《通信信号处理》 -...
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《通信信号处理》教学大纲 （2002年 12月）
一． 教学目标
1． 了解通信信号的各种描述形式，各种无线传输信道的特征、模型等。
2． 了解通信信号处理的对象、主要内容、常用方法的性能，重点掌握通信系统中自适应均衡技术、
智能天线中数字波束形成技术以及 CDMA系统中多用户检测技术的数学描述和物理实现原理。
3． 跟踪了解相关领域的最新发展动态。
二． 主要内容
第一章 基本知识（8 学时）：包括通信信号处理涉及的主要研究内容；通信信号的各种描述形式；
无线传输信道的各种模型和特征。
第二章 分集接收和最佳接收系统（8 学时）：包括分集接收技术原理、种类、特点；相关接收机结
构、原理、分析；匹配滤波接收机特点；RAKE接收机性能、常见结构形式等。
第三章 自适应均衡技术（4 学时）：包括 Kalman 滤波；LMS 自适应算法；RLS 自适应算法；盲信道
辩识与均衡等均衡算法的描述、特点、应用。
第四章 通信中的 DBF（8学时）：包括智能天线系统的种类、结构、特点、统计模型；用于智能天线
系统中数字波束形成的典型处理算法，如 MUSIC算法；ESPRIT算法；ML类算法；盲波束形
成算法；恒模算法；子空间分解算法等的描述、适用范围、特点。
第五章 多用户检测（8 学时）：包括系统模型、检测准则、性能指标；MMSE 多用户检测、自适应多
用户检测、盲多用户检测的各种结构形式、原理、分析、性能评价等。
第六章 空时二维处理技术（4学时）：包括空时系统模型；空时 MMSE接收技术；空时盲均衡技术；
空时 DBF技术；空时 RAKE接收技术。
三． 基本要求
教学中讲述的内容以当前较新的研究成果为主，当然已包括大量基础理论知识、基本概念等内
容，要求工学硕士在本门课程学习中，注重通信信号处理的新结构、新算法、新思想、新理论；而
工程硕士更多的应结合工作实践，应用这些典型的方法分析和解决实际问题。
四． 参考文献
1． 张贤达、保铮：通信信号处理，国防工业出版社，2000年
2． 王永良、彭应宁：空时自适应信号处理，清华大学出版社，2000年
3． Joseph C. Liberti等：无线通信中的智能天线，机械工业出版社，2002年
4． IEEE Transaction on Communications
5． IEEE Transaction on Signal Processing
6． IEEE Transaction on Antenna and Propagation
7． IEEE Transaction on Vehicular Technology
第一章 通信信号处理基本知识
众所周知，通信技术经历了从有线到无线、从模拟到数字两次巨大变革，目前通信领域另一个
研究热点——软件无线电，很可能成为继模拟通信到数字通信以及固定通信到移动通信之后的第三
次重大突破。无线通信技术的诞生是以马可尼 1897年用无线电与横跨英吉利海峡的船舶之间的联络
作为标志的。而移动通信网的诞生和发展则是与蜂窝概念、扩频技术、数字信号处理技术分不开的。
就多址通信来讲，通信理论中有一个非常重要的结论：如果用户信号正交，那么这些用户可以
共享同一个发射媒体。其共享方式有三种：（1）时间共享，对应于 FDMA系统，此时信号是通过将
信道分割成不同频带实现正交的。（2）频率共享，对应于 TDMA系统，此时通过在时间上分割信道
实现共享的。（3）时频共享，对应于 CDMA系统，允许用户在相同的时间共享相同的频带。
§1-1 通信信号处理的研究内容
第二代和第三代通信系统广泛采用数字技术和软件无线电，信号处理的对象——信号具有以下
重要特点：
（1） 信号传输环境非常复杂，多径衰落、散射现象严重；
（2） 对信息重构准确性要求很高，接收信号必须与发射信号严格一致；
（3） 要求信道带宽很宽，以适应各种不同速率信息的传送；
（4） 影响信息重构准确度的主要因素是同道干扰和码间干扰。
就通信系统来讲，一般分为两大部分，一部分是发射部分，主要涉及到调制技术（包括各种模
拟调制技术、数字调制技术以及扩频技术）、编码技术（包括信源编码、信道编码），这些内容较少
涉及信号处理问题。另一部分是接收部分，这部分大量涉及信号处理技术。主要原因是由于信号空
间传输环境非常复杂，包括通信网中的多用户、各种散射体、用户处于随机移动状态，信道衰落、
扩展以及多径现象对传输信号影响严重，而且这种影响还是时变的，从接收部分本身来讲，对接收
信号的准确性和可靠性要求很高，因此必须在通信信号的接收理论和方法上想办法，通过信号处理
理论和实现算法的改进来弥补。
在对通信信道建模分析中，通常用一个带限线性滤波器描述，即频率响应为：
)()()( fjefAfC θ=
其中 )( fA 称为幅频特性， )( fθ 称为相频特性，有时又用包络延迟（envelop delay）或群延迟（group
delay）来表示相频特性。
dffdf )(
21)( θπ
τ −=
前面提到过，通信信号在传输过程中受到的主要干扰是同道干扰和码间干扰。关于信道，分为
理想信道和畸变信道两类：
（1） 理想信道：在发射信道带宽内，幅频特性 )( fA 为常数，相频特性 )( fθ 是频率的线性函数，
或者群延迟 )( fτ 为常数。
（2） 畸变信道：在发射信道带宽内，幅频特性 )( fA 和/或相频特性 )( fθ 不是常数，如果幅频特
性 )( fA 不是常数，称为幅度畸变信道；如果相频特性 )( fθ 不是常数，称为时延畸变信道。
对于同道干扰是指在某个覆盖区内有多个蜂窝单元使用相同的频率，由此造成的相互之间的干
扰就是同道干扰。
对于码间干扰是指发射端以一定的带宽发射脉冲串时，每个脉冲在接收端产生扩散或重叠所造
成的相互干扰。
这两类干扰存在的主要原因有（1）时延和多径传输；（2）收发系统相互之间的相对运动；（3）
耦合效应和多址干扰；（4）收发带限滤波器和各部分放大器等的共同作用。通信信号处理主要就是
围绕如何补偿码间干扰、抑制同道干扰而开展研究工作的。
随后我们要学习和讨论的主要内容都是以补偿码间干扰、抑制同道干扰为出发点的。包括（1）
盲均衡（又称为码间干扰补偿器或均衡器），通过利用接收信号的某些特征信息，无须训练序列，对
接收信号进行均衡处理；（2）多用户检测（又称为同道干扰抑制器或多用户解调器或干扰对消器），
通过某些算法和优化准则，将期望信号从接收信号中提取出来；（3）阵列信号处理，通过多个天线
单元的分集接收，抑制多径传播引起的衰落，改善通信质量；（4）自适应阵列（又称为智能天线），
通过自动调节天线阵列的空间特性，在估计多个同道信号波达方向的同时，实现期望信号的恢复；
（5）空时处理技术，即将空间处理通道干扰的技术和时间处理码间干扰的技术联合起来，同时实现
补偿码间干扰、抑制同道干扰的目的。
§1-2 通信信号的表示和特征
信号可以通过不同的方式进行分类，比如随机信号和确定信号、平稳信号和非平稳信号、连续
信号和离散信号、低通信号和带通信号、有限功率信号和无限功率信号等。在通信信道中，载有信
息的发射信号和由信道引入的扰动信号都具有随机特征，也就是说在接收端只知道这些信号的某些
统计特征，而无法知道信号本身。接收端的主要任务就是根据接收到的观测值，利用已知的统计特
性，对发射信息进行估计。
在通信信道中，某些信道损失，比如信道热噪声、非频率选择性衰落等可以认为具有平稳随机
性，而邻道干扰由于载波本身具有周期性，则不具有平稳性，但可以用循环平稳性来描述。所谓循
环平稳就是指统计特性是随时间呈周期变化的随机过程。下面对这两种随机过程的有关知识做详细
介绍。
一、平稳过程
在随机过程中，将平稳过程分为严格平稳和广义平稳两种：
1、 严格平稳过程：
n 个随机变量 )(,),(),( 21 ntxtxtx L 的联合分布函数和 )(,),(),( 21 τττ +++ ntxtxtx L 的联合分
布函数对所有时延τ 都是相同的，称为严格平稳随机过程，又称为狭义平稳随机过程。
2、 广义平稳过程：
随机信号 ),( Tttx ∈ ，如果（ 1） mtxE =)]([ 为常数；（ 2） ∞<])([ 2txE ；（ 3）
222 ),()()]()([])(][)([ mstRmstRmsxtxEmsxmtxE xx −=−−=−=−− ∗∗，称为广义平稳
随机过程，又称为弱平稳过程、协方差平稳过程、二阶平稳过程等，简称平稳。
平稳信号的统计特性有以下重要性质：
（1） 自相关函数关于时延 0=τ 是共轭对称的 )()(* ττ xx RR =−
（2） 功率谱密度是非负的实函数 ffPfP xx ∀≥= 0)()(*
（3） 信号为功率有限信号 ∞<== ∫∞
∞−dffPRtxE xx )()0(])([ 2
（4） 信号经过一个线性时不变系统之后，输出仍然为平稳随机信号，其时频关系为
)()()(,)()()(*)()( 2 fPfHfPduuthuxthtxty xy =−== ∫∞
∞−
其中 )( fH 为冲激响应的 Fouier变换，即线性时不变系统的频率响应或传递函数。
二、循环平稳过程
循环平稳过程是非平稳过程，但这种非平稳过程有一个重要的特性，即非平稳性表现为周期平
稳性。在通信系统中，通信信号往往表现为基带传输信号对载波信号的某个参数进行调制，结果会
产生具有周期平稳性的信号；信号的编码也具有周期平稳性；对接收通信波形进行过采样，也会在
接收信号中产生周期平稳性。因此，周期平稳性是通信信号一个非常重要的特性。统计特性呈现周
期或多周期平稳变化的过程称为循环平稳或周期平稳（cyclostationary）过程。根据循环平稳过程的
不同统计特性，又分为一阶（均值）循环平稳过程和二阶（相关函数）循环平稳过程和高阶循环平
稳过程。
1、 均值循环平稳过程
如果随机信号 )(tx 的均值 )()( 0kTtMtM xx += ，说明均值具有周期性。将均值展开成 Fourier
级数有
∑∞
−∞=
=α
παα tjxx eMtM 2)(
其中α 称为循环频率， ∫−−− ==
2/
2/
22
0
0
0
)()(1 T
T t
tjtjxx etxdtetM
TM παπαα
称为循环均值， 表示时
间平均。
2、 相关函数循环平稳过程
如果随机信号 )(tx 的相关函数 ),(),( 0 ττ kTtRtR xx += ，说明相关函数具有周期性。将相关函
数展开成 Fourier级数有
∑∞
−∞=
=α
παα ττ tjxx eRtR 2)(),(
其中α 称为循环频率， ∫−−− −==
2/
2/
2*2
0
0
0
)()(),(1)(T
T t
tjtjxx etxtxdtetR
TR παπαα τττ 称为循环自相关
函数。在实际应用中，循环自相关函数通常定义为对称形式：
tx txtxR )2/()2/()( * τττα −+=
3、 循环平稳过程的重要性质
考虑随机信号 )(tx 通过一个线性时不变系统之后，输出信号 )(ty 的功率谱和互功率谱分别为：
)()()()(),()()( **
2 fPfHfHfPfPfHfPxxyyxy −==
类似的，谱相关密度函数和谱互相关密度函数分别为
)()()()(),()()()( ** fPfHfHfPfPfHfHfPxxyyxyααα αα +−=−=
谱相关函数 )()( ff xyαα ρρ = 不发生变化。
)2/()2/(
)()(
ααρ
αα
αα
−+=
fPfP
fPf
xx
xx 表示在两个频
率 2/,2/ αα −+ ff 处谱分量的相关程度。这个结论说明信号通过一个线性时不变系统后，谱相关
函数保持不变。
回过头再来考察输出信号的功率谱密度函数和谱相关密度函数可以看出：如果知道功率谱密度
函数，只能辩识出线性时不变系统的2)( fH ，无法辩识出 )( fH ，因为
2)( fH 不能给出任何相位
信息，可见利用自功率谱密度函数或自相关函数不能辩识非最小相位系统，称为模型的多重性。但
是如果知道谱相关密度函数，则可以直接辩识出 )( fH ，所以循环二阶统计量（自循环相关函数和
自谱相关密度函数）可以用来辩识非最小相位系统。利用这个重要性质，可以用来辩识和均衡非最
小相位信道，这点在后面还要详细学习。
三、解析信号
通信一般都有载波，接收实际上就是把调制信号从已调信号中提取出来，通常的做法是将载波
变频到零中频，在接收端这种变频叫做下变频。对于数字通信系统，为便于信号处理，要求将带内
信号的谱结构原封不动地搬移到零中频。很显然，将接收的实信号直接变换到零中频是不行的，因
为实信号存在共轭对称的双边谱，随着载频的下移正负边谱相互靠近，到中频小于信号频带的一半
时，正负边谱就会发生混叠，零中频时的混叠最严重，根本无法恢复调制信号。为了去掉实信号频
谱的共轭对称性，在实际应用中总是采用信号的复数形式，即实际传输的信号是实信号，而信号处
理中的信号是复信号。
)(ˆ)()( tsjtstsA +=
其中实部就是给定的实信号 )](cos[)()( ttats φ= ，虚部t
tsthtstsπ1*)()(*)()(ˆ == ， )(th 称为
Hilbert 变换器或 Hilbert 滤波器， )(tz 就称为解析信号。Hilbert 滤波器是一种全通滤波器，因为传
递函数 1)( =fH 。Hilbert变换有四个重要性质：
（1） 实信号通过 Hilbert变换后，信号频谱的幅度保持不变；
（2） 解析信号实部和虚部之间有关系 )](ˆ[)( tsHts −= ；
（3） 实信号的 Hilbert变换满足 )]([)]([)( 2 tsHtsHHts −=−= ；
（4） 如果 )(),(),( 21 txtxtx 的 Hilbert变换分别为 )(ˆ),(ˆ),(ˆ 21 txtxtx ，并且 )(*)()( 21 txtxtx = ，那
么 )(ˆ*)()(*)(ˆ)(ˆ 2121 txtxtxtxtx == 。
为了全面描述通信信号处理中的各种解析信号，定义一个滤波器，传递函数为：
)]sgn([22
1
0002/1
01)( fjj
ff
ffU −+=
<=>
=
如果解析信号 )(tsA 的频谱
<=>
==000)(0)(2
)()(2)(fffSffS
fSfUfS A ，称为第一类解析信号；
如果解析信号 )(tsA 的功率谱密度
<=>
==000)(0)(2
)()(2)(fffPffP
fPfUfP s
s
ssA，称为第二类解
析信号。
两类解析信号的构造方法是不同的，如图所示。对于确定信号，关心频谱，复基带表示往往采
用第一类解析信号；对于随机信号，更关心功率谱密度，复基带表示往往采用第二类解析信号。
第一类解析信号构造 第二类解析信号构造
四、基带信号
在通信系统中传输的信号是实的窄带信号
2U(f) s(t) sA(t)
)(2 fUs(t) sA(t)
])[(21)](2cos[)()( )](2[)](2[ ttfjttfj
ccc eetattftats φπφπφπ +−+ +=+=
经过 Hilbert变换之后得到的解析信号形式为
tfjtjA
ceetats πφ 2)()()( =
其中tfj ce π2作为信号的载波不含有有用信息成分，如果将载波频率下移到零中频，就得到基带信号，
也称为零中频信号。
)()()( tjB etats φ=
由此可见，解析信号和基带信号之间的关系为tfj
BAcetsts π2)()( = ，这说明基带信号是解析信号的
复包络，也是一种复信号。如果对基带信号进行 Fourier变换，频谱分量中既有正频分量，也有负频
分量，但频谱不具有共轭对称性（因为是复信号），这点应该注意到。
基带信号也可以用直角坐标表示：
)()()](sin[)()](cos[)()( tjststtjattats BQBIB +=+= φφ
实部分量和虚部分量分别称为基带信号的同相分量和正交分量。
五、复基带信号
如前所述，在通信系统中传输的信号是实的窄带信号
])[(21)](2cos[)()( )](2[)](2[ ttfjttfj
ccc eetattftats φπφπφπ +−+ +=+=
而且解析信号和基带信号之间的关系为tfj
BAcetsts π2)()( = ，相应的实的窄带信号是解析信号的实
部，由此得到窄带信号的一种重要的表述形式：
])(Re[)( 2 tfjB
cetsts π=
这种表述形式称为窄带信号 )(ts 的复基带表示（complex baseband respresentation）或复包络表示
（complex envelope respresentation）。对于上述复基带表示形式来讲，给定一个窄带信号，并不能唯
一定义一个基带信号，在通信信号处理中，为了能用一个窄带信号唯一定义一个基带信号，通常采
用两种方法：
（1）滤波+频移方法；（2）频移+滤波方法。
应用前面定义的滤波器 U，传递函数为
)]sgn([22
1
0002/1
01)( fjj
ff
ffU −+=
<=>
=
就频域关系而言，有 )()()(21 fSfUffs cB =− 或者 )()()(
21
ccB ffSffUfs ++= ，两种实现
方法对应于下面两个框图。
由于窄带信号的频谱 )]()([21)( *
cBcB ffsffsfS −−+−= 关于 0=f 共轭对称，分析表明，
解析信号 )(tsA 和基带信号 )(tsB 具有与窄带信号 )(ts 相同的能量。
如果窄带信号是以 cf 为中心频率的带通信号， )( fS 仅在 )( cc fBBff <<− 处非零，相应
的基带信号也仅在 Bf < 处非零。为了用给定的这种窄带信号唯一描述基带信号，需要定义两个滤
波器，传递函数分别为：
=−<−
<=
<+<−
=其它任意
，
其它任意
，
)()(,,0
2)(
,,0
2)(
2*2
21
fHfHBff
BffHBff
BfffH cc
c
其中 )(1 fH 具有复值冲激响应，叫做相位分裂器（phase splitter）， )(2 fH 是一个具有实值冲激响
应的低通滤波器。用两种方法构造基带信号的框图分别为下面两个图。
在通信系统中，为了提高接收信噪比，往往在接收端加入一个中心频率为 cf 的窄带滤波器，滤
波器的冲激响应为：
tfjB
tfjBca
cc ethethttfthth ππφπ 2*2 )()()](2cos[)()( −+=+=
其中 )(tha 为冲激响应 )(th 的包络，)()(
21)( tj
aB ethth φ= 称为滤波器的基带冲激响应。
exp(-j2πfct)
2U(f)s(t) sA(t) sB(t)
exp(-j2πfct)
2U(f+fc) s(t) sB(t)
exp(-j2πfct)
H1(f) s(t) sA(t) sB(t)
