effectofpin solonov

8/6/2019 effectofpin solonov

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Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, Vol. 39, No. 4, 1998

E F F E C T O F F R I C T I O N I N A C O N T A C T P R O B L E M F O R A P L A T E W I T H A P I NV . N . S o l o d o v n i k o v U D C 5 3 9 .3 .0 1

A s o l u t i on i s ob t a i ne d f o r a c on t ac t p r ob l e m c on c e r n i ng t he t e n s i on o f a r e c tangu l a r e l a s t icp l a te w i t h a c i r c u l a r ho le i n t o w h i c h a r i g id s t a t i onar y p i n has bee n in s e r t e d . T he r e i s a s m a l lgap be t w e e n t he ho l e and t he p i n , w h i c h i s o f c ir c u l a r c r oss s e c ti on . F r i c t i on ac t s i n t he c on t ac tr e gi on i n ac c or danc e w i t h t he C ou l om b l aw . T he f i n i t e - e l e m e n t m e t ho d and t he B ous s i ne s qpr inc ip le are used to de te rm ine the load that r eal i z es a spec i f ied contac t r egion . T wo va r iant s o fboundar y c o nd i t i ons on t he c on t our o f t he ho l e a r e e z am i ne d .

1 . E q u a t i o n s o f t h e P r o b l e m . T h e ex p r e ss i o ns f o r t h e st r a in s i n t e r m s o f t h e d i s p l a ce m e n t s , t h er e l at i o n s o f t h e H o o k e l aw , a n d t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s f o r a p l a n e s tr e s s s t a t e i n t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e sx l , x 2 [ 1, 2 ] a r e t a k e n i n t h e f o r m

e l l = U l , 1 , e 2 2 = u 2 , 2 , 2 e1 2 = u l, 2 + u 2 ,1 , e l l = E - l ( a l l - / / O " 2 2 ) , (1 .1 )e2 2 = E - i ( a 2 2 - u a l a ) , e12 = (1 + u )E -l a 1 2 , a11 ,1 + 0.12,2 = O, o'12,1 + 0"22,2 = O.

H e r e E i s t h e Y o u n g m o d u l u s , u i s t h e P o i s s o n r a ti o , u i a r e t h e d i s p l a c e m e n t s , e i j a r e t h e s t r a i n s , a i j a r e t h es t r e s s e s ( i , j = 1 , 2 ) , a n d t h e s u b s c r i p t s 1 a n d 2 a f t er a c o m m a d e n o t e p a r ti M d i f f e r e n t i a t io n w i t h r e s p e c t t ox l a n d x 2 , r e s p e c t iv e l y . A s i n [2 ], w i t h o u t l os s o f g e n e r a l i t y w e a s s u m e t h a t t h e p l a t e i s o f a u n i t t h i c k n e s st h a t r e m a i n s c o n s t a n t.

2 . B o u n d a r y C o n d i t i o n s . W e a re g i v e n a re c t a n g u l a r p la t e w i t h a c i rc u l ar h o l e o f t h e ra d i u s R . I nl i g h t o f t h e s y m m e t r y o f t h e s o l u t i o n r e l a t i v e t o t h e a x i s x2 = 0 , w e e x a m i n e o n l y t h e u p p e r h a l f o f t h e p l a t e( F i g . 1 ). T h e f o l l o w i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a s s i g n e d o n i ts c o n t o u r a w a y f r o m t h e e d g e o f t h e h o le :

0 . 1 1 = 0 . 1 2 = 0 f o r z l = - - L h 0 ~ < z 2 ~ H ,u l = w , u 2 = 0 f or x l = L 2 , 0 ~ < z 2 ~ H , (2 .1 )

0 f o r [ z 2 = H , - L 1 ~ Z l ~ L 2 ,u2 0 , O'12 [ z 2 - - 0 , - L I ~ z l ~ - R , R ~ x l ~ L 2 .A p e r f e c t l y r i g i d s t a t i o n a r y p i n i s in s e r t e d i n t h e h o l e . T h e c r o s s s e c t io n o f t h e p i n i s a c ir c l e w i t h t h e

r a d i u s R 1 = R - c ( e = e R , w h e r e 0 < e


2/8

x 2

llll ll /j j- L i - R 0 R

F i g . 1L 2 x!

q p = a r r c o s a - a r w s i n a , q 0 = a r r s i n a + a r ~ c o s a , a = ~ - 0 .T h e c o n d i t io n e x p r e s s i n g t h e f a c t t h a t t h e e d g e o f t h e h o l e i m p e n e t r a t e s w i t h i n t h e c o n t o u r o f t h e p i n

i s r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m [ 2 ]( p n + u p ) 2 + u ~ = ( R c c o s ~ + u r ) 2 + ( u ~ , - c s i n ~ ) 2 / > R 2 ( 2 . 4 )

o r

U p - } - ( 2 p R ) - l ( u 2 - {- u 2 ) ~ upc [uo r = - c p - l ( 1 - [ - c o s ~ o ) ] . ( 2 . 5 )L i n e a ri z in g t h is c o n d i t i o n , w e o b t a i n t h e i n e q u a l i t y

u p > i u ~ . ( 2 . 6 )T h i s i n e q u a l i t y i s s t r o n g e r t h a n ( 2 .5 ) i n t h e s e n s e t h a t d i s p l a c e m e n t s w h i c h s a t i s f y ( 2 . 6) a l s o s a t is f y ( 2 . 5) .

