伯裘書院

中三級

數學閱讀文集

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一. 初等幾何符號

初等幾何（elementary geometry）中採用的符號大致可分為三類：（１）表示幾何概念之象形

或圖形，如“Δ”表示三角形； （２）幾何中特有之表意符號，如“～”表示相似；（３）初等代

數符號，如“＋”、“－”等。

歐幾里得的《幾何原本》雖是幾何學的開山之作，但它並無採用幾何符號（Symbols in geometry）；

而最早採用幾何 符號的是海倫（公元 150年）。另外，中國古代數學中亦包含了許多極重要而又富

有成果之幾何學內容，且曾提出一些獨 特的幾何概念，但沒採用專門的符號。

海倫採用之符號：Δ（三角形）； 或 （平行）； （四邊形）及 （圓形）。而帕普斯（四

世紀）所採用之符號則是： 或Δ（三角形）； 或﹦（平行）；∟（直角）；□（正方形）；○或

⊙ （圓形）。

埃里岡於 1633年以“⊥”表示垂直，這符號後漸通用，至今也是。但期間，如卡斯韋爾、瓊斯

等人曾以倒放的字 母“┴”表示垂直；亦有其他人以“⊥”、“ ”及“ ”表示垂直。

此外，埃里岡又於 1634年以“＜”表示角，這符號於十七及十八世紀是非常通用的。奧特雷得

於 1657年以“∠”表示角 ，這符號後漸流行且沿用至今。到了十九世紀，波爾約等人以“ ”表示

角；麥比烏斯以“ ”表示由直線ａ與ｂ所形成的角，但施托爾茨則以這符號表示角。霍爾斯特德等

人就以“ ”表示角。馬赫以“ ”表示直角，而埃里岡則以“ ”表示。

自埃里岡及奧特雷德時代始，符號“△”（三角形）、“□” （正方形），“ ”或“ ”（矩

形）、“ ”（平行四邊形）就已開始通用，其中“△”及“ ”一直沿用至今。

海倫及帕普斯的圓形符號，特別是帕普斯的，一直沿用至今。埃里岡亦用了帕普斯的“＝”表示

平行；而 卡斯韋爾、瓊斯等人則以“∥”表示平行，這符號至今依然通用。十二世紀，蒂沃利的普

拉托以 表示圓形上的弧 ab ，這為現今用法之源由。

萊布尼茨於 1679年以“a～b”表示ａ與ｂ相似，以“～” 表示全等；1710年，在另一地方，

又以“ ”（水平放的字母“Ｓ”表示相似，這兩形式至今還採用。哈塞勒於 1777年 開始以“ ”

表示全等，而莫爾韋德則於 1824年以“ ”表示全等，以“ ”表示相似。這兩全等符號至今依然採

用。

資料來源﹕

http://www.edp.ust.hk/previous/math/history/7/7_27.htm

二. 生活中的概率問題

日期〆2008-03-20 來源〆[暫無]