exp(-j2πfct)
H2(f) s(t) sB(t)
信号 )(ts 通过冲激响应为 )(th 的滤波器后的输出信号为：
tfjBB
cethtsthtsty π2)](*)([)(*)()( ==
从而输出信号的基带信号为： )](*)([)( thtsty BBB = 。
在通信信号处理中，还有一种情况是需要考虑初相位，即需要得到实信号 )(ts 相对于
)2cos( θπ +tf c 的复基带或复包络表示 )(, tsB θ ，根据定义可以容易求出
θθ
jBB etsts −= )()(,
可见， )(, tsB θ 可以通过旋转 )(tsB 直接得到，两者占有带宽相同，具有相同的能量。
六、随机信号的复基带表示
由于通信信号通常是随机过程对确定信号调制后的随机信号，所以通信信号处理更关心随机信
号的基带形式。
1、广义平稳信号的复基带表示
对于实的零均值平稳信号 ( )s t 可以用复基带信号 ( )Bs t 表示成为
2 2( ) 2 Re[ ( ) ], ( ) ( )c cj f t j f tB B As t s t e s t s t eπ π−= =
其中解析信号为第二类形式，可以用传递函数为 2 ( )U f 的滤波器对 ( )s t 滤波获得。复基带信号
( )Bs t 的 自 相 关 函 数 为2( ) ( ) c
B A
j fs sR R e π ττ τ −= ， 解 析 信 号 的 功 率 谱 密 度 为
( ) 2 ( ) ( ) ( ( ) 1( 0); ( ) 0( 0))As sP f U f P f U f f U f f= = ≥ = < ，复基带信号的功率谱密度为
( ) ( ) 2 ( ) ( )B As s c c s cP f P f f U f f P f f= + = + + ，而且 ( )s t 、 ( )Bs t 、 ( )As t 具有相同的功率。此外，
如果将平稳过程复基带信号表示成直角坐标形式，可以分析，其同相分量和正交分量具有相同的相
关函数，各含有信号一半的功率，而互相关函数实时延τ 的奇函数，即
, , ,,
1( ) ( ) Re[ ( )]2
1( ) ( ) Im[ ( )]2
BI BQ B
BI BQ BQ BI B
s s s
s s s s s
R R R
R R R
τ τ τ
τ τ τ
= =
= − − =
相应的同相分量和正交分量的自功率普密度和互功率普密度分别为：
, , ,,
1( ) ( ) [ ( ) ( )]4
1( ) ( ) [ ( ) ( )]4
BI BQ B B
BI BQ BQ BI B B
s s s s
s s s s s s
P f P f P f P f
P f P f P f P fj
= = + −
= − − = − −
在通信系统中接收端加性噪声通常用平稳高斯随机过程作为数学模型，对于平稳高斯随机过程，
有以下重要结论对信号处理非常有用。
（1）实的信号 ( )s t 、解析信号 ( )As t 、基带信号 ( )Bs t 以及同相分量 ( )BIs t 和正交分量 ( )BQs t 都是
严格平稳的零均值高斯过程；
（2）同相分量 ( )BIs t 和正交分量 ( )BQs t 有相同的统计特性；
（3）在同一时刻取值，同相分量 ( )BIs t 和正交分量 ( )BQs t 统计独立；
（4） ( )s t 相对于 cos(2 )cf tπ θ+ 的基带信号 , ( )Bs tθ 和相对于cos(2 )cf tπ 的基带信号 ( )Bs t 具有相同
的统计特性。
2、循环平稳信号的复基带表示
考虑周期为 T的实值循环平稳信号 ( )s t ，循环频率为 1/Tα = ，基带信号为
2 /( ) ( ) j t TB As t s t e π−=
其中解析信号通过传递函数为 2 ( )U f 的滤波器对 ( )s t 滤波获得。
对于一阶循环平稳过程，统计期望是周期为 T的周期函数：
2 /[ ( )] [ ( )]B
j t Ts B AM E s t E s t e π−= =
对于二阶循环平稳过程，自相关函数是周期为 T的周期函数：
* *
2 /
2 / 4 /, ,
( , ) ( , )
( , ) ( , )B A
B B A A
j t Ts s
j t T j t Ts s s s
R t R t e
R t R t e e
π
π π
τ τ
τ τ
−
− −
=
=
可见基带信号也是循环平稳的。谱相关密度函数和互谱相关密度函数分别为：
* *
1
, ,
1( ) ( )
1( ) ( )
B A
B B A A
s s
Ts s s s
P f P fT
P f P fT
α α
αα +
= +
= +
七、带限信号
定义：实值信号 ( )s t ，如果 Fourier 变换满足条件频谱 BffS >∀= ,0)( 或功率谱
BffPs >∀= ,0)( ，这个实值信号称为带限信号或低通信号。
当然在实际通信系统中，信号频谱在一定带宽之外并不为零，工程上通常认为在一定带宽外较
峰值低若干分贝（一般为 3dB）时，频谱就是零。所以实际信号工程上都可以认为是带限信号。
类似的，如果 Ttts >∀= ,0)( ，称为时限信号（最大时宽为 T）。任何信号都不可能既是时限
的又是带限的。带限信号的相关函数为：
BTkTRR sk
ksxx 2/1,)()()( ≥= ∑∞
−∞=
τφτ
sT 为采样时间间隔， )]2
(2[sin)(BktBctk −= πφ 为基函数。
在数字通信中，有一个带限信道的概念，通常用一个具有等效低通频率响应或传递函数 )( fC 的
线性滤波器作为数学模型。如果发射信号为 ])(Re[)( 2 tfj cetvts π= ，通过带限信道后的接收信号为：
)()()()()(*)()( tndtcvtntctvtrLP +−=+= ∫∞
∞−τττ
其中， )(tn 代表加性噪声，通常是与信号 ( )s t 统计无关的。
八、周期信号的相关函数
在通信系统中，通常需要使用周期信号集合，并要求集合中的子信号满足两个性质：
（1） 各个子信号容易与其自身的时间偏移形式相区别；
（2） 各个子信号容易与集合内其他子信号相区别。
在扩频系统、多用户检测、码分多址等设计中，这两个性质都非常重要。周期信号可以用基本
时限信号序列表示成为：
∑∞
−∞=
−=n
cn nTtxtx )()( φ
其中， )(tφ 为基本脉冲波形； cT 为这个脉冲的时间间隔； )()( Ttxtx += 是周期为 T的周期函数，
T必须是 cT 的整数倍；序列 nx 也必须是周期序列，周期为 cTTN /= 。
考虑两个离散周期序列 )1,,1,0(,, −= Nnyx nn L ，周期自相关函数和周期互相关函数分别
定义为：
∑∑−
=+
−
=+ ==
1
0,
1
0, )(,)(
N
nknnyx
N
nknnxx yxkxxk θθ
§1-3 无线通信信道有关知识
信道是指收发两端之间传输媒体的总称，根据媒体的不同分为有线信道和无线信道两大类。在
无线通信系统中，由基站到移动用户的无线连接称为前向连接或下行连接（downlink）；由移动用户
到基站的无线连接称为后向连接或上行连接（uplink）。电磁波在空间传播有三种方式：发射、绕射
和散射。信道对传输信号的影响也有三种效应：（1）传输损失（路径损失）nd −，表现为在大范围
（数百或数千米）内信号强度随距离变化的特性；（2）阴影衰落 )(dS （地形起伏、建筑物等阻碍
物对电波的阻塞或遮蔽引起的衰落），表现为在中等范围（数百波长）内信号电平的中值的慢变特性，
又称为慢衰落或长期衰落；（3）多径衰落 )(dR （传播环境的多径传输引起的衰落），表现为在小范
围（数个波长或数十个波长）内接收信号场强瞬时值的快变特性，又称为快衰落或短期衰落或
Rayleigh 衰落，此外多径传播还会导致信号在时间、空间和频率上的扩展，对传输信号影响非常明
显。接收信号功率可以表示为 )()()( dRdSddP n−= 。
一、自由空间传播模型
自由空间定义为（1）均匀无损耗的无限大空间；（2）各向同性；（3）电导率为零，相对介电常
数和相对磁导率恒等于 1。在这种理想空间中，电波以真空中的光速传播，不存在电波的发射、折
射、绕射、色散和吸收等现象。自由空间传播模型分为大尺寸传播模型（数百或数千米）和小尺寸
传播模型（几个波长）两种。大尺寸传播模型称为路径损失模型；小尺寸传播模型称为衰落模型。
如果收发端存在一条直视路径，接收天线收到的信号功率与距离之间服从逆平方律扩展或 Friis 方
程，即：
LdGGP
dP rttr 22
2
)4()(
πλ
=
其中， tP 为发射功率； tr GG , 分别为收发天线增益； L为系统损耗因子（ 1≥L ）包括发射衰减、
滤波器损耗、天线损耗等； cc cfc ωπλ /2/ == 为波长；天线增益与有效孔径之间的关系为
2
4λπ eA
G = 。
在移动通信环境中，传输路径通常伴随有表面反射路径，这将严重影响这样、主要路径的传输，
接收功率为
rtnrt
tr GGdhh
PP )( 2=
tr hh , 分别为收发天线有效高度，n为路径损失指数，自由空间为 2；城区为 2.7~3.5；城市阴影区为
3~5；直视楼房为 1.6~1.8；阻塞楼房为 4~6；厂区为 2~3。
由于在自由空间不存在阴影衰落和多经衰落，信道对信号传播只有路径损耗，路径损失 )(dBPL
定 义 为 有 效 发 射 功 率 与 接 收 功 率 之 差 ， 表 示 多 径 传 输 引 起 的 信 号 功 率 扩 展 ，
])4/(log[10)/log(10)( 222 dGGPPdBPL rtrt πλ−== 。
上述自由空间传播模型只适用于天线远场，即 Fraunhofer 区域，Fraunhofer 距离用天线孔径的
最大线性尺寸和载波波长表示， λ/2 2Dd f = 。为了保证远场区域，要求 fd 必须满足
λ>>>> ff dDd , 。
在实际应用中，根据理论分析和经验，无线信道路径损耗可以用下式表示：
n
dddLP )()(
0
∝ ， 0d 为选定的某个参考点。
二、反射、绕射和散射
当电磁波遇到地表、建筑物或者墙壁等大尺寸物体时，将产生反射；如果遇到不规则表面阻塞
时，阻塞表面引起的二次波存在于整个空间，电磁波将绕过阻塞表面传播，这就是绕射；而散射则
是由于粗糙表面、小物体或信道中其他不规则物体引起的。
1、反射
主要描述反射性质的参数是反射系数，与电磁波极化方式、入射角和频率有关。定义为：
φjeRR −= ，其中， R 为反射点上反射波与入射波场强的振幅比；φ为反射波相对于入射波的相
移。两种不同极化方式下，反射系数分别为：
水平极化：it
it
i
r
EER
θηθηθηθη
sinsinsinsin
12
12
+−
==C
垂直极化：ti
ti
i
r
EER
θηθηθηθη
sinsinsinsin
12
12
+−
==⊥
)2,1(/ == iiii εµη 为两种介质的固有阻抗； ti θθ , 分别为入射角和折射角。
如果反射表面为大尺寸的光滑表面时，会产生镜面反射，反射角和入射角相等。此时，反射场
强 ir REE = ，折射场强 it ERE )1( += ，R取决于极化方式。
在移动通信系统中，由于频率较高，可以忽略地波传播因素，通常用二射线地面反射模型等效，
即传播路径只有直射通路和反射通路。这样接收点的总场强为两部分之和。
)](cos[)](cos[),( 0000
cbat
badE
Rcdt
ddE
tdE cc+
−+
+−= ωω
d 为两点的直射距离， ba, 为反射路径两段距离。反射波和直射波的程差近似为：dhh
d rt2=∆ ，
相应的相位差为 d∆=∆λπφ 2
。总的接收场强可以写成： )1(),( )( φφ ∆+−+= jd eREtdE ，接收信号
功率为 rtnrt
tr GGdhh
PP )( 2= 。由此可见，随着距离的变化， φ∆ 要变化，导致信号电平的衰落，反
射系数越接近于 1，衰落越严重。
2、绕射
Huygens 原理：波前的所有点都可以看成是产生二次波的源，所有子波在传播方向上形成一个新的
波前，绕射就是由这些子波引起，绕射波的场强为所有二次波电场分量的向量和。和反射现象分析
一样，直射通路与绕射通路的程差（称为额外路径长度）近似为
21
212
2)(
ddddh +
=∆
其中， h 为平均高度， 21 , dd 为绕射路径两段距离。定义绕射系数（Fresnel 绕射系数）为
21
21 )(2dd
ddh
λν
+= ，这样相位差为
2
2νπφ = 。绕射波场强为：
∫∞ −+
=ν
πdteEjE
tj
d
2
21
021
0E 为不存在反射和绕射的自由空间的场强。
3、散射
粗糙表面、小物体等将形成散射，在通信系统中，由于散射的作用，被反射的能量扩展（弥散）
到各个方向，接收端将得到比只有反射和折射更多的能量。衡量粗糙表面的定量指标是 Rayleigh准
则：表面隆起的临界高度i
chθ
λsin8
= 。对于粗糙表面，反射系数应乘以一个散射损失因子：
−= 2
02 )
sin(8)
sin(8exp
λθπσ
λθπσ
ρ ihihs J
其中 hσ 是表面高度相对于平均表面高度的标准差， ][.0 ⋅J 为第一类零阶 Bessel函数。
在移动通信系统中，远场散射接收功率通常用双站雷达方程（bistatic radar equation）建模。关
于散射的进一步理解参考相关文献。
三、阴影衰落
当电磁波受到阻塞时，在这些阻碍物后面会形成阴影区，移动用户通过不同的阴影区，接收场
强的中值将发生变化，从而形成衰落。阴影衰落的特征通常用对数正态分布的随机变量描述。路径
损失 σXdddLPdPL ++= )/log(10)()( 00 。 σX 为一个零均值的高斯分布的随机变量。
四、多径传输信道模型
在移动通信中，由于反射、绕射和散射始终存在，不可避免会有多径波，由于强度、时延、信
号带宽等因素影响，合成信号强度和相位会发生变化，由此引起的衰落称为多径衰落。引起衰落的
主要原因有电磁波多径传播、移动用户随机移动、信道中物体的相对运动以及发射信号的带宽等。
多径衰落效应主要体现为三种：
（1） 信号强度在很小的空间间隔或时间间隔内快速变化；
（2） 不同路径信号的多普勒频移变化引起随机频率调制；
（3） 多径传播时延扩展。
t t1t 2t 3t 4t 5t
收脉冲序列发脉冲
多径时变信道对窄脉冲的响应
多径传输信道表现为信道的冲激响应是一个随机过程。为了研究信道的实际特性，必须从信道
特性的统计分析入手，建立信道的统计分析模型。假设通过多径信道传输一个窄脉冲，则接收信号
呈现一个窄脉冲序列，如图所示。如果反复多次进行窄脉冲探测实验，则接收脉冲的个数、各脉冲
的幅度、脉冲之间的相对时延都是随机变化的。如果通过不同电波入射角及不同的相对运动速度下
进行正弦信号的探测实验，则可发现接收信号不在是一个单频信号，而呈现信号的谱扩展特性，且
谱扩展特性与电波入射角和相对运动速度密切相关。
设多径传输信道的输入信号为
])(Re[)( 2 tfj cetuts π=
该信号经多径信道传输后的输出信号可表示为
tfjL
ll
tfjl
L
lll
clc ettuetattstatX πτπ ττ 2
0
)(2
0
)]([)(Re)]([)()( ∑∑=
−
=
−⋅=−=
式中， )(tal 是第 l个路径上接收信号的衰减因子， )(tlτ 是第 l个路径上的传输时延，它们将随时间
随机变化。信道的时变冲激响应
])([)(),(0
)(2∑=
− −⋅=L
ll
tfjl ttetatlh lc τδτπ
假设接收机接收的多径信号为无穷多，且各路径之间的时间间隔充分小，则信道为连续多径信
道，其时变响应可表示为
])(),([Re)(),()( 22∫∫∞
∞−
−∞
∞−⋅−⋅=−= tfjf cc edtuetadtstatr πτπ ττττττ
五、衰落信道动态特性
假定 ),( tc τ 为信道在 t 时刻的等效低通冲激响应，t 为电波传播时间（快变时间）、τ为不同路
径传播时延（时延）、ξ为移动用户移动时间（慢变时间），常用的衰落信道动态特性有四个，分别
定义为：
1、时延-时间差相关函数： )],(),([21),( * tctcERc τξτξτ ∆+=∆
2、频率差-时间差相关函数： )],(),([21),( * tfCtffCEfRC ξξ ∆+∆+=∆∆
3、散射函数（时延-多普勒功率谱）： ∫∞
∞−
∆− ∆∆= ξξτντ ξπν deRS jcc
2),(),(
4、频率差-多普勒功率谱： ∫∞
∞−
∆− ∆∆∆=∆ ξξν ξπν defRfS jCC
2),(),(
实际应用中，常用上述二维动态特性函数的一维切片，四个一维动态特性函数分别为：
1、信道的功率时延剖面：0
* ),()],(),([21)(
=∆∆==
ξξττττ cc RtctcER
2、信道的时间差相关函数：0
* ),()],(),([21)(
=∆∆∆=∆+=∆
fCC fRtfCtfCER ξξξ
3、信道的频率差相关函数：0
* ),()],(),([21)(
=∆∆∆=∆+=∆
ξξfRtfCtffCEfR CC
4、信道的多普勒功率谱：0
2 ),()()(=∆
∞
∞−
∆− ∆=∆∆= ∫ fCj
CC fSdeRS νξξν ξπν
在信道描述中，通常采用信道特征参数，信道特征参数与动态特性函数之间的关系以及他们的
物理含义如下：
（1） 信道相干时间 )]([ ξ∆= Ccoh RrmsT ，指信道处于较强相关状态下的时间差范围（缓变
信道相干时间大）。
（2） 信道相干带宽 )]([21 fRrmsB Ccoh ∆=π
，指信道处于较强相关状态下的频率差范围（频
率差大于相干带宽的两个正弦信号受信道影响会不同）。如果发射信号带宽大于相干带
宽，信号会产生严重的畸变，此时信道称为频率选择性的(frequency-selective)，反之称
为频率非选择性的（frequency-nonselective）。
（3） 信道多径扩展(multipath spread) cohc BRrms /1)]([ == τστ ，又称为均方根时延扩展
（rms delay spread）。
（4） 信道多普勒频移 )]([21 νπ cD SEf = ，指物理信道产生的频率偏移。
（5） 信道多普勒扩展 cohcD TSrms /1)]([21
== νπ
σ ，指多普勒功率谱的单边均方根带宽。
（6） 信道最大时延扩展 01max τττ −= −N ，N条路径， 01 ,ττ −N 分别为最大和最小路径时延。
（7） 信道扩展因子（spread factor） DcS σστ= ，用于评价衰落信道质量。 1<<cS ，称为
