e-learning: superfici matematiche in 3d1 e-learning: superfici matematiche in 3d nicla palladino...

E-learning: superfici matematiche in 3D 1

E-Learning: superfici matematiche in 3D

Nicla PalladinoDottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica

XVI ciclo

Università degli Studi di Napoli “Federico II”

10 Dicembre 2004


La tesi traccia una “roadmap” per la trasposizione on line dei corsi di geometria. Prodotto finale:

Un Ambiente Virtuale di Apprendimento

(Un ambiente di supporto per l’apprendimento della geometria delle quadriche).


Capitolo Secondo: L'E-Learning•Un Learning Object per le quadriche•La rappresentazione di oggetti 3D nel Web SemanticoCapitolo Terzo: algoritmi di approssimazione •3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs•NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati •Verso l'integrazione e il riuso delle collezioni di modelli matematici…

La tesi è il risultato di un’attività di ricerca in un ambito che coinvolge il settore della computer grafica e quello dell’E-Learning.

Capitolo Primo: La didattica con le nuove tecnologie•Strumenti per la didattica sul web•La geometria con i modelli di superfici•I Learning Object


•Con gli strumenti dell’E-learning, si sono trasposte lezioni ispirate alla didattica del Prof. Luigi Campedelli (1903-1978);

•Si è reintrodotto il metodo didattico elaborato da Luigi Campedelli ed Emma Castelnuovo;

“….Sostituire, dove possibile, le dimostrazioni matematiche con le scoperte”

Luigi Campedelli, Fantasia e logica nella

matematica, Feltrinelli, 1966

Punto di partenza:Le lezioni di Geometria di Luigi CampedelliPunto di partenza:Le lezioni di Geometria di Luigi Campedelli


-Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo.

-Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perché forniscono concretezza ai risultati e, come rappresentazioni 3d, sono accessibili alla simulazione.

-Con un modello matematico si rendevano auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate.

-I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria, usando la percezione.

Punto di partenza: i modelli matematiciPunto di partenza: i modelli matematici


Punto di partenza: i modelli matematiciPunto di partenza: i modelli matematiciQuegli stessi modelli hanno influenzato l’architettura contemporanea:

Ellissoide, 1890 Swiss Re Tower, Londra, 2004,progettato come ellissoide NURBS

dall’architetto Norman Foster


Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?Molte di queste collezioni –come accaduto per tanti materiali didattici- sono state trasformate in repository di Modelli 3D.

The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate,

but the means we use for threading through the consequent

maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-

rigged ships.

Vannevar Bush, “As we may think”, 1945

Come renderle facilmente reperibili ?Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ?

PROBLEMA:PROBLEMA:

Per trasporre on-line le lezioni di Geometria della scuole classiche con successo, è necessario risolvere questi problemi.


-Presupposti:“La geometria euclidea è completa e decidibile”

(Tarski, 1936)

• Ogni proprietà di un modello della geometria euclidea può essere dimostrata,

• I modelli delle superfici matematiche sono modelli della geometria euclidea.

Quindi

• Le proprietà dei modelli matematici possono essere dimostrate,

• La scoperta di una proprietà è equivalente ad una sua dimostrazione.

Un Ambiente Virtuale di ApprendimentoUn Ambiente Virtuale di Apprendimento

Grazie al teorema di Tarski la logica si sposta sul piano della percezione


Scoperte e dimostrazioni matematicheScoperte e dimostrazioni matematicheTeorema: Se una superficie quadrica è non degenere e possiede punti reali, questi sono o tutti iperbolici o tutti ellittici.

…Il piano per B che contiene s contiene anche la retta v. Analogamente succede per il piano contente r passante per B. Quindi per B passano due rette contenute in Q necessariamente tangenti…


Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : rappresentazione del dominio di conoscenza Instructor : esperto nel dominio di conoscenza. Definisce l’Ontologia e costruisce le risorse didattiche.Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, popola l’ontologia con le risorse didattiche.Learning Management System: piattaforma per la didattica a distanza. Implementa l’ontologia preparata dall’instructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti;Studente: costruisce le proprie conoscenze con l’aiuto del tutor che gli fornisce i “Learning Object” ed un’interpretazione personalizzata dell’Ontologia costruita dall’Instructor.

Ambiente

Mediatore didattico

Studente

LearningManagement

System

Ontologia

Instructor


L’e-learning è la principale fonte di finanziamento per

l’Università


E-learning vs didattica tradizionaleE-learning vs didattica tradizionale

-Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che impartisce la lezione; -Nell’E-learning la lezione è una costruzione di conoscenze personalizzate;

-E’ necessario un mediatore didattico, che puo’ essere umano -Tutor- o automatico -Intelligent Tutoring System.


