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Estratto dagli atti del 15° Congresso C.T.E. Bari, 4-5-6 novembre 2004

EFFETTI DIFFERITI IN TELAI PREFABBRICATI ASSEMBLATI MEDIANTE PRESOLLECITAZIONE

FRANCESCA GIUSSANI, Politecnico di Milano STEFANO KNISEL, Professionista in Bergamo

FRANCO MOLA, Politecnico di Milano

SUMMARY The time variation of the state of stress induced by prestressing, by staticactions, such as permanent and variable loads, and by geometric actions, inparticular concrete shrinkage, is studied, referring to precast frame structuresconnected by means of prestressing cables. The theoretical approach isdeveloped according to the Code prescriptions and it shows that prestressingloads vary in time in non-affine way due to the variation of the cable eccentricityalong the longitudinal beam axis. The results which can be obtained by means ofnumerical formulations show the great accuracy of the proposed method. Finally,a case study allows to discuss in detail the prerequisites of the proposedsolutions and to illustrate the better performances in terms of load carryingcapacity and of state of deformation which can be achieved by introducingprestressing cables which modify the pinned frame structure in a rigid frameone. 1. INTRODUZIONE Gli schemi statici usualmente adottati per la costruzione di ossature portantiformate da colonne, travi e solai prefabbricati prevedono la realizzazione divincoli di semplice appoggio o di cerniera a rotazione libera fra travi e colonne.Questo schema, seppur vantaggioso per la sua semplicità e rapidità esecutiva,comporta svariati inconvenienti fra i quali quelli di maggior rilievo riguardano lapiù elevata deformabilità delle travi, il loro più gravoso impegno statico, laminore capacità dell’insieme a sopportare azioni orizzontali, l’accresciutaimportanza degli effetti di secondo ordine nelle colonne a causa dei maggiorispostamenti laterali dei piani. Schemi statici capaci di assicurare la rigidità deinodi travicolonne, permettendo la trasmissione di sollecitazioni flessionali, sonoperaltro di difficile realizzazione allorché si adottino armature di continuità di tipoordinario e getti integrativi di calcestruzzo. Infatti tali schemi richiedonooperazioni laboriose e delicate per procedere alla posa in opera delle armatureaggiuntive e al getto di opportuni quantitativi di calcestruzzo ed esse riduconofortemente le prerogative tipiche delle strutture prefabbricate, dando luogo acostruzioni ibride i cui vantaggi risultano alquanto limitati se non addiritturainesistenti rispetto a strutture gettate in opera aventi caratteristiche simili. Unatecnica che si rivela invece assai efficace per assicurare la continuità strutturalefra travi e colonne consiste nell’utilizzo della presollecitazione, introdottamediante cavi scorrevoli all’interno delle travi e passanti attraverso le colonne. Inquesto modo risulta possibile realizzare la continuità flessionale mediante ilcontatto diretto delle sezioni di interfaccia fra travi e colonne, demandando latrasmissione delle reazioni verticali a mensole di collegamento in calcestruzzo,come avviene per le usuali strutture a telaio prefabbricate, o anche operandoattraverso l’attrito conseguente alla pressione esercitata dalla presollecitazione.La continuità dei cavi lungo l’intera travata suggerisce la forma del tracciato che,per meglio sfruttare gli effetti della eccentricità della forza di presollecitazione,assume andamento serpeggiante [01]. L’utilizzo della tecnica di presollecitazioneper assicurare la rigidità dei nodi richiede una attenta analisi del comportamentodifferito della struttura sia per quanto riguarda gli effetti connessi alle azioni

