eindhoven university of technology master alternatieve ...samenvatting voor het meten van...

Eindhoven University of Technology

MASTER

Alternatieve methoden voor het meten van akoestische eigenschappen van materialen

Bastiaensen, R.A.A.M.

Award date:1995

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

https://research.tue.nl/nl/studentthesis/alternatieve-methoden-voor-het-meten-van-akoestische-eigenschappen-van-materialen(ff3a15eb-7248-4a37-be38-27a5870936ef).html

ALTERNATIEVE METHODEN VOOR HET METEN VAN AKOESTISCHE EIGENSCHAPPEN VAN MATERIALEN

R.A.A.M. Bastiaensen

WFW-report: 95.146

Afstudeerhoogleraar: Prof. Dr. Ir. J.W. Verheij Coach: Dr. Ir. G. Verbeek

Eindhoven, oktober 1995

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwkunde Vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

1.1 Achtergronden en doel van de opdracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Probleemstelling en aanpak onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Opbouw van het verslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Basis theorie 3

2.1 De golfvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Vlakkegolven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Akoestische eigenschappen van materialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4.1 Werking SWR-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.2 Nauwkeurigheid van de methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.3 Discussie SWR-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 SWR-methode ter bepaling van de akoestische eigenschappen van materialen . a . . 5

3 Alternatieve methoden ter bepaling van akoestische eigenschappen 9

3.1 Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Meetmethoden met brede frequentieband excitatie en vaste microfoons . . . . . . . . 10 3.2.1 Twee-microfoons-methode Chung en Blaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 Eén-microfoon-methode van Fahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.3 Literatuur over nauwkeurigheid van de methoden . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Foutenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.1 De conditie van het algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.2 De fout in de inputdata in matrix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.4 De fout in de impedantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Analyse van de gewenste meetopstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.3 De fout in de inputdata in vector b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Experimenten 22

1

4.1

4.2

Meetopstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Metingen bij volkomen hard monster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.1 Metingen bij hogere frequenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.2 Metingen bij lage frequentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Metingen bij monster willekeurig materiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3

5 Conclusies 29

A Berekening relatieve fout in matrix A 32

B Doorwerking van meetfouten in de overdrachtsfunktie 34

C Meetfout ten gevolge van de eindige diameter van de microfoon 36

D Bepaling van de relatieve fout in de impedantie. 38

E Numerieke simulaties 40

E.l Simulaties bij reflectiecoëfficiënt R=l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . 41

E.2 Simulaties bij reflectiecoëfficiënt R=-l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

E.3 Simulaties bij reflectiecoëfficiënt R = 0.5ejo.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

E.4 Simulaties bij reflectiecoëfficiënt R = 0.lejO.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

E.5 Conclusies uit simulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

F Matlab-programma voor data-verwerking 46

.. 11

Samenvatting

Voor het meten van akoestische eigenschappen van relatief kleine monsters is lange tijd veelal gebruik gemaakt van de Standing Wave Ratio methode. Uit literatuur onderzoek is gebleken dat er nieuwe methoden zijn die ten opzichte van de SWR-methode een aantal voordelen bieden. Om zo’n methode in gebruik te nemen is het gewenst dat er meer bekend is van de methode over bijvoorbeeld de nauwkeurigheid, de reproduceerbaarheid en het toepasbare freqiientiemeetgebied. De doelstelling van dit onderzoek is het zoveel mogelijk verkrijgen van inzicht in één of meer van deze nieuwe methode(n). Hieruit zal moeten blijken hoe voordelig deze nieuwe methode is ten opzichte van de SWR-methode. Deze doelstelling wordt als volgt bereikt: Eerst wordt er door middel van een literatuuronderzoek nagegaan welke meetmethode(n) de meeste voordelen biedt (bieden). Hieruit zijn twee aan elkaar verwante methoden geselecteerd, te weten de één-microfoon-methode van Fahy en de twee-microfoons-methode van Chung en Blaser. Door middel van een systematische foutenanalyse wordt de maximale fout in de te meten akoestische grootheden bepaald als funktie van de fouten in de inputdata. Om de fout beperkt te houden moet de afstand tussen de twee microfoonposities aangepast moeten worden aan het gewenste frequentiemeetbereik. Dit ten behoeve van een goede conditionering van de berekeningen. In da t geval blijkt een nauwkeurigheid haalbaar met een maximale fout van 10% in de te meten akoestische grootheden. Wezenlijke verschillen tussen de één-microfoon-techniek en de twee-microfoons-techniek zijn theoretisch niet gevonden. Vervolgens zijn de meetmethoden getoetst door middel van experimenten met een volkomen hard monster, waarvan de akoestische eigenschappen bekend zijn. De optredende fouten zijn vergeleken met geschatte fouten uit de foutenanalyse, waarbij gebleken is da t de fouten in de experimenten (2.. 3 %) binnen de grenzen van de geschatte maximale fouten (5..10 %) lagen. Het geluidsfrequentiegebied waarin de metingen verricht zijn is vanaf 50 Hz tot 2500 Hz. Doordat bij de één-microfoon-methode de gewenste frequentieresponsiefunktie tussen de micro- foonsposities in twee stappen bepaald moet worden, is de fout hierin groter dan bij de twee- microfoonsmethode. Dit is met name van invloed bij kleine faseverschillen tussen de twee micro- foonssignalen. Door het toepassen van meer middelingen bij de metingen kan deze fout gereduceerd worden. De conclusie uit het onderzoek is dat de één-microfoon-methode en de twee-microfoons methode beiden met succes toegepast kunnen worden als alternatief voor de SWR-methode. Eén van de belangrijkste voordelen hierbij is de verkorting van de meettijd door gebruikmaking van metingen met een brede band van frequenties in plaats van metingen met één enkele frequentie. Tevens wordt door de (veel) kleinere frequentiestap het verloop van de akoestische grootheden completer weergegeven in het frequentiedomein. Tenslotte zijn de vereiste afmetingen van het meetsysteem aanzienlijk kleiner wat handig is bij laag-frequente metingen.

... 111

Lijst

A - b P C

CO

cb

C A

d D A f f f c

H12 5 c 1 L x m P Pl p 2

p+ P- R Po

S t T

S

e V W

X

X 2

z -

met gebruikte symbolen

gedefinieerde matrix bij &/twee-microfoonsmethode; vector met gemeten drukken Pi en P2;

wandabsorptiecoëfficiënt [-I; geiuidssneiheid in [m/s] ; geluidssnelheid bij T=O"C in [m/s]; conditiegetal geldig voor matrix A; conditiegetal geldig voor vector b; diameter van diafragma van condensatormicrofoon [m]; diameter van de impedantiebuis [m]; frequentiestap bij FFT-transformatie [Hz] ; geluidsfrequentie [Hz]; cutoff-frequentie [Hz]; frequentieresponsfunktie tussen kanaal 1 en 2; golfgetal van akoestische golf [m-'1; genormaliseerde impedantie [-I; afstand monster-microfoon [m]; buislengte [m]; golflengte van akoestische golf [m]; afstand luidspreker-microfoon [m] ; akoestische druk als funktie van plaats en tijd [Pa]; complexe akoestische druk als funktie van plaats bij microfoon 1 [Pa]; complexe akoestische druk als funktie van plaats bij microfoon 2 [Pa]; complexe akoestische druk van de invallende golf [Pa]; complexe akoestische druk van de gereflecteerde golf [Pa]; complexe reflectiecoëfficiënt [-I; dichtheid van de lucht [kg/m3]; afstand tussen de microfoons onderling [m]; SWR-waarde; tijd [SI; temperatuur ["C]; reële deel van genormaliseerde impedantie [-I; akoestische deeltjessnelheid; geluidsfrequentie [rad/s]; coördinaat in x-richting; imaginaire deel van genormaliseerde impedantie [-I; vector met complexe drukken P- en P+; akoestische impedantie;

iv

Inleiding

1.1 Achtergronden en doel vain de opdracht

Bij vliegtuigfabrikant Fokker wil men het geluid in de passagiersruimte van de Fokker 100 bestrijden door middel van anti-geluid. Dit anti-geluid wordt opgewekt met luidsprekers, die in deze ruimte staan opgesteld. De effectiviteit van deze methode hangt af van de posities van de luidsprekers in de ruimte. Om hierop meer zicht te krijgen werden simulaties uitgevoerd met een Eindig Elementen Pakket. Omdat gebleken is dat de passagiersstoelen verreweg het meeste geluid absorberen, zijn de akoestische eigenschappen van het materiaal van deze stoelen belangrijke invoerparameters voor de Eindige Elementen berekeningen.

Bekend is dat de akoestische eigenschappen van een willekeurig materiaal afhangen van de geluidsfrequentie. Dit verloop kan in de meeste gevallen niet analytisch afgeleid worden en moet derhalve vaak experimenteel bepaald worden. Hiervoor wordt bij Fokker gebruik gemaakt van de klassieke Standing Wave Ratio methode. Echter vanwege een aantal nadelen van deze methode zijn een aantal nieuwe methoden ontwikkeld. Deze nieuwe meetmethoden worden in de praktijk nog maar weinig toegepast. Voor vliegtuigfabrikant Fokker is het de vraag of één van deze meetmethoden beter is voor hun akoestische metingen, die bij relatief lage geluidsfrequenties (100 Hz tot 250 Hz) verricht worden.

In dit onderzoek worden de nieuwe meetmethoden zowel theoretisch als experimenteel onderzocht. Bij het experimentele gedeelte wordt gemeten in het geluidsfrequentiegebied van 50 Hz tot 2500 Hz .

1.2 Probleemstelling en aanpak onderzoek

In dit verslag komen akoestische meetmethoden aan de orde waarbij een materiaalmonster van relatief kleine afmetingen in een buis wordt geplaatst. Willen de op deze wijze bepaalde akoestische grootheden ook representatief zijn voor grotere oppervlakken, zoals die in de praktijk voorkomen, dan moet het materiaal lokaal reagerend zijn. Dat wil zeggen dat de deeltjesbeweging in een bepaald punt op het materiaaloppervlak alleen afhankelijk is van de akoestische druk excitatie op dat ene punt.

Bij alle meetmethoden zal steeds in het frequentiegebied van vlakke golven gewerkt worden. De

golven vallen loodrecht op het proefstuk zodat alleen normale akoestische eigenschappen gemeten worden.

Met de klassieke SWR-methode kunnen de akoestische eigenschappen zoals geluidsabsorptie en impedantie als funktie van de frequentie bepaald worden. Bij de SWR-methode wordt gebruik gemaakt van een impedantiebuis met aan het ene uiteinde een akoestische bron en aan het andere uiteinde het akoestische monster. Het nadeel van deze methode is dat ze enkel geschikt is voor harmonische excitatie. Daarbij komt nog dat elke meting, dus voor elke frequentie afzonderlijk, nauwkeurig handwerk vereist. Deze factoren hebben tot gevolg dat de metingen met de SWR- methode veel tijd in beslag nemen.

Met de opkomst van de digitale signaalverwerking zijn nieuwe meetmethoden ontwikkeld voor het bepalen van de akoestische eigenschappen. Ook bij deze methoden wordt gebruik gemaakt van een impedantiebuis. Het belangrijkste verschil is dat bij deze nieuwe methoden de harmonische excitatie vervangen kan worden door een excitatie met een brede band van frequenties.

