ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y EN DIFERENCIAS FINITAS

Curso prctico

(Practical course of ordinary differential equations and finite differences)

JOSEP MARIA FRANQUET BERNIS

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA CENTRO ASOCIADO DE TORTOSA

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Y EN DIFERENCIAS FINITAS Curso prctico

(Practical course of ordinary differential equations and finite differences)

JOSEP MARIA FRANQUET BERNIS

2013

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Primera edicin, octubre de 2013 Josep Maria Franquet i Bernis e-mail: jfbernis@iies.es ISBN-13: 978-84-938420-1-7 ISBN-10: 84-938420-1-X Depsito legal: T-1146-2013 Edita: UNED-Tortosa. C/ Cervantes, n: 17, 43.500 TORTOSA Imprime: Grfica Dertosense, S.L. C/ Cervantes, n: 21, 43.500 Tortosa. Tel.: 977 44 00 28 e-mail: graficadertosense@hotmail.com Impreso en Espaa Printed in Spain

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PRLOGO El libro que ahora te presentamos, amable lector o lectora, est adaptado

esencialmente a los programas oficiales correspondientes a un curso cuatrimestral (o incluso anual) de las Facultades de Ciencias, Ingeniera, Arquitectura y Economa de nuestras Universidades, por lo que se refiere al estudio y resolucin de las ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas o recurrentes, ambas de provechosas aplicaciones en los campos reseados.

Cada captulo viene precedido por una serie de conocimientos tericos,

relativamente escuetos, que, a guisa de recordatorio, proporcionan al lector una referencia sucinta de todos aquellos conceptos, definiciones, proposiciones, lemas, teoremas, demostraciones, formulaciones y dems elementos tericos indispensables -aunque no siempre suficientes- para la correcta resolucin de los ejercicios prcticos que se proponen y resuelven a continuacin de los epgrafes. Con ello, el lector podr comprobar, de forma inmediata, que una parte considerable de los ejercicios posee un elevado nivel de detalle en su desarrollo resolutivo, pretendindose con ello patentizar la necesaria relacin existente entre stos y los conocimientos tericos aludidos, puesto que dichos ejercicios constituyen un medio poderoso de adquisicin y de consolidacin de los expresados conocimientos. Eso s, como siempre, todos aquellos errores que puedan aparecer en el texto sern de responsabilidad exclusiva de este autor.

De cualquier manera, y pese al elevado nmero de ejemplos que se ha

pretendido cubrir, es sin duda la prctica profesional la que har surgir problemas nuevos a los que habr que enfrentarse y resolver con rigor cientfico a travs de nuestros propios conocimientos. Esa labor se ver facilitada, en gran medida, merced al esfuerzo llevado a cabo para resolver el mayor nmero posible de ejercicios de cada tema; por esa razn no hemos querido tampoco escatimar su cantidad y diversidad.

Por otra parte, en aquellas cuestiones que, a juicio de este autor entraan

alguna mayor utilidad o dificultad, se insiste mediante ejercicios sucesivos con el objetivo de conseguir, de tal suerte, que el estudioso termine por conocer bien la materia pertinente. Algunos ejercicios se ilustran con una pequea exposicin terica para facilitar su resolucin, mientras otros tienen como finalidad el demostrar alguna propiedad relevante. Hay que tener en cuenta tambin que, en

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los ltimos aos, la aparicin de computadoras de bajo costo y alta velocidad, con el software adecuado, ha dado lugar a nuevas tcnicas de resolucin que permiten modelar y resolver problemas complejos basados en sistemas de ecuaciones. Concretamente, las numerosas representaciones grficas que aparecen en el libro, como reflejo visual de la resolucin de los ejercicios, han sido elaboradas mayoritariamente con la ayuda del excelente sistema computerizado de lgebra Wolfram Alpha Mathematica fabricado por Wolfram Research, Inc. (http://www.wolfram.com/). Con este paquete, los usuarios interactan de modo robusto. Entre sus muchas habilidades cuenta con una notable biblioteca de funciones clsicas (polinomios de Hermite, polinomios de Laguerre, ), resuelve integrales y ecuaciones diferenciales y en diferencias lineales as como sus sistemas, y sus grficas ilustran poderosamente tanto curvas como superficies.

