e:courses(new)qftfield theory totalfield theory lecture...

155

Upload: others

Post on 31-Jan-2021

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • ����� ��� ������

    ��� ����� ��

    ��� ����� ����������� ������

    ����� ���� !��"# $�" %��&� '�� !��( %� ) *+,- ��� �( . /0� ���1 '�� 23�4" /0�5� ���( �1 /������ ���( �� $���6���� 7�- �� �8 /0� ���9 ��: /0� ������0� �; ��� '�� �� 23�4" ?> ����. �@+A-� �0B� $�" %��&� �( !� %"C" �D�"# $�( 23�4" �� ���E��� <�� ���# F��6�5(:�( ���E � !��"# $�" %��&�!���� '�� ��E �" �� '�� �� %� �����6���� %� /0� $#�( G�� < /0� ��" �; ����A( !�1 ��� �� � �"�������9�( ��� �1��D $��HI ���� !�1 '�� �� �� �1 ��0�� %� "� �� %( $��- ��� ���(��( < /��E �1��J� $�" %��&� ��

    K� �( �53�0 ���

  • ���� ��� ����� � ��� ���

    /�J� ��� �� !��(

  • ����� ����� ����� � ��� !�"�� ��� '%�(���� ��� ��%& �

    X��� �" ���- ��: *�� %( pi ���� �( \���" %���- �� qi %+�J" �� !��(

    pi :=∂L

    ∂q̇i. )5.

    ���� /0�1 /T�0 � �1 %+�J" :� ��(�- pi %� /0� ]^��

    pi = pi(q1, · · · qN , q̇1, · · · q̇N ) )6.

    X /��� $��- �" %� ���" �� %( ��� '���" q̇i !�1 /T�0 !��( $��- �" �� W(�- �� %� M�� �" G�� �I ����

    q̇i = q̇i(q1, · · · qN , p1, · · · pN ). )7.

    �" %�3�4" �� C" !�1 ����0� %� ��9� *_" .�# �" Y� �� !����" �3� /0� /0�� �1 ����0� :� !���( !��( G�� ���� /�^� $��- �" `���� �� /A-

  • X��� �����:�( ��: *�� %( �� $# $��- �" %�

    d

    dtF =

    ∂F

    ∂t+ {F,H} )11.

    X��� �" ����D F,H W(�- �� $�0��� %���� � ��� �" ���- ��: O��� %( %� /0� !���� {F,H} $#�� %�

    {F,H} =∑

    i

    ∂F

    ∂qi

    ∂H

    ∂pi− ∂F∂pi

    ∂H

    ∂qi)12.

    < M�� ���- Q�( *�� %( :�� !�V��� �� f, g ��b� �1��"�� $�0��� %���� �@� ��4( %� �� �" 2;�-���" d�^�" ��X/0� ��: e��D !���� $�0��� %���� %� �� $��- �" �����(

    {f, g} = −{g, f}{f, ag + h} = {f, g} + a{f, h}

    {{f, g}, h}+ {{g, h}, f}+ {{h, f}, g} = 0{f, gh} = {f, g}h+ g{f, h} )13.

    ��%�) ����� ����� � ��� !�"�� ��� �#���$ ��� ��%& �

    !�( O��� /��9 ����

  • X:� �-��HT �0B� !�1 $�" /��� OQ���" :� ���1 %����

  • X"# �1��D�� ��: *�� %( /��� OQ���"δL

    δφ(x)− ddt

    δL

    δφ̇(x)= 0 )23.

    %I�� O�C��" � $�" :� ��(�- !P���EQ �3��L %� ��9� !��(

  • φ̇ = {φ,H} π̇ = {π,H} )29.

    X/��� M1��D :�� !�V��� F ��b� �1��" �1 !��( 7�6���0 �

    Ḟ =∂F

    ∂t+ {F,H}. )30.

    n

  • *�� ���

    �� ����� ��� �� +��, � ���� �-. ��� ���/0

    ���/� �

    $�" N�L��L�� �� $��C- O��o� /���( �" ����5�

  • %� ��� �" ��� OB�H- '���" $��� %��^� � e(O) = O ���- ���E �&��� �(

  • �V� �� !�� �� G ���E $��- �"

  • ��/�� !��� '(����4�� ��� �5%� �

    Y���� %� /0� 3�" n !���� !�( n !�V� �� ��C��� ���E

  • Λ : Rn+1 −→ Rn+1 : x′μ = Λμνxν �����3 *�H- �1 <1� �

    Z- �� ����(�� ( �@D�� N�^ %� /0� �@�H- �����3 *�H-X�� �" S� ��: %4(�� ��

    ημνΛμαΛνβ = ηαβ )57.

    /��� $��- �" X�����3 �L�� /��5� �( OB�H-

    λμν = δμν + L

    μν )58.

    X0� ��: %6�� %( Q�( %4(�� �� $# !��b���I �( �

    Lμν + Lνμ = 0 )59.

    2���( �� LK��-�" $��- �"

  • %L (Mμν)αβ ���� �1 K��-�" �� !�1 %���� %� M��( M1��D �" ���

  • M1��D �" ��� <�( �" $�": �V� @�J" a�C� �� �� Φ !g �%,3�" n $�" S /J3 ����0� �� �� !�s�� %� �� G�����" %4C� O�+�J" <�� 1��D �@�� %L %( �� $�" �� /0� /��� ����� S′ /J3 ����0� �� %� !���� �s�� %� M�H(���1 a�(�" ����� %( �����3 *�H- �� �( O�+�J" �� �� � /0� x′ �( �(��( S′ �s�� �� :� � x �( �(��( S �s�� �� :� �&�O��,�" �� $�" %��9 � *�� /0� ��" �"� �� 1��D n $��1 �� $�" !�1 %,3�" ���- %� /0� M@�" . x′ = Λx X ����

  • '��8� '������ � *% ���

    ���/� ��

    �E�

  • Y���� �� Y���� �� < /0� ���5���- /"BT T /"BT $#�� %� U(Λ) = (Λ−1)T $#�� %� /0� ������ ���� Y���� ��$�" �� !��( <���� 7�� �����1 !����( !�1 $�" ��� �" *�H- Y���� ���o� /A- %� ���1 $�" � /0� !�(��5L

    M���� �1

    φ′μ(x′) = Λμνφ

    ν(x). )76.

  • X��� �" %���� ��: O��� %( �(��5L �� �����3 ���E �VT �1

    Λ = e−→θ ·J+

    −→β ·K )82.

    <���1 Boost ���D !�1��"���� −→β � $���� !�1 ��"���� �1 −→θ $#�� %�� 0 ≤ −→β

  • �� �����3 �3���" OB�H- %� /0� 7:Q �s��- �� $��( *"�� !��(

  • cv

  • �C( ���9 � $��C- X 7��5L '��

    ���/� ��

    %� M��� �" �0B�����" :�

  • φ(x) −→ φ′(x′) = φ(x) + Δφ(x) )103.

    /A-

  • X�# �"�� ��: *�� %( Jμ $���I %6���� �

    Jμ =(∂L∂φ,μ

    Ψa(x) + Lχμa(x))�a )111.

    /0� ��: *�� %( %����� � *C��" $���I �- N :� �4D 2��- Jμ $���I 1� �" $��� %�

    Jμa :=∂L∂φ,μ

    Ψa(x) + Lχμa(x) )112.

    M�� ����- ���� ��I� Y�� �� $�" ��L %� ��9� !��( �� Q�( O�Ho� �E� <���1 %����� *C��" !�1 $���I �� %�1�" %4(�� $#�� %� O��,- �� �( /0� �� ���� �D# %4(�� �� %� ��( 1��D �@�� $��1 %( $���I ���5� 7�� %� �� M1��D

  • !� %���� !�1 %��&� XM6�� '��

    ���/� ��

    �1��"K8��Z"����3� %��&� �� ��( ��J� %� /0� �"�5," !� %���� $��C-

  • X/0� ��: $��C- !���� !P���EQ ��

    φ(x) −→ φ′(x) := eieαφ(x) )115.

    !� %���� $��C- �� $��C- �� /5I �1 %( /0� $���� $�": �V� a�C� %�1 !��( %� /0� /(�o �� α %� M�� /9� ��(

  • X /��� /0� ��^�" !� %���� $��C- !���� %� �� !P���EQ �I 7�� $��- �" (119. %4(�� %( %I�- �(

    L = Dμφ∗Dμφ−m2φ∗φ )122.

    X /0� ��: OB�I !���� %� M�( �" M�� :�( �� !P���EQ �� ��E�1

    L = ∂μφ∗∂μφ−m2φ∗φ+AμJμ +AμAμφ∗φ )123.

    :� �" %� /0� �@�� $��1 %( �E�,I �� � /0� �� ��,I Jμ $���I �( Aμ !����( $�" 1� �" $��� AμJμ %@�I %�!� %���� $��C- !�^�C- ���(��(

  • *�� %( �� $�" ��

  • �� M1��D M�� ���0 �� ��8 � M�� :�( �� Q�( %4(�� ��E�1 < /0� Aμ $�" %���� *�H- A′μ � D′μ = ∂μ −A′μ $#�� %�X /0� ��: *�� %( Aμ $�" *�H- %�

    A′μ = gAμg−1 + (∂μg)g−1 )134.