Definizione1: Un Learning Object è un’entità -digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia.

D.A.Wiley, “The Instructional Use of Learning

Objects’’, pp. 10-11, AIT Editions, 2002.

Learning ObjectLearning Object


Definizione2: Un Learning Object è la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica.


Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di “granularità”

I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi

1) asset: una risorsa elementare -per esempio, un file-

2) altri Learning Object più semplici



• Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai

Learning Object.

→ I Learning Object sono gli strumenti che popolano le Ontologie;

→ I Learning Object sono rappresentati con metadata;

→ I metadata di un Learning Object sono una successione ordinata (array) di attributi;

→ Esistono diversi standard per rappresentare i metadata; il più affermato è lo standard SCORM.

• I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici.


Curato da Advanced Distributed Learning ADLNet,

definisce un standard per

Learning Object: Lo standard SCORMLearning Object: Lo standard SCORMSCORM Sharable Content Object Reference Model

•I metadata,•Il modello dati dei Learning Object –SCORM Content Aggregation Model,•L’architettura Run-Time di un Learning Mangement System,•Il formato di interscambio per l’impacchettamento dei corsi -“Manifest”.


Learning Object: Lo standard SCORMLearning Object: Lo standard SCORM

•Si preparano gli asset,

•Si associano i metadata SCORM ai Learning Object,

•Si pianifica la sequenza del materiale didattico,

•Si esporta il Manifest su un Learning Management System –LMS.Il Manifest del corso è in formato XML e quindi è indipendente dal costruttore della piattaforma. Per importarlo è sufficiente che la piattaforma sia conforme allo standard SCORM.



L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consente

• l’accessibilità, • l'interoperabilità,• la condivisione delle risorse.

Disporre di uno standard comune significa

• poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, • poterli integrare tra loro, • saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, • poterli certificare.


• Le conoscenze sono diventate complesse e rendono ugualmente complessi i materiali didattici;

Per costruire strutture complesse, è necessario che i loro componenti siano “riutilizzabili”.

Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model)

• Prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare incapsulandone i componenti.


Problemi principali per il riutilizzo dei LO:Problemi principali per il riutilizzo dei LO:

Ricerca dell’informazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore);

Estrazione dell’informazione: ad oggi, l’estrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione “manuale” e la lettura dei documenti;

Manutenzione dell’informazione: aggiornare documenti è un’attività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi.

Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca.


- Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con metadati.

Prima parte della soluzione: il Web SemanticoPrima parte della soluzione: il Web Semantico

- Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web.

- Gli attuali Metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto.

T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998

Nel Web Semantico

l’informazione diventa machine-

processable.


Soluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDFSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF

Tutti i livelli sono

codificati in XML.

La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). - L’RDF è un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,…

L’URI è in corrispondenza biunivoca

con la locazione

della risorsa


- Una delle finalità di RDF è quella di estendere le semantiche per dati conservando la codifica nel formato XML,


- I metadati limitano la semantica, la sintassi e la struttura a quanto esprimibile con un array,

- L’RDF è costituito da due componenti:

•RDF Data Model, fornisce un insieme di termini -vocabolario- per descrivere le risorse •RDF Schema, definisce un modello per descrivere le relazioni tra le risorse


FORMALMENTE:•Un dominio di conoscenza è una coppia ordinata di insiemi D=(R,T) tali che R T = . •Chiamiamo RDF DATA Model di D l’insieme dei termini del dominio D.•L’RDF Schema di D è un grafo G=(V,E) in cui V ed E sono sottoinsiemi, rispettivamente, delle classi e delle relazioni binarie.•L’RDF di D è un grafo G’=(V’,E’) in cui V’ ed E’ sono, rispettivamente, un insieme di classi di elementi di D, detti istanze di classe, ed un insieme di relazioni esteso con la relazione di appartenenza di un’istanza alla classe.


A. Di Simone F. Formato , N. Palladino Endowing Geographic Information System

with a cognitive level Proc. Multimedia Databases and Image Communications

(MDIC'04), Salerno, Italy June 2004.


Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche:

Quadrica

PianoImproprio

Intersezione Cdet(Quadrica)

det=0

det>0

C immaginaria C reale nondegenere C degenere

C 2 rettereali C 1 retta

C 2 retteimmagina

rie

det<0

det0

Equazione

tangenti

Punti impropriLink alla teoria


35

Codifica dell’RDF in XMLCodifica dell’RDF in XMLSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDFSoluzione(1)- Il Web Semantico: l’RDF

<?xml version="1.0" ?> <RDF><Domain xmlns:xsd="http://www.w3.org/2001/XMLSchema" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" id="0" name="Tutorial Intelligente ToonTalk"> <Taxon id="0" name="Quadriche" level="0"> <Description>Quadriche</Description> </Taxon><Taxon id="0" name="Piano tangente" level="0"><Taxon id="0" name="Quadrica" level="0"> <Description>Piano tangente</Description>

...

...

Grazie all’RDF codificato in XML, un Tutor Intelligente può ritagliare il corso che gli interessa facendo il parsing del file xml.


I tool del Web Semantico formalizzano la struttura del Learning Object, mentre, per poter riutilizzare i singoli componenti, una soluzione è l'integrazione del Web Semantico con l'approssimazione mediante NURBS.

Seconda parte della soluzione:Seconda parte della soluzione:

Per costruire l'ambiente di apprendimento si sono voluti riutilizzare i modelli della collezione già costruiti e disponibili nel Web (http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo).-alcuni modelli hanno dimensioni anche di 2.5 Mbyte

-che succede se si vuole disporre di altri modelli?

-che succede se l'interconnessione offre prestazioni limitate ?


Seconda parte della soluzione: Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati

Grazie alla loro flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D alla progettazione.

u,v [0,1]

)()()( ,,, uNuu

uuuN

uu

uuuN 1h1i

1i1hi

1hi1hi

ihi

ihi

con

altrimenti 0

uuu se 1uN 1ii

0i )(,

Si definiscono funzioni di base B-Spline di grado hN sul vettore dei nodi U=(u0,…,up), le funzioni costruite mediante la formula ricorrente


dove u, v [0,1] sono i parametri della rappresentazione, le Ni,h(u) e le Nj,k(v) sono le funzioni di base B-Spline.

I pij sono detti punti di controllo. Sussiste una relazione che lega il grado, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi nelle due direzioni u e v:

p=m+h+1 e q=n+k+1

1n

0i

1m

0jjijikjhi1n

0iihi

pwvNuNwuN

1vuS ,,,,

,

)()()(

),(

Soluzione(2)- Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati

•Assegnati mn punti pi,jR3, dei pesi wijR, un vettore di nodi U=(u0,…,up), un vettore di nodi V=(v0,…,vq), un grado h ed un grado k, si definisce superficie NURBS una superficie la cui rappresentazione parametrica è data da


Soluzione(2)- Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati

•Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue:

di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: 21m

0i

1n

0jjiji QtsS

,),(

per opportuni valori si e tj dei parametri.

Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS

1n

0i

1m

0jjijikjhi1n

0iihi

pwvNuNwuN

1vuS ,,,,

,

)()()(

),(


Punti di controllodella superficieNURBS

Punti appartenenti al modello da costruire


L’algoritmoL’algoritmoPer risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline.

•Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è

con parametro u[0,1]; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i

punti di controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline

sul vettore dei nodi U=(u0,…,um). Una relazione lega il

grado della curva B-Spline, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi:

m=n+h+1.


Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij dati, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j.

L’algoritmoL’algoritmo

43


•Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineareNTNP=NTQ dove

•Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1)

1

0

2)(

n

kkk tCQ

per opportuni valori tj del parametro.

1n

1

0

p

p

p

P...

1n

1

0

q

q

q

Q...

nn1nh1n1nh11nh0

1h11h0

0h1n0h10h0

tNtNtN

tNtN

tNtNtN

N

)(...)()(

.........

)()(

)(...)()(

,,,

,,

,,,



1. Costruisce due opportune parametrizzazioni (s0,s1,

…,sm), (t0,t1,…,tn);

2. Costruisce i vettori dei nodi U=(u0,u1,…,um+h) e

V=(v0,v1,…,vn+k) ;

Presi in input i gradi h e k per la superficie NURBS approssimante, e la matrice dei punti Qij del problema, i=0,…,m, j=0,…,n, l’algoritmo

3. A partire dalle colonne della matrice Q=(Qij), dai

parametri (s0,s1,…,sm), dai

nodi U=(u0,u1,…,um+h),

costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(si))

i,j=0,…,m-1;


4. Calcola il prodotto NTN (matrice simmetrica definita positiva);

5. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NTN=LLT;

6. Calcola i prodotti NTa, NTb, NTc;

7. Risolve i tre sistemi finali LLTx=NTa, LLTy=NTb, LLTz=NTc mediante forward e back substitution.8. Si ottengono così le coordinate dei punti provvisori pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1;




