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Edward Hermann Haeusler

Prof. do Departamento

de Informática

PUC/RJ

Provas como Objetos deEstudo: História, Usos e Abusos

Prof. Edward Hermann HaeuslerTECMF-DI-PUC-Rio

Provas como Objetosde Estudo: História,

2

Panorama da Matemática no Século XIX

- Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX):- Equação da Onda

- Equação do Calor - Equação de Poisson- Técnicas de Fourier

- Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. Parciais- Problemas de Fundamentação:

- Séries divergentes x Séries Convergentes

- Conceito de infinito não era preciso

- O próprio conceito de número real não era preciso.

- Definição de convergência não existia

- Conceito de função não era preciso

Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata



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Panorama da Matemática no Século XIX (cont.)

Dedekind (1831-1916) Definição de número real. Princípio de definição de funções por indução (recursão primitiva) 1888Cauchy (1789-1857) Bolzano(1781-1848)

Weierstrass (1815-1897)

Riemman(1826-1866)

Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas

Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas

Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas

Hilbert (em 1898-1899) Estabelece a fundamentação da geometria

Peano (em 1889) Define os axiomas da aritmética



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Teoria Ingênua dos Conjuntos

Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos de números cardinais e ordinais transfinitos.

Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos)

Resistência aos principais resultados. Existência Atual posta em cheque.

Os paradoxos:

- Burali-Forti (1897) “Não há o ordinal de todos os ordinais”

- Russell (1902) “Não há o conjunto de todos os conjuntos”

R = { x / x x} ==> R R se e somente se R R



5

Evolução da Lógica como assunto matemático

Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal.

Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência () como primitivo.

===> paradoxos aparecem novamente !!

DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos.

Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan.

===> Paradoxos associados ao axioma da escolha



6

As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática

Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos.

Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência

Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana fundamentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção.



7

O Programa de Hilbert

=> Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que:

- As teorias mais complexas são extensões das mais simples.

- Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, porcompactação, completamento algébrico, etc)

Th(N) Th(Z) Th(Q) Th(R) Th(C)

=> Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o uso de técnicas finitárias.

=> Provar que não existe prova de 0 = 1 usando ............



8

Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX - Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell

- Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível.

- Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica.

- Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível

- Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética (só o sucessor).-Tarski (1930) Prova que a aritmética com adição (+) e menor (<) é decidível. (1936) Formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem (1949) Prova da decidibilidade da Teoria dos Reais

- Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem

- Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: # é o código de .

- Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência.



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Os Teoremas de Gödel

Lema da diagonal (Gödel/Tarski): ( Th(N) T)

T |- diagx1(#,#(#)) se e somente se

x1 é a única variável livre em e (t) indica suasubstituição por t

Seja (x1) uma fórmula com somente x1 livre, então existe tal que T |- (#)

Teorema de Tarksi: Não existe uma fórmula Verd(x1) em T capaz de definir a verdade aritmética, isto é, T |- Verd(#) se e somente se é verdadeira na aritmética.

Paradoxo do mentiroso: “Eu estou mentindo”

Teorema de Gödel: Qualquer axiomatização de Th(N) onde seja possível aritmetizar o conceito de prova é incompleta.

Prova: Seja Th(N) e uma fórmula Pr(x,y) tal que |- Pr(#, # ) se e somente se é uma prova com axiomas de . Aplique o lema da diagonal a p Pr(p,x1)

Segundo Teorema de Gödel: Seja uma axiomatização como acima, então a fórmulap Pr(p,#(0=1)) é demonstrável a partir de se e somente se Cn() é inconsistente



10

Gentzen Prova a Consistência da Aritmética (1936)

-Criação de um sistema dedutivo “natural” (com estrutura) com o qual pode-se analisar o papel das constantes lógicas na construção de provas. Comparação entre provas ( 1 2 ).

-Definição de um processo efetivo de simplificação de provas (normalização) => Para toda prova de a partir de , obtem-se efetivamente ’ que é (uma) prova mais simples de a partir de ’ .

-Mostra-se que não existe prova mais simples de 0=1

Não existe prova de 0=1

-Em uma prova simples todas as fórmulas são sub-fórmulas ou da conclusão da prova ou de alguma das hipóteses (premissas, ’) da prova .