    X /0���: *�� %( �@(# �; *�H- ���(��(

    Φ −→ gΦ Aμ −→ gAμg−1 + (∂μg)g−1. )135.

    %( %4(�� ��

  • �"������ $�" � ��j ( %4(�� X 7�� Y����� X M�� '��

    ���/� �

    ����" N�L��L�� �� �� *��- $���� O��j :� %� �� !� ��j K( !�51���0� M���(��� %� /0� $# '�� ���� �" R1*3� �1 %(� /��E �&��� �����" � %��E�I !�1 /��1 $��- ��� �-��j �L !��( %� M��� �"

  • !�1��@�T :� *"�� %T��6" �� %� /0� $# M��( ��j !�1 /3�� :� M���- �" %� �,��- ��- *"�� ��,�" ��j �� !��(�( �� *"�� %T��6" ��

  • |n1, n2, n3, · · ·〉, )142.

    <���1 {Ni} !�1 ��@�T %�1 i���" !�1����( �P�� %� ��� �" ���� $���Fock !�V� ���V� ��

  • a†i |0〉 =∑βj

    bj†|0〈βj |αi〉 )148.

    X M��( %���� %� ��� �" �^�� ��9� %4(�� ��

    a†i =∑βj

    bj†〈βj |αi〉 )149.

    X /0� ��: *�� %( $# �9�A3� %�

    ai =∑βj

    bj〈βj |αi〉∗ )150.

    7��- �� `(�� � �� %� M�� �" G�� �( %( �� :� <���1���9�( !� ��j �- � !� ��j |1 !�V� ��: �� `(�� � ���� %� � /0� ����-G�� ��G�� ��

  • �� � λ(Ψ)2 = 1 %� M0� �" %6�� �� %( (i, j) !�I %( (j, i) !�1UD�� !��( %4(�� ������- �(

    λ(Ψ) = ±1. )155.

    M���� ���� !�V� ��: �� � λ(Ψ) = 1 M���� �V� ��: ���� >

  • M��( %���� �1 $�:�( !��( %� ��( �1��D ���9�( ��9� (162. `(�� � %� �� M1��D M�� ���,�0� (161. %4(�� :� �E� ���%� M���# �" /0( �L M1

  • �1 $�"�� !��( �

    N = (x− y)a†a )169.

    2���^ %� M���# �" /0( (146x 147. `(�� � :� ���,�0� � |α〉 !� ��j �- /3�� !�� N ��@�T $��� �o��( ���" ���1��X M���� �1 $�"�� !��( M1 � �1 $�:�( !��( M1 ���(��( <���1 �� !���" (x± y)

    N = a†a )170.

    %4(�� :� ���,�0� �(

    〈n1, n2, · · · |Ni|n1, n2, · · ·〉 = 〈n1, n2, · · · |a†iai|n1, n2, · · ·〉 )171.

    X /��� M1��D %� ��� �" �� (145. `(�� � �� 20��- !�1 /(�o

    ai|n1, n2, · · ·ni, · · ·〉 = eiα√ni|n1, n2, · · ·ni − 1, · · ·〉 )172.

    ��E:�0 ���6(�I��� `(�� � �( N�J��� �� %��# !��( �1 $�"�� ���"�� �"� /��E �� !���" �� eiα $��- �" �1 $�:�( !��(X���

    �- ��: �T�9 l(�4" �� :�� �� /���( �" ���

    eiα = 1 if∑km

  • =∑j,l

    b†jbl∑

    i

    〈βj |αi〉Ki〈αi|βl〉

    =∑j,l

    b†j〈βj |K̂|βl〉bl )176.

    %(

  • /0( �� $# *�� !� ���0 %H0�A" < /��� ���� ���J3� %��� ���� $��- �" �� �� ��@�T �� �@H9 /3�� *_" /0��X��� 1��D

    V̂ =12

    ∑i,j,k,l

    a†ia†jakal〈i, j|V̂ |l, k〉 )184.

    :� O��j %� /0� !��"# d�� :� *C��" M�� ����# /0( %� !� ��j �� � !� ��j �- !�1��@�T �@� *�� %� M�� ��- ��(<���1 ]A� �1 $�"�� !��( M1� �1 $�:�( !��( M1 `(�� � �� <��� �" /�H- $#

    X��� �" %���� ��: *�� %( $�" !�1��-���� 2���( O��j ( ���3�� *����� ��_" $���T %(

    V̂ =12

    ∫dx

    ∫dx′ψ̂†(x)ψ̂†(x′)

    1|x − x′| ψ̂(x

    ′)ψ̂(x) )185.

    >q

  • h�H����1 � �������� !�1 ���+-�� �1 $�" Y����� �@� ���� XM�,1 '��

    ���/� �

    !� ��j K( !�1 ����0� %�3�4" !��( %���L !�H-��� �� %� M��� � M�� ���# 7�� Y����� !�H-��� �( %��bE '�� �� �" !�1 /3���� O��j !��� � l@D !�1��@�T %���L %� M��� ��H8 ��8 %( �L M1 !�( O��� ����

  • ��� ���9 �� '�0��(

  • +��%� '(� �%&� ��

    �1 F�� �� :� 7���1

  • %� M�� �" !��#��� < ���":�V� O�+�J" %� � ���� ����� ���V� O�+�J" %( `C� x `(��� ���� %� M�� /9� ��(

  • X���1 ��: �EP�� !���� %� M1� �" Y����

    φ̂(x)|φ〉 = φ(x)|φ〉 )195.

    %( O�H@1 !�V� !��( !"���" !�1 %��� )���( �����( ��. ]"��- �( O��j !��( �"������ ����" *_" M���- �" M1:�(� "��- `(�� � �1 $�" �� %� M�� �" G��

  • 〈φ|π̂(x)|φ′〉 = �i

    δ

    δφ(x)δ(φ − φ′) )203.

  • W(�- ( �@D�� N�^ x�1 /~1 7��- !�V� x!� ��(�- !�1 ������� *_" ��� �" ����" $#�� %� ��1�," %���� ���<���� l9� �^��� �&� :� $# ���&� � \�" !�1

    ���I %� O��j ������

  • $����E �B� $�" Y����� XM��1 '��

    ���/� ��

    X/0���: *�� %( �CC� $����E �B� $�" !P���EQ

    L = 12(∂μφ∂μφ−m2φ2) )210.

    X���# /0( �� ����@"�1 �L M1 � φ(x) \���" $�" $��- �" $# :� %�

    π(x) = φ̇(x) )211.

    H =12

    ∫d3xπ2(x) + (∇φ(x))2 +m2φ2(x) )212.

    �" S� �5�# ��0B� %(��" %� ��� �" S� ����� OQ���" $��1���1��@�T %� M��� �" h�H����1 Y�������X�� �" S� ��: %3���"�� φ̂(x) $�"��@�T %� M0� �" %6�� �� %( %@���B( ���(��( <����

    (� +m2)φ̂(x) = 0 )213.

    ���� ������ ���6(�I `(�� � :� �L M1 < /0� $�": � �V� ����(��5L ��1� $��� x �6����� %�

    km

  • [φ̂(x), φ̂(y)] = 0

    [π̂(x), π̂(y)] = 0

    [φ̂(x), π̂(y)] = i�δ(x − y) )214.

    X /0� ��: *�� %( �5�# !�1 %���- � �1��@�T ���"�� $�"��1 ���6(�I `(�� � %� M��� �"

    [φ̂(x, t), φ̂(y, t)] = 0

    [π̂(x, t), π̂(y, t)] = 0

    [φ̂(x, t), π̂(y, t)] = i�δ(x − y) )215.

  • a†(k) =∫d3xe−ikx(ωkφ− iπ) )220.

    �6�#:� �

    [a(k), a†(k′)] = (2π)32ωkδ3(k − k′) )221.

    %���-�� �� O��j !��� � l@D !�1��@�TYC� F��6�5( 2��^ �� !�5�" a†(k) � a(k) !�1 ��@�T 1� �" $��� %�X"# 1��D�� ��: O��� %( %� /��� �1 ��@�T �� 2���( �� ����@"�1 $��- �" <��� �" �,�� UJ�" !�1

    Ĥ =12

    ∫d3k

    (2π)31

    2ωkωk(a

    †(k)a(k) + a(k)a†(k)) )222.

    �( !�1 %���� ��- /��� � 3�� :� ��� %� M���# �" /0( /��5� �( ��C" M�� N��� �� DZBD /3�� !r��� ��E�1$# �,� %4C� ���6(�I � ����@"�1 ���-:�( �( $��- �" �� /��5� �( ��

  • *�� %( a∗ � a�0B� !�1�Z�" ���- �( <1� �" $��� �� $�0#�� %���� {x, p} $#�� %�

    a =1√2(x + ip) a∗ =

    1√2(x− ip) )227.

    /��� M1��D

    {a, a∗} = −i, )228.

    <1� �" $��� �� �I !�1�Z�" ( $�0#�� %���� %�XM�� �����:�( ��: !�1 *�� :� 7���1 %( �� �0B� ����@"�1 M���- �" ���

    H = a∗a H = aa∗ H =12(aa∗ + a∗a) )229.