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applicate, sia soprattutto per gli effetti iperstatici indotti dalla presollecitazione, la cui variazione temporale dipende e dal quantitativo di armatura metallica presente nelle sezioni e dalla sua dislocazione. Nello stato di esercizio costituisce verifica essenziale il controllo della assenza di stati di trazione nelle sezioni di interfaccia fra trave e pilastro. Tale controllo è positivo allorché, per tutte le situazioni di carico e ad ogni tempo della vita di servizio della struttura, nelle sezioni di interfaccia non venga raggiunto il limite di decompressione, ovvero la eccentricità della forza normale agente in tali sezioni rimanga all’interno dell’intervallo delimitato dai noccioli di inerzia della sezione stessa. Questo tipo di controllo richiede una corretta valutazione della intensità della forza normale e del momento flettente che la accompagna: da qui la necessità di una analisi sufficientemente raffinata che permetta di prevedere la evoluzione dello stato tensionale e deformativo in una struttura in calcestruzzo fortemente ridondante e sottoposta a presollecitazione mediante tracciati di cavi in genere non concordanti che danno luogo a reazioni iperstatiche variabili nel tempo conseguenti alla variabilità temporale che caratterizza la forza di presollecitazione causata dal rilassamento del calcestruzzo. Un approccio generale al problema, seppure possibile, dovrebbe prendere in considerazione un elevato numero di fattori, la cui influenza risulta di importanza assai differente, cosicché, per potere rendere più agevole la trattazione, ottenendo peraltro risultati a favore di sicurezza, è senza dubbio conveniente effettuare una preventiva disamina della importanza che tali fattori hanno sul comportamento strutturale, trascurando quelli fra essi che risultano marginali e privi di significativa influenza sulle verifiche e i controlli che sono da effettuarsi nelle sezioni critiche. A tale riguardo si considerino dapprima le azioni applicate di tipo esterno, quali i carichi statici e le deformazioni impresse. La determinazione delle sollecitazioni indotte da queste azioni può convenientemente effettuarsi, peraltro in accordo a quanto indicato dai documenti normativi, considerando la struttura come reologicamente omogenea poiché gli stati di coazione indotti nelle sezioni trasversali dalla presenza della armatura di presollecitazione, la cui percentuale geometrica è moderata, non producono modifiche sensibili dei valori delle iperstatiche. Lo stesso modo di operare non è invece applicabile per la valutazione dello stato tensionale nelle sezioni trasversali ove l’ipotesi di omogeneità reologica impedirebbe la determinazione delle tensioni nelle armature metalliche. Vi è peraltro da osservare che i carichi applicati producono incrementi di tensione nelle armature di presollecitazione, esaltandone l’efficacia nel limitare o più strettamente nell’impedire l’insorgenza di trazioni nel calcestruzzo. Al contrario, il ritiro del calcestruzzo riduce la tensione nella armatura di presollecitazione, diminuendone l’efficacia. Si deve comunque osservare che, a causa del modesto quantitativo di armatura presente nelle sezioni, le variazioni tensionali nelle armature di presollecitazione prodotte dalle azioni permanenti e dal ritiro sono dell’ordine di qualche unità percentuale rispetto alle tensioni in esse introdotte dalla presollecitazione, cosicché esse possono essere, in linea di principio, trascurate. Tuttavia, considerando che l’effetto dei carichi esterni è favorevole e quello del ritiro è sfavorevole, è conveniente, operando a favore di sicurezza, trascurare il primo dei due effetti, tenendo invece conto dell’influenza esercitata dal ritiro. Considerazioni specifiche merita la presollecitazione. Infatti, a causa del rilassamento del calcestruzzo, lo stato di presollecitazione diminuisce nel tempo e tale diminuzione dipende, oltre che dall’entità delle deformazioni viscose, dal quantitativo di armatura presente nelle sezioni trasversali e dalla sua dislocazione. A causa della iperstaticità strutturale, lo stato tensionale nelle armature viene, in linea di principio, a dipendere dai valori assunti dalle reazioni iperstatiche. Tuttavia, poiché gli effetti di queste, a livello sezionale, possono assumersi della stessa natura di quelli prodotti dai carichi esterni, risulta possibile, come fatto per questi, trascurarne l’effetto sulla tensione nelle armature. Ciò comporta l’ipotesi di assenza di interazione fra i valori di presollecitazione esistente nelle sezioni trasversali e quelli delle azioni iperstatiche da essa indotte. Ne deriva che, accettando questa ipotesi, risulta possibile la determinazione della forza agente nei cavi di presollecitazione operando solamente analisi sezionali, valutando


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successivamente le reazioni iperstatiche indotte dalla presollecitazione, assumendo la struttura reologicamente omogenea. Vi è infine da osservare che, a causa del tracciato curvo dei cavi, la loro eccentricità risulta variabile con l’ascissa longitudinale e pertanto la variazione temporale del loro stato di tensione è variabile lungo l’asse della trave. Ne consegue che il carico esterno equivalente alla presollecitazione, definito in assenza di attrito dalla seconda derivata lungo l’ascissa del prodotto della forza normale per l’eccentricità del cavo, risulta variabile nel tempo e lungo l’ascissa e non mantiene distribuzione longitudinale affine a quella iniziale. Questa variabilità si riflette sul valore assunto dalle azioni iperstatiche poiché tale valore, da calcolarsi considerando la struttura come omogenea, dipende dalla distribuzione del carico equivalente alla presollecitazione che risulta variabile lungo l’ascissa in maniera differente di quanto non accada all’istante iniziale. Ne risulta che lo stato di sollecitazione nella trave varia nel tempo in intensità e distribuzione, cosicché il suo studio deve essere accurato, dipendendo lo stato limite di decompressione nelle sezioni critiche da tale variazione. Stabilite così le ipotesi di base sulle quali risulta possibile una valutazione sufficientemente accurata della sicurezza delle sezioni di interfaccia fra due elementi assemblati nei riguardi dello stato limite di decompressione, qualche precisazione deve effettuarsi circa gli algoritmi risolutivi delle equazioni risolventi e le caratteristiche dei modelli reologici assunti. Per quanto riguarda questi ultimi, appare conveniente rifarsi a formulazioni di tipo generale quale quella indicata nel Codice Modello CEB MC90 [02], mentre la variazione generalmente contenuta dello stato tensionale nelle armature indotto dalla presollecitazione ne permette la valutazione sulla base di algoritmi semplificati, senza ricorrere al laborioso armamentario numerico che deve in linea di principio adottarsi per la risoluzione delle equazioni o dei sistemi di equazioni integrali che governano la risposta di strutture formate da materiale viscoelastico lineare. In particolare la formulazione esplicita, espressa in forma pseudolineare, che definisce la legge sforzi-deformazioni raccomandata dall’Eurocodice 2 [03], appare affidabile. 2. L’ANALISI A LUNGO TERMINE DI TELAI PREFABBRICATI ASSEMBLATI MEDIANTE PRESOLLECITAZIONE Il problema, oggetto delle analisi svolte, è schematicamente rappresentato in Figura 1. Si tratta di un telaio prefabbricato costituito da colonne passanti (1) aventi mensole di calcestruzzo (4) per l’appoggio delle travi (2). Tali telai, come mostrato in Figura 2, sostengono i solai (5) resi continui mediante un getto collaborante (6).

