ECO Systèmes

Christine Garcia, Jean-Marc Fedou

I3S (Nice, Sophia-Antipolis)

PLAN

• Permutations à motif exclu

• ECO systèmes et règles de succession

• Systèmes algébriques

• Règles de succession signées

Permutation

For example

Let be the set of permutations on

Arbre de génération

1

12

123

21

132

312

213

231

312

123412431423412313241342143241323124314234124312213421432413421323142341243142313124314234124312

Pattern For a permutation of k positive integers, the

pattern of is defined as a permutation on Sk obtained from by substituting the

minimum element by 1, the second minimum element by 2, ..., and the maximum element by k .

Restricted Permutation For a permutation and a permutation

, we say that is -avoiding if and only if there is no subsequence

whose pattern is . We write for the set of -avoiding permutations of .

512673849 avoids 321 pattern.

But 512673849 contains 3412 pattern,

since 512673849; 512673849;

512673849.

• For example

• For example

Stack Sorting Problem (Knuth, 1960’s)

8 7 6 5 4 3 2 1

312-avoiding

Arbre de génération

1

12

123

21

132

312

213

231

321

123412431423412313241342143241323124314234124312213421432413421323142341243142313214324134214321

1

132

21213

231

12 312

123

2341

1234

1342

31421324

1243

2143

2314

2413

2134

34123124

14234123

Question (Herbert Wilf, 1990’s)

How many permutations of How many permutations of length do avoid a given length do avoid a given subsequence of length subsequence of length k k ??

For k=3

In 1973, Knuth first proved that is enumerated by Catalan numbers.

In 1972, Hammersley gave the first explicit enumeration for

For k=4

J. West (1990), Z. Stankova (1990’s) classifiedthe permutations with forbidden patterns of length 4, i.e.

1234, 1243, 2143, 1432

1342, 2413

1324

For k=4 1234, 1243, 2143, 1432

In 1990, Ira M. Gessel gave the generating function by using symmetric functions.

1324D. Marinov & R. Radoicic (2003) gave the first few numbers.

1342, 2413In 1997, M. Bόna gave the exactly formula.

Open Problems

Conjecture ( Stanley and Wilf, 1990’s)

For each pattern , For each pattern , there is an absolute there is an absolute constant so thatconstant so that holds.holds.

2 (3n)! /(n+1)!/(2n+1)!

• Cartes planaires pointées non séparables Tutte (1963)

• Permutations triables par deux piles et Sn(2341,35241) – Zeilberger – West– Dulucq, Gire, Guibert, West

Cartes planaires pointées non séparables

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PLAN

• Permutations à motif exclu• ECO systèmes et règles de

succession• Systèmes algébriques• Règles de succession signées

ECO Systèmes

Enumerating Combinatorial ObjectE. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani (1997)

• Construction récursive

• Séries génératrices

• Bijections

• Génération aléatoire uniforme

Méthode ECO

• On={objets de taille n}

• Opérateurs – T : On On+1

– Pour chaque Q de On+1, il existe un P de On tel que Q est dans T(P).

– Si P1 et P2 sont deux objets distincts de On , alors T(P1) T(P2) = Ø

Pinzani, Barcucci (1997)U

Arbres binaires complets Définition récursive classique

ECO système

2

1

7

3

5 6

4

1

7

5

63 4

2

Sites actifs

7

5 6

76

ECO système

k Sites actifs…

(2)(k)

…

ECO système

…

(k) (k+1)

k Sites actifs

Arbres binaires complets

……

(k) (2) (3)…(k+1)

k Sites actifs

2

22

23

2

2

2

3

2

2

3

3

4

5

343 3

434

(2)(k) (2)(3)…(k)(k+1)

Règle de succession

• Axiome : un entier a• Règle : une fonction successeur de N dans

P(N)

• On s’intéresse à l’ensemble des mots de N*– qui commencent par l’axiome– où chaque lettre appartient au successeur de la

précédente

• ECO systèmes et Bijections

1

132

21213

231

12 312

123

2341

1234

1342

31421324

1243

2143

2314

2413

2134

34123124

14234123

1

132

21213

231

12 312

123

2341

1234

1342

31421324

1243

2143

2314

2413

2134

34123124

14234123

2

22

23

2

2

2

3

2

2

3

3

4

5

343 3

434

(2)(k) → (2)(3)…( )( +1)k k

• Règles de succession et Séries génératrices

Séries génératrices

• Si an désigne le nombre d’objets de « taille » n, la série génératrice des objets selon le paramètre « taille » est la fonction

f(x) = n≥0 an xn

• Pour deux paramètres

f(x,s) = n≥0, k≥0 an,k sk xn

ECO et séries génératricesAn,k nombre d’arbres à n sommets internes k sites actifs

kn

knkn sxAsxF

,,),(

x ns k x n+1 s 2+ x n+1 s 3+…+ x n+1

s k+1x n+1 s 2

1-s(1-s k)

F(x ,s)xs xs2

1 sF(x,1) xs2

1 sF(x ,s)

2

x1s2x2(s2 +s3)

x3(2s2 +2s3 +s4)

x1

2x2

5x3 14x3

Catalan

Problème (R.Pinzani)

Quels sont les systèmes ECO qui donnent :• Séries génératrices Rationnelles • Séries génératrices Algébriques • Séries génératrices Transcendantes

On Generating Functions of Generating TreesC.Banderier, M.Bousquet-Mélou, A. Denise,

P. Flajolet, D.Gardy, D.Gouyou-Beauchamps (1999)

?

Séries génératrices Rationnelles

• Les séries génératrices pour les règles ECO finies sont rationnelles

• Exemple :(1)(2), (2)(1)(2) Fibonacci

Séries génératrices Algébriques

Transformations finies de (k) (2)(3)…(k)(k+1)

(2), (k)(2)(3)…(k)(k+1) Catalan (1), (k)(1)(2)…(k-1)(k+1) Motzkin(3), (k)(3)(4)…(k)(k+1)2 Schröder (3), (k)(3)(4)…(k)(k+1)(k+2) Arbres

ternaires

Séries génératrices exponentielles

(2), (k)(k-1) k-1 (k+1) Involutions

(2), (k)(k)(k+1) k-1 Arrangements

(2), (k)(k+1)k Permutations

Séries génératrices exponentielles pour les ECO systèmes signés

Sylvie Corteel (2000)

• Règles de succession et Génération aléatoire uniforme

ECO et Génération aléatoire

(k) (2) (3)…(k+1)

(2) ,(2) ,

22

22

33

222233

33223344

223344

2233

22334455

22

33

44

551414

991414

2255

1122

3355

229933994499

1133 11

331133

112211

22113311

33113311

441144

1144

1144

1122

Problèmes ouverts

• Equivalence de règles de succession

• Forme normale

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