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Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor Ch. 6 – Page 2

[ ]vuUT =

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

=

xy

y0

0x

C et

( )

−−

=

2 ν100

01 ν

0 ν1

ν1

ED

2

Notons que la matrice D prend une forme particulière en contraintes planes à cause de la priseen compte indirecte du terme zzε .

2 – ELEMENT TRIANGULAIRE A CHAMP LINEAIRE

L’élément de contrainte plane le plus simple est le prisme triangulaire d’épaisseur h. Lesnœuds associés sont les 3 points de la fibre moyenne situés aux sommets du triangle.

2.1 – Discrétisation de la structure

La structure doit être divisée en éléments finis de forme triangulaire. Quand le contour de la plaque n’est pas polygonal mais courbe, le modèle tronque nécessairement certaines parties en

périphérie. L’analyse pourra donc porter sur une géométrie approchée. A nombre égald’éléments, il existe une infinité de décompositions possibles. Les propriétés qui seront mises

en évidence plus loin montrent que la précision des résultats obtenus dépend de la finesse du

maillage, notamment dans les zones à fort gradient de contrainte. Il faut donc accentuer ladensité des éléments dans ces zones quand elles présentent un intérêt pour l’étude.

Figure 2 – Exemples de discrétisations

2.2 – Approximation du champ de déplacement.

Isolons un élément fini e. Les 3 nœuds de l’élément e, notés ici de manière générique i, j et k,sont repérés par ordre croissant dans le sens trigonométrique. Les coordonnées des nœuds

Maillage libre sous IDeas

Maillage réglé

O

i

k M

xi x j

yi

y j

y

xk

yk

x

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dans le repère global sont notées : (xi , yi) pour le nœud i, (x j , y j) pour le nœud j et (xk , yk ) pour le nœud k. Nous utilisons ici directement le repère global de la structure et non un repère

local de l’élément.

i

k

M

ui

y, v

vk

u

u ju

kv

v j

vi

x, u

Figure 3 – Déplacements

Le point courant M, de coordonnées (x , y) dans le repère global subit un déplacement U decomposantes (u , v). Le vecteur des déplacements nodaux de l’élément est :

k k j jii

eT

vuvuvuq =

Pour établir une relation entre U et qe, nous devons, à ce stade, définir une approximation du

champ des déplacements à l’intérieur de l’élément e. La solution la plus simple est celle quis’appuie sur deux polynômes du premier degré :

( )( )

++=

++=

yaxaayx,v

yaxaayx,u

543

210 (1)

Nous avons introduit autant de coefficients inconnus ah qu’il y a de déplacements nodaux, il

est donc possible d’établir leurs expressions. Les relations de départ sont :

++=

++=

++=

++=

++=++=

k 5k 43k

k 2k 10k

j5 j43 j

j2 j10 j

i5i43i

i2i10i

yaxaav

yaxaau

yaxaav

yaxaau

yaxaavyaxaau

La résolution de ce système linéaire et la substitution des coefficients ah dans l’équation (1)conduit à la relation suivante, de la forme U = A q e :

=

k

k

j

j

i

i

v

u

v

u

v

u

N30 N20 N10

0 N30 N20 N1

v

u

où N1, N2 et N3 sont trois fonctions d’interpolation définies par :

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( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

∆yxxxyyyxyxy,x N3

∆yxxxyyyxyxy,x N2

∆yxxxyyyxyxy,x N1

i j jii j ji

k iik k iik

jk k j jk k j

et ( ) i j jik iik jk k j yxyxyxyxyxyx −+−−−=∆ . ∆ représente l’aire du triangle i-j-k.

Remarque. Il faut noter que le champ des déplacements que nous obtiendrons sur l’ensemblede la structure sera continu au passage de la frontière entre deux éléments, et cela quelles que

soient les valeurs prises par les déplacements nodaux. En effet, si on considère un point Mappartenant à une frontière, on peut montrer à partir des résultats ci-avant que les

déplacements u et v de M dépendent des déplacements de seulement deux nœuds, ceux qui

bornent cette frontière. Par exemple, si M est pris sur le coté i-j, alors u et v dépendentseulement de ui, vi, u j et v j (et pas de uk et vk car N3 = 0). Cette propriété est également

vérifiée dans l’élément adjacent, d’où la continuité du champ.