Figura 1. Schema strutturale


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Figura 2. Dettaglio dei solai

Lo schema statico del telaio, in assenza dei cavi di presollecitazione (3), è quello classico di Figura 3, mentre, in presenza di presollecitazione, lo schema diviene quello di telaio a nodi rigidi di Figura 4, purché nelle sezioni di interfaccia fra travi e colonne non si raggiunga lo stato limite di decompressione. Allo scopo di valutare l’evoluzione dello stato tensionale e deformativo della struttura di Figura 4, in accordo alle precisazioni svolte, si pongono le seguenti ipotesi: - non sussistano interazioni di tipo statico fra le azioni iperstatiche e la forza agente nei cavi di presollecitazione; - la variazione di tensione nei cavi di presollecitazione prodotta dai carichi esterni sia trascurabile; - il carico equivalente alla presollecitazione sia valutato prescindendo dall’attrito esistente tra cavo e guaina; - il comportamento meccanico del calcestruzzo sia descrivibile mediante modelli viscoelastici lineari e sia applicabile il principio di sovrapposizione di Mc Henry [04]; - la struttura possa considerarsi reologicamente omogenea.

Figura 3. Schema a nodi cerniera

Figura 4. Schema a nodi rigidi

Le ipotesi poste permettono l’immediata valutazione degli stati sollecitativi prodotti dalle azioni statiche sia permanenti che variabili. Infatti la supposta omogeneità reologica della struttura consente la applicazione dei teoremi della viscoelasticità lineare che, in questo caso, assicurano la coincidenza degli stati sollecitativi ricercati con quelli determinabili attraverso una analisi elastica della


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struttura. Per quanto riguarda gli spostamenti, quelli prodotti dalle azioni aventi carattere permanente, supposte costanti nel tempo, vengono incrementati in maniera affine ai corrispondenti di carattere elastico, attraverso il fattore 1+ϕ(t,t0), essendo ϕ(t,t0) il coefficiente di viscosità, t il tempo di misura degli

spostamenti e t0 il tempo di applicazione delle azioni. Gli spostamenti prodotti

dalle azioni variabili sono invece di tipo puramente elastico e la loro valutazione è da effettuarsi con riferimento al valore raggiunto dal modulo elastico del materiale all’istante di applicazione del carico.

Figura 5. Tracciato dei cavi scorrevoli

Figura 6. Deformazioni sezionali

Per la valutazione degli effetti associati alla presollecitazione e al ritiro, si consideri la Figura 5 e, detta Ni la forza presente nel cavo al tempo t e

Hi=Nicosα la sua componente orizzontale costante in assenza di attrito lungo

l’ascissa z, si indichino, come riportato in Figura 6, con εc0i, εs0i, εci, εci, le

deformazioni relative fra l’i-esimo cavo e la corrispondente fibra di calcestruzzo esistenti al tempo iniziale t0 di applicazione della forza di presollecitazione e al

tempo t. Si indichi inoltre con εsh(t) la deformazione di ritiro del calcestruzzo. La

congruenza fra il cavo e la fibra di calcestruzzo adiacente si scrive εci + εsi + εsh = εc0i + εs0i (i = 1, 2, …, n) (1)

essendo n il numero di cavi presenti nella sezione. Assumendo per il calcestruzzo un comportamento visco-elastico lineare e per l’acciaio un comportamento elastico lineare, la (1) può scriversi nella seguente forma