W e s h a l l f o r m u l a t e t w o v a x i a n t s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n F .B o u n d a r y C o n d i t i o n s ( a ) . W e a s s u m e t h a t U p = u p c i n t h e c o n ta c t re g io n ['1 a n d t h a t t h e ed g e

o f t h e h o l e i s p r e s s e d a g a i n s t t h e p i n . T h u s , q 0 < 0 . L e t fr i c ti o n a c t o n [ '] i n a c c o r d a n c e w i t h t h e C o u l o m bl aw [ 3 ] . T h e n t h e p e r m i s s i b l e w l u e s o f t h e f o r c e s a x e b o u n d e d b y t h e i n e q u a l i ti e s q o < 0 a n d [q 0 [ ~< P[qp[o r f l = pq p - l- qo O o n [`1 ,

,2o = O, if / < O, "u p = u p c , f = 0 , q p < 0 , Q / > 0 , i f ] = 0 , o n F ] , ( 2 . 7 )q p = q 0 = 0 , u p ~ u p c o n F 2 .

l l / i iA t e a ch p o i n t F ] , a s f w e t a k e a f u n c t i o n f ; o r f 2 th a t . i s z e r o a t t h i s p o i n t ; F = F 1 U F 2 a n d F 1 = F ] U F ] .

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3/8

T h e i n e q u a l i t y Q > t 0 c a n b e r e p l a c e d b y 6 0 >t 0 w h e n f = f l = 0 a n d q 0 = - # q p > 0 a n d b y 6 o ~< 0 w h e ntf = f 2 = 0 a n d q 0 = P q p < 0 . W i t h a l l o w a n c e f or qp < 0 , t h e c o n d i t i o n F > 0 o n I" 1 i s e q u i v a l e n t t o t h e

i n e q u a l i t ie s f l < 0 a n d f 2 < 0 , w h i c h a r e l i n e a r i n t h e s o u g h t f u n c t i o n s .I IIT h e p a r t i t i o n s F = I"1 U F 2 a n d F 1 = [ 'I U ['1 a r e c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e f o r c e s qp a n d q a a t t h e

c u r r e n t m o m e n t o f t i m e . T h e c h a n g e in t h e e x t e r n a l l o ad a c t i n g o n t h e p l a t e a t t h i s m o m e n t a ff e ct s o n l y t h eI I I I Ip a r t i t i o n i n g o f F 1 i n t o p a r t s i n w h i c h ] < 0 a n d ] = 0 . T h e r e g i o n s F 1 , [` 1, a n d F 2 , t h e f o r m o f t h e f u n c t i o n

II

f ( f l o r f 2 ) o n F 1 , a n d t h e f o r c es q p a n d q0 o n I"1 d e p e n d o n t h e l o a d i n g h i s t o r y o f th e p l a t e a n d a r e f o u n df r o m t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m .I f w e i n s e r t t h e e x p r e s s i o n s f o r u p , u 0 , qp , a n d q 0 f r o m ( 2 . 3) a n d t h e e x p r e s s i o n f o r upc f r o m ( 2 . 5 ) i n t o

( 2 .7 ) t h e n w i t h a l l o w a n c e f o r ( 2 . 2 ) t h e r a d i c a l p i s e x c l u d e d f r o m ( 2 . 7 ) a n d t h e c o e f f i c i e n t s a t u r , u , , a r t , a n da t , c o n t ai n t h e p a r a m e t e r e . T h u s , t h e s o l u ti o n o b t a in e d w i t h t h e u s e o f ( 2. 7) m a y d e p e n d n o n l in e a x ly on e .

B o u n d a r y C o n d i t i o n s ( b ) . W e a p p r o x im a t e t h e n o n p e n e t r a ti o n co n d i ti o n ( 2.4 ) b y m e a n s o f t h ei n e q u a l i t y ur >1 Urc, w h e r e u r c = - c ( 1 + c o s ~ o). T h i s i n e q u a l i t y is s t r o n g e r t h a n ( 2 .4 ) . T h e n t h e b o u n d a r yc o n d i t i o n s ax e f o r m u l a t e d s i m i l a r l y t o ( 2 .7 ) , w i t h t h e r e p l a c e m e n t o f u p , u0 , qp , q 0, a n d Upc b y U r, u , , a r ~ , a t , ,a n d u ~c , r e s p e c ti v e l y . N o w , i n c o n t r a s t t o ( 2 . 7 ), t h e p a r a m e t e r s o f t h e g a p e a n d e a p p e a r i n t h e b o u n d a r yc o n d i t i o n s o n l y i n t h e e x p r e s s i o n f o r Urc a n d e n t e r l i n e ar ly i nt o t h e t e r m s t h a t a r e n o t d e p e n d e n t o n t h es o u g h t f u n c t i o n s .

