量子物性物理学とトポロジー -- 対称性、量子もつれ...

量子物性物理学とトポロジー� 対称性、量子もつれ、トポロジー �

笠　真生

シカゴ大物理

September 29, 2017

今日のお題

� 量子と古典のはざまで

� 量子多体系

� 古典系にない相関� 量子もつれ� トポロジカル相 (≃ 量子異常)

(≃ ロバストな (�量子化�)されたエンタングルメント)

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量子凝縮系物理における (広い意味での) トポロジカル相"Topological phases of matter"

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Congratulations!

� 2016 Nobel Prize in Physics was awarded to David J. Thouless, F.Duncan M. Haldane and J. Michael Kosterlitz "for theoreticaldiscoveries of topological phase transitions and topological phases ofmatter".

� TKNN公式 (量子ホール効果における位相不変量)� ハルデン相 (対称性に保護されたトポロジカル相)� ベレジンスキー・コステリッツ・サウレス転移

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様々なトポロジカル相

Topological systems Related concepts

整数量子ホール効果ベリー位相分数量子ホール効果位相不変量

トポロジカル秩序/エ二オン

ハルデン相対称性に保護されたトポロジカル相 (SPT相)トポロジカル絶縁体

トポロジカル超伝導体マヨラナ粒子

......

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Outline

1. 整数量子ホール効果� トポロジカル相と量子異常

2. ハルデン相� 対称性に保護されたトポロジカル相

3. トポロジカル超伝導体� マヨラナ粒子相

4. まとめ

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TKNN公式

� Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs (TKNN) 公式:��

� σxy =

e2

ℏ1

2π

∫d2kB(k) = e2

h× (整数)

[Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs (82), Kohmoto (85)]

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What is it about?� 強磁場下の 2次元電子系における量子ホール効果

� チャーン絶縁体 (一様磁場なし)(例:ハルデン模型) [Haldane (88)]

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� 量子化ホールコンダクタンス:

Jx = σxyEy, σxy =e2

h×整数

� TKNN公式：量子化の起源の説明

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Ingredients in TKNN� 固体中の電子に対するシュレディンガー方程式：[

−ℏ2∇2

2m + V (r)]ψ(r) = εψ(r)

� エネルギーバンド εn(k) とブロッホ波動関数 |un(k)⟩

� エネルギーバンド εn(k)とフェルミエネルギー εF =⇒ バンド金属v.s. バンド絶縁体

� Only energy dispersion matters? 波動関数 |un(k)⟩の役割?

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� TKNN公式は波動関数のみに依る:

σxy =e2

ℏ1

2π

∫d2k B(k) = e2

h× (整数)

ここで� Aj(k) = i⟨un(k)| ∂

∂kj|un(k)⟩: 運動量空間のベリー接続

(non-dynamicalな U(1) ゲージ場)� B(k) = ∇k × A(k); ベリー磁場 orベリー曲率

� 磁場の 2次元閉面積分は量子化されている (ディラックの量子化規則)

� ホール伝導度 =トポロジカル不変量 (チャーン数)!

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運動量空間でのアハラノフ-ボーム効果� 運動量空間のブロッホ波動関数: How does |un⟩ change? How |un⟩at k and k′ are related?

� ブロッホ波動関数の Adiabatic transport

ブロッホ波動関数は自分自身に戻ってくるとは限らない！

ベリー位相: γ =

∫dSB(k) =

∮dl · A(k)

　

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運動量空間でのアハラノフ-ボーム効果� 運動量空間のブロッホ波動関数: How does |un⟩ change? How |un⟩at k and k′ are related?

� ブロッホ波動関数の Adiabatic transport

ブロッホ波動関数は自分自身に戻ってくるとは限らない！

ベリー位相: γ =

∫dSB(k) =

∮dl · A(k)

　

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トポロジカル相の一般的性質

� 異なった量子相を波動関数の大域的な性質によって区別する

� バルク・境界対応

� · · ·

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自発的な対称性の破れを伴う相

� ランダウ・ギンツブルグ・ウィルソンパラダイム：異なった相を対称性の破れの観点から理解する枠組み。

� 局所的な秩序変数の存在。

� 例：磁性秩序変数 = 磁化M

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Symmetry breaking paradigmを越えて

� 量子相には局所的な秩序変数で記述できないものが存在する。

� 例:量子ホール効果

異なった量子化プラトー⇐⇒ 異なった量子相

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波動関数のトポロジーによる量子相の区別� 異なった量子相⇐⇒ 異なったトポロジカル数・波動関数の大域的な性質 (トポロジー)

1

2π

∫d2kB(k) = (チャーン数) = (整数)