2.3 – Déformations et contraintes.

La relation déformations-déplacements ε = C U s’écrit dans ce cas :

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

=

k

k

j

j

i

i

xy

yy

xx

v

u

v

u

v

u

N30 N20 N10

0 N30 N20 N1

xy

y0

0x

v

u

xy

y0

0x

ε2

ε

ε

d’où la relation suivante, de la forme ε = B qe :

=

k

k

j

j

i

i

x,y,x,y,x,y,

y,y,y,

x,x,x,

xy

yy

xx

v

u

v

u

v

u

N3 N3 N2 N2 N1 N1

N30 N20 N10

0 N30 N20 N1

ε2

ε

ε

−−−−−−

−−−−−−

∆=

k

k

j

j

i

i

jii jik k ik j jk

i jk i jk

jiik k j

xy

yy

xx

v

u

v

u

v

u

yyxxyyxxyyxx

xx0xx0xx00yy0yy0yy1

ε2

ε

ε

Notons que les termes de la matrice B ne dépendent plus ni de x, ni de y. La loi de Hooke

σ = D ε s’écrit :

( )

−−

=

xy

yy

xx

2

xy

yy

xx

ε2

ε

ε

2 ν100

01 ν

0 ν1

ν1

E

σ

σ

σ

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d’où la relation suivante, de la forme σ = D B qe :

( )

( )

−−−−−−

−−−

−−−

−∆−

=

k

k

j

j

i

i

jii jik k ik j jk

i jk i jk

jiik k j

2

xy

yy

xx

v

u

v

u

v

u

yyxxyyxxyyxx

xx0xx0xx0

0yy0yy0yy

2 ν100

01 ν

0 ν1

ν1

E

σ

σ

σ

Remarque. N1, N2 et N3 étant des fonctions linéaires de x et de y, les termes N1 ,x, N1,y… et

N3,y ne dépendent plus de x et de y. En conséquence, les déformations et les contraintes

obtenues par cette approche seront uniformes dans tout l’élément. Contrairement auxdéplacements, les déformations et les contraintes ne seront pas continues au passage de la

frontière entre deux éléments.

2.4 – Matrice de rigidité de l’élément.

Rappelons que la matrice de rigidité K e de l’élément e est définie par la relation :

eeTe

V

Te qK q2

1dvεσ

2

1W == ∫ (2)

où We est l’énergie de déformation de l’élément. Sachant que σT = qeT BT D et ε = B qe , larelation (2) induit, de manière générique, que :

( )∫∫∫= VTe dvBDBK

Dans notre cas, les termes de B et D étant indépendants de x et y, nous avons :

( ) ( )BDB∆hdydxhBDBK T∆

Te== ∫∫

Tous calculs faits, la matrice de rigidité élémentaire peut être mise sous la forme suivante :e

C

e

N

e K K K +=

où e NK représente la rigidité due aux contraintes normales ete

CK celle due au cisaillement :

( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−−

−

−=

2i ji jk ii j jk i j jii jik i jk j

2

k ik i jk k i jik iik k ik j

2

jk jk ji jk ik jk k j

2

ji jiik jik j

2

ik ik k j

2

k j

2

e

N

xxxxxxxxxxxxyy νxxyy νxxyy ν

xxxxxxxxyy νxxyy νxxyy ν

xxxxyy νxxyy νxxyy ν

yyyyyyyyyy

yyyyyy

SYMyy

ν1∆4

hEK

( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−−

−

+=

2

ji jiik jik j jii j jik i ji jk

2

ik ik k jik i jik k iik jk

2

k jk ji jk jk ik j jk

2

i ji jk ii j jk

2

k ik i jk

2

jk

e

C

yyyyyyyyyyyyxxyyxxyyxx

yyyyyyyyxxyyxxyyxx

yyyyxxyyxxyyxx

xxxxxxxxxx

xxxxxx

SYMxx

ν1∆8

hEK

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2.5 – Exemple.