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Lembretes:

-A prova original de Gentzen usa Cálculo de Sequentes e prova que a regra do corte é desnecessária na construção de provas em aritmética. Usa indução até 0 para provar terminação do processo de construção da provaquando este for o caso. (Folclore do Haupsatz ou eliminação do corte)

- Dedução Natural é apresentada por Gentzen mas, somente após Prawitz (1965) os principais problemas com as regras de absurdo (clássico) são resolvidos e a relação entre Normalização e Eliminação do corte é bem estabelecida.

- Curry já havia relacionado combinadores (S, K e I) com sistema axiomático de Heyting (lógica intuicionista), originando o termo Lógica Combinatória.



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Evolução da Teoria da Prova

- Análise Ordinal (Schütte - Girard)

- Provas como Computações (Curry-Howard)

- Teoria de Tipos e Modelos Categóricos para Linguagens

- Novas lógicas com semânticas operacionais.

- Compactação de Provas

- Complexidade Lógica.



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Dedução Natural

(A (B C)) (A C)

(A C)

(A C) (A C)(A (B C))[A]

[B C]

C

[ ]

(A (B C)) (A B) (A C) (A (B C))

(A B) (A C)

(A C)

(A (B C)) (A C)

[ ]



14

(A (B C)) (A B) (A C) (A (B C))

(A B) (A C)

(A C)

(A (B C)) (A C)

[ ]

Dedução Natural - Simplificando Provas

(A (B C)) (A C)

(A C)

(A C) (A C)(A (B C))[A]

[B C]

C

[ ]

(A B) (A C)

(A B) (A C) (A B) (A C)[(A (B C))]

(A B) (A C)[A] [A]

(A B) (A C)B C

[(B C)] [(B C)]



15

Algumas Reduções

(B C)

1

B2

C

C

2

C

[A]2

BA B

1

AB

[A]2

B

1

A[A]2

B

1

1

A(a)

xAx

A(t)

1(a/t) A(t)



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Princípio da Subfórmula para Provas Normais

Eliminações

Fórmula mínima

introduções

Toda fórmula na prova ou é subfórmula de ou é subfórmula de Alguma fórmula de



17

Consistência da lógica de primeira ordem

Não existe prova de , pois

Suponha

Então existe normal ’



18

Terminologia e Comentários

-Ao processo de “siimplificação” de uma prova dá-se o nome de NORMALIZAÇÃO

- NORMALIZAÇÃO = (Estratégia de Apl. de Reduções) + Terminação

-Para a lógica de primeira ordem a prova de terminação é feita com indução finita.

Normalizando Provas na Aritmética



19

A Regra de Indução Finita

0

(0)

[(a)] s

(suc(a))

x (x)

Pode haver normalização para a Aritmética ????



20

O Sistema infinitário PA

0

(0) suc(0)

(suc(0)) ………. suc

n(0)

(sucn(0)) ……….

x (x)

Regra



21

Imergindo provas de PA em PA

0

(0)

[(a)] s

(suc(a))

x (x)

0

(0) s

(suc(0)) ……. s

(sucn(0)) ….

x (x)

0

[(0)] s

[(sucn-1(0))]

.

.

.

0

(0)

Pode-se estimar o tamanho das provas de PA ???

Reduzindo provas em PA



22

Medindo o tamanho das provas em PA que são imagens de provas em PA

sem IND finita

k IND não aninhadas ≤ k. < 2

uma IND aninhada < 2

IND aninhadas em quantidade arbitrária

<



23

Medindo o tamanho das provas em PA em função da regra

0

(0) suc(0)

(suc(0)) ………. suc

n(0)

(sucn(0)) ……….

x (x)

- Se k finitos então

=

- Se k = k. então = 2

- Se k = k então

- Se k = então k

A cota superior é então :

- vezes0 =



24

0

(0) suc(0)

(suc(0)) …. suc

n(0)

(sucn(0)) ….

x (x)

(t)

t

(t)

•Tamanho da prova reduzida não é maior e pode-se considerar uma medida no processo de normalização onde a redução tem complexidade menor



25

- Prova-se por indução transfinita até 0 que todas as provas em PA que tem um número finito de fórmulas máximas, são normalizáveis

- Não existe prova de 0=1 em PA.