L e t u s i n t ro d u c e t h e n o t a t i o n f o r t h e n o r m M a n d t a n g e n t ia l c o m p o n e n t s o f t h e d i s p l a c e m e n t s a n d t h ef o rc e s. T h e n o t a t i o n i s t h e s a m e f o r b o t h v a r i a n ts o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n F , t a k i n g t h e f o r m u = u p ,13 = U O , p = qp, q = qo, and uc = upe f o r c o n d i t i o n s ( a ) a n d u = u r , v = u ~ ,, p = a r t , q = a r ~ ,, a n d Uc = urcf o r c o n d i t i o n s (b ) . T h e n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n b o t h v a r i a n t s a r e r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m

Iu = u r 0 = 0 , p < 0 , F > 0 o n F 1,u = u , , f = 0 , p < 0 , { 1) =0 , i f ] I 0 , i f ] = 0 , o n F 1 , ( 2.8 )

p = q = 0 , u>~ur o n F 2 .I I I t lH e r e f l = P P+q, f 2 = P P - q , Q = q t~: a n d t h e r eg i o n s r l , r l , a n d F2 a n d t h e f u n c t i o n f ( f l o r f 2 ) o n [`1

m a y b e d i ff e r e n t f o r c o n d i t i o n s ( a ) a n d ( b ) . I n v a r i a n t ( a ) , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 8 ) c o i n c i d e w i t h ( 2 .7 ) .T h e r a t e o f e n e r g y d i s s i p a t i o n ~ j , , t h e p o w e r ~ o f t h e t r a c t i v e f o rc e P , a n d t h e r a t e o f c h a n g e i n s t r a ine n e r g y o f t h e p l a t e ~ e a r e c o n n e c t e d b y t h e r e l a t i o n s

H

t t 0r xO'11 dx2,

w h e r e P i s c a l c u l a t e d f o r x l = L 2 . I n t e g r a t i n g o v e r r , w e f i n d t h a t ~ = ~ I + ~ e ,~e = _ / 2 (1 E_ u 2 ) [ el2 1 + 2 v e l ]e 2 2 + e ~2 + 2 (1 - u )e 12 2] d x l d x 2 .fl

T h e w o r k d o n e b y t h e f o rc e P i s e x p e n d e d t o t h e d e f o r m a t i o n e n e r g y o f t h e p l a t e C e a n d t h e e n e r g y C /d i s s i p a te d d u e t o f r i c t i o n .T h u s , i n t h e p r e s e n c e o f f r i c t io n a n d a g a p , w e h a v e t w o c o n t a c t p r o b l e m s f o r E q s . ( 1 . 1) w i t h b o u n d a r yc o n d i t i o n s ( 2 .1 ) a n d ( 2 .8 ) i n v a r i a n t s ( a ) a n d ( b ) . A t e ac h m o m e n t o f t i m e , t h e i r s o l u t i o n d e p e n d s o n t h el o a d i n g h i s t o r y o f t h e p l a t e . T h e m e t h o d s u s e d t o s o lv e t h e p r o b l e m s a r e s i m i l a r in b o t h v a r i a n t s .

I n t h e c a s e w h e r e t h e r e i s n o g a p e = 0 a n d t h e d i s p l a c e m e n t w i n c re a s e s m o n o t o n i c a l l y f r o m z e r o i nt h e i n it i a l u n d e f o r m e d s t a t e o f t h e p l a t e , w e c a n u s e ( 2 .8 ) t o o b t a i n t h e s a m e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r b o t hv a r i a n t s

!u = v = O , p < 0 , F > 0 o n 1"1 ,

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4/8

I/u = 0 , f = 0 , p < 0 , Q ] > / 0 o n F 1, (2 .9 )p = q = O , u > > . O o n F 2 .

T h e s o l u t io n o f t h e p r o b l e m f o r E q s . ( 1 .1 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 1) a n d ( 2 .9 ) i s l i n e ar l y p r o p o r t i o n a l t oI l?w . T h e r e g io n s F 1 , F I , a n d [ '2 a r e f o r m e d a t t h e i n i ti a l m o m e n t o f t i m e i m m e d i a t e l y a f te r t h e d i s p l a c e m e n t w

i s a s s i g n ed a s s m a l l a v a lu e a s d e s i r e d , a n d t h e y r e m a i n u n c h a n g e d w i t h a n i n c r e a s e i n t h e d i s p l a c e m e n t . E a c he q u a l i t y a n d i n e q u a l i t y i n ( 2 .9 ) r e m a i n s v a l i d fo r a n y w > 0 . S i n c e f = ] = 0 , f o r a n y w t h e f u n c t i o n f a l soIIr e m a i n s t h e s a m e a t e a c h p o i n t o n F I : f l o r f 2 . W i t h a l lo w a n c e fo r t h e l i n e ar d e p e n d e n c e o f q a n d v o n w ,t h e c o n d i t i o n Q > / 0 i n (2 . 8) i s r e p l a c e d b y a co n d i t i o n s t i p u l a t i n g t h a t t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n i s n o n n e g a t i v e( 0 1 = 0 . S q / > 0 ) .

T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t h e l i m i t i n g p r o b l e m s ( i n t h e a b s e n c e o f f r i c t io n ) [2] f o ll o w f r o m ( 2 .8 ) a n d(2 .9) as p - -* 0 .

T h e c o n t a c t p r o b l e m f o r a p l a t e w i t h a p i n w a s s o l v ed i n [2 , 4 , 5] w i t h o u t a l l o w a n c e fo r f ri c t io n a n d i n[6] w i t h a l l o w a n c e f o r C o u l o m b f r i c ti o n . I n t h e s e c o n d c a s e , t h e d i f f er e n c e in t h e d i s p l a c e m e n t s o f t h e e d g e o ft h e h o l e a n d t h e c o n t o u r o f t h e e l a s t i c p i n w a s , h o w e v e r , as s i g n e d w i t h o u t a l l o w a n c e f o r t h e h i s t o r y o f t h e i ri n t e r a c t i o n .

