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Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor Ch. 4 –

2.1 – Formulation en repère local.

Dans ce paragraphe 2.1, les différents vecteurs et matrices considérés sont projetés sur les

axes du repère local ( )yxiR = de l’élément. Nous ajoutons une barre au dessus des termesqui sont exprimés en projection dans le repère local.

O

y

x

i

y

x

R g

R

j

α

Figure 2 – Repère local et repère global

2.1.1 – Approximation du champ de déplacement.

Isolons un élément fini de longueur L et plaçons-nous dans son repère local. Les 2 nœuds de

l’élément sont notés de manière générique i et j.

i jMui

y, v

u u j

v v jvi

x, u

x

Figure 3 – Déplacements

Soit M le point courant appartenant à la ligne moyenne, de coordonnées ( )0,x dans le repère

local ( )yxi . Après chargement de la structure, la barre s’est déplacée par rapport au repère

local, mais, compte tenu des hypothèses, elle est restée droite et dans le plan. On choisit donc

de donner au vecteur U , associé aux déplacements de M, les composantes suivantes :

- la translation u dans la direction x

- la translation v dans la direction y

[ ]vuUT = (1)

Le vecteur des déplacements nodaux de l’élément est :

[ ] j jii

eT vuvuq = (2)

Les fonctions retenues pour approximer le champ des déplacements à l’intérieur de l’élément

sont les suivantes:

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Cette relation (16) est très générale et vraie pour tout type d’élément. Dans notre cas, les

termes de B et de D sont indépendants de x , nous avons :

( ) ( )BDBLSxdSBDBK TL

0x

Te == ∫ = (17)

où S est la surface de la section droite de la barre. D’où la matrice de rigidité élémentaire de

l’élément barre dans son repère local :

[ ][ ]

−

−

=

=

0000

0101

0000

0101

SE0101

0

1

0

1

K e

L L L E

L

L

LS (18)

2.1.4 – Forces nodales.

L’expression de l’énergie potentielle totale associée à l’élément est :eeTeeeTeee QqqK q

2

1TWV −== - (19)

eQ regroupe les efforts nodaux dans les directions du repère local.

[ ]e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

eT QQQQQ = (20)

Dans cette expression, la composante e

ixQ représente la force exercée par le nœud i sur

l’élément e dans la direction x . Rappelons que le théorème de l’énergie potentielle totale

permet d’établir la relation :

eee QqK = (21)

qui traduit aussi l’équilibre de l’élément. Cela donne dans notre cas :

=

−

−

e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

j

j

i

i

Q

Q

Q

Q

v

u

v

u

0000

0101

0000

0101

SE

L (22)

Cette relation nous permet d’établir les remarques suivantes :

- les déplacements iv et jv qui ne sont pas nuls en règle générale, n’auront aucune

influence sur le calcul des efforts normaux e

ixQ et e

jxQ dans la direction x

- nous obtiendrons systématiquement 0QQ e

iy

e

iy ==

La modélisation utilisée est donc telle que les forces aux nœuds restent implicitement dirigéesdans la direction initiale de la barre. Tout se passe comme si l’élément ne travaillait que dans

la direction x , mais en ayant la possibilité de se déplacer (légèrement) dans la direction y .

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i jui

y, v

u j

v jvix, u

Qxj

Qxi

Figure 4 – Forces nodales

2.1.5 – Calcul des contraintes et des forces internes.

Les équations vues ci-avant permettent d’établir l’expression de la force normale dans la barre

(identique quelque soit le point M) :

( )i j

e

ix

e

jx uuL

SEQQ N −=−== (23)

Les déformations et les contraintes en tout point de la barre se calculent directement avec les

équations (12) et (13). On retrouve bien :

( )i jxx uu

L

1

SE

Nε −== (24)

2.2 – Formulation en repère global

Notons maintenant U,e

q les vecteurs déplacements en projection dans le repère global

( )yxOR = (voir figure 2), ete

Q les forces nodales.

[ ]vuUT = j jii

eT vuvuq = [ ]e

jy

e

jx

e

iy

e

ix

eT QQQQQ = (25)

Soit G la matrice de passage de la base locale ( )yx vers la base globale ( )yx . En notant α

l’angle entre les deux bases (voir figure 2), nous avons :

−=

cosαsinα

sinαcosαG que nous notons

−=

cs

scG (26)

Remarquons que T1 GG =− . Nous pouvons mettre en place les relations suivantes :

au point courant M : UGU = (27)

au nœud i :

−=

i

i

i

i

v

u

cs

sc

v

u et

−=

e

yi

e

xi

e

yi

e

xi

Q

Q

cs

sc

Q

Q (28)

au nœud j :

−=

j

j

j

j

v

u

cs

sc

v

u et

−=

e

yj

e

xj

e

yj

e

xj

Q

Q

cs

sc

Q

Q (29)