Considérons une plaque rectangulaire (300mm x 100mm x 2mm, E = 207Mpa, ν = 0.29)chargée uniformément sur le bord supérieur (50N/mm) et reposant sur des appuis simples au

niveau des deux coins inférieurs. La figure 4 illustre quatre maillages réguliers à base

d’éléments triangulaires à champ linéaire :

- 24 éléments, 21 nœuds, 42 d.d.l.- 96 éléments, 65 nœuds, 130 d.d.l.

- 384 éléments, 225 nœuds, 450 d.d.l.

- 1536 éléments, 833 nœuds, 1666 d.d.l.

Figure 4 – Différents maillages d’une plaque rectangulaire

-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0 50 100 150 200 250 300

X (mm)

F l è c h e ( m m

24 éléments

96 éléments

384 éléments

1536 éléments

Figure 5 – Flèche obtenue sur le bord inférieur

La figure 5 donne la flèche obtenue par la MEF au niveau du bord inférieur pour chacun de

ces maillages. Notons la lenteur de la convergence qui est une caractéristique de ce type

d’élément. Les résultats obtenus avec peu d’éléments s’approchent de ceux de la théorie des

poutres (celle négligeant le cisaillement) alors que les résultats avec un très grand nombre

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d’éléments tendent vers ceux obtenus par la théorie de l’élasticité. Remarquons que les

déplacements augmentent quand le maillage s’affine. Nous pouvons en conclure que plus le

maillage est grossier, plus la MEF sous-estime les déplacements.

3 – ELEMENT TRIANGULAIRE A CHAMP QUADRATIQUE

Nous présentons brièvement un élément triangulaire de contrainte plane un peu plus

sophistiqué. Celui-ci possède 6 nœuds : 3 situés aux sommets du triangle, les 3 autres aux

milieux des trois côtés.

i

k

M

y, v v

x, u

u

lm

n

Figure 6 – Elément triangulaire à champ quadratique

Comme dans le cas précédent, le point courant M subit un déplacement U de composantes

(u , v). Le vecteur des déplacements nodaux de l’élément est :

[ ]nnmmllk k j jii

eT vuvuvuvuvuvuq =

Nous pouvons dans ce cas utiliser une interpolation quadratique des déplacements à l’intérieur

de l’élément :( )( )

+++++=

+++++=2

1110

2

9876

2

54

2

3210

yayxaxayaxaayx,v

yayxaxayaxaayx,u (1)

Les douze coefficients inconnus ah s’expriment de façon unique en fonction des douze

déplacements nodaux. Nous pouvons mettre en place la relation U = A qe où la matrice

d’interpolation A est de la forme :

=

N60 N50 N40 N30 N20 N10

0 N60 N50 N40 N30 N20 N1A

Les six fonctions d’interpolation N1, N2… N6 sont dans ce cas des fonctions quadratiques

(second degré) de x et y. Leur nature fait que la continuité du champ U des déplacements au

passage de la frontière entre deux éléments adjacents est obtenue.

ε, σ et D sont de la même nature que dans le cas précédent. Par contre, la matrice B = D Cs’écrit ici :

=

x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x,y,

y,y,y,y,y,y,

x,x,x,x,x,x,

N6 N6 N5 N5 N4 N4 N3 N3 N2 N2 N1 N1

N60 N50 N40 N30 N20 N10

0 N60 N50 N40 N30 N20 N1

B

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Les coefficients de cette matrice sont des fonctions linéaires de x et y. Les déformations et les

contraintes obtenues par cette formulation varient donc linéairement à l’intérieur de chaque

élément. De ce fait, les termes de la matrice ( ) dydxhBDBK ∆

Te

∫∫= ont des expressions plus complexes que dans le cas de l’élément précédent.