3 . F o r m u l a t i o n o f E q u i l i b r i u m P r o b l e m s w i t h a S p e c i f i e d C o n t a c t R e g i o n . W e i n t ro d uc e an e w v a r i a b l e r / = 1 - ~ / l r ( 0 ~< r /~ < 1 ) o n t h e c o n t o u r o f t h e h o l e F . T h i s v a r i a b l e i n c r e a s e s a l o n g F i n t h el e f t- t o - fi g h t d i r e c t i o n f r o m 7 / = 0 a t t h e p o i n t ( - R , 0 ) t o r / = 1 a t t h e p o i n t ( R , 0 ) ( F i g . 1 ).

T h e n , e x a m i n i n g t h e l o a d i n g o f th e p l a t e b y m e a n s o f a m o n o t o n i c a l l y i n cr e a s in g d i s p l a c e m e n t o f it s! I Ir i g h t s i d e w , w e a s s u m e t h a t i n t h e a l g o r i t h m b e i n g d e v e l o p e d t h e r e g i o n s I" 1, F 1 , a n d F 2 o n F o c c u p y t h e

r e s p e c t i v e s e g m e n t s 0 ~ < rl ~< b , b < r / ~ I , a n d 1 < r/ ~< 1 w i t h t h e e n d p o i n t s r / = b a n d r / = I . T h u s , t h eI I I I Ic o n t a c t r e g i o n F 1 = F 1 U r I i s t h e s e g m e n t 0 ~< r /~ < I. A t a l l t h e p o i n t s o f F 1 , t h e f r i c t i o n a l f o r c e s ( - q ) a r e

IIa s s u m e d t o a c t a l o n g F 1 i n t h e s a m e d i r e c ti o n . T h u s , w e a s s u m e t h a t t h e f u n c t i o n f ( f l o r f 2 ) i s e q u a l toz e ro . T h e v a l u e s o f b a n d I m a y d e p e n d o n t h e d i s p l a c e m e n t w , t h e g a p c , t h e f r i c t i o n c o e f fi c ie n t p , a n d t h eb o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 8 ) o r ( 2 . 9 ) .

T h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m f o r E q s . ( 1. 1 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 1 ) a n d ( 2 .8 ) is f o u n d w i t h t h el e n g t h I o f t h e c o n t a c t r e g i o n w h i c h i n c r e a s es m o n o t o n i c a l l y in s t e p s . T h e v a l u e o f l a t t h e m o m e n t 0 " + A t )i s a s s i g n e d a t t h e e n d o f e a c h s t e p f r o m r t o ( r + A t ) . T h e r a t e s o f s h e a r d i s p l a c e m e n t s o n r a t t h e e n d o f as t e p a re d e t e r m i n e d f r o m t h e f o r m u l a ~ = ( v - v r ) / A v ( t h e v a l u e s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s t e p a x e d e n o t e db y t h e s u b s c r i p t r , w i t h n o n o t a t i o n u s e d t o i n d i c a t e t h e e n d o f t h e s t e p ) . W e t a k e I = 0 a n d v = 0 f o r r = 0a s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t h e f i rs t s t e p .

H a v i n g d i s c a r d e d t h e i n e q u a l i t i e s in ( 2 .8 ) , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s :u = u c , V = V r fo r O ~ < r / < ~ b ,

u = u r f = 0 f o r b < T l < < . l , (3 .1 )p = q = O f or / < r / ~ < 1 .

H e r e t h e s a m e f u n c t i o n f ( f l o r f 2 ) i s t a k e n a t a ll t h e p o i n t s o f t h e s e g m e n t b < r /< ~ I. T h e s o l u t i o n o f t h ep r o b l e m f o r E q s . ( 1. 1 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 .1 ) - ( 3 .1 ) ( h e n c e f o r t h r e f e r r e d t o a s p r o b l e m A ) i s u s ed t od e t e r m i n e t h e s t a t e o f e q u i l i b r i u m o f t h e p l a t e a t t h e e n d o f a s t e p w i t h a s p e c i f i ed c o n t a c t r e g io n .N o w w e i n t r o d u c e t w o m o r e p r o b l e m s A 1 a n d A 2 , t h e s e p r o b l e m s d i f fe r in g f r o m A o n l y i n t h e f ac t t h a tt h e f o l lo w i n g a r e a s s i g n e d i n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s :- - u = v = 0 i n A 1 a n d u = c - l u c a n d v = c - l v r i n A 2 f o r 0 ~< 7 / ~ b ,- - u = 0 a n d f = 0 i n A 1 a n d u = c - l u c a n d f = 0 i n A 2 f o r b < r /~ < l,- - u l = l a n d u 2 = 0 i n A l a n d u l = 0 a n d u 2 = 0 i n A 2 f o r x l = L 2 , 0 < ~ x 2 ~ < H .

W i t h o u t t h e i n e q u a l i t i e s , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 9 ) t a k e t h e f o r mu = v = O ~ r O ~ o ~ b ,

u = 0 , f = 0 fo r b < ~ ? < < . l , (3 .2 )64 5


5/8

p = q = O f o r / < q ~ < l .T h e p r o b l e m f o r E q s . ( 1 .1 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 .1 ) a n d ( 3 .2 ) h a s a s o l u t io n t h a t i s l i n e a rl y p r o p o r t i o n a lt o w . It c o i n c i d e s w i t h p r o b l e m A 1 f o r e = 0 a n d w = 1 , t h e v a l u e s o f b a n d I a r e i d e n t i c a l i n b o t h p r o b l e m s ,a n d t h e s a m e f u n c t i o n f ( f l o r f 2 ) i s e q u a l t o z e r o o n t h e s e g m e n t b < q ~ < I . W e a l s o s e e k v a l u e s o f b , 1, a n df a t w h i c h r e s t r i c t i o n s i n t h e f o r m o f in e q u a l i t i e s i n ( 2 .9 ) a r e s a t i s f ie d .