    ↠� â !�1��@�T ( ��: %4(�� %( (228. %4(�� Y����� ��#����

    [â, â†] = 1 )230.

    �" /0( �� ��: O��,�" �"������ !�1 ����@"�1 M�����D� �� �0B� ����@"�1 7�� 7�� %� �� %( %��( �3� ��� �"X���� O��,- ��(�o !�1��C" �:��� %( ����� �( ���1 %� M���#

    Ĥ1 = â†â Ĥ2 = â↠Ĥ3 =12(â↠+ â†â) )231.

    � ��( 1��D ��� ��� �" ��6�� %� �"������ �"���� ���� O��,- ��(�o !�1��C" ������( Q�( !�1 ����@"�1 %� �6�# :�<��� �" %��^� O�H@1 !�V� !�1 /3�� %�1 %( %� /0� ��(�o !r��� �� �5�# O��,- �5�-

    $# !��H" %� /0� ��H9 *(�9� ��C�" B"�� F�� �� $�����6�5( � M�� N�J��� �� ��� Q�( !�1 ����@"�1 ( :� /���( �"���� %����� !�1 /�� %�1 !��( $��- �" �� ��� �� �"������ $�" %��&���

  • ×([a(k), a†(k′)]e−ikx+ik

    ′y + [a†(k), a(k′)]eikx−ik′y)

    =∫

    d3k(2π)3

    12ωk

    (e−ik(x−y) − eik(x−y))

    =: iΔ(x− y) )232.

    X /��� M1��D M���(�&��� !���" !�1 $�": �� �� ���6(�I %4(�� �E� ���

    [φ̂(x, t), φ̂(y, t)] =∫

    d3k(2π)3

    12ωk

    (eik·(x−y) − e−ik·(x−y)) = 0 )233.

    � V � % @ �� � % � % 4 C � �� � 1 !�� ( $�� - � " % � � 6 �# :�

  • �":�;# �1��@�T ( ������ !�E�6(�I `(�� � W^� � /��� OQ���" *� �( h�H����1 ���+- �� Y����� ����" l(�4"X /0� ��: �,� �; !�1 �E�6(�I *"�� �5�- ������ Y����� `(�� �

  • [b(k), b†(k′)] = (2π)32ωkδ(k − k′) )246.

    :� K� �1��@�T �� X/��� ���� l@D !�1��@�T 2���( �� ������3���( � �4D %���- x����@"�1 %H0�A" ��� �( $��- �"X��# �"����: *�� %( $� 2-�"��6�5(

    : H :=∫

    d3k(2π)3

    12ωk

    ωk(a†(k)a(k) + b†(k)b(k)

    ) )247.: P :=

    ∫d3k

    (2π)31

    2ωkk(a†k)a(k) + b†(k)b(k)

    ) )248.: Q :=

    ∫d3k

    (2π)31

    2ωk

    (a†(k)a(k) − b†(k)b(k)

    ) )249.)250.

    !�1��( � ωk =√

    k2 +m2 !r��� x k %���- �( O��j 2-�- %( b†(k) � a†(k) !�1��@�T %� �1� �" $��� S�� `(�� �<��� �" l@D �� −1 � +1

    m=

  • i���� $�" Y����� X M5� '��

    ���/� ��

  • X:� ��( 1��D O��HT ]��� *�� %( i���� %3���"(i∂t −m i∂x−i∂x −i∂t −m

    )ψ(t, x) = 0 )254.

    M1� �" ���9 %3���" �� *� !��(

    ψ =(ab

    )e−i(Et−px) )255.

    X� 1��D ��: %4(�� %( �6�" (285. %3���" �� $# !��b���I %�(E −m −pp −E −m

    )(ab

    )= 0 )256.

    �� !r��� ��C" �P�� �� W9�� �� �^�C- �� <��( �,� �( �(��( %8�(�" K��-�" $��"�-� %� ���� �,� �; N��I ��9� %3���" ��X1� �" /0� %( ��: O��� %(

    E =√p2 +m2 , E = −

    √p2 +m2 )257.

  • (ab

    )= η

    ( −pE0+m

    1

    ))260.

    �( N��I ���(��(

  • X /��� M1��D �� },� �� ��D *�� @�J" O�+�J" !�1 ����0� �� �� ��D *�� i���� %3���" %� M�� �^�C- �

    x′μ = Λμνxν ∂

    ∂xν= Λμν

    ∂x′μ)270.

    (iγν∂

    ∂xν−m)ψ(x) = 0 )271.

    (iγμ∂

    ∂x′μ−m)ψ′(x′) = 0 )272.

    )273.

    X� 1��D ��: %4(�� %( �6�" %�

    S−1γμS = Λμνγν )274.

    X %( � 1��D *�H- Q�( %4(�� M���( �&��� �� �����3 �L�� /��5� �( OB�H- ��E�1

    S−1γ0S = γ0 + θγ1 )275.S−1γ1S = γ1 + θγ0 )276.

    T %� M���# �" /0( Q�( `(�� � ��8 %���C" �( ����# S = I + θT M1� ���9 �����3 �L�� /��5� �( *�H- !��( �E�X�� S� ��: `(�� � �� /���( �"

    [γ0, T ] = γ1 [γ1, T ] = γ0 )277.

    %� ��� �" ��� �����( γ1 � γ0 !�1 K��-�" !�1 /��D %( %I�- �(

    T =12γ0γ1 =

    14[γ0, γ1] )278.

    /A- ���(��( < /0� �3���� K��-�" σx $#�� %� T = 12σx /��� M1��D M�� ���� N�J��� �1 γ !��( %� ���D Y������X��( 1��D ��: *�� %( i�������t0� �����3 *�H- (266. *�H-

    ψ′(x′) = eθ2 σxψ(x) )279.

    <���( �&��� �� ��: %@~�" *�H- �� :� ���0 ��(��� �� $����(

    mm

  • � (m, 0) *�� %( ��j %���- !r��� )����(�� ��C9� O��HT %(.����(��5L /0� ��0 ��j �� %( /H�� %� �(�L��L��X/0���: *�� %( (290. %4(�� �( ��( i���� ���t0�

    ψ(x) :=(

    10

    )e−imt )280.

    X /��� M1��D (279. %4(�� �( l(�4" ���

    ψ′(x′) = eθ2 σxψ(x) =

    (cosh

    θ

    2+ σx sinh

    θ

    2

    )(10

    )e−i(E0t

    ′−px′) )281.

    p %���- �( �� i���� ���t0� %� M0� �" !� %4(�� $��1 %( �fC9� M�� �����I E0 � m � p ����C" 2���( �� θ ��C" ��E�1XM�� %I�- ��: %4(�� %( /0� ���� ��� �� !��( <�� �" ��-

    (Ep

    )=(

    cosh θ sinh θsinh θ cosh θ

    )(m0

    )=(m cosh θm sinh θ

    ))282.

    %� M�� �" /9� Kt0 < 1� �" /0( i�A�" ����0� %( ��0 ����0� �� �� %���- � !r��� %4(�� %�

    cosh(θ

    2) =

    √cosh θ + 1

    2=

    √E +m

    2m

    sinh(θ

    2) =

    √cosh θ − 1

    2=

    √E −m

    2m. )283.

    F ���� �-.�� E���� �5��9� ��9 D ��

    XM�� UJ�" �� γ2 � γ1 x γ0 K��-�" %0 /���( �" /3�� ����

    γ0 = σz =(

    1 00 −1

    )γ1 = iσx =

    (0 ii 0

    )γ2 = iσy =

    (0 1−1 0

    ))284.

    X:� ��( 1��D O��HT ]��� *�� %( i���� %3���"(

    i∂t −m −∂x + i∂y−∂x − i∂y −i∂t −m

    )ψ(t, x) = 0 )285.

    M1� �" ���9 %3���" �� *� !��(

    ψ =(ab

    )e−i(Et−pxx−pyy) )286.

    mn

  • X� 1��D ��: %4(�� %( �6�" (285. %3���" �� $# !��b���I %�(E −m −ipx − py

    −ipx + py −E −m

    )(ab

    )= 0 )287.

    �� !r��� ��C" �P�� �� W9�� �� �^�C- �� <��( �,� �( �(��( %8�(�" K��-�" $��"�-� %� ���� �,� �; N��I ��9� %3���" ��X1� �" /0� %( ��: O��� %(

    E =√p2x + p2y +m2 , E = −

    √p2x + p2y +m2 )288.

  • *"�� %��� �� � � ��( ���T ������( $# !�1����( �P�� /0� ���( ��"�1 (287. %3���" �� ��I�" K��-�" %� �6�# :�XM�� �"��6�5( ��: 2-�- %( �� v(p) � u(p) !�1����( <�1� �" *��-

    u†(p)u(p) = v†(p)v(p) =E0m. )293.

    X /��� M1��D `���� �� /A-

    u(p) =

    √E0 +m

    2m

    (1

    py−ipxE0+m

    ))294.

    v(p) =

    √E0 +m

    2m

    (−(py+ipx)

    E0+m

    1

    ))295.

    X %� ��� lCA- $��- �" �����( �L M1

    u(p)u†(p) + v(p)v†(p) =E

    m

    (1 00 1

    ))296.