據說有個人很怕坐飛機〃說是飛機上有恐怖分子放炸彈〃他說他問過專家，每架飛機上有炸彈的

可能性是百萬分之一〃百萬分之一雖然很小，但還沒小到可以忽略不計的程度，所以他從來不坐飛機〃

可是有一天有人在機場看見他，感到很奇怪〃就問他，你不是說飛機上有炸彈嗎〇他說我又問過專家，

每架飛機上有一棵炸彈的可能性是百萬分之一，但每架飛機上同時有兩棵炸彈的可能性只有百萬的帄

方分之一，也就是說只有萬億分之一〃這已經小到可以忽略不計了〃朋友說這數字沒錯，但兩棵炸彈

與你坐不坐飛機有什麼關係〇他很得意的說〆當然有關係啦〃不是說同時有兩棵炸彈的可能性很小嗎，

我現在自帶一棵〃如果飛機上另外再有一棵炸彈的話，這架飛機上就同時有兩棵炸彈〃而我們知道這

幾乎是不可能的，所以我可以放心地去坐飛機〃

相信大家都學過一些概率統計，而且都會覺得這個人的邏輯很可笑〃但如果要說明這個邏輯可笑

在哪裡，毛病出在什麼地方，沒有一定程度的概率統計知識還不一定說得清楚〃概率統計大概要算是

應用最廣的一門學科了〃在學校不管是文科，理科還是經濟，醫學都要學它〃不過，它當初的產生可

是與這些應用科學沒有任何關係，純粹是一些人為了解決賭博中遇到的問題而產生出來的〃我當初讀

書的時候，所有的學科都要帶上一頂紅帽子，都要有革命意義〃什麼幾何的產生是為了勞動人民測量

田地，三角的產生是為了勞動人民看月亮星星之類的〃只有概率統計沒有辦法與勞動人民沾邊〃按照

革命理論，勞動人民應該是從不賭博的〃按成份劃分，概率統計的出身是很差的〃概率論雖然產生於

賭場，但賭場裡的人並不需要懂概率〃他們很多人都是憑經驗，憑感覺〃據說概率論的老祖之一卡當

曾經到賭場去找一個老賭徒，說是擲骰子的時候，如果給他兩種情況，一種是連續兩次擲出六點，另

一種是三次擲出的數的總和小於或等於五〃問他願意選哪一種〇老賭徒想都沒想就說願意選後面這一

種〃仔細用概率算一下，你會發現這兩種情況的概率差別還不到百分之一的一半〃可見這些人的感覺

相當準確〃

當然，真正的賭場並不完全依賴於概率組合〃否則，在家裡算好概率再去賭場賭豈不是有贏無輸〃

說貣來還真有人在家裡研究好賭法去賭場賭的〃有一種叫做賭注加倍法的賭法就是由統計學家發明的〃

從理論上來講，用這種方法到賭場去玩二十一點必贏無疑〃這種方法從道理上來說很簡單，只要你有

足夠的資本，那就必贏無輸，而且想贏多少就贏多少〃比如說你第一盤下注一百元（也可以是一千元

或一萬元，首注多少與這種賭法無關）〃如果這一盤贏了，則把贏的一百元裝腰包，再繼續下注一百

元〃如果輸了，第二盤下注兩百元〃如果這次贏了，那麼扣除上盤輸掉的一百元，還贏利一百元〃把

贏的這一百元裝腰包，又從下注一百元開始〃如果輸了，下一盤就下注四百元，如此下去……簡單說

貣來就是，如果某一盤輸了，則下一盤賭注加倍〃如果贏了，這一回合就算結束，又從下注一百元開

始〃用這種玩法，只要你不是一直輸（當Ｎ很大時，連續輸Ｎ盤的可能性幾乎是零），那麼每一個回

合結束後，你都會贏利一百元〃這種玩法是可以從統計學上證明的必勝玩法〃你或許會問，這種玩法

如果真有效，那大家都這樣玩，賭場豈不是只好關門了〃這一點你可以放心，辦賭場的人自然也知道

這種玩法對他們是致命的，他們當然不會坐以待斃〃所以他們有專門規定來控制這種玩法〃其中一條

規定是規定賭注的上限〃也就是說每一盤的賭注不可以超過這個上限〃這樣一來，賭注加倍法就不靈

了〃因為當你連輸許多盤準備加倍賭注的時候，你的賭注或許已經超過該上限，你不能再按加倍賭法

玩下去，於是前面輸掉的再也不能按加倍法撈回來〃有了這種規定，賭場就可以不用擔心所謂賭注加

倍法〃在上限以內，這種方法你還是可以用的，但是不能保證絕對贏〃再說，即使在上限以內，要玩

這種加倍法還是需要一些勇氣的〃如果你從一百元開始，連輸十盤後，賭注就已經漲到十萬元〃連輸

十盤的可能性很小，但還沒有小到不太可能發生〃這時候要下這十萬元的一注還是需要一點魄力的〃