� C.f. アナロジー：量子相を σxy で区別⇔ 曲面を穴の数で区別；

ガウス・ボンネの定理:1

4π

∫2 次元閉曲面

(曲率) = 1−穴の数

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波動関数のトポロジーによる量子相の区別

� 絶縁相を波動関数の性質 (トポロジー)の観点から区別

� 自明な絶縁体 = 原子極限に連続的につながる、”量子もつれのない”状態

� トポロジカルな絶縁体 = 自明な絶縁体に連続的につながらない

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波動関数のトポロジーによる量子相の区別

� トポロジカル不変量は状態の微小な変形に対して不変

� ⇒ 異なったトポロジーを持つ波動関数は連続的に移り変わることができない；それらは相図上で異なった相に属する；間には必ず相転移が存在。

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端状態とバルク・境界対応

� トポロジカル相の境界には gaplessな励起が必然的に存在する；「局所的な相転移」

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バルク・境界対応と量子異常

� 端状態の粒子数は保存しない。U(1)対称性の量子的な破れ「量子異常」

� 端状態 (境界状態)のトポロジカルな性質 (量子異常)と、バルクのトポロジカル数には、1対 1対応の対応がある。

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凝縮系物理におけるトポロジカルな現象

J ∼ (−e)

∫ddk

((τ

ℏE · ∇kf0)

∂ε

ℏ∂k︸︷︷︸dynamical part

+ f0e

ℏE × B︸︷︷︸

“topological“ part

)

� 量子効果 (波動関数効果)が顕著に効いている

� 不規則性や相互作用などの摂動に対して安定である (e.g., 量子化コンダクタンス)

� 散逸を伴わない (No dynamics, no Joule heating)

� 制御可能な応用:� 散逸や乱れの影響がない量子輸送� 交差応答；スピントロニクスなど� エニオン、マヨラナ粒子を使った、デコヒーレンスの影響を受けない量子計算

� etc.

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量子ホール系以外にトポロジカル相は存在するか？Topological phases beyond the quantum Hall e�ect?

� 空間 2次元

� 強い磁場による時間反転対称性の破れ

� 粒子数を保存する系

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様々なトポロジカル相

Topological systems Related concepts

整数量子ホール効果ベリー位相分数量子ホール効果位相不変量

トポロジカル秩序/エ二オン

ハルデン相対称性に保護されたトポロジカル相 (SPT相)トポロジカル絶縁体

トポロジカル超伝導体マヨラナ粒子

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トポロジカル相と対称性

� � 波動関数の大域的な性質による相の区別� 相図のトポロジー� バルク・境界対応

� これらの性質は対称性の存在下でも議論することができる。

� トポロジーと対称性の interplay:

� 対称性に保護されたトポロジカル相 (Symmetry-Protected Topologicalphases; SPT相)

� 対称性を伴うトポロジカル相 (Symmetry-Enriched Topologicalphases;SET相)

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対称性に保護されたトポロジカル相 (SPT相)

� 対称性を無視した場合、SPT相は自明な状態に連続的に変形できる。

� しかし対称性を課した場合、SPT相は自明な状態と明確に区別できる。

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� 例：時間反転対称なトポロジカル絶縁体、一次元スピン鎖におけるハルデン相。

� Symmetry-breaking paradigmは適用できない：局所的な秩序変数はない

� ⇛ トポロジカル不変量を考える必要がある。

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Phases of condensed matter

Symmetry protected

topological phases

(SPT phases)

Topologically ordered phases

Long-range entangled states

Trivial phases

Short-range entangled states

(a.k.a "invertible" states)

No topological

order

Topological

order

Symmetry enriched

topological phases

(SET phases)

Symmetry

GappedGapless

No spontaneous

symmetry breaking

Spontaneous

symmetry breaking

Gapless Gapped

Continuous

symmetry-broken

phases

Discrete

symmetry-broken

phases

Symmetry

Quantum critical

disordered phases

and critical points

Other phases

Symmetry breaking coexists

with topological order

...