Eén van de nieuwe methoden is de twee-microfoons-methode. Uit verschillende metingen is gebleken dat deze methode goede resultaten oplevert. Echter met betrekking tot de nauwkeurigheid van de meetresultaten als funktie van de input-variabelen is van deze methoden weinig bekend. Door middel van een systematische foutenanalyse zal deze nauwkeurigheid worden onderzocht. Uit de gegevens van de foutenanalyse wordt afgeleid hoe de impedantiebuis ontworpen moet worden en hoe metingen in de buis verricht moeten worden. Een variant op de twee-microfoons-methode is de één-microfoon-methode. Deze methode is gro- tendeels op dezelfde theorie gebaseerd. Alleen in de berekeningen wordt één extra stap toegevoegd. In dit onderzoek worden deze methoden door middel van experimenten met elkaar vergeleken.

1.3 Opbouw van het verslag

In hoofdstuk 2 van dit verslag wordt eerst de basistheorie behandeld die van belang is voor het onderzoek. In hoofdstuk 3 van dit verslag komen de nieuwe meetmethoden aan de orde. De twee-microfoons en de één-microfoon methode worden hierbij onderworpen aan een foutenanalyse. Hoofdstuk 4 geeft een overzicht van de experimenten, Het verslag wordt afgesloten door discussie en conclusies in hoofdstuk 5.

2

Basis theorie

De theorie in dit hoofdstuk is van belang voor de akoestische metingen in een pijp of buis. De basistheorie is voornamelijk afkomstig uit het leerboek voor de akoestiek 'Fundamentals of acoustics' van Kinsler en Frey (zie [i]). Achtereenvolgens komen aan de orde: de akoestische golfvergelijking, vlakke golven in pijpen en buizen, akoestische eigenschappen van een materiaal en een korte bespreking van de SWR-methode.

2.1 De golfvergelij king

Akoestische golven kunnen zich voortplanten in compressibele media zoals bijvoorbeeld lucht. In- dien de viskeuze effecten in dit medium verwaarloosd worden, zijn de golven longitudinaal; de luchtdeeltjes trillen in de voortplantingsrichting van het geluid. De drijvende kracht van deze trilling wordt veroorzaakt door kleine drukverschillen in het medium. Indien dit medium ook als homogeen en isotroop wordt beschouwd, kan met de wet van behoud van massa, de wet van behoud van impuls en de toestandsvergelijking van het gas de zogenaamde golfvergelijking afgeleid worden. Deze golfvergelijking beschrijft de akoestische druk p als functie van de ruimtecoördinaat F en de tijd t:

hierbij is V de nabla-operator en c de voortplantingssnelheid van het geluid. Bij de afleiding van de bovenstaande golfvergelijking wordt gebruik gemaakt van het gegeven dat de akoestische (over)druk (orde 10 Pa) klein is ten opzichte van de evenwichtsdruk (luchtdruk in orde van lo5 Pa). Hierdoor mogen niet-lineaire termen verwaarloosd worden.

De voortplantingssnelheid of geluidssnelheid c is een karakteristieke eigenschap van het betreffende medium. Bij gassen hangt deze waarde af van de thermodynamisch toestandsgrootheden zoals de druk, de dichtheid en de temperatuur. Omdat akoestische processen in lucht vrijwel adiabatisch verlopen (dit is experimenteel vastgesteld) kan de waarde voor c eenvoudig berekend worden. Een formule voor c wordt meestal gegeven als volgt:

c = c o d l + T/273, (2.2)

met c,=331.6 m/s is de geluidssnelheid in lucht bij een temperatuur T = O "C.

3

2.2 Vlakke golven

Indien de fase van alle akoestische variabelen in één bepaald vlak constant is, hebben we te maken met een vlakke golf. De akoestische druk is dan een funktie van één coördinaat (bijv. x) en de tijd t . De l-dimensionale golfvergelijking luidt dan als volgt:

De algemene oplossing voor deze vergelijking luidt:

p ( x , t > = p 1 ( c t - x ) +P2(Ct+Z) (2.4)

met p i ( c t - x) en pz (c t - x) als willekeurige funkties van hun argument. Bij een harmonische excitatie met een frequentie w geIden voor p l en p2 de volgende funkties,

(2.5) = 6 e j ( w f - w + b e j (wt+k2)

waarbij k gedefinieerd is als het golfgetal, waarvoor geldt, w

C k = -

De constanten û en I$ zijn complexe grootheden en worden vastgelegd door de randvoorwaarden van het probleem.

Vlakke harmonische golven kunnen optreden in een starre pijp of buis. Echter deze golven zijn alleen vlak indien de frequentie w lager is dan de cut-oflfrequentie. Boven de cut-off frequentie treden namelijk hogere orde modes op in de buis, waarbij druk en snelheid over een dwarsdoorsnede in de buis niet meer constant zijn. Het akoestische veld in de buis is dan een funktie van meerdere ruimtecoördinaten. Voor de laagste cut-off frequentie van respectievelijk een pijp met diameter D [m] en een vierkante buis met ribbelengte a [m] gelden

fc N 202/D [Hz]

f c N 172/a [Hz]

Een afleiding van deze cut-off frequenties wordt gegeven in [i], $9.8.

(2.7)

2.3 Akoestische eigenschappen van materialen

De meest gebruikte grootheden om de akoestische eigenschappen van materialen te karakteriseren zijn de absorptiecoëfficiënt en de akoestische impedantie. Deze eigenschappen hangen samen en zijn een functie van de frequentie.

We beschouwen een harmonisch vlakke golf p+ = P+ dwt-lcz) met complexe amplitude P+ die loodrecht invalt op een willekeurig vlak oppervlak. Een gedeelte van deze invallende golf zal door het materiaal worden gereflecteerd en een gedeelte zal worden geabsorbeerd. De gereflecteerde golf ondervindt hierbij een amplitude vermindering en een îaseverandering. Voor de gereflecteerde golf geldt p- = P- dwtfkz). Voor het totale drukveld schrijven we nu:

(2.9) p e j ( w t - k 4 + P- ej(wt+kz) P = P + + P - = +

4

De complexe reflectie-coëfficiënt R is als volgt gedefineerd: P

(2.10)

De fractie van het invallende akoestische vermogen da t wordt gereflecteerd door het oppervlak is gelijk aan Hieruit wordt de absorptiecoëfficiënt a, de fraktie van het akoestische vermogen dat geabsorbeerd wordt in het materiaal, afgeleid:

a = 1 - IR1 2 (2.11)

Bij bijvoorbeeld een akoestisch volkomen hard materiaal worden de golven voor 100% gereflecteerd, in dat geval geldt IR1 = 1 en a = O.

Een andere belangrijke akoestische eigenschap van een materiaal is de specifieke akoestische impedantie z . Dit is de complexe weerstand die de verhouding geeft tussen de akoestische druk p op het materiaal-oppervlak en de trillingssnelheid w van het materiaaloppervlak:

P z = - V

(2.12)

Een andere uitdrukking voor de impedantie kan gegeven worden door vergelijking (2.9) in t e vullen in de Wet van behoud van Impuls, waarbij het oppervlak van het materiaal gekozen is op z = O:

(2.13)

Dit levert:

p = P+ (1 + R)ejwt, (2.14)

en

(2.15)

Gebruik maken van de definitie van de impedantie (2.12) wordt een uitdrukking voor de specifieke akoestische impedantie z afgeleid als funktie van de reflectiecoëfficiënt R:

P 1 S R z = - E poc- 1 - R V

(2.16)

Het is gebruikelijk om z t e normaliseren op de karakteristieke impedantie van lucht: poe. In dat geval wordt voor het dimensieloze kental van de specifieke akoestische impedantie meestal de letter ( gebruikt:

(2.17)

2.4 SWR-methode ter bepaling van de akoestische eigenschappen van materialen

In deze paragraaf wordt de klassieke methode, de SWR-methode, besproken. Deze methode wordt in de praktijk nog op grote schaal toegepast.

verschuifbare microfoon

I I I

sample starre buis U meetlineaal luidspreker

Figuur 2.1: Uitvoering van de SWR-buis

2.4.1 Werking S W R- m e t ho de

Bij de SWR-methode wordt gebruik gemaakt van een impedantiebuis met aan één kant een akoestische excitatiebron (bijv. een luidspreker) en aan de andere kant een proefstuk van het materiaal met de onbekende akoestische eigenschappen. In de buis bevindt zich een axiaal verschuifbare microfoon die verbonden is met een lineaal (zie fig.2.1). Normen voor de uitvoering van de buis, de microfoon en de opspanning van het monster zijn te vinden in DIN 52215 en ASTM C384-90a.

De methode werkt als volgt: de akoestische bron wordt aangestuurd met een harmonisch signaal, waarvan de frequentie beneden de cut-off frequentie van de buis ligt zodat alleen maar vlakke golven kunnen optreden. De akoestische golven vallen loodrecht op het oppervlak van het proefstuk en worden gereflecteerd met een verzwakte amplitude en een zekere faseverschuiving. De invallende en gereflecteerde golven vormen samen een staande golf in de axiale richting (x-as) van de buis, met een drukamplitude P die een funktie van x is:

(2.18) P-

met R = - pc

p = f' e - jkx + p- ejkx = p+ (,-jkz + Rejkx) +

Deze uitdrukking kan worden herschreven door de modulus van P in het kwadraat te nemen en de complexe reflectiecoëfficiënt R t e schrijven als R = IRlej@,.

/PI2 = l/21P+12[i + /RI2 + 21RI cos(2iCx + @R)] (2.19)

Bovenstaande funktie beschrijft een staande golf patroon met maxima van IP+12((i + IRI)2 indien 2kx + @R een even veelvoud is van T. De minima ter grootte van lP+I2(1 - treden op indien 2kx + @R een oneven veelvoud is van T . De verhouding tussen mimimum en maximum druk is de SWR-verhouding S. Hiermee kan gebruik makend van vergelijking (2.19) de modulus van de reflectiecoëfficiënt R bepaald worden,

(2.20)

De posities van de minima xmin en maxima x,,, kunnen afgelezen worden met behulp van de lineaal bevestigd aan de microfoon (zie figuur 2.1); hieruit wordt het faseverschil @R bepaald:

@R = -2kx,,,,i + 2mn = -2kxm;,,1 + (2n + i ) n n, m = O , i, 2, .. (2.21)

In de praktijk wordt meestal xmin gemeten, omdat dit scherpe pieken zijn waarvan de posities nauwkeuriger te lokaliseren zijn.

6

Uit IR1 en @R kan de complexe reflectiecoëfficiënt R bepaald worden gebruik makend van R = IRlej@,. Daarna gebruik makend van de vergelijkingen (2.11) en (2.17) op pagina 5 kunnen ab- sorptiecoëfficiënt 01 en de impedantie [ berekend worden.

De vereiste lengte van de buis is afhankelijk van de frequentie en dus de golflengte van de staande golf. De buis moet lang genoeg zijn om minimaal één minimum en liefst twee minima te bevatten. Uitgaande van minimaal één minimum geldt voor de buislengte de volgende relatie:

1 4

L > -A (2.22)

2.4.2 Nauwkeurigheid van de methode

Statistische gegevens betreffende de nauwkeurigheid van de SWR-methode zijn gegeven in de ASTM-norm C384-90a. Hierin zijn 95%-betrouwbaarheid-intervallen' voor de akoestische grootheden bepaald door middel van experimenten. Er wordt onderscheid gemaakt tussen de herhaalbaarheid en de reproduceerbaarheid van de methode. De herhaalbaarheid is het verschil in twee opeenvol- gende metingen in dezelfde SWR-buis bij hetzelfde monster. De reproduceerbaarheid is het verschil van twee metingen met hetzelfde monster maar in een ander SWR-buis. De herhaalbaarheid van de methode wordt aangegeven met het 95%-herhaalbaarheids interval I ( h ) en de reproduceerbaarheid van de methode met het 95%-reproduceerbaarheidsinterval I ( r ) .