(2)

essendo rispettivamente ed le matrici di flessibilità della sezione di calcestruzzo e del complesso dei cavi di presollecitazione. Indicando

rispettivamente con , i vettori delle componenti lungo l’asse della trave delle forze nei cavi conseguenti alla presollecitazione e al ritiro, e con

il vettore iniziale delle componenti assiali delle forze di presollecitazione, l’applicazione alla (2) della formulazione pseudo-elastica raccomandata in [02], nella forma stabilita in [05], conduce a scrivere

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)


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(8) avendo indicato con εsh(t) il vettore a n righe avente le componenti fra loro

uguali e pari a εsh(t) e con ϕ, ρ rispettivamente i coefficienti di viscosita e

rilassamento del calcestruzzo.

Figura 7. Carico equivalente alla presollecitazione

Il momento flettente generato dalle forze di presollecitazione vale pertanto

(9) cosicché il carico equivalente alla presollecitazione dell’i-esimo cavo risulta dall’insieme del carico distribuito qPi(z,t) e dalla forza concentrata QPi(zPi,t)

applicata all’ascissa zPi della sezione di ancoraggio del cavo e diretta secondo la

tangente al cavo stesso. Con riferimento alla Figura 7, per le azioni qP(z,t), QP(t)

totali si scrive

(10) o anche, trasportando le forze QPi(zPi,t) nel baricentro G delle sezioni trasversali,

alla forza QP(t) totale possono sostituirsi le tre componenti

(11) E’ interessante notare che, all’istante iniziale, la (10) fornisce le seguenti

espressioni per il carico equivalente (12)

cosicché, essendo le costanti con z, i sistemi qP, QP variano nel tempo lungo l’ascissa z in maniera non affine e le azioni iperstatiche dovute alla presollecitazione presentano una variazione temporale dipendente dalla eccentricità e dalla quantità d’armatura presenti in ogni sezione della trave. Riguardo al ritiro, si osservi che in ogni sezione della trave le forze agenti nel cavo generano le seguenti componenti di sollecitazione nel calcestruzzo


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(13) cosicché lo stato di deformazione totale della sezione, rappresentato dalla deformazione baricentrica e dalla curvatura, in accordo alla formulazione pseudo-elastica si scrivono

(14) o anche, introdotta la matrice

(15) per la (7) le (14) assumono la forma

(16) con rg, h raggio giratore di inerzia e altezza della sezione. L’ipotesi di mancanza

di interazione fra le azioni iperstatiche e le forze agenti nei cavi permette, una volta determinati i carichi equivalenti alla presollecitazione mediante le (10) e le deformazioni totali dovute al ritiro mediante le (16), di procedere alle analisi strutturali da compiersi sulla struttura considerata reologicamente omogenea, alla quale vengono applicati quali carichi esterni le azioni (10) e quali distorsioni impresse le deformazioni totali (16). Prima di procedere alla analisi strutturale è interessante osservare che alle (5)÷(8), (10), (16) può darsi una forma particolarmente suggestiva introducendo la matrice di accoppiamento

(17)

e le relative matrici modale e spettrale . L’applicazione dei concetti dell’algebra lineare portano immediatamente a

scrivere per i vettori , le seguenti espressioni (18) essendo

(19) cosicche le (10), (16), in virtu delle (3), (4), assumono la forma

(20)


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(21) Le (20), (21), nel caso particolare di un solo cavo agente nella sezione, indicato

con ω11(z) l’unico autovalore della matrice , che qui si riduce al suo unico

termine D11(z)=ω11(z), forniscono le piu semplici espressioni

(22)

(23) ed e facile ricavare per ω11(z), c(z) le note espressioni, [06]

(24)

essendo . E’ importante osservare che le (20), (22) risultano in genere funzioni alquanto complesse della variabile z, cosicche nelle applicazioni pratiche risulta utile, per il calcolo della funzione qp(z,t), esprimere le derivate secondo z mediante il

metodo delle differenze finite. Gli effetti strutturali prodotti dalle azioni permanenti g, da quelle variabili q, dalla presollecitazione e dal ritiro si valutano, come precedentemente indicato, applicando tali azioni alla struttura considerata reologicamente omogenea. Questa ipotesi comporta pertantol’applicabilità dei teoremi fondamentali della

viscoelasticità lineare [07]. Precisamente, indicando con (z,t) il vettore di sollecitazione in una generica sezione, avente per componenti la forza assiale N(z,t), la forza di taglio V(z,t) ed il momento flettente M(z,t), e con s(z,t) lo spostamento di un punto dell’asse della struttura, avente qualsivoglia direzione, alla luce di tali teoremi può stabilirsi quanto segue: Azioni permanenti (g)

g(z)= g,e(z)

sg(z,t)=sg,e(z,t0)(1+ϕ) (25)

essendo g,e, sg,e lo stato di sollecitazione e lo spostamento calcolati assumendo

per la struttura un comportamento elastico lineare con modulo Ec(t0) valutato

all’istante di applicazione del carico g. Azioni variabili (q)

q(z)= q,e(z)

sq(z,t)=sq,e(z,tq) (26)

essendo q,e(z), sq,e(z,tq) lo stato di sollecitazione e lo spostamento determinati

in campo elastico lineare con modulo Ec(tq) valutato all’istante di applicazione

del carico q.


