h e o r y
I n t h e s a m p l i n g p r o c e s s , a c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l i s c o n v e r t e d i n t o a d i s c r e t e - t i m e s i g n a l
b y m e a s u r i n g t h e s i g n a l a t p e r i o d i c i n s t a n t s o f t i m e . F o r t h e s a m p l i n g p r o c e s s t o b e o f
p r a c t i c a l u t i l i t y , i t i s n e c e s s a r y t h a t w e c h o o s e t h e s a m p l i n g r a t e p r o p e r l y , s o t h a t t h e
d i s c r e t e t i m e s i g n a l r e s u l t i n g f r o m t h e p r o c e s s u n i q u e l y d e n e s t h e o r i g i n a l c o n t i n u o u s -
t i m e s i g n a l i n a n e c i e n t w a y ( u s i n g a s m a l l n u m b e r o f s a m p l e s ) .
C o n s i d e r a n a n a l o g s i g n a l g ( t ) t h a t i s c o n t i n u o u s i n b o t h t i m e a n d a m p l i t u d e . W e a s s u m e
t h a t g ( t ) h a s i n n i t e d u r a t i o n b u t n i t e e n e r g y . A s e g m e n t o f t h e s i g n a l g ( t ) i s d e p i c t e d
1 1 9
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
4/36
i n F i g . ( 5 8 ) . L e t t h e s a m p l e v a l u e s o f t h e s i g n a l g ( t ) a t t i m e s t = 0 T
s
2 T
s
: : : b e
d e n o t e d b y t h e s e r i e s f g ( n T
s
) n = 0 1 2 : : : g . W e r e f e r t o T
s
a s t h e s a m p l i n g p e r i o d
a n d t o f
s
= 1 = T
s
a s t h e s a m p l i n g r a t e
t
g ( t )
0
g
( t )
0
T
s
( a )
( b )
F i g u r e 5 8 : I l l u s t r a t i o n o f t h e i d e a l s a m p l i n g p r o c e s s . ( a ) A n a l o g s i g n a l . ( b ) D i s c r e t e - t i m e
s i g n a l .
W e d e n e t h e d i s c r e t e - t i m e s i g n a l , g
( t ) , t h a t r e s u l t s f r o m t h e s a m p l i n g p r o c e s s a s
g
( t ) =
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
) ( t ; n T
s
) ( 4 6 3 )
w h e r e ( t ; n T
s
) i s a D i r a c d e l t a f u n c t i o n l o c a t e d a t t i m e t = n T
s
W e h a v e
1 2 0
-
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5/36
g ( t ) ( t ; n T
s
) = g ( n T
s
) ( t ; n T
s
) ( 4 6 4 )
g
( t ) = g ( t )
1
X
n = ; 1
( t ; n T
s
)
= g ( t )
T
s
( t ) ( 4 6 5 )
w h e r e
T
s
( t ) =
P
1
n = ; 1
( t ; n T
s
) i s t h e D i r a c C o m b o r i d e a l s a m p l i n g f u n c t i o n
F r o m t h e p r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m , w e k n o w t h a t t h e m u l t i p l i c a t i o n o f t h e t w o
t i m e f u n c t i o n s i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n v o l u t i o n o f t h e i r r e s p e c t i v e F o u r i e r t r a n s f o r m s . l e t
G ( f ) a n d G
( f ) d e n o t e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m s o f g ( t ) a n d g
( t ) , r e s p e c t i v e l y .
I t i s k n o w n t h a t f o r t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f
T
s
( t ) , w e h a v e
F
T
s
( t ) = f
s
1
X
m = ; 1
( f ; m f
s
) ( 4 6 6 )
w h e r e f
s
= 1 = T
s
T r a n s f o r m i n g e q u a t i o n ( 4 6 5 ) i n t o t h e f r e q u e n c y d o m a i n , w e o b t a i n
G
( f ) = G ( f )
"
f
s
1
X
m = ; 1
( f ; m f
s
)
#
( 4 6 7 )
w h e r e d e n o t e s c o n v o l u t i o n . I n t e r c h a n g i n g t h e o r d e r o f s u m m a t i o n a n d c o n v o l u t i o n
y i e l d s
G
( f ) = f
s
1
X
m = ; 1
G ( f ) ( f ; m f
s
) ( 4 6 8 )
G
( f ) = f
s
1
X
m = ; 1
G ( f ; m f
s
) ( 4 6 9 )
N o t e t h a t G
( f ) r e p r e s e n t s a p e r i o d i c e x t e n s i o n o f t h e o r i g i n a l s p e c t r u m G ( f ) . T h i s
m e a n s t h a t t h e p r o c e s s o f u n i f o r m l y s a m p l i n g a s i g n a l i n t h e t i m e d o m a i n r e s u l t s i n a
p e r i o d i c s p e c t r u m i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n w i t h a p e r i o d e q u a l t o t h e s a m p l i n g r a t e .
T a k i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f b o t h s i d e s o f e q u a t i o n ( 4 6 3 ) a n d n o t i n g t h a t t h e F o u r i e r
t r a n s f o r m o f t h e d e l t a f u n c t i o n ( t ; n T
s
) i s e q u a l t o e x p ( ; j 2 n f T
s
) r e s u l t s i n
1 2 1
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
6/36
G
( f ) =
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
) e x p ( ; j 2 n f T
s
) ( 4 7 0 )
T h i s r e l a t i o n m a y b e v i e w e d a s a c o m p l e x F o u r i e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p e r i o d i c
f r e q u e n c y f u n c t i o n G
( f ) , w i t h t h e s e q u e n c e o f s a m p l e s f g ( n T
s
) g , d e n i n g t h e c o e c i e n t s
o f t h e e x p a n s i o n .
S u p p o s e t h a t t h e s i g n a l i s s t r i c t l y b a n d - l i m i t e d , w i t h n o f r e q u e n c y c o m p o n e n t s h i g h e r
t h a n W h e r t z , a s i l l u s t r a t e d i n F i g . 5 9 .
S u p p o s e a l s o t h a t w e c h o o s e t h e s a m p l i n g p e r i o d T
s
= 1 = 2 W . T h e n t h e c o r r e s p o n d i n g
s p e c t r u m G
( f ) o f t h e s a m p l e d s i g n a l g
( t ) i s a s s h o w n i n F i g . 5 9 b . P u t t i n g T
s
= 1 = 2 W
i n e q u a t i o n ( 4 7 0 ) y i e l d s
G
( f ) =
1
X
n = ; 1
g
n
2 W
e x p
;
j n f
W
!
( 4 7 1 )
P u t t i n g f
s
= 2 W i n E q . 4 6 9 , w e h a v e
G
( f ) = 2 W G ( f ) ; W f W ( 4 7 2 )
o r ,
G ( f ) =
1
2 W
G
( f ) ; W f W ( 4 7 3 )
I t f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( 4 7 1 ) t h a t w e m a y a l s o w r i t e
G ( f ) =
1
2 W
1
X
n = ; 1
g
n
2 W
e x p
;
j n f
W
!
; W f W ( 4 7 4 )
T h e r e f o r e i f t h e s a m p l e v a l u e s g ( n = 2 W ) o f t h e s i g n a l g ( t ) a r e s p e c i e d f o r a l l t i m e , t h e n
t h e F o u r i e r t r a n s f o r m G ( f ) o f t h e s i g n a l i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y u s i n g t h e F o u r i e r s e r i e s
o f e q u a t i o n ( 4 7 4 ) . I n o t h e r w o r d s , t h e s e q u e n c e f g ( n = 2 W ) g c o n t a i n s a l l t h e i n f o r m a t i o n
o f g ( t )
C o n s i d e r n e x t t h e p r o b l e m o f r e c o n s t r u c t i n g t h e s i g n a l g ( t ) f r o m t h e s e q u e n c e o f s a m p l e
v a l u e s f g ( n = 2 W ) g . W e g e t
g ( t ) =
Z
1
; 1
G ( f ) e x p ( j 2 f t ) d f
1 2 2
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
7/36
(b)
(a)
(c)
G ( f )
; 2 f
s
f
s
2 f
s
0
0
W
; f
s
W
; W
; W
; W
G ( 0 )
2 W G ( f )
G
( f )
H ( f )
f
f
f
W
F i g u r e 5 9 : ( a ) S p e c t r u m o f s i g n a l g ( t ) . ( b ) S p e c t r u m o f s a m p l e d s i g n a l g
( t ) f o r a s a m p l i n g
r a t e f
s
= 2 W . ( c ) I d e a l a m p l i t u d e r e s p o n s e o f r e c o n s t r u c t i o n l t e r .