4.4 1.2 0.7 1.2 0.4 0.2 0.1 0.4

Tabel 2.1: 95%-herhaalbaarheidsinterval e n reproduceerbaarheidsinterval van de genormaliseerde impedantie ( = û + j x als funct ie van de frequentie bij de SWR-methode

Volgens de gegevens in de tabel zijn de meetresultaten bij de SWR-methode minder nauwkeurig bij lager wordende frequenties, te zien aan de groter wordende betrouwbaarheids-intervallen. Verder is de reproduceerbaarheid aanzienlijk slechter dan de herhaalbaarheid van de methode. Ofwel de meetresultaten kunnen nogal verschillen bij het gebruik van een ander SWR-buis.

Een foutenanalyse van de SWR-methode is gegeven door Parrott en Smith in 1977 (zie [3]). Zij berekenden de doorwerking van meetfouten in xmin en S op de genormaliseerde impedantie ( met behulp van eerste orde afgeleiden in een Taylorbenadering. De grootste foutgevoeligheden, met foutversterkingen van circa 10, werden gevonden bij hoge reflectiecoëfficiënten ( R -+ 1).

2.4.3 Discussie SWR-methode

Een voordeel van de SWR-methode is dat de methode redelijk betrouwbaar is voor het meten van akoestische grootheden. Echter bij lage frequenties (125 Hz, 250 Hz) is de reproduceerbaarheid volgens tabel 2.1 niet goed.

'De kans is 95% dat de betreffende waarde binnen dit interval Egt

7

Het grootste nadeel van de SWR-methode is da t excitatie alleen mogelijk is met één frequentie. Indien men geïnteresseerd is in het verloop van de akoestische grootheden over een breed frequentiegebied moeten veel metingen worden verricht om een betrouwbaar beeld te krijgen van het verloop van de akoestische eigenschapppen tegen de frequentie. Daarbij komt nog dat elke meting op zich al tijdrovend is vanwege het handmatig bedienen bij het opzoeken van minima en maxima in de meetbuis.

Een bijkomend nadeel van de SWR-methode is dat de methode minder geschikt is voor laagfre- quente metingen vanwege de eis volgens vergelijking (2.22). Indien als ondergrens voor de akoestische metingen een frequentie wordt genomen van 50 Hz, met een golflengte X gelijk aan 7 meter moet volgens deze eis de buislengte minimaal 1.8 meter (1 minimum) zijn en liefst 5.3 meter (2 minima). Het meetsysteem wordt hiermee dus onhandig groot. Daarnaast bevindt zich binnen de buis een constructie, nodig om de microfoon t e kunnen bewegen, die een onbekende invloed heeft op het akoestische veld binnen de buis.

De conclusie hieruit is da t de SWR-methode niet optimaal is. Het volgende hoofdstuk behandelt enkele methoden waarbij de belangrijkste nadelen van de SWR-methode worden vermeden.

8

Alternatieve methoden ter bepaling van akoestische eigenschappen

Bij de recent ontwikkelde alternatieven voor de SWR-methode is het belangrijkste verschil dat de harmonische excitatie vervangen wordt door breedbandige frequentie-excitatie. Er wordt dus een brede band van frequenties in één keer gemeten. Daarnaast wordt het verschuifbare micro- foonmechanisme vervangen door één of meer vast op de buiswand gemonteerde microfoons. In dit hoofdstuk van het verslag worden deze meetmethoden geanalyseerd.

3.1 Historie

Als eerste alternatief voor de SWR-methode werd een methode ontwikkeld waarbij gebruik werd gemaakt van een impedantiebuis met in het midden één vaste microfoon. Gebruik makend van pulsexcitatie kunnen bij voldoende buislengte de invallende en de gereflecteerde golven gescheiden worden in de tijd. Het nadeel van een grote buislengte is dat dissipatie-effecten van invloed zijn op de meetresultaten. Ook was het moeilijk om via ensemble-middelingen nauwkeurige resultaten te genereren vanwege de slechte reproduceerbaarheid van de puls en de lage signaal/ruis verhouding van de puls in bepaalde frequentie gebieden. Dit laatste werd ondervonden door Singh & Katra (1976) die gebruik maakten van een blokvormige puls-excitatie. De signaal/ruis verhouding kan verbeterd worden door veel energie te stoppen in de akoestische puls. Dit heeft echter als gevolg dat het te onderzoeken materiaal niet-lineair akoestisch gedrag kan vertonen door een te hoog akoestische drukniveau. Dit werd ondervonden door Mathews (1986).

De eerste methode waarbij gebruik gemaakt werd van twee vaste microfoons is ontwikkeId door Schmidt & Johnston (1975). Door de absolute drukverhouding en het faseverschil tussen twee microfoons te meten kan de absorptiecoëfficiënt van het proefstuk bepaald worden. Bij de methode werd echter nog gebruik gemaakt van een harmonische excitatie. Bovendien werd een afleiding voor de akoestische impedantie nog niet gegeven. Met de opkomst van de digitale signaalverwerking werd door Seybert en Ross (zie [5]) een methode ontwikkeld waarbij de harmonische excitatie vervangen werd door een excitatie met een grote band- breedte van frequenties. Er werd ook een uitdrukking afgeleid voor de bepaling van de impedantie uit de gemeten autopowerspectra en crosspowerspectra tussen de microfoons. De methode van Seybert en Ross is vereenvoudigd door Chung en Blaser (zie [4]) door gebruik

9

t e maken van alleen de overdrachtsfunktie tussen de microfoons. Een variant op deze methode is gegeven door Fahy ( [7 ] ) , waarbij dezelfde overdrachtsfunktie wordt gemeten gebruik makend van één microfoon. De twee laatstgenoemde methoden bieden de meeste voordelen. Beide methoden komen aan de orde in de volgende paragraaf.

ruisgenerator

3.2 Meet methoden met brede frequentieband excitatie en v a t e microfoons

mic.versterke

Voor een lineair akoestisch monster kunnen de akoestisch eigenschappen als funktie van de frequentie bepaald worden door gebruik te maken van een excitatie met een brede band van frequenties en een impedantiebuis met één of twee microfoons bevestigd op een vaste positie in de buiswand.

- mic.2 mic.1

3.2.1 Twee-microfoons-methode Chung en Blaser

-

Figuur 3.1 geeft een overzicht van de experimentele opstelling voor deze methode.

FFT analysato

- monster buis akoestische bron S 1

4 :: *

Figuur 3.1: Experimentele opstelling voor impedantiebuis met twee vaste microfoons en ruisexcitatie

Een signaal met een brede band van frequenties wordt opgewekt door middel van een ruisgenerator. Met behulp van een FFT-analyse van de signalen tussen de twee microfoons wordt de frequentie-overdrachtsfunktie tussen de microfoons bepaald. Met deze frequentie-overdrachtsfunktie kunnen de akoestische eigenschappen van het monster aan het uiteinde van de buis worden bepaald. Dit gaat als volgt in zijn werk: De druksignalen Pi en P2 op de microfoonposities zijn sommaties van de drukamplituden P+ en P- van de ingaande en gereflecteerde vlakke golf. Als het voorvlak van het monster op z = O gekozen wordt en de fz-richting naar binnen van de buis is gericht, kunnen per frequentiecomponent de volgende vergelijkingen worden opgesteld:

waarbij ejwt weggelaten is. Verder geldt,

j k = golfgetal s = onderlinge microfoonsafstand 2 = afstand microfoon 1 tot voorvlak monster

10

Met behulp van Hl2 (= P2/P1, ’overdrachtsfunktie’ tussen microfoon 1 en 2) kan uit de bovenstaande vergelijkingen de complexe reflectiecoëfficiënt R = P- /P+ afgeleid worden:

Met behulp van de vergelijkingen (2.11) en (2.17) in paragraaf 2.3 kunnen hieruit de absorptieco- efficiënt Q en de genormaliseerde impedantie [ bepaald worden. Een directe uitdrukking voor e is mogelijk door vergelijking (3 .3 ) in te vullen in Vergelijking (2.17).

. sin k ( l + s) - H12 sin kl ‘=’cosk(l+s) - H12coskZ (3-4)

Bij de bepaling van de overdrachtsfunktie H12 moet rekening gehouden worden met het onderling verschil tussen amplitudeversterking en faseverdraaiing van de twee microfoons. Dit verschil veroorzaakt fase- en amplitude fouten in de gemeten overdrachtsfunktie Hl2. Ter correctie van deze fout wordt door Chung en Blaser gebruik gemaakt van microfoonspositieverwisseling. Dit houdt in dat de overdrachtsfunktie eerst gemeten wordt in een oorspronkelijke microfoonsconfiguratie ( H f 2 ) en daarna in een verwisselde microfoonsconfiguratie ( f l y 2 ) . De uiteindelijke overdrachtsfunktie H12

wordt uit het geometrisch gemiddelde van Hf2 en Hy2 bepaald. Als de overdrachtsfunktie H12

geschreven wordt als Hl2 = A12ejQ12 geldt hiervoor:

Door Bodén en Abom (zie [6]) is aangetoond dat de bovengenoemde fout hiermee gecorrigeerd wordt.

3.2.2 Eén-microfoon-methode van Fahy

Een variant op de twee-microfoons methode is de methode ontwikkeld door Fahy ([7]). Bij deze methode worden voor de bepaling van de absorptiecoëfficiënt en de impedantie dezelfde vergelijkingen gebruikt als bij de twee-microfoonsmethode. Alleen de manier waarop de overdrachtsfunktie Hl2 wordt bepaald is verschillend. Bij de methode van Fahy wordt met één microfoon gemeten, die achtereenvolgens op twee verschillende posities wordt geplaatst. Hieruit worden twee overdrachtsfunkties gemeten: Hl = AlejQi en H2 = A2ejQ2. Als ingangssignaal voor deze FFT-metingen wordt gebruik gemaakt van het aanstuursignaal van de ruisgenerator naar de akoestische bron. De overdrachtsfunktie H12 wordt door deling van 112 op H1 bepaald.

Figuur 3.2 geeft een overzicht van de experimentele opstelling van deze methode.

De fasefouten en de amplitudefouten in H12 die bij de twee-microfoons methode het gevolg zijn van gebruik van twee (verschillende) microfoons, zijn bij de één-microfoons methode theoretisch uitgesloten. Opgemerkt wordt dat de één-microfoons techniek mogelijk toegepast kan worden in een standaard S W R-buis.

11

FFT analysator

buis monster akoestische bron s 1

4 = < c

Figuur 3.2: Experimentele opstelling voor impedantiebuis met één microfoon en ruisexcitatie

3.2.3 Literatuur over nauwkeurigheid van de methoden

Voor wat betreft de nauwkeurigheid van deze meetmethoden is er onderzoek verricht voor de twee- microfoonsmethode. Deze gegevens zijn echter in grote lijnen ook geldig voor de één-microfoonsmethode, omdat hierbij vrijwel hetzelfde algoritme wordt gebruikt. Statistische gegevens voor de twee-microfoonsmethode zijn te vinden in de norm ASTM E1050-90. De betrouwbaarheidsintervallen zijn gemeten bij dezelfde frequenties als de betrouwbaarheidsintervallen in de tabel 2.1 op pagina 7 geldig voor de SWR-methode.