4 . S o l u t i o n o f P r o b l e m s . T h e f o l lo w i n g a l g o r i t h m is u s e d at e ac h m o m e n t o f t i m e d u r i n g lo a d in g o ft h e p l a t e to f i n d t h e s o l u t i o n . T h e p l a t e is d i v i d e d i n t o L a g r a n g i a n f i n i te e l e m e n t s ( t e t r a g o n a l , n i n e - n o d e , a n di s o p a r a m e t r i c [ 7] ) ( F i g . 1 ) . E a c h s u b d i v i s i o n c o n t a i n s a b o u t 1 6 0 f i n i t e e l e m e n t s a n d 1 3 0 0 s o u g h t v a r i a b le s ,i .e ., t h e c o m p o n e n t s o f t h e d i s p l a c e m e n t s o f t h e n o d e s o f t h e e l e m e n t s .

U s i n g t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s , w e f o r m u l a t e t h e s y s t e m s o f f i n i t e - e le m e n t e q u a t i o n s o fp r o b l e m s A , A 1 , a n d A 2 . T h e s e s y s t e m s h a v e t h e s a m e a s y m m e t r i c m a t r i x o f co e f fi c ie n t s o f t h e s o u g h t v a r ia b l esa n d d i f fe r f r o m o n e a n o t h e r o n l y i n t h e i r r i g h t s id e s , w h i c h a r e d e t e r m i n e d b y t h e d i s p l a c e m e n t s a s s i g n e d b yt h e b o u n d a r y c o n d i t io n s o n t h e c o n t o u r o f t h e p l a te . T h e G a u s s t h r e e - p o i n t q u a d r a t u r e f o r m u l a is us e d toc a l c u la t e t h e i n t e g r a l s o v e r a n a r e a o f a n e l e m e n t i n t h e p r o c e s s o f in t e g r a t i o n o v e r e a c h l o ca l c o o r d i n a t e . T h es y s t e m s o f e q u a t i o n s t h a t a r e f o r m u l a t e d a r e s o lv e d b y t h e G a u s s e l i m i n a t i o n m e t h o d [7 , 8 ] w i t h a l l o w a n c ef o r t h e b a n d n a t u r e o f t h e c o e f f i c ie n t m a t r i x a n d t h e s y m m e t r y o f m o s t o f t h i s m a t r i x r e l a t i v e t o t h e p r i n c ip a ld i ag o n al . T h e m a t r i x i s c a l c u l a te d a n d r e d u c e d t o a t ri a n g u l a r f o r m o n l y o n c e fo r b o t h p r o b l e m s A 1 a n d A 2 .

T h e h o o p s t r e s s e s a ~ a t t h e n o d e s o n F a re f o u n d b y i n t e r p o l a t i o n o f t h e s t r e s s e s c a l c u l a t e d a t t h ep o i n t s o f i n t e g r a t i o n o v e r t h e a r e a o f t h e e l e m e n t s . T h e n o r m a l a n d s h e a r i n g f o rc e s p a n d q a r e d e t e r m i n e dt h r o u g h t h e g e n e r a l i z e d f o r ce s a c t i n g a t t h e n o d e s i n a c c o r d a n c e w i t h t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s .

I n t h e f i n i t e - e l e m e n t f o r m u l a t i o n , w e s e e k t h e s o l u t i o n o f p r o b l e m A a s t h e s u m o f t h e s o l u t i o n s o fp r o b l e m s A 1 a n d A 2 w i t h t h e c o e ff i ci e n ts w a n d c . T h i s s u m h a s t h e f o r m

U = w U 0 ) + c U ( 2) . ( 4 .1 )H e r e a n d b e l o w , U d e n o t e s t h e g l o b a l v e c t o r s o f t h e s o u g h t v a r i a b le s , i .e . , t h e c o m p o n e n t s o f t h e d i s p l a c e m e n t so f t h e n o d e s o f t h e e l e m e n t s ; t h e s u p e r s c r ip t s 1 a n d 2 in p a r e n t h e s e s d e n o t e p r o b l e m A 1 a n d p r o b l e m A 2 ,r e s p e c t i v e l y .

I n a c c o r d a n c e w i t h ( 4 .1 ) , w e h a v ef b = W f~ l) - I- C f~2) , P l - - - - W p~l) -I- C p~2), (4. 2)

w h e r e t h e s u b s c r i p t s b a n d I d e n o t e t h e v a l u e s o f f a n d p a t t h e p o i n t s t / = b a n d t / = l , r e s p e c t iv e l y ; w e t a k et h e f u n c t i o n f ( f l o r f 2 ) t h a t i s e q u a t e d t o z e r o in ( 3 .1 ) o n t h e s e g m e n t b < t /~ < l .