1 2 3
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
8/36
=
Z
W
; W
1
2 W
1
X
n = ; 1
g
n
2 W
e x p
;
j n f
W
!
e x p ( j 2 f t ) d f
I n t e r c h a n g i n g t h e o r d e r o f t h e s u m m a t i o n a n d i n t e g r a t i o n , w e o b t a i n ,
g ( t ) =
1
X
n = ; 1
g
n
2 W
1
2 W
Z
W
; W
e x p
j 2 f
t ;
n
2 W
d f ( 4 7 5 )
T h e i n t e g r a l t e r m i n E q . ( 4 7 5 ) m a y b e r e a d i l y e v a l u a t e d , y i e l d i n g
g ( t ) =
1
X
n = ; 1
g
n
2 W
s i n ( 2 W t ; n )
( 2 W t ; n )
( 4 7 6 )
U s i n g t h e n o t a t i o n ,
s i n c x =
s i n ( x )
x
( 4 7 7 )
w e o b t a i n ,
g ( t ) =
1
X
n = ; 1
g
n
2 W
s i n c ( 2 W t ; n ) ( 4 7 8 )
T h e s i n c f u n c t i o n e x h i b i t s a n i m p o r t a n t p r o p e r t y k n o w n a s t h e i n t e r p o l a t o r y p r o p e r t y ,
w h i c h i s d e s c r i b e d a s f o l l o w s :
s i n c x =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1 x = 0
0 x = 1 2 : : :
( 4 7 9 )
C o n s i d e r i n g t h i s p r o p e r t y , i t i s s e e n t h a t e q u a t i o n ( 4 7 8 ) p r o v i d e s a n i n t e r p o l a t i o n f o r m u l a
f o r r e c o n s t r u c t i n g t h e o r i g i n a l s i g n a l g ( t ) f r o m t h e s e q u e n c e o f s a m p l e v a l u e s f g ( n = 2 W ) g ,
w i t h t h e s i n c f u n c t i o n s i n c ( 2 W t ) p l a y i n g t h e r o l e o f a n i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n .
A p r a c t i c a l m e t h o d f o r t h e r e c o n s t r u c t i o n o f t h e t i m e s i g n a l g ( t ) f r o m i t s s a m p l e s i s a s
f o l l o w s : B y i n s p e c t i o n o f t h e s p e c t r u m o f F i g . ( 5 9 b ) , w e s e e t h a t t h e o r i g i n a l s i g n a l
g ( t ) m a y b e r e c o v e r e d e x a c t l y f r o m t h e s e q u e n c e o f s a m p l e s f g ( n = 2 W ) g b y p a s s i n g i t
t h r o u g h a n i d e a l l o w - p a s s l t e r o f b a n d w i d t h W . T h e i d e a l a m p l i t u d e r e s p o n s e o f t h e
r e c o n s t r u c t i o n l t e r i s s h o w n i n F i g . ( 5 9 c ) .
8 . 3 S i g n a l s p a c e i n t e r p o l a t i o n
T h e f u n c t i o n s i n c ( 2 W t ; n ) , w h e r e n i s a n i n t e g e r , i s o n e o f a f a m i l y o f s h i f t e d s i n c
f u n c t i o n s t h a t a r e m u t u a l l y o r t h o g o n a l . T o p r o v e t h i s , w e u s e t h e f o r m u l a
1 2 4
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
9/36
Z
1
; 1
g
1
( t ) g
2
( t ) d t =
Z
1
; 1
G
1
( f ) G
2
( f ) d f ( 4 8 0 )
P u t
g
1
( t ) = s i n c ( 2 W t ; n ) = s i n c
2 W ( t ;
n
2 W
)
( 4 8 1 )
a n d
g
2
( t ) = s i n c ( 2 W t ; m ) = s i n c
2 W ( t ;
m
2 W
)
( 4 8 2 )
w e h a v e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m p a i r :
s i n c ( 2 W t )
*
)
1
2 W
r e c t
f
2 W
!
( 4 8 3 )
r e c t ( x ) =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1 ;
1
2
< x
1
2
( 4 8 4 )
R e c a l l t h a t i f x ( t )
*
)
X ( f ) t h e n , x ( t ; t
0
)
*
)
e
; j 2 f t
0
X ( f ) . U s i n g t h i s f a c t w e o b t a i n ,
G
1
( f ) =
1
2 W
r e c t
f
2 W
!
e x p
;
j n f
W
!
( 4 8 5 )
a n d
G
2
( f ) =
1
2 W
r e c t
f
2 W
!
e x p
;
j m f
W
!
( 4 8 6 )
H e n c e ,
Z
1
; 1
s i n c ( 2 W t ; n ) s i n c ( 2 W t ; m ) d t =
1
2 W
2
Z
W
; W
e x p
"
;
j f
W
( n ; m )
#
d f
=
s i n ( n ; m )
2 W ( n ; m )
=
1
2 W
s i n c ( n ; m )
T h i s r e s u l t e q u a l s 1 / 2 W w h e n n = m , a n d z e r o w h e n n 6= m . W e t h e r e f o r e h a v e
1 2 5
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
10/36
Z
1
; 1
s i n c ( 2 W t ; n ) s i n c ( 2 W t ; m ) d t =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1
2 W
n = m
0 n 6= m
( 4 8 7 )
T h i s p r o v e s t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e s i n c f u n c t i o n s .
E q u a t i o n ( 4 7 8 ) r e p r e s e n t s t h e e x p a n s i o n o f t h e s i g n a l g ( t ) a s a n i n n i t e s u m o f o r t h o g o n a l
f u n c t i o n s w i t h t h e c o e c i e n t s o f t h e e x p a n s i o n , g ( n = 2 W ) , d e n e d b y
g
n
2 W
= 2 W
Z
1
; 1
g ( t ) s i n c ( 2 W t ; n ) d t ( 4 8 8 )
T h e m i n i m u m s a m p l i n g r a t e o f 2 W s a m p l e s p e r s e c o n d , f o r a s i g n a l b a n d - w i d t h o f W
h e r t z , i s c a l l e d t h e N y q u i s t r a t e . C o r r e s p o n d i n g l y , t h e r e c i p r o c a l 1 = 2 W i s c a l l e d t h e
N y q u i s t i n t e r v a l
8 . 4 Q u a d r a t u r e s a m p l i n g o f b a n d - p a s s s i g n a l s
C o n s i d e r a b a n d - p a s s s i g n a l g ( t ) ( l i m i t e d t o t h e f r e q u e n c y b a n d f
c
; W f
c
+ W ] a n d i t s
n e g a t i v e ) w h o s e s p e c t r u m i s i l l u s t r a t e d i n F i g . ( 6 0 a ) .
L e t g
I
( t ) d e n o t e t h e i n - p h a s e c o m p o n e n t o f t h e b a n d - p a s s s i g n a l g ( t ) a n d g
Q
( t ) d e n o t e i t s
q u a d r a t u r e c o m p o n e n t . W e m a y t h e n e x p r e s s g ( t ) i n t e r m s o f g
I
( t ) a n d g
Q
( t ) a s f o l l o w s :
g ( t ) = g
I
( t ) c o s ( 2 f
c
t ) ; g
Q
( t ) s i n ( 2 f
c
t ) ( 4 8 9 )
W e k n o w t h a t t h e t w o s i g n a l s g
I
( t ) , g
Q
( t ) a r e l o w p a s s a n d l i m i t e d t o a f r e q u e n c y b a n d o f
; W W ] . T h i s m e a n s t h a t w e c a n r e p r e s e n t e a c h o f t h e s e t w o s i g n a l s u s i n g 2 W s a m p l e s
p e r s e c o n d . T h i s r e s u l t s i n a t o t a l o f 4 W s a m p l e s p e r s e c o n d f o r t h e b a n d p a s s s i g n a l
g ( t ) w h i c h h a s a b a n d w i d t h o f 2 W . T o r e c o n s t r u c t t h e o r i g i n a l b a n d - p a s s s i g n a l f r o m
i t s q u a d r a t u r e - s a m p l e d v e r s i o n , w e r s t r e c o n s t r u c t g
I
( t ) , g
Q
( t ) a n d t h e n c o m b i n e t h e m
u s i n g ( 4 8 9 ) .