  • �6�#:� �

    (Tαβ)μν = ηαμδβν − ηβμδαν )301.

    < n(n−1)2 �( /0��(��( !�( n $�": �V��� �����3 ���E !�1 3�" ���- ���(��(

  • %4(�� :� � M����( c[γα, γβ] O��� %( ���5�# %� /0� ���� �1 ταβ ���� !��(

    [a, bc] = {a, b}c− b{a, c} )307.

    %� M��� �" %I��" %H0�A" ��� �(

  • u(p) = η(

    φσ·p

    E0+mφ

    ))314.�

    v(p) = η( −σ·p

    E0+mφ′

    φ′

    ))315.

    !�1 N��I %( �1���t0� �� $�����6�5( � %��� !�1����( N�J��� �( <���1 ���J3� !� %,3�"�� !�1����( φ′ � φ �5�#�� %�

  • ���� E���� ����� +��%� �

    !P���EQ

  • X M���# �" /0( Q�( "��- `(�� � � (362. `(�� � %( %I�- �( ���

    bi(p) =∑α

    ∫d3xui

    ∗α(p)ψα(x, t)e

    i(E0t−p·x)

    di(p) =∑α

    ∫d3xvi

    ∗α(p)ψ

    †α(x, t)e

    i(E0t+p·x)

    b†i (p) =∑α

    ∫d3xuiα(p)ψ†α(x, t)e

    −i(E0t−p·x)

    d†i (p) =∑α

    ∫d3xvi

    ∗α(p)ψα(x, t)e

    i(E0t+p·x) )332.

    %( ��(���9�( ���6(�I��� `(�� � ������ �1 $�" ( %� M�� �" G�� ���6(�I `(�� � !�6( i���� $�" Y�������X M�� �" G�� %� ���" ��

    {ψα(x, t), ψβ(y, t)} = {ψ†α(x, t), ψ†β(y, t)} = 0

    {ψα(x, t), ψ†β(y, t)} = δαβδ(βx− y) )333.

    XM���# �" /0( (526. `(�� � :� ���,�0� � %H0�A" ��� �(

    {bα, b†β} = (2π)3E

    mδαβδ(p − p′) )334.

    {dα, d†β} = (2π)3E

    mδαβδ(p − p′) )335.

    X%� /0� $# %6��

  • : H : := ω(b†b− dd†) − ω〈0|(b†b− dd†)|0〉= ω(b†b− dd† + 1) = ω(b†b+ d†d) )339.

    �" !��( O��� ���� <��( �,� !���" DZBD !��( %�������( %�����^�C- � �����6�5( �� �� %�������( $��- �" �L M1/��� M1��D ��D ���0 ����0�� ���0

    Q = (b†b+ dd†) )340.

    : Q : := (b†b+ dd†) − 〈0|(b†b+ dd†)|0〉= (b†b+ dd†) − 1 = (b†b− d†d) )341.

    X/��� M1��D $# %�������( � i���� ����@"�1 !��( %6����

    : H :=2∑

    i=1

    ∫d3p

    (2π)3m

    EE(b†i

    (p)bi(p) + d

    †i (p)di(p)

    ))342.

    Q = −e2∑

    i=1

    ∫d3p

    (2π)3m

    E(b†i(p)bi(p) − d†i (p)di(p)

    ))343.

    <���1 k %���- �( $����:�� � $����3� ���� l@D 2-�- %( di(p) � bi(p) !�1��@�T %� �1� �" $��� `(�� � ��

    nk

  • K8��Z"����3� $�" Y����� X M1� '��

    ���/� ��

    %� /0� !���- :� ���� $# ��9�� !��:# O�I�� ���- %� /0� ����� !�51���0� :� %���� �� �0B�K8��Z"����3�%( l9� %I�- �( /���( �" �1 ����0� %��E �� Y�����

  • X M���# /0( $�" !P���EQ :� M���- �" �� \���" !�1 %���- �L M1

    πμ :=∂L

    ∂(∂0Aμ)= Fμ,0 )351.

    %� /0�� %4(�� �� :�

    π0 = 0 π1 = −Ex, π2 = −Ey, π3 = −Ez )352.

    ��: *�� %( �� �� ����@"�1 $��- �" ����# )�( YJ(. ��� �,� !���" A0 $#�� %� M�� N�J��� !��8 �� %���� ��E�1X /���

    H = 12(π21 + π

    22 + π

    23) +

    12

    ∑i

  • 2���( �� !�E�6(�I `(�� � � %���� �� �1 $�" %���� *�H- /�J� ��� �� !��(

  • a�� ��

  • �"������ !�1 $�" Y�� M1�( X M1�:�� '��

    ���/� ��

    %� M��� �" < M�� ����" �"������ !�1 $�" Y�� M1�( %�3�4" !��( �� �0�0� � �@� *���" �5�- M1��D �" '�� ���� �L M1 � ����� :� O��j �E����� �&� !���( O��j !�1 Y�� M1�( %�3�4" !��( �f0�0� ��H�� �"������ !�1 $�"O��j :� !� %T��6" ��HT !�1 %�"�� :� �-��HT M���� %9BT �5�# %( �" %� �0�0� OQ�56" ���(��(

  • gR����" `(�� � �� %� ���1 O��j l@D � ��� !�1��@�T a†in(k) � ain(k) !�1 ��@�T $#�� %�

    [ain(k), ain†(k′)] = (2π)32ωkδ(k − k′) )373.

    <��� �" S�X���� ��: l(�4" �4�( /0� ��:# $�" �� φout $�" %� �6�# :� �L M1

    φout(x) =∫

    d3k

    (2π)31

    2ωk(aout(k)e−ikx + aout(k)†eikx) )374.

    R����" `(�� � �� %� ���1 O��j l@D � ��� !�1��@�T a†out(k) � aout(k) !�1 ��@�T $#�� %�

    [aout(k), aout†(k′)] = (2π)32ωkδ(k − k′) )375.

    <��� �" S�

    � l@D ��@�T d�� �� %� /0� ��" ��# p�-��,�" �5�# �( �� p���1 a†in(k) � ain(k) !�1��@�T $��1 �1��@�T �� ��#p��� ��� ���- $�� !�E�6(�I %4(�� �( �5�- ��� � l@D !�1��@�T ��" p���( %���� ��I� O�H@1 !�V� ���� ���

    %( �� A† � A ��@�T ��D ��E |1 [A,A†] = 1 d�� :� ���6(�I %4(�� �� %� M�� /9� ��( OQ��0 �� %( 0�� !��(%4(�� ���(��( <��� �" S� ���6(�I %4(�� $��1 ���� A† + c∗ � A + c !�1 ��@�T ���: <�� ���

    �- ���� ��8

    X/0���: *�� %( �I��D � !���� !��� � l@D !�1��@�T

    aout(k) = ain(k) + S(k) )376.a†out(k) = a†in(k) + S ∗ (k) )377.

  • aout(k) − ain(k) = limt−→+∞

    ∫d3xeikx(ωk + i∂t)φ(x) − limt−→−∞

    ∫d3xeikx(ωk + i∂t)φ(x)

    =∫d4xdt

    ∂teikx(ωk + i∂t)φ(x) )380.

    X��( 1��D��: *�� %( l��" �� �o�

  • = i∫d4xeikx(� +m2)〈0|φ(x)|0〉 )385.

    M1��J( �E�

  • a†out(k)T (φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn)) − T (φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn))a†in(k)

    =∫d4xe−ikx(−i)(� +m2)T (φ(x)φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn)) )392.

    %4C� n W(��- %H0�A" %( �� 〈l1, l2, · · · lN |k1, k2, . . . kM 〉 d�� :� ����-�" �+�T�1 $��- �" (??. `(�� � :� � ��" ���,�0� �(

  • =∫d4x1d

    4x2eik2x2−ik1x1(�1 +m2)(�2 +m2)

    ∫d4p1(2π)4

    d4p2(2π)4

    e−ip1x1−ip2x2Ĝ(p1, p2)

    =∫d4x1d

    4x2eik2x2−ik1x1

    ∫d4p1

    (2π)4)d4p2

    (2π)4)e−ip1x1−ip2x2(−p21 +m2)(−p22 +m2)Ĝ(p1, p2)

    )397.

    X%� M���# �" /0( p2 � p1 !�� Kt0 � x2 � x1 !�� !�E ������� :� K�

    〈k2|k1〉c = (−k21 +m2)(−k22 +m2)Ĝ(−k1, k2) )398.

    /3�� ( O��j ����-�" ����T �( ��C��" ���( %4(�� %+�J" !�V� �� !� %4C� �L W(��- %� M(�� �"�� 2-�- �(X/0� ]^�� !� ��j �L �@� /3�� %( %4(�� �� M��- <���� ������ � %3�� !�1

    〈l1, l2, · · · lN |k1,k2, · · ·kM 〉c

    = (i)N−MN∏

    i=1

    (−li2 +m2)M∏

    j=1

    (−kj2 +m2)Ĝ(−k1, k2, · · · kM , l1, l2, · · · lN )

    )399.

    qm

  • �"������ $�" %��&� � �"������ ����" �� ��" ������� X M1�:��� '��

    ���/� ��

    W(��- �� ����H�1 W(��- :� �-��HT ���1 �4" �"������ $�" %��&� �� %� ���1 /�� ��- �0�0� %� M��� %��bE '�� ��XM1� �" $��� ��: O��� %( �� �1 $# %� !� %4C� �L

    〈0|T (φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xN ))|0〉 )400.