I n a c c o r d a n c e w i t h t h e B o u s s i n e s q p r i n c i p l e [3 , 9 ], w e a s s u m e t h a t P t = 0 . W e f in d f r o m ( 4 . 2 ) t h a tw = - c p ~ 2 ) / p } D . ( 4 . 3 )

I n s e r t i n g ( 4 . 3 ) i n t o ( 4 . 1 ) , w e r e s o r t t o i t e r a t i o n t o f i n d t h e p o s i t i o n o f t h e p o i n t r/ = b a t w h i c h f b = O . I ft h e f u n c t i o n f ( f l o r f 2 ) i s c h o s e n c o rr e c tl y , w e o b t a i n U a s t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m f o r E q s . ( 1 . 1) w i t hb o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 1 ) a n d ( 2 .8 ) . T h e r e s t r i c t i o n s i n t h e f o r m o f t h e i n e q u a l i ti e s i n ( 2 .8 ) a r e s a t i sf i e d, a n dw is t h e d i s p l a c e m e n t t h a t r e a l i ze s t h e s p e c i f i e d c o n t a c t r e g i o n . O n t h e s e g m e n t b < r / ~< l w e h a v e f = 0 ,f r < ~ 0 , a n d a p p r o x i m a t e l y ] = ( f - f r ) / A r i> 0 , a n d t h e r e f o r e w e s h o u l d c h e c k o n l y t h a t Q i s n o n n e g a t i v e .T h e c a se ] < 0 i s n o t e x a m i n e d h e r e . T h e t r a n s i t i o n f r o m s l ip a t t h e b e g i n n i n g o f a s t e p a t t h e m o m e n t ~" t on o n s l i p a t t h e e n d o f t h e s t e p , w i t h s a t i s f a c t io n o f t h e i n e q u a l i t y ] < 0 , c a n o c c u r a t p o i n t s o f t h e s e g m e n tf rom r / - - - - br t o 7 / ---- b f o r b r < b . I t i s p o s s i b l e t o p r o c e e d t o t h e n e x t t i m e s t e p a f t e r t h e s t a t e o f e q u i l i b r i u mo f t h e p l a t e a t t h e e n d o f t h e c u r r e n t s t e p h a s b e e n d e t e r m i n e d .

W e n o t e t h a t i n t h e f i n i te - e l e m e n t f o r m u l a t i o n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a p p l i e d t o a d i s c r e t e s e to f n o d e s w h i c h i n c l u d e s t h e p o i n t s r / = b a n d ~ = I. T h e n o n s l i p c o n d i t i o n s u = u c a n d v = v r a r e a s s ig n e da t t h e n o d e s f o r 0 ~< q ~< b , t h e s l i p c o n d i t i o n s u = u c a n d f = 0 a r e a s s i g n e d f o r b < q ~< l , a n d t h e f r e e - e d g ec o n d i t i o n s p = q = 0 a r e a s s i g n e d f o r l < r /~ < 1. S a t i s f a c t i o n o f t h e e q u a t i o n s f b = P l = 0 i n a c c o r d a n c e w i t ht h e B o u s s i n e s q p r i n c i p l e le a d s t o s a t i s f a c ti o n o f t h e n o n s l i p a n d s l i p c o n d i t i o n s a t t h e p o i n t q = b , a n d t h e

646


6/8

r 1 6 2a r t

0.25

0

- 0 . 2 5 -/ 6 . 5 , 7 1 1 o

Fig . 2

a rc

- 0 . 0 5 . ~d5

0 . 2 84

0 . 4 .

0 . 5 / x 1 . 0

l , b

0 . 2

0 0F i g . 3 Fig . 4

s l ip a n d fr e e - e d g e c o n d i t i o n s a t t h e p o i n t r / = I . I n t h i s s e n s e , t h e r e i s a c o n t i n u o u s t r a n s i t i o n a l o n g F f r o mo n e s et o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o t h e o t h e r .

I n v a r i a n t ( b ) , t h e v e c t o r s U ( b l ) a n d U ( b 2) a r e i n d e p e n d e n t o f c a n d ~ . A s f o ll o w s f r o m ( 4 .1 ) a n d( 4 . 3 ), t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m U ( b ) i s l i n e a r l y p r o p o r t i o n a l t o t h e g a p c . I n v a r i a n t ( a ) , t h e c o e f f i c ie n t s o ft h e f i n i te - e le m e n t e q u a t i o n s o f p r o b l e m s A 1 a n d A 2 a n d t h e v e c t o r s U ( a l ) a n d U (= 2) d e p e n d o n ~ . T h u s , t h es o l u t io n U ( = ) c an d e p e n d n o n l i n e a x l y o n ~ . T h e s u p e r s c r i p t s a a n d b i n p a r e n t h e s e s d e n o t e b o u n d a r y - c o n d i t i o nv a r i an t s ( a ) a n d ( b ) , r e s p e c t i v e l y . P r o b l e m s A 1 a n d A 2 a n d t h e c o n t a c t p r o b l e m a s a w h o l e i n v a r i a n t ( a ) a r es o l v ed a n e w w i t h e a c h n e w v a l u e o f c.

W e s h a ll s o lv e s e p a r a t e l y p r o b l e m A 1 fo r v a r i a n t ( b ) . W e c h o o s e t h e a p p r o p r i a t e f u n c t i o n f ( f l o r f2 ) ,e q u a l t o z e r o o n t h e s e g m e n t b < r/ ~< 1, a n d w e u s e i t e r a t i o n t o f i n d v a l u e s o f 1 = 1 . a n d b = b . s u c h t h a tp l b Z ) = f ~ b z ) = 0 . T h e n , i n a c c o r d a n c e w i t h t h e B o u s s i n e s q p r i n c i p l e , w e o b t a i n U ( b l ) = U ( hI ) a s t h e s o l u t i o no f t h e p r o b l e m f o r E q s . ( 1 . 1 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 1 ) a n d ( 2 . 9 ) f o r t o = 1 .