1 2 6
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
11/36
0
0
; f
c
G
I
( f ) G
Q
( f )
f
c
; W ; W
2 W
2 W
; W
W W
W
G ( f )
f
F i g u r e 6 0 : ( a ) S p e c t r u m o f b a n d - p a s s s i g n a l g ( t ) . ( b ) S p e c t r u m o f l o w - p a s s i n - p h a s e
c o m p o n e n t g
I
( t ) a n d q u a d r a t u r e c o m p o n e n t g
Q
( t )
1 2 7
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
12/36
8 . 5 S a m p l i n g p r o c e d u r e
W e k n o w t h a t a s i g n a l c a n n o t b e n i t e i n b o t h t i m e a n d f r e q u e n c y . I n p r a c t i c e w e
h a v e t o w o r k w i t h a n i t e s e g m e n t o f t h e s i g n a l , i n w h i c h c a s e t h e s p e c t r u m c a n n o t
b e s t r i c t l y b a n d - l i m i t e d . c o n s e q u e n t l y w h e n a s i g n a l o f n i t e d u r a t i o n i s s a m p l e d , a n
e r r o r i n t h e r e c o n s t r u c t i o n o c c u r s a s a r e s u l t o f t h e s a m p l i n g p r o c e s s .
T h e s p e c t r u m G
( f ) o f t h e d i s c r e t e - t i m e s i g n a l g
( t ) , r e s u l t i n g f r o m t h e u s e o f t h e i d e a l i z e d
s a m p l i n g , i s t h e s u m o f G ( f ) a n d a n i n n i t e n u m b e r o f f r e q u e n c y - s h i f t e d r e p l i c a o f i t . I f
G ( f ) i s n o t b a n d l i m i t e d , w e n d t h a t p o i n t s o f t h e f r e q u e n c y - s h i f t e d r e p l i c a a r e f o l d e d o v e r
i n s i d e t h e d e s i r e d s p e c t r u m . T h i s i s c a l l e d a l i a s i n g o r f o l d o v e r
P r i o r t o s a m p l i n g , a l o w - p a s s p r e - a l i a s l t e r i s u s e d t o a t t e n u a t e t h o s e h i g h f r e q u e n c y
c o m p o n e n t s o f t h e s i g n a l . T h e l t e r e d s i g n a l i s s a m p l e d a t a r a t e s l i g h t l y h i g h e r t h a n t h e
N y q u i s t r a t e 2 W , w h e r e W i s t h e c u t o f r e q u e n c y o f t h e p r e - a l i a s l t e r .
T h e u s e o f a s a m p l i n g r a t e f
s
h i g h e r t h a n t h e N y q u i s t r a t e 2 W h a s t h e d e s i r a b l e e e c t
o f m a k i n g i t s o m e w h a t e a s i e r t o d e s i g n t h e l o w - p a s s r e c o n s t r u c t i o n l t e r s o a s t o r e c o v e r
t h e o r i g i n a l a n a l o g s i g n a l f r o m i t s s a m p l e d v e r s i o n . W i t h s u c h a s a m p l i n g r a t e , w e n d
t h a t t h e r e a r e g a p s , e a c h o f w i d t h f
s
; 2 W b e t w e e n t h e f r e q u e n t s h i f t e d r e p l i c a o f G ( f )
A c c o r d i n g l y , w e m a y d e s i g n t h e r e c o n s t r u c t i o n l t e r w i t h a h i g h e r d e g r e e o f e x i b i l i t y .
8 . 6 P r a c t i c a l a s p e c t s o f s a m p l i n g a n d s i g n a l r e c o v e r y
8 . 6 . 1 O r d i n a r y s a m p l e s o f n i t e d u r a t i o n
C o n s i d e r t h e w a v e f o r m s g ( t ) , c ( t ) , a n d s ( t ) i l l u s t r a t e d i n p a r t s ( a ) , ( b ) a n d ( c ) o f F i g .
( 6 1 ) r e s p e c t i v e l y .
W e h a v e
s ( t ) = c ( t ) g ( t ) ( 4 9 2 )
H o w e v e r , c ( t ) m a y b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f a c o m p l e x F o u r i e r s e r i e s a s
c ( t ) = f
s
T A
1
X
n = ; 1
s i n c ( n f
s
T ) e x p ( j 2 n f
s
t ) ( 4 9 3 )
1 2 8
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
13/36
t
t
0
0
0
g ( t )
( a )
9 b )
( c )
s ( t )
c ( t )
A
T
T
s
F i g u r e 6 1 : ( a ) A n a l o g s i g n a l . ( b ) S a m p l i n g f u n c t i o n . ( c ) S a m p l e d s i g n a l .
1 2 9
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
14/36
w h e r e T
s
f
s
= 1 d e n e s t h e s a m p l i n g r a t e f
s
s ( t ) = f
s
T A
1
X
n = ; 1
s i n c ( n f
s
T ) e x p ( j 2 n f
s
t ) g ( t ) ( 4 9 4 )
T a k i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m , w e g e t
S ( f ) = f
s
T A
1
X
m = ; 1
s i n c ( m f
s
T ) G ( f ; m f
s
) ( 4 9 5 )
W h e r e S ( f ) = F s ( t ) ] a n d G ( f ) = F g ( t )
T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e s p e c t r a G ( f ) a n d S ( f ) i s i l l u s t r a t e d i n F i g . ( 6 2 ) .
2 W
f
S ( f )
s i n c ( n f
s
T )
0
2 f
s
3 f
s
f
s
; 3 f
s
; 2 f
s
; f
s
F i g u r e 6 2 : I l l u s t r a t i n g t h e e e c t o f u s i n g o r d i n a r y p u l s e s o f n i t e d u r a t i o n o n t h e s p e c t r u m
o f a s a m p l e d s i g n a l
S i g n a l g ( t ) c a n b e r e c o v e r e d f r o m s ( t ) w i t h n o d i s t o r t i o n b y p a s s i n g s ( t ) t h r o u g h a n i d e a l
l o w - p a s s l t e r .
8 . 6 . 2 F l a t - t o p s a m p l e s
C o n s i d e r t h e s i t u a t i o n i l l u s t r a t e d i n F i g . ( 6 3 ) , w e m a y w r i t e
s ( t ) =
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
) h ( t ; n T
s
) ( 4 9 6 )
1 3 0
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
15/36
0
T
T
s
s ( t )
g ( t )
t
F i g u r e 6 3 : F l a t - t o p S a m p l e s
h ( t ) =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1 0 < t < T
0 t T
= r e c t
t
T
;
1
2
( 4 9 7 )
g
( t ) =
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
) ( t ; n T
s
) ( 4 9 8 )
g
( t ) h ( t ) =
Z
1
; 1
g
( ) h ( t ; ) d
=
Z
1
; 1
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
) ( ; n T
s
) h ( t ; ) d
=
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
)
Z
1
; 1
( ; n T
s
) h ( t ; ) d ( 4 9 9 )
g
( t ) h ( t ) =
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
) h ( t ; n T
s
) ( 5 0 0 )
1 3 1
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
16/36
T h e r e f o r e ,
s ( t ) = g
( t ) h ( t ) ( 5 0 1 )
T a k i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m , w e g e t
S ( f ) = G
( f ) H ( f ) ( 5 0 2 )
S u b s t i t u t i n g o f E q . ( 4 6 9 ) i n t o E q . ( 5 0 2 ) y i e l d s
S ( f ) = f
s
1
X
m = ; 1
G ( f ; m f
s
) H ( f ) ( 5 0 3 )
S u p p o s e t h a t g ( t ) i s s t r i c t l y b a n d - l i m i t e d a n d t h a t t h e s a m p l i n g r a t e f
s
i s g r e a t e r t h a n
t h e N y q u i s t r a t e . T h e n p a s s i n g s ( t ) t h r o u g h a l o w - p a s s r e c o n s t r u c t i o n l t e r , w e n d t h a t
t h e s p e c t r u m o f t h e r e s u l t i n g l t e r o u t p u t i s e q u a l t o G ( f ) H ( f )
F r o m E q . ( 4 9 7 ) w e n d t h a t
H ( f ) = T s i n c ( f T ) e x p ( ; j f T ) ( 5 0 4 )
w h i c h i s p l o t t e d i n F i g ( 6 4 b ) . H e n c e w e s e e t h a t b y u s i n g t h e a t - t o p s a m p l e s , w e h a v e
i n t r o d u c e d a m p l i t u d e d i s t o r t i o n a s w e l l a s t h e d e l a y o f T = 2
T h e d i s t o r t i o n c a u s e d b y l e n g t h e n i n g t h e s a m p l e s i s r e f e r r e d t o a s t h e a p e r t u r e e e c t
T h i s d i s t o r t i o n m a y b e c o r r e c t e d b y c o n n e c t i n g a n e q u a l i z e r i n c a s c a d e w i t h t h e l o w - p a s s
r e c o n s t r u c t i o n l t e r . I d e a l l y , t h e a m p l i t u d e r e s p o n s e o f t h e e q u a l i z e r i s g i v e n b y
1
H ( f )
=
1
T s i n c ( f T )
=
1
T
f T
s i n ( f T )
( 5 0 5 )
8 . 7 S a m p l e - a n d - h o l d C i r c u i t f o r S i g n a l R e c o v e r y
T h e o u t p u t o f t h e s a m p l e - a n d - h o l d c i r c u i t i s g i v e n b y
u ( t ) =
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
) h ( t ; n T
s
) ( 5 0 6 )
1 3 2
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
17/36
0
0 T
1 0
t
h ( t )
f
f
a r g H ( f ) ]
0
1
T
;
( a )
( b )
1
T
;
3
T
;
1
T
2
T
3
T
T
;
2
T
H ( f )
F i g u r e 6 4 : ( a ) R e c t a n g u l a r p u l s e h ( t ) . ( b ) S p e c t r u m H ( f ) .