    �" $��� '�� ����

  • XM����( M���- �" ���

    〈q′, t′|q, t〉 := 〈qN |e−i�

    NH�|q0〉 =∫dq1dq2 · · · dqN−1〈qN |e−

    i�

    H�|qN−1〉〈qN−1|e−i�

    H�|qN−2〉 · · · 〈q1|e−i�

    H�|q0〉)403.

    XM�� �" %H0�A" �� ����-�" ����T :� ��� ���

    〈qk|e−i�

    H�|qk−1〉 ≈ 〈qk|1 −i

    �H�|qk−1〉

    = δ(qk − qk−1) −i�

    �〈qk|H |qk−1〉 = δ(qk − qk−1)(1 −

    i�

    �V (qk)) −

    i�

    �〈qk|

    p2

    2m|qk−1〉

    = δ(qk − qk−1)(1 −i�

    �V (qk)) −

    i�

    ∫dp

    2π�e

    i�

    p(qk−qk−1)

    =∫

    dp

    2π�(1 − i�

    �(V (qk) +

    p2

    2m))e

    i�

    p(qk−qk−1)

    ≈∫

    dp

    2π�e

    −i��

    (V (qk)+p2

    2m )+i�

    p(qk−qk−1) )404.

    %4(�� :� � M��E �" ������� p !�� !�D# O��HT��∫dpei

    12 αp

    2+iβp =

    √2πiαe

    iβ2

    α )405.

    XM���# �" /0( � M�� �" ���,�0�

    〈qk|e−i�

    H�|qk−1〉 = Cei��

    (m2 (

    qk−qk−1� )

    2−V (qk))

    )406.

    %( �3� ���� $# ���&� � m � � � !�1 /(�o %( ����( %� /0� /(�o �T �� C %� �� /9�

  • X ���� /0� h�H����1 ���+-�� Q ��@�T Q(t) $#�� %�

    Q̂(t) = eiHtQ̂e−iHt )410.

    X��� $��� $��- �" � $�( Q�( �� %� %w�# %(��" O�H0�A" �(

    〈q′, t′|T (Q̂(t1)Q̂(t2))|q, t〉 =∫Dqq(t1)q(t2)e

    i�

    ∫ t′t

    L(q(τ),q̇(τ))dτ )411.

    <��� �" ����#�( �� q(t′) = q′ � q(t) = q !:�" a�� %� ��� �" %���E ������� ���1 ��" 7��- !�� $#�� %����� X��� �" ���� M��- ���J3� ����H�1 W(��- %( ����� %( %4(�� ��

    〈q′, t′|T (Q̂(t1)Q̂(t2) · · · Q̂(tn))|q, t〉 =∫Dqq(t1)q(t2) · · · q(tn)e

    i�

    ∫ t′t

    L(q(τ),q̇(τ))dτ )412.

    �� ��� �� !��(

  • �" F��� W(�- �� 3�" ��

  • �3��0� !�1 $�" ! ��( F��� W(�- �3B�D� %H0�A" X M1��0 '��

    ���/� ��

    O��� %( %� /0� F��� W(�- ��� %H0�A" �"������ $�" %��&� �� /���( �" %� ���� ����5" %� M��� %��bE '�� ��

    Z[J ] =∫Dφei�S[φ]+

    i�

    ∫J(x)φ(x)dx4∫

    Dφei�S[φ])423.

    $���( %� ��( ���( �� ���� /���( �" ���(��(

  • <���1 /H_" %�1 a1, a2, · · ·aN $#�� %�X /��� �� ����-�" 7�� %( �� `(�� � �� $��- �"

    ∫DXe−

    12 X

    tAX =

    √(2π)N

    detA

    ∫DXe−

    12 (X

    tAX)+JtX =

    √(2π)N

    detAe

    12 J

    tA−1J )426.

    ��: ���1 ]A� `(�� � �� M1 :�( )��( $��C�" � /H_" K��-�" �� �5�- %�@(. ��H� �� !�49 AK��-�" �E� ��� ���"���" K��-�" �� %� M�� ��j /0� 7:Q

  • M���� ������� $�" %��&��� O�H0�A" �� !��( %� !��(��� %( %I�-�( < /0� ��(�" :� �-Q�( %@�I�� V (X) $#�� %���

  • �� O��� � \�J" M���- �" ��� %V9 :� ���,�0� �(

  • i j

    $# �����E Y���� � Δij ≡ 〈xixj〉0 ����H�1 W(�- X ����� ��� ��� ���9 X= *��

    ....

    ....

    ....

    i

    j

    k

    pi

    j

    k

    p

    Σ

  • i

    k

    i j

    k l

    j ji

    l lk+ +

    *��

    i j ii jjgg

    28B

  • C 1 +g

    8

    %4(�� :� C O��HT ����E ����" Xm *��

    i j i jg

    2BC

  • X DZBD %( DZBD 7��E��� :� !� %���� Xq *��

    !�1 O��HT %� M�� �" /9� ��� <����( �9�( i1, i2, ·in �I��D !�1�� �5�- �0 �D#�� � ��� *�� ���� !�1 V !�1�� ���" M�� /0�� DZBD %( DZBD 7��E��� �� %��# !��( <��# �" /0( �1 V :� !���- !�1�� �0�� M1 %( :� DZBD %( DZBDDZBD %(DZBD !�1 7��E��� 7��- %T��6"

  • ��%�) L1�> � �����6�� ��� '���� ��� ���"�� ��

    ��A" �� ��D �6�����

  • X /��� M1��D ���(��(

    A(x− y) := Dxδ(x− y). )449.

    X c %���X M���� �" ��: *�� %( �� A(x − y) %���� *�H-

    A(x− y) =∫dqA(q)eiq(x−y) )450.

    X %� �� /(�o �����( ���- �" �����D O��� ����

    Δ(x− y) =∫

    Δ(q)eiq(x−y) )451.

    %���i���� !��3� W(��- ��4��1 � �1 ������� !�1 �:��� %@� ���( �� ���- !�(k $�":�V� !�� φ %�0�� !�1�Z�" ��E�1

  • !�����D �5�# ���� :� ���� M5" ������� /�� !�1 /(�o M��� %��6�#:�

  • <1� /H�� �� Δ(x− y) O��HT ���1 x, y a�C� $#�0�� %� `D �����1 %( X �

    *_" �@D�� %4C� �1 !�� � �� N�^ M1�� �� ���� /H�� �@H9 !�1 /��9�� %� �� ���1������ 7��- 7��E����1 !��( X �<���( ∫ d4x �������x

    [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[XM����( ��: *�� %( g 2���( �� %H-�" �- �� !� %4C��� ����H�1 W(�- (437. %4(�� �( /5(��"�� M���- �" 2-�- �� %(

    〈φ(x)φ(y)〉 = Δ(x− y) + g2Δ(0)

    ∫dzΔ(x− z)Δ(z − y) +O(g2) )459.

    1��2� ��-. �� #����. /��0 ����

    �5�# %���� !�1 ��" 2���( �� �1 $�" �- �- M��� - �" <���( �&��� �� 〈φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn)〉 ����H�1 W(� -

  • 〈φ̂(q1)φ̂(q2) · · · φ̂(qn)〉 =∫d4x1d

    4x2 · · ·d4xne−i(q1x1+q2x2+···qnxn)〈φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn)〉 )463.

    ��E�1%� M�� %I�- ��( /�J�

  • x x1 2

  • xx

    xx1

    2

    3

    4

    < ��� %H-� �� *+�" !� %4C���5L W(�- Xu *��

    X M����

    〈φ(x1)φ(x2)φ(x3)φ(x4)〉(1)c =ig

    4!

    ∫d4yΔ(x1 − y)Δ(x2 − y)Δ(x3 − y)Δ(x4 − y) )473.

    ��_"

  • xy z

    1 2x

  • q qk1 2

    q - k2

  • uq

  • !��"# ����" � �"������ ����" %4(�� XM1���5L '��

    ���/� ��

    !�H-��� l��8 :� %� ���� ��I��s��- �� !��"# ����" � �"������ ����" ( %� M1� $��� M1��D �" '�� ����$�" � �"������ !�1 $�" %( �� $# M���- �" M�5,( Q�( ���0 /3�� �� �� �s��- �� %� ��9�

  • t t

    qq

    1 2

    2

    1

    <��� �" �8 @�J" ������ !�1 %�"�� �( @�J" !�1��" X �"������ �D � /�� Xc= *��

    =∫dq1〈q2|e−

    i�

    H(t2−t1)|q1〉〈q1|ψ(t1)〉

    =∫dq1K(�|q2, t2; q1, t1)ψ(q1, t1) )484.