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Presollecitazione (P)

P(z,t)= P,e(z,t)

(27)

essendo P,e(z,t) lo stato di sollecitazione calcolato in campo elastico, prodotto

dal carico equivalente fornito dalle (20), sP,e(z,t), sP0,e(z,tP) gli spostamenti

valutati in campo elastico con modulo Ec(tP) relativo all’istante tP di applicazione

della presollecitazione, rispettivamente conseguenti alla applicazione dei carichi equivalenti qP(z,t), QP(t) e qP(z,tP), QP(tP).

Ritiro (sh)

sh(z,t)= sh,e(z,t)/ν

ssh(z,t)=ssh,e(z,t) (28)

essendo sh,e(z,t), ssh,e(z,t) lo stato di sollecitazione e lo spostamento totale,

calcolati in campo elastico lineare con modulo Ec(tsh), essendo tsh il tempo da cui

si contano gli effetti del ritiro, associati alla applicazione delle deformazioni impresse fornite dalle (21). La applicazione delle (20), (21) e delle (25) ÷(27) consente di risolvere il problema in maniera sufficientemente approssimata e in accordo alle indicazioni espresse in [03] e di procedere alla misura della sicurezza nei confronti dello stato limite di decompressione nelle sezioni critiche. Nel prosieguo la formulazione ora discussa viene applicata ad un telaio prefabbricato tipico della pratica corrente. 3. APPLICAZIONE AD UN CASO REALE Viene studiato il telaio di Figura 8, i cui dettagli costruttivi sono illustrati in Figura 9. Le azioni applicate alla trave superiore (1) e a quella inferiore (2) valgono g1 = 5.4 t/m q1 = 1.6 t/m

g2 = 8.0 t/m q2 = 3.0 t/m

Figura 8. Telaio – profilo longitudinale


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Figura 9. Sezioni trasversali

Al telaio sono inoltre applicate le forze orizzontali F1=8 t, F2=10 t,

rispettivamente agenti in sommità e al piano intermedio. La tensione di tesatura σpi dei cavi di presollecitazione vale 13.5 t/cm2. Il comportamento reologico del

calcestruzzo è descritto in accordo al modello CEBMC90, per calcestruzzo con resistenza caratteristica cilindrica fck=45 MPa. Gli spessori nozionali delle travi e

delle colonne risultano rispettivamente pari a 357.6 mm e a 272.7 mm, mentre i rapporti geometrici di armatura per la trave superiore ed inferiore risultano ρs1=3.53‰ e ρs2=5.65‰. Essendo i cavi disposti nelle travi affiancati con

tracciati di identica forma di cui le parti laterali sono definite da funzioni paraboliche e la parte centrale da funzioni cubiche, la tensione nei cavi risulta la medesima ed è possibile rifarsi al cavo risultante, riducendo il problema, governato dalle (20), (21), al caso monoassiale, definito dalle (22), (23).

Figura 10. Autovalore w11(z)

Figura 11. Confronto dei metodi esatto ed algebrico

Nella Figura 10 sono riportati gli andamenti dell’autovalore ω11(z) per le due

travi. La variabilità con z, che appare ben evidente, dipende dalla variazione dell’eccentricità del cavo ed è simile per le due travi, per le quali i tracciati dei cavi hanno andamento definito da curve della stessa classe. Si osservano valori inferiori di ω11(z) nella trave superiore a causa del minore quantitativo di

armatura metallica in essa presente. Ne deriva che la riduzione della forza di presollecitazione nella trave superiore operata dal rilassamento del calcestruzzo risulta minore di quella che si manifesta nella trave inferiore. Relativamente a questa trave, nella Figura 11 è mostrato, al tempo finale, l’andamento del


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rapporto HP(z,t= )/HP0, valutato attraverso la (3) e la (6), oppure, in forma

esatta, risolvendo la (2) per εsh=0. Nel primo caso si ha la soluzione

approssimata

(29) mentre la soluzione esatta deriva dall’espressione

(30) ove R*(z,t= ,tP) rappresenta la Funzione di Rilassamento Ridotta [08],

soluzione della equazione integrale

(31) Si osserva anche qui una sensibile variabilità con z della variazione nel tempo della forza di presollecitazione, caratterizzata da un andamento opposto a quello dell’autovalore ω11(z) poiché un incremento di quest’ultimo dà luogo ad un

decremento della forza residua di presollecitazione al tempo finale. La soluzione esatta mostra una variazione con z praticamente sovrapponibile a quella approssimata e fornisce valori di forza di presollecitazione residua maggiori di quelli previsti dalla soluzione approssimata. Nondimeno le due soluzioni non superano le due unità percentuali, dimostrando l’ottimo livello di approssimazione del procedimento proposto che opera inoltre a favore di sicurezza.