Ordered phases Quantum disordered phases

Gapped quantum

disordered phases

Phases of matter

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ハルデン相

� スピン１反強磁性ハイゼンベルグ模型：　

H = J∑i

Si · Si+1, J > 0

� Gapped, unique ground state, no SSB =⇒ 量子スピン液体

� 時間反転対称性、又は、スピン回転対称性（の一部）によって保護された、SPT相

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バルク・境界対応

� スピン 1/2の端状態

� 量子異常：系の端状態はスピンの回転で不変でない ((−1)の符号をひろう)。

� ハルデン状態＝スピン一重項の集まり（C.f. RVB状態）

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時間反転対称性と量子もつれ� ベル状態：|Ψ⟩ = 1√

2[|01⟩ − |10⟩]

ρ = |Ψ⟩⟨Ψ| = 1

2[|01⟩⟨01|+ |10⟩⟨10| − |01⟩⟨10| − |10⟩⟨01|]

量子もつれをどのように特徴づけるか？

� 部分転置：

ρT2 =1

2[|01⟩⟨01|+ |10⟩⟨10| − |00⟩⟨11| − |11⟩⟨00|]

� 部分転置で影響される⇒量子もつれあり部分転置で影響されない⇒量子もつれなし

� 負固有値の存在：Spec(ρT1) = {1/2, 1/2, 1/2,−1/2}.

� C.f. 古典的な状態：

ρ =1

2[|00⟩⟨00|+ |11⟩⟨11|] = ρT2

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部分転置（ボソンの場合）

� 定義: for the density matrix ρA1∪A2 ,

⟨e(1)i e(2)j |ρT2

A1∪A2|e(1)k e

(2)l ⟩ = ⟨e(1)i e

(2)l |ρA1∪A2 |e

(1)k e

(2)j ⟩

where |e(1,2)i ⟩ is the basis of HA1,A2 .

� 部分転置=部分時間反転

H∗ = HT

� 密度行列の「非対角項」からくる量子相関を detect：Entanglementnegativity and logarithmic negativity

1

2(Tr |ρT2

A | − 1), EA = log Tr |ρT2

A |

[Peres (96), Horodecki-Horodecki-Horodecki (96), Vidal-Werner (02),

Plenio (05) ...]

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部分転置を使ったトポロジカル不変量の構成

� Partial transpose can be used to construct/de�ne topologicalinvariants of bosonic topological phases [Pollmann-Turner]

� Start from the reduced density matrix for the interval I,ρI := TrI |Ψ⟩⟨Ψ|.

� I consists of two adjacent intervals, I = I1 ∪ I2.

� Consider partial time-reversal acting only for I1; ρI −→ ρT1

I .

� Partial time reversal ≃ partial transpose.

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� The invariant is given by the phase of: Z = Tr[ρIρT1

I ].

C.f. Negativity: Tr |ρT1

I |� Matrix product state representation:

� Wave function;

Ψ(s1, s2, · · · ) =∑

{in=1,··· }

As1i1i2

As2i2i3

As3i3i4

· · · sa =↑, ↓

� Topological invariant:Z = Tr[ρIρ

T1I ]

:

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� The invariant "simulates" the path integral on real projective planeRP 2 : [Shiozaki-Ryu (16)]

= = = =

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トポロジカル超伝導体

� 超伝導体にはトポロジカルな区別があるか？

� 超伝導体 = クーパー対 (ボソン) + BdG 準粒子 (フェルミオン)

� Bogoliubov-de Genne ハミルトニアン:

H =1

2

∫Ψ† HΨ, H =

(ξ ∆

−∆∗ −ξT)

where Ψ = (ψ†↑, ψ

†↓, ψ↑, ψ↓)

T

� ギャップの開いた超伝導体＝ BdG準粒子の"バンド絶縁体"

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H =1

2

∫Ψ† HΨ, H =

(ξ ∆

−∆∗ −ξT)


†↓, ψ↑, ψ↓)

T


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H =1

2

∫Ψ† HΨ, H =

(ξ ∆

−∆∗ −ξT)


†↓, ψ↑, ψ↓)

T


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H =1

2

∫Ψ† HΨ, H =

(ξ ∆

−∆∗ −ξT)


†↓, ψ↑, ψ↓)

T


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キタエフ鎖

� 一次元の超伝導体：(以下、簡単のため∆ = tとする)

H =∑j

[− tc†jcj+1 +∆c†j+1c

†j + h.c.

]− µ

∑j

c†jcj

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キタエフ鎖

� 相図：二つの相

� 二つの相はトポロジカルに異なる：2|t| ≥ |µ|の相はトポロジカル超伝導体

� 二つの相を区別する Z2 値のトポロジカル不変量がある：

exp

[i

∫ π

−π

dkAx(k)

]= ±1

(Ax(k) = i⟨u(k)|∂/∂k|u(k)⟩はベリー接続)

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マヨラナ端状態

� トポロジカル超伝導相では、端状態が存在する（バルク・境界対応）

� The end state is a Majorana fermion. γ† = γ

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マヨラナ端状態

� トポロジカル超伝導相では、端状態が存在する（バルク・境界対応）

� The end state is a Majorana fermion. γ† = γ

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マヨラナフェルミオン

� 粒子と正孔の重ね合わせ：

γ ∼∫dr

(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)