1 3 3
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
18/36
I n p u t
g ( t )
A m p l i e r
O u t p u t
u ( t )
O u t p u t u ( t )
I n p u t g ( t )
( a )
( b )
t
F i g u r e 6 5 : ( a ) S a m p l e - a n d - h o l d c i r c u i t . ( b ) I d e a l i z e d o u t p u t w a v e f o r m o f t h e c i r c u i t .
w h e r e
h ( t ) =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1 0 < t < T
s
0 t T
s
( 5 0 7 )
U ( f ) = f
s
1
X
m = ; 1
H ( f ) G ( f ; m f
s
) ( 5 0 8 )
w h e r e
H ( f ) = T
s
s i n c ( f T
s
) e x p ( ; j f T
s
) ( 5 0 9 )
T h e s e o p e r a t i o n s a r e i l l u s t r a t e d b y t h e b l o c k d i a g r a m s h o w n i n F i g . ( 6 6 ) .
8 . 8 P u l s e - A m p l i t u d e M o d u l a t i o n
I n p u l s e a m p l i t u d e m o d u l a t i o n ( P A M ) , t h e a m p l i t u d e o f a c a r r i e r c o n s i s t i n g o f a p e r i o d i c
t r a i n o f r e c t a n g u l a r p u l s e s i s v a r i e d i n p r o p o r t i o n t o s a m p l e v a l u e s o f a m e s s a g e s i g n a l .
1 3 4
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
19/36
S a m p l e d
w a v e f o r m
c i r c u i t
L o w - p a s s
l t e r
E q u a l i z e r
A n a l o g
w a v e f o r m
s a m p l e a n d h o l d
F i g u r e 6 6 : C o m p o n e n t s o f a s c h e m e f o r s i g n a l r e c o n s t r u c t i o n
W e n d t h a t t h e P A M s o d e n e d i s e x a c t l y t h e s a m e a s a t - t o p s a m p l i n g .
A c c o r d i n g t o t h e d e n i t i o n o f g i v e n b e f o r e i n t e r m s o f r e c t a n g u l a r p u l s e s , w e w o u l d r e q u i r e
a v e r y w i d e b a n d o f f r e q u e n c i e s t o t r a n s m i t P A M . H o w e v e r t h i s n e e d n o t b e s o i f w e w e r e
t o f o r m u l a t e t h e d e n i t i o n o f P A M i n t e r m s o f a s t a n d a r d p u l s e , w h i c h t h e s y s t e m i s
c a p a b l e o f t r a n s m i t t i n g . L e t ( t ) d e n o t e s u c h a p u l s e . W e t h e n d e n e a P A M w a v e , s ( t )
a s f o l l o w s
s ( t ) =
1
X
n = ; 1
g ( n T
s
) ( t ; n T
s
) ( 5 1 0 )
8 . 9 T i m e - D i v i s i o n M u l t i p l e x i n g ( T D M )
T h e c o n c e p t o f T D M i s i l l u s t r a t e d b y t h e b l o c k d i a g r a m s h o w n i n F i g . ( 5 7 ) .
T h e f u n c t i o n o f t h e c o m m u t a t o r i s t w o - f o l d : ( 1 ) t o t a k e a n a r r o w s a m p l e o f e a c h o f t h e N
i n p u t m e s s a g e s a t a r a t e f
s
( 2 ) t o s e q u e n t i a l l y i n t e r l e a v e t h e s e N s a m p l e s i n s i d e a s a m p l i n g
i n t e r v a l T
s
= 1 = f
s
T h e u s e o f t i m e - d i v i s i o n m u l t i p l e x i n g i n t r o d u c e s a b a n d w i d t h e x p a n s i o n f a c t o r N , b e c a u s e
t h e s c h e m e m u s t s q u e e z e N s a m p l e s d e r i v e d f r o m N i n d e p e n d e n t m e s s a g e s i g n a l s i n t o a
t i m e s l o t e q u a l t o o n e s a m p l i n g i n t e r v a l .
1 3 5
-
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9 W a v e f o r m C o d i n g T e c h n i q u e s
C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f t r a n s m i t t i n g a n a n a l o g s o u r c e o v e r a d i g i t a l c h a n n e l . T h e r e
a r e t h r e e m a j o r o p e r a t i o n s i n v o l v e d i n t h i s t r a n s m i s s i o n . T h e s e a r e t h e o p e r a t i o n s o f
( i ) s a m p l i n g ( i i ) q u a n t i z a t i o n ( a n a l o g - t o - d i g i t a l c o n v e r s i o n ) , a n d ( i i i ) e n c o d i n g . S a m p l i n g
c h a n g e s t h e a n a l o g s i g n a l ( w h i c h i s a c o n t i n u o u s t i m e , c o n t i n u o u s a m p l i t u d e p r o c e s s ) i n t o
a d i s c r e t e t i m e , c o n t i n u o u s a m p l i t u d e p r o c e s s . T h e n , q u a n t i z a t i o n i s a c h i e v e d o n t h i s
d i s c r e t e t i m e , c o n t i n u o u s a m p l i t u d e p r o c e s s t o p r o d u c e a d i s c r e t e t i m e , d i s c r e t e a m p l i t u d e
p r o c e s s . W e a l r e a d y t a l k e d a b o u t t h e s a m p l i n g p r o c e s s . I n t h i s s e c t i o n , w e a d d r e s s t h e
p r o b l e m o f q u a n t i z a t i o n . T h e e n c o d i n g p r o c e s s w i l l b e d i s c u s s e d i n a s u b s e q u e n t s e c t i o n .
9 . 1 Q u a n t i z i n g
I n a l i n e a r s y s t e m , t h e t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s b e t w e e n t h e i n p u t a n d t h e o u t p u t i s i n t h e
f o r m o f a s t r a i g h t l i n e .
A q u a n t i z e r i s a n o n l i n e a r s y s t e m b a s e d o n a t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s l o o k s l i k e a s t a i r c a s e .