    7��- !�� ������� ��

  • x x

    qq

    1 2

    2

    1

    = *��

    /0� $# ��1� $��� F��� W(�- ��

  • �s��- ��

  • t

    x

    φ

    (x,t)φ

    φ(x)

    (x)1

    2

    φ

    <�� �" �8 ���1��" %�1 $�" φ2(x) %( φ1(x) :� ��A- !��( X $�" �� !��( �"������ �D � /�� Xk= *��

    L −→ −12∂xφ

    2 − ∂yφ2 −12m2φ2 − V (φ) )494.

    X /��� M1��D %6���� �

    K(kT |, φ2(x), y2;φ1(x), y1) =∫Dφe

    −1kT

    ∫y2

    y1dy∫

    dx 12 ∂xφ2+∂yφ

    2+ 12 m2φ2+V (φ) )495.

    W�I φ(x, y) !�(�� $�" �� �-���� !�1�D � /�� 7��- !�� $#�� %� /0� F��� W(�- �� O��HT �� /0�� R�8*�� x�� S� φ(x, y2) = φ2(x) � φ(x, y1) = φ1(x) !:�" `���� �� �����1 %� /0� C" $�" ��

  • y

    x

    φ

    (x,y)φ

    φ(x)

    (x)1

    2

    φ

    1/Ze−1

    kT H[φ] ������ φ(x, y) !�(�� $�" /~1 �1 ����- /3���� X $�" �� !��( �-���� �D � /�� Xm= *��

  • ����# �" XM1����� '��

    ���/� ��

    ���0 �"�5," �&� :� �1 F�� ��

  • qN = sN−1sN )501.

    X��� �� ��: 2-�- %( �� �1 s �1 q �����( $��- �" W9�� ��

  • X/�����: *�� %( $��- �" �� S�� F��� W(�-

    Z =∑

    s1,s2,···sN

    N∏k=1

    eβJsksk+1+βB2 (sk+sk+1) )505.

    X���( ��: *�� %( Y��1 %���� %� ��� ���- $��L ��C��� K��-�" 7�� %( !�(�� ����-�" $��- �" ���

    〈sk|T |sk+1〉 = eβJsksk+1+βB2 (sk+sk+1) )506.

    X"# 1��D����: *�� %( F��� W(�- O��� ����

    Z =∑

    s1,s2,···sN〈s1|T |s2〉〈s2|T |s3〉〈s3|T |s4〉 · · · 〈sN−1|T |sN〉〈sN |T |s1〉

    =∑s1

    〈s1|TN |s1〉 = trTN = λN+ + λN− )507.

    %( ) t0�. %�H� ����� ��:# !r��� W(�-

  • =sinhβB√

    sinh2 βB + e−4βJ)512.

    1��D �,� Y8��Z" �� ��C" �,� �; !�"��� <�# �" /0( B = 0 �� Q�( O��HT %H0�A" �( ��D %( ��D Y8��Z"x��� b *_" !��A" ��C" βB %� !��8 %( M1� *" �,� /�0 %( �� �� T � �,� /�0 %( �� B $�"��1 ��E�1 �"�

  • $#�� %�

    σ̂3(k) := T kσ̂3T−k. )518.

    X %( ��� �" *�H- (680. O��HT �"�����"�- z ���

    〈sksl〉 = 〈+|σ̂3(k)σ̂3(l)|+〉 )519.

    X M1����9 M���- �"

    T = e−βH )520.

    X /��� M1��D �L M1 <� 1��D H ��@�T %��� /3�� |+〉/3�� O��� ����

    σ̂3(k) = e−βkH σ̂3eβkH )521.

    ���� �"������ ����" ����0� �� �( �� ����" �( �� �� �0B� ����0� �� a�H-�� ��#��� (559. � (558. %4(����t0� !�1 /~1 7��- !�� $# %H0�A" !��( %� /0� �0B� ����H�1 W(�- �� %4(�� yL /�0 < /0� ���": �(!�� %� /0� h�H����1 ���+-����@�T �� !��( ����H�1 W(�- �� /0�� /�0��

  • a b

    cde

    < !�( �� ����# %�H� �� %��( !�1 %C@� Xn= *��

    H = −J′∑

    i,j

    sisj . )522.

    :� /0� O��HT F��� W(�-

    Z =∑S

    eβJ∑′

    i,jsisj ≡

    ∑s1,s2,···sN

    ∏links

    eKsisj , )523.

    %� /0� �� %( ���" �4(�� �� /A�

  • = (coshK)L∑S

    ⎛⎝1 + τ(∑

    links

    sisj) + τ2(∑

    doublelinks

    sisjsksl) + τ3(∑

    triplelinks

    sisjskslsmsn) + · · ·

    ⎞⎠)526.

    OQ�+-� 7��- !�� W�I !���" %(∑triplelinks � @�J" OQ�+-� !�1 /,I !�� W�I !���" %(∑doublelinks �1 $#�� %�

  • .

    .

    ... ... ..

    ..

    ... ... ..

    .

    ..

    .. ... . .

    . ...

    .

    .

    .. ... ...

    .. ... .

    .

    .

    .. ... ....

    . ... ... ...

    .

    ... ... ..

    . ... ... .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    (1) (2) (3)

    <��� �" ����� OQ�+-� :� %T��6" �� %( %0 �1 ���: �3���" ������( %� %C@� %0 Xq= *��

    (?=. *�� �&� ���1 ��A�" ��� �"�1�s ��( �� `C� � �� ��+-��1 (526. `�( :� %@�I�1 �� %� �6�# :� Xc ��b-<����:�6"

    �L !�1 %C@� M1� ���� ��I� %L��t�� !�1 %C@� M1 Q(τ) `�(�� %� M�� �" /9� /�J� Q(τ) W(�- %H0�A" !��(�E� ���� M1� $��� W (τ) �( ���5�# 3�" W(�- � lC �( �� $# ��8 x C �( �� %L��� �� %C@� �� �E� < %L���

    W (τ) :=∑C

    τ lC )531.

    %� ���" �� %( ���� ��I � q(τ) � W (τ) 3�" W(�- ( !� ���0 %4(�� ����#

    Q(τ) = eW (τ). )532.

    X M1� `�( �� /0�� R�8 %� /0� ���� �5�- %4(�� �� O�Ho� !��(

    Q(τ) = 1 +∑C

    τ lC +12

    ∑C,C′

    τ lC+lC′ +13!

    ∑C,C′,C”

    τ lC+lC′+lC” + · · · . )533.

    �1�s ��( �� 7���1 �� �� ���� $��� (??. *���� %� �5�# *_" ���1 ��A�" %���� ���

  • .

    .

    ........

    . ..

    .

    ..

    .

    .

    ..

    .

    ..

    ..

    .

    .

    . ..

    .

    .

    .

    ... .

    .

    .

    ....... .

    . ......

    .

    .

    ........ ..

    . ........ .

    .

    ........

    . ........

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ..

    �� ��A�"�� /0�� /�0 !Q�( ��A�"

  • .

    .

    ... ... ..

    ..

    ... ... ..

    .

    ..

    .. ... . .

    . ...

    .

    .

    .. ... ...

    .. ... .

    .

    .

    .. ... ....

    ... ... ...

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    W=1, P = -1 W=0 , P = 1 P=P. P’ = (-1).(-1)=1

    <��� �" �_�D �� ����� `0� � yL /�0 !�1 ��A�" !�1 $:� Xu= *��

    Q(τ) = 1 +∑C

    P (C)τ lC +12

    ∑C,C′

    P (C)P (C′)τ lC+lC′ +13!

    ∑C,C′,C”

    P (C)P (C′)P (C”)τ lC+lC′+lC” + · · · . )536.

  • .

    .

    .....

    ...

    .

    .

    ..........

    . .........

    .........

    .. .

    .

    .

    .

    P=0

  • .

    .

    ........

    ..

    ........

    .

    ..

    ...... .

    ....

    .

    .

    ........

    ......

    .

    .

    .........

    . .........

    .........

    .

    W=1, P = -1

    W=0, P=1

    <���1 M1 !�� OQ�+-� !���� %��1 ��A�" Rb� :� !� %���� X=c *��

    M rk(x, y) = ατMuk−1(x− 1, y) + βτMdk−1(x− 1, y) + τM rk−1(x− 1, y) + 0 M lk(x, y − 1)M lk(x, y) = βτMuk−1(x+ 1, y) + ατMdk−1(x+ 1, y) + 0 M rk−1(x, y − 1) + τM lk(x, y − 1) )538.

    X��� �" �- ���0 %���� !�1 ��" 2���( S�� ����- `(�� �

    M̂uk (p, q) =∑x,y

    eipx+iqyMuk(x, y) etc )539.

    X��# �"�� ��: O��� %( ����- `(�� � %6����

    M̂uk (p, q) = τeiq(M̂uk−1(p, q) + 0 M̂

    dk−1(p, q) + βM̂

    rk−1(p, q) + αM̂

    lk(p, q)

    )M̂dk (p, q) = τe

    −iq(0 M̂uk−1(p, q) + M̂

    dk−1(p, q) + αM̂

    rk−1(p, q) + βM̂

    lk(p, q)

    )M̂ rk (p, q) = τe

    ip(αM̂uk−1(p, q) + βM̂

    dk−1(p, q) + M̂

    rk−1(p, q) + 0 M̂

    lk(p, q)

    )M̂ lk(p, q) = τe

    −ip(βM̂uk−1(p, q) + αM̂

    dk−1(p, q) + 0 M̂

    rk−1(p, q) + M̂

    lk(p, q)

    ))540.