5 . C o m p u t a t i o n R e s u l t s . W e p a s s o v e r t o d i m e n si o n le s s qu a n t it i es b y m u lt i pl y in g Z h z 2 , a n d rb y t h e n o n d i m e n s i o n a l i zi n g f a c t o r R - 1 , t h e d i s p l a c e m e n t s a n d t h e g a p c b y L o ] , t h e s t r a in s b y ~ ,, = R L o 1 ,t h e s tr e s s e s b y E - 1 , a n d t h e e n e r g i e s ~ e a n d ~ f a n d t h e w o r k 9 b y E - ] L o 2 ( L o i s a c o n s t a n t h a v i n g t h ed i m e n s io n o f le n g t h ) . W e k e e p t h e p r e v i o u s n o t a t i o n f o r t h e n o n d i m e n s i o n a l i z e d q u a n t i ti e s . N o w , w e h a v eR = 1 , H = L1 = 2 .5 , L2 = 5 , and c = w e . Th e P o i sso n ra t i o i s v = 0 .3 .I n t h e e q u a t i o n s a n d b o u n d a r y c o n d i ti o n s t h a t h a v e b e e n c h a n g e d t o d i m e n s i o n le s s f o rm , c a n d ~ ar et a k e n a s t h e d i m e n s i o n l e s s p a r a m e t e r s a s s o c i a t e d w i t h t h e g a p i n v a r i a n t ( a ) , x v h il e o n l y c i s t a k e n a s s u c h ap a r a m e t e r i n v a r i a n t ( b ) . I n b o t h v a r i a n ts , w e ca n u s e t h e p r e s c r i b e d v a l u es o f c a n d ~ t o d e t e r m i n e ~ = c e - 1a n d c h a n g e b a c k f r o m t h e d i m e n s i o n l e s s f o r m s o f t h e s o u g h t f u n c t i o n s t o t h e i r d i m e n s i o n a l f o r m s .

I n t h e a b s e n c e o f a g a p , w e h a v e c = ~ = 0 . S i n c e t h e s o l u t i o n i s l in e a r l y p r o p o r t i o n a l t o w , w e a s s u m et h a t t o = 1 . R e t u r n i n g t o t h e d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s a n d a s s i g n i n g v a l u e s t o to a n d R , w e f i n d t h a t L 0 = t oa n d ~ v = R L o 1 .

L e t u s e x a m i n e t h e s o l u t i o n o f t h e c o n t a c t p r o b l e m w i t h f r i c t io n i n th e c a s e o f t h e a b s e n c e o f a g ap ,

64 7


7/8

a r t0 . 2

0

-0.2

G.

0 . 5 r / 1 . 0

Fig . 5

ar ~

0.02

0

-0.02-

T A B L E 1So lu t i on p 1 b

UO ) 0.3 0 .15 0 .1435U ('=) 0.3 0.1 452 0.14 22U(b)

P r o'~v,0 .07831 0 .01797 0 .16410 .07775 0 .01785 0 .16280 .07835 0 .01796 0 .1664

o b t a i n e d f o r E q s . ( 1 . 1 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 1 ) a n d ( 2 . 9 ) f o r e = 0 , p = 0 . 3 , t o = 1 , P = 0 . 2 4 7 2,l = I , = 0 . 4 7 5 5 , a n d b - b . = 0 . 0 1 8 8 7 ( t h e a n g l e s l rl a n d l rb a r e e q u a l t o 8 5 . 3 a n d 3 . 2 ~ r e s p e c t i v e l y ) . T h es u b d i v is i o n o f t h e p l a t e i n t o f i n it e e l e m e n t s i s s h o w n i n F i g . 1 . W e h a v e 7 e l e m e n t s a c r o s s t h e w i d t h o f th ep l a t e a n d 2 2 e l e m e n t s a l o n g t h e l e n g t h , w i t h 1 5 4 e l e m e n t s i n al l.

T h e s o l i d c u r v e s in F i g . 2 s h o w t h e s tr e s s e s * r r , * ~ , a n d * r , o n F a s a f u n c t i o n o f 7/. T h e s e c t io n so f t h e d a s h e d c u r v e s i n F i g . 2 a t h a t d e v i a t e f r o m t h e s o l i d c u r v e s s h o w t h e v a l u e s o f * r r a n d ~rw ~, i n t h ea b s e n c e o f f r i c t i o n ( ~ = 0 , p = 0 , to = 1 , P = 0 . 2 3 1 7 a n d l = 0 . 4 6 1 9 ) . T h e d i s t r i b u t i o n s o f ~ r r a r e n o t c o s i n ec u r v e s i n e i t h e r p r o b l e m ( w i t h a n d w i t h o u t f r i c ti o n ) . W e h a v e a r t = a r ~ = 0 f o r 1 6 77 6 1 . T h e m a x i m a, w ~ = c r ~ a r e r e a c h e d o n t h e f r e e p a r t o f F n e a r th e p o i n t s r / = l , w h i l e t h e m a x i m u m a b s o l u t e v a lu e s o f# r r a r e r e a c h e d a t i n t e r n a l p o i n t s o f t h e c o n t a c t r e g i o n . D u e t o f r i ct i o n a r o u n d t h e p o i n t I / = 0 , t h e r e i s as m a l l r e g i o n w h e r e O'rr < 0 a n d , ~ < 0. T h e v a l u e o f ~ a n d t h e s t r e s s c o n c e n t r a t i o n f a c t o r k = Hp-I~i n c r e a se f r o m ~ = 0 . 4 2 8 0 a n d k = 4 . 6 1 5 f o r p = 0 t o , ~ = 0 . 5 2 8 1 , a n d k = 5 . 3 3 8 f o r p = 0 . 3 . T h em a x i m u m a b s o l u t e v a l u e s o f ~ rr r d e c r e a s e . T h e e n e r g y 9 I = 0 . 0 0 52 8 8 i s l o w c o m p a r e d t o t h e s t r a i n e n e r g y i nt h e p l a t e O , = 0 . 1 1 83 a n d a m o u n t s t o 4 . 5% . I n t h e a b s e n c e o f f r i ct i o n , w e h a v e 9 = ~ , = 0 . 1 1 5 9 .