A n e x a m p l e i s g i v e n i n F i g . 6 7 ( a ) . I n a q u a n t i z e r , t h e r a n g e o f t h e i n p u t s a m p l e v a l u e s
i s d i v i d e d i n t o a n i t e s e t o f d e c i s i o n l e v e l s o r d e c i s i o n t h r e s h o l d s t h a t a r e a l i g n e d w i t h
t h e r i s e r s o f t h e s t a i r c a s e . T h e s e g m e n t o f t h e i n p u t a x i s l o c a t e d b e t w e e n t w o c o n s e q u e -
t i v e d e c i s i o n l e v e l s i s d e n o t e d a s a q u a n t i z a t i o n i n t e r v a l . I f t h e i n p u t i s l o c a t e d i n a
g i v e n q u a n t i z a t i o n i n t e r v a l , t h e o u t p u t i s a s s i g n e d a d i s c r e t e v a l u e w h i c h i s a l i g n e d w i t h
t h e t r e a d o f t h e s t a i r c a s e . T h i s d i s c r e t e v a l u e i s c a l l e d t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l o r r e c o n -
s t r u c t i o n v a l u e c o r r e s p o n d i n g t o t h e g i v e n q u a n t i z a t i o n i n t e r v a l . I n t r a n s f e r c h a r a c t e r i s -
t i c s h o w n i n F i g . 6 7 ( a ) , t h e d e c i s i o n t h r e s h o l d s a r e a t p o i n t s = 2 3 = 2 5 = 2 : : :
a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l s a r e l o c a t e d a t p o i n t s 0 2 : : : . T h i s i s c a l l e d a
m i d t r e a d t y p e q u a n t i z e r . I n t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s h o w n i n F i g . 6 8 ( a ) , t h e d e c i s i o n
t h r e s h o l d s a r e a t p o i n t s 0 2 : : : a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l s a r e l o c a t e d a t p o i n t s
= 2 3 = 2 5 = 2 : : : . T h i s i s c a l l e d a m i d r i s e r t y p e q u a n t i z e r .
F o r a n a n a l o g i n p u t s a m p l e t h a t l i e s a n y w h e r e i n s i d e a n i n t e r v a l o f e i t h e r t r a n s f e r c h a r -
a c t e r i s t i c s , t h e q u a n t i z e r p r o d u c e s a d i s c r e t e o u t p u t e q u a l t o t h e m i d v a l u e o f t h e p a i r
o f d e c i s i o n t h r e s h o l d s . A q u a n t i z a t i o n e r r o r i s i n t r o d u c e d , t h e v a l u e o f w h i c h e q u a l s t h e
1 3 6
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d i e r e n c e b e t w e e n t h e o u t p u t a n d i n p u t v a l u e s o f t h e q u a n t i z e r . F i g u r e s 6 7 ( b ) , 6 8 ( b )
s h o w e x a m p l e s o f s u c h a q u a n t i z a t i o n e r r o r .
D e n i t i o n : A q u a n t i z e r i s c a l l e d s y m m e t r i c i f i t s t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c i s s y m m e t r i c a l
f o r p o s i t i v e a n d n e g a t i v e i n p u t v a l u e s . Q u a n t i z e r s s h o w n i n F i g s . 6 7 ( a ) , 6 8 ( a ) a r e b o t h
s y m m e t r i c a l .
D e n i t i o n : A q u a n t i z e r i s c a l l e d u n i f o r m i f t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n i t s r e p r e s e n t a t i o n
l e v e l s a r e t h e s a m e w i t h a c o m m o n v a l u e i s c a l l e d t h e s t e p s i z e . Q u a n t i z e r s s h o w n i n
F i g s . 6 7 ( a ) , 6 8 ( a ) a r e b o t h u n i f o r m .
D e n i t i o n : A q u a n t i z e r i s c a l l e d m e m o r y l e s s i n t h a t t h e q u a n t i z e r o u t p u t i s d e t e r m i n e d
o n l y b y t h e v a l u e o f a c o r r e s p o n d i n g i n p u t s a m p l e , i n d e p e n d e n t o f t h e e a r l i e r a n a l o g
s a m p l e s .
9 . 2 I d l e C h a n n e l N o i s e
I n a q u a n t i z e r o f t h e m i d r i s e t y p e , a s i n F i g . 6 8 ( a ) , z e r o i n p u t a m p l i t u d e i s e n c o d e d
i n t o o n e o f t h e t w o i n n e r m o s t r e p r e s e n t a t i o n s l e v e l s = 2 . T h i s r e s u l t s i n a q u a n t i z a t i o n
e r r o r e v e n i f t h e i n p u t t o t h e q u a n t i z e r i s e q u a l t o z e r o . T h i s e r r o r i s d e n o t e d a s t h e
i d l e c h a n n e l n o i s e . A s s u m i n g t h a t t h e t w o r e p r e s e n t a t i o n l e v e l s = 2 a r e e q u i p r o b a b l e ,
t h e i d l e c h a n n e l n o i s e f o r m i d r i s e r q u a n t i z e r h a s z e r o m e a n a n d a v a r i a n c e o f
2
= 4 . I n a
q u a n t i z e r o f t h e m i d t r e a d t y p e , a s i n F i g . 6 7 ( a ) , t h e o u t p u t i s z e r o f o r z e r o i n p u t a n d t h e
i d l e c h a n n e l n o i s e i s c o r r e s p o n d i n g l y z e r o .
9 . 3 Q u a n t i z a t i o n N o i s e a n d S i g n a l - t o - N o i s e R a t i o ( S N R )
C o n s i d e r a s y m m e t r i c , u n i f o r m , m e m o r y l e s s q u a n t i z e r w i t h a t o t a l o f L r e p r e s e n t a t i o n
l e v e l s . L e t x d e n o t e t h e q u a n t i z e r i n p u t , a n d y d e n o t e t h e q u a n t i z e r o u t p u t . T h e t r a n s f e r
c h a r a c t e r i s t i c o f t h e q u a n t i z e r i s s h o w n b y ,
y = Q ( x ) ( 5 1 1 )
w h i c h i s a s t a i r c a s e f u n c t i o n . S u p p o s e t h a t w e u s e t h e n o t a t i o n J
k
, k = 1 2 : : : L ,
t o s h o w n t h e q u a t i z a t i o n i n t e r v a l s . T h e d e c i s i o n t h r e s h o l d s c o r r e s p o n d i n g t o t h e k t h
1 3 7
-
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I n p u t
O u t p u t
I n p u t
2
3
;
; 3
; 5
( a )
( b )
Q u a n t i z a t i o n
e r r o r
e x c u r s i o n
; 7 = 2
= 2
P e a k ; t o ; p e a k
O v e r l o a d l e v e l
; = 2
= 2
; 3 = 2
3 = 2
5 = 2 7 = 2
; 5 = 2
; = 2
F i g u r e 6 7 : ( a ) T r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s o f q u a n t i z e r o f m i d t r e a d t y p e . ( b ) V a r i a t i o n o f t h e
q u a n t i z a t i o n e r r o r w i t h i n p u t
1 3 8
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
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I n p u t
I n p u t
Q u a n t i z a t i o n e r r o r
= 2
; = 2
- - 2 - 3
2 3 4
- 3 = 2
- 5 = 2
- 7 = 2
O u t p u t
( a )
( b )
O v e r l o a d l e v e l
- 4
7 = 2
5 = 2
3 = 2
= 2
- = 2
F i g u r e 6 8 : ( a ) t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s o f q u a n t i z e r o f m i d r i s e t y p e . ( b ) V a r i a t i o n o f t h e
q u a n t i z a t i o n e r r o r w i t h i n p u t
1 3 9
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
24/36
q u a t i z a t i o n i n t e r v a l a r e d e n o t e d a s x
k
a n d x
k + 1
. W e h a v e ,
J
k
= f x
k
< x < x
k + 1
g k = 1 2 : : : L ( 5 1 2 )
I f t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l c o r r e s p o n d i n g t o t h e k t h q u a t i z a t i o n i n t e r v a l i s d e n o t e d a s y
k
,
w e h a v e ,
y = y
k
i f x l i e s i n t h e i n t e r v a l J
k
( 5 1 3 )
L e t q d e n o t e t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r , ; = 2 q = 2 . W e m a y w r i t e
y
k
= x + q i f x l i e s i n t h e i n t e r v a l J
k
( 5 1 4 )
I f t h e q u a n t i z e r i s n e e n o u g h ( s m a l l ) , t h e n t h e d i s t o r t i o n p r o d u c e d b y t h e q u a n t i z a t i o n
o p e r a t i o n a e c t s t h e p e r f o r m a n c e o f t h e t r a n s m i s s i o n a s i f i t w e r e a n i n d e p e n d e n t s o u r c e
o f a d d i t i v e n o i s e . I t i s a l s o f o u n d t h a t t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y o f t h e q u a n t i z a t i o n n o i s e
h a s a l a r g e b a n d w i d t h c o m p a r e d w i t h t h e s i g n a l b a n d w i d t h . T h u s , w i t h t h e q u a n t i z a t i o n
n o i s e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t t h e s i g n a l b a n d , i t s i n t e r f e r i n g e e c t o n a s i g n a l
i s s i m i l a r t o t h a t o f a w h i t e n o i s e
A s s u m e t h a t t h e q u a t i z a t i o n e r r o r ( r a n d o m v a r i a b l e q ) i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r t h e
p o s s i b l e r a n g e ; = 2 t o = 2 . W e h a v e ,
f
Q
( q ) =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
1
;
2
q
2
0 o t h e r w i s e
( 5 1 5 )
w h e r e f
Q
( q ) i s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r . T h e n , t h e m e a n
o f t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r i s z e r o , a n d i t s v a r i a n c e
2
Q
i s e q u a l t o ,
2
Q
= E Q
2
] ( 5 1 6 )
=
Z
1
; 1
q
2
f
Q
( q ) d q
=
1
Z
= 2
; = 2
q
2
d q
1 4 0
-
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25/36
=
2
1 2
( 5 1 7 )
N o t e t h a t
2
= 1 2 c a n b e v i e w e d a s t h e v a r i a n c e o f q u a n t i z a t i o n e r r o r c o n d i t i o n e d o n t h e
i n t e r v a l J
k
L e t t h e v a r i a n c e o f t h e b a s e b a n d s i g n a l x ( t ) a t t h e q u a n t i z e r i n p u t b e d e n o t e d b y
2
X
W e
d e n e a n o u t p u t s i g n a l - t o - n o i s e q u a n t i z a t i o n n o i s e r a t i o ( S N R ) a s
( S N R ) =
2
X
2
Q
=
2
X
2
= 1 2
( 5 1 8 )
I t i s s e e n t h a t t h e q u a n t i z a t i o n S N R d e p e n d s o n t h e v a r i a n c e ( p o w e r ) o f t h e i n p u t s i g n a l .