    X/��� ��: ����-�" *�� %( $��- �" �� %4(�� ��⎛⎜⎜⎝

    M̂uk (p, q)M̂dk (p, q)M̂ rk (p, q)M̂ lk(p, q)

    ⎞⎟⎟⎠ =

    ⎛⎜⎜⎝

    τeiq 0 τeiqβ τeiqα0 τe−iq τe−iqα τe−iqβ

    τeipα τeipβ τeip 0τe−ipβ τe−ipα 0 τe−ip

    ⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝

    M̂uk−1(p, q)M̂dk−1(p, q)M̂ rk−1(p, q)M̂ lk−1(p, q)

    ⎞⎟⎟⎠ )541.

    ==m

  • W=1, P = -1P=P1.P2=(-1)(-1)=1

    <���1 M1 !�� OQ�+-� !���� %� ���1 ��A�" Rb�:� !���� %���� Xcc *��

    X /��� ��: %�BD *�� %( �� $# $��- �" %�

    M̂k(p, q) = SM̂k−1(p, q) )542.

    �� �

    M̂l = Sl−1M̂1 )543.

    � /0�� x ��� xQ�( /5I��5L :� 7���1�� �� ��D ��� 79 ���- �" i�A�" �,� %&A3�� < M���� %3�� `���� %( \���� ���X /��� M1��D 2-�- %( `���� ���� %� �� lCA- ���- �" �����( �����D

  • ( x, y -1)

    (x , y)

    r

    u

    u

    l

    ��I� %(��" !�1 *�� �� ���� !�1 �40 !��( c *��

  • %6���� �

    W (τ) ≡l∑1

    Nnll

    =−N4π2

    l∑1

    1l

    ∫ 2π0

    dp

    ∫ 2π0

    dq

    4∑i=1

    λli〈u|ei〉〈ei|M̂1〉

    =N

    4π2

    ∫ 2π0

    dp

    ∫ 2π0

    dq

    4∑i=1

    ln(1 − λi)〈u|ei〉〈ei|M̂1〉 )550.

    Q�( %4(�� :� �� W (τ) %��# :� �(

  • 0��" $�" 2��C- XM1,1 '��

    ���/� �

    ���E��� �^ '�� ����

  • ��� extremum �� %���� /���( �" %� �� %w�# ���(��( < /��E �&��� /���( �" P���EQ 2��^ O��� %( �� 9�� ��X /0� ��: O��HT

    F = U − TS =∑C

    HCPC + kT∑

    PC lnPC )557.

    T %� M�� %���� $��L �� 1T ���� P���EQ 2��^ *�� %���� $# � M� � %���E ��� �"�����"�- �� ��D O�"�@�" :� �" �6�����<��( ��"�����"�- !�"� $��1

    X/��� M1��D %H0�A" ����(

  • 〈si〉 ≡∑

    s

    Pi(s)s = mi )562.

    X M���# �" /0(

    Pi(+1) + Pi(−1) = 1 Pi(+1) − Pi(−1) = mi )563.

    X/��� M1��D ���(��( �

    Pi(+1) =1 +mi

    2, Pi(−1) =

    1 −mi2

    )564.

    X���# M1��D /0( �6�# :� �

    S = −kN∑

    i=1

    (1 +mi

    2ln

    1 +mi2

    +1 −mi

    2ln

    1 −mi2

    ))565.

    U = 〈H〉 = −N∑

    i,j=1

    Jijmimj −N∑

    i=1

    Bimi )566.

    �f���5� �

    F = −N∑

    i,j=1

    Jijmimj −N∑

    i=1

    Bimi + kTN∑

    i=1

    (1 +mi

    2ln

    1 +mi2

    +1 −mi

    2ln

    1 −mi2

    ))567.

  • $�" ��E�1 �"� Tc := zJk ��E�1 %� � 1��D 7�@�" �����(

  • 6�� "�� 7�� � �� ����85 ����� 136�8 ���

  • XM��E �" %6�� $#:� %�

    m ∼ ( 3BkTc

    )13 −→ m ∼ B 13 )582.

    Tcχ−(t, B = 0) ∼ (−t)−γ

    ′for T < Tc )583.

    $#�� %�

    χ+(t, B = 0) :=∂M(t, B)

    ∂B|B=0,t>0

    χ−(t, B = 0) :=∂M(t, B)

    ∂B|B=0,t

  • χ =1

    2k(Tc − T )−→ χ ∼ t−1 )589.

    TcC−(t, B = 0) ∼ t−α′ for T < Tc )590.

  • Tc) ∼ t−ν

    ξ−(B = 0, T < Tc) ∼ (−t)−ν′ )595.

  • X��� ���-��: *�� %( $��- �" �� ��8��Z" ��^�" !��b�j�,�

    χij :=∂〈si〉∂Bj

    =∂ ln Z∂βBi

    ∂Bj)602.

    M1� �

    Z- j %4C� �� �� ��8��Z" $�" �E� %� /0� �� ��1� $��� /�� �� < /0� �� ���,�0� (598. %4(�� :� $#�� %�X%� 1� �" $��� (??. %4(�� �� %���C"<�� �"�

    Z-�CL i %4C��� Y8��Z"

    χij = ββGij )603.

  • X/0���: *�� %( ����H�1 ����A( %4C� ������ �� %� M��� �" XO�Ho�

    G(−→r ) ∼ e− rξ

    rn−2+η)610.

    M����

  • �&�1 ��

    `0��" $�" F���(

  • 7��� !��b� '�C" G�� XM161 '��

    ���/� ��

    X����� !�1 /�� �V�( ����A( %4C� �������� %� M��� %��bE '�� �L��

    x�1� �" $��� ����- ����� ��D :� X3�

    x���1 7�T �1 /�� �� %( a�(�" ����A( !�1��� X N

    < /��� �5�# :� �- �� ��� 2���( $���(���5�# %�1 ��� �" T�( %� ���� ��I� !� ���0 `(�� � �1��� �� ( X \

    �� 7�6�� ����A( !�1 ��� /@+D %0 �� M5� !��( %� �� ����� ��- ����(� � ��J� M1��D �" '�� ����

  • X /��� M1��D G ���� KHE ��:# !r��� !��(�

    dG = −SdT −MdB )621.

    M����Q�( %4(�� :�

  • X���# /0( b � a !��� �� 2���( $��- �" �� β ����A( !��� %� 1� �" $��� %4(�� ��

    β =1 − ba

    )628.

    X %� ��( 1��D $# %6�� c

  • !��� ���(��(

  • %� M1� $��� M�����- (700. %4(�� ���� G�� �� ��5����(�5�- %� /0� $# 7��� !��b� '�C" %^�� /C��"

    ����A( %4C� �������� �P�� ���"�E /��s � ��8��Z" !��b�j�,� 2��^ x Y8��Z" *_" ��"�����"�- !�1 /�� Qf ��<���� ����-�����

    a !�1��� ���� ��� /,I �� :� ���1 ���� a�(�" �1 /�� ���V� ����H�1 %( %� ���5�# *9�Q ����A( !�1��� �f��o<��# �" /0( b �

    �H��" �(�6- �&� :� ���1 %� M����( /0( ��b� �1��" ����A( !�1��� ( �4(�� � M�����- b � a !�1��� Rb� �( �f_3�o<���1

    !�1��� !�T��C" �� ��". /0� ��� !� ���,�0� |1 ����A( ����0� !���D�0 O��I :� `(�� � �� \��J�0��� %� ���" �(�J( S�� 23�4" %( %I�- �(

  • ����� !��b� '�C" G�� X M1�:�� '��

    ���/� ��

    �������� %� �� �" ��( Y� %���� ��� X1� �" 7�6�� M5"��� �� 7��� !��b� '�C"G�� %� M��� %��bE '�� ��%���� 7�� � ���1 ����- `(�� � !���� �P�� !�"�E �� � !��b�j�,� x Y8��Z" �&� !� ��"�����"�- !�1 /�� ����A( %4C�!��b� '�C" G�� d��� %4C� %�BD ��4( <���1 �H��" �(�6-�&� :� %� 1� �" /0( ����A( !�1��� ( �� �4(�� �

    X /0���: ��b� '�C" *�� !���� ����A( %4C� �������� KHE W(�- %� ��( �� 7���

    G(λat, λbH) = λG(t,H) )642.

    `(�� � �� < M���# /0( b � a ���� 7��� !�1��� 2���( �� ����A( !�1���:� �-��5L %� M�����-G�� �� ��H9 �(X:� ���( O��HT

    β =1 − ba

    δ =b

    1 − b γ = γ′ =

    2b− 1a

    α = α′ = 2 − 1a

    )643.

    XM�� �� ����A( !�1��� ( �� ��: �� %�D��� %4(�� �� M�����- �� `(�� � �� ( b � a Rb� �(

    γ = γ′ = β(δ − 1) α+ β(δ + 1) = 2 )644.