Figura 12. Carichi equivalenti alla presollecitazione a t=t0

Figura 13. Carichi equivalenti alla presollecitazione a t=t

La Figura 12 e la Figura 13 illustrano per le travi superiore ed inferiore la distribuzione dei sistemi dei carichi equivalenti alla presollecitazione. Al tempo iniziale t0, l’avere trascurato la presenza dell’attrito fa sì che, come si rileva dalla

Figura 12, la componente assiale HP0 della forza di presollecitazione si mantenga

costante con z ed il carico equivalente risulti proporzionale alla derivata seconda


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con z, cambiata di segno, della funzione che definisce l’eccentricità del cavo. Poiché nei tratti A-B il cavo ha forma parabolica e nel tratto B-B tale forma è invece definita da una funzione cubica di z, all’istante iniziale il cavo applica alla trave un carico di sostentamento uniforme nei tratti A-B avente segno opposto ai carichi esterni, ed un carico lineare nei tratti B-B dello stesso segno dei carichi esterni. A tempo finale l’applicazione delle (22) dà luogo al sistema trasformato dei carichi equivalenti mostrato in Figura 13. A causa della variazione dell’eccentricità del cavo, il carico equivalente nella zona A-B cessa di essere uniforme e lo stesso accade nel tratto B-B ove l’iniziale andamento lineare è sostituito da una distribuzione pressoché uniforme. Si osserva inoltre una marcata riduzione del carico equivalente nelle zone di ancoraggio esterno dei cavi di presollecitazione. Per quanto riguarda la riduzione delle azioni concentrate agli estremi, questa non supera il 10÷11% e tale percentuale di riduzione si osserva anche nei carichi equivalenti distribuiti allorché ci si riferisca al confronto fra i valori medi assunti agli estremi degli intervalli A-B e B-B.

Figura 14. Diagrammi dei momenti flettenti nella trave inferiore

Figura 15. Diagrammi dei momenti flettenti nella trave superiore

Le sollecitazioni flettenti nelle travi sono riportate in Figura 14, Figura 15. All’istante iniziale sono presenti solo il carico permanente g e la presollecitazione rappresentata dal carico equivalente associato ad HP0 ed il momento risultante è

pressoché nullo in corrispondenza della sezione di interfaccia con la colonna centrale. Al tempo finale sono da aggiungere gli effetti del ritiro e quelli dei carichi variabili di cui sono riportati i diagrammi inviluppo dei massimi e minimi momenti. Il momento di presollecitazione associato al sistema di carico (qP(z,t),

QP(t)) si riduce rispetto a quello iniziale in maniera non affine a causa della

differente distribuzione del carico equivalente. Precisamente si osserva una riduzione del momento di presollecitazione dell’ordine del 15% nella mezzeria delle campate, di circa il 30%, in corrispondenza alla colonna centrale e di quasi il 20% in corrispondenza a quelle laterali.


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Figura 16. Effetti del ritiro sul carico equivalente alla presollecitazione

Nella Figura 16 è rappresentato, in termini di carico equivalente, l’effetto del ritiro. Si osservi che tale effetto genera carichi equivalenti di segno opposto a quelli associati alla presollecitazione, cosicché il trascurarli conduce a risultati a sfavore di sicurezza. L’influenza del ritiro si mostra assai contenuta, come meglio si nota nella Figura 17, ove le corrispondenti sollecitazioni flessionali sono riportate singolarmente o cumulate con quelle indotte dalla presollecitazione. Appare qui evidente la riduzione operata dal ritiro sullo stato di sollecitazione indotto dalla pretensione dei cavi.

Figura 17. Momenti flettenti prodotti dalla presollecitazione

Figura 18. Diagramma dei momenti flettenti

I risultati delle analisi flessionali sono infine riportati, per l’intero telaio, nella Figura 18, mentre la Figura 19 riassume, per le due travi, relativamente alle loro condizioni di carico iniziale e finale cui si aggiungono i carichi variabili ed il ritiro, la misura della sicurezza allo stato limite di decompressione. Nella figura sono infatti riportate le eccentricità degli estremi di nocciolo superiore (ens) ed

inferiore (eni), aventi valore costante, e le eccentricità e(z,t)=M(z,t)/N(z,t) della