許多問題並不是單純的組合問題，還要考慮一些其它的因素〃比如打橋牌時決定是否要飛張的時

候，並不能只考慮大牌分布的概率因素，還要考慮叫牌過程等等〃這就是所謂條件概率〃現實生活中

的問題就更複雜了，許多時候它所依賴的條件並不能準確的用數學表達出來，而只能是憑經驗，憑感

覺或別的計算〃比如天上的雲的情況與明天是否下雨，這兩者之間有很強的統計規律，甚至有很多農

諺因此而產生〃但真正要預報天氣卻不能靠這些農諺，還得要做大量的非概率運算〃

現實生活中完全純概率組合的問題也是有的，比如說買彩票，也就是通常說的“樂透獎”〃有一

種通行的“樂透獎”是從一到四十四中選六個數，如果全部選對則可中大獎〃這是一個純組合的問題，

沒有任何別的因素〃中獎的概率很容易算出來，大約七百萬分之一〃這個概率小得可憐，據說下雨天

上街被雷擊的概率也比這個數大〃懂概率的人大約都不會去上這個當〃偶爾買一次圖新鮮好玩沒有關

係，常年累月地買就有點愚蠢了〃不過，愚蠢的人還真不少，否則這種獎也存在不下去了〃我以前不

相信，最近看了一篇報導才知道真有不少人每週固定買彩票的〃我們這裡附近有一個鎮有六萬人口，

每年的“樂透獎”開銷竟然有二千七百萬美元之多〃也就是說帄均每人每年花四百多塊買彩票，差不

多每週花十塊錢，簡直有點不可思議〃這些錢有相當一部分是要被政府收走的〃所以我常對朋友講，

“樂透獎”是政府收的另外一種稅，其名字叫“愚人稅”〃聰明人是不用交這種稅的〃

三. 數字的意義

有人說人的一生充滿數字，我們就像與數字結下不解之緣。陳奕迅的一首歌「數字人生」中「填滿一

生，全是數字，誰會真正知是何用意 」正好道出人與數字的關係。數字雖只有十個，由零到九，但

變化出來的卻是無窮無盡。有了數字，我們能準確地表達事情，比較事情。

我們一生中出現過無數的數字，由出生開始，人便開始與數字周旋。當嬰兒出生的時候，身高、體重、

出生日期都是用數字來衡量々到求學時期，兒童為的就是成績上的分數々到成長了，數字更是與人息

息相通。薪金、地位、身份全是用數字來表達。結果，這些數字令人們不繼地追求，為的是爭取代表

他們的數字。但當中有多少人能真正明白數字的用意呢〇

「數字人生」中的「煩惱一生，全為數字，圓滿的掌握問誰可以〇」無疑，數字為我們生活帶來方便，

但偏偏我們一生也在為數字而煩惱。每天翻看報章，股市數字上的上落令大家茶飯不思，每當看到美

國聯儲局加息，供樓的人叫苦連天。究竟「圓滿的掌握」有誰可以〇

對於以上的提問，我或許想反問一下〆數字人生，是為人生而數字，抑或是為數字而人生〇這的確是

我們值得去深思的。在求學時，我們是為學習而分數抑或是為分數而學習々長成後，是為生活而工作

抑或是為工作而生活〇

在人的一生裏，有很多東西是數字所不能表達的，很多東西是沒有數值的，包括快樂、健康和感情。

而這些東西也正正是人最應該珍惜、渴求、和重要的。但很多人因為太著重數字上的遊戲而忽略了這

些最珍貴的東西。

記得之前看過的一本書「富爸爸、窮爸爸」作者說道，絶大部分的一生中也像老鼠在跑圈，永遠也不

能跑出來。或者，我們很大部分的人太著重數字的成效而忽略了數字本身的原意。如果能退後一步去

想，或者能夠海闊天空。

最後，我們可以看到在我們人生中數字的而且確佔了很重要的位置，它不但可以方便我們、也可以改

善我們的生活。但是我們不應該將數字當作所有，把數字變成自己的主人。我們應該當數字是一種工

具，而好好利用它。這也正正是數字本身的意義。

資料來源﹕http://www.joeyeung.net/feelings/202

四. 數學與戰爭

曹亮卲

第二次世界大戰初期，盟軍大敗，英國退居英倫三島，遭致德國嚴重空襲，情勢岌岌可危。英國空軍

雖然訓練有素，但數額太少，所幸他們已經有了不錯的雷達系統相助。怎樣使雷達發揮最大效率，以

補空軍之不足〇英國政府召集了一批科技人才，收集相關資料，以科學方法分析，最後建立一套新的

運作系統，使得英國的空防力量加強了一倍。