Antes del captulo final de Complementos, que simplemente ayuda a

comprender mejor algunas de las cuestiones planteadas en el texto o bien abre perspectivas y seala nuevos horizontes de conocimiento y extensin de los conceptos tratados en nuestro libro, dedicamos otro captulo a la resolucin de problemas de aplicacin a la Ciencia, la Tcnica y la Economa de estos tipos de ecuaciones. Y es que el cultivo del mecanismo abstracto no deja huella til alguna si no va acompaado del ejercicio de las facultades de abstraccin y concrecin a los problemas reales y de interpretacin prctica de sus resultados. Tal es el carcter que no hemos querido obviar, en ningn momento, en la presente monografa matemtica.

Al objeto de centrarnos exclusivamente en la materia objeto del libro, y de

no alargar excesivamente su contenido, hemos prescindido expresamente de otros conceptos relacionados aunque no de menor inters, como los relativos a la profundizacin en los problemas de contorno y la funcin de Green, los mtodos aproximados de integracin grficos (polgono de Euler y haz de isoclinas, curvas isopolares, antipodaria de Meissner) y numricos (modificado de Euler, Runge-Kutta, Heun, punto medio, Adams-Bashforth-Moulton, Milne, aproximaciones sucesivas de Picard), los mtodos perturbativos (perturbacin regular, oscilador de van der Pol, WKB) y otros (serie de Taylor, implcitos, extrapolacin), el clculo de variaciones, el oscilador de Samuelson o las series de Fourier (expansiones de las funciones propias).

Al final del trabajo se incluye una lista de referencias bibliogrficas de la

que debo advertir, como suele suceder, que son todos los que estn pero, evidentemente, que no estn todos los que son. La seleccin ha sido hecha por gusto personal del autor y por aproximacin al nivel del texto. Algunas de ellas, sin duda, seran la continuacin natural de estas lecciones. Por cierto que, desde estas lneas, y en el marco limitado de estas reflexiones, quiero rendir tributo sincero de admiracin y agradecimiento a los excelentes libros de texto y consulta existentes, citados en la bibliografa, sobre las materias objeto de

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tratamiento, habiendo sido influido notablemente, en mis estudios, por el brillante trabajo de sus autores.

Observarn que algunos ejercicios han sido resueltos, as como su

enunciado, en lengua inglesa, y tambin algunas notas a pie de pgina. Con ello deseamos contribuir (tambin desde las matemticas!) a las nuevas tendencias de la educacin. Ya no hay excusa para aplazar los estudios de ingls: lo exige el Plan Bolonia. Europa quiere formar estudiantes que salgan al extranjero, puedan acceder a un puesto de trabajo fuera y sepan desenvolverse sin problemas en un pas diferente, lo que exige la imparticin de enseanzas bilinges. Un reto que en el caso de Espaa supondr un esfuerzo adicional, dado el escaso desarrollo de las asignaturas de idiomas en el panorama educativo. Y es que con la entrada del EEES (Espacio Europeo de Educacin Superior), a partir del curso acadmico 2009-2010, todo ha cambiado. El objetivo bsico de la reforma consiste en promover la movilidad de estudiantes y profesionales por cualquier pas europeo, a travs de nuevos planes de estudio que incorporan enseanzas bilinges y fomentan los periodos de formacin en el extranjero. La internacionalizacin obligar al alumnado a acreditar un determinado nivel (B1 segn el Marco Comn Europeo de las Lenguas, un nivel intermedio) en un segundo idioma.

La tendencia es que los estudiantes aprendan ingls por razones prcticas. Es el segundo idioma ms hablado del mundo y tiene un peso indiscutible en el mundo de los negocios, como precisa Bernie Maguire. A partir del curso acadmico 2011-2012, la prueba de acceso a la universidad obliga a los aspirantes a realizar una prueba oral de ingls o de otro idioma extranjero. Ello constituye un paso ms, de singular importancia, en la reforma de nuestro sistema educativo, que tantas vicisitudes (no exentas de polmica, por cierto) est experimentando en los ltimos tiempos.

A lo largo de cualquier trabajo cientfico, como el que ahora presentamos, se acumula toda una serie de dbitos intelectuales y profesionales que resulta harto difcil describir en toda su extensin; pese a ello, algunos me parecen especialmente relevantes. Tampoco olvida, quien esto escribe, la formidable deuda de gratitud contrada con los que fueron sus guas y maestros, algunos de ellos ya desaparecidos. Mi reconocimiento, en fin, a las diversas instituciones que han apoyado la edicin del presente libro y, particularmente, al Patronato del Centro Asociado en Tortosa de la Universidad Nacional de Educacin a Distancia (UNED), a la imprenta Grfica Dertosense, S.L. por el cuidadoso esmero puesto en