欠扩展信道，即慢衰落信道； 1≥cS 称为过扩展信道，即快衰落信道。
六、慢衰落和快衰落
实际无线信道的传播路径都包括直射波、地面反射波和散射波，接收到的合成场强为各部分的
矢量和：
]1[1
22
0 ∑=
∆−∆−−−=
M
i
dj
i
dj
rir eeEE λ
πλπ
αα
其中， 0E 为直射波场强； ir αα , 分别为地面反射波和散射波的衰减系数； ddd ii −=∆ ， ddd ri ,,
分别为散射波、地面反射波和直射波的传播距离。
衰落是指接收信号电平的变化，接收信号在时域上的慢速扰动为慢衰落，衰落深度大（移动系
统中，变化范围有 30~40dB）；接收信号在空域上的快速扰动为快衰落。移动信道环境中，任意时刻
t接收的瞬时衰落复信号为
)()()( tjettr ψα=
其中， )()()( ttt sr ααα = 接收信号包络（ )(),( tt sr αα 分别代表快衰落和慢衰落； )(tψ 为相位。
1、 慢衰落，又称为长期衰落（long-term fading），主要由建筑物或自然界特征的阻塞效应引起。近
似服从对数正态分布，其概率密度函数为
≤
>−
−=0,0
0],2
)(logexp[1)( 2
2
x
xxxxp σ
µσπ
x为表示信号电平慢扰动的随机变量，σ 的标准值为 8dB。
2、 快衰落，又称为短期衰落（short-term fading），主要由移动用户附近阻碍物对信号的散射引起。
接收信号包络的概率密度函数为 Rayleigh分布
<
≥−=0,0
0],2
exp[)( 2
2
2
r
rrrrp σσ
2σ 为包络检测前接收信号的时间平均功率，可以计算均值 σ2533.1=m ，均方值22 2)( σ=rE ，
中值 σ177.1=medianr 。
Rayleigh衰落有两个统计量在确定误差控制码和分集方式选择时非常有用，着两个统计量分别
为：
电平穿越速率（LCR: level crossing rate）：接收信号电平的包络穿越某特定电平的速率（单位为
电平穿越个数/秒）。2
2 ρρ −= efN mr ，式中 θλ cos)/(vfm = 为最大多普勒频移， rmsRR /=ρ 为
特定电平 R对局部均方根幅值归一化。
平均衰落持续时间：接收信号低于特定电平的平均时间间隔πρ
τρ
21
2
mfe −
= 。
如果存在直视路径，接收信号包络将服从 Rician分布，相应的概率密度函数为：
<
≥≥+
−=0,0
0,0),(]2
exp[)( 202
22
2
r
ArArJArrrp σσσ
0J 为修正的零阶第一类 Bessel函数。常用 Rician因子刻画这种分布，定义为
)(2
log10 2
2
dBAKσ
= ， −∞=K ，Rician分布退化为 Rayleigh分布； 1>>K ，Rician分布近似为
以均值为中心的高斯分布。
七、选择性衰落
选择性衰落描述接收信号的相位特性，由频域特性、时域特性和空域特性刻画，这些特性分别
与多径信号的多普勒扩展、时延扩展和角度扩展有关。
1、 多普勒扩展（时间选择性衰落）
由相对运动引起的接收信号频率的偏移称为多普勒频移，与移动用户运动速度成正比。假定移
动用户接收远场信源的信号，移动用户以速度 v运动， t∆ 时间内移动距离为 d，远场平面波波达方
向为 θ ，那么相距 d 的两点产生的程差为 θcostvl ∆=∆ ，由程差引起的相位变化为
λθπφ /cos2 tv∆=∆ ，频率的视在变化既多普勒频率为 θλ
φπ
cos21 v
tf D =
∆∆
= 。由此可见多普勒
频率与移动用户运动速度和波达方向有关。
多普勒扩展（Doppler spread）是一种由多普勒频移现象引起的衰落过程的频率扩散（frequency
dispersion），称为时间选择性衰落（time selective fading）。
如果散射体在空间均匀分布，接收信号功率谱为（又称为经典谱）
mcmcm
c
m
ffffff
fff
fS +<<−−
−= 2/12 ])(1[23)(πσ
其中， λ/vfm = 为最大多普勒频移， cf 为载波频率，σ 为各向同性天线接收到的平均信号功率。
多普勒扩展的物理意义是：由于多普勒现象使得发射信号频谱在接收端被展宽。通常用信道的
相干时间来定量描述多普勒扩展。相干时间定义为两个时刻信道冲激响应处于强相关条件下的最大
时间间隔。
cmcoh vfcfT //1 ==
相干时间是信道随时间变化快慢的一个测度，所以从衰落角度讲，多普勒扩展引起的衰落与时
间有关，故称为时间选择性衰落。根据衰落变化的快慢，又分为快衰落和慢衰落，如果基带信号带
宽较多普勒扩展大得多，时间选择性衰落可以忽略不计，此时就是慢衰落。
2、 时延扩展（频率选择性衰落）
在多径信道中，由于各个信道的时延不同，将造成接收信号时域上波形的展宽，称为时延扩展
（delay spread）。一般地，接收信号为各个散射信号之和。
∑=
−=M
iibir ttsats
1))(()( τ
iia τ, 分别为各条路径的衰减系数和相对传输时延。平均多径时延和时延扩展定义为：
ττ −=∆= ∫∫∞∞
0
2
0)(;)( dttEtdtttE
时延扩展引起频率选择性衰落，通常用信道的相干带宽来定量描述时延扩展。相干带宽定义为两个
频率处信道的频率响应保持强相关条件下的最大频率差。
∆= π2/1cohB
如果信道在比发射信号带宽大得多得频带内具有不变增益和线性相位响应，那么接收信号的频
率选择性衰落为平坦衰落（flat fading）。此时信道的多径效应可以使得发射信号的谱特性在接收端
保持不变，但由于信道增益的扰动，接收信号强度仍会随时间变化。平坦衰落信道又称为幅度变化
信道或窄带信道。
频率选择性衰落信道会使发射码元在信道内产生时间扩散，从而引起码间干扰，从频域看，接
收信号频谱中的某个频率分量增益比其他分量大，使得接收信号产生畸变。
3、 角度扩展（空间选择性衰落）
角度扩展主要是针对阵列天线系统来讲的，在收发端都可能存在。接收端的角度扩展是指多径
信号到达天线系统的角度展宽；发射端的角度扩展是指多径的反射和散射引起的发射角度展宽。信
号能量主要集中在扩展角度范围内，角度扩展引起空间选择性衰落（space selective fading），通常用
信道的相干距离来定量描述角度扩展。相干距离定义为两个阵元上信道响应保持强相关的最大空间
距离。相干距离越大，角度扩展越小。在不同空间位置，角度扩展不同，室内环境为 360度；城市
环境 20度；农村环境 1度。
八、码间干扰和同道干扰
前面讲过，码间干扰是由信道畸变引起的，同道干扰是由频率复用引起的。这两类干扰与选择
性衰落关系密切。
1、码间干扰
实际通信系统总是带限的，通常用一个带限线性滤波器描述，其信道特性对应的频响为
)()()( fjefAfC θ=
其中， )(),( ffA θ 分别为幅频特性和相频特性。相位响应有时用包络延迟或群延迟表示。
dffdf )(
21)( θπ
τ −= 。在前面我们定义了理想信道和畸变信道。
理想信道：在发射信道带宽内，幅频特性 )( fA 为常数，相频特性 )( fθ 是频率的线性函数，或
者群延迟 )( fτ 为常数。
畸变信道：在发射信道带宽内，幅频特性 )( fA 和/或相频特性 )( fθ 不是常数，如果幅频特性
)( fA 不是常数，称为幅度畸变信道；如果相频特性 )( fθ 不是常数，称为时延畸变信道。
脉冲幅度调制信号通过时延畸变信道，接收端就会产生扩散或重叠，此时脉冲串相互干扰，无
法正确区分脉冲峰值，这就是码间干扰。数学描述过程为：
发射信号表达式： ∑∞
=
−=0
)()(n
Tn nTtgIts ，经过特性为 )( fC 的畸变信道后的信号形式为
)()()(0
twnTthItrn
n +−= ∑∞
=
， 再 经 过 与 )(th 匹 配 的 接 收 滤 波 器 后 的 响 应 为 ：
)()()(0
tvnTtxItyn
n +−= ∑∞
=
，在 kT 时刻采样得到：
L,1,0,0
=++= ∑∞
≠=− kvxIIy k
knnknnkk
式中， kI 为期望信号，第二项就是码间干扰。
2、同道干扰
在有功率控制的蜂窝系统中，同道干扰主要取决于蜂窝半径以及与最近同信道中心之间距离。
假定期望信号和干扰信号的表达式分别为：
])([)]([ 0)(,)( φφωφω +++ == ttjttj icc retiets
其中 )(),( tt iφφ 分别为相位调制分量， 0φ 为相位差， r为干扰信号与期望信号幅度比， 2r 为干扰载
波比。合成信号为
)]()([)()()( tttj cAetitstv ψφω ++=+=
A为不变幅度， ∑∞
=
+ +−−=1
01 ])()(sin[1)1()(
ki
kk ttrk
t φφφψ 为相位干扰。
3、邻道干扰
邻道干扰是指相邻信道信号之间的干扰，分为带内和带外邻道干扰。带内干扰指干扰信号频带
中心位于期望信号带宽内，邻道干扰主要考虑带内干扰的影响。假定期望信号和干扰信号的表达式
分别为：
])()[()]([ 0)(,)( φφωωφω ++++ == ttjttj iacc retiets
利用数学推导可得：相位干扰 ∑∞
=
+ +−+−=1
01 ])()(sin[1)1()(
kia
kk tttrk
t φφφωψ 。
如前所说，解决码间干扰的方法是信道均衡，通道干扰抑制采用多用户检测技术，通信信号处
理的核心问题就是均衡和多用户检测。
九、信号模型
针对蜂窝移动通信环境，移动用户用单天线，基站用多天线，构成四种信道结构：
1、反向连接 SU-SIMO（单用户单输入－多输出信道结构）信道模型：
基站第 i个阵元的接收信号为 ： )()()()()(1
tntutatx i
L
ll
Rllii +−= ∑
=
ταθ ，其中，L为多径数目；
lRlli tuta ταθ ),(),(),( 分别为第 i个阵元对第 l条路径的响应（来波方向为 lθ ），路径衰落（复值），
发射信号和路径时延。， )(tni 为加性噪声。
2、反向连接MU-SIMO（多用户单输入－多输出信道结构）信道模型：
多个移动用户各自发射信号，基站用天线阵列接收并分离，在这种模型中，基站接收信号为 K
个移动用户发射信号的合成：
)()()()()(1 1
ttuttK
i
L
jjii
Rjiji nax +−= ∑∑
= =
ταθ
其中， )( jiθa 为第 i个移动用户相对于达波方向为 jθ 的路径的阵列导向向量。
3、前向连接 SU-MISO（单用户多输入－单输出信道结构）信号模型：
基站用阵列天线发射信号给单个用户，因为阵列天线具有方向性，通过加权处理（空域处理）
实现波束形成，移动用户接收信号为
)()()()()(1
tntuttxL
ii
Fii
H +−= ∑=
ταθaw
在 TDD系统中， )()( tt Fi
Ri αα = ；在 FDD系统中， )(),( tt F
iRi αα 具有相同的统计量，但一般不相
关，w为加权向量。
4、前向连接MU-MISO（多用户多输入－单输出信道结构）信号模型：
第 k个移动用户接收信号为：
)()()()()(11
tntuttx k
L
jjki
Fjkjk
K
i
Hik
k
+−= ∑∑==
ταθaw
K个不同用户的信号通过加权后发射，加权处理的主要作用是保证将期望信号发送给相应的用
户，并且对其他用户的影响最小。
第二章 分集接收和最佳接收系统
衡量通信系统性能的主要指标有两个：一个是有效性，尽可能快的传输信息；另一个是可靠性，
尽可能保证所传输的信息没有差错。由于移动无线通信信道是非平稳的，具有明显的时变特征，衰
落和扩展必然对可靠性造成负面影响。为了改善移动环境上下行链路的性能，必须对接收信号进行
处理，处理方法通常有三种：均衡、分集和信道编码。均衡是为了克服时间弥散影响（码间干扰），
分集是为了减小平坦衰落信道中衰落深度和衰落持续时间的影响，信道编码是为了对数据进行差错
检测和控制。
§2-1 分集接收
分集接收是指对信号进行不同的接收，通过选择多条信号传输路径，改善接收端瞬时信噪比和
平均信噪比。分集（diversity）是一种有效的通信接收方式，突出优点是低投入、高性能由于多径信
号是相关信号甚至是相干信号，分集技术的主要任务就是如何将这种多径信号变成互不相干信号，
分集处理不同于信道均衡，无需训练信号就可以实现信号分离。衰落分为大尺寸衰落和小尺寸衰落，
相应的分集有微分集技术 (microscopic diversity techniques)和宏分集技术 (macroscopic diversity
techniques)。
一、空间分集
空间分集（space diversity）也就是天线分集（antenna diversity），通过天线阵列实现信号分集。
空间分集接收信号的方法分为（1）选择分集；（2）反馈分集；（3）最大合并比分集；（4）等增益合
并比分集。在移动通信系统中，移动用户考虑用一个天线，基站才用天线阵列，而且要求各个阵元
之间距离足够大，以保证各个阵元输出信号的衰落特性相互独立，一般地， 2/λ≥d 。
1、选择分集
开 关
逻 辑
电 路
和 解
调器
可调增益
G1
可调增益
Gm
输出
分集系统由 m个分集之路组成，调节每条之路的增益，使其具有相同的平均信噪比，(S+N)/N 为最
大的支路被选中作为输出。假定有 M 个 Rayleigh 信道，各个支路地平均信噪比相同 Γ=SNR ，各
条支路瞬时信噪比的概率分布函数为：
0,1)( / ≥Γ
= Γ−ii
iep γγ γ
单个支路具有小于某个阈值γ 的概率： Γ−−=≤ /1)( γγγ eP i ；
所有支路均小于某个阈值γ 的联合概率： MMM ePP )1(),,,()( /
21Γ−−=≤= γγγγγγ L ；
至少有一条支路超过某个阈值γ 的概率： MiM eP )1(1)( / Γ−−−=> γγγ 。
2、反馈分集
又称为扫描分集，原理是：对M个信号按照固定顺序扫描，直到发现某个信号高于预定值，才
接收信号，如果被接收的信号低于阈值时，停止接收，再次启动扫描过程。优点是只需要一台接收
机，结构简单，成本低。
3、最大合并比分集
各条支路信号在求和之前先同相化，即根据各自的信噪比进行加权，此时系统输出信噪比等于
各条支路信噪比之和，优点是即使没有一条支路的信噪比满足要求，也能得到较高输出信噪比，缺
点是每个阵元都要有单独的接收机和相位调整电路，结构复杂。
4、等增益合并分集
各条支路接收信号增益均为 1，但要做相位调整，使其同相化。通过求和，保证即使没有一条
支路满足要求，也能得到可接受的输出信噪比，优点是结构可以简化，性能不会太差，比选择分集
好，但比最大合并比分集差。
输出
同
相
化
与
求
和
检测器
二、极化分集
不同的移动用户发射信号采用不同的极化方式，目的是减小多径时延扩展，降低成本。假定基
站采用两个阵元的极化分集天线，极化角为 α± ，移动用户多径方向与天线主波束方向的夹角为 β ，
那么天线阵元接收信号为：
tbatbavtbatbavωφγφγωφγφγ
ωφγφγωφγφγsin)sinsin(cos)coscos(
sin)sinsin(cos)coscos(
221122112
221122111
−++−=+−+=
其中 βαβα sincos,cossin == ba ， 21 ,φφ 分别为信号到达两阵元的初相位，服从独立的均匀分
布，信号电平 21 ,γγ 服从独立的 Rayleigh分布。
三、频率分集
根据不同频率信号产生不同多径结构和独立衰落的特点构成频率分集（又称为路径分集）。在
TDMA 系统中，如果多径时延扩展与码元间隔相当，用均衡器实现频率分集；在 GSM 系统中，用
调频实现频率分集；在 DS/CDMA系统中，用 RAKE接收实现频率分集。优点是阵元数可以减少，
但占用频率资源多，且发射端需要多部发射机。
四、时间分集
基于对随机衰落信号采样，相距足够远的两点（大于相干时间）互不相关的原理提出这种分集
技术。在时间分集系统中，以大于相干时间的间隔重复发送同一信号，这些重复信号以独立的衰落
条件被接收，从而实现分集。由于相干时间与移动用户运动速度成反比，如果移动用户静止，时间
分集不起作用。
五、角度分集
接收端使用方向天线，不同接收方向对准不同多径来波，这样每个方向天线接收信号互不相关，
从而实现分集。
§2-2 相关接收机
在二进制通信系统中，接收信号处理问题在数学上归结为一个二元假设检验问题：
bTttntstrHtntstrH
≤≤
+=+=
0)()()(:)()()(:
11
00
设计最佳接收机意味着使接收系统总的错误概率为最小
)()()()( 110001 HPHDPHPHDPPe +=
)( 01 HDP 为假定 0H 为真、检测结果为 1H 的错误概率，称为第一类错误概率，又称为虚警概率；
)( 10 HDP 为假定 1H 为真、检测结果为 0H 的错误概率，称为第二类错误概率，又称为漏警概率。
假设检验的主要任务就是设计一组判决准则（decision rules）将观测空间映射到假设检验的集合，即
将观测空间划分成为若干个判决区，每个判决区对应一个不同的假设检验。
一、数学基础
最佳接收原理的数学基础是 Karhunen-Loeve展开，即用一组确定的基函数对随机变量作级数展
开。设 )(tiφ 为基函数， )(tr 为定义在 ],0[ T 的零均值随机过程，K-L展开为
∑∞
=
=1
)()(i
ii trtr φ
其中 K-L展开系数 ∫=T
ii dtttrr0
)()( φ 是与确定性基函数 )(tiφ 互不相关的随机变量。上式等价为：
TttrtrEi
iiN<<=−∑
∞
=∞→
0,0])()([lim 2
1φ
应用 K-L展开，上述二元假设检验问题归结为：
b
T
T
T
T
Tt
tntn
dttst
dttstH
tntn
dttst
dttstH
≤≤
+
=
+
=
∫∫∫∫
0
)()(
)()(
)()(:
)()(
)()(
)()(:
2
1
0 12
0 111
2
1
0 02
0 010
φ
φ
φ
φ
R
R
)(),( 21 tntn 为相互独立的高斯随机变量，均值为 0，方差为 2/0N 。
二、相关接收机
根据检测理论，最小错误概率准则等价于最大后验概率准则
)]([maxarg rR == iHi HPHi
r为观测数据向量，最佳检测由似然比检测给出：
01
0
0
1
11
0
0
1
)()(
)(
)()(
)(
HHPHP
L
HHPHP
L
判决为
判决为
⇒<=
⇒>=
ππ
ππ
RR
R
RR
R， iπ 为 iH 为真时的先验概率。在高斯白噪声条件下，最佳
接收机的结构应满足：
01
00010 01
11
00010 01