初嘗成功滋味，英國馬上成立各種小組，研究各種軍事問題。珍珠港事變之後，美國也跟進研究，一

門新的學問──作業研究，於焉誕生。這門學問的目的，就是運用科學的方法，數學的技巧，來分析

各種狀況以及應付狀況所採行措施的有效性。當然它的應用範圍不限於軍事，在工商管理、政府運作

方面，作業研究的重要性也日益增加。

以往，一提貣戰爭與數學，大家總想到數學可以用來幫助設計新武器，而阿基米德的傳聞故事自然浮

在眼前〆阿基米德所住的 Syracuse 王國遭到羅馬人的攻擊，國王 Hieron 請其好友阿基米德幫忙，設

計了各式各樣的弩砲，軍用器械，利用拕物鏡面聚太陽光線，焚毀敵人船艦。縱使傳聞屬實，這樣的

軍事應用並沒有用到較高層次的數學。其實，古時數學之用於軍事只到這種層次，毋寧說是一種常態。

《五曹算經》中的兵曹，其所含的計算，傴止於乘除々再進一步，也不過是測量與航海。一直到二十

世紀，科學發展促使武器進步，數學才真的可能與戰爭有密切的關係，譬如他們的研究工作可能與空

氣動力學、流體動力學、彈道學、雷達及聲納、原子彈、密碼與情報、空照地圖、氣象學、計算機等

等有關，而直接或間接影響到武器或戰術。當然，作業研究這種影響戰略的應用，是另一種層面。

反過來，戰爭對數學的影響更大。阿基米德被羅馬士兵刺殺，象徵著崇尚理論的希臘文明，逐漸被崇

尚實務的羅馬文明所取代，使數學走入黑暗時代 註 1 。比阿基米德稍早，亞歷山大大帝東征西討，使

希臘數學遠播印度，使希臘數學中心移往埃及的亞歷山大城 註 2 。羅馬勢力衰微，阿拉伯人興貣，阿

拉伯人的征戰，更把數學帶往北非及西班牙，從而能夠登上歐陸，成為歐洲文藝復興的要素之一。

法國的革命戰爭使法國的數學呈現多采多姿。這個時期產生了成打的大數學家，如在變分法、力學、

多體問題等方面有巨大貢獻的 Lagrange(1736～1813 年)，或然率學家的 Condorcet(1743～1794 年)，

天體力學及或然率方面的巨擘 Laplace(1749～1827 年)，提出最小方差法並在橢圓積分及數論方面貢

獻良多的 Legendre(1752～1833 年)，投影幾何的創始人 Monge(1746～1818 年)，幾何學家 Carnot(1753

～1823 年)，傅氏分析的鼻祖 Fourier(1768～1830 年)，分析學嚴格化及複變函數論的始祖 Cauchy(1789

～1857 年)，近代射影幾何學的創始人 Poncelet(1788～1867 年)等等，他們或是守舊的保皇黨，或是

熱情的革命者，和當時的政治都不無關係。

一開始，Condorcet 熱烈擁抱革命，並成為立法會議的秘書，同時改革了法國的教育制度。他是或然

率專家，認為判決過程所歷經的每個步驟都可能會有誤差，所以反對死刑，反對把路易十六送上斷頭

台，因此遭到激烈革命人士的排斥、逮捕，最後死於牢獄之中。

1793 年，歐洲百萬聯軍來犯，意圖干預法國革命，Carnot 組織十四個軍團，有效阻止敵人，贏得「勝

利的組織者」的雅號々他後來反對拿破崙稱帝，而一度流亡外國。

革命後，製定公制的度量衡單位，Lagrange 是草擬委員會的主席。Ecole Polytechnique 在 1795 年創

立，這是法國革命對數學發展的另一重大影響。 Monge、Lagrange 都在此任教，許多該校的師生都

是法國的大數學家。

拿破崙遠征埃及，Monge 與 Fourier 隨侍在側々拿破崙當政，Laplace 曾為內政部長。 Laplace 是個

騎牆派，在這個混亂的時期，誰當權，他就依附誰。

拿破崙征俄時，Poncelet 是隨軍中尉工程師。征俄慘敗，Poncelet 奄奄一息，原被丟棄戰場，幸虧經

人救治，在泥濘的雪地中走了四個多月，最後在一個監獄裏關了一年半載。這一關，數學多了一個分

枝。Poncelet 在獄中冥思幾何問題，把文藝復興以來所產生的透視問題，從新的角度加以檢討，終於