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forza assiale applicata alle sezioni agli istanti iniziale e finale. Nel calcolo di N per la misura della sicurezza si è introdotto l’effetto dell’attrito onde massimizzare l’eccentricità e(z,t). I diagrammi iniziali e quelli inviluppo finali si riferiscono alla luce netta delle travi, misurata al filo interno delle colonne, poiché in tali zone è significativa la misura della sicurezza allo stato limite di decompressione. Essa, nel modo rappresentato in Figura 19, acquista significato decisivo nelle sezioni di interfaccia fra travi e colonne (linee a, b) ove non si possono ammettere sforzi di trazione che condurrebbero alla parzializzazione della unione attraverso il distacco delle superfici a contatto, mentre nelle sezioni di campata, a causa della monoliticità della trave, possono accettarsi stati di trazione nel calcestruzzo, estendendo l’intervallo di eccentricità a quello relativo alle eccentricità dei punti limite, dipendenti dalla tensione di trazione ammessa in esercizio. Nel caso in esame, relativamente alla trave inferiore, ove le sollecitazioni sono maggiori, si osserva all’istante iniziale il pressoché totale sfruttamento della sezione di interfaccia laterale, lungo la linea (a), mentre situazione analoga si manifesta nella sezione centrale, lungo la linea (b), al tempo finale. A tale tempo, la situazione nella sezione laterale migliora leggermente, cosicché la sezione che governa lo stato limite di decompressione appare quella centrale. Riguardo la trave superiore, avente sezione identica a quella inferiore ma sollecitazioni nettamente più ridotte, risulta più agevole soddisfare la misura della sicurezza che, come chiaramente si osserva, è associata ai più ridotti valori della eccentricità della forza normale.

Figura 19. Diagramma delle eccentricità

L’analisi deformativa delle travi è illustrata nella Figura 20 e nella Figura 21. All’istante iniziale si osserva una leggera prevalenza della presollecitazione sul carico permanente, con valori di spostamento non nulli in corrispondenza agli appoggi di estremità a causa della deformabilità elastica di tipo assiale della colonna. Al tempo finale, in accordo alla (25), gli spostamenti del carico permanente si incrementano in maniera affine del fattore (1+ϕ), mentre quelli dovuti alla presollecitazione non presentano incremento affine a causa della variazione di forma che subisce nel tempo il carico equivalente. Inoltre, la riduzione nel tempo che subisce la forza di presollecitazione fa sì che gli incrementi deformativi dovuti a tale azione si mantengano al di sotto del fattore amplificativo (1+.). Molto contenuti appaiono gli spostamenti, esclusivamente di natura elastica, dovuti al carico variabile, valutati applicando la seconda delle (26)


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Figura 20. Spostamenti della trave inferiore

E’ significativo infine osservare che la notevole rigidità flessionale della trave riduce fortemente gli spostamenti trasversali ad essa associabili che, come può dedursi dai loro diagrammi inviluppo al tempo finale, ottenibili da quelli a tratto pieno della Figura 20 e della Figura 21 depurati dagli spostamenti verticali delle colonne, non superano i 3 mm. Assume pertanto importanza decisiva, nella definizione degli spostamenti totali, riferiti alla configurazione orizzontale indeformata, l’abbassamento delle colonne provocato dal ritiro. Con riferimento alla trave superiore, tale abbassamento, trascurando gli effetti iperstatici indotti dal ritiro, è ovviamente doppio rispetto alla trave inferiore, stante la medesima altezza degli interpiani. Ne consegue, nella trave superiore, un maggiore incremento degli spostamenti negativi dovuto al movimento delle sezioni di appoggio.

Figura 21. Spostamenti della trave superiore

L’efficienza della configurazione a nodi rigidi del telaio studiato è ben evidenziata dai diagrammi di spostamento trasversale delle colonne nei due casi di telaio a nodi rigidi e telaio a nodi cerniera, riportato in Figura 22. Si osserva che lo spostamento massimo trasversale del telaio a nodi rigidi è pari a circa il 36% di quello del telaio a nodi cerniera, conseguenza della distribuzione verticale degli spostamenti laterali che appare connessa ad una deformazione governata dalla forza di taglio rispetto a quella di mensola, propria del telaio a nodi cerniera, associata ad una deformazione di tipo flessionale.