ln2
)(21)]()()[(
ln2
)(21)]()()[(
HN
EEdttststr
HN
EEdttststr
T
T
判决为
判决为
⇒<−−−
⇒>−−−
∫
∫
ππππ
， 01 , EE 为信号能量。用这个公式
设计的最佳接收机结构如图所示。这种接收机称为相关接收机。此外还有一种基于匹配滤波器的概
念设计的最佳接收机，如图所示。
三、相关接收系统模型
假定信号码元宽度为 T，接收信号为 )()()( twtvtr += ，相关器输出的相关值为：
∫∫∫ +±==TTT
m dttwtvdttvdttvtrr00
2
0)()()()()( ，离散时间模型为：
mmm wEbr += ，其中 ∫=T
dttvE0
2 )( 为脉冲能量， )(][,)()( 2
0lwwEdttwtvw lmm
T
m δσ== +∫ 为零
均值加性高斯白噪声， 1,1 +−=mb 代表发射的数字信号序列。此时检测变量是一个均值为 Ebm ，
方差为2σ 的随机变量，检测性能由平均错误概率度量，即由 σ/E 决定。在实际系统中，通常用多
个码片（N个）（chip）表示一个信息比特，此时检测变量为 ∑∑−
=
−
=
+=+=1
0
1
0)(
N
nnc
N
nnc wbNEwbEy ，
输出 ib 观测信号 r(t)
∫ ⋅T
odt)( 阈 值
比 较
s1(t)-s0(t) (E1-E0)/2
输出 ib 观测信号 r(t) 阈 值比 较
(E1-E0)/2
匹配滤
波 器
t=T
NEEc /= ，方差 NwD n /][ 2σ= ，检测性能仍然由 σ/E 决定。
§2-3 匹配滤波接收机
§2-4 RAKE接收机
RAKE 接收机的原理是采用一组相关接收机，每条路径使用一个相关接收机，各个接收机与同
一期望信号的多径份量之一相关，根据各个相关输出的相对强度加权后相加合成一个输出，加权系
数的选择原则是使输出信噪比最大。
假定有 L个相关器，每个相关器与其中一个多径分量同步，即强相关，而与其它多径分量弱相
关，各个相关器输出分别被加权后相加，总的输出信号为： ∑=
=L
iii trtctr
1)()()( ，加权系数根据对应
信号能量在总能量中所占比例确定 ∑=
=L
iiii trtrtc
1
22 )(/)()( ，即加权系数是自适应可调的。当某个相
关器被衰落污染时，输出能量减小，对应的加权系数取小，对总输出的作用减小，从而克服衰落影
响，改善系统接收质量。
一、抽头延迟线信道模型
无线信道的传输时延扩展将产生多径效应，在相关接收系统中，如果各个多径分量的时延比码
片间隔大，这些多径分量表现为不相关。利用这个重要特点，相关接收机中将各个时延形式的多径
分量综合起来可以改善接收系统的信噪比 RAKE接收机就是通过对每个多径分量相关接收，收集发
射信号的所有多径分量所携带的有用信息。
RAKE 接收机是以时延扩展即频率选择性衰落信道为基础设计的，频率选择性衰落信道通常采
用抽头延迟线模型。假定多径分量都是带限的，频带宽度为W,第 l个多径信号可以表示为：
∑∞
−∞= −−
=n
ll WntWWntWWnsts)/(
)]/(sin[)/()(ππ
其 fourier变换形式为：
>
≤= ∑
∞
−∞=
−
2/,0
2/,)/(1)(
/2
Wf
WfeWnsWfS n
Wfnjl
l
π
来自频率选择性衰落信道的第 l条路径的无噪接收信号为：
∑
∑
∑
∫
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
−=
−=
−=
=
nln
nl
nl
ftjll
Wntstc
tWncWntsW
tWntcWnsW
dfefStfCtr
)/()(
),/()/(1
),/()/(1
)(),()( 2π
上式说明时变的频率选择性衰落信道可以用一组抽头延迟线表示，抽头间隔为 W/1 ，抽头权系数为
)(tcn 。假定总的延迟扩展为 mT ，抽头数为 [ ] 1+= WTL m 。在 Rayleigh分布情况下，抽头系数的幅
值服从 Rayleigh分布，相位服从均匀分布，由此获得抽头延迟线模型如图所示。
二、RAKE接收系统的设计
上述抽头延迟线模型是对于一条路径多径信号的等效接收，每个抽头提供的是发射信号的一个
复制。为了设计 RAKE接收系统，仍然针对第 l个多径信号来分析。接收信号为
∑=
+−=L
nlnl tnWntstctr
1)()/()()(
假定在 L个抽头信号中存在两个信号 )(),( 21 tsts ll ，二者要么是反极性的，要么是正交的，信号
持续时间 maxTT >> （ maxT 为各条路径与参考路径之间的最大相对时延）。此时由于信号带宽超过信
道相干带宽，由多径引起的码间干扰可以忽略不计。相干检测的判决变量为：
RAKE 接收机的一种实现方案如图所示，接收信号通过一个抽头延迟线，每一个抽头的信号与
)2,1()( * =mstc lmn 相关。由此可知，这种形式的 RAKE接收机试图收集来自所有接收路径的信号能
量，所有路径都在抽头延迟线覆盖的范围内并携带有相同信息，其作用类似于草耙，这就是 RAKE
接收机的来历（由 Price和 Green在 1958年首次提出）。
rl(t) n(t)
sl(t)
c1(t)
1/W 1/W
cL-1(t)
1/W 1/W
cL(t) c2(t)
RAKE 接收机的形式有很多种，根据不同的二进制调制方式和信号特性进行选择，感兴趣可以
参考 John Proakis编写的 Digital Communication(Third Edition)Chapter14相关内容。
第三章 自适应均衡技术
§3-1 综 述
综述：1965年 Lucky率先开展数字通信的自适应均衡技术研究，针对电话信道，他的算法基于
峰值失真准则，得到了迫零算法。作为数字通信领域一项重大成果，五年之后促进了高速调制解调
技术的迅速发展。与此同时，1966年Widrow设计出了 LMS算法，1969年在 Proakis和Miller的指
导性论文中描述并分析了 LMS算法在复值信号（即具有同相分量和正交分量的信号形式）自适应均
衡方面的应用。1975年 Proakis总结完成了在 1965～1975年间的研究成果，发表了一篇有重要价值
的论文，将自适应均衡技术推进到一个新的高度。在 Lucky研究成果的基础上，1976年 Ungerboeck
提出了网格编码调制技术，进一步促成了可商用的高速调制解调器的研制成功，这种调制解调器能
在电话信道上实现 9600～28800bits/s 的传输能力。1974 年 Godard 还提出了一种在自适应均衡方面
应用具有更快速收敛的算法，随后我们要介绍的递归 RLS 或 Kalman 滤波算法由 Picinbono 在 1978
年推导出的，70 年代～80 年代，世界上许多学者专家从各个不同角度分别对 RLS 算法进行了改进
和完善。与此同时，另外一类自适应均衡算法——盲均衡技术也受到关注，盲均衡的最初研究成果
由 Sato在 1975年提出并应用到 PAM通信系统中，随后 Godard等人将这种算法推广应用到二维以
及多维信号星座上。基于接收信号二阶和高阶矩应用的盲均衡技术最早由Nikias在1991年提出，Tong
在 1994年加以改进，而用于联合信道估计和数据检测的最大似然准则最早由Weber等人提出，目前
的研究热点集中在随机梯度盲均衡算法的收敛特性以及高速时变信道均衡应用等方面。
均衡意味着可以隐含或明显地预测信道的冲激响应，然后根据预测来补偿信道失真以改善传输
线路的性能，比如在是不变频率选择性信道中，应用迫零线性均衡器，通过调整传递函数可以补偿
通信信道的幅度和相位失真。
在设计高速数传系统解调器时，由于信道频率响应未知，为了减小码间干扰，解调器应该部分
做成自适应。具体讲，为了使解调器能够控制码间干扰，在滤波器或信号变换运算中应含有一些能
根据实际信道特性测量结果而自适应调整的参数，分别称这种滤波器为自适应滤波器，信号变换运
算为自适应均衡算法。
为了这个目的，我们考虑移动通信信道。根据前面的介绍，由于空间环境复杂，移动信道还是
为带限信道，可以用一个等效低通滤波器表示，即频率响应为：
)()()( fjefAfC θ=
其中 )( fA 称为幅频特性， )( fθ 称为相频特性，有时又用包络延迟（envelop delay）或群延迟（group
delay）来表示相频特性。
dffdf )(
21)( θπ
τ −=
如果一个信号 ])(Re[)( 2 tfj cetuts π= ，通过这个带限信道传输后，等效低通接收信号将为：
)()()()( tndtcutr +−= ∫∞
∞−τττ
如果信道带宽限定为WHz，即当 Wf > 时，C(f)=0，这样信号频谱 U(f)中任何高于 Wf = 的频率
分量不能通过传输信道，为此也必须将传输信号带宽限定在WHz。
由于非理想信道的频率响应会导致幅频特性和传输时延失真，当码速率能与信道带宽相比拟的
连续脉冲通过信道传输时，将不再能清晰地判别接收脉冲地边缘，他们会相互重叠，脉冲的峰值也
无法辨别，即出现码间干扰，如图所示。由此可知，信道的时延失真导致了码间干扰。为了保证接
收信号的频谱特性与发端基本一致，就应在解调器中用滤波器或均衡器对信道的非理想频响特性进
行补偿。
实际移动信道总是存在某种形式的时间弥散，比如短波电离层信道和对流层散射信道等。在这
些信道中，时间弥散和不同时延的多经传输路径就会造成码间干扰。而多径的数量和多径之间的相
对时延一般是随时间变化的，因此这些信道通常称为多径时变信道。时变和多径会引起频率响应特
性在很大范围变化。可见在移动通信信道中，码间干扰显得非常严重，均衡器或滤波器必须做成自
适应的。
§3-2 自适应滤波算法
一、Kalman滤波(递推最小二乘 RLS)算法
卡尔曼滤波是现代控制理论关于状态参数估计的有效方法之一，它是Wiener滤波的发展。他具
备与 Wiener 滤波同样的效果，但存储量却比 Wiener 滤波小的多。如果动态系统数学建模准确，用
常规卡尔曼滤波对系统进行状态估计可以得到最小方差无偏估计值。动态系统的数学模型包括状态
方程和观测方程，离散形式为：
)1()1()1()1(
)(),1()(),1()1(++++=++Γ++Φ=+kkkk
kkkkkkkVXHZ
WXX
其中， xmR∈X 为状态向量， ymR∈Y 为观测向量， wmR∈W 为动态噪声， vmR∈V 为观测噪声，
yx mmR ×∈Φ 为状态转移矩阵， wx mmR ×∈Γ 为干扰输入矩阵， xy mmR ×∈H 为观测矩阵。关于系统的
随机性，假定动态噪声 0),( ≥kkW 和观测噪声 0),1( ≥+ kkV 为互不相关的零均值高斯白噪声，
初始状态 )0(X 为 xm 维的高斯随机向量，且
0,,0)(),()()]()([ ≥∀≥= jkkjkkjkE T QQWW δ
0,,0)1(),()1()]1()1([ ≥∀>++=++ jkkjkkjkE T RRVV δ
)0()0(var),0()0( PXXX ==E
0,0)]1()([ ≥∀=+ jkjkE TVW
00)]1()0([,0)]()0([ ≥∀=+= kkEkE TT VXWX
Kalman 认为，动态系统（3-1）式可以构造一个以观测序列为输入的线性结构系统，用以估计系统的状态。基于滤波估值是最小方差无偏估计准则得到滤波估值算法。
（1）滤波方程： )]/1(ˆ)1()[1()/1(ˆ)1(ˆ kkkkkkk +−++++=+ YYKXX
（2）预测方程：)/1(ˆ)1()/1(ˆ
)(ˆ),1()/1(ˆ
kkkkk
kkkkk
++=+
+Φ=+
XHY
XX
（3）增益矩阵： 1)]1()1()/1()1([)1()/1()1( −+++++⋅++=+ kkkkkkkkk TT RHPHHPK
（4）预测误差协方差阵： ),1()(),1(),1()(),1()/1( kkkkkkkkkkkk TT +Γ+Γ++Φ+Φ=+ QPP
（5）滤波误差协方差阵： )/1()]1()1([)1( kkkkkxm +++−=+ PHKIP
（6）初值： )0(var)0(),0()0()0(ˆ XPXXX === E
二、LMS自适应算法
对于 FIR 横向滤波器 )()1()(1
ninxwny TM
ii xw=+−= ∑
=
，使用最小均方误差（LMS）作为代价
函 数 ])()([)(2
nnyEJ T xww −= ， 在 最 小 均 方 误 差 意 义 下 的 最 佳 权 向 量
rRww 1)(minarg −== Jopt ，其中 )]()([)],()([ nynErnnE T xxxR == 。
动态系统中，加权向量应该根据观测信息自适应调整，应用最广的是下降算法，即
)()()1()( nnnn vww µ+−= ， )(nµ 为更新步长， )(nv 为更新方向向量。
1、 基本 LMS 算法：又称为最陡下降法，更新方向向量为 n-1 次迭代代价函数的负梯度，
)]1([)( −∇= nJn wv ，为了简化梯度计算量，通常用估计值 )()(2)(ˆ nnen xv = ，其中误差信号
定义为期望输出与滤波器实际输出之间的误差 )()1()()( nnndne T xw −−= 。如果期望信号未
知，也可以用 )(ny 代替 )(nd 。根据更新步长的不同又分为三种情况：
（1） tconsn tan)( =µ 为基本 LMS算法；
（2） 0),2,0(,)()(
)( ≥∈+
= βαβ
αµnn
n T xx为归一化 LMS算法；
（3） )1,0(,/20),()1()(,)(
)( 2222 ∈<<+−== λαλσσ
σαµ Mnenn
nn xx
x
为功率归一化 LMS算法，
λ为遗忘因子，M 为加权向量维数。基本 LMS算法是由 Windrow在 60年代初提出的。
2、 时域解相关 LMS算法：上述 LMS算法收敛速度慢，而解相关可以显著加快收敛速度。定义 )(nx 和
)1( −nx 在 n 时 刻 的 相 关 系 数)1()1(
)()()(−−
=nnnnna T
T
xxxx
， 更 新 方 向 向 量 为
)1()()()( −−= nnann xxv ，更新步长 )()(/)()( nnnen T vxρµ = ， 10 << ρ 为修正因子。此
法是 Doherty在 1997年提出的。
3、 变换域解相关 LMS 算法：通过对输入数据进行酉变换，在不增加计算复杂度的前提下，提高收
敛速度。首先给定一个酉变换矩阵 ISS β=H， )()( nn Sxu = ； )()1(ˆ)()( nnnyne H uw −−= ；
)()()()1(ˆ)(ˆ nennnn uww µ+−= 。
§3－3 自适应均衡算法
自适应均衡与传统概念均衡的主要区别在于算法对期望响应是“盲”的，所以又称为盲均衡。
这种算法在自适应过程中通过一个非线性变换产生期望响应的估计，根据非线性变换位置的不同，
分为三类：（1）Bussgang算法，非线性变换在均衡器输出端；（2）循环统计量算法，非线性变换在
均衡器输入端；（3）非线性均衡器算法，非线性在均衡滤波器内部（如神经网络等）。由于时间关系，
本课程只介绍 Bussgang自适应均衡算法。
含有均衡功能的接收系统如图所示。其中信道包括收发部分的滤波器以及空间传播媒体，其时
变冲激响应序列 nh 未知。信道输出信号形式为：
L,2,1,0),()()()()( ±±=+∗=+−= ∑∞
−∞=
nnnnshnnknshnr nk
k
为了保证无噪信道输出 )()( nshnu n ∗= 方差不变，通常采用自动增益控制技术，使得 12 =∑∞
−∞=kkh 。
令 iw 为一个理想逆滤波器的冲激响应序列，他与信道冲激响应序列 nh 之间满足逆关系，即
ni
inihw δ=∑∞
−∞=−
这样，在发射信号通过信道传输后，首先接入这个逆滤波器，其输出为（先不考虑噪声因素）：
)()()()( nslnshwlnsinrwl
li
ilili
i =−=−=− ∑∑∑∑∞
−∞=
∞
−∞=−
∞
−∞=
∞
−∞=
δ 。
在实际应用中，理想逆滤波器 iw 通常采用长度为 2L+1的有限抽头，这样滤波器输出为
∑−=
−=L
Lii inswny )(ˆ)(
这就是众所周知的用横向滤波器实现逆滤波器的形式。由于逆滤波器截断，必然会带来残余码间干
扰，进一步分析可知： )()()( nvnsny += ，其中 Liwinsnwnwnv ii
ii >∀=−−= ∑∞
−∞=
0ˆ),()]()(ˆ[)( 称
为卷积噪声，也就是残余码间干扰。以此作为误差信号去调节逆滤波器就得到盲自适应均衡器。
)(ˆ ns r(n) s(n) 信道 hn 盲均衡器
由于期望信号未知，在 LMS自适应算法中，用 )(ˆ ns 代替期望信号，其迭代公式为：
))(()(ˆ),(ˆ)()(),()()1(ˆ)(ˆ nygnsnsnyneneinrnwnw ii =−=−−−= µ
为了获得理想均衡效果，要求非线性估计器满足 ))](()([)]()([ knygnyEknynyE +=+ ，这就
是 Bussgang均衡算法。Bussgang均衡算法有三个非常有名的特例：
1、 针对二进制等概数据序列，选择 ))(sgn())(( nynyg = ，称为决策指示算法；
2、 针对多进制 PAM系统，选择 )]([/)]([)),(sgn())(( 2 nsEnsEnynyg == γγ ，称为 Sato算法；
3、 针对恒包络特性的系统，选择 ])()()([)()())(( 121 −− −+= pp
p nynyRnynynynyg ，其中
])([/])([ 2 ppp nsEnsER = ，称为 Godard算法。
一、循环统计量算法
对于同样的数字通信系统，先不考虑噪声因素，假定发射数据 )(ns 的码元间隔为 T，用这个发
射数据去调制确定的周期序列 )()( Pnpnp += ，在接收端，用采样间隔为 )1(/ >=∆ LLPt 进行采
样，这种采样方式获得的采样信号称为过采样信号。那么 )()()()(0
nvinwihnyL
i+−= ∑
=
，
)()()( inpinsinw −−=− ，序列 )( nw 的相关函数是周期函数，因此 )(nw 是循环平稳的
)()(),(),( 22 τδσττ sww npPnRnR =+= 。接收信号的自相关函数为：
)()()()(),( *22 ττστ nk
sy RkhkhknpnR ++−= ∑∞
−∞=
由于 )()( Pnpnp += 是周期序列，基本周期为 P，所以 ),(),( ττ PnRnR yy += 为循环平稳的，那
e(t)
)(ˆ ns y(t)r(t) )(ˆ nwi 非线性估计器 g(.)