I t w o u l d b e h i g h l y d e s i r a b l e f r o m a p r a c t i c a l v i e w p o i n t f o r t h e q u a n t i z a t i o n S N R t o
r e m a i n c o n s t a n t f o r a w i d e r a n g e o f i n p u t p o w e r l e v e l s . S u c h a q u a n t i z e r i s c a l l e d a r o b u s t
q u a n t i z e r . T h i s i s d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g .
9 . 4 R o b u s t Q u a n t i z a t i o n
T h e p r o v i s i o n f o r a r o b u s t p e r f o r m a n c e n e c e s s i t a t e s t h e u s e o f a n o n u n i f o r m q u a n t i z e r
I n t h i s c a s e , t h e r a n g e o f t h e s m a l l e r i n p u t v a l u e s a r e a s s i g n e d m o r e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l s .
T h i s s e l e c t i o n i s j u s t i e d b y c o n s i d e r i n g t h e f o l l o w i n g t w o f a c t s ( i ) g e n e r a l l y , s m a l l e r i n p u t
v a l u e s o c c u r w i t h h i g h e r p r o b a b i l i t y a n d t h e r e f o r e s h o u l d b e r e p r e s e n t e d w i t h a h i g h e r
p r e c i s i o n , ( i i ) t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f h u m a n h e a r i n g h a s a s p e c i a l c h a r a c t e r i s t i c s t h a t l a r g e
s i g n a l a m p l i t u d e s m a s k q u a n t i z a t i o n n o i s e t o s o m e e x t e n t .
N o n u n i f o r m q u a n t i z a t i o n c a n b e a c h i e v e d b y u s i n g a c o m p r e s s o r f o l l o w e d b y a u n i f o r m
q u a n t i z e r . B y c a s c a d i n g t h i s c o m b i n a t i o n w i t h a n e x p a n d e r w h i c h a c t s a s a n i n v e r s e t o
t h e c o m p r e s s o r , t h e o r i g i n a l s i g n a l s a m p l e s a r e r e s t o r e d t o t h e i r c o r r e c t v a l u e s e x c e p t f o r
t h e e e c t o f t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r . T h e s e o p e r a t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e s 7 0 , 6 9 . T h e
c o m b i n a t i o n o f a c o m p r e s s o r a n d a n e x p a n d e r i s c a l l e d a c o m p a n d e r
A s w e a r e c o n c e r n e d w i t h s y m m e t r i c , m e m o r y l e s s q u a n t i z e r s , t h e n t h e t r a n s f e r c h a r a c t e r -
i s t i c s o f t h e c o m p r e s s o r i s r e p r e s e n t e d b y a m e m o r y l e s s n o n l i n e a r i t y c ( x ) , t h a t h a s o d d
s y m m e t r y , i . e . ,
c ( ; x ) = ; c ( x ) ( 5 1 9 )
1 4 1
-
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26/36
I n p u t O u t p u t
E x p a n d e r
U n i f o r m
Q u a n t i z e r
C o m p r e s s o r
F i g u r e 6 9 : M o d e l o f n o n u n i f o r m q u a n t i z e r .
W e a l s o a s s u m e t h a t ,
c ( x ) =
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
x
m a x
x = x
m a x
0 x = 0
; x
m a x
x = ; x
m a x
( 5 2 0 )
T h e c o m p r e s s i o n c h a r a c t e r i s t i c c ( x ) r e l a t e s n o n u n i f o r m i n t e r v a l s a t t h e c o m p r e s s o r i n p u t
t o t h e u n i f o r m i n t e r v a l s a t t h e c o m p r e s s o r o u t p u t .
T h e u n i f o r m i n t e r v a l s a r e o f w i d t h 2 x
m a x
= L e a c h , w h e r e L i s t h e n u m b e r o f r e p r e s e n t a t i o n
l e v e l s o f t h e q u a n t i z e r . I t i s a s s u m e d t h a t L i s a l a r g e n u m b e r ( n e q u a n t i z e r ) . U n d e r t h e s e
c o n d i t i o n s , t h e c o m p r e s s i o n c h a r a c t e r i s t i c c ( x ) i n t h e k t h i n t e r v a l , J
k
, i n a p p r o x i m a t e d
b y a s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t w i t h a s l o p e e q u a l t o 2 x
m a x
= L
k
, w h e r e
k
i s t h e w i d t h o f t h e
i n t e r v a l J
k
. T h i s m e a n s t h a t
d c ( x )
d x
'
2 x
m a x
L
k
k = 0 1 : : : L ; 1 ( 5 2 1 )
T w o o t h e r a s s u m p t i o n s a r e a l s o m a d e :
1 T h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f i n p u t f
X
( x ) i s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o x
2 I n e a c h i n t e r v a l J
k
, k = 1 2 : : : L , t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n f
X
( x ) i s a p -
p r o x i m a t e l y c o n s t a n t . T h i s a s s u m p t i o n i s e x p r e s s e d a s ,
f
X
( x ) ' f
X
( y
k
) x
k
X x
k + 1
( 5 2 2 )
W e a s s u m e t h a t t h e r e p r e s e n t a t i o n l e v e l y
k
c o r r e s p o n d i n g t o t h e k t h q u a n t i z a t i o n i n t e r v a l
J
k
l i e s i n t h e m i d d l e o f J
k
, i . e . ,
1 4 2
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
27/36
I n t e r v a l I
k
C
o
m
p
r
e
s
s
o
r
n
p
u
t
q u a n t i z a t i o n o u t p u t
C o m p r e s s o r i n p u t
C
o
m
p
r
e
s
s
o
r
o
u
t
p
u
t
E
x
p
a
n
d
e
d
o
u
t
p
u
t
k
t
h
r
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
o
n
e
v
e
E x p a n d e r i n p u t
F i g u r e 7 0 : T r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s o f c o m p r e s s o r , u n i f o r m q u a n t i z e r , a n d e x p a n d e r ( s h o w n
f o r p o s i t i v e a m p l i t u d e s o n l y )
1 4 3
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
28/36
y
k
=
1
2
( x
k
+ x
k + 1
) k = 0 1 : : : L ; 1 ( 5 2 3 )
T h e w i d t h o f t h e i n t e r v a l J
k
e q u a l s ,
k
= x
k + 1
; x
k
x
k
X x
k + 1
( 5 2 4 )
U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e i n p u t s i g n a l l i e s i n t h e i n t e r v a l J
k
i s
e q u a l t o ,
p
k
= P ( x
k
X x
k + 1
)
= f
X
( y
k
)
k
k = 0 1 : : : L ; 1 ( 5 2 5 )
L e t t h e r a n d o m v a r i a b l e Q d e n o t e t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r
Q = y
k
; X x
k
X x
k + 1
( 5 2 6 )
W e h a v e ,
2
Q
= E Q
2
= E ( X ; y
k
)
2
=
Z
x
m a x
; x
m a x
( y ; x
k
)
2
f
X
( x ) d x ( 5 2 7 )