A nombre de d.d.l. identique, ce type d’élément donne des résultats plus précis que ceuxfournis par l’élément à 3 nœuds (champ linéaire). Reprenons à titre d’exemple le cas de la

plaque rectangulaire introduit au paragraphe précédent. La figure 7 illustre un maillage à 96

éléments, 225 nœuds, 450 d.d.l..

Figure 7 – Maillage d’une plaque rectangulaire à base de triangles à champ quadratique

Ce modèle peut être comparé au maillage à 384 éléments triangulaires à champ linéaire qui

conduisait au même nombre de nœuds et de d.d.l.. La figure 8 permet de constater que les

résultats obtenus par les deux types d’éléments triangulaires ne sont pas identiques. La flèche

obtenue avec les éléments à champ quadratique sont plus précis, ils se rapprochent ici des

résultats obtenus avec le modèle à 1536 éléments à champ linéaire.

-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0 50 100 150 200 250 300

X (mm)

F l è c

h e ( m m )

linéaire

quadratique

Figure 8 – Comparaison des résultats obtenus à partir des deux types d’éléments triangulaires

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4 – AUTRES ELEMENTS

La figure 9 montre que la communauté scientifique et technique a développé un nombre

important d’éléments de contraintes planes.

Triangles Quadrilatères

Linéaire Quadratique Cubique Linéaire Quadratique Cubique

C.S.T. 6 ddl L.S.T. 12 ddl Q.S.T. 20 ddl Q4 8 ddl Q8 16 ddl Q12 24 ddl

Q8 Lagrange Q12 Lagrange

Isoparamétrique Isoparamétrique Isoparamétrique Isoparamétrique

Figure 9 – Différents types d’éléments de contrainte plane

Reprenons l’exemple de la plaque rectangulaire utilisé dans les paragraphes précédents. La

figure 10 illustre un maillage à 48 éléments quadrilatères à champ quadratique, 177 nœuds,

354 d.d.l..

Figure 10 – Maillage d’une plaque rectangulaire à base de quadrilatères à champ quadratique

Ce modèle peut être comparé au maillage à 96 éléments triangulaires à champ quadratique

(celui de la figure 7) qui conduisait à 225 nœuds et 450 d.d.l.. La figure 11 montre que, bien

que le nombre de d.d.l. considéré soit moindre, la flèche obtenue avec les quadrilatères est

plus précise que celle obtenue par les triangles.

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-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0 50 100 150 200 250 300

X (mm)

F l è c h e ( m m

96 triangles

48 quadrilatères

Figure 11 – Comparaison des résultats obtenus à partir des deux types d’éléments triangulaires

Lorsqu’on doit résoudre un problème donné, différents choix sont envisageables, parmi

lesquels deux choix extrêmes :

- retenir les éléments les plus simples (linéaires) et effectuer un maillage très fin

-

retenir des éléments d’ordre élevé et effectuer un maillage relativement grossier.

Il n’est pas possible d’affirmer qu’une technique est plus avantageuse qu’une autre dans tous

les cas (de nombreux paramètres rentrent en ligne de compte, par exemple la qualité des

maillages utilisés). Mais l’étude de nombreux cas tests a permis de dégager des tendances etdes règles :

- Les éléments à base de quadrilatères donnent de meilleurs résultats que les

éléments à base de triangles

-

A nombre de degrés de liberté équivalent (nombre de composantes du vecteur q

global), les éléments à champ quadratique offrent une meilleure précision que les

éléments à champ linéaire.

- L’utilisation d’éléments allongés est à proscrire, la dégradation des résultats

pouvant être très significative.

-

Pour les problèmes où il existe des gradients de contraintes importants, il est

préférable de mettre en œuvre des quadrilatères à champ quadratique qui offrent un

bon compromis entre précision et complexité (lourdeur du modèle).

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5 - EXERCICES

Exercice 6.1 –

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