9. Su ogni riga della matrice P=(pij) i=0,..,m-1,j=0,…,n-1, a partire dai parametri (t0,t1,…,tn), dai nodi V=(v0,v1,…,vn+k), effettua l’approssimazione mediante curve B-Spline, costruendo la matrice dei coefficienti M=(Mj,k(ti)) i,j=0,…,n-1; 10. Calcola il prodotto MTM (matrice simmetrica definita positiva);

11. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice MTM ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che MTM=LLT;

12. Calcola i prodotti MTx, MTy, MTz;

13. Risolve i tre sistemi finali LLTx=MTx, LLTy=MTy, LLTz=MTz mediante forward e back substitution;14. Si ottengono così le coordinate dei punti di controllo pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1.


Risultati dell’algoritmoRisultati dell’algoritmo

File di input

Gradi della NURBS

3 3

Dimensioni della griglia

5 5

Punti appartenenti al modello da costruire

(-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8)

Pesi Tutti uguali ad 1

Paraboloide parabolico


Risultati dell’algoritmoRisultati dell’algoritmo

Paraboloide parabolico

approssimato mediante superficie

NURBS


Risultati dell’algoritmoRisultati dell’algoritmoIperboloide iperbolico

approssimato mediante superficie

NURBS

Sfera approssimata

mediante superficie NURBS


Unione delle due soluzioniUnione delle due soluzioni

Codifiche in xml delle superfici NURBS

1n

0i

1m

0jjijikjhi1n

0iihi

pwvNuNwuN

1vuS ,,,,

,

)()()(

),(

<?xml version = "1.0"?>

<nurbs>

<degree> 3</degree>

<degree_u> 3</degree_u>

<degree_v>3 </degree_v>

<knot_spanning_u length_u= "9">

<knot_spanning_item_u>0</knot_spanning_item_u>



<knot_spanning_item_u>0.5</knot_spanning_item_u>






</knot_spanning_u>

. . .


- Le NURBS sono strumenti flessibili per la rappresentazione di oggetti 3D;

- Il web semantico è uno strumento di rappresentazione sul web dei learning object;

-L'approccio combinato consente di implementare sul Web risorse di Geometria che risultano machine processable.

Unione delle due soluzioniUnione delle due soluzioni


Perché queste scelte?Perché queste scelte?•Le collezioni 3D di oggetti matematici nelle repository web possono essere riutilizzate costruendo una shell semantica intorno alla loro repository.

•Le risorse disponibili sono essenzialmente asset e learning object presenti sul web.

“La proliferazione delle risorse sulla rete sta spostando l’attenzione dalla produzione al

riutilizzo”

Kahzdan, Shape Representation and Algorithms for 3d

model retrivial


3D Resource discovery con Shape Descriptor3D Resource discovery con Shape Descriptor

• Un algoritmo di ricerca di oggetti 3D deve essere

i) Correttoii) Efficiente.

• Esistono diverse metriche di insiemi di R3 in grado di confrontare oggetti 3D.

• Nessuna di queste è efficiente per l’uso in algoritmi di 3D resource Discovery sul Web.

SOLUZIONE (Kazdhan 2004):Invece di indicizzare l’intero oggetto 3D,

si indicizza il suo shape descriptor

•L’attributo più importante di un oggetto 3D è la sua forma.


3D Resource discovery con Shape Descriptor3D Resource discovery con Shape DescriptorIntuitivamente, lo shape descriptor è un astrazione del modello 3D, che ne cattura le informazioni rilevanti in una struttura adatta alle comparazioni.

3D Shape descriptor di un ellissoide

Oggetti trovati dallo shape descriptor in una directory 3D

http://shape.cs.princeton.edu/search.html


3D Resource discovery con Shape Descriptor3D Resource discovery con Shape Descriptor

•Nello stadio di preprocessing si computa lo shape descriptor di ciascun modello del Database. •Poi, in presenza di una query Q, viene dapprima calcolato lo shape descriptor Sh(Q) della query Q. •Infine, Sh(Q) viene confrontato con lo shape descriptor di tutti i modelli del database e ne vengono estratti i matching migliori.


• Definizione: Uno shape descriptor è un applicazione di uno spazio metrico (S,d) in uno spazio di Banach S’ a dimensione finita.

• IDEA: 1)Definire uno shape descriptor s, tale che

due oggetti X e Y sono simili nella misura in cui lo sono s(X) e s(Y),

2)Codificare s con una opportuna RDF del web semantico.

• In questo modo lo shape descriptor è memorizzato nel data base e usato nel linguaggio di query come una stringa XML.