2
Q
=
L ; 1
X
k = 0
p
k
k
Z
x
k + 1
x
k
( x ; y
k
)
2
d x ( 5 2 8 )
S u b s t i t u t i n g E q . 5 2 3 , w e g e t t h e r e s u l t
2
Q
=
1
1 2
L ; 1
X
k = 0
p
k
2
k
( 5 2 9 )
A s w e s a w i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e q u a n t i t y
2
k
= 1 2 c a n b e v i e w e d a s t h e v a r i a n c e o f
q u a n t i z a t i o n e r r o r c o n d i t i o n e d o n t h e i n t e r v a l J
k
F r o m ( 5 2 1 ) , w e o b t a i n ,
k
'
2 x
m a x
L
"
d c ( x )
d x
#
; 1
k = 0 1 : : : L ; 1 ( 5 3 0 )
1 4 4
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
29/36
S u b s t i t u t i n g E q . 5 3 0 i n E q . 5 2 9 , w e g e t t h e r e s u l t
2
Q
'
x
2
m a x
3 L
2
L ; 1
X
k = 0
p
k
"
d c ( x )
d x
#
; 2
( 5 3 1 )
R e p l a c i n g f o r p
k
f r o m E q . 5 2 5 a n d u s i n g i n t e g r a t i o n i n s t e a d o f t h e s u m m a t i o n o v e r k , w e
o b t a i n
2
Q
'
x
2
m a x
3 L
2
Z
x
m a x
; x
m a x
f
X
( x )
"
d c ( x )
d x
#
; 2
d x ( 5 3 2 )
T h e o u t p u t s i g n a l - t o - q u a n t i z a t i o n r a t i o i s d e n e d b y
( S N R ) =
2
X
2
Q
( 5 3 3 )
w h e r e ,
2
X
=
Z
x
m a x
; x
m a x
x
2
f
X
( x ) d x
T h i s r e s u l t s i n ,
( S N R ) =
3 L
2
x
2
m a x
Z
x
m a x
; x
m a x
x
2
f
X
( x ) d x
Z
x
m a x
; x
m a x
f
X
( x )
"
d c ( x )
d x
#
; 2
d x
( 5 3 4 )
F o r a r o b u s t p e r f o r m a n c e , t h e o u t p u t s i g n a l - t o - n o i s e r a t i o s h o u l d i d e a l l y b e i n d e p e n d e n t
o f t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e i n p u t r a n d o m v a r i a b l e X . T h i s r e q u i r e m e n t i s
m e t i f
d c ( x )
d x
=
K
x
; x
m a x
x x
m a x
( 5 3 5 )
r e s u l t i n g i n ,
c ( x ) = x
m a x
+ K l n
x
x
m a x
x > 0 ( 5 3 6 )
U n f o r t u n a t e l y , t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n i n ( 5 3 6 ) i s u n r e a l i z a b l e s i n c e c ( 0 ) i s n o t n i t e .
I n s t e a d , w e h a v e t o u s e a n a p p r o x i m a t i o n t o ( 5 3 6 ) . T w o w i d e l y u s e d s o l u t i o n s t o t h i s
p r o b l e m a r e a s f o l l o w s :
- l a w c o m p a n d i n g
c ( x )
x
x m a x
=
l n ( 1 + x = x
m a x
)
l n ( 1 + )
0
x
x
m a x
1 ( 5 3 7 )
1 4 5
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
30/36
A p r a c t i c a l v a l u e f o r i s 2 5 5 . T h e ; l a w i s u s e d f o r P C M t e l e p h o n e s y s t e m s i n t h e
U n i t e d S t a t e s , C a n a d a , a n d J a p a n .
A - l a w c o m p a n d i n g
c ( x )
x
x m a x
=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
A x = x
m a x
1 + l n A
0
x
x
m a x
1
A
1 + l n ( A x = x
m a x
)
1 + l n A
1
A
x
x
m a x
1
( 5 3 8 )
A p r a c t i c a l v a l u e f o r A i s 8 7 . 5 6 . T h e A - l a w c o m p a n d i n g i s u s e d f o r P C M t e l e p h o n e
s y s t e m s i n E u r o p e .
1 0 D i e r e n t i a l P u l s e - C o d e M o d u l a t i o n
I n t h e u s e o f P C M f o r t h e d i g i t i z a t i o n o f v o i c e a n d v i d e o s i g n a l , t h e s i g n a l d o e s n o t
c h a n g e r a p i d l y f r o m o n e s a m p l e t o t h e n e x t w i t h t h e r e s u l t t h a t t h e d i e r e n c e b e t w e e n
a d j a c e n t s a m p l e s h a s a v a r i a n c e t h a t i s s m a l l e r t h a n t h e v a r i a n c e o f t h e s i g n a l i t s e l f .
I n p a r t i c u l a r , i f w e k n o w t h e p a s t b e h a v i o r o f a s i g n a l u p t o a c e r t a i n p o i n t i n t i m e , i t i s
p o s s i b l e t o m a k e s o m e i n f e r e n c e a b o u t i t s f u t u r e v a l u e s . T h i s p r o v i d e s m o t i v a t i o n f o r t h e
d i e r e n t i a l q u a n t i z a t i o n s c h e m e s h o w n i n F i g . 7 1 ( a ) .
T h e d i e r e n c e s i g n a l e ( n T
s
) i s c a l l e d a p r e d i c t i o n e r r o r , i t i s t h e a m o u n t b y w h i c h t h e
p r e d i c t o r f a i l s t o p r e d i c t t h e i n p u t e x a c t l y .
v ( n T
s
) = Q e ( n T
s
)
= e ( n T
s
) + q ( n T
s
) ( 5 3 9 )
w h e r e q ( n T
s
) i s t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r .
F o r t h e s y s t e m i n F i g . 7 1 , w e m a y w r i t e ,
u ( n T
s
) = ^x ( n T
s
) + v ( n T
s
) ( 5 4 0 )
u ( n T
s
) = ^x ( n T
s
) + e ( n T
s
) + q ( n T
s
) ( 5 4 1 )
1 4 6
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
31/36
S a m p l e d
i n p u t
x ( n T
s
)
+
-
e ( n T
s
)
Q u a n t i z e r
D e c o d e r
O u t p u t
+
+
I n p u t
( a )
( b )
+
+
^x ( n T
s
)
u ( n T
s
)
D P C M
W a v e
P r e d i c t o r
E n c o d e r
v ( n T
s
)
P r e d i c t o r
F i g u r e 7 1 : D P C M s y s t e m . ( a ) T r a n s m i t t e r . ( b ) R e c e i v e r
1 4 7
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
32/36
F i n a l l y , r e p l a c i n g x ( n T
s
) = ^x ( n T
s
) + e ( n T
s
) , w e o b t a i n ,
u ( n T
s
) = x ( n T
s
) + q ( n T
s
) ( 5 4 2 )
T h i s m e a n s t h a t i r r e s p e c t i v e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e p r e d i c t o r , t h e q u a n t i z e d s i g n a l u ( n T
s
)
a t t h e p r e d i c t o r i n p u t d i e r s f r o m t h e i n p u t s i g n a l x ( n T
s
) b y t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r .
I n t h e a b s e n c e o f t h e c h a n n e l n o i s e t h e c o r r e s p o n d i n g r e c e i v e r o u t p u t i s e q u a l t o u ( n T
s
)
O b v i o u s l y , t h e p o w e r o f t h e p r o c e s s E i s s m a l l e r t h a n t h e p o w e r o f t h e o r i g i n a l s i g n a l X
T h e c o r r e s p o n d i n g r e d u c t i o n i n p o w e r i s m e a s u r e s b y t h e p r e d i c t i o n g a i n w h i c h i s d e n e d
a s ,
G
P
=
2
X
2
E
W e h a v e ,
( S N R )
0
=
2
X
2
Q
!