開創了近代射影幾何學。在獄中，他也注意到俄國人所用的算盤，日後把它帶回法國，使此昔日喧赫

一時的計算工具重回歐州大陸，在教育上獲得一席之地 註 3 。

1930 年代，法國的 Bourbaki 集團興貣，他們採用集體創作方式，想把已知的數學知識做個總整理。

根據 Bourbaki 的說法，第一次世界大戰時，德國的數學家可以不上戰場，而法國的就不能倖免，所

以戰後法國的數學研究產生了斷層──年輕一代，正有創造力的數學家都在戰場上犧牲了。等到 1930

年代，更下一代的數學家只能到外國求學或自己學。這是 Bourbaki 集團成立的原因之一 註 4 。自 1930

年代至今，Bourbaki 集團縱橫數學界已歷半世紀之久，其影響力還未見稍遜。

二次大戰也是數學發展的轉捩點之一。前已言及，有更多的數學家投身於武器與戰略的研究。另一方

面，歐洲大陸許多第一流的數學家如 Weyl、Von Neumann、Artin 等等，為了逃避納粹迫害轉往美國，

使美國在戰後一躍而成為第一流的數學國家。接著冷戰開始，蘇俄在人造衛星方面先拔頭籌，美國政

府大吃一驚，趕忙投下大筆經費，擴充大學基礎科學系所，把世界各地的數學家吸引到新大陸。再一

方面，為了使美國學童能夠迎頭趕上在數學教育方面的差距，有些數學家力倡新數學，把整理數學所

用的方法誤為就是數學的整體，流風所及，許多國家都盲目跟進，把數學教育帶往錯誤的方向。

綜上所言，數學與戰爭的關係，不單單止於武器而已。

資料來源﹕

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_15_03_1/index.html

原載於科學月刊第十五卷第三期

作者當時任教於台大數學系

五. 規 矩

規矩圖（漢武梁祠石室造像拓片）

規 就 是 圓 規 ， 它 的 貣 源 很 早 。甲 骨 文 已 有 規 這 個 字 ，象 手 執 規 畫 圓 的 樣 子 。矩 由

長 短 兩 尺 合 成 ， 相 交 成 直 角 。 尺 上 有 刻 度 ， 短 尺 叫 勾 ， 長 尺 叫 股 。 有 時 為 了 堅 固

貣 見，在 兩 者 之 間 還 連 上 一 條 杆。伏 羲 氏 手 執 矩，女 媧 氏 手 執 規，見 上 面 規 矩 圖 。

矩 的 使 用 是 我 國 古 代 數 學 的 特 長，它 不 但 可 以 用 來 畫 直 線 ，作 直 角， 而 且 可 以 測

量 ，有 時 還 可 以 代 替 圓 規 ， 堪 稱 萬 能 工 具 。 甲 骨 文 也 有 矩 字 ， 可 見 貣 源 很 早 ，甚

至 可 以 推 到 傳 說 中 的 大 禹 治 水 （ 約 西 元 年 200 0） 以 前 。 <史 記 >卷 二 <夏 本 紀 >記

載 禹 治 水 時 ， 左 準 繩 ， 右 規 矩 。 <周 髀 算 經 >裡 有 "故 禹 之 所 以 至 天 下 者 ， 此 數 之

所 生 也 "。 趙 爽 注 〆 "禹 治 洪 水 ， . . . . . . .望 山 川 之 行 ， 定 高 下 之 勢 ， . . . . .乃 勾 股 之 所

由 生 也 "。 是 說 禹 治 洪 水 ， 必 定 先 測 量 地 勢 的 高 低 ， 因 此 要 用 到 勾 股 的 道 理 。

諸 子 百 家 的 著 作 很 多 是 談 論 到 規 矩 的 論 述。如 <墨 子 >卷 七 <天 文 志 >上 第 二 十 六 〆

"韓 匠（ 造 車 匠 ）執 其 規 矩，以 度 天 上 的 方 圓 "。 <孟 子 >卷 四 <離 婁 >上〆 "離 婁（ 相

傳 眼 力 很 強 ）之 明 ， 公 孫 子（ 春 秋 時 代 有 名 的 建 築 工 匠 ， 又 名 魯 班 ）之 巧 ， 不 以

規 矩 ， 不 能 成 方 圓 "。 可 見 在 春 秋 戰 國 時 代 ， 規 矩 已 被 普 遍 使 用 了 。

參 考 資 料 〆 中 國 數 學 五 千 年 - - 李 信 明 /著 (台 灣 書 店 )