Tabel 3.1: 95% herhaalbaarheidsintervallen en reproduceerbaarheidsinterval van de genormaliseerde impedantie t = O + j x bij de twee-microfoons methode

N a vergelijking van de betrouwbaarheidsintervallen van de twee-microfoonsmethode met die van de SWR-methode, valt het volgende op te merken: Vanaf 500 Hz is er weinig verschil gevonden tussen de nauwkeurigheid van beide methoden. Echter bij lage frequenties blijken de herhaalbaarheid en de reproduceerbaarheid van de twee-microfoonsmethode minder goed dan bij de SWR-methode! Of dit ook werkelijk het geval is kan afgeleid worden uit de ASTM gegevens, dit omdat er niets vermeld wordt over bepaalde condities bij de metingen. La- ter in het verslag zal blijken da t een grote afstand tussen de microfoons onderling een belangrijke voorwaarde is voor het verkrijgen van goede resultaten bij lage frequenties.

De invloed van deze microfoonsafstand op de nauwkeurigheid van de resultaten is bijvoorbeeld onderzocht door Bodén en Abom (zie [6]). Zij kwamen via numerieke simulaties tot de conclusie dat het algoritme alleen goed geconditioneerd in het volgende frequentiegebied:

0.171. < k s < 0 . 8 ~ (3 .8)

waarbij k s een dimensieloze frequentie isi met k het golfgetal en s de microfoonsafstand. In dit gebied is de relatieve fout in de impedantie ,$ van dezelfde ordegrootte als de relatieve fout in de inputdata s, 1 en H12. Deze numerieke simulaties zijn echter uitgevoerd voor een beperkt aantal waarden van < = O + j x in het complexe vlak. Niet bekend is of vergelijking 3.8 altijd opgaat.

12

3.3 Foutenanalyse

In deze paragraaf wordt een systematische foutenanalyse beschreven die geldig voor zowel de twee- microfoonsmethode als de één-microfoonmethode.

3.3.1 Ee coiìditie Vâri het dgûïitme

De conditie van het algoritme wordt hier beschreven aan de hand van het conditiegetal van de matrix die afgeleid kan worden uit de twee vergelijkingen (3.1) en (3.2). Deze schrijven we in de matrixvorm: Ag = b, waarbij g een kolom is die de complexe amplituden P+ en P- bevat en b een kolom met de gemeten complexe drukken Pi en Pz. Het matrixstelsel ziet er als volgt uit:

Voor de bovenstaande matrixvergelijking kan voor de maximale relatieve fout in de oplossings- vector g de volgende uitdrukking geschreven worden ':

(3.10)

de conditiegetallen CA en Cb geven de maximale foutversterking van de relatieve fout in 2 ten opzichte van de relatieve fouten in de inputdata in matrix A en kolom b. Het verloop van CA en Cb als funktie van de variabelen k , s en 1 is onderzocht aan de hand van het matrix-reken-programma MATLAB. Hieruit is gebleken dat CA en cb alleen een funktie zijn van de dimensieloze frequentie ks (zoals eerder bleek uit het onderzoek van Bodén en Abom). Bovendien is gebleken da t Cb N CA.

Figuur 3.3: van de dimensieloze grootheid ks ln .

Conditiegetal CA van de matrax als funktie

Het verloop van het conditiegetal als funktie van ks is gegeven in figuur 3.3. Het algoritme is het best geconditioneerd (met CA = 1) bij ks = 0 . 5 ~ . Bij de (grens)waarde k s = 0 . 1 ~ geldt CA N 6.

' 11g11 is de euclidische norm (of de absolute lengte) van vector g

3.3.2 De fout in de inputdata in matrix A

In bijlage A wordt de relatieve fout IlSAII/IIAll berekend als funktie van de inputdata s, I en k . Het resultaat hiervan is:

(3.11)

Het golfgetal k = W / C hangt af van de temperatuur omdat de voortplantingssnelheid c afhangt van de temperatuur. Voor k ( T ) kunnen we schrijven (zie [i], blz 106, formule 5.20),

W

C , J 1 + T / 3 , 7 3 k ( T ) = (3.12)

met CO = 331.6 m/s op TO = 0°C. De fout 6k wordt bepaald om het werkpunt T = 2OoC, waarbij de fout 6T geschat wordt op 0.5"C,

W N -1. k

a k 1 W 1 ST 8T

-ST z -

(3.13) 2(273 + '7') * c o d m SS = -6T = -- 2 C O ( ~ + T / 2 7 3 ) 3 / 2 273

Invullen van vergelijking Ibkl = 1 . dimensieloze term Ls, levert:

. k in vergelijking (3.11) en buiten haakjes halen van de

(3.14)

De afwijking 6s in de afstand tussen de microfoons onderling is het gevolg van verschillende factoren:

o Onnauwkeurigheid bij het meten van de microfoonsafstand. Deze fout is klein indien de afstand tussen de microfoons gemeten wordt nadat de microfoons zijn bevestigd op de buiswand. Bij het gebruik van een schuifmaat is een nauwkeurigheid haalbaar van ongeveer 0.1 mm.

o Fout ten gevolge van een eindige diameter van de microfoon. Door de eindige diameter van de microfoons is een "puntmeting"van de druk in de praktijk niet t e realiseren. Het afgegeven signaal van de microfoon wordt namelijk niet bepaald door de plaatselijke druk op de hartlijn van de microfoon maar door door de gemiddelde druk over het microfoondiafragma. Het een en ander wordt duidelijk gemaakt in figuur 3.4. De afwijking tussen het akoestisch centrum van de microfoon en het geometrisch centrum kan geschreven worden als een fout 6s. Deze blijkt echter moeilijk analytisch of experimenteel vast t e stellen. Het blijkt eenvoudiger om de verschildruk 6P als maat voor deze optredende fout t e gebruiken, die optreedt bij het bepalen van de responsie-overdrachtsfunktie Hl2. Dit komt aan de orde in paragraaf 3.3.3.

Een afwijking SI in de afstand E tussen de eerste microfoon en het voorvlak van het monster hangt met name af van de nauwkeurigheid waarmee het monster in het buiseinde wordt gepositioneerd. Uitgegaan wordt van een monster-opspanning beschreven in de norm ASTM E1050-90. Daarnaast zullen sommige monsters niet geheel vlak zijn, afhankelijk van het soort materiaal, wat ook tot gevolg heeft een fout 61. De uiteindelijke fout SI wordt nu ruim geschat: SI ~1 mm.

14

Figuur 3.4: Definities van de fouten Ss en SP, die optreden als gevolg van de eindige microfoondiameter. Met p de druk ter plaatse van de hartlijn en p de gemiddelde druk over het microfoon-oppervlak

3.3.3 De fout in de inputdata in vector b

In de vector b staan de gemeten drukgrootheden Pi en Pz. Fouten in Pi en P2 geven fouten in de overdrachtsfunktie H12( f ) . Indien H12 geschreven wordt als Hl2 = Al2ej'l2 dan wordt in bijlage B de volgende relatie afgeleid:

(3.15)

De fout in Al2 en 4>12 zijn vervolgens onder te verdelen in een systematische fout en een toevallige fout. Toevallige fouten kunnen na voldoende middelingen voldoende klein worden gemaakt; systematische fouten niet. In deze paragraaf wordt voornamelijk de systematische fout behandeld. Systematische fouten in HIz:

Fout 1: Frequentieresolutie FFT-transformatie. Een belangrijke oorzaak van een systematische fout in Hl2 is volgens Seybert en Seonarko ([LI) een inadequate frequentieresolutie bij de FFT-analyse. Bij een juiste frequentieresolutie is het mogelijk om de genormaliseerde fout in [Hl21 te reduceren tot 1% en de fout in de fase tot 0.01 rad ( ~ 0 . 6 " ) . H' iervoor moet Af aan de volgende eis voldoen:

2 4 f L / c < 1 (3.16)

met L de totale lengte van de buis. De frequentieresolutie Af wordt hierbij afgestemd op de scherpte van de pieken in het spec- trum van de overdrachtsfunktie. De pieken zijn het gevolg van optredende resonanties binnen de buis. Bij een grotere buislengte L zullen er meer pieken zijn die steeds scherper worden (zie [i], formule (9.8b), pag.201).

Een uitzondering op deze regel geldt voor akoestische monsters met hoge reflectiecoëffici- enten IR1 N 1; de resonantiepieken zijn in dat geval sterker zodat vaak een nog kleinere

15

frequentieresolutie vereist wordt. Een karakteristieke frequentieresolutie hiervoor is Af < 1 Hz. Dit werd gevonden door Bodén en Abom ( [ 6 ] ) .

Fout 2: Invloed van de wandwrijving in de buis. Een systematische fout in IHizl kan veroorzaakt worden door de wandwrijving in de buis. De afwijking tussen de absolute drukamplituden IPII en lP.1 ten gevolge van wandwrijving wordt als volgt berekend:

kd AP/P

Indien 2Ps <0.01 dan is de fout in IH12l ten gevolge van de wandwrijving kleiner dan 1%. Faktor ,L? is de wandabsorptiecoëfficiënt. Een benadering voor /3, geldig voor een glad wand- oppervlak, wordt gegeven door Kirchhoff (1868) :

/3 N 2.95 . lo-' f l / l k a r 1 (3.17)

T I 1 0 ~ / 5 n-/3 n-/2 0.3% 1% 2.3% 6.3%

waarbij voor vierkante buisdoorsneden geldt Ikar = a (met a=lengte van een zijde). Voor een circelvormige buisdoorsnede met een diameter D geldt Ikar = D/z/". De invloed van de wandwrijving kan in rekening worden gebracht door gebruik te maken van het complexe golfgetal: k' = k + j p . De wandabsorptie speelt met name een rol in buizen met een kleine doorsnede.

Fout 3: Fout ten gevolge van de eindige diameter van de microfoons. Deze fout werd al eerder genoemd in paragraaf 3.3.2 (zie figuur 3.4). Een analytische berekening van de fout SP is gegeven in bijlage C. Het blijkt dat deze fout afhangt van de frequentie van de akoestische golf k in verhouding tot de diameter van de microfoon d. Gebruik makend van de dimensieloze term kd is de volgende uitdrukking voor de relatieve fout A P / P afgeleid:

A P 2 sin ( k d / 2 ) - 1 - -

P kd (3.18)

De fout A P / P wordt nu berekend als funktie van de term kd:

Indien dus aan de voorwaarde voldaan wordt dat:

kd < n / 5 , (3.19)

zal de fout AP/P maximaal 1% zijn. Omdat de overdrachtsfunktie Hl2 bepaald wordt uit twee druksignalen PI en P2 is de relatieve fout in 1Hl21 dan maximaal 2%.

Fout 4: Invloed van hogere modes in de buis. Ook voor de frequenties onder de cut-off frequentie bestaan hogere modes. Deze modes zullen vanaf de geluidsbron exponentieel uitdem- pen in de buis, zie vergelijking (9.58) op pagina 218 van [i]. De uitdempinglengte van de hogere modes in de buis is erg groot indien de frequentie dicht bij de cut-off frequentie van de Suis ligt. Indien ervoor gezorgd wordt da t fmaz 5 O . 9 f c u t O ~ ~ , en de afstand tussen de geluidsbron en de meest dichtbijzijnde microfoon ongeveer 3 maal de buisdiameter is, is deze fout zo goed als uitgesloten.