)� マヨラナフェルミオンは自身の反粒子になっている：

γ† = γ

� マヨラナフェルミオンを２つ組み合わせると、通常のフェルミオン�complex fermion� を構成できる：f = γ1 + iγ2。２準位系。

� 二つのマヨラナフェルミオンは、空間的に離れている：

� 情報が非局所的に保存される。

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γ ∼∫dr

(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)


γ† = γ




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γ ∼∫dr

(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)


γ† = γ




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γ ∼∫dr

(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)


γ† = γ




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γ ∼∫dr

(u(r)c(r) + u∗(r)c†(r)


γ† = γ




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�マヨラナダイマー�描像

� 電子が２つのマヨラナ粒子に分数化：

cx = cLx + icRx , c†x = cLx − icRx .

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実験� Proximitized spin-orbit quantum wire [Mourik et al (12)],

� Magnetic adatomes on the surface of an s-wave superconductor[Nadj-Perge et al (14)]

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トポロジカル量子計算、マヨラナ粒子

� マヨラナ粒子は、デコヒーレンスに強い量子コンピュータの構成に役立つと考えられている。

� より一般に、トポロジカル秩序相などに存在するトポロジカルな励起の非可換統計を使って量子計算を行うことが提案されている。（トポロジカル量子計算）

� “I tell my students that 2017 is the year of braiding.”Kouwenhoven@Microsoft and Delft, Nature (05 January 2017)

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マヨラナ粒子のエンタングルメント

� Can partial transpose/negativity can capture fermionicentanglement?

� An example in 1+1 dimensions: the Kitaev chain (with t = ∆)

H =∑x

[− tf†

xfx+1 +∆f†x+1f

†x + h.c.

]− µ

∑x

f†xfx

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マヨラナ粒子のエンタングルメント� Consider log negativity E for two adjacent intervals of equal length.(L = 4ℓ = 8)

� Vertical axis: µ/t ranging from 0 to 6.

� (Blue circles and Red corsses) is computed by Jordan-Wigner +bosonic partial transpose

� Log negativity fails to capture Majorana dimers.

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Topological insight into partial transpose in topologicalphases

� ハルデン相の例から、部分転置には、トポロジカルな解釈を付与することができることが予想される；向きづけ不能な曲面上での場の理論。

� マヨラナ粒子の場合も、部分転置にはトポロジカルな解釈が与えられるべき：このことを指導原理にして、適切な部分転置の定義を探す。

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Partial transpose for fermions � our de�nition

[Shiozaki-Shapourian-SR (16)]

� Expand the density matrix in terms of Majorana fermions:

ρA =∑κ,τ

wκ,τ cκ1m1

· · · cκ2km2k︸︷︷︸

∈H1

cτ1n1· · · cτ2ln2l︸︷︷︸∈H2

�

ρT1A =

∑κ,τ

wκ,τ R(cκ1m1

· · · cκ2km2k

) cτ1n1· · · cτ2ln2l

=∑κ,τ

wκ,τ i|κ| cκ1

m1· · · cκ2k

m2kcτ1n1

· · · cτ2ln2l

where R satis�es: R(c) = ic, R(M1M2) = R(M1)R(M2)

� Simple check:

(ρT1A )T2 = ρTA, (ρTA)

T = ρA, (ρ1A⊗· · ·⊗ρnA)T1 = (ρ1A)

T1 ⊗· · ·⊗(ρnA)T1

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既存の定義との比較

[Shiozaki-Shapourian-SR (16)]

� (Blue circles and Red crosses): Old (bosonic) de�nition

� (Green triangles and Orange triangles) Our de�nition;

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時間反転対称なマヨラナ鎖のトポロジカル不変量� トポロジカル不変量: Z = Tr (ρIρ

T1

I );

� 数値計算

� Z の位相は１の８乗根に量子化されている。[Fidkowski-Kitaev(10)] の結果とコンシステン卜。 57 / 59

まとめ

� マヨラナ粒子のエンタングルメントを特徴づける新しい部分転置操作の提案。�Fermionic partial transpose�

� Fermionic partial transposeを用いた多体のトポロジカル不変量の構成。(C.f. TKNN公式、Kane-Mele公式など。)

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Outlook� 量子異常、トポロジー、量子もつれの関係の解明。� Many future applications, in particular, in numerics.

� NbSe3 Möbius strip

メタマテリアル　 [Ningyuan-Owens-Sommer-Schuster-Simon (13)]

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量子物性物理学とトポロジー -- 対称性、量子もつれ...

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