- PA é consistente



26

Estimando o tamanho de provas Normais

Em Dedução Natural Proposicional :

- Cota-Superior para provas normais : 2

2tam()

2... F-Max()

- Exemplos de teoremas que tem cota-inferior hiperexponencial em provas normais e tem tamanho linear em provas não-normais

Em Cálculo de Sequentes Proposicional :

- Cota-Superior para provas sem corte : 2F-max().tam()

- Exemplos de teoremas que tem cota-inferior exponencial em provas sem corte e tem tamanho linear em provas com corte

Ex: Princípio da Casa do Pombo (Haken 1984)

Ex: Fórmulas de Orekov



27

Sistemas de Frege e Simulação polinomial

-Um sistema de Frege é defiinido por conjunto finito de regras e axiomas e é completo e correto (com respeito a LK).

Teorema: Dados F1 e F2, sistemas de Frege, toda prova em F1 tem uma prova ’ da mesma fórmula e tam(2) Poli(tam(1))

-Um sistema de Frege com extensão permite o uso da regra de extensão : E

Fato : O princípio da casa do Pombo (PHP) possui provas de tamanho polinomial em sistemas de Frege com extensão (Reckow 1987)

Fato: PHP possui provas de tamanho polinomial em sistemas de Frege (Buss & Reckow 1988)



28

Compactando Provas

- Ignorar a estrutura da prova e compactar como um string.

- Usar a estrutura da prova e introduzir fórmulas máximas (cortes)

=> Obtem-se redução do gap exponencial para alguns exemplos

- Provas como termos de primeira ordem e compactação via algoritmo de unificação

PHP polinomial equivalente ao obtido por Buss. Prova obtida a partir de uma prova normal com introdução de fórmulas máximas e axiomas de extensão gerados pela unificação de fórmulas na prova normal (Gonçalves & Haeusler 2005)

=> Processo já utilizado por Revezs em 1986 no contexto de L.F.

PHP polinomial de mesmo grau obtido por Buss. Prova obtida por unificação de subtermos (subprovas)

Dificuldade inerente na compactação de provas !!!!!



29

P : Encontra solução em tempo polinomial

NP : Verifica solução em tempo polinomial

CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomial

Sat NP Taut CoNP

Obs: Se CoNP NP então NP P

Verificação de Modelos Prova de Teoremas

A Ciência da Computação Hoje : NP = P ? (Cook 1971)



30

Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo

===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP NP e portanto NP P.

=> Taut Intuicionista é PSPACE-completo (CoNP PSPACE)=?

=> A lógica intuicionista só com a implicação é PSPACE-completa

Circuitos booleanos monotônicos e provas em Dedução Natural

Razborov 1984 e 1989 indica que o uso de negação é essencial na obtenção do Gap exponencial em circuitos booleanos.

Uso de desnormalização como mais uma “heurística” de compactação de provas.



31

Teorema do Razborov (1985)

Indício de que NP P ??

Obs: A prova do teorema de Razborov usa a técnica de ultraprodutos introduzida em 1938 por Lós para provar a compacidade da lógica de primeira ordem

Fato: Se L P então existe uma família de circuitos booleanos (Cn)nN e um polinômio p(x) tal que Ln é aceita por Cn e | Cn | p(n).

Corolário: Se existe L tal que toda família de circuitos para Ln não é limitada por polinômio então NP P.

Teorema (Razborov): Circuitos monotônicos para CLIQUEn,k quando k = 4n tem cota inferior :

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 82 ncO



32

Consistência

Def. Uma Teoria é consistente se não sustenta fatos falsos.

Def. Uma Teoria é consistente se não prova fatos falsos.

Def. Uma Teoria é consistente se não prova todos os fatos.

Def. Uma Teoria é consistente se não prova algum absurdo.



33

O que são técnicas finitárias ???

- Operações efetivas sobre objetos concretos

Objetos concretos: |, ||, |||, ||||, ||||||, .... , , , , ........