    X���" �" �9�( 0�� $�( ��: �0�0� ���0 �L 7��� !��b� '�C" G�� N�L��L��

    p /�L (700. %4(�� ����� !��H" [ =

    m

  • p���# /0( �� ����A( !�1��� !�T ����C" $��- �" %���L [ >

    p�5� �� /"��T $��- �" %���L [ k

    < S�� OQ� �0 :� �V�( %( �,E 0�� !��( /0� ����� ����� !��b� '�C" G��

    V���� � ��T) ���/� ��

    �� ����0� $#�� �o�" !��:# O�I�� %� /0� $# M1� 7�6�� /���( �" %� !��� ��J� ����� ����0� �� ��- !��(�� ��_" $���T %(

  • '�C" $��C- !���� �1 '�C" �� %@��� �� `A" �� ��5( O��HT %(

  • ?

  • %� M(�� �"�� M6��( %�H� ��� ��8 2���( �� ����H�1 ��8 ��E�1 <���1 �I �E�,I !�1 /(�o BL � JL $#�� %�X �( /0��(��( �I M��0�� ����H�1 ��8

    ξL =ξ

    L)649.

    ����H�1 ��8 !���� �I M��0 %� /0� $# Q�( %4(�� !���" u

  • M1� 7�6�� M���- �" %� ! ������� L )660.

  • X1� �" /0( �� ��: %6�� �� ξ = t−ν %���� %( %I�- �

    d− 2 + η = 2(d− y) , t 1x = tν )664.

    �6�#:� �

    ν =1x

    η = d− 2y + 2 )665.

    %( a�(�" %� ���� ����A( !��� �� M�����- %�@( M�5,( �� 7��� !��b� '�C"G�� ����� !��H" M�����- �5�- %� ���(��(x, y 2���( �� �1��� %�1 ����0# %�I��" !��( M���- �"

  • p���# /0( �� ����A( !�1��� !�T ����C" $��- �" %���L [ >

    p�5� �� /"��T $��- �" %���L [ k

  • $��@�� F�� %( F��6�5(:�( X M��( '��

    ���/� �

    '�C"G�� ����� DZ���" %���� ��� X1� �" 7�6�� M5"��� �� ����� !��b� '�C" G�� %� M��� %��bE '�� �� t0� ( ����H�1 W(�- %( a�(�" %� η � ν ����A( !�1��� %H0�A" !��( �1�� %���� 7�� � 1� �" ]^�- �� 7��� !��b�M�� �" ���� ��t0� ����0� %( �-Q�( '�C"�� ��9� %� ��( ���H"G�� ���( ����� !��b� '�C" <�� �":�( ���( �1M�����- �� �,� !�1 �Q�0� �( <�� %���� �

    Z- �E�,I 2���^ %� O��,- �� �( /0� �@H9 *�� $��1 ����@"�1 *��

    <�(�� �"�

    Z- ����- O��� %( �E�,I 2���^ ��L %� M�5,(2���^ �

    Z- �-����0F�� ���� M���- �" $# ��� %( %� M�� �" ����" �� $��@�� F��6�5(:�( F�� '�� ����� !��"# !�1 $�" %��&��� M1 ��0����( ��(��� $���� F�� ��

  • H({s};K}

    H({S}, K’}

    s s s

    S

    1 2 3

    I

    < t0� �- %0 :� *���" M��0 �� F��6�5(:�( Xmc *��

    ��5�# !��:# O�I�� d�� � ���- ( !� ���0 �f�H�� a�H-�� %� ���1 ���1 ����0� ��": :� ����A( %4C� �������� �����!��( M&�" /0� ���� $��@�� F�� %( F��6�5(:�(

  • M���� �" �� F��� ����@"�1 �� ���� !��( p /�L M�( �" h��( '�C"�� %� !�o�" ����@"�1 %� /0� �� ���0 ���X M�: �" W�I �1 i�@( $��� !�1 t0� !�� �

    Z =∑

    s1,s2,s3

    eH(s1,s2,s3 =∑SI

    ∑s1,s2,s3|SI

    eH(s1,s2,s3|SI) )673.

    i�@( t0� ��C" %� ���( a���" xi�@( $��� !�1 /3�� 7��- !�� %� /0� $# !���" %(∑(s1,s2,s3|SI) $#�� %�

  • e−K′0+K′1 = e2K1−3K2 + e−K2(2 + e−2K1) )679.

    X�6�# :� �

    K ′0 =12

    ln(A

    B) K ′1 =

    12

    ln(AB) )680.

    $#�� %�

    A := e2K1+3K2 + eK2(2 + e−2K1)

    B := e2K1−3K2 + e−K2(2 + e−2K1) )681.

    /(�o $#�� %� ��� �" ��- �o�" ����@"�1���( �- h��( '�C"�� ���- %0 ��t0� M��0 %� 1� �" $��� x(678. %4(���E�,I /(�o %� M�� ���� G�� �" �6����� <�� %���� �

    Z- K ′0,K ′1,K ′2 �E�,I !�1 /(�o %( K0,K1,K2 �E�,I !�1

  • 7�� *3( � ���� ��I� �I ����@"�1 �@I�� 1kT /(�o �� $���T %( ���� T !�"� X ��� %��� X��� /9� ��( %����� %(<���1 �"� :� !� �w� W(��- �I !�1 /(�o ��� �" ��� (680. %3���"�� $#:� !� %���� %� F��6�5(:�( `(�� � �w�

    :� �- h��(. �5�# '�C" h��( ����� %� ��� �" ��- �� �,@�J" ��t0� !�1 M��0K′ x K �E�,I2���^ X 7�� %���

  • H({s};K} H({S}, K’}

    ξ ξ

    < F��6�5(:�( �o��� ����H�1 ��8 �

    Z- Xnc *��

    �( ξ %�� ��(� �� !�� a�C� %�1 !��( <���E �" ����A( %�� ��(� $# %( %� ��� �" ���- %�� � �(� �� )�E�,I 2���^%( �� %�� ��(� �� *D�� a�C� F��6�5(:�( *�T %� M�5� �" � ����� $# %( Q�(�� %� �� � �� {���� %( %I�- �(

  • ∞ξ

    < ����A( %�� ��(� � F��6�5(:�( ��� Xqc *��

    !� %4C� %( �� %4C� �� ��� O��� ���� ��( K∗ ����� !� %4C� K %� �� G�� K∗ � `C� �������� ��� O���+DX/��� M1��D ���(��( < /���� 1��D K′ *_" ������ $��1��

    K ′ = fL(K) −→ K∗ + ΔK ′ = fL(K∗ + ΔK) = fL(K∗) +∂fL∂K∗

    ΔK )689.

    �� �

    ΔK ′ = ALΔK, )690.

    $#�� %�

    AL :=∂fL∂K∗

    . )691.

    X��� �� �� AL K��-�" !�1����( �P�� � �1��C" �P�� $��- �" ���

    AL|ui〉 = λi(L)|ui〉 )692.

    X��� `�( �1 ����( �P�� �� 2���( �� ΔK′ � ΔK M���- �"

    ΔK =∑

    i

    ci|ui〉 ΔK ′ =∑

    i

    c′i|ui〉 )693.

    XM0� �" ��: %6�� %( (690. %4(�� �� �1 `�( �� $������9 �(

    c′i = λi(L)ci )694.

    2���^ �1 c′i � F��6�5(:�( :� *H9 �E�,I 2���^ �1 ci

  • ��: %4(�� $��- �" �����( !� ��6�: !�E l��" � AL ���- :� ���,�0� �(

  • ∞ξ

    < F��6�5(:�( ��� �� /(�o %4C� X?c *��

    �" ����A( ]40 %6���� � /(�o %4C� :� �" $���� T�( �5�� �

    Z- %� ���1 ���1 $��1 �E�,I !�1 /(�o ��

  • = 〈eV 〉0′∑

    {s}|{S}eH0) )702.

    %4(�� :� $��- �" �f��^

  • H({s};K}

    H({S}, K’}

    s s s

    S

    s s s1 2 3

    s s s1 2 3

    SI

    SI

    4 5 6

    II

    < �1 i�@( ( Y�� M1�( �( ��t0� M��0 �� F��6�5(:�( Xuc *��

    %@�I �1 %( %H�fB"�� ���� OB�I���: M�� N��� �� II � I !�1 i�@( ( Y�� M1�( ���� 〈VI,II〉0 %@�I %� /0� ����X M���� <���1

    〈VI,II〉0(SI , SII) = K1〈s3s4〉0 = K1〈s3〉0〈s4〉0 )709.

  • �6�# :� �

    〈s3s4〉0 =(

    e2K1 + e−2K1

    e2K1 + 2 + e−2K1)

    )2SISJ )713.

    X:� /0� O��HT �� F��6�5(:�( ����@"�1 %H-� ���- %� M0� �" %6�� �� %( {���� �� ���bE M1 �����(

    H({S}) = const+K1(

    e2K1 + e−2K1

    e2K1 + 2 + e−2K1)

    )2SISJ )714.

    %( $# �E�,I 2��^ �5�- � /0� ����� �

    Z- *�� �&� :� ����# �" ����@"�1 %H-� ���� %� /0���" �� %( %�X /0� ����6�5(:�( ��: O���

    K1 −→ K ′1 = K1(

    e2K1 + e−2K1

    e2K1 + 2 + e−2K1)

    )2)715.