16

Fout 5: Interferentie tussen de microfoons. Deze fout kan optreden door de volgende oorzaak: De oplossing van de vlakke golf in een starre buis kan worden afgeleid door gebruik te maken van de randvoorwaarde Y = O voor de snelheid loodrecht op de buiswand. Invulling van Y = O in de impulsvergelijking (zie vergelijking 4.1) levert a p / & = O op de wand van de buis met T de coördinaat in radiale richting. De vlakke golf waarbij de druk p geen funktie is van T is hiervan de meest eenvoudige oplossing. Echter de randvoorwaarde 'u = O is niet geldig ter plaatse van het microfoonoppervlak omdat het membraan van de microfoon in trilling wordt gebracht. De vlakke golf kan hierdoor verstoord worden. Indien deze verstoring 'merkbaar' is voor de andere microfoon, worden de drukken Pi en Pz verstoord. Dit resulteert in een systematische fout in de frequentieresponsiefunktie. Analytisch is het moeilijk om de grootte van deze fout te berekenen (misschien mogelijk met een EEM-berekening). In dit onderzoek wordt deze fout experimenteel onderzocht in hoofdstuk 4. Hieruit zal blijken dat wel zeker invloed heeft.

Fout 6: Extra fout bij de één-microfoonmethode. Bij de één-microfoonmethode wordt de gewenste responsieoverdrachtsfunktie Hl2 als volgt bepaald:

(3.20)

In het geval N @i is deze vergelijking slecht geconditioneerd omdat er bij de berekening van @I - @2 cijferverlies optreedt. Dit houdt in dat de relatieve fout bij de bepaling van @i - @2 erg groot kan worden. Wanneer de conditie @2 N <Pi zich voordoet is niet exact bekend.

Random fout in HI?:

Een random fout bij het meten van de overdrachtsfunktie wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van incoherente stoor. Incoherente stoor wordt veroorzaakt door meetruis in het meetsysteem. Aan waarde van de coherentiefunktie 7 1 2 is af te lezen hoe goed de signaal/stoor verhouding bij de metingen is.

Bij de twee-microfoons methode is de coherentie over het algemeen goed ( y N 1). Bij de één- microfoons methode is de coherentie gelijk aan de coherentie van de twee-microfoons methode, mits de akoestische bron en de versterker lineair zijn binnen het frequentiegebied. Bij niet-lineariteiten in bijvoorbeeld de luidspreker is de coherentie bij de één-microfoon-met hode lager dan bij de twee- microfoonsmet hode. Een lage coherentie kan echter ook optreden indien de reflectiecoëfficiënt van het proefstuk hoog is (IR] =i). In dat geval zijn de akoestische drukken ter plaatse van de knopen in het staande golf patroon zo laag da t meetruis van invloed kan zijn op de metingen. Indien zo'n knoop samenvalt met de positie van één van de beide microfoons, afhankelijk van de golflengte of frequentie, kunnen lage coherenties optreden waardoor de random fout onacceptabel groot wordt. In da t geval moet de microfoon verplaatst worden om bij de betreffende frequentie nauwkeurige metingen te verrichten.

Bij de één-microfoon methode wordt Hlz bepaald door deling van H2 op H l , die beiden een random fout bevatten. De random fout in Hl2 is hierdoor groter dan bij de twee-microfoons methode. Dit kan eenvoudig opgelost worden door meer middelingen toe te passen bij de metingen.

17

3.3.4 De fout in de impedantie

Eerst wordt de relatieve fout in de vector g = [P+, P-] bepaald met de relatie (3.10) op pagina 13:

(3.21)

Voor de conditiegetallen CA en Cb wordt het verloop in figuur 3.3 gebruikt. Voor de relatieve fout lióAi//liAli wordt de gevonden uitdrukking (3.i4) op pagina i 4 gebruikt met Ss=G.i mrn en 6 k i . û mm. Voor de relatieve fout IlSbll/llbll wordt gebruik gemaakt van uitdrukking (3.15) op pagina 15. Hierin worden vervolgens de systematische fouten 1 t /m 3 gesubstitueerd zoals deze gedefineerd werden in paragraaf 3.3.3. Met de overige systematische fouten wordt hier geen rekening gehouden om dat die voorkomen kunnen worden. In bijlage B wordt verder afgeleid: - - - IF/. De term

II6i1I/IklI 5 CA il6AII/IIAll -k cb Il@ll/lkll

ISR/RI wordt berekend met de bovenstaande gegevens:

, I

I i f

I I

, I

I i f

' I

I I

I

I I

, I ,

! 0.4 0.6 ( kslpi (-)

Figuur 3.5:

8 1

Maximale fout ISRIRI als funktie van de frequentie ICs bij microfoonsafstand s=33 cm (volle lijn) en s=5 em (onderbroken lijn)

Uit grafiek 3.5 concluderen we dat de maximale fout ISR/RI bij s=33 cm onder 10% ligt in het frequentiegebied 0 . 1 ~ < k s < O.&. Voor kleinere microfoonsafstanden (s=5 cm) is de geschatte fout ISR/RI groter. Dit wordt veroorzaakt door grotere relatieve fouten Ss/s en SZ/s. Voor een fout ISR/RI onder 10% is het toegelaten frequentiegebied kleiner, namelijk 0 . 1 ~ < k s < 0 . 6 ~ .

Ter controle van deze analytische foutenanalyse werden verschillende numerieke simulaties verricht in het rekenprogramma MATLAB. Een overzicht van deze simulaties is te vinden in bijlage E. Hierin wordt de fout ISR/RI berekend voor verschillende waarden voor de reflectiecoëfficiënt R. De resultaten worden vergeleken met de resulaten in grafiek 3.5. De resultaten van de foutenanalyse in grafiek 3.5 blijken redelijk goed overeenstemmen met de resultaten van de numerieke experimenten.

Uiteindelijk is niet alleen de fout ISR/RI interessant maar met name de fout in de akoestische grootheden als de absorptiecoëfficiënt Q en de genormaliseerde impedantie t. De relatieve fout in a zal in dezelfde ordegrootte zijn als de relatieve fout in R. Voor de relatieve fout in E wordt in bijlage C de volgende relatie afgeleid:

18

(3.22)

In figuur 3.6 is het verloop van de term Il/(l - R2)I uitgezet, waarbij R complex geschreven is: R = IBlej',.

O ' * L O0 I

I

\

L 2 0.4

angie(R) I 0.8 1

Figuur 3.6: Lijnen van gelijke foutversterking tussen Is[/[/ en ISRIRI als funktie van de complexe reflectiecoëficiënt R

Uit figuur 3.6 kan geconcludeerd worden dat geldt IS[/[l >> ISR/RI in het gebied IR] > 0.95 en Q>R < 0 . 0 3 ~ . kut Teruggerekend naar waarden voor de genormaliseerde impedantie levert dit 161 >15. Dit zijn dus akoestisch relatief harde oppervlakken. In dit geval kan dus de impedantie niet nauwkeurig bepaald worden met de één- of twee-microfoons methode. Hetzelfde werd gevonden voor de SWR-methode (zie [3]).

3.4 Analyse van de gewenste rneetopstelling

De afmetingen van de impedantiebuis

De afmetingen van de impedantiebuis hangen af van het frequentiebereik waarin met de buis gemeten zal worden. De diameter D van de buis (dus uitgaande van een ronde buis) bepaalt de maximale frequentie (cut-off frequentie) waarvoor alleen vlakke golven in de buis kunnen optreden. Hiervoor gelden de relaties (2.7) en (2.8) op pagina 4. Of de buisdoorsnede cirkelvormig of vierkant wordt uitgevoerd is niet essentieel voor de methode. Voor een eenvoudige vervaardiging van het monster biedt de vierkante buis voordelen.

De totale lengte van de buis wordt bepaald door de afstanden m, s1 en I , weergegeven in figuur 3.7. De afstand s1 moet groot gekozen worden bij het meten van lage frequenties ten behoeve van een goede conditionering van het algoritme bij de berekening van de akoestische grootheden. De afstand s1 kan berekend worden aan de hand van figuur 3.3 op pagina 13. De conditionering is optimaal op k s = n/2. Afhankelijk van het gewenste frequentiebereik waarvoor de buis gebruikt zal worden, kunnen meerdere microfoonsafstanden nodig zijn voor de buis. In figuur 3.7 is bijvoorbeeld nog een kleinere microfoonsafstand s2 weergegeven voor metingen bij hogere frequenties.

De afstand 1 tussen het monster en de eerste microfoon moet volgens de foutenanalyse zo klein mogelijk gekozen worden, zodat de verhouding Z/s klein is (zie vergelijking (3.14)) op pagina 14). Omdat er toch een zekere afstand tussen monster en microfoon bewaart moet blijven vanwege

19

microfoonposities

m 91

Figuur 3.7: Belangrijkste maten voor een impedantiebuis met vaste microfoon(s)

mogelijke nabijheidsvelden bij het monster kiezen we I N D / 2 (of I N a l 2 bij vierkante buis). Afstand m tussen akoestische bron en microfoon moet vanwege de uitdemping van hogere modes gekozen worden op m N 3d. Zie foutenanalyse.

Microfoons

Voor de microfoons worden condensatormicrofoons gebruikt vanwege hun goede lineaire eigenschappen in een groot frequentiegebied (10 Hz ... 16 kHz). De gevoeligheid van dit type microfoon hangt af van de diameter van het diafragma. Voor de condensatormicrofoon zijn er twee standaard di- ameters d = en d = i . De gevoeligheid van de i -microfoons is ongeveer 3 maal groter dan bij de -microfoon. Wat da t betreft geniet de i -microfoon de voorkeur. Een belangrijke richt- lijn voor het keuze van of een $''-microfoon of een ill-microfoon is vergelijking (3.19) op pagina 16: k d < rr/5. Dit houdt in da t de microfoondiameter afgestemd moet worden op de maximale geluidsfrequentie. Voor een i -microfoon betekent dit een maximale meetfrequentie van 2.5 kHz. Met een

I1 f l It

It

If

11 -microfoon kan gemeten worden tot ca. 5 kHz.

De montage van de microfoons op de buiswand is mogelijk door gebruik te maken van kunststof houders.

Figuur 3.8: Montage van een condersatormicrofoon aan de buiswand met behulp van een kunststof houder.

De microfoonhouder moet uitneembaar zijn om microfoonspositiewisseling toe te kunnen passen. Verder moeten de afsluitingen luchtdicht gemaakt worden om verliezen in de akoestische druk te voorkomen. Om microfoonsinterferentie (zie hoofdstuk 4) te voorkomen kunnen de microfoons tegenover elkaar geplaatst worden.

20

Akoestische bron

Voor de akoestische bron kan gebruik gemaakt worden van een luidspreker. Vereist wordt dat de luidspreker voldoende akoestisch vermogen levert over het gewenste frequentiemeetbereik. Voor veel luidsprekers levert dit geen problemen vanaf een frequentie van 100 Hz. Indien het akoestische vermogen te laag is bij een bepaalde frequentie, zal de coherentiefunktie laag zijn.

De FFT-analysator

De FFT-analysator moet 2-kanaals zijn om overdrachtsfunkties t e kunnen meten. Gewenst is dat de bijbehorende coherentiefunktie direkt meegemeten en afgebeeld kan worden, zodat lage coherenties bij frequenties vermeden kunnen worden door het verplaatsen van de betreffende microfoon. Verder moet het mogelijk zijn om meetgegevens op te slaan in de vorm van een datafile, om verdere dataverwerking met behulp van een rekenprogramma uit t e voeren. De data-invoer bevat de volgende gegevens:

e De frequentiestap Af van de metingen;

o Het aantal meetpunten n van de FFT-transformatie;

e De frequentieresponsfunktie Hl2 bestaande uit n complexe getallen;

e Eventueel de coherentiefunktie 7 1 2 bestaande uit n reële getallen.

21

Experimenten

De meetmethoden uit de voorafgaande hoofdstukken worden in dit hoofdstuk experimenteel getest. Hiervoor werd een meetopstelling gebruikt met een impedantiebuis waarbij de microfoons op de wand gemonteerd kunnen worden op verschillende posities.