I n t h e a b s e n c e o f a g a p , t h e c o n t a c t a n d n o n s l i p r e g i o n s b e c o m e lo n g e r w i t h i n c r e a s e i n p f o r p ~< 1 i nt h e s o l u t i o n o f t h e c o n t a c t p r o b l e m w i t h f r i c ti o n . H e r e b i s n e g l i g i b l y s m a l l a s l o n g a s p < 0 . 2 ( F i g . 3 ) . T h ev a l u e s o f 1, P , a n d ~ r~ w i n c r e a s e a l m o s t l i n e a r l y in r e l a t i o n t o p . W e h a v e l = 0 . 5 0 2 7 a n d b = 0 . 1 8 9 3 f o r p = 1 .T h e e n e r g y 0 f i n c r e a s e s m o r e s l o w l y w i t h i n c r ea s e i n p .

T h e s o l u t i o n U (b) o f t h e p r o b l e m f o r E q s . ( 1 . 1 ) w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 1 ) a n d ( 2 .8 ) i n v a r i a n t( b ) w a s c a l c u l a t e d u p o n v a r i a t i o n o f I f r o m 0 . 0 3 t o 0 .4 5 i n 31 s t e p s f o r c = 1 a n d p = 0 . 3 . W e a s s u m e d z e r os h e a r d i s p l a c e m e n t s i n t h e n o n s l i p r e g i o n f o r t h e i n i t i a l v a l u e o f l = 0 . 0 3.

F i g u r e 4 s h o w s t h e f u n c t i o n s I a n d b v e r s u s t o. T h e s l i p r e g io n s a r e s m a l l f o r I ~< 0 . 2 4 , a n d t h e d i a g r a m so f I a n d b n e a r l y m e r g e a n d a r e r e p r e s e n t e d b y a s ol id c u r v e . W h e n t h e l e n g t h o f t h e s l i p re g i o n i s t o o s m a l l,w e a s s u m e t h a t I = b . W e u s e d i t e r a t i o n t o s u c c e s s i v e l y f i n d t h e v a l u e s o f 1 = b = 0 . 1 9 1 0 a n d 0 . 1 9 9 7 s u c h t h a ta r t = ~ rr ~ = 0 a t t h e p o i n t t / = l = b . I n t h e s l i p r e g i o n s , w e h a v e f l = 0 , ~ > 0 , a n d a r ~ > 0 f o r 1 < 0 . 1 9 1 0a n d f 2 = 0 , ~ w < 0 , a n d a r w < 0 f o r l > 0 . 1 9 97 . B e g i n n i n g w i t h l = 0 . 2 4 , t h e l e n g t h o f t h e n o n s l i p r e g i o n bd e c r e a s e s w i t h i n c r e a s e i n l . T h e e n e r g y 9 I i s neg l ig ib ly l ow a s l ong a s l < 0 .24 .

T h e s o l i d c u r v e s i n F i g . 5 s h o w t h e v a l u e s o f ~ r r , C r ~ ,, a n d a r ~ o n F f o r 1 = b = 0 . 1 9 9 7 , w = 0 . 8 04 5 ,a n d P = 0 . 1 3 9 2 . T h e d a s h e d c u r v e c o r r e s p o n d s t o l = 0 . 1 5 . T h e v a l u e s o f ~ rw in t h e c o n t a c t r e g i o n c h a n g ef r o m p o s i ti v e to n e g a t i v e d u r i n g l o a d i n g o f t h e p l a t e ( F i g . 5 b ) .

T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s o l u t i o n s U (= ) a n d U (b ) o f t h e p r o b l e m f o r E q s . ( 1 . 1 ) w i t h b o u n d a r yc o n d i t i o n s ( 2 . 1 ) a n d ( 2 .8 ) i n v a r i a n t s ( a ) a n d ( b ) is s m a l l w h e n c a l c u l a t e d f o r t h e s a m e v a l u e o f w . W h e n w is64 8


8/8

smal l , these so lu t ions a l so d i f fer neg l ig ib ly f rom the so lu t ions o f the c on ta c t p ro b lem s in var ian t s (a) an d (b )w i t h t h e s ame g ap i n t h e a b s en ce o f f r ic t io n . T ab l e 1 s h o w s va l u es o f l, b , P , cbe , an d a ~ ca l cu l a t ed fo r c = 1 ,e = 0 .05 , and w = 0 .4883 on the bas i s o f the so lu t ions U (~) and U (b ) in the p resenc e and in the absenc e o ff r ic t io n (# = 0 ). T h e b o u n d a r y co n d i t i o n s in v a r i an t ( a) a r e l e ss r e s t r ic t i v e fo r t h e p l a t e t h a n t h e b o u n d a ryco n d i t io n s i n v a r ian t ( b ) : t h e v a l u es o f l , b , P , r an d c r~ i n U (~ ) a r e l o w er t h an t h e co r r e s p o n d i n g v a lu esin U (b).

R E F E R E N C E S1.2.3.

5.6 .

7.8 .

9 .

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effectofpin solonov

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