Nous pouvons alors écrire :

eee qHqG0

0Gq =

= et eee QHQ

G0

0GQ =

= (30)

Il est facile de montrer que : T1 HH =− . Nous avons alors :

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eTe qHq = et eTe QHQ = (31)

Si nous reprenons l’équation (21) :

eeTeeTeTeeee QqHK HQHqHK QqK =⇒=⇒= (32)

D’où la matrice de rigidité de l’élément barre dans le repère global :

Tee HK HK = (33)

Ce qui donne :

=

22

22

22

22

e

scss-cs-

csccs-c-

s-cs-scs

cs-c-csc

L

SEK (34)

Remarque : La méthode des déplacements permet de calculer eq . Il est possible de revenir

ensuite aux vecteurs considérés dans le repère local en utilisant l’équation (31). Le calcul des

contraintes dans la barre peut toutefois être effectué directement à partir dee

q en considérant

que :

[ ]

−−===

j

j

i

i

v

u

v

u

sc sc L

E eTe qHBDqBDσ (35)

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4 - EXERCICES

Exercice 4.1 – Treillis n°1

Considérons un treillis formé de trois barres articulées comme défini par la figure ci-après.

3 E, S

2 E, S, L

1E, S, L

1

2

3

P

x

y

On poseL

SE=a et

L22

SE=d

Appliquer la méthode des déplacements au calcul de cette structure :

1.Etablir la matrice de rigidité de chaque élément.2. Etablir la matrice de rigidité [K] du treillis.3. Déterminer les conditions aux limites4. Donner le système qui permettra de calculer les déplacements. On donne l'inverse K'

-1 de la

matrice K' qui apparaît dans ce système :

+

=−

d ad d

d d

d d

d a K

2

0

01

' 1

5 - Etablir l'expression des déplacements des noeuds.6 - Etablir l'expression des actions de liaison.7 - Etablir l'expression de la contrainte dans la barre 3.

Ci-après quelques documents supports pour les calculs.

* Tableau récapitulatif des caractéristiques des éléments

Elément Noeud I Noeud J E.Sect/lg α c = cosα s = sinα

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* Matrices de rigidité des éléments (dans le repère global)

[ ] K 1 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 2 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 3 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

* Assemblage et conditions aux limites

.

.

.

.

.

.

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

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.

=

•

* Calcul des déplacements

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. . .

. . .

. . .

.

.

.

=

•

* Calcul des actions de liaison

.

.

.

. . .

. . .

. . .

.

.

.

=

•

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Exercice 4.2 – Treillis n°2

Considérons un treillis formé de trois barres articulées comme défini par la figure ci-après.

3

2

E, S, L

1E, S, L

1

2

3H

V

x

y

On poseLSE=a


1.Etablir la matrice de rigidité de chaque élément.2. Etablir la matrice de rigidité [K] du treillis.3. Déterminer les conditions aux limites4. Donner le système qui permettra de calculer les déplacements.5. Etablir l'expression des déplacements des noeuds.6. Etablir l'expression des actions de liaison.

7. Etablir l'expression de la contrainte dans la barre 3.


* Tableau récapitulatif des caractéristiques des éléments


2L,2S,E

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* Matrices de rigidité des éléments (dans le repère global)

[ ] K 1 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 2 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 3 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

* Assemblage et conditions aux limites

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=

•


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=

•


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=

•

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Exercice 4.2 – Treillis libre

Considérons un treillis formé de six barres articulées comme défini par la figure ci-après.

5

1

4

1

2

2

P

3

-P

3

2

6x

y

Les caractéristiques des barres sont les suivantes :

-

longueurs LLLLL 4321 ==== et L2LL 65 ==

- surfaces des sections SSSSS 4321 ==== et S22SS 65 ==

- même matériau de module d'élasticité E


1.Etablir la matrice de rigidité de chaque élément.2. Etablir la matrice de rigidité [K] du treillis.3. Déterminer les conditions aux limites4. Montrer que le déterminant du système qui devrait permettre de calculer les déplacements

est nul.5. Proposer de nouvelles conditions aux limites qui produiront un problème équivalent mais

qui pourra être résolu (qui éliminent les mobilités et rendent la structure isostatique).6. Donner le système qui permettra de calculer les déplacements.7. Etablir l'expression des déplacements des nœuds.8. Etablir l'expression des actions de liaison.9. Calculer les contraintes dans les barres avec : E = 200 Gpa , L = 1 m , S = 10 mm2 ,

F = 1000 N


* Tableau récapitulatif


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* Matrice de rigidité des éléments :

[ ] K 1 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 2 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 3 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 4 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 5 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

[ ] K 6 =

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

* Assemblage et premières conditions aux limites

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•


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=

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