LMS算法
么在循环频率集 1,,1,0,/2 −−= PkPkk Lπα 范围内存在一个离散 Fourier级数展开：
∑−
=
=1
0)(),(
P
k
njyy
kk eRnR αα ττ
其 中 循 环 相 关 函 数 )()()()()()( *2
2kn
k
kjksy RekhkhPR kk αδτταστ αα ++= ∑
∞
−∞=
−，
∑−
=
−=1
0
22 )()(
P
k
kjk
kekpP αα ，相应的循环功率谱 )()()()( *2
2 zeHzHPzP kk jksy
αα ασ=
如果发射数字序列是独立同分布的随机变量， )( 2* jkssE sjk −= δσ ，分析表明，接收信号采
样值的自相关函数具有循环平稳性， ),(),( ττ TnRnR yy += ，循环周期为 T。
为了完成信道估计，选择周期序列 )(np 有足够长的周期，并且使得 ),[,0)( PMnnp ∈= ，其
中 M为 1～P之间的任一整数，要求 LMP ≥− 。
根据 ),( τnRy 解算出 ),0()]0()0([)( 122 τστ ys Rhph −= ，而相关函数通过对有限个观测数据取
相关运算得到估计值，设 1)0( =h 就可以求出所有信道系数 )(,),1( Lhh L ，有了信道系数的估计就
可以进行均衡运算了。但这种算法要应用于实际，还有许多问题需要解决，比如性能分析、渐进最
优算法、最佳周期序列等。
),0()]0()0([)( 1*22 τστ ys Rhph −=
yL-1(n)
y1(n)
y0(n)
sk
v0(n)
h0(n)
v1(n)
h1(n)
vL-1(n)
hL-1(n
第四章 通信中的 DBF
在通信和雷达领域，自适应信号处理主要是指阵列信号处理。其主要应用包括信源定位、信源
分离以及信道估计等，研究的具体内容有波束形成技术、零点形成技术以及空间谱估计等。阵列信
号处理的基本思想是利用极化各异或空间分离的多个接收天线收集信号能量以提高分集接收效果，
抑制多径传输引起的衰落，扩大基站覆盖范围，改善通信质量。为了系统学习自适应信号处理的原
理和方法，首先建立其统计模型。
§4－1 统计模型
假定无线信道中传输的是窄带信号，天线接收到的信号为 ])(Re[)( 2 tfj cetzts π= ，其中 )(tz 为接
收信号复包络。考虑有一个小的延迟τ ，上述信号经过延迟τ 后，复包络称为 τπτ τ cfjetztz 2)()( −= ，
如果 )(tz 的带宽足够小，认为其变化非常缓慢，那么 )()( tztz =−τ ，所以τπ
τcfjetztz 2)()( = 。这
说明窄带信号延迟一个小的时间间隔，相当于使基带信号 )(tz 产生了一个相移，这个结论在后面的
阵列信号数学模型中会大量用到。下面先建立统计模型：
设天线阵为一维线性M阵元窄带天线阵， )1(21~)1(
21
−−− MM （M为偶数），如图所示。
选择阵列相位中心位于线阵的中点。远场平面波信号包括有一个有用信号、J-1个干扰信号，其中有
用信号与阵列之间的方向角为已知量，J-1个干扰信号与阵列之间的方向角为未知量。不失一般性，
)(tG
)(tsi
iθ
)(2/)1( tw M −
)(2/1 tw
)(2/)1( tw M −−
)(2/)1( tx M −
)(2/1 tx
)(2/)1( tx M −−
干扰信号
有用信号
DBF
M M
设辐射源 0为有用信号，其余为干扰信号。用信号复包络标记，t时刻阵列接收信号复包络可表示为：
)()(~~)()(
)()()()()()(
00
1
100
ttts
ttststJ
iii
nsAa
naaX
++=
++= ∑−
=
θ
θθ
其中，
[ ]HMM txtxtxt )()()()( 2/)1(2/12/)1( −−−= LX 为阵元接收信号组成的列向量；
)(0 ts 为有用辐射源传播到阵列相位中心的辐射强度；
[ ]TJ tststst )()()()(~121 −= Ls 为干扰源传播到阵列相位中心的辐射强度向量；
[ ]TJ tststst )()()()( 110 −= LS 为全部辐射源传播到阵列相位中心的辐射强度向量；
[ ])()()(~121 −= Jθθθ aaaA L 为干扰信号阵列导向矩阵；
1,,2,1,0)]sin)1(212exp()(
)sin212exp()()sin)1(
212exp()([)( 21
−=−
−−−=
JiMdja
djaMdja
TiiM
iiiii
L
L
θλπθ
θλπθθ
λπθθa
为接收信号阵列导向向量，说明天线具有方向特性（增益、相位和极化），取决于入射波波达方向和
频率。
)( kia θ 表示阵元 i接收第 k个辐射源信号的幅度响应；
d为等间距阵元的间距；
λ为接收信号波长；
[ ]TMM tntntnt )()()()( 2/)1(2/12/)1( −−−= Ln 为阵元热噪声信号复包络。
令 [ ]AaA ~)()( 0θθ = ，由上式得到阵列信号数学模型：
)()()()()(~)(
)()( 0 ttttts
t nSAns
AX +=+
= θθ
假设阵元热噪声为空间零均值白噪声且与所有的辐射源信号不相关，其噪声功率为2nσ 。令
Nttt ,,, 21 L 为采样时刻，那么离散数学模型可以表示为
Nnnnn ,,2,1)()()()( L=+= nSAX θ
其中 [ ] [ ]TnMnT
nMnM tntnntxtxn )()()(,)()()( 12/)1(2/)1( LL == −−− nX ，S为 1×J 阶矩阵，
[ ]TnJn tstsn )()()( 10 −= LS 。
§4－2 数字波束形成技术原理
一、一维等距分布阵列天线阵因子及 DBF
如图所示，一维等距分布阵列天线由 N+1个阵元组成， 2/~2/ NN +− 。设远场有M个辐射
源，第 n个阵元位于 nx 处，接收来自各个辐射源的信号。就第 j个辐射源而言，设辐射强度为 )( jp θ ，
方位角为 jθ ，t时刻阵元接收信号的复包络为：
),()sin2
exp(),,( tpxjtxg jnj
nj θλθπ
θ =
设对该阵元的复数加权函数为：
)exp()](exp[Wn nnnn jWxjW αα ==r
则天线阵阵输出为：
∑−=
+=2/
2/),()]
sin2(exp[),(
N
Nnjn
jnnj tpxjWtu θ
λθπ
αθ
平面波到达阵列后，在不同的阵元上均有不同的相位偏移，若满足
constxnj
n +−=λθπ
αsin2
时，阵元之间相对相位偏移量等于零，从而实现各阵元接收信号的叠加。此时，
N/2
0
n
-N/2
),( nju αθ
nWr
tωcos
N/2
0
n
-N/2
jθ
M
j
2
1 LPF
Σ
∑−=
=2/
2/max
),(),(N
Nnjnj tpWtu θθ
若阵元间距为 l，归一化加权函数为 )exp(Wn nljα=r
，那么天线阵阵输出为：
),(]2
1)sin2[(sin)1(),,( tplNcNtu jjj θθλπ
ααθ +++=
当λθπ
α jsin2−= 或
παλθ2
arcsin−=j 时，N+1个阵元接收信号同相，
),()1(),,( tpNtu jj θαθ +=
一组加权处理电路（与阵元数目一一对应）实现对一个辐射源的跟踪，即产生一个波束，若要
实现对M个辐射源的跟踪，需要M组加权处理电路，从而形成多波束。
目标跟踪的任务就是如何实现从任何起点顺着剃度下降的方向步进搜索，最后收敛到最优点，
从而实现目标的精跟踪。
一维线阵往往有很多局限性，如方向图不够尖锐、空间特性不好，所以对二维阵或其它形式阵
列结构的研究就显得非常重要了。
二、二维等距分布方阵天线阵因子及 DBF
上图为阵元等距分布的二维矩形阵，阵元 ),( mn yx 的坐标为 ),( mlnl ，接收来自各个辐射源的
信号。就第 j 个辐射源而言，设辐射强度为 ),,( tp jj ϕθ ，俯仰角为 jθ ，方位角为 jϕ ，阵元接收信
号复包络为：
ϕ
θ
(M)
M j
N
N
N
N NN
N N
K
K
K
K
K
K
K
K
2/yN
2/xN
l
l
x
y
),,()]sincos(sin2exp[),,,( tpmlnljtyxg jjjjjmnj ϕθϕϕθλπθ +=
设阵元 ),( mlnl 的复数加权函数为：
)](exp[),(),( mlnljmlnlWmlnlW nmnm βα +=r
则天线阵阵输出为：
∑ ∑−= −=
×+=2/
2/
2/
2/])cossin2(exp[),(),,,,(
x
x
y
y
N
Nn
N
Nmjjnmjj nljmlnlWtu ϕθ
λπαβαϕθ
),,(])sinsin2(exp[ tpmlj jjjj ϕθϕθλπβ +
为简单起见，上述天线阵归一化阵输出用矩阵表示为：
GABTjj tu =),,,,( βαϕθ
其中，
jjjj
yxyx
yxyx
Txx
Tyy
ba
lbN
laN
jlbN
laN
j
lbN
laN
jlbN
laN
j
lN
jlN
j
lN
jlN
j
ϕθϕθλπ
λπ
λπ
λπ
ββ
ββ
sinsin,cossin
)22
(2exp[)22
(2exp[
)22
(2exp[)22
(2exp[
)2
exp(1)2
exp(
)2
exp(1)2
exp(
==
++−
−+
−+
−
=
−
=
−=
L
MMM
L
LL
LL
G
A
B
如果 BA = （方形面阵），则 GAATjj tu =),,,,( βαϕθ 。
为使阵输出 ),,,,( tu jj βαϕθ 对准目标 ),( jj ϕθ ，应用剃度下降法
AG2),,,,( =∇ tu jj βαϕθ
获得第 k次迭代的递推公式：
β
ββα
αα βα ∂∂
+=+∂∂
+=+ukkkukkk )()1(,)()1(
其中，
βα kk , 为迭代步长（又称为学习常数）；
βα ∂∂
∂∂ uu , 为 ),,,( βαϕθ jju 分别对 βα , 求偏导数。
最终阵输出 ),,,,( tu jj βαϕθ 对准目标 ),( jj ϕθ 时，
jjjj ϕθλπβϕθ
λπα sinsin2,cossin2
−=−=
三、二维圆阵阵因子及 DBF
上图为阵元等角度分布的二维圆形阵，设圆阵半径为 R ，阵元 ),( nn yx 的坐标为
)sin,cos( nnR φφ 。就辐射强度为 ),,( tp jj ϕθ 的第 j个辐射源而言，设俯仰角为 jθ ，方位角为 jϕ ，
t时刻阵元接收信号复包络为：
),,()]cos(sin2exp[
),,()]sinsincos(cossin2exp[),,,(
tpRj
tpRjtg
jjjnj
jjjnjnjnjj
ϕθϕφθλπ
ϕθϕφϕφθλπφϕθ
−=
+=
设阵元 ),( nn yx 的加权因子为：
)(exp),(),(Wn nnnnnn jyxWyx α=r
则天线阵阵输出为：
∑=
×=N
nnnnnjj RRWtu
1)sin,cos(),,,( φφαϕθ ),,()]cos(sin2[exp tpRj jjnjjn ϕθφϕθ
λπα
−+
阵元 n ),( nn yx
阵元 N-1 阵元 N
阵元 2阵元 1
j
nφ
θ
0
(M)
Mz
y
x
nφ
ϕ
为使阵输出 ),,,( tu njj αϕθ 对准目标 ),( jj ϕθ ，应用梯度下降法获得迭代递推表达式，最终应使
)()cos(sin2 nallforR njjn φϕθλπα −−=
四、波束形成原理
由此可知，波束形成技术的基本思想是通过将各阵元输出进行加权求和，将天线阵列波束“导
向”到期望信号来波方向上，这种“导向”作用是通过调整加权系数完成的。阵列的输出是对各阵
元的接收信号进行加权求和，假定接收信号向量为 x(n)，权向量为 TMwww ],,[ 1 L= ，则输出可写
作
)()()(1
nxwnxwny m
M
mm
H ∑=
∗==
可见对不同的权向量，上式对来自不同方向的电波便有不同的响应，从而形成不同方向的空间波束。
实际应用中，一般用移相器作加权处理，即只调整信号相位，不改变信号幅度，因为信号在任
一瞬间各阵元上的幅度是相同的。若空间只有一个来自方向 kθ 的电波，其方向向量为 )( ka θ ，则当
权向量 w 取作 )( ka θ 时，输出 Maany kkH == )()()( θθ 最大，从而实现导向定位作用。这时，各
路的加权信号为相干叠加，我们称这一结果为空域匹配滤波。
对 N个快拍的波束形成器输出求平均功率
∑∑==
==N
t
HN
ttxw
Nty
NwP
1
2
1
2 |)(|1|)(|1)( ，或者
2
1 1
2
1
22 )(|)(|1|)(|1|)(|)(ji
HJ
j
N
tj
N
td
H awtiN
tdN
awwP θθ ∑ ∑∑= ==
+=
2
1
2 )(1 ∑=
+N
ttnw
N
这里忽略了不同用户之间的相互作用项即交叉项 )()( titi kj∗。当 N→∞时，上式可写为
wRwwtxtxEwtyEwP xxHHH === )()(|)(|)( 2
式中 )()( txtxER Hxx = 为阵列输出的协方差矩阵。
222
1
222 )(|)(|)()|(|)( wawtiEawtdEwP n
J
ji
Hjd
Hj
σθθ ++= ∑=
在获得上式的过程中，使用了各加性噪声具有相同方差2nσ 这一假设。
考虑有 J+1 个辐射源，为了保证来自方向 dθ 的期望信号的正确接收。并完全抑制其它 J 个干
扰，很容易根据前面的分析，得到关于权向量的约束条件：
1)( =dH aw θ
0)( =ji
H aw θ
第二个约束条件习惯称为波束“置零条件”，因为它强迫接收阵列波束方向图的“零点”指向所有 J
个干扰信号。在以上两个约束条件下，平均功率表达式简化为
222|)(|)( wtdEwP nσ+=
另一方面，从提高信干噪比的角度来看，以上的干扰置零并不是最佳的：虽然选定的权值可使干扰
输出为零，但可能使噪声输出加大。因此，抑制干扰和噪声应一同考虑。这样一来，波束形成器最
佳权向量的确定现在可以叙述为：在上面两个约束条件下，求满足
ˆmin|)(|min 2 wRwtyE H
ww=
的权向量 w。此时，权的选择标准是在保持观察方向上为单位响应的同时使平均输出功率最小。约
束条件保证信号无失真地通过阵列。最小化过程使包括干扰和不相关噪声在内的总噪声最小，同时
又使输出信号功率为常数，相当于使输出信噪比最大。
这个问题很容易用 Lagrange乘子法求解。令目标函数为
]1)([ˆ)( −+= dHH awwRwwL θλ
根据线性代数的有关知识，可以得到
AwwAwwH
2)(=
∂∂
cw
cwH
=∂
∂ )(
由上面两式易知 0/)( =∂∂ wwL 的结果为 0)(2 =+ daRw θλ ，直接得到接收来自方向 dθ 的期
望信号 d(t)的波束形成器的最佳权向量为
)(1dopt aRw θµ −=
式中，μ为一比例常数； dθ 是期望接收的信号的波达方向。此时，波束形成器将只接收来自方向 dθ
的信号，并拒绝所有来自其它波达方向的信号。
注意到约束条件 1)( =dH aw θ 也可以等价写作 1)( =wa d
H θ 。最佳权向量表达式两边同乘
)( dHa θ ，并与等价的约束条件比较，可知常数μ应满足
)()(1
1dd
H aRa θθµ −=
由此可知，波束形成器的最佳权向量 w取决于阵列方向向量 )( ka θ ，而在移动通信里用户的方
向向量一般是未知的，需要估计（称之为波达方向估计）。因此，我们在使用式(3.1.16)计算波束形成
的最佳权向量之前，必须在已知阵列结构的前提下先估计期望信号的波达方向。关于波达方向估计
的问题将在后面讨论。
五、两种典型算法：Bartlett波束形成算法与 Capon波束形成算法
1、Bartlett波束形成器 这是一种经典 Fourier分析对传感器阵列数据的一种自然推广。Bartlett波束
形成算法使波束形成的输出功率相对于某个输入信号为最大。设希望来自方向θ的输出功率为最大，
则该最大化问题可表述为
])()([maxarg wnxnxwE HH
w=θ
])()([maxarg wnxnxEw HH
w=
]|)(||)(|[maxarg 2222 wawtdE H
wσθ +=
在白噪声方差2σ 一定的情况下，权向量的范数 w 不影响输出信噪比，故取 w =1。用 Lagrange乘
子法易求得上述最大化问题的解为
)()()(θθ
θaa
awHBF =
式中 BFw 的下标 BF代表 Bartlett滤波器的英文缩写。
加权向量 BFw 可以解释为一空间滤波器，它与照射到阵列上的信号匹配。直观上，阵列加权是
使该信号在各阵元上产生的延时（还可能有衰减）均衡，以便使它们各自的贡献最大限度地综合在
一起。
2、Capon 波束形成器 这是一种对 Bartlett 波束形成器这一类非自适应估计器的改进，主要是针对
不同环境做自适应处理。
Capon波束形成器求解的优化问题可表述为
)(minarg wPw
=θ
其约束条件为 1)( =θawH。
Capon波束形成器在使噪声和干扰所贡献的功率为最小的同时，保持了期望信号的功率不变。
因此，它可以看作是一个尖锐的空间带通滤波器。最优加权向量 w可以利用 Lagrange乘子法求解，
其结果为
)(ˆ)()(ˆ
1
1
θθθaRa
aRwHCAP −
−
=
将上式与前面结果比较可知，当μ不取常数，而取作)(ˆ)(
11 θθ
µaRaH −
= 时，最佳权向量 optw
就转变成 Capon波束形成器的权向量 CAPw 。
波束形成是靠优化问题在约束条件 1)( =θawH下实现的。为了保证期望信号的正确接收，这
里还隐含了其它方向的信号均被抑制的条件。另外，Capon波束形成器与 Bartlett波束形成器一样，
分辨能力取决于阵列的几何结构和信噪比。
有一点需要注意： 如果波束形成器按照上述方案工作，并通过抵消干扰获得最大信噪比，必
需要求干扰数量小于或等于阵元数量-2 (即 J-1≤M-2).因为M元阵列的自由度为M-1，且一个自由度
已经用于观察方向上的约束方程。在移动通信环境中，由于信号以多径到达，一般干扰数量不会满
足小于等于M-2的条件，这样将导致阵列波束形成器不能通过抑制每个干扰来实现输出信噪比的最
大化。但是，为了提高移动无线电系统的性能，波束形成器不一定要完全抑制干扰去追求输出信噪
比的极大提高，因为输出信噪比增加几个分贝就可能使信道容量提高很多。
§4－3 MUSIC方法
波束形成的关键问题之一是通过观测数据获得辐射源来波方向的准确估计——即 DOA估计。
波达方向(DOA)估计的基本问题就是确定同时处在空间某一区域内多个感兴趣的信号的空间位置(即
各个信号到达阵列参考阵元的方向角，简称波达方向)。前面介绍的波束形成实质上也是一个波达方
向估计问题，只不过 Bartlett 波束形成器和 Capon 波束形成器都是非参数化的波达方向估计器.它们
的分辨率主要决定于阵列长度.阵列长度确定后，其分辨率也就确定，称为瑞利限.