4.1 Meet opstelling

Voor de meetopstelling van de experimenten wordt verwezen naar figuur 3.1 op pagina 10 en figuur 3.2 op pagina 12. De volgende componenten zijn gebruikt:

Impedantiebuis : -Wanddikte 5 mm en binnendiameter 70 mm. Dit laatste geeft een cut-off frequentie van 2870 Hz en een maximale frequentie van 0.9*2870 Hz N 2500 Hz. -Lengte van de buis 35 cm, met een mogelijk verlengstuk van 20 cm. -Verschillende microfoonsafstanden s: 5.4 cm voor frequentiegebied 400-2500 Hz en 33.0 cm voor frequentiegebied 50-400 Hz; -Afstand 1 van voorvlak monster tot eerste microfoon: 5 cm;

Luidspreker : -Mini-basspeaker, diameter 60 mm, type Monacor SP 45/8: vermogen 40 Watt , weerstand 8R. Frequentiegebied vanaf 50 Hz;

Microfoons : - a"-condensatormicrofoons. Type B&K 4181 met versterker B&K 2807. Deze microfoons zijn bij elkaar geselecteerd, waarbij het onderlinge faseverschil in de responsie maximaal 0.01 radialen (=0.6") is en de onderlinge versterking in de responsie maximaal 1 dB verschilt;

FFT-meetapparatuur : Computerpakket DIFA. Mogelijkheid voor vier kanaals-FFT-metingen, plus uitgang voor aanstuursignaal voor de luidspreker. Verder verschijnen on-line op het computerscherm de grafieken met de frequentieresponsfunktie en de coherentiefunktie. De resultaten kunnen tenslotte aïs ASCII-files worden opgeslagen.

Data-verwerking : Met het rekenpakket MATLAB. De meetdata worden als ASCII-files ingelezen. De formules

22

ter berekening van de absorptiecoëfficiënt en de impedantie worden in MATLAB geprogram- meerd. Een uitdraai van dit MATLAB-programma is gegeven in bijlage F.

4.2 Metingen bij volkomen hard monster

De akoestische eigenschappen van een volkomen hard monster zijn theoretisch af te leiden. Ter plaatse van het monsteroppervlak geldt voor de snelheid: li = O m/s. Volgens het behoud van impulsmoment:

dv - l a p at p d x ’ - -

geldt d p / d x = O. Dit toepassen op de vergelijking die het akoestische veld in de buis beschrijft met een ingaande en een gereflecteerde golf, respectievelijk P+ en P- ,

+ p- #t+W (4.2) j (w t - k z )

P ( Z ’ t> = P+ e

levert na enig rekenwerk het volgende resultaat:

P- P+ = P- ofwel R = - = 1 dus IR1 = 1 en @ ~ = 0

p+

met R de complexe reflectiecoëfficiënt van het monster

(4.3)

De gemeten waarde voor R wordt nu vergeleken met deze theoretische waarde. De impedantie van het hard monster wordt niet berekend omdat hierbij de foutversterking oneindig groot is (zie figuur 3.6 op pagina 19 bij R = 1).

Uit de resultaten van de metingen bij een volkomen hard monster waarvan de akoestische reflec- tiecoëfficiënt theoretisch 1 is kan het volgende geverifieerd worden:

1. Kwaliteit van de meetopstelling;

2. Geldigheid van de foutenanalyse u i t Hoofdstuk 3;

Voor het realiseren van een akoestisch volkomen hard monster wordt een stalen plaat met een dikte van 6 mm gemonteerd op de impedantiebuis met behulp van vier schroeven.

4.2.1 Metingen bij hogere frequenties

Uit de foutenanalyse vonden we het volgende resultaat: Bij een microfoonsafstand s van 5 cm is onder voorwaarde van een maximale fout in R van 10% een gebied te bereiken van 0 . 1 ~ < k s < 0 . 6 ~ . Dit komt overeen met een frequentiegebied van:

400 < f < 2500 Hz.

Voor de FFT-meting werden de volgende instellingen gebruikt:

o Frequentieresolutie Af =0.40 Hz (kleiner dan 1 Hz voor harde monsters);

23

o Aantal meetpunten =1024;

o Aantal middelingen = 100;

e FFT-window: Kaiser -30 dB (ter voorkoming van signaallek).

O p pa,gina 25 zijn de grafieken afgebeeld met de meetresultaten.

Grafieken A en B : Hierin is het verloop van IR1 en arg(R) als funktie van de frequentie voor twee microfoonsconfiguraties uitgezet (zie figuur 4.1): de microfoons schuin tegenover elkaar (volle lijn) en de microfoons naast elkaar (onderbroken lijn). Uit de grafieken blijkt dat de resultaten beter zijn in het eerste geval; we moeten de microfoons dus niet naast elkaar plaatsen vanwege de mogelijke fout door interferentie van de microfoons (zie punt 4 van paragraaf 3.3.3). Indien we deze interferentie vermijden door de microfoons schuin tegenover elkaar te plaatsen ligt de fout in IR1 in de orde van 2 procent en de fout in a r g ( R ) in de orde van 0.02 radialen. Dit is ruim binnen de berekende foutgrens van 10% uit de foutenanalyse uit Hoofdstuk 3.

Grafiek C : Uit grafiek C concluderen we da t de coherentie goed is op enkele dippen na. Deze pieken treden op bij frequenties waarbij zich een knoop bevindt in de drukgolf op één van de microfoonposities. Dit verschijnsel treedt alleen op bij sterk reflecterende monsters.

Grafiek D, E en F : De grafieken D en E geven de resultaten voor de gemeten reflectiecoëfficiënt R bij de één- microfoon methode. De random fout is bij deze metingen (bij gelijk aantal middelingen) groter dan bij de twee-microfoonsmethode. Dit werd verwacht omdat de gewenste frequen- tieresponstiefunktie H l 2 in twee stappen bepaald moet worden uit Hl en H 2 die beiden van een random fout zijn voorzien. Echter de totale fout is steeds kleiner dan 10%. Verder zijn er kleine afwijkingen (pieken in IR1 en a r g ( R ) ) gevonden bij frequenties waarbij resonanties in de buis optreden. In het verloop van de coherentiefunktie bij metingen met de één-microfoon-methode (grafiek F) treden hier kleine dippen op. De waarschijnlijke oorzaak is dat bij resonantiefrequenties niet-lineaire effecten optreden tussen het microfoonssignaal en het stroomsignaal van de luidspreker. Deze niet-lineaire effecten kunnen worden veroorzaakt doordat de sterkte van de geluidsdruk bij de resonanties in een star afgesloten buis groot is.

mic.2 mic.1 naast mic.2 ..

U

mic.1 tegenover mic.2

Figuur 4.1: Afbeelding van de twee microfoonconfiguraties (naast elkaar en schuin tegenover elkaar) waarmee de metingen verricht zijn

24

Meetresultaten in frequentiegebeid van 400 Hz to t 2500 Hz met een microfoonsafstand van 5 cm. De twee-microfoons methode Chung en Blaser met microfoonspositie-verwisseling:

o 1-

O 05-

O m - 0- I

Grafiek A Grafiek E3 0.1

0.05

O 5 - 0 E P

-

-0 05

-O '500 1000 1500 2000 2500 Freq (Hz)

Grafiek C

Figuur 4.2:

Grafiek A: IR1 als funktie van de frequentie báj íûO% hard monster) theoretisch geldt IRI=l; -Doorgetrokken lijn: microfoons schuin tegenover elkaar; -Underbroken lijn: microfoons naast elkaar; Grafiek B: Idem als grafiek A, maar dan arg (R) , theoretisch geldt arg(R) = O ; Grafiek C: Coherentiefunktie tussen microfoonsignalen bij meten overdrachtsfunktie H12.

Resultaten met één-microfoonmethode van Fahy:

Grafiek D 1 05

1 - r 9

0.95

" 5 0 0 1000 1500 2000 2500 Freq (Hz)

1 - r 9

0.95

0.9'500 I000 1500 2000 2ioo Freq. (Hz)

Grafiek E

Figuur 4.3:

Grafiek F

Grafiek D: IR1 als funktie van de frequentie, theoretisch geldt IRI=i; Grafiek E: arg(R) als funktie van de frequentie, theoretisch geldt arg(R) = O ; Grafiek F: Gemiddelde coherentiefunktie tussen microfoonsignalen bij meten overdrachtsfunkties H1 en Ha. Deze coherentiefunktie werd als volgt berekend: coh(H1, H2) = Jcoh(H1) . coh(H2).

25

4.2.2 Metingen bij lage frequentie

Uit de foutenanalyse vonden we het volgende resultaat: Bij een microfoonsafstand s van 33 cm is onder voorwaarde van een maximale fout in R van 10% een gebied te bereiken van 0 . 1 ~ < ks < 0 . 8 ~ . Dit komt overeen met een frequentiegebied van:

50 < f < 400 Hz.

Voor het bereiken van deze grotere microfoonsafstand s=33 cm moest de buis verlengd worden waarbij L 1 . 5 ~ zo groot werd. De metingen zijn daarom gedaan met een 2 maal hogere frequentieresolutie (zie eis (3.16) op 15). De overige FFT-instellingen bleven gelijk. De resultaten van de metingen staan op pagina 27.

Grafieken G en H : De grafieken van IR1 en arg(R) als funktie van de frequentie voor twee microfoonsconfiguraties: de microfoons schuin tegenover elkaar (volle lijn) en de microfoons naast elkaar (onderbroken lijn). Wederom blijkt da t de resultaten beter zijn in het eerste geval; we moeten de microfoons dus niet naast elkaar plaatsen vanwege de mogelijke fout door interferentie van de microfoons (zie punt 4 van paragraaf 3.3.3). Indien we deze interferentie vermijden door de microfoons tegenover elkaar te plaatsen ligt de fout in IR1 in de orde van 1 procent en de fout in arg(R) in de orde van 0.01 radialen. De verschillen zijn dus nog kleiner dan bij de vorige metingen met s=5 cm. De oorzaak hiervan is genoemd in de foutenanalyse: namelijk kleinere relatieve fouten ós/s en óZ/s.

Grafiek I : Uit grafiek I concluderen we dat de coherentie goed is op enkele pieken na. Deze pieken treden op bij frequenties waarbij zich een knoop bevindt in de drukgolf op één van de microfoonposities. Dit verschijnsel treedt alleen op bij sterk reflecterende monsters en dus niet bij andere monsters.

Grafiek J, K en L : De grafieken J en K geven de resultaten voor de gemeten reflectiecoëfficiënt R bij de één- microfoon methode. De random fout is bij deze metingen (bij gelijk aantal middelingen) weer groter dan bij de twee-microfoonsmethode. In het frequentiegebied van 50 Hz tot &150 Hz is de fout in IR1 10% en zelfs groter. De oorzaak hiervan is de slechte conditionering bij de bepaling van Hl2 = H2/H1, indien geldt:

Verder wordt de piek naar beneden in grafiek L veroorzaakt door een aardlus in het meetsysteem.

N @l. Deze fout wordt besproken onder item [6] in 93.3.3.