Shape Descriptor e Web SemanticoShape Descriptor e Web Semantico


Resource DiscoveryResource Discovery- Problema: Cercare in una repository 3D Web un

componente LO’ di un Learning object più complesso LO.

- Soluzione: Per ciascuna quadrica Q nella repository di modelli

matematici, consideriamo uno shape descriptor (Q) e la sua rappresentazione RDF(Q):

1) Rappresentiamo LO’ come un insieme di punti S, 2) Consideriamo la NURBS generata da S con

l’algoritmo di approssimazione come lo shape descriptor (S),

3) Calcoliamo la distanza tra (S) e lo shape descriptor (Q) della risorsa sul web S’. (Per esempio [Kazdhan 2004]),

4) Se la distanza tra (S) e (Q) è piccola, allora i) se la rete è veloce –oppure Q è un file piccolo-

riusiamo Q come parte di LO e RDF(Q) viene inclusa in RDF(LO),

ii) altrimenti riusiamo l’approssimazione NURBS come LO’.


RDF

RDF

LO

RDF

LO

RDF

LO

RDF

LO

RDF

LO

NURBS -basedShape

descriptor

NURBS -basedShape

descriptor

Resource broker

3D repository

Learning Object

Resource DiscoveryResource Discovery

Mondo web

Componenti del Learning Object

59

•Supponiamo di voler associare una RDF al Learning Object

http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/iperboloide_ellittico.wrl

1) Si dichiara lo schema XML dell'RDF.<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1" ?>

<xs:schema xmlns:xs="http://www.w3.org/2001/XMLSchema">

......

</xs:schema>

2) Si mette questo file nel URL http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd

che è l'URI del "namespace" delle quadriche.

3) Per la superficie in questione, si crea il nuovo file RDF:<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1" ?>

<xs: xlns = quadriche

uri = URL: http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd

<quadriche : equazione> x^2 + y^2 ....</quadriche:equazione>

<quadriche: determinante>30 </quadriche:determinante>

chiamato superficie_2305352.xml



4) Quando il broker prende il file “superficie_2305352.xml", va a fare il parsing in base al template dichiarato che trova http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd.

5) Successivamente, calcola lo shape descriptor e poi calcola una distanza tra lo shape descriptor della superficie e lo shape descriptor della query, che è stata calcolata con una NURBS.

Se la distanza è minore di una certa soglia, allora

i) Se il file dell’iperboloide è piccolo o la rete è veloce allora l'iperboloide ellittico viene trasferito in un altro sito

ii) Viene considerata l’approssimazione NURBS e l’RDF dell’approssimazione NURBS viene aggiunta all’RDF del LO



Risultati:Risultati: Ho sviluppato un algoritmo per l’approssimazione

mediante NURBS delle superfici quadriche,

Ho incapsulato l’algoritmo in API di classi Java per renderlo riusabile nella Computer Grafica,

Ho costruito un Learning Object 3D per la trasposizione delle lezioni di Luigi Campedelli con gli strumenti dell’e-learning,

Ho proposto una shell semantica per l’integrazione delle collezioni di modelli matematici.


Risultati:Risultati:Teorema: Se una superficie quadrica è non degenere e possiede punti reali, questi sono o tutti iperbolici o tutti ellittici.

La dimostrazione “ Visuale” si comprende navigando in questo ambiente 3D.


Un Ambiente Virtuale di ApprendimentoUn Ambiente Virtuale di Apprendimento

Strumenti utilizzati per lo sviluppo

•Mathematica

•MathGL3D

•VRML

•…

Mathematica è stato utilizzato per il calcolo dei modelli matematici a partire dall’equazione MathGL3D è stato utilizzato per il rendering 3D VRML è stato utilizzato per lo sviluppo del software applicativo Web e come formato di interscambio per i file 3DMaya 3D è stato utilizzato per la costruzione di una ambiente virtuale di apprendimento

…


Tutto è stato contestualizzato in un corso on line, per l’insegnamento della geometria delle superfici del secondo ordine, presente al sito www.dol.unina.it.

Risultati:Risultati:


Sviluppi futuri:Sviluppi futuri:• Estensione di un LMS con una shell semantica

-Integrazione delle collezioni di modelli 3D

-Aule virtuali

-4D modelling con superfici NURBS;

• Ambienti di apprendimento 3D “enattivi”

-il tipo di punto della quadrica è classificato da un sensore;

• Approssimazione mediante NURBS di superfici generiche.

e-learning: superfici matematiche in 3d1 e-learning: superfici matematiche in 3d nicla palladino...

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