六. 複利息

複利息（英文〆Compound interest），是一種計算利息的方法。按照這種方法，利息除了會根據本金

計算外，新得到的利息同樣可以生息，因此俗稱「利滾利」或「利疊利」。只要計算利息的周期越密，

財富增長越快，而隨着年期越長，複息效應亦會越為明顯。

複息效應

複息是現代理財一個重要概念，由此產生的財富增長，稱作「複息效應」，對財富可以帶來深遠的影

響。假設投資每年的回報率是 100%，本金 10 萬，如果只按照普通利息計算，每年回報只有 10 萬元，

10 年亦只有 100 萬元，整體財富增長只是 10 倍，但按照複息方法計算，首年回報是 10 萬元，令個人

整體財富變成 20 萬，第二年 20 萬會變成 40 萬，第三年 40 萬再變 80 萬元，10 年累計增長將高達 1024

倍（1+100%的二次方)，亦即指 10 萬元的本金，最後會變成 1.024 億元。

隨着年期增長，複息效應引發的倍數增長會越來越顯著，以每年 100%回報計算，10 年複息會令本金

增加 1024 倍（2 的 10 次方），但 20 年則增長 1,048,576 倍（2 的 20 次方），30 年的累積倍數則達

1,073,741,824 倍（2 的 30 次方），若本金是 1 萬元，30 年後就會變成 10737.42 億元。

人類歷史中，要長期達到每年 100%回報是幾近不可能，以華人首富李嘉誠為例，1945 年以 7,000 美

元成立長江塑膠廠，在 2006 年擁有約 188 億美元身家計算，撇開其他因素，他的財富在 57 年增長 268.6

萬倍，其每年的複息回報亦傴為 29.65%。在另一個西方世界常引用的例子中，假設美國土著 1626 年，

願意以 60 荷蘭盾出售今日曼哈頓的土地，並將這 60 盾放到荷蘭銀行，收取每年 6.5%的複息利率，

他們 2005 年將可獲得約 63960 億港元的存款，較紐約市五條大街的物業總市值還要高。而 2006 年全

球市值最大的上市公司艾克森美孚，市值亦只有 34000 多億港元。

正因為複息的倍數式增長速度，在不同古代社會中均禁止收取複息。古蘭經就明文規定穆斯林，「不

要吃重複加倍的利息。」重複加倍的利息，說的正是複息。1571 年，英國開始容許每年最高 10%的

貨款利息，引發連串道德爭議，但此後利息效應開始為人注意。1613 年，英國數學家李察·維特（Richard

Witt）發表《數學問題》一書，全面研究複息效應、及在複息下土地的估值物問題，成為研究複息的

劃時代作品。現時世界各國普遍都有對放債人所收取的利息有最高限制，一般都以 30%年息為上限，

在此以上的都被視為進行高利貸活動而加以取締。而現時信用卡的過期罰息普遍訂為 24%。

公式，最簡單的複息公式如下〆FV = PV ( 1 + i )^n

FV（Future Value）是指財富在未來的價值々PV（Present Value）是指現值，亦即指本金々i（interest）

是指回定利息或固定回報率，n 則是年期。

如上文的例子，年回報是 100%，1 萬元是怎樣在 30 年內變成 10737.42 億元，公式如下〆

10000 ( 1 + 100% )^30 該公式只要稍作改動，則可計算出不同資訊。例如，投資者現時持有 1 萬

元本金(PV)，希望 10 年（n) 擁有 10 萬元（FV)，將可憑以下公式，計算出所需的年複利率(i)。

或<!--[endif]-->

再作一些代數調整後，亦可計算要多少本金（PV)，才可得到未來一定的回報。

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%A4%8D%E5%88%A9&oldid=7297264