MUSIC方法和下一节的 ESPRIT方法都是最早的超分辨 DOA估计方法(即超瑞利限的方法)，
它们同属特征结构的子空间方法.子空间方法建立在这样一个基本观察之上：若传感器个数比信源个
数多，则阵列数据的信号分量一定位于一个低秩的子空间。在一定条件下，这个子空间将唯一确定
信号的波达方向，并且可以使用数值稳定的奇异值分解精确确定波达方向。由于把线性空间的概念
引入到 DOA估计中，子空间方法实现了波达方向估计分辨率的突破。
考虑 L×L协方差矩阵 R的特征值分解
Hnnn
Hsss
H UUUUIAPAR Σ+Σ=+= 2σ
这里假定HAPA 满秩，对角矩阵 sΣ 含有M个大的特征值，而 nΣ 含有 L-M个小的特征值。一方面，
由于2σ 和 nU 是协方差矩阵 R的特征值和对应的特征向量，故有特征方程
nn URU 2σ=
另一方面，用 nU 右乘上式，又有
nnH
n UUAPARU 2σ+=
综合上面两式给出结果
0=nHUAPA
从而有 0=nH
n UAPAU .由于假设 P是非奇异的，因此上式可等价为
0=nHUA
这说明，矩阵 A的各个列向量与噪声空间正交，故有
,,,0)( 1 MHn aU θθθθ L∈=
由于 ],[ ns UUU = 为酉矩阵，故有 0=nH
s UU 。若 P非奇异，则阵列方向矩阵 A与阵列输出
向量的协方差矩阵的信号特征向量组成的子矩阵 sU 所张成的子空间相同.为了保证波达方向估计的
一致性，通常假定阵列是无模糊的：对应于 M 个不同波达方向的方向向量构成一线性独立集合
)(,,( 1 Maa θθ L 那么这 m个方向角 Mθθ ,,1 L 是满足上式唯一可能解，从而获得 DOA估计。
实际中得到的是协方差矩阵的样本估计 R， R的特征向量分成信号特征向量和噪声特征向量
两组.噪声子空间上的正交投影估计为
HnnUU ˆˆˆ =∏⊥
于是可定义MUSIC“空间谱”
)(ˆ)()()()(θθ
θθθaa
aaPH
H
MUSIC ⊥Π=
与 “谱峰”对应的所有θ即给出波达方向的估计。当然，空间谱 )(θMUSICP 并不是任何意义下的真实
谱；严格来说，它只是信号方向向量与噪声子空间之间的“距离”。尽管如此，它却能够在真实波达
方向的附近出现“谱峰”，超分辨地准确表达各信号的波达方向。
MUSIC算法对波达方向估计的性能改善主要表现在以下两方面：
1) 对主特征值向量的估计误差( isis uu ,,ˆ − )为渐近联合高斯分布，其均值等于零，其中 isu , 表
示与第 i个大特征值对应的特征向量。
2) 波达方向的估计误差( ii θθ −ˆ )为渐近联合高斯分布，其均值等于零。
这说明，若使用数据足够长或 SNR适当高，并且信号模型足够准确的话，MUSIC算法可以得
到任意精度的波达方向估计值。这是 MUSIC算法优于波束形成技术的地方。但是，MUSIC算法仍
然存在以下主要局限： 在低 SNR 和小样本情况下不能分辨空间相距比较近的信号。这种分辨率损
失对高相关信号尤为严重。在相干信号的极限情况，空间谱表达式不再成立，MUSIC算法也就不再
适用。为了克服这些缺点，业已提出了许多MUSIC算法的改进和推广方法，例如最小范数算法，加
权MUSIC算法，求根—MUSIC算法等。
§4－5 ESPRIT方法
ESPRIT 方法以一种与 MUSIC 方法不同的方式对波达方向进行估计，适用于等距线阵．定义
观测向量 x (n)的平移向量 y (n)=x (n+1)，观测向量 x (n)的协方差矩阵直接为
IAPAR Hxx
2σ+=
仿照空间协方差矩阵的定义方式，再定义向量 x(n)和平移向量 y(n)的空间互协方差矩阵为
ZAAPnynxER HHHxy
2)()( σ+Φ==
式中
],,[ 1 Mjj eediag φφ L=Φ
=
010
0100
OOZ
φ叫做旋转矩阵，其对角线元素为相位旋转因子 mje φ，它与待估计的波达方向(角) mθ 有以下关系:
θπθφ cos2coscfdkd −=−=
若记ijji rrjxixE −
∗−
∗ ==)()(，则
ijji rrjxixEjyixE −+∗
−−∗∗ ==+= 11)1()()()(
且
=
−−
−
−
021
*201
*1
*10
rrr
rrrrrr
R
KK
K
K
xx
L
MOMM
L
L
=
−−
−
*132
*1
*10
**2
*1
rrr
rrrrrr
R
KK
K
K
xy
L
MOMM
L
L
ESPRIT算法的基本思想是：向量 x (n)经过旋转后变作 y (n)，但是这种空间旋转却保持了 x 和
y对应的信号子空间的不变性。
基本 ESPRIT算法步骤如下:
1. 计算阵列协方差矩阵 R的特征值分解；
2. 利用最小特征值2σ 计算 ZRcIRc xyxyxxxx minmin , λλ −=−= ;
3. 计算矩阵束 , xyxx cc 的广义特征值分解，得到 Φ，其对角线元素 Mme mj ,,1, L=φ直接
给出估计值 Mmm ,,1,ˆ L=φ ;
4. 应用公式(3.4.5)，由 Mmm ,,1,ˆ L=φ 求波达方向估计 mθ .
ESPRIT算法也可以通过另一矩阵束的广义特征值分解求解，这涉及到矩阵的相似变换.另外，
也可以将奇异值分解(SVD)和总体最小二乘(TLS)应用于 ESPRIT方法中，得到 SVD-ESPRIT方法和
TLS-ESPRIT方法。
§4－6 卡尔曼滤波法
为了用卡尔曼滤波构成自适应算法，首先应确定动态系统模型和状态矢量。假定在自适应调整
过程中，观测信号 X(k)为平稳，则最佳加权矢量在此过程中为常数。这样自适应滤波就归结为：根
据观测到的信号，即测量值 d(k)，确定状态矢量，即自适应滤波器的最佳加权矢量W.故可建立如下
的动态系统模型：
系统方程 W(k+1) = W(k)
观测方程 d(k)= )()()( kekWkX T +
e(k)为测量噪声，且为白噪声序列，满足：
E[e(k)] = 0
22 )]([ σ=keE
假设初始加权矢量W(0)的统计特性
)0()]0([ WWE =
)0(]))0()0())(0()0([( PWWWWE T =−−
式中 )0(W 为初始加权矢量的估计值； )0(P 为初始方差阵。
根据动态模型，可得求解W的卡尔曼滤波递推公式
))1()()()(()1()( −•−+−= kWkXkdkKkWkW T
12 ))()1()()(()1()( −+•−•−= σkXkPkXkXkPkK T
)1()()()1()( −••−−= kPkXkKkPkP T
式中 K(k)——卡尔曼滤波增益矩阵；P(k)——估计误差方差矩阵。
只要输入加权矢量初值 W(0)和误差方差阵初值 P(0)，即可开始卡尔曼滤波。但在自适应控制
天线阵的应用中，W(0)和 P(0)事先不知，而不同的初值选择可导致W(k)收敛特性不同。下面将讨论
算法初值的选择对W(k)收敛特性的影响。
k=1开始反复运算，并将每一时刻 k的加权矢量用初值W(0)表示，则可得到下式
∏−
=
•−−−=1
0
)0())()(()(k
i
T WikXikKIkW
∑ ∏−
=
+−
=
+••−•−−+1
1
)1(
0
)()()()())()((k
i
lk
j
T kdkKldlKjkXjkKI
)1()()()( 1 −•=•− − kPkPkXkKI T
∏−
=
− −−•−=1
0
1 )0())1()(()(k
i
WikPikPkW
∑∏−
=
+
=
− +•−−•−+1
1
1
0
1 )()()()()]1()([k
l
l
j
kdkKldlKjkPjkP
)0()0()( 1 WPkP •= −
∑−
=
− •+•••+1
1
1 )()()()()()(k
lkdkKldlKlPkP
22 /)()(/)()1()]()([)( σσ kXkPkXkPkXkKIkK T ⋅=⋅−⋅−=
∑−
=
−− ⋅⋅⋅+⋅=1
1
121 )()()()()/)(()0()0()()(k
lldlXlPlPkPWPkPkW σ )()()/)(( 2 kdkXkP ⋅+ σ
并利用关系式：1111 )()( −−−− +=+− BCBABACBABABA HHH (H表示共轭转置)可得
1122 ))()()1(()( −− ⋅+−= kXkXkPkP Tσσ
将 P(k)用初值矩阵表示，则有
1
1
122 ))()()0(()( −
=
− ⋅+= ∑ iXiXPkP Tk
iσσ
∑=
−−− ⋅⋅+=k
i
T WPiXiXPkW1
11122 )0()0(]))()()0(([)( σσ
∑∑−
=
−
=
− ⋅+⋅⋅++1
1
1
1
12 )]()()()([))()()0((k
l
k
i
T kdkXldlXiXiXPσ (3.6.14)
上式表示了W(k)与初值 P(0)，W(0)的关系。W(k)收敛于最佳值的充分必要条件：
（1） ∑=
− ⋅<<k
i
T iXiXP1
12 )()()0(σ
(2) ∞<−− )0()( 11 PkRxx
式中 kiXiXkRk
i
Txx /)()()(
1∑=
⋅= ，且 xxxx RR =∞)( 。
若满足上述条件，则W(k)当 k→∞时，收敛于维纳滤波解，即最佳值Wopt
xdxxopt RRWW 1)( −==∞
式中 xxR 为输入信号的自相关矩阵； xdR 为输入信号与参考信号的互相关矩阵。
上述收敛条件表明，加权矢量的收敛性与 P(0)设置有关，欲使加权矢量快速收敛到最佳值，有
必要将 P(0)设置大一些。
进一步的分析表明，卡尔曼滤波算法的收敛性优于最小均方算法。
§4－7 恒模算法
恒模阵列加自适应信号对消器结构如上图所示。CMA的基本思想是：恒模信号在经过信道后，
产生幅度扰动（衰落），可以定义一种“恒模”准则使自适应滤波器的输出恢复成恒模信号。1986
年 Gooch 等人将 CMA 推广到自适应天线[6]中，其主要特点是信号的恢复，无需参考信号，依靠的
先验知识仅是信号的恒模特性。恒模阵列用一种在线的自适应方式，直接用接收信号估计某个待估
来波信号，同时还能得到该信源波达方向估计。如果天线系统接收多个目标信号，可以采用下图所
示的多级恒模阵列进行分离。
为了得到各个来波方向估计，对各个阵元接收信号进行复数加权求和得到输出信号为：
输入 X(k)
恒模阵列
CMA
自适应信号对消器
y(k) 一个信源的估计
误差 E(k)
恒模阵列
自适应信
号对消器
y(k)
输入 X(k)
误差 E(k)
恒模阵列
自适应信
号对消器
第一级 第二级
至第三级
目标信号和达波方向输出
)()()()()()()(
kkkkkkky
TTT
T
WnWASWX
+=
=
其中， [ ]TN kkkk )()()()( 21 WWWW L= 为复数加权向量。
CMA的代价函数为：
])([q
ppkyEJ σ−=
其中， []E 为数学期望，σ 为包络值，参数 qp, 为正整数，决定 CMA的收敛行为。CMA的功能就
是使得代价函数为最小，由此计算出加权因子。采用递推最小二乘自适应算法（Recurrence Least
Squares: RLC），通常 1,2,1 === σqp ，代价函数调整为[6]：
]1)([1
2∑=
− −=i
k
ki kyJ λ
其中λ称为遗忘因子， 10 << λ 。自适应加权向量的更新如下：
)()()1()( kkkk εKWW +−=
)()1()()()1()(
kkkkkk T XPX
XPK−+
−=λ
)1()]()([)( 1 −−= − kkkk T PXKIP λ
)()(/)()( kykykyk −=ε
经过一级恒模阵列，分离出某个目标的辐射信号。为了获得被捕获目标的波达方向估计以及为
后级分离其他目标辐射信号，恒模阵列后加入自适应信号对消器。令误差向量：
)()()()( kykkk uXE −=
其中自适应信号对消器的加权向量为 [ ]TM kukukuk )()()()( 21 L=u ，应用 LMS（Least Mean
Square）算法更新：
)()(2)1()( kkykk Euu ∗+−= µ
式中迭代步长 ])([,/10 222 kyEyy =<< σσµ 。在最小均方误差（MMSE）意义下，最优加权向量
为：
)()/( 22iysopt i
θσσ au =
对于均匀等距线阵，根据方向向量表达式可以由 optu 得到22 / ysi
σσ 和波达方向估计 iθ 。
仅应用多级恒模阵列加自适应信号对消器结构只能对多个接收信号进行分离，无法获得高的信
号处理增益。本文仅用它来获得波达方向估计，结合自适应波束形成算法提高接收系统处理增益，
降低对 CDMA 解扩器的要求。设天线阵列自适应波束形成复数加权矢量用V表示，则天线阵输出
为：
)()()(
)]()(~~[)()()()(
11
111
tets
tttsttGH
HHH
+⋅=
+⋅+⋅=⋅=
θ
θ
aV
nsAVaVXV
式中， [ ]HMvvv L21=V ； )(te 表示干扰和噪声作用产生的无用输出。
波束形成问题归结为如下优化问题：
1)(..
)]()([min
1 =θaV H
H
V
ts
teteE
应用文献[7]的结论，根据拉格朗日乘子法，优化问题的解为：
)()(
)(
11
1
θθ
θ
Uaa
UaVHopt =
式中HH AAAAIU 1)( −−= 为A的列张成空间的正交互补子空间的投影矩阵。
§4－8 自适应波束形成
这里以我院通信测控研究所为军方设计的小卫星统一扩频测控系统中，用于多星管理部分的自
适应数字波束形成为例，介绍这种技术。来自小卫星上的遥测信号以及向小卫星上传的遥控指令均
为宽带信号，而且小卫星相对于地面测控站总处于运动中。这就决定了我们研究的数字多波束形成
系统的特点和要求，即远场辐射源信号为宽带、移动、相干信号及非相干信号的混合。
由于辐射源在空间和时间上的随机性以及目标跟踪的实时性，在波束形成器设计中，复数加权
矢量的调整必须采用自适应技术。控制天线阵复数加权矢量的算法应满足 1）实时性好；2）稳定性
高；3）适应能力强。
空域滤波中，最小均方误差（ＬＭＳ）算法，作为自适应处理技术已广泛用于通信、雷达系统
中。但用于自适应天线波束形成，由于输入相关矩阵的特征值具有很大的分散性，收敛速率慢、迭
代时间长。同时为满足对系统稳定性的要求，也可能造成算法失败，即若选择了大的迭代步长μ，
系统输出会出现振荡，选择小的迭代步长μ，系统又无法正常工作。为改善收敛速率，Reed等人提
出了抽样矩阵求逆技术（SMI），但此法需要噪声协方差矩阵的先验估计，并且由于协方差矩阵特征
值的分散性，在求天线复数加权矢量时，会使计算精度降低。从获得快速收敛的角度出发，卡尔曼
滤波自适应均衡器和卡尔曼自适应波束形成]能使系统获得高收敛速率和低失调量的性能。卡尔曼滤
波是一种在数学结构上比较简单的最优线性递推滤波方法，它能给出时刻 k 状态的线性、无偏、最
小方差估计值。但卡尔曼滤波需要建立良好的动力学数学模型，如果数学模型不准确，就要影响估
值的精度，甚至引起发散。Baird提出的应用 Kalman滤波算法解决了平稳条件下天线加权矢量的快
速收敛问题，但在复杂电磁环境下应用会出现严重失真。文献[58]修正了 Kalman 滤波算法，其收敛
速度取决于噪声协方差矩阵的初始信息，但由于协方差矩阵特征值分散性，实际收敛速度并不快，
且精度不高。
更为重要的是，常规的自适应波束形成方法应用于宽带、移动、相干干扰环境，不仅不能在相
干干扰方向形成零信号，而且还有可能对有用信号产生衰减，使得信号干扰噪声比
（Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio，SINR）严重下降。理论上讲，对此问题可以采用宽带阵列
天线解决，文献[60]在阵元上加入 FIR滤波器，通过对接收信号的予处理剔除有用信号，以此信号作
为计算加权矢量的依据。但此法无法适用于多个相干干扰的场合。文献采用频域宽带波束形成算法，
首先对有用信号和干扰信号进行解相关，但这种算法要么要求提供干扰信号方向的先验信息，要么
增加天线阵元数来提供时空处理所需的自由度。总体而言，此类方法硬件成本高、软件复杂。文献
[69]用窄带波束形成来抑制宽带移动干扰，通过在干扰方向上加入某些导数约束条件求解，但此法要
求干扰方向的先验信息，若要保持系统有足够的鲁棒性，必须增加阵元个数。
这里介绍一种稳健优化自适应波束形成技术（Robust Adaptive Digital Beamforming Algorithm：
RADBFA），主要依据是等距线性阵列信号子空间和干扰噪声子空间具有正交互补性质。这一性质的
鲁棒性不依赖于输入信噪比，对有源、无源系统均适用。主要特点是（1）直接用接收信号采样值构
造干扰和噪声子空间，无需外加任何约束条件；（2）天线阵列既适用于宽带干扰信号，也适用于移
动干扰信号；（3）对相关干扰和非相关干扰作同样的凹口处理，而对有用信号的畸变尽可能小。
一、系统建模
离散数学模型为： Nnnnn ,,2,1)()()()( L=+= nSAX θ
波束形成就是对各阵元的接收信号进行加权求和，最优波束形成就是用适当的加权矢量因子以
使与特定空域信号 )( 0θa 相匹配的信号的信号干扰噪声比（SINR）最大。设天线阵列复数加权矢量
用W表示，则天线阵输出为：
)()()(
)]()(~~[)()(
)()(
00
00
tets
ttts
ttG
H
HH
H
+⋅=
+⋅+⋅=
⋅=
θ
θ
aW
NsAWaW
xW
式中， [ ]HMMM www 2/)1(2/2/)1( −−−−= LW ； )(te 表示干扰和噪声作用产生的无用输出。
阵列相关矩阵 IAAR]x[xR 2)()( nH
ssH
xx ttE σ+== ，其中 )]()( ttE Hss s[sR = 。进一步写出
ssR 的分解矩阵：
=
sss
sH
ss~~~0
~000
RRRR
R
式中， )]()( 0000 θθ HE a[aR = ， )](~)( 0~0 tE Hs s[aR θ= ， )](~)(~
~~ ttE Hss ss[R = 。
波束形成的目的就是无论干扰信号之间的互相关性以及干扰信号与有用信号之间的相关性如
何，均希望在干扰信号方向上形成凹口。
首先假定干扰方向 121 ,,, −Jθθθ L 已知，基于最小方差功率谱估计（MVSE），波束形成问题归
结为如下优化问题：
1)(..