26

Meetresultaten in frequentiegebeid van 50 Hz tot 400 Hz met een microfoonsafstand van 33 cm. De twee-microfoons methode Chung en Blaser met microfoonspositie-verwisseling:

1-

Grafiek I

-0 8- =- ?O 6

0.4

02-

- S o

Grafiek G

1-7 - y $ v y-y

Grafiek H O 06

O 04

- o o2 5 I

â o - -0 02

-0 04

i O0 200 300 400 -0 06

Freq (Hz)

I

I 200 3uu 400 Freq. (Hz)

Figuur 4.4:

Grafiek G: Absolute waarde van de reflectiecoëficiënt R als funktie van de frequentie, theoretisch geldt IRI=i; Doorgetrokken lijn: microfoons tegenover elkaar; onderbroken lijn: microfoons naast elkaar; Grafiek H: Fuse van de reflectiecoëficiënt R als funktie van de frequentie, theoretisch geldt angle(R) = O ; Grafiek I: Coherentiefunktie tussen microfoonsignalen bij meten overdrachtsfunktie Hlz .

Resultaten met één-microfoon methode van Fahy.

Figuur 4.5:

Grafiek J: Absolute waarde van de rejlectiecoëficiënt R als funktie van de frequentie, theoretisch geldt I RI =í; Grafiek I’: Fase van de reflectiecoëficiënt R als funktie van de frequentie, theoretisch geldt angbe(R) = O ; Grafiek L: Coherentiefunktie tussen microfoonsignalen bij meten overdrachtsfunktie Hl2.

27

4.3 Metingen bij monster willekeurig materiaal

Naast de testmetingen met een volkomen hard monster zijn er metingen verricht aan een monster van het materiaal van de stoel uit de F-100. Deze metingen kunnen in een frequentiegebied 100 Hz - 240 Hz vergeleken worden met SWR-resultaten uit het rapport (no. RT2161) van afstudeerder R. Graven.

Voor de FFT-analyse werden de volgende instellingen gebruikt:

e Frequentieresolutie 1 Hz;

e Aantal meetpunten FFT: i024;

e Aantal middelingen: 550;

e Geen FFT-window (signaallek blijkt in dit geval weinig invloed te hebben;

Hieronder worden de resultaten van de 2-microfoons-methode vergeleken met eerder gemeten SWR-resultaten, t e vinden in het rapport RT2161 (Fokker) van Ralph Graven.

Grafiek M

+

Figuur 4.6: Reële deel (=bovenste lijn) en imaginaire deel (=onderste lijn) van impedantie van materiaal stoel F-100 als funktae van de frequentie. De gemeten SWR-resultaten zijn weergegeven met (o); de 95%-betrouwbaarheids-grenzen op deze resultaten zijn weergegeven met (+).

De 95%-betrouwbaarheids-intervallen zijn berekend aan de hand van de gegevens in tabel 2.1 op pagina 7. De twee-microfoons resultaten wijken af van de SWR-resultaten, maar liggen bijna allemaal binnen het 95%-betrouwbaarheid~-interval. Omdat bij de metingen niet hetzelfde monster werd gebruikt (wel uit dezelfde stoel!) kunnen de afwijkingen inderdaad groter zijn dan voorspeld.

28

Hoofdstuk 5

microfoon- gebied voor ks afstand uit foutenanalyse 33 cm 0 . 1 ~ < k s < 0 . 8 ~ 5 cm 0 . 1 ~ < k s < 0 . 6 ~

Conclusies

frequentiegebied in Hz

50 Hz .. 400 Hz 400 Hz .. 2500 Hz

Uit het onderzoek kunnen de volgende conclusies getrokken worden:

Nauwkeurigheid 2mic/lmic-met hode : De fout in de te meten akoestische grootheden hangt af van fouten in de systeemvariabelen (bijv. afstanden, temperatuur) en fouten in de gemeten grootheden (zoals magnitude en fase van frequentieresponsfunktie). De maximaal optredende fout in de laatstgenoemde wordt in theorie geschat op 3..4%. De fout ten gevolge van een eindige microfoondiameter, waardoor een puntmeting van de druk niet mogelijk is, is hierbij één van de belangrijkste foutbronnen. Daarnaast kan de fout die het gevolg is van het verkeerd schatten van de afstand tussen voorvlak monster en microfoons, een belangrijke rol spelen. Deze fout kan overheersen bij metingen met kleine microfoonafstanden. Een belangrijke factor, waarvan de nauwkeurigheid van de 2mic/lmic-methode afhangt, is de foutversterking die optreedt bij het berekenen van de akoestische grootheden uit de systeemvariabelen en de gemeten grootheden. Deze foutversterking blijkt af t e hangen van de dimensieloze term ks , waarbij k het golfgetal is en s de afstand tussen de microfoons onderling. Ter voorkoming van niet al te grote foutversterkingen, zodat de maximale fout in de berekende akoestische grootheden kleiner dan 10% is, moet er binnen het volgende gebied gemeten worden O < ks < T . Bij kleine microfoonsafstanden kan dit gebied kleiner zijn, omdat relatieve fouten in de afstanden dan groot zijn. Uit de foutenanalyse zijn deze gebieden voor ICs bepaald bij twee microfoonsafstanden:

29

Vervanging SWR-methode door nieuwe met hode(n) : De in dit verslag geïntroduceerde twee-microfoonsmethoden en één-microfoon-methode bieden ten opzichte van de klassieke SWR-methoden een aantal voordelen, t e weten: - er is een grotere nauwkeurigheid haalbaar (zie eerste conclusie). Het verschil is met name groot bij laag-frequente metingen; - het gebruik van een brede frequentieband excitatie levert een aanzienlijke verkorting van de meettijd op en daarnaast levert de kleine frequentiestap een completer beeld op van het verloop van de akoestische grootheden als funktie van de frequentie; - de constructie van de impedantiebuis is eenvoudiger (geen mechanisme voor verschuiving microfoons nodig) ; - bij laag-frequente metingen is de benodigde lengte van het meetsysteem (tenminste een factor vijf) kleiner; - er is geen handbediening meer nodig (dit is o.a. gunstig voor de reproduceerbaarheid van de meetresultaten);

30

Bibliografie

[i] L.A. Kinsler en A.R. Frey. Fundamentals of acoustics. John Wiley t3 Sons, 1980.

[2] A.F.Seybert en B. Seonarko. Error analysis of spectral estimates with application t o the measurement of acoustic parameters using random sound fields in ducts. J.Acoust.Soc.Am, 69:1190- 1199, 1981.

[3] T.L. Parrott en C.D. Smith. Random and systematic measurement errors in acoustic impedance as determined by the transmission line method. N A S A Technical Note T N 0-8520, 1977.

[4] J.Y. Chung en D.A. Blaser. Transfer function method of measuring in-duct acoustic properties. J. A coust. Soc. A m, 68 : 9 07-9 2 1, 19 80.

[5] A.F. Seybert en D.F. Ross. Experimental determination of acoustic properties using a two- microphone random-excitation technique. J.Acoust.Soc.Am, 61:1362-1370, 1977.

[6] H. Boden en M. Abom. Influence of errors on the two-microphone method for measuring acoustic properties in ducts. J.Acoust.Soc.Am, 79:541-549, 1986.

[7] F.J. Fahy. Rapid method for the measurement of sample acoustic impedance in a standing wave tube. JSound and Vibr., 97:168-170, 1984.

31

Bijlage A

Berekening relatieve fout in matrix A

In deze bijlage wordt de relatieve fout in de matrix A, aangeduid als de verhouding / / S A ~ ~ / ~ ~ A ~ ~ , berekend als funktie van de variabelen s, 1 en 5 die deze matrix bevat.

We schrijven:

Voor de ” verschilmatrix” SA schrijven we:

De meestgebruikte norm voor de matrix is de zogenaamde Euclidische norm of 2-norm ( / /Al la) . Deze is gelijk aan de grootste eigenwaarde van de matrix. Een analytische berekening van deze eigenwaarde is mogelijk maar erg ingewikkeld zodat het inzicht verloren gaat. Derhalve wordt deze 2-norm (of grootste eigenwaarde) benaderd met de eenvoudig te bepalen 1-norm (I IA1 I l ) . De 1-norm is gelijk aan de maximum som van de absolute waarden van de componenten in een kolom van de matrix. Dus voor de norm van matrix A geldt:

]IA112 N IIAll1 = la1il + la211 = Iejk’l + lejk(’+s)I = 1 + 1 = 2 ( A 4

Voor de norm van de verschilmatrix 11óAll geldt:

lISAII2 = IISAlll

Uit vergelijking (A.l)

= ISa11l + ISa21l = 216a211

en (A.2) geldt,

= ISa21l

Een uitdrukking voor Sa21 als funktie van de inputparameters wordt bepaald met behulp van de Taylorreeks met verwaarlozing van hogere orde termen.

32

Met = ejk(l+s) levert dit de volgende uitdrukking:

I(5a21l I (2 + s)lW + q l s l l + iW) Samenvoeging van de vergelijkingen (A.3) en (A.5) geeft het volgende eindresultaat:

(k.6)

33

Bijlage B

Doorwerking van meetfouten in de overdrachtsfunktie

In deze bijlage wordt de volgende uitdrukking afgeleid:

Deze uitdrukking wordt gebruikt in 53.3.3 op pagina 15.

Kolom b bevat de drukamplituden Pi en P 2 die gemeten worden door microfoon 1 en microfoon 2. Per frequentiecomponent kan dit geschreven worden als volgt:

Omdat alleen de verhouding P2/P1 van belang is, herschrijven we de kolom 4 als volgt:

De fout in de kolom b wordt geschreven als:

Waarbij geldt da t óbl = O (want b l = 1 gekozen) en Sb2 kan worden bepaald m.b.v. de eerste orde afgeleiden uit de Taylorreeks.

ISb2l I l(ab2/8A12) SA121 + l ( 8 b 2 / m 2 ) S%21 5 lej'12 SA121 + ljA12ejQ'2 S@121

I ISA121 + IA12m21

Voor de bepaling van I ISbll en I ]dl I wordt gebruik gemaakt van de definitie van de Euclidische norm voor complexe vectoren:

n

i=l

34

Er geldt dan:

De term Al2/,/1+ A!2 kan maximaal de waarde 1 worden, namelijk als A12 -+ 00, dus geldt:

Analoog hieraan geldt voor de vector g met de complexe drukamplituden P- en P+ dat

waarbij de complexe reflectiecoëfficiënt R gedefineerd is als R = P-/P+ = IBlej@R.

35

Bijlage C

Meetfout ten gevolge van de eindige diameter van de microfoon

Bij de twee-microfoons en de één-microfoon-methode wordt ervan uitgegaan dat de akoestische druk op een punt gemeten wordt. Echter omdat gebruik gemaakt wordt van condensatormicrofoons met eindige afmetingen in diameter is het onmogelijk om een puntsmeting te verrichten. Dit houdt in dat het akoestisch centrum van de microfoons niet zal samenvallen met het geometrisch centrum van de microfoon. Bij de foutenanalyse in 93.3.2 wordt deze fout in rekening gebracht door een fout Ss aan te nemen in de microfoonsafstand s.

Uit de berekeningen in deze bijlage is gebleken dat de fout Ss geschreven kan worden als funktie van het golfgetal k en de microfoondiameter d. Uit de berekeningen is gebleken dat het moeilijk is om een foutschatting voor Ss t e bepalen. Daarom wordt als foutmaat niet Ss genomen maar de verschildruk Ap = - p, waarbij I , de gemiddelde druk is over het microfoonoppervlak, welke bepalend is voor de kracht op het diafragma van de microfoon (dit is dus de druk die je meet). De druk p is de plaatselijke druk op de hartlijn van de microfoon (dit is de druk die je zou willen meten!). De situatie van een condensator microfoon in een akoestisch drukveld is geschetst in figuur c .1 .