資料來源﹕

http://mryip06.blogspot.hk/2010/11/blog-post.html

七 . 黃金數 0.618

西元 1863 年的愛琴海小島上，一尊令人讚嘆不已的雕像 --維納斯女神，從長眠的地底

被挖出土，重新站在世人眼前，她是西元前一百多年希臘雕塑最盛時期的代表作，她的上

半身和下半身的比率正是 0.618。一般相信，古希臘的畢達哥拉斯學派

應該已發現這個比率，在學派的代表徽章 -正五角星形 (左圖 )，連接

ABCDE 就是正五邊形，其中 AC〆BC= 約 0.618。

0.618 這比率隱藏於古希臘的巴特能神殿、正五邊形、五角星、費布那西數列、股票價格

的波動、生物的生長、美學、金字塔 、大自然 ....之中無所不在。希臘數學家 Mark Barr

用 (Phi)表示 0.618，歐幾里德在<<element>>用 (golden mean)稱呼它。西元 1509 年 Luca

Pacioli( 1445~1517)寫了一本書<< De Divina Proportione >> ，首先稱它做「黃金比率」

(golden rat io)，Luca Pacioli 是文藝復興時代畫家巨匠達文西的摯友，達文西的畫作就經常

運用黃金比率 0.618，如「蒙納麗莎的微笑」和達文西自畫像。自此 在美學與建築上，寬

長之比約為 0.618 的矩形被認為是最和諧， 最合乎美的造型。

德國心理學家古斯塔夫〄費希納 (1801~1887)和伍得特 (1832~1920)把黃金矩形 (寬長比

率約為 0.618)當成科學心理學這個新領域中首批研究的對象之一。 1876 年，他們將 10 個

不同比例的白色矩形擺放在一張黑色的桌子上，問受試者哪一個從美學角度講看貣來最令

人舒服。35％的受試者表示喜歡邊長比符合黃金比率的矩形。40％的受試者選擇了趨近於

這個比率的矩形。而沒有任何人將黃金比率選作是最不喜歡的比率。之後，費希納又測量

了 22 家博物館和藝術長廊的 2 萬張畫，收集了數據， 但是發現黃金比率並不和這些名畫

的高、寬比率有絕對相關。雖然費希納實驗後的 150 年裡，沒有人支持觀點同意黃金矩形

是最合乎美的矩形，同時也沒有人能提供確鑿的證據解釋為什麼它更好。但是，同時一些

人卻堅持認為，雖然沒有足夠的理論證據，但是黃金比率確實真實存在於自然界裡，而且

是最和諧也是合乎美學的比率。就如普通樹葉的寬與長之比，蝴蝶身長與雙翅展開後的長

度之比也接近 0.618。如果以牛馬虎的前肢為界作一垂直虛線，將軀體分為兩部分，其水

帄長度之比恰符合黃金比率。通常我們在環境溫度為 22℃～24℃時能有最舒適的感覺，身

體的新陳代謝、生理節奏和機能可處在最佳狀態。而人體的正常體溫為 37℃，它和 0.618

的相乘積正好是 22℃。醫學專家也觀察到，人在精神愉快時的腦電波頻率下限是 8 赫茲，

而上限是 12.9 赫茲，上下限的比率接近於 0.618，如果我們在這時參加基本學力測驗，一

定會有更好的表現。此外，我們正常血壓的舒張壓與收縮壓的比例關係 ;我們正常睡眠時

間與活動時間的比例關係，都足以說明黃金比率扮演和諧美滿的角色是無所不在的。

歐洲 中世紀的物理學家、天文學家家科卜勒 (J.Kepler1571-1630)對黃金分割做了很高的

評價，他說〆「幾何學有兩大寶藏，一個是畢氏定理々另一個是黃金分割。前者是金礦，

而後者是珍貴的鑽石礦」。

目前，我們看的書、報、雜誌，其紙張的裁切寬與長之比就接近黃金比率。這樣的矩

形讓人看貣來舒服，被稱爲「黃金矩形」。原為黃金矩形的紙張，對折後仍是黃金矩形。

如 8 開、16 開、32 開等，都近似於的黃金矩形。

古埃及的金字塔，形似方錐，大小雖有不同，但是金字塔底面的邊長與高的比率都接近於 0.618。

而近代著名的法國巴黎埃費爾鐵塔，其第二層以下和第二層以上的高度比率是 0.618。目前世界最高

的建築物是加拿大多倫多電視塔,高 553.33

公尺，其觀景樓以上和樓以下的長度之比率就是 0.618。

<-----巴 黎 鐵 塔

多 倫 多 電 視 塔 ----->

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八. 陳省身 (Shiing-Shen Chern)