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Figura 22. Spostamenti laterali delle colonne

Questo comportamento è assai favorevole perché permette di ridurre lo spostamento relativo rigido di piano a circa il 23% di quello proprio del telaio a nodi cerniera, passando da circa Δv/h=1/250 per il telaio a nodi cerniera a circa Δv/h=1/1100 per il telaio a nodi rigidi. 4. CONCLUSIONI L’utilizzo dei cavi scorrevoli di presollecitazione si dimostra tecnica promettente ed efficace per migliorare il regime statico e deformativo di telai prefabbricati. Infatti la possibilità di assicurare la continuità meccanica nelle sezioni di interfaccia fra travi e colonne limita fortemente l’entità degli spostamenti trasversali dei telai permettendo un dimensionamento più restrittivo delle colonne e consentendo di garantire la stabilità laterale del complesso, anche in presenza di edifici multipiano, solo per mezzo della capacità resistente alle azioni orizzontali che i telai, grazie a questa tecnica costruttiva, possono acquisire. Risulta così possibile evitare di dovere progettare elementi strutturali demandati ad assorbire le azioni orizzontali, come è invece obbligatorio prevedere allorché si utilizzino telai con nodi a cerniera, che sempre richiedono la presenza di adeguate strutture di controventatura. Peraltro, il potere disporre di telai a nodi rigidi, permette di acquisire in fase progettuale significative valenze migliorative, impiegando tali strutture in maniera sinergica con altri elementi controventanti, soprattutto con l’obiettivo di poter rendere più efficiente la disposizioneplanimetrica delle strutture taglio-resistenti, riducendo il più possibile le irregolarità strutturali che sono fortemente negative nei riguardi di un corretto funzionamento del complesso. Poiché l’efficacia del collegamento rigido nelle sezioni di interfaccia è demandata alla presollecitazione ivi agente, una analisi accurata della sua variazione temporale diviene obbligatoria. A questo proposito, tutte le cause che possono portare ad una differente distribuzione degli effetti della presollecitazione devono essere indagati con sufficiente accuratezza. In particolare la variabilità lungo l’asse della eccentricità dei cavi che genera una variazione non affine della distribuzione del carico equivalente alla presollecitazione deve essere oggetto di attenta disamina. L’indagine svolta ha mostrato che l’effetto connesso alla eccentricità variabile dei cavi può avere influenza significativa nella verifica allo stato limite di decompressione nelle sezioni di interfaccia cosicché tale effetto deve essere debitamente tenuto in conto attraverso formulazioni sufficientemente approssimate e operanti a favore di sicurezza. La proposta discussa nel presente lavoro, oltre alle due fondamentali prerogative di precisione e conservatività, presenta l’innegabile vantaggio di essere in sintonia con quanto proposto dagli attuali Codici di misura della sicurezza e di richiedere analisi sezionali e strutturali basate su algoritmi propri della meccanica elastica lineare, ben noti ai progettisti e facilmente effettuabili ricorrendo direttamente a programmi di calcolo automatico di usuale utilizzo. Il procedimento descritto, tipico della fase di esercizio, costituisce un primo basilare approccio al problema, attualmente oggetto di sviluppo all’interno


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di un campo di ricerca più vasto, orientato alla analisi di sistemi complessi quali telai fra loro collaboranti o anche utilizzati in associazione con altri elementi controventanti. L’altro aspetto fondamentale, associato alla valutazione della capacità portante ultima dei telai assemblati e alla modellazione del comportamento delle sezioni di interfaccia dopo che si è manifestata la loro parzializzazione, è anch’esso attualmente oggetto di indagine accurata per potere sfruttare pienamente le prerogative di efficienza statica e di versatilità che queste tipologie strutturali possono garantire. 5. BIBLIOGRAFIA [01] LIN, T. Y., BURNS, N. H., Design of Prestressed Concrete Structures, J. Wiley & Sons, New York, 1982. [02] CEB/FIP, Model Code 1990, Design Code, Thomas Telford, London, 1993. [03] EUROCODE 2, Part 1, General Rules and Rules for Buildings, ENV 1992-1-1, 1992. [04] Mc HENRY, D., A New Aspect of Creep in Concrete and its Applications to Design, Proc. ASTM, 1069-1087, 1943. [05] MOLA, F., GATTI, M., Long Term Analysis of Prestressed Continuous Composite Steel-Concrete Members, Proc. of Struct. Eng. World Congress, SEWC, S. Francisco, USA, 1998. [06] MOLA, F., Long Term Analysis of R.C. and P.C Structures according to Eurocode 2, Int. ECSN Symp. European Concrete Standards in Practice, Copenhagen, 1997. [07] MOLA, F., Gli Effetti della Viscosità nei Ponti a Travata Continua. Evoluzione degli Schemi Strutturali, Atti del Corso di Aggiornamento sui Ponti e Viadotti, Politecnico di Milano, 1999, Pitagora ed., Bologna, 2000. [08] MOLA, F., The Reduced Relaxation Functions Method: an Innovative Approach to Creep Analysis of non- Homogeneous Structures, Proc. of Int. Conf. on Concrete and Structures, Hong Kong, 1993.

Contatti con gli autori: Francesca Giussani: [email protected] Stefano Knisel: [email protected] Franco Mola: [email protected]


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effetti differiti in telai prefabbricati assemblati ... · franco mola, politecnico di milano...

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