][min)]()([min
0 =
=
θaW
WRWH
eeH
W
H
W
ts
EteteE
1,,2,10)( −== JiiH LθaW
1,,2,1
,,2,10)]([
−=
===
Ji
qmd
d
i
Hm
L
Lθθθ
θaW
其中， IARAR 2~~
~~n
Hssee σ+=
合并约束条件为
1,,2,1;,,2,1,00)( −=== JiqmimH LLθaCW
其中， ( )2/)1(2/12/)1( −−−= MMdiag LC 为阵元空间坐标对应的 MM × 阶对角矩阵。
根据上式，有效加权矢量W必定位于一个特定的子空间内，该子空间与由矢量 )( im θaC 的列
张成的 )1()1( +×− qJ 维子空间正交互补。另一方面，还可以看到，满足约束条件的加权矢量W满
足下列恒等式
DWW =
其中D为在与由矢量 )( im θaC 的列张成的 )1()1( +×− qJ 维子空间正交互补的空间上的投影矩阵，
其值为
HH FFFFID 1][ −−=
[ ] )1)(1(~~~
+−×= qJMq ACACAF L （
优化问题的解，根据拉格朗日乘子法得到结果
)()(
)(
00
0
θθθDaa
DaHoptW =
值得注意的是，上式是在假定已知干扰方向的前提条件下获得的。为此，优化加权矢量的求解
必须首先对干扰方向 121 ,,, −Jθθθ L 进行估计。
二、干扰子空间的特性
为了获得对干扰子空间性质的认识，我们假定以下条件：
（1） JM > ，且对应于不同 iθ 的导向向量 )( iθA 线性独立；
（2） Innn 2)]()([,0)]([ nH ttEtE σ== ，且 0)]()([ =ttE Tnn ；
（3）对于 st ≠ ， 0)]()([)]()([ == stEstE HT nnnn ，且 )(tn 为高斯分布。
在信号模型中，同一时刻 t，第 n个阵元接收的信号估计值：
)2/)1(,,2/1,,2/)1(()(ˆ1
−−−== ∑=
MMnzbtxJ
m
nmmn LL
作为观测量的近似值。其中 )sin2exp()(),( mmnmmm djaztsb θλπθ== 。Prony认为上式是一个常
系数差分方程的齐次解。定义多项式
)1()()( 001
==−= ∑∏=
−
=
azazzzJ
i
iJi
J
kkψ
根据上式可知，表示 )(ˆ tx mn− 的一种方法是
2/)1(2/)1()(ˆ1
−≤−≤−−= ∑=
−− MmnMzbtx
J
l
mnllmn
用 ma 乘以上式，并对 1+J 个乘积求和，即有
0)(ˆ1 00
== ∑ ∑∑= =
−−
=−
J
l
J
m
mJlm
Jnll
J
mmnm zazbtxa
由此得 )(ˆ txn 的递推差分方程
)2/)1(2/)1(()(ˆ)(ˆ1
−≤≤+−−−= ∑=
− MnJMtxatxJ
lmnmn
真实观测数据 )(txn 和其近似值 )(ˆ txn 之间的差值为 )(ten ，即
)()(ˆ)()(ˆ)( tntxtetxtx nnnnn +=+= ）
)2/)1(2/)1(()()()(01
−≤≤+−−+−= ∑∑=
−=
− MnJMtnatxatxJ
mmnm
J
mmnmn
上式表明，白噪声中的指数过程是一个自回归-移动平均 ),( ppARMA 模型，具有相同的 AR和MA
参数，激励噪声为原来的加性白噪声。参数 ma 的最小二乘估计通过使 ∑−
+−−=
2/)1(
2/)1(
2)(M
JMni nn 最小化求出。
一旦得到 AR 参数 Jaaa ,,, 21 L ，根据（ 4-32）式 0)(10
=−=∏∑==
−J
kk
J
i
iJi zzza 求出
),,2,1( Jizi L= 。
定理：对于 Vandermonde矩阵 )(θA 存在唯一的生成多项式
JJJJ bzbzbzbzb ++++= −− L2
21
10)(
其根为 1,,1,0)],sin2(exp[ −=−= Jidjz ii LMθλπ
。
令系数向量 [ ]TJbbbb L210=b ，那么由 )(θA 的列张成空间的正交互补空间 )(AP⊥等
于下列 Toepliz矩阵张成的空间。即
)()( APBP ⊥=
其中，
)(0
0
110
1
00
00
JMM
J
J
JJ
J
bb
bbbb
bbb
−×∗
∗
∗−
∗∗
∗
∗∗−
∗
=
L
MLM
L
LMM
ML
L
B （*表示共轭）
换句话说，下列投影关系成立
HHHH BBBBAAAAI 11 ][][ −− =−
根据随机信号特征空间功率谱估计理论，矩阵B反映了噪声子空间的特性，它应与信号干扰子
空间正交互补。
另一方面，就矩阵 )(~ θA 而言，由于 )(~ θA 也是一个 Vandermonde矩阵，存在唯一的生成多项式
12
11
0~~~)(~
−−− +++= J
JJ bzbzbzb L
其根为 1,,2,1)],sin2(exp[ −=−= Jidjz ii Lθλπ
。
系数向量 [ ]TJbbbb 1210~~~~~
−= Lb ，那么由 )(~ θA 的列张成空间的正交互补空间 )~(AP⊥等
于与矩阵B类似的 )1( +−× JMM 阶 Toepliz矩阵B~张成的空间，即
)~()~( BPAP =⊥
)1(0
0
210
1
12
1
~00
~~~~~
~~00~
~
+−×∗
∗
∗−
∗∗
∗−
∗−
∗−
∗−
=
JMM
J
J
JJ
J
bb
bbbb
bbb
L
MLM
L
LMM
ML
L
B （*表示共轭）
另外，B~还具有如下性质
−===≠
1,,2,10
)(~Ji
ii
H
L00
aB θ
容易发现，上面两个生成多项式满足下列等式
)(~)()(~)()( 1
sin20 zbzbzbezzb
dj=−=
− θλπ
其中，0sin2
1 )(θ
λπ dj
ezzb−
−= 。
对应的系数向量为
Tdj
e
−=
− 0sin2
1 1θ
λπ
b 。
对 b(z)进行反 Z变换得
bbb =∗~1 （∗表示卷积）
用定理提供的方式构造 )(1 zb 的 Toepliz矩阵 1B （ JJ ×+ )1( ）阶），则
bbB =~1
bBBBb HH1
111 ][~ −=
接下来将完成对系数向量b的估计。
三、系数向量b的估计
采用极大似然法估计系数向量b，基于我们研究问题的假设，阵元噪声 )(tn 为零均值平稳高斯
过程，方差为2nσ ，噪声采样值为统计独立的随机量。则接收采样值的联合密度函数为
)]()()([)]()()([1exp
)2(1))(,),2(),1((
12
22/
∑=
−−−
⋅=
N
n
H
n
MNn
MN
nnnn
NL
SAXSAX
XXX
θθσ
σπL
不计常数项，上式对应的对数似然函数为
∑=
−−−−=N
n
H
nn nnnnMNL
12
2 )]()()([)]()()([1lnln SAXSAX θθσ
σ
首先假设 SA ),(θ 不变，求似然函数关于2nσ 的极大值，得到
∑=
−=N
nn nn
MN 1
22 )()()(1ˆ SAX θσ
将上述结果代回原对数似然函数表达式，不计常数项，归结极大似然估计为下列优化问题
−− ∑
=
N
nSAnn
MNMN
1
2
,)()()(1logmax SAX θ
由于对数函数是单调函数，上述极大值问题等效于下列极小值问题
−∑=
N
nSAnn
1
2
,)()()(min SAX θ
为了求解上式，首先固定 )(θA ，求关于S的极值，得到
)()()]()([)(ˆ 1 nn HH XAAAS θθθ −=
获得下列极值问题
−∑=
−N
n
HH
Ann
1
21 )()()]()()[()(min XAAAAX θθθθ
令HH )()]()()[()( 1 θθθθ AAAAAP −= ，则上式成为
−∑=
N
nAn
1
2)())((min XAPI
因此，对 )(θA 的极大似然估计通过求下列对数似然函数的极值获得
∑=
−=N
nnL
1
2)())(()( XAPIA
为了方便起见，上式可写成
)]([)( xxtrL RAPIA −=
阵列相关矩阵 IAAR]X[XR 2)()( nH
ssH
xx ttE σ+== ，实际应用中， xxR 通常用对一定点数
（节拍数）的输入采样信号求均值代替。即样本相关矩阵
∑=
=N
n
Hxx nn
N 1)()(1ˆ XXR
ˆ][ˆ)()( 1xx
HHxx trtrL RBBBBRBPA −==
根据极大似然估计准则得到的优化判据为
]ˆ)([min)(min)(min 1ss
HH
bbtrJL RBBBBbA
A
−
∈∈==
ξξ
这里约束集ξ 随后构造，下面定义数据矩阵
=
−+
+++
=
−JMJMMM
JJJJ
y
yy
XXX
XXXXXX
YM
L
MMMM
L
L
2
1
)()1()(
)2()1()2()1()()1(
YbyB =iH
考虑到样本相关矩阵的定义，优化判据表达式
YbBBYb
yyBBBBb
11
1
)(
])([)(
−
=
−
=
=⋅ ∑HHH
N
i
Hii
HHtrJN
构造约束集ξ 为两个约束的交集：
ro ξξξ ∩=
其中“非平凡约束集” 0: ≠= bboξ ；约束集 )4,3,2,1( =rrξ 定义为：
（1） 有根在单位园内或单位园上)(:1 zbb=ξ ；
（2） Jibb iJi ,,1,0: *12 L==∩= −bξξ ；
（3） 0)Im(:13 =∩= bbξξ ；
（4） 324 ξξξ ∩= 。
应用交替极大值（Alternating Maximization：AM）技术求优化问题的极值。其基本思想是每次
迭代只有一个变量变化，其余变量不变。这样，多维极值问题变成一维迭代极值问题。
为了进一步减小计算工作量，提高自适应波束形成的收敛速度，必须合理选择算法初值。一般
地，算法初值由下列方法给出
L
]ˆ)])()),0(ˆ(([[maxarg)0(ˆ
]ˆ))(([maxarg)0(ˆ
212
11
2
1
ss
ss
atr
tr
RaP
RaP
θθθ
θθ
θ
θ
=
=
下面导出投影矩阵的更新公式。
令 21 , AA 为行数相等的二矩阵，则矩阵 ],[ 21 AA 的投影矩阵
)]([)(]),([ 12121 AAPAPAAP +=
其中， 2112 ))(()( AAPIAA −= 。于是可以总结出b的极大似然估计算法步骤：
第一步：初始化，k=0和 0)0( bb = ， 0b 应用（4-63）式依次确定。
第二步：计算 YBBYC 1)( −= HHkY 。
第三步：求解二次型最小问题： 111
min ++∈+k
kY
Hkbk
bCbξ
。
第四步： 1+= kk ，检验收敛性。选择小数δ ，判决 δ≤− −1kk bb ？若成立，迭代已收敛，否则，
重复第二步的运算；
第五步：求 0)( =zbk 的根。事实上，b反映的是信号来波方向的信息。
四、最优加权矢量的计算
为了将最优加权矢量的计算公式都用b~表示，我们有
)~()~( BPAPI =−
其中，HHHH BBBBBPAAAAAP ~]~~[~)~(,~]~~[~)~( 11 −− == 。类似地，
)()( BCPACPI mm −=−
[ ][ ]))()()((
))()()(()(1 BCPIBCPIBPI
ACPCAPAPFm
m
spanspanspan
−− −−−=
=
L
L
令 [ ])()()( 1 BCPIBCPIBPIQ m−− −−−= L
HH QQQQIU 1][ −−=
那么， )()( UD spanspan =
即投影矩阵 UD, 张成的空间是一样的。从而
)()(
)(
00
0
θθθUaa
UaHoptW =
五、仿真研究
算法性能的定量评价采用输出信号干扰噪声比（SINR）作为依据。SINR定义为输出信号功率 SP
与输出干扰功率 IP 和输出噪声功率 NP 之和之比。
2
0
2
00 )(])()([ θθ aWaW ⋅=⋅= Hs
HS ptsEPQ
WRWsAW )(])(~~[2
ttEP yyHH
I =⋅=
22])([ n
HN tEP σ=⋅= nW
其中， sp 为阵元接收有用信号功率；
)(~~)()],()([)( ttttEt Hyy sAyyyR ==
2
2
0 )(
nyyH
Hsp
SINRσ
θ
+
⋅=∴
WRW
aW
仿真研究分三种情况分别进行：（1）研究算法对静止、窄带干扰的抑制能力；（2）研究算法对
移动干扰的适应能力；（3）研究算法对宽带干扰的适应能力。
仿真所用基本数据为：等距线阵具有 16个各向同性阵元（M=16），阵元热噪声功率为-2dB，有
用信号功率为 0dB，各种干扰信号功率为 20dB。
1、静止、窄带干扰
设有 1 个有用信号源，来波方向 o100 =θ ，1 个干扰源，来波方向为 o281 =θ 。导数约束阶次
分别为 0，1，2。SMI(Sample Matrix Inversion)算法[55]、Kalman滤波算法[58]及 RADBFA算法得到的
输出方向图如下图所示。图中 RADBFA算法得到的输出方向图对应于 0=q 的情形。观察曲线可知，
RADBFA算法得到的方向图较其它两种算法略好。
图 天线阵列输出方向图 图 天线阵列输出方向图
图 不同导数约束下 RADBFA算法方向图 图 天线阵列输出方向图
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Direction Angle(degree)
Dire
ctio
n P
atte
rn(d
B)
RADBF Algorithm SMI Algorithm Kalman Filtering
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Direction Angle(degree)
Dire
ctio
n P
atte
rn
RADBF Algorithm SMI Algorithm Kalman Filtering
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Angle(degree)
Gai
n(dB
)
RADBFA algorithmSMI algorithm Kalman Fitering
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Direction Angle(degrees)
Dire
ctio
n pa
ttern
(dB
)
RADBFA(q=2)RADBFA(q=1)RADBFA(q=0)
2、 宽带、非相关干扰
对于宽带干扰信号，设接收干扰信号复包络空间导向向量 ),(~ωθA 随频率变化，在相对于中心
频率 0ω 的小带宽内，用舍入的泰勒级数线性化表示：
)(~)(~)(~0100 ω∆+ω≈∆+ω AAA
式中 )(~01 ωA 是在 0ω 处 ),( ωθA 关于ω的一阶导数向量。
假定宽带干扰信号的总功率谱密度在 ∆+ω∆−ω 00 ~ 范围内，其协方差矩阵对所有频谱分量
都是非相关的，在整个频带内求平均得：
HH
Hssw
tttt
dtt
)](~)(~[)](~)(~[31)](~)(~[)](~)(~[
)](~))(~)(~[()](~))(~)(~[(21
01012
00
010010~~
sAsAsAsA
sAAsAAR
ωω∆+ωω=
∆ω∆+ωω∆+ω∆
=
∗∗
∆
∆−
∗∫
θ−λπ
θλπ
−
θ−λπ
−
θλπ
θ−λπ
θλπ
−θλπ
−
θλπ
θ−λπ
−
=ω
−
−
−
)sin)1(212exp(
)sin212exp(
)sin)1(212exp(
)sin2exp()sin)1(212exp(
)sin212exp()sin
212exp(
)sin2exp()sin)1(212exp(
)(~
10
10
10
20
10
20
10
20
10
0
J
J
J
Mdj
dj
Mdj
djMdj
djdj
djMdj
L
ML
L
ML
L
MM
MM
A
θ−λπ
θ−
θλπ
−θ−
θ−λπ
−θ−−
θ−λπ
θ−
θλπ
−θ−
θ−λπ
−θ−−
=ω
−−
−
−−
)sin)1(212exp(sin)1(
211
)sin212exp(sin
211
)sin)1(212exp(sin)1(
211
)sin)1(212exp(sin)1(
211
)sin)212exp(sin
211
)sin)1(212exp(sin)1(
211
)(~
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
01
JJ
J
JJ
MdjMdc
j
jdc
j
MdjMdc
j
MdjMdc
j
djdc
j
MdjMdc
j
L
ML
L
ML
L
M
M
A
由于选择了天线阵列的中点为相位中心，因此
0)(~)(~010 =ωω ∗ HAA
即 )(~0ωA 与 )(~
01 ωA 正交。在输出 SINR 的计算中，用 )1,,2,1( −= Jii Lθ 的极大似然估计
)1,,2,1(ˆ −= Jii Lθ 代替 )(~01 ωA 中的 )1,,2,1( −= Jii Lθ ， )(~
0ωA 的计算仍采用观测样本数据。
仍然假定空间有三个干扰源，来波方向分别为o301 =θ ，
o581 =θ ，o421 −=θ ，带宽均为中心频率
的 5%。仿真得到下图所示的输出 SINR 与样本数之间的关系曲线。结果表明，适当阶次的导数约束
对自适应滤波性能有很好的改善。
图 宽带干扰 RADBFA算法输出 SINR与节拍数关系曲线
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5
0
5
10
15
20
q=2
q=1
q=0
optimum
3、移动干扰
研究存在两个移动干扰的情况，设干扰来波方向随时间变化关系为
tttt oooo 1.068)(;1.030)( 21 −=+= θθ
下面两图分别对应于移动干扰与有用信号相关和非相关情形。显然，采用 RADBFA算法，适当
的导数约束对保证输出 SINR的鲁棒性，效果非常明显。
图 相关移动干扰输出 SINR与节拍数关系曲线
图 非相关移动干扰输出 SINR与节拍数关系曲线
通过上述对三种不同情况的仿真研究，我们得出结论，RADBFA算法能适应宽带、移动、相关
干扰环境。在优化判据中，通过附加适当的导数约束，能使空域滤波性能得到有效改善。
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2005
10
15
20
sample snapshot
outp
ut S
INR