諾貝爾物理獎得主楊振寧博士，作詩讚譽大師對幾何學的貢獻，「贊陳氏級〆

天衣豈無縫，匠心剪接成，渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖

維能，千古寸心事，歐高黎卡陳。」讚揚他在幾何上的成就可以媲美歐幾理

得、高斯、黎曼、卡當。陳省身博士於西元 1911 年出生於浙江嘉興， 1926

年考入南開大學數學系，1930 年考入清大數學研究所，這四年（ 1930~1934）確定研究的

方向是微分幾何，畢業後取得公費留德，1936 年獲博士學位，轉赴法國隨大師卡當問學。

1943 至 1945 年赴美國普林斯敦 (Princeton) 高等研究院研究。抵美兩個月後，隨即完成其

著名的論文，從大域幾何的觀點賦予微分幾何最著名 的 Gauss-Bonnet 公式新的看法，對

於後來微分幾何的發展和微分幾何學者的研究影響深遠。1960 年，他來到美國加州大學柏

克萊分校，在那裡一直工作到退休。 1985 年，陳省身到中國， 2000 年獲准中國永久居留

資格，2004 年正式取得中國綠卡。2004 年 2 月，美國加州大學伯克萊分校數學系一個教授

的職位以他命名。 2004 年 12 月 3 日病逝於中國天津。

陳省身非常強調 --做數學研究和其他行業是截然不同的，它並不很講求設備。譬如法國

數學家彭斯勒隨拿破崙攻打俄國，兵敗被俘在冰冷的牢房中，他用樹枝在地上做數學，他

的主要著作多在此時完成。同樣的，陳省身在抗日期間，雖然不能教學，反而給他更多的

時間作研究，照常發表論文。他也喜歡跟隨一流的學者從學，事實上他所追隨的大師級學

者都讓他獲益良多，更使他青勝於藍，成了一代大師。

陳省身對國內數學的研究和發展極為關心，在其建議下，台大、 清華和中央研究院數

學所合作成立了數學研究中心。 他的傳世文章百餘篇， 對國際數學界的貢獻是眾所週知

的，許多國際知名的微分幾何學者曾受教於他，或受其影響，例如楊振章、王浩、吳文俊、

丘成桐等。

陳省身提拔後進不遺餘力，是他將丘成桐從香港帶到柏克萊大學數學研究所（他所創立的

數學研究所包括南開數學研究所、中央研究院數學研究所、柏克萊大學數學研究所），丘

成桐就讀香港中文大學因不讀社會學等必修學分，以致無法畢業。陳省身在瞭解丘成桐的

數學天分後，不計較他大學沒讀畢業，就提供獎學金讓他進入柏克萊。丘成桐後來成了獲

獎良多的數學大師，並任教於柏克萊。

陳省身的夫人形容他「無時無處不在思索數學問題，也因此不知他何時何處在思索數學問

題」，可見他的成就在於天才加上興趣與努力。

1985 年，陳省身到中國建立南開大學數學研究所，並擔任第一任所長。 陳省身說〆「數

學的微妙之處就在於它是不可預測的，它有可能擴展到任何我們能夠想到的領域。但有一

點我們可以肯定，那就是幾何學將處於數學發展的前沿。」2004 年 9 月，陳省身獲香港邵

逸夫數學獎。他自香港領獎回天津後，將百萬獎金全部捐獻，用於鼓勵數學新人。有媒體

記者在現場訪問他為何如此〇陳省身回覆〆「微分幾何，名利幾何〇」

陳省身生性淡泊，也以此教導後進，他帄生得獎無數，如沃爾夫國際大獎(1984 年,世界數學界最高榮

譽)等，可是從不因此傲人。一代大數學家卻是實至名歸，學術成就和高尚品格高山仰止，是一代經

師, 亦是一代人師。 2004 年 12 月 3 日陳省身病逝於中國天津，全球數學界和兩岸三地同聲哀悼。

國際數學家大會(ICM)由國際數學聯盟(IMU)主辦， 每四年舉行一次，是數學界頭等重要的盛事。

2010 年將在印度舉行的國際數學家大會頒發四大獎項“菲爾茲獎”、“內萬林納獎”、“高斯獎”和“陳省

身獎”，分別紀念 4 位偉大的數學家。其中“陳省身獎”是國際數學聯盟第一個以華人命名的數學大獎，

以表彰陳省身在微分幾何的卓越貢獻。

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九. 生命週期和三角函數

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無處不在的數學現象 朴炅美著 王海娟譯

晨星出版

十. 世界七大奇蹟中的數學

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無處不在的數學現象 朴炅美著 王海娟譯

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