Operações efetivas: ????????

juntar símbolos apagar símbolosescrever símbolosreconhecer um símbolo

(visão a posteriori)



34

Daniel Bernouli 1753

u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) D’Alembert 1747 + Euler 1748

u

x t

ut(x,0) = g(x) e u(x,0) = f(x)

u(x,t) = 2 0 (sinnysinnxcosnct)f(y)dy + 2 0 (1/n) (sinnysinnxsinnct)g(y)dy

Lagrange 1759

Equação da onda



35

Equação do calor

u(0,t) = u(L,t) = 0

u(x,0) = f(x)

u(x,t) = cne-n Kt/L sin(nx/L)n=1

2 2 2

f(x) = cnsin(nx/L)n=1

cn= (2/L) f(x) sin(nx/L)dx0

L

Fourier 1811

==> Toda “função” tem expansãoem série de senos ?????

L

Dirichlet (1829,1837) +Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral,1900’s)



36

3x + = 9

x = 6

Manipulação com séries infinitas (I) : Resolvendo equações

C

1 + aC = C

C(1-a) = 1

C = 1/(1-a)



37

Diferenciação de uma série (termo a termo)

dx

Integração de uma série (termo a termo)

∑∞

=0k

kdxx ∑∞

=1k k

xk



38

Geometrias Não-Euclidianas

HiperbólicaBolyai-Lobachevsky

1820

ElípticaRiemman

1800’s

PlanaEuclides

400’s

Axiomas de Euclides1. Para cada par de pontos P1 e P2 com P1 P2 existe uma única reta que incide em ambos.2. Para todos segmentos AB e CD existe um ponto E t.q. E está entre A e B e CDBE3. Para todo par de pontos O e A com O A existe um única circ. com centro O e raio OA4. Todos os ângulos retos são congruentes

5. Dados uma reta R e um ponto A fora desta, existe uma única R’ paralela e R e incidente em A.



40

Não provabilidade da consistência em Cn()

~Pr(#) Cn()

se Cn() então Pr (#) Cn()

Cn() é inconsistente.

se Cn() é consistente então Cn().

~Pr (#(0=1)) Cn()~Pr (#) Cn()

Cn()

[Diag]

Portanto se ~Provavel(#(0=1)) Cn() então

Cn() é inconsistente



41

S

v

-1 (v)

S C

-1(S C)

-1

= Rotação de 1/10 de radiano

C = n(v)n N

S C -1(v) =

Intuição do “Mundo Físico” não concorda com o “Mundo Matemático



42

Paradoxo de Banach-Tarski (1924) e Paradoxo de Hausdorf (1914)

Rotações e Translações

Divisão da esferaem 5 partes

(uso do axioma da escolha)



43

Existência de um conjunto sem medida em Rn

- Medida como Comprimento, Área ou Volume (desde a Grécia antiga)

- Medida associada a integral de Riemman

- Medida de Jordan (contempla somente conjuntos limitados) - 1890

- Medida de Lebesque generaliza a de Jordan e contempla conjuntos ilimitados incluindo os Riemman integráveis - 1902

- Vitali usa o axioma da escolha para mostrar a existência de um conjunto sem medida (1905)

- Solovay (1960’s) prova que substituindo-se o axioma da escolha pelo axioma da determinância (“Todo jogo infinito tem estratégia vencedora”) tem-se que todo subconjunto do Rn é mensurável.



44

N = < N, 0, <, suc, , +, exp >

suc(0) + suc(0) = suc(suc(0)) Th(N)

xy(suc(x) + y = suc(x + y)) Th(N)

xyzn ((n > suc(suc(0))) (exp(x,n)+exp(y,x))exp(z,n)) Th(N)



45

Leitura computacional do teorema de Gödel

Todas as funções computáveis são representáveis em [N, <, 0, suc, +, *].

Toda computação pode ser expressa em forma de Dedução a partir de um conjunto de axiomas (A) que defina as operações aritméticas básicas.

Gödel define o conceito de função primitivamente

recursiva e relaciona com aquelas que são representáveis

em aritmética.



46

h( [N, <, 0, suc,

+, *]) diag é computável.

Como é r.c. então Ded é computável

Ded é representável em Cn().

Qualquer axiomatização r.c. para [N, <, 0, suc, +, * ] é incompleta, i.e,Cn() é incompleta.

Existem funções não computáveis



47

Seja T = fórmulas válidas

T ser r.c

fórmula repr. f em Cn(T)

Cn(T ) é r.c.

função f computável que reconhece Cn(T)

Diag. sobre ~

~(#) Cn(T)

Contradição

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