optimum value
q=2
q=1
q=0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-5
0
5
10
15
20
sample snapshot
outp
ut S
INR
optimum value
q=2
q=1
q=0
第五章 多用户检测技术
众所周知，CDMA通信系统是一个自干扰系统，其容量和性能主要受其他用户的干扰，
传统的匹配滤波接收机或者相关接收机存在两个主要问题：
1、 多址干扰低限（interference floor）这是由于干扰信号与期望信号不是完全正交，期望用
户匹配滤波器输出中总会含有来自多址干扰成分，所以，即使接收系统热噪声电平趋于
零，接收系统误码性能还是有非零下界，这个下界就是多址干扰下限。
2、 远近效应问题 在异步扩频系统或同步扩频系统中，扩频码不可能完全正交，如果干扰
用户较期望用户远离基站或衰落深度不同，那么干扰用户对基站的接收功率会比期望用
户接收功率大，即使准确得到本地扩频序列，它与干扰信号互相关也可能比期望信号相
关值大，导致输出信号中多址干扰分量淹没期望信号的严重后果，这就是扩频通信中典
型的远近效应问题。
目前，CDMA 系统缓解多址干扰的主要手段是采用严格的功率控制技术，但是这种技
术只能在一定程度上控制远近效应，不能从根本上消除 MAI，因而对系统容量的提高非常
有限。在 CDMA系统中，多用户检测（MUD）是最新发展起来的用以消除多址干扰的技术，
又称为联合检测或干扰抑制技术。基本思想是对各个用户作联合检测或从接收信号中减掉干
扰信号，从而有效消除多址干扰和码间干扰，缓解远近效应，改善系统性能，提高系统容量。
MUD 的理论研究起源于八十年代初期。早在 1979 年，Schneider就提出将多个用户的
码元和定时信息（或振幅和相位信息）联合起来，用于检测每个用户信息，并提出了一种迫
零算法。随后，Kashihara和 Kohno又提出多址干扰消除接收机结构，并设计出了一种异步
多用户通信中使用维特比算法的最有接收机。MUD技术真正引起广泛关注得益于 Verdu的
研究工作。1986年，他提出以匹配滤波器加维特比算法来实现最大似然序列检测（MLSD），
适用于受 ISI影响的信道。虽然这种算法的复杂度与用户数呈指数增长关系（2k），而且MLS
检测器还需要知道接收信号的幅度和相位，但是他的研究思想为MUD的进一步研究和实用
化奠定了基础，促使人们去寻求比传统检测器更好的各种次优多用户检测器。
目前已提出很多种MUD算法，按照处理方法可以分线性和非线性两类；按照检测器处
理信号时需要知道期望用户信息量的多少分为盲和非盲多用户检测器。线性多用户检测器包
括解相关检测、最小均方误差检测等；非线性检测器包括并行（串行）干扰抵消算法、多级
检测、非线性类概率检测等。
一、MUD的基本思想
在CDMA系统中，小区干扰分为三种：接收机收到的热噪声、用户信号的码间干扰（ISI）、
多址干扰（MAI），这三种干扰各有不同的消除办法。在实际系统中，热噪声的影响远远小
于 MAI 的影响。在通常使用的无线电通信系统中，均通过限制接收机噪声系数来确定接收
机的灵敏度。ISI 的形成有多种原因（在第二章均衡技术介绍中已有说明），主要包括（1）
信号传输时没有满足 Nyquist第一准则，即在抽样时刻存在失真，解决的办法是用升余弦滚
降滤波器对其滤波避免；（2）由无线传输信道的多径效应引起，这种干扰是不可避免的，只
能采用均衡技术克服。
扩频通信理论表明，在用户接收机完全同步并采用理想正交扩频码的条件下，用户之间
不会产生多用户干扰。但是在多径衰落信道中，理想的完全同步是无法实现的，扩频码也不
可能做到完全正交。理论分析已经证明，同时具有理想自相关特性和互相关特性的二进制扩
频码是不存在的，即始终存在一个界，称为Welch界。所以 CDMA扩频通信系统中，用户
之间必然存在一定的相关性。虽然单个用户产生的 MAI 不大，但是随着用户数的增加和信
号功率的增大，MAI成为宽带 CDMA通信系统的主要干扰源，限制了系统容量的增加和性
能的改善。MAI 又分为小区内干扰和小区间干扰两部分。其中小区间干扰是指其它同频小
区产生的干扰，可以通过合理的小区配置减小其影响，最坏情况下，其干扰功率不会超过小
区内干扰的 60％，因此系统容量主要取决于对小区内干扰的处理技术。
传统的检测技术仅通过扩频码波形设计、功率控制、FEC 编码、自适应天线空分技术
来降低多址干扰的影响，效果很差，特别是用户增加后，新增干扰部分根本无法消除。MUD
技术是在传统的检测技术基础上，充分利用造成 MAI 的所有用户信息，对单个用户的信号
检测能解决远近效应问题，因而抗干扰能力强。从信息论观点看，传统检测技术将 MAI 看
成是高斯噪声，在信号处理中，将有用部分也作为噪声丢弃了，导致误码率增加；而MUD
技术充分利用系统传输的相关有用信息（如用户码元、定时、信号幅度、相位等）联合检测
单个用户信息，获得最佳判决效果，应用MUD技术可以降低系统对远近效应的敏感度，简
化功率控制系统设计，有效利用上行链路频谱资源。在理想MUD系统中，小区内干扰可以
完全消除，处理后最大系统容量增益可达 2.8倍。
MUD系统的一般结构是在相关接收后接入一个变换矩阵，如果变换矩阵是线性的，称
为线性MUD，否则就是非线性MUD。线性MUD工程实现的主要问题是需要进行矩阵求逆，
用户增加后，矩阵维数同步增加，求逆的运算量会很大；非线性MUD利用干扰消除技术，
可以避免矩阵运算，但目前还没有系统的数学描述和分析工具，技术显得不成熟。综上所述，
MUD技术的优点非常明显，但是在实际应用中，目前还有一定局限性：（1）只能消除小区
内干扰，对小区间干扰不能处理；（2）算法复杂度高，难以工程实现。目前对MUD技术研
究较多方向是将MUD技术与空时二维信号处理、多载波调制、信道编码、功率控制技术结
合处理。
二、多用户检测算法
例如：一种新的盲多用户检测器（电子学报 2002年 6月 Vol.30(6)，焦李成等）
第六章 空时二维处理技术
§6－1 空时无线信道特征和模型
在通信信号处理领域，单独的空域和时域信号处理技术在过去 20年已经得到广泛的研究和发展。
通过前面的介绍，我们可以知道，空域处理采用天线阵列，侧重于区别不同用户信号在空间的不同特
征，可以有效减少来自不同方向的非目标用户在天线阵列上产生的同道干扰。但是在富含多径的实际
信道中，完全消除CCI需要太多的天线阵元，这在实际系统中是不可能实现的。另一方面，时域处理
采用单天线和多个时间处理单元，侧重于减少用户信号在时域上产生的符号间干扰 ISI，但是研究表明，
以符号速率采样，不可能完全消除 ISI。应用过采样可以改善性能，但是过分提高采样速率又会引起噪
声增加。因此，时域处理对 ISI的作用也是有限的。
在蜂窝通信系统中，CCI 和 ISI 总是同时存在的，单独的时域处理或空域处理不可能同时对消这
两种干扰。将空间和时间处理有效结合，同时利用信号的时间和空间特征可以很好的解决上述问题。
这种联合的空时信号处理技术不仅可以对消 CCI 和 ISI，还可以提高阵列增益和分集增益，从而提高
网络的容量和覆盖范围。下面首先给出一些典型的空时无线信道模型。
假定接收系统有 M个天线阵元，用方向矩阵 A 表示其响应。当辐射源频率和极化方式确定后，
天线输出信号与天线增益成正比。还是考虑远场平面波的情况，天线阵元m的瞬时响应形式为：
)(2)()( θτπθθ mcfjmm eGA −=
针对波达方向θ 的辐射源，阵列响应为（以第一个阵元为相位参考点）
=
−
−
)(2
)(22
1
)(
)()(
)(2
θτπ
θτπ
θ
θθ
θ
Mc
c
fjM
fj
eG
eGG
aM
其中 )(θmG 为第m个阵元指向波达方向θ 的增益（各向同性天线其值为 1）； )(θτ m 为参考阵元与第
m个阵元接收来自波达方向θ 的信号之间的传播时延。
线性传播媒体满足叠加定理，假定空间存在Q个辐射源（也可以认为是多径数），波达方向为 iθ ，
波达时间为 iτ ，路径衰减为 iβ ，接收信道冲激响应为：
∑=
−=Q
iiii tatc
1)()()( τδβθ
对于时变信道，公式中所有参数均为时变的。就基站而言，对于单个用户来波，Q＝2～6，角度扩展 5～
15度；对于移动用户，Q＝50左右，角度扩展可达 360度。
在蜂窝移动网应用中，根据实际环境不同，总结了许多空时信道模型，典型的有以下几种：
1、 Lee模型 在这种模型中，认为散射体均匀分布在以辐射源点为中心的园环上，每个散射体代表
这个范围内多个散射体的总体效应，称为有效散射体。园环半径的典型取值为 100～200波长，这
样各条多径路径波达方向为 NiiND
Ri L,2,1,0)2sin( ==
πθ ，其中 N 为散射体个数（即产生
多径数）；R为园环半径；D为辐射源到接收阵列相位中心间距。
2、 几何单反射椭圆模型 在这种模型中，认为散射体均匀分布在收发终端之间的一个椭圆内，收发
两点位于椭圆的两个焦点处，只考虑绝对时延小于某个门限值 mτ 的多径信号。这个模型适用于天
线高度较低的微小区和微微小区。椭圆模型中主要参数分别定义为：
长半轴： 2/mm ca τ= ，短半轴：222 Dcb mm −= τ
3、 Raleigh时变信道模型
假设在某个时刻，信道由 L个主反射体表征，接收信号向量可以表示成为：
)()()()()(1
0
tntstatxL
illl +−= ∑
−
=
ταθ
其中路径衰落包络 )()()( llll tt τψβα Γ= ， lΓ 代表对数正态衰落； )( lτψ 为总的功率延迟； )(tlβ
为随时间变化的复强度 ∑−
=
Ω=1
0, ))cos(2exp()()(
lN
nlndlnl tnfjCKt πθβ ， lN 为第 L 个主反射体的多
径分量数；K为天线增益和发射信号功率因子； )( lnC θ 为信号强度； df 为最大多普勒频移； ln,Ω 为
第 L个主反射体的第 n条多径方向与目标移动方向之间的夹角。
除以上信道模型外，还有基于宏小区特征的几何单反射圆周模型、高斯广义稳态非相关散射模型、
高斯波达角模型、基于GSM系统的仿真模型（TU模型和BU模型）、均匀扇区分布模型等。
§6－2 空时接收技术
空时处理典型的优化准则有两个，一个是空时最小均方误差准则（MMSE），另一个是最大似然序
列估计准则（MLSE）。
一、 空时MMSE准则
基本思想：设计一个空时滤波器，前面是波束形成器，级联一个均衡器，使得输出与期望信号之
间的均方误差为最小。
在空时结合信号处理系统中，空时滤波器为一个加权矩阵
)()(
)()(
1
111
kwkw
kwkw
mMm
M
L
LLL
L
这意味着天线阵列有 m个阵元，每个阵元的时域处理中，引入M个抽头的横向滤波器。将送入每个
横向滤波器抽头的输入信号用一个向量算子表示为 ))(()( kXveckx = ，导向向量也用向量算子表示
)(Avec ，空时处理后的加权标量输出为 )()()( kxkwky H= 。基于MMSE准则选择滤波器加权值：
2
2)()(minarg τ−−= tskxwEw H
w
时延τ 的选择取决于滤波器的性能。上述最小二乘问题有以下优化解
hRw xx1−=
其中， )]()([)],()([ * τ−== tskxEhkxkxER Hxx 。上述优化解可以用任意一种自适应迭代运算算
法求解。
由此可见，空时MMSE准则综合了时域一维处理和空域一维处理的优点，同时兼顾了同道干扰和
码间干扰减小与噪声增强之间的矛盾。其本质是用空间维消除同道干扰，用时间维或空间维消除码间
干扰。一种基于空时MMSE准则设计的空时决策反馈均衡器系统结构如图所示：包括线性前馈滤波器
组（即空时处理器）、相加器、码率采样器、双向限幅器以及同步线性反馈滤波器组成。前半部分就是
典型的空时滤波器，后半部分实际上是前面第三章我们讲过的自适应均衡算法中Bussgang算法针对二
进制等概数据序列定义的决策指示算法。
二、 空时MLSE准则
基本思想：在已知接收信号的条件下，估计已经发送出去的数据序列，信道模型用一般形式：
)()()( kNkHSkX +=
假定噪声是空域和时域高斯白噪声，最大似然序列估计问题就是求数据矩阵 S，使其满足最大似
然准则的解：2minargFS
HSXS −= ，前提是信道矩阵是已知的。应用Viterbi算法可以获得 S的估
计值。一种典型的实现形式如图所示，由空时处理器和最大似然序列估计器级联而成。优化的目标是
使信号功率对同道干扰＋噪声功率之比最大，并将合并后的采样序列中的通道干扰和噪声份量白化。
§6－3 空时盲均衡
前面第二章我们讲过的均衡是指对单个天线阵元信号进行均衡处理，所用算法都要求有训练序列。
我们知道，在通信传输中，使用训练序列必然要占用资源，减少信息比特率。本节要介绍的盲均衡技
术是指不使用训练序列的均衡算法，而且可以针对有多个阵元组成的天线阵列系统，所以称为空时忙
均衡技术。
Wo(f)
Wj(f)
WM-1(f B(f)
Wo(f)
Wj(f)
WM-1(f
MLSE后白化
滤波器
为了保证拨通信道滤波器基带冲激响应互不相关，在设计阵元空间分布时，等距线阵中阵元间隔
为半个波长。
在离散时刻 n，假定码间干扰的时间宽度为 ],[ maxmin nn ，即码间干扰的长度为
1minmax ++= nnL ，第 k个阵元的输出信号为：
∑−=
−=max
min
)()()(n
nikk insihnx
其中 )( is 为信源在时刻 i 发射的恒模信号，码间间隔为 T。为了减少对阵元数的要求，假定在不同
阵元上都使用长度大于 L的 FIR滤波器，长度为 p，这样第 k个阵元的输出信号为：
∑−
−=
−=max
min
)()()(np
nikk insihnx
假设阵元数为M，阵列接收信号用向量表示为：
)()( nn Hsx =
其中H是一个 )1( −+× pLMp 维矩阵。令空域均衡器的权向量为：
[ ]TpMMp wwww ,1,,11,1 LLL=w
这个权向量应满足均衡关系 )()( τ+= nsnH xw ，其中为某个固定时延。这个关系存在的充要条件为：
[ ]LL 0100=Hw H，其中 1 出现在第τ 个位置处。显然，为了保证上式有唯一的解，
矩阵H必须是满列秩的，即 )1( −+≥ pLMp 。
上式表明，通过选择时域 FIR滤波器的长度 p，就可以用较少的阵元数M来抑制长度为 L的码间
干扰，从而实现信道均衡。
对于实际系统来讲，信道冲激响应矩阵H是未知的，因此空时均衡器加权向量应该采用迭代递推
方式计算。唯一需要知道的先验信息只有要求发射信号具有恒模特性，更新算法为：
)()()(
]1)()[()(
)()()()1(2*
nnny
nynyn
nnnn
H xw
xww
=
−=
−=+
ε
εµ
由此得到如下结论：在阵列各个阵元输出端加长度相同的 FIR滤波器就组成空时均衡器。与时域
一维均衡相比，不需要训练信号，适用于高速通信系统；与空域一维均衡相比，可以用较少的阵元实
现干扰长度较长的码间干扰抑制。盲均衡技术的主要热点问题是快速算法研究等。
§6－4 空时RAKE接收技术
空时二维信号处理技术更多的是用于 CDMA系统。大家知道，CDMA系统有两个问题对性能和
容量影响最为严重，一个是远近效应，目前主要采用功率控制技术抑制其影响，但是功率控制只适用
于平稳信道和慢速移动用户；另一个是多址干扰，采用多用户检测可以改善性能。此外，利用指向波
束也能减少总的多址干扰功率强度，从而抵消远近效应的影响。自适应天线在空域改善系统性能，
RAKE 接收通过时域运算改善性能。空时二维 RAKE 接收技术是将自适应阵列与 RAKE 接收技术综
合在一起，可以同时得到空间分集和时间分集。这里我们以DS-CDMA通信系统中二维RAKE接收为
例介绍这种技术的基本知识。
一、 信号模型
假定系统天线阵列有N个阵元、K个用户、每个用户有 L条多径，用户 k发射的扩频基带信号可
以表示为：
∑∞
−∞=
−=n
kkk ntcnbts )()()(
其中， )(nbk 为第 n个符号比特值； )(tck 为第 k个用户的扩频码，假定比特间隔归一化为 1，扩频码
长 cc TL /1= 即为扩频增益。第 k个用户发射的信号经过 kL 条多径传播到接收阵列，由此得到天线阵
列接收信号向量为：
)()()()(1 1
ttstK
k
L
l
lkk
lk
lkk
k
nax +−= ∑ ∑= =
τθρσ
其中 kσ 为接收到的各个用户直视路径信号幅度；lkρ 为第 k个用户的的 l条多径的相移； l
kθ 为第 k个
用户的的 l条多径的方向角； lkτ 为第 k个用户的的 l条多径的传播时延； )(tn 为独立同分布的高斯白
噪声向量。
二、 单用户空时二维RAKE接收机
在多用户 CDMA系统中，为了解调出用户 j的第 i个比特信息，所有天线阵元对用户 j所有路径
的输出都要通过冲激响应 )()( tcth j −= 的匹配滤波器，滤波器组输出为
)(*)()(*)()()()(1 1
tcttcntcnbty j
K
k
L
lj
n
lkkk
lk
lkkj
k
−+−−−= ∑ ∑ ∑= =
∞
−∞=
na τθρσ
解调用户 j的第 i个比特信息的判决式为
)](sgn[Re)(ˆ iyib jHjj w=
其中， jw 是天线阵列的权值，对于单用户检测而言，对 jw 的选择有三种不同的判决准则：（1）空
时匹配滤波器（STMF）准则，这是一种最简单的现行混和准则，直接取 jj hw = ，即取权值为信道
冲激响应矩阵；（2）最小均方误差（MMSE）准则，选择权值向量使得第 j 个用户信号与线性混合输
出的均方误差为最小，即 )()(minarg2
iyibE jHjjj ww −= ；（3）最大信干比（MSIR）准则，
选择权值使得输出信干比为最大，即
22
2
)()(
)(minarg
iyEiyE
iyEw
jHjj
Hj
jHj
jww
w
−=
在上述三种判决准则中，匹配滤波器准则不依赖于接收数据，仅仅取决于信道冲激响应；而后两种准
则都要依赖于接收数据，因此性能会优于前者。
通过以上分析，我们可以知道二维 RAKE 接收实际上是对空域上每个阵元输出使用时域 RAKE
处理。蜂窝无线网络已越来越多的使用空时处理技术改善系统性能，空时处理不仅能提高系统容量，
而且还可以改善蜂窝覆盖范围，增强链路质量。但是由于无线移动信道固有的多径延迟、角度扩展等
因素的影响，使得空时处理的实现非常复杂，特别是在前向链路实现空时处理非常困难，因为前向信
道的估计很困难。空时编码的提出为空时信号处理指出了一个很好的发展方向，结合空时编码的多天
线发射分集技术可以有效地对抗无线信道的衰落，这种技术已经被确定为 3G 通信标准中。此外，空
时处理与正交频分复用技术（OFDM）结合、空时处理与 Turbo码结合都是该方向研究热点。