De totale kracht F die de microfoon als gevolg van het drukverloop ondervindt is gelijk aan:

F = p(x)dS, ( C 4 Is waarbij p(x) een sinusvorme akoestische golf beschrijft met golfgetal k en drukamplitude P: p(z) =

P s i n k x . Voor het oppervlakte-element d S geldt d S = b(x)dx met b(z ) = 2 d m . (Pythagoras in figuur C.i!). Substitutie van dit in vergelijking ((2.1) levert:

Voor deze integraal is het niet eenvoudig een analytische oplossing te vinden. Daarom wordt de integraal vereenvoudigd door theoretisch een vierkant microfoonsoppervlak te kiezen met een zijdelengte d. N a te gaan is da t dit een ongunstigere situatie geeft en da t de fout A p hierdoor groter zal zijn. De integraal (C.2) wordt in dit geval:

2 P d kd I z'+d/2

P s i n k x d d x = -sin-sinkx F = / ~ ' - d / 2 5 2

36

i / Pythagoras

L P

-

Figuur c. 1: Condensatormicrofoon in een staande golf geplaatst

Voor de gemiddelde druk p geldt

F F 2 P . k d . I p = - = - = - sin - sin k x

S d2 kd 2

De druk p in het centrum van de microfoon is gelijk aan:

p = Psin kx'

Het relatieve drukverschil is een bruikbare maat voor de fout,

Ap - p - p ( 2 P I k d ) sin ( k d / 2 ) sin kx' - P s i n kx' 2 sin ( k d / 2 ) -1 - - - -

P P P sin kx' kd

Dit is het eindresultaat voor de berekeningen in deze bijlage.

37

Bijlage D

Bepaling van de relatieve fout in de 1 i . impedantie.

In deze bijlage wordt de volgende relatie afgeleid:

% < I - - 2 I1~-11 E - 1 - R2I 11i11

Deze relatie wordt gebruikt in 93.3.4.

worden, De afleiding van deze relatie gaat als volgt. Voor genormaliseerde impedantie E kan geschreven

P- met R = - P+ + P-

= P+ - P- p+

De Taylorontwikkeling met weglating van hogere orden, levert:

Linker en rechterlid delen door vergelijking (D.2) levert:

Met SP- N SP+ en P+ > P- kunnen we schrijven:

2PS SP+

Indien voor P- /P+ de complexe reflectiecoëfficiënt R gesubstitueerd wordt,

Gebruik makend van de definitie R = P-/P+ geldt de volgende uitdrukking:

SR SP- SP+ 1-1 i Ip_I + 1-17 R p+

38

bP+ 6P- en met N geldt:

SR SP+ 1-1 51-1 R p+

Dit invullen in vergelijking (D.6) levert tenslotte:

Omdat de relatieve fouten in P+ en P- beiden in dezelfde ordegrootte zullen zijn geldt de volgende relatie:

(D.10)

Conclusie is da t de relatieve fout in versterkt wordt met een factor Il/(l - E i 2 ) [ . Dit levert problemen in het geval R = 1.

39

Bijlage E

Numerieke simulaties

Het doel van de numerieke simulaties is het toetsen van de resultaten van de foutenanalyse in hoofdstuk 3 van het verslag. Als vergelijkingsmateriaal wordt grafiek 3.5 op pagina 18 gebruikt. Hierin is de relatieve fout ISR/RI uitgezet als funktie van de term k s voor twee microfoonsafstanden: s=33 cm en s=5 cm.

De numerieke simulaties zijn verricht m.b.v. het rekenprogramma MATLAB. De opzet van de simulaties is als volgt:

1. Er wordt een initiële reflectiecoëfficiënt R ( f ) ingegeven. Gekozen zijn, R = 1, R = -1, R = 0.5ejo.5 en R = 0.lejO.l;

2. Uit de initiële reflectiecoëfficiënten worden de bijbehorende overdrachtsfunkties H12 berekend;

3. Er wordt een fout toegekend aan de berekende inputdata s, I en Hlz. Hiervoor worden dezelfde fouten gebruikt als bij de analytische foutenanalyse: - Fout in microfoonsafstand Ss=O.l mm; - Fout in afstand monster-microfoon Sl=l mm; - Fout in frequentieresponsfunktie: /óAl2/A121=3% en IC~p121=0.02 rad. E r worden verschillende combinaties van &Ss, 4161, +SH12 uitgeprobeerd;

4. Met de vergelijkingen gebruikt in stap 2 wordt R opnieuw berekend, maar nu met de 'foute' inputdata.

5 . Met behulp van grafieken, waarbij R uitgezet wordt als funktie van ks , wordt de maximale relatieve fout in R afgebeeld.

De resultaten van deze simulaties zijn in de grafieken op de volgende bladzijden afgebeeld.

40

E. 1 Simulaties bij reflectiecoëfficiënt R= 1.

1.1-

1.05-

I k

- C0.95-

0.9-

0.85-

-

Lage frequenties; microfoonsafstand = 33cm

0.1

0.05- ü s a 0-

F

- -

s -0.05-

-0.1

-

-

Theoretisch: IRI=l Theoretisch: arg(R)/pi=O

F -0 05

I 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.1; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8;

kdvi I-) kchi í4

Figuur E.l:

I O0 0.2

- - _ _ - -

i 0.6 I rshi I-)

Grafiek links: Verloop van IR1 als funktie van de dimensieloze frequentie ks. Grafiek midden: Verloop van arg(R) als funktie van de dimensieloze frequentie ks . Grafiek rechts: Verloop van ISRIRI als funktie van de dimensieloze frequentie ks: Volle lijn = resultaat simulaties. Stippellijn =resultaat foutenanalyse.

Hogere frequenties; microfoonsafstand = 5 cm

Theoretisch: IRI=l Theoretisch: arg(R)/pi=O

0.2 0.4 0.6 0.8 ks/Di (-)

25-

po-

- u - 810-

- - g 1 5 - - x

5-

Figuur E.2: Grafiek links: Verloop van IR1 als funktie van de dimensieloze frequentie ks . Grafiek midden: Verloop van arg(R) als funktie van de dimensieloze frequentie k s . Grafiek rechts: Verloop van ISRIRI als funktie van de dimensieloze frequentie ks: Volle lijn = resultaat simulaties. Stippellijn =resultaat foutenanalyse.

41

E.2 Simulaties bij reflectiecoëfficiënt R=-l.


Theoretisch: IRI=l Theoretisch: arg(R)/pi=l

'"I

P 0.95

0.9' I O 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.8' O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 kshi í-ì kS/Di í-ì

Figuur E.3: Grafiek links: Verloop van IR/ als funktie van de dimensieloze frequentie ICs. Grafiek midden: Verloop van arg (R) als funktie van de dimensieloze frequentie ks . Grafiek rechts: Verloop van 16RIRI als funktie van de dimensieloze frequentie ks: Volle lijn = resultaat simulaties. Stippellijn =resultaat foutenanalyse.


Theoretisch: IRI=l Theoretisch: arg(R)/pi=l

k 0.95; 0.2 0.4 0.6 0.8 1 O0

kslDi í-ì

Figuur E.4:

0.6 0.8 S/DI (-)

- Grafiek links: Verloop van IR1 als funktie van de dimensieloze frequentie ICs. Grafiek midden: Verloop van arg (R) als funktie van de dimensieloze frequentie k s . Grafiek rechts: Verloop van ISRIRI als funktie van de dimensieloze frequentie ks: Volle lijn = resultaat simulaties. Stippellijn =resultaat foutenanalyse.

42

E.4 Simulaties bij reflectiecoëfficiënt R = 0.lej0.'.

0.2-

0.15- n E _.


Theoretisch: IRI=0.1 Theoretisch: arg(R)/pi=O.l

0.6 0.8 c h i íd

Figuur E.7: Grafiek links: Verloop van IR/ als funktie van de dimensieloze frequentie ks. Grafiek midden: Verloop van arg(R) als funktie van de dimensieloze frequentie ks . Grafiek rechts: Verloop van ]SR/R1 als funktie van de dimensieloze frequentie les: Volle lijn = resultaat simulaties. Stippellijn =resultaat foutenanalyse.


Theoretisch: IRI=0.1 Theoretisch arg(R)=O.l

._ 2 0.1

'0.05~ / ,

O0 0.2 1 0.6 0.8 s/Di í-)

Figuur E.8: Grafiek links: Verloop van IR1 als funktie van de dimensieloze frequentie ICs. Grafiek midden: Verloop van arg(R) als funktie van de dimensieloze frequentie ks. Grafiek rechts: Verloop van ISRIRI als funktie van de dimensieloze frequentie ks: Volle lijn = resultaat simulaties. Stippellijn =resultaat foutenanalyse.

44

E.5 Conclusies uit simulaties

Door middel van de numerieke simulaties in deze bijlage zijn de resultaten van de foutenanalyse getoetst. Bij deze simulaties werd de fout ISR/RI berekend bij de bepaling van de reflectiecoëfficiënt R met de één/twee-microfoons-methode.

De maximak fcxt iri ISR/RI iri de simlilaties blijkt goed overeen te komen met deze fout gevonden in de foutenanalyse. De conclusie hieruit is dat vergelijking (3.10) nuttig is voor het afschatting van de maximale fout bij de één/twee-microfoons-methode.

45

Mat lab-programma voor data-verwerking

46

%BIJLAGE F: MATLAB-programma ter berekening van de akoestische grootheden %(reflectiecoefficient R en impedantie xi) uit de in te voeren %meetgegevens.

% INVOEREN VAN DE ASCII-MEETGEGEVENS: overdrachts- en coherentiefunkties

load chril; load chri2; metingl=chril; meting2=chri2; deltax=3.125*2 % frequentiestap (=8x frequentieresolutie FFT) n=512 % aantal meetpunten FFT

% UITLEZEN VAN DE METINGEN

for i=l:n H120 ( i ) =meting1 (n+i, 1 ) +j *met ingl (n+i ,2 ) ; H12s(i)=meting2 (n+i,l)+j*meting2 (n+i,2) ; coho ( i ) =meting1 (n+i I 3 ) ; cohs(i)=meting2 (n+i,3) ;

end

% INVOERING EN BEREKENING VAN CONSTANTEN

c0=331.6 ; % geluidsvoortplantingssnelheid bij T=O graden L=0.36; % totale lengte van de buis s=54e-3 % microfoonsafstand 1=54e-3 % afstand monster-microfoon 1 T=22 % temperatuur d=7e-2 % diameter buis lkar=d/sqrt(pi)% karakteristieke lengte voor wandabsorptiecoeff. c=co*sqrt (1+T/273) % berekening geluidsvoortpl.sne1heid

% BEREKENEN VAN REFLECTIECOEFFICIENT R EN IMPEDANTIE Zn

for i=l:n f=deltax*i; kreal=2*pi*f/c; % golfgetal kimag=2.94e-5*sqrt(f)/lkar; % afschatting van de wandabsorptie k=kreal-j*kimag; % complex golfgetal Hi ( i ) =exp ( j * k* s ) ; Hr (i) =exp ( - j *k*s) ; A12 (i)=sqrt(abs (H12o(i)) *abs(H12s(i) ) ) ; Fil2(i)=0.5*(angle(Hl2o(i))+angle(Hl2s(i))); H12 (i)=(A12 (i) *exp(j*Fil2 (i) ) ) ; F (i) =f; R(i)=exp(j*2*k*l) * (H12 (i) -Hi (i)) / (Hr(i) -H12 (i)) ; zn(i) = (1+R(i) ) / (l-R(i) ) ; fout(i)=abs( (abs(Hl2(i))-abs(H12t(i))))/abs(Hl2t(i));

end

eindhoven university of technology master alternatieve ...samenvatting voor het meten van...

Documents