=
2
X
2
E
!
2
E
2
Q
!
= G
P
( S N R )
P
w h e r e ( S N R )
P
i s t h e S N R o f t h e q u a n t i z e r i n F i g . 7 1 . T h i s m e a n s t h a t w e h a v e a n
i m p r o v e m e n t i n t h e o v e r a l l S N R w i t h a f a c t o r e q u a l t o G
P
1 1 D e l t a M o d u l a t i o n
T h e u s e o f D P C M s u g g e s t t h e f o l l o w i n g p o s s i b i l i t y : O v e r s a m p l i n g a s i g n a l ( a t a r a t e h i g h e r
t h a n t h e N y q u i s t r a t e ) p u r p o s e l y t o i n c r e a s e t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n a d j a c e n t s a m p l e s o f
t h e s i g n a l , s o a s t o p e r m i t t h e u s e o f a s i m p l e q u a n t i z i n g s t r a t e g y .
T h i s s t r a t e g y r e s u l t s i n a h i g h e r n u m b e r o f s a m p l e s p e r s e c o n d , h o w e v e r , e x p l o i t i n g t h e
l a r g e d e p e n d e n c y b e t w e e n s u c c e s s i v e s a m p l e s , w e a r e a b l e t o q u a n t i z e t h e s a m p l e s u s i n g
a s m a l l e r n u m b e r o f q u a n t i z a t i o n s y m b o l s . O n t h e o t h e r h a n d , a s w e a l r e a d y d i s c u s s e d i n
t h e s e c t i o n o n s i g n a l c o n s t e l l a t i o n s , f o r a g i v e n c h a n n e l b a n d w i d t h , h a v i n g a l a r g e r n u m b e r
o f s y m b o l s p e r s e c o n d r e q u i r e s a h i g h e r a v e r a g e e n e r g y f o r t r a n s m i s s i o n . T h e o b j e c t i v e i s
t o n d a n i n t e r m e d i a t e s o l u t i o n w h i c h p r o v i d e s a c o m p r o m i s e b e t w e e n t h e s a m p l i n g r a t e
a n d t h e n u m b e r o f t h e q u a t i z a t i o n s y m b o l s r e s u l t i n g i n a g o o d o v e r a l l p e r f o r m a n c e . I n
t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , w e d i s c u s s a n e x a m p l e o f s u c h a m e t h o d a c t i n g i n a n e x t r e m e c a s e
o f u s i n g a q u a n t i z e r w i t h o n l y t w o l e v e l s .
1 4 8
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
33/36
x ( t )
S t a i r c a s e
0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
( a )
( b )
B i n a r y
s e q u e n c e
a t m o d u l a t o r
o u t p u t
a p p r o x i m a t i o n
T
s
u ( t )
F i g u r e 7 2 : I l l u s t r a t i o n o f d e l t a m o d u l a t i o n
D e l t a m o d u l a t i o n ( D M ) i s t h e o n e - b i t ( o r t w o l e v e l ) v e r s i o n o f D P C M . D M p r o v i d e s a
s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n t o t h e o v e r s a m p l e d v e r s i o n o f t h e i n p u t s i g n a l . T h e d i e r e n c e
b e t w e e n t h e i n p u t a n d t h e a p p r o x i m a t i o n i s q u a n t i z e d i n t o o n l y t w o l e v e l s , n a m e l y ,
T h e s t e p s i z e o f t h e q u a n t i z e r i s
= 2 ( 5 4 3 )
D e n o t e t h e i n p u t s i g n a l a s x ( t ) a n d t h e s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n t o i t a s u ( t ) . T h e n
e ( n t
s
) = x ( n T
s
) ; ^x ( n T
s
)
= x ( n T
s
) ; u ( n T
s
; T
s
) ( 5 4 4 )
1 4 9
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
34/36
I n p u t
O u t p u t
0
;
+
F i g u r e 7 3 : I n p u t - o u t p u t c h a r a c t e r i s t i c o f t w o - l e v e l q u a n t i z e r
b ( n T
s
) = s g n e ( n T
s
) ] ( 5 4 5 )
u ( n T
s
) = u ( n T
s
; T
s
) + b ( n T
s
) ( 5 4 6 )
W e a s s u m e t h a t t h e a c c u m u l a t o r i s i n i t i a l l y s e t t o z e r o . T h e n
u ( n T
s
) =
n
X
i = 1
s g n e ( i T
s
)
=
n
X
i = 1
b ( i T
s
) ( 5 4 7 )
1 1 . 1 Q u a n t i z a t i o n N o i s e i n D e l t a M o d u l a t i o n
D e l t a m o d u l a t i o n s y s t e m s a r e s u b j e c t t o t w o t y p e s o f q u a n t i z a t i o n e r r o r s : s l o p e - o v e r h e a d
d i s t o r t i o n , a n d g r a n u l a r n o i s e
L e t q ( n T
s
) d e n o t e t h e q u a n t i z i n g e r r o r . W e h a v e ,
u ( n T
s
) = x ( n T
s
) + q ( n T
s
) ( 5 4 8 )
1 5 0
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
35/36
S a m p l e d
i n p u t
x ( n T
s
)
-
+
e ( n T
s
)
o n e - b i t
q u a n t i z e r
b ( n T
s
)
+
+
u ( n T
s
)
D e l a y
T
s
^x ( n T
s
)
I n p u t
+
+
D e l a y
T
s
l o w - p a s s
l t e r
O u t p u t
A c c u m u l a t o r
( a )
A c c u m u l a t o r
( b )
F i g u r e 7 4 : D M s y s t e m . ( a ) T r a n s m i t t e r . ( b ) R e c e i v e r
1 5 1
-
7/29/2019 Www.cst.Uwaterloo.ca Courses Ece318 Notes Sampling Quantization
36/36
S t a i r c a s e
S l p e - o v e r l o a d
x ( t )
T
s
u ( t )
a p p r o x i m a t i o n
d i s t o r t i o n
G r a n u l a r n o i s e
F i g u r e 7 5 : I l l u s t r a t i o n o f q u a n t i z a t i o n e r r o r i n d e l t a m o d u l a t i o n
A c c o r d i n g l y , u s i n g E q . 5 4 8 t o e l i m i n a t e u ( n T
s
; T
s
) f r o m E q . 5 4 4 , w e m a y e x p r e s s t h e
p r e d i c t i o n e r r o r e ( n T
s
) a s
e ( n T
s
) = x ( n T
s
) ; x ( n T
s
; T
s
) ; q ( n T
s
; T
s
) ( 5 4 9 )
E x c e p t f o r t h e q u a n t i z a t i o n e r r o r q ( n T
s
; T
s
) , t h e q u a n t i z e r i n p u t m a y b e v i e w e d a s a
d i g i t a l a p p r o x i m a t i o n t o t h e d e r i v a t i v e o f t h e i n p u t s i g n a l . I n o r d e r f o r t h e s e q u e n c e o f
s a m p l e s f u ( n T
s
) g t o i n c r e a s e a s f a s t a s t h e i n p u t s e q u e n c e o f s a m p l e s f x ( n T
s
) g i n a r e g i o n
o f m a x i m u m s l o p e o f x ( t ) , w e r e q u i r e t h a t t h e c o n d i t i o n
T
s
m a x
d x ( t )
d t
( 5 5 0 )
O t h e r w i s e t h e s t e p s i z e = 2 i s t o o s m a l l w i t h t h e r e s u l t t h a t u ( t ) f a l l s b e h i n d x ( t ) , a s
i l l u s t r a t e d i n F i g . 7 5 . T h i s c o n d i t i o n i s c a l l e d s l o p e - o v e r h e a d
G r a n u l a r n o i s e o c c u r s w h e n t h e s t e p s i z e i s t o o l a r g e r e l a t i v e t o t h e l o c a l s l o p e
c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e i n p u t w a v e f o r m x ( t )
T h e c h o i c e o f t h e o p t i m u m s t e p s i z e t h a t m i n i m i z e s t h e m e a n - s q u a r e v a l u e o f t h e q u a n -
t i z i n g e r r o r i n a l i n e a r d e l t a m o d u l a t o r w i l l b e t h e r e s u l t o f a c o m p r o m i s e b e t w e e n s l o p e
o v e r h e a d d i s t o r t i o n a n d g r a n u l a r n o i s e